第28讲 最大公因数和最小公倍数
奥数最大公因数、最小公倍数讲义及答案
数的整除（3）最大公因数、最小公倍数教室姓名学号【知识要点】1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
自然数a、b的最大公因数记作（a，b）。
2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
自然数a、b的最小公倍数记作［a，b］。
3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：（1）（a，b）×［a，b］=a×b；（2）若a＞b，则a－b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数。
（3）a+b与b的最大公因数，等于a与b的最大公因数。
【典型例题】例1.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。
解：由性质（1）得到乙数=168×4÷24＝28.例2.将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长与宽的最大公因数。
（90，42）=6.至少能剪90×42÷（6×6）=105（块）.例 3.马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是多少？解：473与407的最大公因数是11，而11是质数，所以乙数是11，又473=43×11，407＝37×11，所以甲数是47，甲乙两数的乘积应为：47×11=517或1×477=477.例4.有一种自然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种自然数中除1以外，最小数是多少？解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2、3、4、5、6、7的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是2，3，4，5，6，7的最小公倍数加上1.［2，3，4，5，6，7］=420，最小数是：420+1=421。
北师大版数学五年级上册第三单元《倍数与因数》说课稿
北师大版数学五年级上册第三单元《倍数与因数》说课稿一. 教材分析北师大版数学五年级上册第三单元《倍数与因数》是本册教材中的一个重要单元，主要内容包括：因数与倍数的定义、求一个数的因数和倍数的方法、最大公因数和最小公倍数的求法等。
这些内容对于学生理解和掌握数学的基本概念、培养逻辑思维能力具有重要意义。
本单元的内容与学生的生活实际紧密相连，便于学生理解和运用。
通过本单元的学习，学生能够掌握因数与倍数的基本概念，能够运用求因数和倍数的方法解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
二. 学情分析五年级的学生已经具备了一定的数学基础，对数学概念有一定的理解能力。
但是，对于倍数与因数这一单元的内容，由于涉及到较为抽象的概念，学生可能存在一定的理解难度。
因此，在教学过程中，需要教师针对学生的实际情况进行引导，帮助学生理解和掌握相关概念。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解和掌握因数与倍数的基本概念，能够运用求因数和倍数的方法解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过自主探究、合作交流的学习过程，培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与数学学习，体验数学学习的乐趣，提高对数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：因数与倍数的基本概念、求一个数的因数和倍数的方法。
2.教学难点：最大公因数和最小公倍数的求法。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主探究、合作交流、教师引导相结合的教学方法，引导学生主动参与学习过程，提高学生的学习兴趣和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学辅助手段，帮助学生形象直观地理解因数与倍数的概念。
六. 说教学过程1.导入：通过复习相关知识，引导学生回顾已有知识，为新课的学习做好铺垫。
2.探究因数与倍数：教师引导学生通过自主探究、合作交流的方式，探讨并理解因数与倍数的概念。
3.求一个数的因数和倍数：教师引导学生学习求一个数的因数和倍数的方法，并通过实例进行讲解和练习。
公倍数和公因数
泛美国际教育2015年五年级春季班讲义公倍数和公因数【知识要点】1、熟练运用短除法求两个数的最大公因数、最小公倍数；2、会用短除法求三个数的最小公倍数；3、理解公倍数和公因数的关系，运用公倍数和公因数的关系解决实际问题。
【题型精讲】重难点一：求两个数的最小公倍数例1求9和12的最小公倍数求6和14的最小公倍数（用短除法）9 12例2求下面各组数的最小公倍数12和16 20和3 24和12 10和21 7和9 6、12和15巩固拓展1、学校运来一批树苗，如果每行栽8棵或每行栽10棵，都恰好能栽成整行数，这批树苗至少有多少棵？2、1路和2路公共汽车早上七点同时从起始站出发，1路车每7分钟发一辆车，2路车每8分钟发一辆车，列表找出这两路车同时发车的时间，最近的一次是什么时候？3、某公共汽车站有三条线路的公共汽车，第一条线路每隔5分钟发一次车，第二条线路每隔10分钟发一次车，第三条线路每隔8分钟发一次车，下次三条线路同时发车是多少分钟之后？4、有一堆水果，按4个一堆分少一个，按5个一堆分也少一个，按6个一堆分还少一个，这堆水果至少有多少个？5、有一堆糖果，5个一堆分多4个，6个一堆分多5个，7个一堆分多6个，这堆糖果至少有多少个？重难点二：求两个数的最大公因数例3求18和12的最大公倍数求26和52的最大公倍数（用短除法）18 12例4求下列两个数的最大公倍数3和14 22和66 42和63 18和27 27和54 25和40巩固拓展6、有三根铁丝，分别长16m、24 m、32 m，要把这三根铁丝截成同样长的若干小段，三根铁丝都不许有剩余，每小段最长多少米？一共可以截成多少段？7、学校买来160枝圆珠笔，128册故事书和96本练习本？在每份奖品中，圆珠笔、故事书和练习本各多少？8、现有100枝玫瑰花，80枝康乃馨和60枝苍兰，要配成同样的花束，最多可以配多少束？每束中三种花各有几枝？9、张老师把35枝铅笔盒40本练习本分别平均奖给若干个三好学生，结果练习本差2本，铅笔正好，你知道三好学生最多有几人吗？命题：泛美国际教育数学教研组命题：泛美国际教育数学教研组24分米33分米重难点三：最小公倍数和最大公因数的关系例 5 求12和18的最小公倍数和最大公因数，观察最小公倍数和最大公因数的关系； 12和18的最小公倍数： 12和18的最大公倍数：巩固拓展 10、 两个自然数的最大公因数是14，最小公倍数是84，已知其中一个数是28，另一个数是多少？11、 已知两个数的乘积是11532，它们的最大公因数是31，它们的最小公倍数是多少？ 12、 两个数的最大公因数是15，最小公倍数是225，其中的一个数是45，另一个数是多少？13、 已知两个数的乘积是11532，它们的最大公因数是31，求这两个数；14、 两个数的最大公因数是15，最小公倍数是225，这两个数分别是多少？ 15、 两个数的和是52，它们的最大公因数是4，最小公倍数是144，这两个数各是多少？重难点四：用最小公倍数和最大公因数解决实际问题例 6 父子两人在雪地里散步，父亲在前，每步80厘米，儿子在后，每步60厘米，在120米内一共留下多少个脚印？例 7 园林工人在一段公路的两边每隔4米栽一棵树，一共栽了74棵，现在要改成每隔6米载一棵树，那么不用移动的树共有多少棵？（每边两头都载）16、 两根长绳，一根长18米，另一根长26米，要截成长度一样且没有剩余的跳绳（每根跳绳的长度的米数都是整米数），每根跳绳最长是多少米？ 17、小红家的厨房要铺方砖（如下图），有两种规格的方砖：一种边长为3分米，另一种边长为4分米，铺哪种规格的方砖最合适，既没浪费，也没破损？18、一个长方形的宽是13与52的最大公因数（单位：厘米），长是6与8的最小公倍数（单位：厘米），这个长方形的面积是多少平方厘米？19、把47个苹果和39个橘子分别平均分给学校绘画小组的同学，结果苹果剩2个，橘子剩4个，绘画小组最多有多少位同学？20、 小明原有故事书的本数是小华的6倍，两人又各买2本以后，小明故事书的本数是小华的4倍，两人原来各有故事书多少本？。
公因数和公倍数知识点
公因数和公倍数知识点————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:ﻩ公因数和公倍数【知识点回顾】1、公因数（1）互素数:公因数只有１的两个自然数叫做互素数。
(2)简分数：分子、分母是互素数的分数叫做简分数。
(３)求最大公因数的方法：分解素因数法和短除法。
2、公倍数求最小公倍数的方法:分解素因数和短除法，即用最大公因数×各自独有的因数。
3、求两个数的最大公因数和最小公倍数,有３种基本情况，区别如下:两个数的关系最大公因素最小公倍数特殊关系互素（７和８） 1 两个数的积（7×8=５6）较大数是较小数的倍数(12和48）较小数(1２) 较大数(48）一般关系（12和1８) 用短除法将除数连乘(2×３=6) 将除数和商连乘（2×3×2×3=3６）4、求最大公因数和最小公倍数的方法：一、特殊情况：(１）倍数关系的两个数,最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
(如；6和12的最大公因数是6,最小公倍数是1２。
）(2）互质关系的两个数,最大公因数是１,最小公倍数是它们的乘积。
（如，5和7的最大公因数时1,最小公倍数是５×７＝３５)二、一般情况:（1)求最大公因数:列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。
①列举法：如，求18和27的最大公因数先找出两个数的所有因数１8的因数有：1、2、3、６、９、１82７的因数有:１、３、9、27再找出两个数的公因数：１8的因数有:1、2、３、6、9、1827的因数有:1、3、９、271、3、９最后找出最大公因数： 9②单列举法:如,求1８和27的最大公因数先找出其中一个数的因数:１8的因数有:１、２、３、６、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数最后找出最大公因数: 9③短除法:３ 18 ２73 6 92 ３除到商是互质数为止,最后把所有的除数相乘3×3＝9 ④除法算式法:用这两个数同时除以公因数,除到最大公因数为止。
短除法求最大公因数与最小公倍数
（9）李老师每隔3天去1次图书馆，王芳每隔4天去1次图书馆，6月30日她们都去图书馆，7月份同时去图书馆的日子有哪几天？
（10）501班上体育课，有34人参加跳绳活动，要分成5人一组，至少还要再来几个人？可以分成几组？
3．求下面各组数的最小公倍数。
15和2035和42 8、24和3645、60和75
4、解决问题
（1）商店里运来75个玉米，如果每15个装一筐，能正好装完吗？还可以怎么装？装几筐？
（2）小红家卧室的开关最初在关闭状态，现在如果不断开关，开关13次后，灯处于哪种状态？为什么？如果开关200呢？
（3）6个红球与24个黄球，大小一样，分别装在同一种盒子里,每种球正好装完，每盒最多能装几个?这时共需几个盒子？
精锐教育学级：小五课时数：
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
学科组长签名及日期
课题
分解质因数、最大公因数和最小公倍数
授课时间：
教学目标
1．使学生进一步理解和掌握公约数和最大公约数的意义。
2、使学生掌握分解质因数的方法。
2．使学生理解和掌握用分解质因数的方法求两个数的最大公约数和最小公倍数的算理，并会用短除法求两个数的最大公约数和最小公倍数。
4．能同时被2、3、5整除的两位数是()。
5．把390分解质因数是（390=）。
6．除以2、5、3余数都是1的数，其中，最小的一个是()。
7．2、5、10的最大公因数是()，最小公倍数是()。
8．甲数除以乙数的商是15，甲乙两数的最大公因数是()；最小公倍数是()。
9．从0、2、3、5、7五个数中，选四个数组成一个同时能被2、3、5整除的最小的四位数()。
(完整版)公倍数和公因数
第三单元：公倍数和公因数目标导航1、 认识公倍数和最小公倍数、公因数和最大公因数，会在集合图中分别表示两个数的倍数和它们的公倍数、因数和它们的公因数。
2、 学会用列举的方法找到10以内两个数的最小公倍数和100以内两个数的最大公因数，并能在解决问题的过程中主动探索简捷的方法，发现求两个数的最大公因数和最小公倍数的一些简捷的方法，并能根据两个数的关系选择用合理的方法求两个数的最大公因数和最小公倍数。
3、 自主探索求三个数的最小公倍数的方法，在解决实际问题的过程中提高学习数学的能力. 基础巩固题1、2、6的倍数有：（ ）；8的倍数有：（ )；6和8的公倍数有：（ ）；6和8的最小公倍数是:（ ）.3、填空(1)48既能被8整除，又能被6整除,所以48是8和6的最小公倍数。
（ )（2）先将18和24分解质因数，再求出它们的最小公倍数. 18＝（ ） 24＝（ ) 18和24的最小公倍数（ ).（分解质因数只针对于合数，质数指除了1和它本身之外的数，如:2、3、5、7等）（3）4和5的最小公倍数是（ ），16和24的最小公倍数是（ ).（4)下面这些图形,如果这样排列下去，在第（ ）个时都是有颜色的图形呢。
4、求下列各组数的最小公倍数。
7和9 15和45 12和1824和16 11和6 4、5和65、1路和2路公共汽车早上6时同时从起始站发车，1路车每5分钟发一辆车,2路车第4分钟发一辆车。
完4的倍数 5的倍数4和5的公倍数（1)(2）解决这个问题就是求（）.6、一个汽车总站有甲、乙两路车。
甲路车每3分钟发一次车；乙路车每5分钟发一次车。
甲、乙两路车第二次同时发车的时间与第一次同时发车的时间至少间隔多少分钟？8、18的因数有：( ）;24的因数有:（ )；18和24的公因数有：（）；18和24的最大公因数有:（）。
9、填空（1）60的因数有( ），能整除45的数有（）,既是60的因数，又能整除45的数有（ )，60和45的最大公因数是( ）。
《最小公倍数》教案
《最小公倍数》教案《最小公倍数》教案六篇《最小公倍数》教案篇1教学内容：《义务教育课程标准实验教科书数学五年级下册》第88～90页。
教学目标：1．使学生理解最小公倍数的意义，初步学会求两个数的最小公倍数。
2．培养学生的观察能力、分析能力和归纳概括能力。
3．培养学生良好的学习习惯。
学习目标：1、理解最小公倍数的意义2、初步学会求两个数的最小公倍数。
学习任务：任务一理解最小公倍数的意义任务二求两个数的最小公倍数教学过程：（一）激情导课1、师：同学们，看今天我们要学习什么？（最小公倍数）看到这个题目，你会想到我们以前学过的什么知识？（倍数）2、师：（出示）谁会求这俩个数的倍数？有了这个知识做铺垫，相信我们这节课一定会学的很轻松。
3、（出示目标）理解最小公倍数的意义，初步学会求两个数的最小公倍数。
请同学们默读一遍，并牢牢的记住它。
（二）民主导学任务一一、任务呈现师：过几天，我们五年级的同学将外出旅游，高兴吗？小兰也想和爸爸妈妈一起去游玩，可从7月1日起，小兰的妈妈每4天休息一天，爸爸每6天休息一天，他们打算等爸妈全部休息时，全家一块儿去。
那么在这一个月里，他们可选那些日子去呢？你会帮他们把这些日子找出来吗？要求：先独立思考，不会的小组商量。
提示：每4天休息一天就是工作3天休息一天，每6天休息一天就是工作5天休息一天二、自主学习教师巡视学习情况三、展示交流1）师：他们可选那几日外出？（12、24）你是怎样选出来的？根据回答板书：妈妈的休息日：4 8 12 16 20 24 28 ---- 4的倍数爸爸的休息日：6 12 18 24 30 -----6的倍数。
共同的休息日：12 24 -----4和6的公倍数最近的一天：12------4和6的最小公倍数还可以用集合图来表示，2）仔细观察两组数据有什么特征？3）再次强调 4 的公倍数就是妈妈的休息日6 的公倍数就是爸爸的休息日4 和6的公倍数就是爸爸和妈妈的共同休息日4）最近是哪一天？ 1212也是这公倍数中最小的一个，叫做最小公倍数。
最小公倍数和最大公因数的关系证明
最小公倍数和最大公因数的关系证明下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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最小公倍数和最大公因数的意思
最小公倍数和最大公因数的意思《最小公倍数和最大公因数的意思》一、最小公倍数的意思几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。
比如说，2的倍数有2、4、6、8、10、12 (3)的倍数有3、6、9、12、15……那么6、12等就是2和3的公倍数，其中6是最小的，所以6就是2和3的最小公倍数。
从实际生活中来看，最小公倍数就像是一个循环周期的最小重复单元。
想象一下学校的课间铃声，有一个铃声每4分钟响一次，另一个铃声每6分钟响一次，那这两个铃声同时响起的周期就是12分钟，这个12分钟就是4和6的最小公倍数。
它就像是不同节奏的音乐要找到一个共同合拍的最小间隔时间。
二、最大公因数的意思几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个公因数，叫做这几个数的最大公因数。
例如，12的因数有1、2、3、4、6、12，18的因数有1、2、3、6、9、18，1、2、3、6是12和18的公因数，其中6是最大的，所以6就是12和18的最大公因数。
可以把最大公因数类比成是把一些东西分组时，每组数量最多能达到的相同数量。
假设我们有12个苹果和18个橘子，要把它们分成若干组，每组里面苹果和橘子的数量要一样多，那最多每组能有6个（苹果和橘子），这个6就是12和18的最大公因数。
三、可衍生注释1. 对于最小公倍数，如果是两个互质数（公因数只有1的两个数），它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。
例如3和5是互质数，它们的最小公倍数就是3×5 = 15。
2. 对于最大公因数，可以用辗转相除法来求较大数之间的最大公因数。
例如求24和36的最大公因数，用36除以24得1余12，再用24除以12得2余0，所以12就是24和36的最大公因数。
四、赏析最小公倍数和最大公因数在数学的世界里就像是一对相辅相成的概念。
最小公倍数关注的是多个数倍数中的最小重合部分，它体现的是一种整合、一种共同周期的最小单元。
最大公因数与最小公倍数的实际应用
最⼤公因数与最⼩公倍数的实际应⽤最⼤公因数和最⼩公倍数基础知识与实际应⽤相关基础知识⼏个数公有的因数叫做这⼏个数的公因数，其中最⼤的⼀个叫做这⼏个数的最⼤公因数。
⼏个数公有的倍数叫做这⼏个数的公倍数，其中最⼩的⼀个叫做这⼏个数的最⼩公倍数。
最⼤公因数和最⼩公倍数的性质（1）两个数分别除以它们的最⼤公因数，所得的商⼀定是互质数。
（2）两个数的最⼤公因数的因数，都是这两个数的公因数，（3）两个⾃然数的最⼤公因数与最⼩公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
两个⾃然数的最⼤公因数与最⼩公倍数关系是：（a，b）×[a，b]=a×b。
6是12和18的最⼤公因数，记作（12，18）=6。
36是12和18的最⼩公倍数，记作[12，18]=36。
这样，求两个数的最⼩公倍数的问题，即可转化成先求两个数的最⼤公因数，再⽤最⼤公因数除两个数的积，其结果就是这两个数的最⼩公倍数。
两个数A，B，①如果A是B的倍数，那么最⼤公因数就是B，最⼩公倍数是A；②如果AB互质，那么最⼤公因数就是1，最⼩公倍数是A*B；欧⼏⾥得⽤辗转相除法求两个数的最⼤公因数。
如果（a,b）来表⽰a和b的最⼤公因数。
有定理：已知a,b,c为正整数，若a除以b余c，则（a,b）=(b,c)。
辗转相除法（欧⼏⾥得算法）定义：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，⽤较⼤的数除以较⼩的数。
若余数不为零，则将余数和较⼩的数构成新的⼀对数，继续上⾯的除法，直到⼤数被⼩数除尽，则这时较⼩的数就是原来两个数的最⼤公因数。
步骤：S1，⽤⼤数除以⼩数S2，除数变成被除数，余数变成除数S3，重复S1，直到余数为0 时，较⼩的数就是原来两个数的最⼤公因数。
例1：求15750 与27216的最⼤公因数。
解：∵27216=15750×1+11466 ∴（15750，27216）=（15750，11466）∵15750=11466×1+4284 ∴（15750，11466）=(11466,4284)∵11466=4284×2+2898 ∴(11466,4284)=（4284，2898）∵4284=2898×1+1386 ∴（4284，2898）=（2898，1386）∵2898=1386×2+126 ∴（2898，1386）=（1386，126）∵1386=126×11∴（1386，126）=126所以（15750，27216）=126例2.求（1397，2413）2413=1397*1+1016，1397=1016*1+381，1016=381*2+254，381=254*1+127，254=127*2+0，所以（1397，2413）=127。
公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数
公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数在数学中，我们常常需要求出多个数的公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数。
掌握这些概念和求法是非常重要的。
最大公因数是几个数公有的因数中最大的那个，可以用列举法、观察法和短除法等方法求得。
例如，求8和6的最大公因数，我们可以先列出它们的因数，然后找出它们的公因数，最后找出它们的最大公因数，即2.观察法可以应用于特殊情况，例如两个数具有倍数关系时，它们的最大公因数就是其中较小的数；两个数是互质数时，它们的最大公因数就是1.如果两个数不是倍数和互质关系，我们可以用小数缩小法，即把较小的数缩小，每次缩小后看得到的商是不是另一个数的因数，直到所得的商是另一个数的因数为止。
短除法是一般情况下求最大公因数的常用方法。
我们可以用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止。
然后把最后所有的除数连乘，就得到了二个数最大公因数。
除了最大公因数，我们还需要掌握最小公倍数的求法。
最小公倍数是几个数公有的倍数中最小的那个，可以用列举法、分解质因数法和公式法等方法求得。
例如，求6和8的最小公倍数，我们可以先列出它们的倍数，然后找出它们的公倍数，最后找出它们的最小公倍数，即24.最后，我们需要学会如何解有关最大公因数和最小公倍数的应用题，例如求某些数的最大公因数或最小公倍数，或者求某些数的倍数关系等。
通过练，我们可以更好地掌握这些知识点，并在实际问题中灵活运用。
12和24的最大公因数是4，可以表示为（12，24）=4.互质数是指公因数只有1的两个数，例如1和任何自然数都是互质数，相邻两个自然数如2和3、8和9也是互质数。
两个质数一定是互质数，而两个合数可能是互质数，例如8和9、25和49.2和所有奇数都是互质数，质数与比它小的合数也是互质数。
需要注意的是，质数是对一个数来说，而互质数是对两个数的关系来说的。
在练中，需要判断每组数是不是互质关系或倍数关系，并求出它们的最大公因数。
公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数
公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数1、掌握最大公因数和最小公倍数的求法；2、会解有关最大公因数和最小公倍数的应用题；【知识点1】最大公因数几个数公有的因数叫这些数的公因数。
其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
【知识点2】最大公因数求法1、列举法先找出两个数的（因数），再找出两个数的（公因数），最后找出二个数的（最大公因数）找8和6的最大公因数8的因数有1、2、4、86的因数有1、2、3、68和6的最大因数数是2。
2、观察法(特殊情况)1）两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数就是其中较小的数。
2）两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最大公因数就是1。
3）两个数不是倍数和互质关系，用小数缩小法案件分解：两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数是其中较小的数。
8和16的最大公因数（ 8 ） 4和8的最大公因数（ 4 ）9和3的最大公因数（ 3 ） 28和7的最大公因数（ 7 ）两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最大公因数就是1。
相邻两个自然数(0除外)2和3的最大公因数是（ 1 ） 8和9的最大公因数是（ 1 ） 99和98的最大公因数是（ 1 ）两个不同的质数5和7的最大公因数是（ 1 ） 17和29的最大公因数是（ 1 ） 11和19的最大公因数是（ 1 ）两个互质的合数4和9的最大公因数是（ 1 ） 20和49的最大公因数（ 1 ） 25和69的最大公因数是（ 1 ）两个数不是倍数和互质关系，用小数缩小法把较小的数缩小（除以2、3、4……）每次缩小后看得到的商是不是另一个数的因数，直到所得的商是另一个数的因数为止。
18和48的最大公因数先用小数 18÷2=9，9不是48的因数，18÷3=6，6是48的因数，那么18和48的最大公因数6。
16和36的最大公因数16÷2=8，8不是36的因数，16÷4=4，4是36的因数，那么16和36的最大公因数4。
最大公因数和最小公倍数
第三讲最大公因数和最小公倍数一．基本概念和知识1．公因数和最大公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
2．公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
3．互质数如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数叫做互质数。
二．例题例1：用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？分析∵要求的数去除30、60、75都能整除，∴要求的数是30、60、75的公因数。
又∵要求符合条件的最大的数，∴就是求30、60、75的最大公因数。
解：（30，60，75）＝15所以，这个数最大是15。
例2：一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？分析由题意可知，要求求的数是3、4、5的公倍数，且是最小公倍数。
解：∵ [3，4，5] ＝60，∴用3、4、5除都能整除的最小的数是60。
例3：有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。
现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？分析∵要截成相等的小段，且无剩余，∴每段长度必是120、180、300的公因数；又∵每段要尽可能长，∴要求的每段长度就是120、180、300的最大公因数。
解：∵（120，180，300）＝60，∴每小段最长60厘米。
120÷60＋180÷60＋300÷60=2＋3＋5＝10（段）答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。
例4：加工某种机器零件，要经过三道工序。
第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个。
要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？分析要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是3、10和5的公倍数。
要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍数。
解：∵[3，10，5]＝30∴各道工序均应加工30个零件。
(完整版)最小公倍数和最大公因数的应用题归纳
最小公倍数与最大公因数典型的应用题汇总一、解题技巧：最大公因数解题技巧：通常从问题入手，所求的数量处于小数（即处于除数、商、因数）的地位时，因为小数（即处于除数、商、因数）是大数（即处于被除数、被除数、积）的因数，此时，所求的数量就处于因数的地位。
如果出现相同的（公有的）/最长的所求数量，即求他们的公因数/最大公因数的应用题。
最小公倍数解题技巧：通常从问题入手，所求的数量处于大数（即处于被除数、被除数、积）的地位时，因为大数（即处于被除数、被除数、积）是小数（即处于除数、商、因数）的倍数，此时，所求的数量应处于倍数的地位。
如果出现相同的（公有的）/最小的所求数量，即求他们的公倍数/最小公倍数的应用题。
补充部分公式小长方形个数=（大正方形边长÷小长方形长）×（大正方形边长÷小长方形的宽）小正方形个数=（大长方形的长÷小正方形边长）×（大长方形的宽÷小正方形边长）小长方体个数=（大正方体边长÷小长方体长）×（大正方体边长÷小长方体的宽）×（大正方体边长÷小长方体高）小正方体个数=（大长方体边长÷小正方体边长）×（大长方体的宽÷小正方体边长）×（大长方体的高÷小正方体边长）剩余定理余数相同时，总数（被除数）=最小公倍数＋余数缺数相同时，总数（被除数）=最小公倍数－缺数植树问题公式不封闭型：2、只有一端都栽1、两端都栽间隔个数=株数间隔个数=株数－1株数=间隔个数＋1 株数=间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数3、两端都不栽间隔个数=株数＋1株数=间隔个数－1封闭型：间隔个数=株数株数=间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数封闭型再正方形边上栽，并且4个顶点都栽：株数=（每边株数－1）×4备注：上下多少层楼以及锯段数及敲钟问题等实际运用实质上是两端都栽树的植树问题，这类题通常先求一层／一段需要多少时间，再乘以段数即可二、经典题目1、一个大长方形长24厘米，宽18厘米，把它裁成若干个小正方形而没有剩余，如小正方形的边长最长，边长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方形？2、一个长方形的长6厘米，宽4厘米，至少要多少个这样的小长方形才能拼成一个大的正方形？此时，大的正方形的边长是多少厘米？3、一个大长方体长24厘米，宽18厘米，高12厘米，把它裁成若干个小正方体而没有剩余，如小正方体的边长最长，正方体的棱长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方体？4、一个长方体的长6厘米，宽4厘米，高2厘米。
求最大公因数和最小公倍数的方法
一、教材分析苏教版小学数学第十册中第22页—31页第三单元公倍和公因数数的教学，从教材分析，这章内容特别重要。
准确迅速的找出它们的最大公因数与最小公倍数，是分数通分、约分必不可少的基础，而分数的通分、约分是进行分数加、减、乘、除四则运算的关键。
对于求最大公因数与最小公倍数能否熟练掌握，直接决定了分数四则运算的准确率，因此求两个数的最大公因数与最小公倍数的学习之重要。
而求两个数的最大公因数与最小公倍数的学习又牵涉到很多的概念。
而且概念间内在联系紧密，可以说是环环相扣，有一个环节学习不好也都会直接影响到下后面的学习，所以最大公因数与最小公倍数的学习是小学生很难掌握的内容，又是至关重要的。
它的概念多，环环相扣主要表现在：在学习最大公因数与最小公倍数时，学生要先掌握因数和倍数的概念，而要掌握因数与倍数的概念还要先掌握整除的概念，而整除这里又需要同学们能够掌握能被2、3、5整除的特征；除此之外，在求地大公因数与最小公倍数时，还讲到了两种特殊的关系，其中互质关系的两个数的最小公倍数是它们的乘积，最大公因数是1，而要正确是判断出两个数是不是互质关系，又要掌握质数与合数的概念；这里有需要同学们记住100以内的质数，这是有一定的难度的。
只有这些都能够熟练地掌握，学习起来最大公因数与最小公倍数才会感觉到轻松自如。
所以这单元应该多用一到两课时。
我在上这单元时，我是这么教学的：二、教学思路（一）用一课时复习相关的概念整除：整数A除以整数B，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说A能被B整除。
如15÷3=5，15、3、5都是整数而没有余数，我们就说15能被3整除。
在此基础上再来复习倍数与因数的概念：如果A能被B整除，我们就说A是B的倍数，B是A的因数。
在这里还要强调说明一点，倍数和因数是相互依存的，不能独立存在；我们只能说谁是谁的倍数或谁是谁的因数，不能单独说谁是倍数或谁是因数。
如：15÷3=5正好能够整除，我们就可以说15是3的倍数，也可以说3是15的因数。
用短除法求最小公倍数和最大公因数课件
举例说明
对于整数24和36，它们的最大公因数 是12，因为12是24和36都能被整除的 最大的正整数。
使用短除法求最大公因数的步骤
在此添加您的文本17字
写出两个数的商和余数，不断重复这个过程，直到余数变 为0。
在此添加您的文本16字
24 ÷ 36 = 2……12
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最后一个非零余数就是这两个数的最大公因数。
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36 ÷ 12 = 3……0
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例如，求24和36的最大公因数
在此添加您的文本16字
因此，24和36的最大公因数是12。
最大公因数的性质和特点
互质关系
两个数如果只有1是它们的公因数， 那么这两个数互质，它们的最大公因 数是1。
性质
短除法具有唯一性，即对于任意两个整数，其最大公因数和最小公倍数是唯一 的。
短除法的应用场景
数学教育
在中小学的数学教育中，短除法 是求最大公因数和最小公倍数的 基本方法之一，有助于培养学生 的逻辑思维和运算能力。
编程计算
在编程中，短除法可以用于实现 整数的最大公因数和最小公倍数 的计算，提高算法的效率和准确 性。
短除法的实际应用
在日常生活中的应用
日常生活中的时间计算
短除法可以用于计算两个或多个数字的最小公倍数和最大公因数，帮助我们更好地理解和安排时间。 例如，计算两个日期之间的天数差，或者安排多人共同参与的活动时间。
日常生活中的分数计算
短除法可以用于计算两个分数的最小公倍数和最大公因数，帮助我们更好地理解和处理分数。例如， 在烹饪中计算食材的比例，或者在财务中计算利息和本金。
公因数和公倍数知识点
公因数和公倍数【知识点回顾】1、公因数（1）互素数：公因数只有1的两个自然数叫做互素数。
（2）简分数：分子、分母是互素数的分数叫做简分数。
（3）求最大公因数的方法：分解素因数法和短除法。
2、公倍数求最小公倍数的方法：分解素因数和短除法，即用最大公因数×各自独有的因数。
3、求两个数的最大公因数和最小公倍数，有3种基本情况，区别如下：4、求最大公因数和最小公倍数的方法：一、特殊情况：（1）倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
（如；6和12的最大公因数是6，最小公倍数是12。
）（2）互质关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。
（如，5和7的最大公因数时1，最小公倍数是5×7=35）二、一般情况：（1）求最大公因数：列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。
①列举法：如，求18和27的最大公因数先找出两个数的所有因数18的因数有：1、2、3、6、9、1827的因数有：1、3、9、27再找出两个数的公因数：18的因数有：1、2、3、6、9、1827的因数有：1、3、9、271、3、9最后找出最大公因数：9②单列举法：如，求18和27的最大公因数先找出其中一个数的因数：18的因数有：1、2、3、6、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数最后找出最大公因数：9③短除法：3 18 273 6 92 3除到商是互质数为止，最后把所有的除数相乘3×3=9④除法算式法：用这两个数同时除以公因数，除到最大公因数为止。
18÷9就是18和27的最大公因数27（2）求最小公倍数：列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法。
①列举法：如，求18和12的最小公倍数先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数：18的倍数：18、36、54、7212的倍数：12、24、36、48 再找出两个数的最小公倍数：18的倍数：18、36、54、7212的倍数：12、24、36、48②单列举法：如，求18和12的最小公倍数先找出一个数的倍数：18的倍数有：18、36、54、72再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数，找出最小公倍数：36 ③大数翻倍法：如，求18和12的最小公倍数把较大的数翻倍（2倍开始），每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。
最小公倍数和最大公因数
“最小公倍数和最大公因数”的教学之我见摘要：教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。
新课程标准要求在引导学生经历知识的形成过程中，着力改善学生的学习方式。
引导学生通过具体的操作和交流活动，感知和理解两个数的公倍数、公因数的含义。
该内容是在学生已经学习了“因数和倍数的意义”、“公因数和最大公因数”等的基础上实行教学的，既是对前面知识的综合使用，又是学生学习“通分”所必不可少的知识基础，对于学生的后续学习和发展，具有举足轻重的作用。
一、小学数学教学必须借助操作活动，重视方法和策略的渗透。
我在以往教学公因数的概念时，往往是直接找出两个自然数的因数，然后让学生发现有的因数是两个数公有的，从而揭示公因数和最大公因数的概念。
而本单元教材注意以直观的操作活动，让学生经历公因数和最大公因数概念的形成过程。
这样安排有两点好处：一是学生通过操作活动，能体会公倍数和公因数的实际背景，加深对抽象概念的理解；二是有利于改善学习方式，便于学生通过操作和交流经历学习过程。
课程标准只要求在1～100的自然数中，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数，而不是用分解质因数的方法求出公倍数或公因数。
我认为：不教学用分解质因数的方法求最小公倍数和最大公因数还有两个原因：一是通过列举出两个数的倍数或因数的方法，找出公倍数或公因数。
突出对公倍数和公因数意义的理解；二是学生对用短除的形式求最大公因数和最小公倍数的算理理解有困难，减轻学生的学习负担。
所以在教学找公倍数或公因数时，应提倡思考方法多样化。
教师在课堂中应时时注意方法和策略的渗透，较好地利用好教材。
二、小学数学教学必须理解教材的编排意图，创造性地使用教材。
教材向学生提供了圈数的活动，从中引出公倍数与最小公倍数的概念。
在这个活动中，学生不但知道公倍数与最小公倍数，而且又让学生懂得枚举的方法。
公倍数和最小公倍数是比较抽象的数学概念，学生要真正理解这些概念仍较为困难，但五年级学生的生活经验和知识背景已经很丰富，而且他们的思维活跃，喜欢挑战自己，对于新知识总喜欢自己探索，并且喜欢寻找与他人不同的看法。
数学教育的最大公因数和最小公倍数
数学教育的最大公因数和最小公倍数
为了让大家明白数学里的最大公因数和最小公倍数概念，我先用下面一个图片给大家科普一下。
左侧这个是求12和18的最大公约数，右侧这个是求12，30，50的最小公倍数，有了这个图片解释，我就不用再详细解读了，只就要点说明一下。
看不懂，你就多看几遍，对于只有小学数学知识就可以明白的东西，为了明白教育的最大公因数和最小公倍数，费这点心应该是最小的应该。
我的解读是:
最大公因数:两个事物中，最大的共同点。
最小公倍数:两个事物中，融合了所有不同点和共同点，但是，共同点只被融合一次，不叠加。
很显然，高一要学的集合，其中最重要的交集和并集，本质上，就是最大公因数和最小公倍数。
只不过，更加抽象和具象化了。
下面谈谈数学教育里的最大公因数:
先说说解题过程中的最大公因数。
要得到解题的最大公因数，最好的方式，是把同类型题放一起。
所谓同类型题，就是条件或者结论类似。
条件类似，思考和解题过程是完全可以类比进行的。
结论类似，虽然解题过程不一定能够类比，但是，思考过程，却是可以类比的。
条件类似的题目，其最大公约数，就是条件了。
如果我们学会了分析条件，并且学会了分析条件的一般规律，那这种题目就会迎刃而解了。
结论类似的题目，其最大公约数，就是寻找其得到结论的需要。
最小公倍数和最大公因数的应用
把一张长60厘米、宽45厘米的长方形纸 片剪成同样大小的正方形，没有剩余， 正方形要尽可能大。剪成的正方形的边 长是多少厘米？可以剪成这样的正方形 多少个？ 想：求60和45的最大公因数
3
60 5 20 4 45 15 3 3×5=15 60÷15=4（个） 45÷15=3（个） 3×4=12（个）
5、五1班上体育课，站成长方形队伍，排成3行、5行、6行都少1人，上体育课 的至少有多少人？ 〖3、5、6〗=30 30－1=29（人）
观察3、5、6有何关系？再想想还可以怎样算最小公倍数？
6、暑假期间，贝贝和明明去敬老院照顾老人。7月7日她们都去了敬老院，
并约定以后贝贝每隔2天去一次，明明每隔3天去一次。 （1）两人下一次在敬老院相遇是几月几日？ 〖2、3〗=6 7＋6=13 答：两人下一次在敬老院相遇是7月13日。
10、12和15的最小公倍数是： 2×5×3×1×2×1=60 60 + 4 = 64（本）
答：这批作业本至少有64本。
• 把一张长36厘米、宽24厘米的长方形纸片 剪成同样大小的正方形，没有剩余，正方 形要尽可能大。剪成的正方形的边长是多 少厘米？可以剪成这样的正方形多少个？ • 有两根长度分别是18米和24米的小棒，现 在要把它们锯成一样长的小段且都没有剩 余，每段最长多少米，一共可以锯成多少 段？
……
一条72米长的路，原来从一端起，每 隔9米有一盏路灯。现在要重新安装，要 从一端起每隔6米装一盏。为节省成本， 有些位置的路灯是不需要重新安装的。 哪些位置是不需要重新安装的？
9米 18米
36米
54米
72米
6米 12米 18米
求72以内6和9的公倍数
求72以内6的倍数：6、12、18 、24、30、36 、42、48、54 54、60、66、72 72 求72以内9的倍数：9、18 、27、36 、45、54 、63、72
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第28讲最大公因数和最小公倍数
例1、一个房间长450厘米，宽330厘米。
现在计划用方砖铺地。
问需要边长最大为多少厘米的方砖多少块（整块）才正好将房间的地面铺满？
例2、两个自然数的最小公倍数是180，最大公因数是12，并且小数不能整除大数，求这两个数各是多少。
例3、 A、B两数只含有质因数3和5，它们的最大公因数是75。
已知A有12个因数，B有10个因数，那么，A、B两数的和是多少？
例4、加工一种零件有三道工序，每一道工序每个工人每小时可完成48个零件，第二道工序每个工人每小时可完成32个，第三道工序每个工人每小时可完成28个。
在每道工序至少要安排多少工人，才能搭配合适，使每道工序不产生积压或停工等料？
例5、动物园里的饲养员给三群猴子分花生。
如果只分给第一群猴子，则每只猴子可分得12粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可分得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可分得20粒。
那么，把花生同时分给这三群猴子，平均每只猴子可分得花生多少粒？
思考与练习
1、用96朵红花和72朵白花扎成花束，如果每束花里的红花的朵数相等，
白花的朵数也相等，每个花束里至少有几朵花？
2、已知A、B两数的最大公因数是12，最小公倍数是72，A=36，B=?
3、两个自然数的和是52，它们的最大公因数是4，最小公倍数是144。
求这
两个数各是多少。
4、有一种自然数，它们加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4
的倍数，加上是4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数。
这种自然数除1外，最小的数是多少？
5、现有语文课本42本，数学课本112本，外语课本70本，平均分成若干
堆，每堆中这三种课本的数量分别相等。
最多可以分成多少堆？
6、大雪后的一天，亭亭和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形
花圃的周长。
亭亭每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。
问：这个花圃的周长是多少米？
7、甲、乙、丙三个同学绕环形跑道跑步，甲跑完一圈要1分钟，乙跑完一
圈要1分30秒，丙跑完一圈要1分15秒。
现在三人同时同地出发，几分钟后，三人又在出发地相会？这时他们各跑了多少圈？
8、在中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：今有物不知其数，
三三数剩二，五五数剩三，七七数剩二，问物几何？意思是：有一堆物品，三个三个地数剩下两个，五个五个地数剩下三个，七个七个地数剩下二个，求这堆物品的个数（只要求出最小值）。