关于圆的易错题(超经典)
圆的易错题汇编及答案
形纸帽的表面 1 2 60 12 720 (cm2 ) .
2
13
13
故选: C .
【点睛】 本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点 的半径,构造定理图,得出垂直关系.也考查了圆锥的计算.
5.如图,圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上.已知铁片的圆心为 O, 三角尺的直角顶点 C 落在直尺的 10cm 处,铁片与直尺的唯一公共点 A 落在直尺的 14cm 处,铁片与三角尺的唯一公共点为 B,下列说法错误的是( )
圆的易错题汇编及答案
一、选择题
1.如图,以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O 交 BC 于点 D,连接 AD,若∠DAC=30°, DC=1,则⊙O 的半径为( )
A.2
B. 3
C.2﹣ 3
D.1
【答案】B 【解析】
【分析】 先由圆周角定理知∠BDA=∠ADC=90°,结合∠DAC=30°,DC=1 得 AC=2DC=2,∠C=60°,再
∴由圆周角定理得:∠BAD= 1 ∠DOB=20°, 2
故选:A. 【点睛】 本题考查了圆和三角形的问题,掌握三角形内角和定理、等边对等角、圆周角定理是解题 的关键.
11.如图,在⊙O 中,OC⊥AB,∠ADC=26°,则∠COB 的度数是( )
A.52°
B.64°
C.48°
D.42°
【答案】A
【解析】
∴∠C=90°﹣48°=42°,
故选:B.
【点睛】
考查了切线的性质,圆周角定理,三角形内角和定理,解此题的关键是求出∠AOC 的度
数,题目比较好,难度适中.
15.如图, ABC 是 O 的内接三角形,且 AB AC , ABC 56, O 的直径 CD 交 AB 于点 E ,则 AED的度数为( )
圆—易错题
圆---易错题
1、一个长方形和一个圆形的面积相等,圆的直径是16厘米,长方形的长是16厘米,长方形的宽是多少厘米?
2、把一个长8厘米,宽6厘米的长方形硬纸板剪成一个最大的圆形,需要剪掉多少平方厘米?
3、求下面图中阴影图形的面积。
圆环的内圆半径是1
4、一根绳子长31.4米,用它围成的正方形的面积大,还
是用它围成的圆的面积大?大多少?
5、一环形铁片,内圆的半径是10厘米,外圆的半径是14厘米,这个环形铁片的面积是多少平方厘米?
6、
某卡车车轮的直径是1米,这辆卡车行驶到1千米时,车轮大约转了多少圈?(结果保留整数)
7、一个跑马场的围墙是圆形的,淘气沿着围墙走了一圈,一共是628步,淘气每步长约是0.5米。
这个跑马场的占地面积约是多少平方米?
8、在一个边长是20厘米的正方形中画一个最大的圆,这个圆的面积是多少? 9、学校运动场如下图,求(1)这个运动场的内圈的周长和面积。
(2)外圈的周长。
10、汽车车轮的半径为0.4米,它滚动一圈前进多少米?滚动2000圈前进多少米?
11、一个猪圈,一面靠墙,另一面用篱笆围成了一个半圆形,这个半圆的直径是8米,篱笆长是多少米?
12、两只蚂蚁分别沿着边长是2厘米的正方形和直径是2厘米的圆形走一圈,谁走的路线长?为什么?
13、一个半圆形苗圃的半径是4米,它的周长是多少米?
14在一块边长6分米的正方形纸片上见一个最大的圆,这个圆的周长是多少? 15、小明家沿着他家的外墙用篱笆围成了一个半圆形的猪
16求下面图形的周长。
50米
内圈半径10。
新人教版六年级上册圆的易错题
新人教版六年级上册圆的易错题第四单元《圆》易错题集:1、将圆平均分成小扇形,拼成长方形,长为6.28dm。
求圆的周长和面积。
变式:(1)将周长为9.42dm的圆平均分成小扇形,拼成长方形,长为_______,宽为_______。
(2)将半径为2cm的圆平均分成小扇形,拼成长方形,长为_______。
(3)将圆平均分成小扇形,拼成长方形,长为9.42dm,则宽为_______。
(4)将圆平均分成小扇形,拼成周长为16.56cm的长方形,求圆的面积。
2、在长8dm,宽4dm的长方形内画最大的圆,求圆的周长和面积。
3、同圆或等圆中,圆的周长是直径的2倍,是半径的π倍。
4、两个圆的半径之比为9:4,面积之比为81:16,周长之比为3:2.5、将圆的直径增加3厘米,周长增加3π厘米。
6、一个半圆的周长为πr+2r,面积为πr²/2.变式:(1)求右图半圆的周长,正确的列式是3.14×8/2+8.(2)圆的周长为6.28dm,半圆的周长为3.14×8/2=12.56cm。
7、大圆的半径等于小圆的直径,XXX的面积与大圆的面积的比为1:4.8、分针长8cm,从3:10到3:55走了45/60×2π×8=6πcm,从5:30到7:30走了2π×8=16πcm。
9、圆的对称轴是直径。
10、在圆内画最大的正方形,对角线长为圆的直径,面积为50cm²,圆的面积为25πcm²。
变式:对角线长为12.56cm,正方形面积为_______。
11、圆的周长为6.28米,面积为3.14平方米。
12、将圆分割成两个相等的半圆,它们的周长增加了8cm,圆的面积为16π平方厘米。
13、一个圆环,外圆半径为5cm,内圆半径为3cm,面积为16π平方厘米。
14、一个直径为7米的圆形花坛周围有一条宽为1米的环形鹅卵石小路,求小路的面积。
解析:首先求出花坛的半径,即3.5米。
(易错题精选)初中数学圆的分类汇编含答案解析
(易错题精选)初中数学圆的分类汇编含答案解析一、选择题1.如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC=4,BD为⊙O的直径,则BD等于()A.4 B.6 C.8 D.12【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和定理求得∠C=∠ABC=30°,再根据圆周角定理及直角三角形的性质即可求得BD的长.【详解】∵∠BAC=120°,AB=AC=4,∴∠C=∠ABC=30°∴∠D=30°∵BD是直径∴∠BAD=90°∴BD=2AB=8.故选C.2.如图,在平行四边形ABCD中,BD⊥AD,以BD为直径作圆,交于AB于E,交CD于F,若BD=12,AD:AB=1:2,则图中阴影部分的面积为()A.3B.36ππC.312πD.48336ππ【答案】C【解析】【分析】易得AD长,利用相应的三角函数可求得∠ABD的度数,进而求得∠EOD的度数,那么一个阴影部分的面积=S△ABD-S扇形DOE-S△BOE,算出后乘2即可.【详解】连接OE,OF.∵BD=12,AD :AB=1:2,∴AD=43 ,AB=83,∠ABD=30°,∴S △ABD =×43×12=243,S 扇形=603616,633933602OEB S ππ⨯==⨯⨯=V ∵两个阴影的面积相等,∴阴影面积=()224369330312ππ⨯--=- .故选:C【点睛】本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积.3.将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放,A 为60°角与直尺的交点,B 为光盘与直尺的交点,AB =4,则光盘表示的圆的直径是( )A .4B .83C .6D .43【答案】B【解析】【分析】 设三角板与圆的切点为C ,连接OA 、OB ,根据切线长定理可得AB=AC=3,∠OAB=60°,然后根据三角函数,即可得出答案.【详解】设三角板与圆的切点为C ,连接OA 、OB ,由切线长定理知,AB =AC =3,AO 平分∠BAC ,∴∠OAB =60°,在Rt △ABO 中,OB =AB tan ∠OAB 3∴光盘的直径为3故选:B .【点睛】本题主要考查了切线的性质,解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.4.如图,点I 为△ABC 的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB 平移使其顶点与I 重合,则图中阴影部分的周长为( )A .4.5B .4C .3D .2【答案】B【解析】 【分析】连接AI 、BI ,因为三角形的内心是角平分线的交点,所以AI 是∠CAB 的平分线,由平行的性质和等角对等边可得:AD=DI ,同理BE=EI ,所以图中阴影部分的周长就是边AB 的长.【详解】连接AI 、BI ,∵点I 为△ABC 的内心,∴AI 平分∠CAB ,∴∠CAI=∠BAI ,由平移得:AC ∥DI ,∴∠CAI=∠AID ,∴∠BAI=∠AID ,∴AD=DI ,同理可得:BE=EI ,∴△DIE 的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4,即图中阴影部分的周长为4,故选B .【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识,熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键.5.如图,AB 是O e 的直径,C 是O e 上一点(A 、B 除外),132AOD ∠=︒,则C ∠的度数是( )A .68︒B .48︒C .34︒D .24︒【答案】D【解析】【分析】 根据平角得出BOD ∠的度数,进而利用圆周角定理得出C ∠的度数即可.【详解】解:132AOD ∠=︒Q ,48BOD ∴∠=︒,24C ∴∠=︒,故选:D .【点睛】本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的度数的一半是解答此题的关键.6.如图,弧 AB 等于弧CD ,OE AB ⊥于点E ,OF CD ⊥于点F ,下列结论中错误..的是( )A .OE=OFB .AB=CDC .∠AOB =∠COD D .OE >OF【答案】D【解析】【分析】 根据圆心角、弧、弦的关系可得B 、C 正确,根据垂径定理和勾股定理可得A 正确,D 错误.【详解】解:∵»»AB CD =,∴AB =CD ,∠AOB =∠COD ,∵OE AB ⊥,OF CD ⊥,∴BE =12AB ,DF =12CD , ∴BE =DF ,又∵OB=OD,∴由勾股定理可知OE=OF,即A、B、C正确,D错误,故选:D.【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,垂径定理,勾股定理,熟练掌握基本性质定理是解题的关键.7.已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB=8cm,且AB⊥CD,垂足为M,则AC的长为()A.25cm B.45 cm C.25cm或45cm D.23cm或43cm【答案】C【解析】连接AC,AO,∵O的直径CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm,∴AM=12AB=12×8=4cm,OD=OC=5cm,当C点位置如图1所示时,∵OA=5cm,AM=4cm,CD⊥AB,∴222254OA AM-=-=3cm,∴CM=OC+OM=5+3=8cm,∴22224845AM CM+=+=;当C点位置如图2所示时,同理可得OM=3cm,∵OC=5cm,∴MC=5−3=2cm,在Rt△AMC中22224225AM CM+=+=cm.故选C.8.如图,7×5的网格中的小正方形的边长都为1,小正方形的顶点叫格点,△ABC的三个顶点都在格点上,过点C作△ABC外接圆的切线,则该切线经过的格点个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】作△ABC的外接圆,作出过点C的切线,两条图象法即可解决问题.【详解】如图⊙O即为所求,观察图象可知,过点C作△ABC外接圆的切线,则该切线经过的格点个数是3个,选:C.【点睛】考查三角形的外接圆与外心,切线的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意.9.木杆AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】解:如右图,连接OP ,由于OP 是Rt △AOB 斜边上的中线,所以OP=12AB ,不管木杆如何滑动,它的长度不变,也就是OP 是一个定值,点P 就在以O 为圆心的圆弧上,那么中点P 下落的路线是一段弧线.故选D .10.如图,点E 为ABC ∆的内心,过点E 作MN BC P 交AB 于点M ,交AC 于点N ,若7AB =,5AC =,6BC =,则MN 的长为( )A .3.5B .4C .5D .5.5【答案】B【解析】【分析】 连接EB 、EC ,如图,利用三角形内心的性质得到∠1=∠2,利用平行线的性质得∠2=∠3,所以∠1=∠3,则BM=ME ,同理可得NC=NE ,接着证明△AMN ∽△ABC ,所以767MN BM -=,则BM=7-76MN①,同理可得CN=5-56MN②,把两式相加得到MN 的方程,然后解方程即可.【详解】连接EB 、EC ,如图,∵点E 为△ABC 的内心,∴EB 平分∠ABC ,EC 平分∠ACB ,∴∠1=∠2,∵MN∥BC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴BM=ME,同理可得NC=NE,∵MN∥BC,∴△AMN∽△ABC,∴MN AMBC AB=,即767MN BM-=,则BM=7-76MN①,同理可得CN=5-56MN②,①+②得MN=12-2MN,∴MN=4.故选:B.【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心,相似三角形的判定与性质,解题关键在于掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.11.一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆,则该圆锥的底面半径是()A.13B.12C.34D.1【答案】B【解析】【分析】根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长,即可求得底面周长,进而即可求得底面的半径长.【详解】圆锥的底面周长是:π;设圆锥的底面半径是r,则2πr=π.解得:r=12.故选B.【点睛】本题考查了圆锥的计算,正确理解理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键,理解圆锥的母线长是扇形的半径,圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.12.如图,将△ABC 绕点C 旋转60°得到△A ′B ′C ′,已知AC=6,BC=4,则线段AB 扫过的图形面积为( )A .32πB .83πC .6πD .以上答案都不对【答案】D【解析】【分析】从图中可以看出,线段AB 扫过的图形面积为一个环形,环形中的大圆半径是AC ,小圆半径是BC ,圆心角是60度,所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积.【详解】阴影面积=()603616103603π⨯-=π. 故选D .【点睛】本题的关键是理解出,线段AB 扫过的图形面积为一个环形.13.已知线段AB 如图,(1)以线段AB 为直径作半圆弧»AB ,点O 为圆心;(2)过半径OA OB 、的中点C D 、分别作CE AB DF AB ⊥⊥、,交»AB 于点E F 、;(3)连接,OE OF .根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是( )A .CE DF =B .»»AE BF =C .60EOF ∠=︒D . =2CE CO【答案】D【解析】【分析】 根据作图可知AC CO OD DB ===,据此对每个选项逐一判断即可.【详解】根据HL 可判定ECO FDO ≅V V ,得CE DF =,A 正确;∵过半径OA OB 、的中点C D 、分别作CE AB DF AB ⊥⊥、,连接AE ,CE 为OA 的中垂线,AE OE =在半圆中,OA OE =∴OA OE AE ==,AEO △为等边三角形,60EOF =o ∠AOE=∠FOD=∠, C 正确;∴圆心角相等,所对应的弧长度也相等,»»AE BF=,B 正确 ∵60,90EOC =o o ∠AOE=∠, ∴=3CE CO ,D 错误【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识点,解题的关键在于证明60o ∠AOE=.14.如图,在菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,1AB =,点P 是这个菱形内部或边上的一点,若以点P ,B ,C 为顶点的三角形是等腰三角形,则P ,D (P ,D 两点不重合)两点间的最短距离为( )A .12B .1C 3D 31【答案】D【解析】【分析】分三种情形讨论①若以边BC 为底.②若以边PC 为底.③若以边PB 为底.分别求出PD 的最小值,即可判断.【详解】解:在菱形ABCD 中,∵∠ABC=60°,AB=1,∴△ABC ,△ACD 都是等边三角形,①若以边BC 为底,则BC 垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意,此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“,即当点P 与点A 重合时,PD 值最小,最小值为1;②若以边PC 为底,∠PBC 为顶角时,以点B 为圆心,BC 长为半径作圆,与BD 相交于一点,则弧AC (除点C 外)上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形,当点P 在BD 上时,PD 最小,最小值为31-③若以边PB 为底,∠PCB 为顶角,以点C 为圆心,BC 为半径作圆,则弧BD 上的点A 与点D 均满足△PBC 为等腰三角形,当点P 与点D 重合时,PD 最小,显然不满足题意,故此种情况不存在;上所述,PD 的最小值为 31-故选D .【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.15.如图,抛物线y =ax 2﹣6ax+5a (a >0)与x 轴交于A 、B 两点,顶点为C 点.以C 点为圆心,半径为2画圆,点P 在⊙C 上,连接OP ,若OP 的最小值为3,则C 点坐标是( )A .522(,22-B .(4,﹣5)C .(3,﹣5)D .(3,﹣4)【答案】D【解析】【分析】首先根据二次函数的解析式求出点A 、B 、C 三点的坐标,再由当点O 、P 、C 三点共线时,OP 取最小值为3,列出关于a 的方程,即可求解.【详解】∵2650y ax ax a a +-=(>) 与x 轴交于A 、B 两点, ∴A (1,0)、B (5,0),∵226534y ax ax a a x a =+=---() , ∴顶点34C a (,-),当点O、P、C三点共线时,OP取最小值为3,∴OC=OP+2=5,∴2+=>,9165(0)a aa=,∴1∴C(3,﹣4),故选:D.【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质,解题的关键是明确圆外一点到圆上的最短距离即该点与圆心的距离减去半径长.16.如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,OC交⊙O于点D,若∠ABD=24°,则∠C 的度数是()A.48°B.42°C.34°D.24°【答案】B【解析】【分析】根据切线的性质求出∠OAC,结合∠C=42°求出∠AOC,根据等腰三角形性质求出∠B=∠BDO,根据三角形外角性质求出即可.【详解】解:∵∠ABD=24°,∴∠AOC=48°,∵AC是⊙O的切线,∴∠OAC=90°,∴∠AOC+∠C=90°,∴∠C=90°﹣48°=42°,故选:B.【点睛】考查了切线的性质,圆周角定理,三角形内角和定理,解此题的关键是求出∠AOC的度数,题目比较好,难度适中.17.如图,已知某圆锥轴截面等腰三角形的底边和高线长均为10cm,则这个圆锥的侧面积为()A.50cm2B.50πcm2C.255cm2D.255πcm2【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线长,求出底面圆周长,根据扇形面积公式计算即可.【详解】解:如图所示,∵等腰三角形的底边和高线长均为10cm,∴等腰三角形的斜边长=22=55,即圆锥的母线长为55cm,圆锥底面圆半105径为5,∴这个圆锥的底面圆周长=2×π×5=10π,即为侧面展开扇形的弧长,圆锥的侧面积=1×10π×55=255πcm2,2故选:D.【点睛】本题考查了圆锥的计算,解题的关键是弄清楚圆锥的侧面积的计算方法,特别是圆锥的轴截面是等腰三角形,勾股定理的应用,以及圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长.18.若正六边形的半径长为4,则它的边长等于()A.4 B.2 C.23D.43【答案】A【解析】试题分析:正六边形的中心角为360°÷6=60°,那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形,故正六边形的半径等于4,则正六边形的边长是4.故选A.考点:正多边形和圆.19.如图,若干个全等的正五边形排成环状,图中所示的是前3个正五边形,要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A .10B .9C .8D .7【答案】D【解析】 分析:先根据多边形的内角和公式(n ﹣2)•180°求出正五边形的每一个内角的度数,再延长五边形的两边相交于一点,并根据四边形的内角和求出这个角的度数,然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数,然后减去3即可得解.详解:∵五边形的内角和为(5﹣2)•180°=540°,∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°,如图,延长正五边形的两边相交于点O ,则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°,360°÷36°=10.∵已经有3个五边形,∴10﹣3=7,即完成这一圆环还需7个五边形.故选D .点睛:本题考查了多边形的内角和公式,延长正五边形的两边相交于一点,并求出这个角的度数是解题的关键,注意需要减去已有的3个正五边形.20.如图,ABC ∆是一块绿化带,将阴影部分修建为花圃.已知15AB =,9AC =,12BC =,阴影部分是ABC ∆的内切圆,一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上,则小鸟落在花圃上的概率为( ).A .16 B .6π C .8π D .5π 【答案】B【解析】【分析】由AB=5,BC=4,AC=3,得到AB 2=BC 2+AC 2,根据勾股定理的逆定理得到△ABC 为直角三角形,于是得到△ABC 的内切圆半径=4+3-52=1,求得直角三角形的面积和圆的面积,即可得到结论.【详解】解:∵AB=5,BC=4,AC=3,∴AB 2=BC 2+AC 2,∴△ABC 为直角三角形,∴△ABC 的内切圆半径=4+3-52=1, ∴S △ABC =12AC•BC=12×4×3=6, S 圆=π,∴小鸟落在花圃上的概率=6 , 故选B .【点睛】本题考查几何概率,直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半及勾股定理的逆定理,解题关键是熟练掌握公式.。
(易错题精选)初中数学圆的知识点总复习附答案
(易错题精选)初中数学圆的知识点总复习附答案一、选择题1.下列命题错误的是( )A .平分弦的直径垂直于弦B .三角形一定有外接圆和内切圆C .等弧对等弦D .经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【答案】C【解析】【分析】根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可.【详解】A 、平分弦的直径一定垂直于弦,是真命题;B 、三角形一定有外接圆和内切圆,是真命题;C 、在同圆或等圆中,等弧对等弦,是假命题;D 、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心,是真命题;故选C .【点睛】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念等知识解答,难度不大.2.如图,在ABC ∆中,90ABC ∠=︒,6AB =,点P 是AB 边上的一个动点,以BP 为直径的圆交CP 于点Q ,若线段AQ 长度的最小值是3,则ABC ∆的面积为( )A .18B .27C .36D .54【答案】B【解析】【分析】 如图,取BC 的中点T ,连接AT ,QT .首先证明A ,Q ,T 共线时,△ABC 的面积最大,设QT=TB=x ,利用勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】解:如图,取BC 的中点T ,连接AT ,QT .∵PB是⊙O的直径,∴∠PQB=∠CQB=90°,∴QT=12BC=定值,AT是定值,∵AQ≥AT-TQ,∴当A,Q,T共线时,AQ的值最小,设BT=TQ=x,在Rt△ABT中,则有(3+x)2=x2+62,解得x=92,∴BC=2x=9,∴S△ABC=12•AB•BC=12×6×9=27,故选:B.【点睛】本题考查了圆周角定理,勾股定理,两点之间线段最短等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,则有中考选择题中的压轴题.3.如图,正方形ABCD内接于⊙O,AB=22,则»AB的长是()A.πB.32πC.2πD.12π【答案】A【解析】【分析】连接OA、OB,求出∠AOB=90°,根据勾股定理求出AO,根据弧长公式求出即可.【详解】连接OA、OB,∵正方形ABCD内接于⊙O,∴AB=BC=DC=AD,∴»»»»AB BC CD DA===,∴∠AOB=14×360°=90°,在Rt△AOB中,由勾股定理得:2AO2=(22)2,解得:AO=2,∴»AB的长为902 180π´=π,故选A.【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质,求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键.4.如图,△ABC的外接圆是⊙O,半径AO=5,sinB=25,则线段AC的长为()A.1 B.2 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】首先连接CO并延长交⊙O于点D,连接AD,由CD是⊙O的直径,可得∠CAD=90°,又由⊙O的半径是5,sinB=25,即可求得答案.【详解】解:连接CO并延长交⊙O于点D,连接AD,由CD 是⊙O 的直径,可得∠CAD=90°,∵∠B 和∠D 所对的弧都为弧AC ,∴∠B=∠D ,即sinB=sinD=25, ∵半径AO=5,∴CD=10, ∴2sin 105AC AC D CD ===, ∴AC=4,故选:C.【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等,以及三角函数的内容,注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.5.如图,AC BC ⊥,8AC BC ==,以BC 为直径作半圆,圆心为点O ;以点C 为圆心,BC 为半径作»AB ,过点O 作AC 的平行线交两弧于点D 、E ,则图中阴影部分的面积是( )A .20833π- B .20833π+C .20833π D .20433π 【答案】A【解析】【分析】 如图,连接CE .图中S 阴影=S 扇形BCE −S 扇形BOD −S △OCE .根据已知条件易求得OB =OC =OD =4,BC =CE =8,∠ECB =60°,OE =3,所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可.【详解】解:如图,连接CE .∵AC⊥BC,AC=BC=8,以BC为直径作半圆,圆心为点O;以点C为圆心,BC为半径作弧AB,∴∠ACB=90°,OB=OC=OD=4,BC=CE=8.又∵OE∥AC,∴∠ACB=∠COE=90°.∴在Rt△OEC中,OC=4,CE=8,∴∠CEO=30°,∠ECB=60°,OE=43,∴S阴影=S扇形BCE−S扇形BOD−S△OCE=2260811-4-443 36042ππ⨯⨯⨯⨯=20-83 3π故选:A.【点睛】本题考查了扇形面积的计算.不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算.6.如图,在扇形OAB中,120AOB∠=︒,点P是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合),C、D分别是弦AP,BP的中点.若33CD=,则扇形AOB的面积为()A.12πB.2πC.4πD.24π【答案】A【解析】【分析】如图,作OH⊥AB于H.利用三角形中位线定理求出AB的长,解直角三角形求出OB即可解决问题.解:如图作OH⊥AB于H.∵C、D分别是弦AP、BP的中点.∴CD是△APB的中位线,∴AB=2CD=63,∵OH⊥AB,∴BH=AH=33,∵OA=OB,∠AOB=120°,∴∠AOH=∠BOH=60°,在Rt△AOH中,sin∠AOH=AH AO,∴AO=336 sin3AHAOH==∠,∴扇形AOB的面积为:2120612360ππ=g g,故选:A.【点睛】本题考查扇形面积公式,三角形的中位线定理,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.7.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形.延长AB与DC相交于点G,AO⊥CD,垂足为E,连接BD,∠GBC=50°,则∠DBC的度数为()A.50°B.60°C.80°D.90°【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质得:∠GBC =∠ADC =50°,由垂径定理得:··CMDM =,则∠DBC =2∠EAD =80°.【详解】如图,∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形,∴∠GBC =∠ADC =50°.∵AE ⊥CD ,∴∠AED =90°,∴∠EAD =90°﹣50°=40°,延长AE 交⊙O 于点M .∵AO ⊥CD ,∴··CMDM =,∴∠DBC =2∠EAD =80°. 故选C .【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质:圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角,还考查了垂径定理的应用,属于基础题.8.如图,ABC V 中,90ACB ∠=︒,O 为AB 中点,且4AB =,CD ,AD 分别平分ACB ∠和CAB ∠,交于D 点,则OD 的最小值为( ).A .1B .22C 21D .222【答案】D【解析】【分析】 根据三角形角平分线的交点是三角形的内心,得到DO 最小时,DO 为三角形ABC 内切圆的半径,结合切线长定理得到三角形为等腰直角三角形,从而得到答案.【详解】解:Q CD ,AD 分别平分ACB ∠和CAB ∠,交于D 点,D ∴为ABC ∆的内心,OD ∴最小时,OD 为ABC ∆的内切圆的半径,,DO AB ∴⊥过D 作,,DE AC DF BC ⊥⊥ 垂足分别为,,E F,DE DF DO ∴==∴ 四边形DFCE 为正方形,O Q 为AB 的中点,4,AB =2,AO BO ∴==由切线长定理得:2,2,,AO AE BO BF CE CF r ======sin 4522,AC BC AB ∴==•︒=222,CE AC AE ∴=-=-Q 四边形DFCE 为正方形, ,CE DE ∴=222,OD CE ∴==-故选D .【点睛】本题考查的动态问题中的线段的最小值,三角形的内心的性质,等腰直角三角形的性质,锐角三角函数的计算,掌握相关知识点是解题关键.9.如图,已知AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,且CD ⊥AB ,BC=3,AC=4,则sin ∠ABD 的值是( )A .43B .34C .35D .45【答案】D【解析】【分析】由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC,再根据勾股定理求得AB=5,即可求sin∠ABD 的值.【详解】∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,∴弧AC=弧AD,∴∠ABD=∠ABC.根据勾股定理求得AB=5,∴sin∠ABD=sin∠ABC=45.故选D.【点睛】此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论,熟悉锐角三角函数的概念.10.如图,有一个边长为2cm的正六边形纸片,若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片,则这个圆形纸片的半径是()A3cm B.2cm C.23cm D.4cm【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形,再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数,最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可.【详解】解:如图所示,正六边形的边长为2cm,OG⊥BC,∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠BOC=360°÷6=60°,∵OB=OC,OG⊥BC,∴∠BOG=∠COG=12∠BOC =30°,∵OG⊥BC,OB=OC,BC=2cm,∴BG=12BC=12×2=1cm,∴OB=sin 30BG o =2cm , ∴OG=2222213OB BG -=-=,∴圆形纸片的半径为3cm ,故选:A .【点睛】本题考查的是正多边形和圆,根据题意画出图形,利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键.11.如图,在⊙O 中,OC ⊥AB ,∠ADC =26°,则∠COB 的度数是( )A .52°B .64°C .48°D .42°【答案】A【解析】【分析】由OC ⊥AB ,利用垂径定理可得出,再结合圆周角定理及同弧对应的圆心角等于圆周角的2倍,即可求出∠COB 的度数.【详解】解:∵OC ⊥AB ,∴,∴∠COB =2∠ADC =52°.故选:A .【点睛】考查了圆周角定理、垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系,利用垂径定理找出是解题的关键.12.如图,7×5的网格中的小正方形的边长都为1,小正方形的顶点叫格点,△ABC 的三个顶点都在格点上,过点C 作△ABC 外接圆的切线,则该切线经过的格点个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】作△ABC的外接圆,作出过点C的切线,两条图象法即可解决问题.【详解】如图⊙O即为所求,观察图象可知,过点C作△ABC外接圆的切线,则该切线经过的格点个数是3个,选:C.【点睛】考查三角形的外接圆与外心,切线的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意. 13.如图,圆锥的底面半径为1,母线长为3,则侧面积为()A.2πB.3πC.6πD.8π【答案】B【解析】【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2,把相应数值代入即可求解.【详解】解:圆锥的侧面积为:12×2π×1×3=3π,故选:B.【点睛】此题考查圆锥的计算,解题关键在于掌握运算公式.14.如图,在矩形ABCD 中,6AB =,对角线10AC =,O e 内切于ABC ∆,则图中阴影部分的面积是( )A .24π-B .242π-C .243π-D .244π-【答案】D【解析】【分析】 先根据勾股定理求出BC ,连接OA 、OB 、OC 、过点O 作OH ⊥AB ,OE ⊥BC ,OF ⊥AC ,设O e 的半径为r ,利用面积法求出r=2,再利用三角形ABC 的面积减去圆O 的面积得到阴影的面积.【详解】∵四边形ABCD 是矩形,∴∠B=90°,∵6AB =,10AC =,∴BC=8,连接OA 、OB 、OC 、过点O 作OH ⊥AB ,OE ⊥BC ,OF ⊥AC ,设O e 的半径为r ,∵O e 内切于ABC ∆,∴OH=OE=OF=r , ∵11()22ABC S AB BC AB AC BC r =⋅=++⋅V , ∴1168(6108)22r ⨯⨯=++⋅, 解得r=2,∴O e 的半径为2, ∴2168-2224-4ABC O S S S ππ=-=⨯⨯⨯=V e 阴影, 故选:D .【点睛】此题考查矩形的性质,勾股定理,三角形内切圆的定义,阴影面积的求法,添加合适的辅助线是解题的关键.15.如图,抛物线y =ax 2﹣6ax+5a (a >0)与x 轴交于A 、B 两点,顶点为C 点.以C 点为圆心,半径为2画圆,点P 在⊙C 上,连接OP ,若OP 的最小值为3,则C 点坐标是( )A .522(,22-B .(4,﹣5)C .(3,﹣5)D .(3,﹣4)【答案】D【解析】【分析】首先根据二次函数的解析式求出点A 、B 、C 三点的坐标,再由当点O 、P 、C 三点共线时,OP 取最小值为3,列出关于a 的方程,即可求解.【详解】∵2650y ax ax a a +-=(>) 与x 轴交于A 、B 两点, ∴A (1,0)、B (5,0),∵226534y ax ax a a x a =+=---() , ∴顶点34C a (,-), 当点O 、P 、C 三点共线时,OP 取最小值为3,∴OC =OP+2=5, 29165(0)a a +=> ,∴1a = ,∴C (3,﹣4),故选:D .【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质,解题的关键是明确圆外一点到圆上的最短距离即该点与圆心的距离减去半径长.16.如图,在边长为8的菱形ABCD 中,∠DAB =60°,以点D 为圆心,菱形的高DF 为半径画弧,交AD 于点E ,交CD 于点G ,则图中阴影部分的面积是 ( )A .183π-B .183πC .32316πD .1839π-【答案】C【解析】【分析】 由菱形的性质得出AD=AB=8,∠ADC=120°,由三角函数求出菱形的高DF ,图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积,根据面积公式计算即可.【详解】解:∵四边形ABCD 是菱形,∠DAB=60°,∴AD=AB=8,∠ADC=180°-60°=120°,∵DF 是菱形的高,∴DF ⊥AB ,∴DF=AD •sin60°=383= ∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积 =2120(43)84332316ππ⨯⨯=. 故选:C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算;由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键.17.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于E 点,若AD =CD = 3»BC的长为( )A .3πB .23πC .33πD .233π 【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理得到3CE DE ==,»»BC BD = ,∠A=30°,再利用三角函数求出OD=2,即可利用弧长公式计算解答.【详解】如图:连接OD ,∵AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于E 点,AD =CD = 23,∴3CE DE ==,»»BC BD = ,∠A=30°, ∴∠DOE=60°,∴OD=2sin 60DE =o , ∴»BC的长=»BD 的长=60221803ππ⨯=, 故选:B.【点睛】此题考查垂径定理,三角函数,弧长公式,圆周角定理,是一道圆的综合题.18.如图,已知某圆锥轴截面等腰三角形的底边和高线长均为10cm ,则这个圆锥的侧面积为( )A.50cm2B.50πcm2C.255cm2D.255πcm2【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线长,求出底面圆周长,根据扇形面积公式计算即可.【详解】解:如图所示,∵等腰三角形的底边和高线长均为10cm,∴等腰三角形的斜边长=22=55,即圆锥的母线长为55cm,圆锥底面圆半105径为5,∴这个圆锥的底面圆周长=2×π×5=10π,即为侧面展开扇形的弧长,圆锥的侧面积=1×10π×55=255πcm2,2故选:D.【点睛】本题考查了圆锥的计算,解题的关键是弄清楚圆锥的侧面积的计算方法,特别是圆锥的轴截面是等腰三角形,勾股定理的应用,以及圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长.19.如图,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,点P是劣弧弧AB上任意一点(与点B不重合),则∠BPC的度数为()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】B【解析】分析:接OB,OC,根据四边形ABCD是正方形可知∠BOC=90°,再由圆周角定理即可得出结论.详解:连接OB,OC,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BOC=90°,∴∠BPC=12∠BOC=45°.故选B.点睛:本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.20.如图,用半径为12cm,面积272cmπ的扇形无重叠地围成一个圆锥,则这个圆锥的高为()A.12cm B.6cm C.6√2 cm D.63 cm【答案】D【解析】【分析】先根据扇形的面积公式计算出扇形的圆心角,再利用周长公式计算出底面圆的周长,得出半径.再构建直角三角形,解直角三角形即可.【详解】72π=212 360 nπ⨯解得n=180°,∴扇形的弧长=18012180π⨯=12πcm.围成一个圆锥后如图所示:因为扇形弧长=圆锥底面周长即12π=2πr解得r=6cm,即OB=6cm根据勾股定理得,故选D.【点睛】本题综合考查了弧长公式,扇形弧长=用它围成的圆锥底面周长,及勾股定理等知识,所以学生学过的知识一定要结合起来.。
六年级数学上册《圆》易错常考题汇总
六年级数学上册《圆》易错常考题汇总易错题1对直径的认识不全面判断:两端都在圆上的线段就是直径。
( )错解:√正解:×易错提示:错解错在忽略了直径必须通过圆心这一重要条件直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段。
易错题2对圆的对称性认识不清判断:在同一平面内,任意两个圆都关于一条直线成轴对称。
错解:√正解:×易错提示:两个圆关于一条直线成轴对称,这两个圆必须完全相同。
在同一平面内的任意两个圆的半径并不一定相等,所以这两个圆不一定关于一条直线成轴对称。
易错题3混淆半圆的周长和圆周长的一半求下图的周长。
错解:3.14x4.8+2 = 7.536(cm)正解: 3.14x4.8+2 + 4.8 = 12.336 (cm)易错提示:错解错在计算半圆的周长时, 漏加圆的一条直径。
半圆的周长等于圆的周长的一半加上一条直径。
易错题4没有正确理解圆的面积计算公式的推导过程判断:把圆拼成近似的长方形后, 圆的面积和长方形的面积相等, 圆的周长和长方形的周长相等( )错解:√正解:×易错提示:把圆拼成近似的长方形后,圆的面积和长方形面积相等。
但长方形的周长比圆的周长多了2条半径的长度。
易错常考应用题1.求阴影部分的面积。
扇形的半径是:10÷2=5(厘米)10×10﹣3.14×5×5100﹣78.5=21.5(平方厘米)2.一只挂钟分针的针尖在1/4小时内,正好走了25.12厘米。
它的分针长多少?C=25.12×4×12=1205.76(厘米)R=1205.76÷6.28=192(厘米).3.一辆自行车的车轮半径是40厘米,车轮每分钟转100圈,要通过2512米的桥,大约需要几分钟?100×2πR=200×3.14×40=25120(厘米)=251.2(米)2512÷(3.14×80)=2512÷251.2=10(分钟)4.一根钢管的横截面是环形。
关于圆的易错题(超经典)
中考冲刺——关于圆的易错题(讲解用)例1 ⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,⊙O1的半径为10,⊙O2的半径为17,公共弦AB=16,求两圆的圆心距。
思路提示:对两圆相交问题,一些考生往往只考虑两圆的圆心在公共弦两侧的情况,即图4(1)的情况,很容易遗漏图4(2)的情况,所以正确答案是O O12=21或O O12=9。
图4例2、⊙O的半径为1cm,弦AB cm=3,AC cm=2,则∠BAC=________。
思路提示:由于弦AB和CD可能在圆心的同侧,也可能在圆心的异侧,有如图5两种可能。
根据垂径定理及解直角三角形知识可求出∠CAO=45°和∠BAO=30°,从而可知∠BAC=15°或∠BAC=75°。
图5圆与圆的位置不确定例3、两圆相切,圆心距是10cm,其中一圆的半径为4cm,则另一圆的半径是_____。
思路提示:两圆相切有内切和外切两种情况,所以另一圆的半径为6cm或14cm。
例4、⊙O1的半径为2cm,⊙O2的半径为5cm,两圆没有公共点,则两圆的圆心距d的取值范围为___________。
思路提示:两圆没有公共点,则⊙O1与⊙O2有外离或内含两种情况,外离时,d>7cm;内含时,0cm≤d<3cm。
点在弧上的位置不确定例5、 PA,PC分别切⊙O于A,C两点,B为⊙O上与A,C不重合的点,若∠P=50°,则∠ABC=_________度。
思路提示:由于点B可能在优弧ABC上,也可能在劣弧AC上,有如图6两种可能,所以∠ABC=65°或∠ABC=115°。
图6例6、在⊙O中,AB为直径,CD为弦,AB⊥CD,P为圆周上与C,D 不重合的任意一点,判断∠COB与∠CPD的数量关系,并证明你的结论。
思路提示:由于点P可能在优弧CPD上,也可能在劣弧CD上,有如图7两种可能。
当P在优弧CPD上时,∠COB=∠CPD;当P在劣弧CD上时,∠COB=180 CPD。
中考数学复习圆的综合专项易错题含答案解析
中考数学复习圆的综合专项易错题含答案解析一、圆的综合1.如图,点P在⊙O的直径AB的延长线上,PC为⊙O的切线,点C为切点,连接AC,过点A作PC的垂线,点D为垂足,AD交⊙O于点E.(1)如图1,求证:∠DAC=∠PAC;(2)如图2,点F(与点C位于直径AB两侧)在⊙O上,»»BF FA=,连接EF,过点F作AD 的平行线交PC于点G,求证:FG=DE+DG;(3)在(2)的条件下,如图3,若AE=23DG,PO=5,求EF的长.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF=32.【解析】【分析】(1)连接OC,求出OC∥AD,求出OC⊥PC,根据切线的判定推出即可;(2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形HGDE是矩形,求出DE=HG,FH=EH,即可得出答案;(3)设OC交HE于M,连接OE、OF,求出∠FHO=∠EHO=45°,根据矩形的性质得出EH∥DG,求出OM=12AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE=23DG,DG=3a,求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tan∠MBO=12MOBM=,tanP=12COPO=,设OC=k,则PC=2k,根据OP=5k=5求出k=5,根据勾股定理求出a,即可求出答案.【详解】(1)证明:连接OC,∵PC为⊙O的切线,∴OC⊥PC,∵AD⊥PC,∴OC∥AD,∴∠OCA=∠DAC,∵OC=OA,∴∠PAC=∠OCA,∴∠DAC=∠PAC;(2)证明:连接BE交GF于H,连接OH,∵FG∥AD,∴∠FGD+∠D=180°,∵∠D=90°,∴∠FGD=90°,∵AB为⊙O的直径,∴∠BEA=90°,∴∠BED=90°,∴∠D=∠HGD=∠BED=90°,∴四边形HGDE是矩形,∴DE=GH,DG=HE,∠GHE=90°,∵»»BF AF=,∴∠HEF=∠FEA=12∠BEA=1902o⨯=45°,∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°,∴∠HEF=∠HFE,∴FH=EH,∴FG=FH+GH=DE+DG;(3)解:设OC交HE于M,连接OE、OF,∵EH=HF,OE=OF,HO=HO,∴△FHO≌△EHO,∴∠FHO=∠EHO=45°,∵四边形GHED是矩形,∴EH∥DG,∴∠OMH=∠OCP=90°,∴∠HOM=90°﹣∠OHM=90°﹣45°=45°,∴∠HOM=∠OHM,∴HM=MO,∵OM⊥BE,∴BM=ME,∴OM=12 AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE=23DG,DG=3a,∵∠HGC=∠GCM=∠GHE=90°,∴四边形GHMC是矩形,∴GC=HM=a,DC=DG﹣GC=2a,∵DG=HE,GC=HM,∴ME=CD=2a,BM=2a,在Rt△BOM中,tan∠MBO=122 MO aBM a==,∵EH∥DP,∴∠P=∠MBO,tanP=12 COPO=,设OC=k,则PC=2k,在Rt△POC中,,解得:在Rt△OME中,OM2+ME2=OE2,5a2=5,a=1,∴HE=3a=3,在Rt△HFE中,∠HEF=45°,∴.【点睛】考查了切线的性质,矩形的性质和判定,解直角三角形,勾股定理等知识点,能综合运用性质进行推理是解此题的关键.2.如图1,直角梯形OABC中,BC∥OA,OA=6,BC=2,∠BAO=45°.(1)OC的长为;(2)D是OA上一点,以BD为直径作⊙M,⊙M交AB于点Q.当⊙M与y轴相切时,sin∠BOQ=;(3)如图2,动点P以每秒1个单位长度的速度,从点O沿线段OA向点A运动;同时动点D以相同的速度,从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动.当点P到达点A时,两点同时停止运动.过点P作直线PE∥OC,与折线O﹣B﹣A交于点E.设点P运动的时间为t (秒).求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标.【答案】(1)4;(2)35;(3)点E的坐标为(1,2)、(53,103)、(4,2).【解析】分析:(1)过点B作BH⊥OA于H,如图1(1),易证四边形OCBH是矩形,从而有OC=BH,只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可.(2)过点B作BH⊥OA于H,过点G作GF⊥OA于F,过点B作BR⊥OG于R,连接MN、DG,如图1(2),则有OH=2,BH=4,MN⊥OC.设圆的半径为r,则MN=MB=MD=r.在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2,从而得到点D与点H重合.易证△AFG∽△ADB,从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG.设OR=x,利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x,进而可求出BR.在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题.(3)由于△BDE的直角不确定,故需分情况讨论,可分三种情况(①∠BDE=90°,②∠BED=90°,③∠DBE=90°)讨论,然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题.详解:(1)过点B作BH⊥OA于H,如图1(1),则有∠BHA=90°=∠COA,∴OC∥BH.∵BC∥OA,∴四边形OCBH是矩形,∴OC=BH,BC=OH.∵OA=6,BC=2,∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4.∵∠BHA=90°,∠BAO=45°,∴tan∠BAH=BHHA=1,∴BH=HA=4,∴OC=BH=4.故答案为4.(2)过点B作BH⊥OA于H,过点G作GF⊥OA于F,过点B作BR⊥OG于R,连接MN、DG,如图1(2).由(1)得:OH=2,BH=4.∵OC与⊙M相切于N,∴MN⊥OC.设圆的半径为r,则MN=MB=MD=r.∵BC ⊥OC ,OA ⊥OC ,∴BC ∥MN ∥OA .∵BM =DM ,∴CN =ON ,∴MN =12(BC +OD ),∴OD =2r ﹣2,∴DH =OD OH -=24r -.在Rt △BHD 中,∵∠BHD =90°,∴BD 2=BH 2+DH 2,∴(2r )2=42+(2r ﹣4)2.解得:r =2,∴DH =0,即点D 与点H 重合,∴BD ⊥0A ,BD =AD .∵BD 是⊙M 的直径,∴∠BGD =90°,即DG ⊥AB ,∴BG =AG .∵GF ⊥OA ,BD ⊥OA ,∴GF ∥BD ,∴△AFG ∽△ADB , ∴AF AD =GF BD =AG AB =12,∴AF =12AD =2,GF =12BD =2,∴OF =4,∴OG同理可得:OB AB ,∴BG =12AB .设OR =x ,则RG x .∵BR ⊥OG ,∴∠BRO =∠BRG =90°,∴BR 2=OB 2﹣OR 2=BG 2﹣RG 2,∴(2﹣x 2=()2﹣(x )2.解得:x ,∴BR 2=OB 2﹣OR 2=(2)2=365,∴BR在Rt △ORB 中,sin ∠BOR =BR OB35. 故答案为35. (3)①当∠BDE =90°时,点D 在直线PE 上,如图2.此时DP =OC =4,BD +OP =BD +CD =BC =2,BD =t ,OP =t . 则有2t =2.解得:t =1.则OP =CD =DB =1.∵DE ∥OC ,∴△BDE ∽△BCO ,∴DE OC =BD BC =12,∴DE =2,∴EP =2, ∴点E 的坐标为(1,2).②当∠BED =90°时,如图3.∵∠DBE =OBC ,∠DEB =∠BCO =90°,∴△DBE ∽△OBC ,∴BEBC =2DB BE OB ∴,∴BE . ∵PE ∥OC ,∴∠OEP =∠BOC .∵∠OPE =∠BCO =90°,∴△OPE ∽△BCO , ∴OEOB =OP BC,2t ,∴OE .∵OE+BE=OB=255,∴t+55t=25.解得:t=53,∴OP=53,OE=55,∴PE=22OE OP-=103,∴点E的坐标为(51033,).③当∠DBE=90°时,如图4.此时PE=PA=6﹣t,OD=OC+BC﹣t=6﹣t.则有OD=PE,EA=22PE PA+=2(6﹣t)=62﹣2?t,∴BE=BA﹣EA=42﹣(62﹣2t)=2t﹣22.∵PE∥OD,OD=PE,∠DOP=90°,∴四边形ODEP是矩形,∴DE=OP=t,DE∥OP,∴∠BED=∠BAO=45°.在Rt△DBE中,cos∠BED=BEDE=22,∴DE=2BE,∴t=22(t﹣22)=2t﹣4.解得:t=4,∴OP=4,PE=6﹣4=2,∴点E的坐标为(4,2).综上所述:当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标为(1,2)、(51033,)、(4,2).点睛:本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识,还考查了分类讨论的数学思想,有一定的综合性.3.如图,AB 为⊙O 的直径,点E 在⊙O 上,过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ,连接BE ,过点O 作BE 的平行线,交⊙O 于点F ,交切线于点C ,连接AC(1)求证:AC 是⊙O 的切线;(2)连接EF ,当∠D= °时,四边形FOBE 是菱形.【答案】(1)见解析;(2)30.【解析】【分析】(1)由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌,根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. (2)根据四边形FOBE 是菱形,得到OF=OB=BF=EF ,得证OBE ∆为等边三角形,而得出60BOE ∠=︒,根据三角形内角和即可求出答案.【详解】(1)证明:∵CD 与⊙O 相切于点E ,∴OE CD ⊥,∴90CEO ∠=︒,又∵OC BE P ,∴COE OEB ∠=∠,∠OBE=∠COA∵OE=OB ,∴OEB OBE ∠=∠,∴COE COA ∠=∠,又∵OC=OC ,OA=OE ,∴OCA OCE SAS ∆∆≌(), ∴90CAO CEO ∠=∠=︒,又∵AB 为⊙O 的直径,∴AC 为⊙O 的切线;(2)解:∵四边形FOBE 是菱形,∴OF=OB=BF=EF ,∴OE=OB=BE ,∴OBE ∆为等边三角形,∴60BOE ∠=︒,而OE CD ⊥,∴30D ∠=︒.故答案为30.【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题,熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.4.已知▱ABCD的周长为26,∠ABC=120°,BD为一条对角线,⊙O内切于△ABD,E,F,G 为切点,已知⊙O的半径为3.求▱ABCD的面积.【答案】203【解析】【分析】首先利用三边及⊙O的半径表示出平行四边形的面积,再根据题意求出AB+AD=13,然后利用切线的性质求出BD的长即可解答.【详解】设⊙O分别切△ABD的边AD、AB、BD于点G、E、F;平行四边形ABCD的面积为S;则S=2S△ABD=2×12(AB·OE+BD·OF+AD·OG)=3(AB+AD+BD);∵平行四边形ABCD的周长为26,∴AB+AD=13,∴S=3(13+BD);连接OA;由题意得:∠OAE=30°,∴AG=AE=3;同理可证DF=DG,BF=BE;∴DF+BF=DG+BE=13﹣3﹣3=7,即BD=7,∴S=3(13+7)=203.即平行四边形ABCD的面积为203.5.如图,点P是正方形ABCD内的一点,连接PA,PB,PC.将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.(1)设AB的长为a,PB的长为b(b<a),求△PAB旋转到△P'CB的过程中边PA所扫过区域(图中阴影部分)的面积;(2)若PA=2,PB=4,∠APB=135°,求PC的长.【答案】(1) S阴影=(a2-b2);(2)PC=6.【解析】试题分析:(1)依题意,将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合,此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积,根据旋转的性质可知,两个扇形的中心角都是90°,可据此求出阴影部分的面积.(2)连接PP',根据旋转的性质可知:BP=BP',旋转角∠PBP'=90°,则△PBP'是等腰直角三角形,∠BP'C=∠BPA=135°,∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°,可推出△PP'C是直角三角形,进而可根据勾股定理求出PC的长.试题解析:(1)∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置,∴△PAB≌△P'CB,∴S△PAB=S△P'CB,S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=(a2-b2);(2)连接PP′,根据旋转的性质可知:△APB≌△CP′B,∴BP=BP′=4,P′C=PA=2,∠PBP′=90°,∴△PBP'是等腰直角三角形,P'P2=PB2+P'B2=32;又∵∠BP′C=∠BPA=135°,∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°,即△PP′C是直角三角形.PC==6.考点:1.扇形面积的计算;2.正方形的性质;3.旋转的性质.6.如图,在直角坐标系中,已知点A(-8,0),B(0,6),点M在线段AB上。
圆的易错题汇编附答案
A.圆形铁片的半径是4cm C.弧AB的长度为4 n cm 【答案】C【解析】B.四边形AOBC为正方形D.扇形OAB的面积是4 n crfi【分析】【详解】解:由题意得:BC, AC分别是O •••OA丄CA, OB丄BC, 又•••/ C=90, OA=OB, •••四边形AOBC是正方形,.•.OA=AC=4,故A, B 正确;圆的易错题汇编附答案一、选择题1 .如图,圆O是△ABC的外接圆,/ A= 68°则/ OBC的大小是()A C. 32 D. 68【答案】【解析】试题分析:根据同弧所对的圆心角等于圆周角度数的两倍,则/ BOC=2/ A=136,则根据三角形内角和定理可得:/ OBC+/ OCB=44,根据OB=OC可得:/ OBC=/ OCB=22.考点:圆周角的计算2.如图,圆形铁片与直角三角尺、三角尺的直角顶点C落在直尺的处,铁片与三角尺的唯一公共点为直尺紧靠在一起平放在桌面上.已知铁片的圆心为O, 10cm处,铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cmB,下列说法错误的是()叮・e\L”,1> -ri- i h 1 1 ■ rp b-HQi Iff ■ ■ HO的切线,B, A为切点,C. 3 D . 2••• A B 的长度为:=2 n 故C 错误;18090 42S 扇形OAB = -------- =4 n, 故 D 正确. 360故选C.【点睛】本题考查切线的性质;正方形的判定与性质;弧长的计算;扇形面积的计算.3.已知下列命题:① 若 a > b ,贝U ac > be ;② 若a=1,则j a=a ;③ 内错角相等;④ 90。
的圆周角所对的弦是直径.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(【解析】【分析】先对原命题进行判断,再判断出逆命题的真假即可.【详解】解:①若a > b ,则ac > be 是假命题,逆命题是假命题;② 若a=1,则j a =a 是真命题,逆命题是假命题;③ 内错角相等是假命题,逆命题是假命题;④ 90。
小学五年级数学《圆》易错题
《圆》易错题集锦一、填空1、在一个长8厘米、宽4厘米的长方形纸片上剪下一个最大的半圆,半圆的周长是()厘米。
2、如果一个圆的半径由2厘米增加到4厘米,周长要增加()厘米。
3、两圆半径的比为4:5,则直径的比为():(),周长比为():(),面积比为():()。
4、李平想在一个长5厘米、宽6厘米的长方形中画一个最大的圆,这个圆的周长是()厘米,面积是()平方厘米。
二、判断1、因为d=2r,所以同一个圆的任何两条半径都能组成一条直径。
()2、周长相等的两个圆,面积也一定相等。
()3、圆的半径扩大3倍,面积也扩大3倍。
()4、半径是2厘米的圆,它的周长和面积相等。
()5、圆的位置是由圆心决定的,圆的大小是由半径决定的。
()6、两圆的半径比是2:1,则其周长的比是4:1。
7、圆规两脚间的距离是3厘米,所画的圆的直径就是3厘米。
()8、两端都在圆上的线段中,直径最长。
()9、圆周率π=3.14.()10、圆的直径扩大到原来的2倍,周长也扩大到原来的2倍。
()11、半圆的周长就是圆周长的一半。
()12、圆有无数条对称轴。
()13、圆的周长与它直径的比的比值是π。
()14、两端在圆上的线段是圆的直径。
()15、圆规两脚间的距离是4厘米,画出的圆的周长是12.56厘米。
()三、画图1、画一个半径是1.5厘米的圆。
(1)用字母标出圆心、半径和直径。
(2)画出它的一条对称轴。
2、四、计算阴影部分的面积。
(单位:dm)五、解决问题1、依墙而建的鸡舍围城半圆形,其直径是5米。
(1)需要多长的篱笆才能把鸡舍全围起来?(2)如果将鸡舍的直径增加2米,需要增加多长的篱笆?2、用20米的钢筋制作直径为20米的铁环,最多能制作多少个?如果铁环的直径是35厘米,要制作20个铁环,至少需要多少米的钢筋?3、圆形水池四周种了40棵树,每两棵树之间的距离是1.57米。
这个水池的半径是多少米?4、一张桌面直径为2米的桌子,如果要给桌面铺上同样大小的玻璃,这块玻璃的面积是多少平方米?如果在桌面周围镶上金属条,需要多少米?5、用一张长是3米,宽是2米的长方形铁板,切割出一个最大的圆,圆的面积是多少?剩余部分的面积是多少?6、一个圆形旱冰场的直径是30米,扩建后半径增加了5米。
关于圆的易错题和解析
关于圆的易错题和解析
一、圆的基本概念相关易错题
1. 判断题:圆的直径是半径的 2 倍。
()
解析:这道题错就错在没有强调在同圆或等圆中,圆的直径才是半径的 2 倍。
如果不是同一个圆,那可就不一定啦!
2. 选择题:通过圆心并且两端都在圆上的()叫做直径。
A. 直线
B. 线段
C. 射线
解析:选 B 哦!直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段。
直线是无限延伸的,射线一端无限延伸,都不符合直径的定义。
二、圆的周长相关易错题
1. 填空题:一个圆的半径扩大 3 倍,它的周长就扩大()倍。
解析:答案是 3 倍。
因为圆的周长C = 2πr,半径扩大 3 倍,周长也就跟着扩大 3 倍。
2. 应用题:一辆自行车车轮的半径是 30 厘米,车轮滚动一周,前进多少米?
解析:先算出车轮的周长,C = 2×3.14×0.3 = 1.884 米。
所以车轮滚动一周,前进 1.884 米。
三、圆的面积相关易错题
1. 判断题:半径为 2 厘米的圆,它的面积和周长相等。
()
解析:错错错!面积和周长是两个不同的概念,单位都不一样,不能比较哒。
2. 选择题:圆的面积扩大 9 倍,半径扩大()倍。
A. 3
B. 6
C. 9
解析:选 A 啦!因为圆的面积S = πr²,面积扩大 9 倍,半径就扩大 3 倍。
怎么样,这些易错题有没有让你恍然大悟呀?哈哈,以后可别再错咯!。
部编数学九年级上册专题07圆易错题(解析版)含答案
r=6-42=1r=6+42=5点P 到圆上一点的最大距离是6cm ,最小距离是4cm ,圆的半径是___专题07 圆易错题圆,期末必考。
圆与其它不同是,圆中隐含条件多,圆的题解不出,往往不是由于条件不够,更多的是由于条件太多,而我们由于对模型运用不够熟练,基础知识掌握不牢造成的。
本专题精选期末圆的易错试题,并配以详细的解答,为你复习迎考助力!圆中易错两种情况1.平行弦间距2.点到圆上点的距离最大与最小:3.弦对圆周角:4.相切的上下左右EF=OE-OF=4-3=1EF=OE+OF=4+3=7AB ∥CD,AB=10,CD=8,圆的半径是5,则AB 与CD 之间的距离是____所以:∠P 2=60°,∠P 1=120°3.可得:BE=3,OB=2易证:∠1=60°,∠AOB =120°1.画出示意图。
2.作OE ⊥AB ,垂足为E 。
在半径是2的⊙O 中,弦AB=23,则AB 所对的圆周角_____.1一.选择题1.如图,△ABC 与△ACD 中,AD =AC =DC =BAC :∠B :∠ACB =1:2:3,则△ABC 的外心与△ACD 的内心之间的距离为( )A .2BC .D .3试题分析:如图,过点D 作DG ⊥AC 于点G ,并延长交AB 于点F ,得△ABC 的外心,过点A 作AE 平分∠DAC 交DG 于点E ,则点E 为△ACD 的内心,证明△ACD 和△AEF 是等边三角形,从而可以解答.答案详解:解:如图,过点D 作DG ⊥AC 于点G ,并延长交AB 于点F ,△ACD 中,AD =AC =DC =∴△ACD 是等边三角形,点G 为AC 中点,过点A 作AE 平分∠DAC 交DG 于点E ,则点E 为△ACD 的内心,∠EAC =30°,∵△ABC 中,∠BAC :∠B :∠ACB =1:2:3,∴∠BAC =30°,∠B =60°,∠ACB =90°,∴BC ∥EF ,∠EAF =∠EAC +∠BAC =60°,简记:上切下切左切右切线段直线分类讨论实战训练∴∠AFE=∠B=60°,∵AG=CG,∴点F为AB中点,即点F为△ABC的外心,∴△AEF是等边三角形,∵AC=∴在Rt△ABC中,AB=4,∴EF=AF=2.则△ABC的外心与△ACD的内心之间的距离为2.所以选:A.2.如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=4,BC=3,P是平面上的一个点,连换AP,BP,已知∠P 始终为直角,则线段CP长的最大值为( )A.6B C+2D.5试题分析:首先证明点P在以AB为直径的⊙O上,连接OC,并延长CO与交⊙O于点P,此时PC最大,利用勾股定理求出OC即可解决问题.答案详解:解:∵∠APB=90°,∴点P在以AB为直径的⊙O上,连接OC,并延长CO与交⊙O于点P,此时PC最大,在Rt△BCO中,∵∠OBC=90°,BC=3,OB=2,∴OC=∴PC=OC+OP=+2,∴PC+2.所以选:C.3.给出下列结论:①有一个角是100°的两个等腰三角形相似.②三角形的内切圆和外接圆是同心圆.③圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径,则该直线是圆的切线.④等腰梯形既是轴对称图形,又是中心对称图形.⑤平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两弧.⑥过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线.其中正确命题有( )个.A.2个B.3个C.4个D.5个试题分析:根据圆相关知识点进行判断即可.答案详解:解:①、因为100°是钝角,所以只能是等腰三角形的顶角,则根据三角形的内角和定理,知它们的底角也对应相等,根据两角对应相等的两个三角形是相似三角形,则两个等腰三角形相似,故正确;②、三角形的内切圆的圆心是三条角平分线的交点,外接圆的圆心是三条垂直平分线的交点,只有等边三角形的内心和外心才重合,故错误;③、应当是圆心到直线的距离而不是圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径,注意两者的说法区别:前者是点到直线的距离,后者是两个点之间的距离,故错误;④、等腰梯形不是中心对称图形,故错误;⑤、平分弦中的弦不能是直径,因为任意的两条直径都是互相平分,故错误;⑥、本题是平行公理,故正确.因此正确的结论是①⑥.所以选:A.4.如图,△ABC和△AMN都是等边三角形,点M是△ABC的外心,那么MN:BC的值为( )A.23B.3C.14D.49试题分析:延长AM交BC于点D,连接BM,根据△ABC是等边三角形可知AD⊥BC,设MD=x,则BM=AM=2x,利用锐角三角函数的定义用x表示出AB的长,再根据相似三角形的性质即可得出结论.答案详解:解:如图,延长AM交BC于点D,连接BM,∵△ABC是等边三角形,点M是△ABC的外心,∴AD⊥BC,∠ABM=∠BAM=30°,AM=BM,设MD=x,则BM=AM=2x,∴AD=3x,BD,∴AB=2BD=,∵△ABC和△AMN都是等边三角形,∴AB=BC=,AM=MN=2x,∴MN:BC=2x:=所以选:B.5.如图,在平面直角坐标系中,以M(2,3)为圆心,AB为直径的圆与x轴相切,与y轴交于A,C两点,则AC的长为( )A.4B.C.D.6试题分析:设⊙M与x轴相切于点D,连接MD,过点M作ME⊥AC,垂足为E,根据垂径定理可得AC=2AE,再利用切线的性质可得∠MDO=90°,然后根据点M的坐标可得ME=2,MA=MD=3,最后在Rt△AEM中,利用勾股定理进行计算即可解答.答案详解:解:设⊙M与x轴相切于点D,连接MD,过点M作ME⊥AC,垂足为E,∴AC =2AE ,∵⊙M 与x 轴相切于点D ,∴∠MDO =90°,∵M (2,3),∴ME =2,MD =3,∴MA =MD =3,在Rt △AEM 中,AE ==∴AC =2AE =所以选:B .6.如图,AB 是⊙O 的弦,PO ⊥OA 交AB 于点P ,过点B 的切线交OP 的延长线于点C ,若⊙O 的OP =1,则BC 的长为( )A .2BC .52D 试题分析:根据切线的性质可得∠OBC =90°,从而可得∠OBA +∠ABC =90°,再根据垂直定义可得∠POA =90°,从而可得∠A +∠APO =90°,然后利用等腰三角形的性质,以及等角的余角相等,对顶角相等可得∠ABC =∠BPC ,从而可得BC =CP ,最后在Rt △OBC 中,利用勾股定理进行计算即可解答.答案详解:解:∵BC 与⊙O 相切于点B ,∴∠OBC =90°,∴∠OBA +∠ABC =90°,∵PO⊥OA,∴∠POA=90°,∴∠A+∠APO=90°,∵OA=OB,∴∠A=∠OBA,∴∠ABC=∠APO,∵∠APO=∠BPC,∴∠ABC=∠BPC,∴BC=CP,设BC=CP=x,在Rt△OBC中,OB2+BC2=OC2,2+x2=(x+1)2,∴BC=2,所以选:A.7.如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,连接AC、AD.若∠BAC=28°,则∠D的度数是( )A.56°B.58°C.60°D.62°试题分析:连接BC,根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°,从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B=62°,然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答.答案详解:解:连接BC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠BAC=28°,∴∠B=90°﹣∠BAC=62°,∴∠B=∠D=62°,所以选:D.8.如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,连接BD、BC,若∠ABD=56°,则∠BCD的度数为( )A.34°B.56°C.68°D.102°试题分析:连接AD,根据AB是直径可知∠ADB=90°=∠DAB+∠ABD,即可求出∠DAB,根据圆周角定的推论可得∠DAB=∠BCD,则问题得解.答案详解:解:连接AD,如图:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°=∠DAB+∠ABD,又∵∠DAB=∠BCD,∠ABD=56°,∴∠DAB=90°﹣∠ABD=90°﹣56°=34°,∴∠BCD=34°.所以选:A.9.如图,线段AB是⊙O的直径,点C在圆上,∠AOC=60°,点P是线段AB延长线上的一点,连结PC,则∠APC的度数不可能是( )A.30°B.25°C.10°D.5°试题分析:连接CB,根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,求出∠ABC的度数,再利用三角形的外角即可解答.答案详解:解:连接CB,∵∠AOC=60°,∴∠ABC=12∠AOC=30°,∵∠ABC是△PBC的一个外角,∴∠ABC>∠APC,∴∠APC的度数不可能是30°,所以选:A.10.下列语句:①长度相等的弧是等弧;②过平面内三点可以作一个圆;③平分弦的直径垂直于弦;④90°的圆周角所对的弦是直径;⑤等弦对等弧.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个试题分析:根据等弧的概念、确定圆的条件、垂径定理的推论、圆周角定理判断即可.答案详解:解:①长度相等的弧不一定是等弧,本小题说法错误;②过平面内不在同一直线上的三点可以作一个圆,本小题说法错误;③平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,本小题说法错误;④90°的圆周角所对的弦是直径,本小题说法正确;⑤在同圆或等圆中,等弦所对的劣等弧,所对的优弧是等弧,本小题说法错误;所以选:A.11.如图,点A,B,C,D都在圆上,线段AC与BD交于点M,MB=MD,当点B,D,M保持不变,点A在圆上自点B向点D运动的过程中(点A不与点B,点D重合),那么线段MA与MC 的乘积( )A.不变B.先变大,后变小C.变大D.先变小,后变大试题分析:根据相交弦定理直接解答即可.答案详解:解:∵点A,B,C,D都在圆上,∴MB•MD=AM•MC,∵MB=MD,当点B,D,M保持不变,∴MB•MD为定值,∴AM•MC为定值.所以选:A.二.填空题(共28小题)12.如图,半圆O的直径DE=12cm,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=12cm.半圆O以2cm/s的速度从左向右运动,当圆心O运动到点B时停止,点D、E始终在直线BC上.设运动时间为t(s),运动开始时,半圆O在△ABC的左侧,OC=8cm.当t= 1s,4s,7s,16s 时,Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切.试题分析:分4种情况讨论:①当圆心O运动到点E与点C重合是时;②当圆心O运动到AC 右侧与AC相切时;③过C点作CF⊥AB,交AB于F点,当半圆O与△ABC的边AB相切时,圆心O到AB的距离等于6cm,且圆心O又在直线BC上,即当O点运动到C点时,半圆O与△ABC的边AB相切,此时点O运动了8cm,所求运动时间为t=4.答案详解:解:①当圆心O运动到点E与点C重合是时,∵AC⊥OE,OC=OE=6cm,此时AC与半圆O所在的圆相切,点O运动了2cm,所求运动时间为t=2÷2=1(s);②当圆心O运动到AC右侧与AC相切时,此时OC=6cm,点O运动的距离为8+6=14(cm),所求运动时间为t=14÷2=7(s);③如图1,过C点作CF⊥AB,交AB于F点;∵∠ABC=30°,BC=12cm,∴FO=6cm;当半圆O与△ABC的边AB相切时,∵圆心O到AB的距离等于6cm,且圆心O又在直线BC上,∴O与C重合,即当O点运动到C点时,半圆O与△ABC的边AB相切;此时点O运动了8cm,所求运动时间为t=8÷2=4(s),当点O运动到B点的右侧,且OB=12cm时,如图2,过点O作OQ⊥直线AB,垂足为Q.在Rt△QOB中,∠OBQ=30°,则OQ=6cm,即OQ与半圆O所在的圆相切.此时点O运动了32cm.所求运动时间为:t=32÷2=16s,综上可知当t的值为1s或4s或7秒或16s时,Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切.所以答案是:1s,4s,7s,16s.13.已知点M (2.0),⊙M 的半径为1,OA 切⊙M 于点A ,点P 为⊙M 上的动点,当P 的坐标为 (1,0),(3,0)(32,2) 时,△POA 是等腰三角形.试题分析:根据题意画出图形分三种情况讨论:当点P 在x 轴上,PA =PO =1,OA =OP ″=3,当点P 是切点时,AO =AP = 答案详解:解:如图,当P 的坐标为(1,0),(3,0),(32,2)时,△POA 是等腰三角形.理由如下:连接AM ,∵M (2.0),⊙M 的半径为1,∴OM =2,AM =PM =1,∴OP =1,∵OA 切⊙M 于点A ,∴∠MAO =90°,∴∠AOM =30°,∴∠AMO =60°,∴PA =AM =PM =1,∴OP =PA =1,∴P (1,0);当OA =OP ′时,连接AP ′交x 轴于点H ,∵OA 切⊙M 于点A ,∴OP ′切⊙M 于点P ′,∴∠P ′OM =∠AOM =30°,∴∠AOP ′=60°,∴△AOP ′是等边三角形,∴AP ′=OA ==∴OH ==32,P ′H =12AP ′∴P ′(32,2);∵MA =MP ″,∠AMO =60°,∴∠MAP ″=∠MP ″A =30°,∴∠AOP ″=∠MP ″A =30°,∴OA =OP ″,∴P ″(3,0).综上所述:当P 的坐标为(1,0),(3,0),(32,2)时,△POA 是等腰三角形.所以答案是:(1,0),(3,0),(32,2).14.已知三角形ABC 是锐角三角形,其中∠A =30°,BC =4,设BC 边上的高为h ,则h 的取值范围是 试题分析:做出三角形的外接圆,根据h ≤AO +OP 求解即可.答案详解:解:如图1,作△ABC 的外接圆⊙O ,连接OA ,OB ,OC ,过O 作OP ⊥BC ,∵∠BAC=30°,∴∠BOC=60°,∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形,∵BC=4,∴OA=BC=4,PO=∴h≤AO+OP=如图2,A1B⊥BC,A2C⊥BC,则A1B=∵三角形ABC是锐角三角形,∴点A在A1A2之间,∴h的取值范围是:h≤所以答案是:h≤15.如图,已知Rt△ABC中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°,P是边AB上的动点,Q是边BC上的动点,且∠CPQ=90°,则线段CQ的取值范围是 203≤CQ≤12 .试题分析:根据直径所对的圆周角是直角,则分析以CQ为直径的圆和斜边AB的公共点的情况:一是半圆和AB相切;二是半圆和AB相交.首先求得相切时CQ的值,即可进一步求得相交时CQ的范围.答案详解:解:∵Rt△ABC中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°,∴AB=13,①当半圆O与AB相切时,如图,连接OP,则OP⊥AB,且AC=AP=5,∴PB=AB﹣AP=13﹣5=8;设CO=x,则OP=x,OB=12﹣x;在Rt△OPB中,OB2=OP2+OB2,即(12﹣x)2=x2+82,解之得x=10 3,∴CQ=2x=20 3;即当CQ=203且点P运动到切点的位置时,△CPQ为直角三角形.②当203<CQ≤12时,半圆O与直线AB有两个交点,当点P运动到这两个交点的位置时,△CPQ为直角三角形③当0<CQ<203时,半圆O与直线AB相离,即点P在AB边上运动时,均在半圆O外,∠CPQ<90°,此时△CPQ不可能为直角三角形.∴当203≤CQ≤12时,△CPQ可能为直角三角形.所以答案是:203≤CQ ≤12.16.如图,点O 为△ABC 的外接圆圆心,点E 为圆上一点,BC 、OE 互相平分,CF ⊥AE 于F ,连接DF .若OE =DF =1,则△ABC试题分析:由BC 、OE 互相平分可证明四边形BECO 为平行四边形,由OC =OB 可得BECO 为菱形,可得∠BOD =60°,∠BAE =∠EAC =30°,CF ⊥AE 于F ,可证△AGC 为等边三角形,F 为中点,则由中位线性质可得BG =2DF .在Rt △BHC 中利用勾股定理可求GH ,进而得到AB 、AC ,得到△ABC 的周长.答案详解:解:延长CF 交AB 于点G ,过C 作CH ⊥AB 于H ,连BO .∵BC 、OE 互相平分,∴四边形BECO 为平行四边形,∵OB =OC ,∴四边形BECO 为菱形,∴BE =EC ,∵OE =∴Rt △BOD 中,tan ∠OBD =OD BD =∴∠OBD =30°,∴∠BOD =60°,∴∠BAE =∠EAC =30°,∵CF ⊥AE ,∴F为GC中点,△AGC为等边三角形,∴BG=2DF=2,在Rt△BCH中,BH2+HC2=BC2,∴(2+GH)2+)2=62,解得GH GH∴AG=AC=﹣1∴△ABC的周长为所以答案是:17.如图,D为△ABC的内心,点E在AC上,且AD⊥DE,若DE=2,AD=CE=3,则AB的长43 .试题分析:延长ED交AB于点F,连接BD,将线段AB分为AF和BF两部分,分别计算:先证明△ADE≌△ADF,利用勾股定理得AE的长度,即为AF的长度,再证明△BFD∽△DEC,利用相似,列比例式求得BF,两者相加即可.答案详解:解:如图,延长ED交AB于点F,连接BD,∵AD⊥DE∴∠ADE=∠ADF=90°∵D为△ABC的内心∴∠DAE=∠DAF∵AD=AD∴△ADE≌△ADF(ASA)∵AE=AF,DE=DF=2∴AE∴AF∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°∴∠ADC=180°﹣(∠DAC+∠DCA)=180°−12(∠BAC+∠ACB)=180°−12(180°﹣∠ABC)=90°+12∠ABC=90°+∠ABD=90°+∠CBD=90°+∠CDE∴∠ABD=∠CBD=∠CDE ∵△ADE≌△ADF∠AFD=∠AED∴∠BFD=∠DEC∴△BFD∽△DEC∴BFDE=DFCE∴BF2=23∴BF=4 3∴AB=AF+BF 4 34318.如图,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=60°,BC=1,点P从点A出发沿AB方向运动,到达点B时停止运动,连结CP,点A关于直线CP的对称点为A',连结A'C,A'P.点P到达点B 时,线段A'P扫过的面积为 43π−试题分析:依据轴对称的性质,即可得到AC =A 'C ,进而得出点A '的运动轨迹为以C 为圆心,AC 长为半径的一段圆弧;再根据扇形面积的计算公式,即可得到线段A 'P 扫过的面积.答案详解:解:∵△ABC 中,∠BAC =30°,∠ACB =60°,BC =1,∴∠ABC =90°,AC =2BC =2,AB =如图①所示,点A 关于直线CP 的对称点为A ',∴AC =A 'C ,∴点A '的运动轨迹为以C 为圆心,AC 长为半径的一段圆弧,当点P 与点B 重合时,线段A 'P 扫过的区域为弓形,如图②,∠APA '=180°,∠ACA '=120°,∴线段A 'P 扫过的面积为120π×22360−12××1=43π−所以答案是:43π−19.点M 是半径为5的⊙O 内一点,且OM =4,在过M 所有⊙O 的弦中,弦长为整数的弦的条数为 8 .试题分析:先求出过M 所有⊙O 的弦的取值范围,再取整数解.答案详解:解:过点M 作AB ⊥OM 于M ,连接OA ,因为OM =4,半径为5,所以AM =3,所以AB =3×2=6,所以过点M 的最长弦为5×2=10,最短弦为6,在6和10之间的整数有7,8,9,由于左右对称,弦的条数有6条,加上AB 和OM ,共8条.20.AB=AC=AD,∠CAB=100°,则∠BDC= 50°或130° .试题分析:分两种情况,当点D在优弧BDC上时,当点D′在劣弧BC上时,然后利用圆周角定理进行计算即可解答.答案详解:解:如图:∵AB=AC=AD,∴点B、C、D在以点A为圆心,以AB长为半径的圆上,当点D在优弧BDC上时,∵∠CAB=100°,∴∠BDC=12∠BAC=50°,当点D′在劣弧BC上时,∵四边形BDCD′是圆内接四边形,∴∠BD′C=180°﹣∠BDC=130°,综上所述:∠BDC=50°或130°,所以答案是:50°或130°.21.如图,AB是⊙O的弦,AB=P是优弧APB上的动点,∠P=45°,连接PA,PB,AC是△ABP的中线.(1)若∠CAB=∠P,则AC= 2 ;(2)AC试题分析:(1)作BH⊥AC,根据△BAC∽△BPA,求出BC=2,再证明H和C重合即可得到答案;(2)确定点C的运动轨迹,轨迹点圆关系找到AC的最大值就是AC'长,再计算求解.答案详解:解:如图1,过点B作BH⊥AC于点H,∵∠B=∠B,∠CAB=∠P,∴△BAC∽△BPA,∴BABP=BCBA,∴BA2=BC•BP,∵AC是△ABP的中线,∴BP=2BC,∴(2=BC•2BC,∴BC=2,在Rt△ABH中,∠CAB=∠P=45°,AB=∴BH=AH=2,又∵BC=2,∴点H和点C重合,∴AC=AH=2.所以答案是:2;(2)如图2,∵点P的运动轨迹是圆,∴点C的运动轨迹是OB为直径的圆,∴当AC'经过圆心O'时最大.∵∠P=45°,∴∠AOB=90°,又∵AB=∴AO=BO=2,OO'=1,∴AO'=∵O'C'=1,∴AC'=1+∴AC的最大值为1+所以答案是:1+22.如图,已知点A(3,0)、B(﹣1,0)点Q是y轴上一点,当∠AQB=135°时点Q的坐标是 试题分析:分两种情况:①如图,当Q在y轴的负半轴上时,作辅助线,构建全等三角形和等腰直角三角形,证明△QEC≌△CFB,设CE=a,根据三角函数列方程可解答;②同理Q在y轴的正半轴上时,根据对称得出点Q的坐标.答案详解:解:分两种情况:①如图,当Q在y轴的负半轴上时,过点B作BC⊥AQ,交AQ的延长线于C,过点C作EF⊥y 轴于E,过点B作BF⊥EF于F,∵∠AQB=135°,∴∠CQB=45°,∵∠BCQ=90°,∴△BCQ是等腰直角三角形,∴CQ=CB,∵∠BCF+∠ECQ=∠ECQ+∠CQE=90°,∴∠BCF=∠CQE,∵∠F=∠CEQ=90°,∴△QEC≌△CFB(AAS),∴EQ=CF,CE=BF,设CE=a,则CF=EQ=3﹣a,BF=CE=a,∴OQ=a﹣(3﹣a)=2a﹣3,∵∠AQO=∠CQE,∴tan∠AQO=tan∠CQE,即AOOQ =CE EQ,∴12a−3=a3−a,解得:a1a2=,当a=OQ=2a﹣32,∴Q(0,2;②当Q在y轴的正半轴上时,同理可得Q(02).综上,点Q的坐标为(0,202).所以答案是:(0,202).23.已知等腰△ABC的外心是O,AB=AC,∠BOC=100°,则∠ABC= 25°或65° .试题分析:画出相应图形,分△ABC为锐角三角形和钝角三角形2种情况解答即可.答案详解:解:(1)圆心O在△ABC外部,在优弧BC上任选一点D,连接BD,CD.∴∠BDC=12∠BOC=50°,∴∠BAC=180°﹣∠BDC=130°;∵AB=AC,∴∠ABC=(180°﹣∠BAC)÷2=25°;(2)圆心O在△ABC内部.∠BAC=12∠BOC=50°,∵AB=AC,∴∠ABC=(180°﹣∠BAC)÷2=65°;所以答案是25°或65°.24.已知⊙O中,两弦AB和CD相交于点P,若AP:PB=2:3,CP=2cm,DP=12cm,则弦AB 的长为 10 cm.试题分析:根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点,各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算.答案详解:解:设AP=2x,由AP:PB=2:3得PB=3x,由相交弦定理得:PA•PB=PC•PD,∴2x•3x=2×12,x=2(舍去负值),∴AB=AP+PB=5x=10cm.25.在△ABC中,AB=6,AC=8,高AD=4.8,设能完全覆盖△ABC的圆的半径为r,则r的最小值为 5或4 .试题分析:分类讨论:当AD在△ABC内部,利用勾股定理求法可得三角形第3边长,可得三角形的形状为直角三角形,完全覆盖△ABC的圆的最小半径为直角三角形斜边的一半;当AD在△ABC外部,即△ABC是钝角三角,以AC为直径的圆是能完全覆盖△ABC的最小圆.答案详解:解:(1)当AD在△ABC内部,如图:∵AB=6,AC=8,高AD=4.8,∴BD=3.6,CD=6.4,∴BC=10,∵62+82=102.∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形,∴完全覆盖△ABC的圆的最小半径为10×12=5;(2)当AD在△ABC外部,即△ABC是钝角三角,∵以AC为直径的圆是能完全覆盖△ABC的最小圆,∴能完全覆盖△ABC的圆的半径R的最小值为8×12=4,所以答案是:5或4.26.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣1,3),B(﹣1,﹣3),C(3,﹣3)则△ABC外接试题分析:三角形的外心是三边中垂线的交点,设△ABC的外心为M;由A、B、C的坐标知:AB、BC的垂直平分线正好经过(1,0),由此可得到M(1,0),由勾股定理即可求得⊙M的半径长.答案详解:解:设△ABC的外心为M,如图:∵A(﹣1,3),B(﹣1,﹣3),C(3,﹣3),∴AB、BC的垂直平分线过(1,0),故M(1,0);MA就是⊙M的半径长,由勾股定理得:MA即△ABC27.如图,AB是⊙O的直径,AD、BC是⊙O的切线,P是⊙O上一动点,若AD=3,AB=4,BC=6,则△PDC的面积的最小值是 4 .试题分析:由CD是固定的,所以当P到CD的距离最小时△PCD的面积最小,过P作EF∥CD,交AD于点E,交BC于点F,当EF与⊙O相切时,P到CD的距离最短,连接OP并延长交CD于点Q,过O作OH∥BC,交EF于点G,交CD于点H,则可知OH为梯形ABCD的中位线,OG为梯形ABFE的中位线,可求得OH,过D作DM⊥BC于点M,可求得CD=EF=5,由切线长定理可知AE=EP,BF=PF,可得AE+BF=EF=5,可求得OG=2.5,可求得GH=2,又OP=2,且OPPQ=OGGH,可求得PQ=1.6,可求得△PCD的面积,可得出答案.答案详解:解:由CD是固定的,所以当P到CD的距离最小时△PCD的面积最小,如图,过P作EF∥CD,交AD于点E,交BC于点F,当EF与⊙O相切时,P到CD的距离最短,连接OP并延长交CD于点Q,过O作OH∥BC,交EF于点G,交CD于点H,则可知OH为梯形ABCD的中位线,OG为梯形ABFE的中位线,∴OH=12(AD+BC)=4.5,过D作DM⊥BC于点M,则DM=AB=4,MC=BC﹣AD=3,∴CD=EF=5,由切线长定理可知AE=EP,BF=PF,∴AE+BF=EF=5,∴OG=12(AE+BF)=2.5,∴GH=OH﹣OG=4.5﹣2.5=2,又∵OP=2,且OPPQ=OGGH,∴2PQ=2.52,∴PQ=1.6,∴S△PCD =12PQ•CD=12×1.6×5=4,所以答案是:4.28.如图,⊙O既是正△ABC的外接圆,又是正△DEF的内切圆,则内外两个正三角形的相似比是 12 .试题分析:过O作OM⊥AC于M,ON⊥EF于N,连接OC、OF,设OC=ON=R,根据等边三角形性质推出∠MCO =∠OFN =30°,求出OM 、OF 的值,根据勾股定理求出CM 、FN ,根据垂径定理求出AC 、EF 值,即可求出答案.答案详解:解:过O 作OM ⊥AC 于M ,ON ⊥EF 于N ,连接OC 、OF ,设OC =ON =R ,∵⊙O 既是正△ABC 的外接圆,又是正△DEF 的内切圆,∴∠MCO =∠OFN =30°,∵∠CMO =∠FNO =90°,∴OM =12R ,OF =2R ,由勾股定理得:CM ==2R ,由垂径定理得:AC =2CM =,同理EF =2NF =,即内外两个正三角形的相似比是AC :EF =1:2=12,所以答案是:12.29.如图,点C 在以O 为圆心的半圆内一点,直径AB =4,∠BCO =90°,∠OBC =30°,将△BOC 绕圆心逆时针旋转到使点C 的对应点C ′在半径OA 上,则边BC 扫过区域(图中阴影部分)面积为 π .(结果保留π)试题分析:根据直角三角形的性质求出OC 、BC ,根据扇形面积公式计算即可.答案详解:解:∵∠BCO =90°,∠OBC =30°,∴OC =12OB =1,BC则边BC 扫过区域的面积为:120π×22360+12××1−120π×12360−12××1=43π−13π−=π.所以答案是:π.30.如图,C 、D 是⊙O 上两点,位于直径AB 的两侧,设∠ABC =24°,则∠BDC = 66 °.试题分析:根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB =90°,然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠A =66°,从而利用同弧所对的圆周角相等即可解答.答案详解:解:∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =90°,∵∠ABC =24°,∴∠A =90°﹣∠ABC =66°,∴∠BDC =∠A =66°,所以答案是:66.31.某园林单位要在一个绿化带内开挖一个△ABC 的工作面,使得∠ACB =60°,CD 是AB 边上的高,且CD =6,则△ABC 的面积最小值是试题分析:作△ABC 的外接圆⊙O ,连接OA 、OB 、OC ,作OE ⊥AB 于E ,设OA =OC =2x .根据圆周角和等腰三角形的性质得OE =12OA =x ,AE =,再由线段的不等关系可得最小值,最后根据三角形面积公式答案.答案详解:解:作△ABC 的外接圆⊙O ,连接OA 、OB 、OC ,作OE ⊥AB 于E ,设OA =OC =2x .∵∠AOB =2∠ACB ,∠ACB =60°,∴∠AOB =120°,∠ACB =60°,OA =OB =R ,OE ⊥AB ,∴AE =EB ,∠AOE =∠BOE =60°,∴OE =12OA =x ,AE =,∵OC +OE ≥CD ,CD =6,∴3x ≥6,∴x ≥2,∴x 的最小值为2.∵E 为AB 中点,∴AB =AE +BE =2AE =,∵AB 的最小值为∴S △ABC 的最小值=12CD ⋅AB =12×6×=所以答案是:32.如图,正方形ABCD 的边长为4,E 是AD 的中点,点P 是边AB 上的一个动点,连接PE ,以P为圆心,PE 的长为半径作⊙P .当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时,则AP 的长为 32或试题分析:分⊙P 与BC 相切、⊙P 与DC 相切两种情况,根据切线的性质、勾股定理计算即可.答案详解:解:当⊙P 与BC 相切时,PE =PB =4﹣AP ,在Rt △PAE 中,AP 2+AE 2=PE 2,即AP 2+22=(4﹣AP )2,解得:AP =32,当⊙P 与DC 相切时,PE =4,则AP ==综上所述,当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时,则AP 的长为32或所以答案是:32或33.如图,在扇形AOB 中,OA =2,点P 为AB 上一动点,过点P 作PC ⊥OA 于点C ,PD ⊥OB 于点D ,连接CD ,当CD 取得最大值时,扇形OAB 的周长为 4+π .试题分析:∠AOB =90°时,CD 最大,由求出扇形的周长即可.答案详解:解:由PC ⊥OA ,PD ⊥OB 可知,∠OCP +∠ODP =180°,∴O 、C 、P 、D 四点共圆,CD 为此圆直径时,CD 最大,∴当∠AOB =90°时,CD 最大,如图:此时扇形周长为2+2+90⋅π⋅2180=4+π.所以答案是:4+π.34.如图,圆内一条弦CD 与直径AB 相交成30°角,且分直径成1cm 和5cm 两部分,则这条弦的弦心距是 1cm .试题分析:首先过点O 作OF ⊥CD 于点F ,设弦CD 与直径AB 相交于点E ,由分直径成1cm 和5cm两部分,可求得直径,半径的长,继而求得OE的长,又由圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角,即可求得这条弦的弦心距.答案详解:解:过点O作OF⊥CD于点F,设弦CD与直径AB相交于点E,∵分直径成1cm和5cm两部分,∴AB=6cm,∴OA=12AB=3cm,∴OE=OA﹣AE=2cm,∵∠OEF=30°,∴OF=12OE=1(cm).所以答案是:1cm.35.已知圆的两条平行弦分别长6dm和8dm,若这圆的半径是5dm,则两条平行弦之间的距离为 7dm 或1dm .试题分析:如图,AB∥CD,AB=6dm,CD=8dm,过O点作OE⊥AB于E,交CD于F点,连OA、OC,根据垂径定理得AE=BE=12AB=3,由于AB∥CD,EF⊥AB,则EF⊥CD,根据垂径定理得CF=FD=12CD=4,然后利用勾股定理可计算出OE=4,OF=3,再进行讨论:当圆心O在AB与CD之间时,AB与CD的距离=OE+OF;当圆心O不在AB与CD之间时,AB与CD 的距离=OE﹣OF.答案详解:解:如图,AB∥CD,AB=6dm,CD=8dm,过O点作OE⊥AB于E,交CD于F点,连OA、OC,∴AE=BE=12AB=3,∵AB∥CD,EF⊥AB,∴EF⊥CD,∴CF=FD=12CD=4,在Rt△OAE中,OA=5dmOE4,同理可得OF=3,当圆心O在AB与CD之间时,AB与CD的距离=OE+OF=4+3=7(dm);当圆心O不在AB与CD之间时,AB与CD的距离=OE﹣OF=4﹣3=1(dm).所以答案是7dm或1dm.36.如图,P(x,y)是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点,若x、y都是整数,则这样的点共有 12 个.试题分析:因为P(x,y)是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点,根据题意,x2+y2=25,若x、y都是整数,其实质就是求方程的整数解.答案详解:解:∵P(x,y)是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点,即圆周上的任意一点到原点的距离为5,=5,即x2+y2=25,又∵x、y都是整数,∴方程的整数解分别是:x=0,y=5;x=3,y=4;x=4,y=3;x=5,y=0;x=﹣3,y=4;x=﹣4,y=3;x=﹣5,y=0;x=﹣3,y=﹣4;x=﹣4,y=﹣3;x=0,y=﹣5;x=3,y=﹣4;x=4,y=﹣3.共12对,所以点的坐标有12个.分别是:(0,5);(3,4);(4,3);(5,0);(﹣3,4);(﹣4,3);(﹣5,0);(﹣3,﹣4);(﹣4,﹣3);(0,﹣5);(3,﹣4);(4,﹣3).37.在⊙O中,若弦BC垂直平分半径OA,则弦BC所对的圆周角等于 60或120 °.试题分析:根据弦BC垂直平分半径OA,可得OD:OB=1:2,得∠BOC=120°,根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可得弦BC所对的圆周角度数.答案详解:解:如图,∵弦BC垂直平分半径OA,∴OD:OB=1:2,∴∠BOD=60°,∴∠BOC=120°,∴弦BC所对的圆周角等于60°或120°.所以答案是:60或120.38.圆中一条弦所对的圆心角为60°,那么它所对的圆周角度数为 30或150 度.试题分析:由圆周角定理知,弦所对的优弧上的圆周角是30°;由圆内接四边形的对角互补可知,弦所对劣弧上的圆周角=180°﹣30°=150°.因此弦所对的圆周角度数有两个.答案详解:解:如图,∠AOB=60°;则∠C=12∠AOB=30°;∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形,∴∠D=180°﹣∠C=150°;因此弦AB所对的圆周角度数为30°或150°.39.一圆中两弦相交,一弦长为2a且被交点平分,另一弦被交点分成1:4两部分,则另一弦长为 5a2 .试题分析:设另一条弦被分成的两段长分别是x,4x,根据相交弦定理求解.圆内两条相交弦,被交点分成的线段的乘积相等.答案详解:解:设另一条弦被分成的两段长分别是x,4x.根据相交弦定理,得x•4x=a2,x=a 2.所以5x=52 a.三.解答题40.如图,CD为⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为F,AO⊥BC,垂足为E,连接AC.(1)求∠B的度数;(2)若CE=O的半径.试题分析:(1)根据垂径定理求出BE=CE,根据线段垂直平分线性质求出AB=AC,同理得AC =BC,则△ABC是等边三角形,从而得结论;(2)求出∠BCD=30°和OE=4,根据直角三角形中含30°角的性质求出圆O的半径即可.答案详解:解:(1)如图,∵AO⊥BC,AO过O,∴CE=BE,∴AB=AC,同理得:AC=BC,∴AB=AC=BC∴△ABC是等边三角形∴∠B=60°;(2)∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∵AC=BC,CD⊥AB,∴∠BCD=30°,∵CE=在Rt△CEO中,OE=4,∴OC=2OE=8,即圆O的半径为8.41.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是⊙O上的点,且OD∥BC,AC分别与BD,OD相交于点E,F.(1)求证:点D为AC的中点;(2)若DF=4,AC=16,求⊙O的直径.试题分析:(1)根据直径所对的圆周角是直角可得∠C=90°,从而利用平行线的性质可得∠OFA =∠C=90°,从而可得OF⊥AC,然后利用垂径定理即可解答;(2)利用垂径定理可得AF=12AC=8,然后在Rt△AFO中,利用勾股定理进行计算即可解答.答案详解:(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠C=90°,∵OD∥BC,∴∠OFA=∠C=90°,∴OF⊥AC,∴AD=CD,∴点D为AC的中点;(2)解:∵OF⊥AC,∴AF=12AC=8,在Rt△AFO中,AO2=AF2+OF2,∴OA2=64+(OD﹣DF)2,∴OA2=64+(OA﹣4)2,∴OA=10,∴⊙O的直径为20.42.如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,连接AC、AD.若∠BAC=35°,(1)求∠D的度数;(2)若∠ACD=65°,求∠CEB的度数.试题分析:(1)连接CB,根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°,从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ABC=55°,然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答;(2)利用三角形的外角性质,进行计算即可解答.答案详解:解:(1)连接CB,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠BAC=35°,∴∠ABC=90°﹣∠BAC=55°,∴∠ABC=∠D=55°,∴∠D的度数为55°;(2)∵∠CEB是△ACE的一个外角,∴∠CEB=∠BAC+∠ACD=100°,∴∠CEB的度数为100°.43.如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,D为弧BC的中点,过D作DF⊥AB于点E,交⊙O于点F,交弦BC于点G,连接CD,BF.(1)求证:BC=DF.(2)若BC=8,BE=2,求⊙O的半径.试题分析:(1)根据AAS证明△CDB≌△DBF,可得结论;(2)先根据垂径定理可得DE=4,设⊙O的半径为r,利用勾股定理求解即可.答案详解:(1)证明:∵D是BC的中点,∴BD=CD,∵AB为⊙O的直径,DF⊥AB,∴BD=BF,∴BD=BF=CD,∴BF=CD=BD,∠DCB=∠BDF=∠CBD=∠F,∴△CDB≌△DBF(AAS),∴BC=DF;(2)解:如图,连接OD交BC于点M,∵AB为⊙O的直径,DF⊥AB,∴DE=EF,。
六年级上册数学『圆』单元易错判断题50道
01.圆是轴对称图形,圆有无数条对称轴。
(✔)02.通过圆心的线段叫做直径。
(✘)03.在同圆或等圆中,直径一定比半径长。
(✔)04.所有的半径都相等。
(✘)05.两条半径的长等于一条直径的长。
(✘)06.水桶是圆形的。
(✘)07.所有的直径都相等。
(✘)08.圆的直径是半径的2倍。
(✘)09.两个圆的直径相等,它们的半径也一定相等。
(✔)10.直径总比半径长。
(✘)11.圆的对称轴就是直径所在的直线。
(✔)12.一个圆的直径是6㎝,那么它的半径是3㎝。
(✔)13.扇形的面积的大小与圆心角有关,与半径无关。
(✘)14.圆的半径越长,这个圆就越大。
(✔)15.画图时,圆规两脚尖之间的距离就是圆的半径。
(✔)16.同一个圆上所有的点到圆心的距离都相等。
(✔)17.半径是射线,直径是直线。
(✘)18.π=3.14。
(✘)19.圆的半径扩大4倍,圆的周长也扩大4倍。
(✔)20.如果两个圆的周长相等,那么这两个圆的半径和直径的长度也一定分别相等。
(✔)21.梯形可以画出一条对称轴。
(✘)22.在同圆或等圆中,所有的半径都相等,所有的直径也都相等。
(✔)23.在一个圆里,两端都在圆上的线段叫做圆的直径。
(✘)24.小圆半径是大圆半径的1/2,那么小圆周长也是大圆周长的1/2。
(✔)25.半圆的周长就是这个圆周长的一半。
(✔)26.求圆的周长,用字母表示就是C=πd或C=2πr。
(✔)27.半圆的周长就是用圆的周长除以2。
(✔)28.圆的面积一定比扇形的面积大。
(✘)29.一个圆的周长是它半径的2π倍。
(✔)30.圆的周长是它的直径的π倍。
(✔)31.圆的周长和它的直径的比值约是3.14。
(✔)32.两个半圆一定可以拼出一个圆。
(✘)33.圆的直径扩大2倍,它的周长也扩大2倍。
(✔)34.两个圆的直径相等,它们的周长也相等。
(✔)35.小圆的圆周率比大圆的圆周率小。
(✘)36.圆的周长与它的直径的比值是3.14。
圆的易错题六年级
圆的易错题六年级一、填空题。
1. 一个圆的半径是3厘米,它的直径是()厘米,周长是()厘米,面积是()平方厘米。
- 解析:在圆中,直径d = 2r(r是半径),所以直径d=2×3 = 6厘米;圆的周长公式C = 2π r,π取3.14时,C=2×3.14×3 = 18.84厘米;圆的面积公式S=π r^2,S = 3.14×3^2=3.14×9 = 28.26平方厘米。
2. 一个圆的周长是18.84分米,这个圆的半径是()分米,面积是()平方分米。
- 解析:根据圆的周长公式C = 2π r,可得r=(C)/(2π),C = 18.84分米,π = 3.14,则r=(18.84)/(2×3.14)=3分米;再根据面积公式S=π r^2,S = 3.14×3^2=28.26平方分米。
3. 在一个边长为8厘米的正方形内画一个最大的圆,这个圆的半径是()厘米,面积是()平方厘米。
- 解析:在正方形内画最大的圆,圆的直径等于正方形的边长,所以圆的半径r = 8÷2=4厘米;面积S=π r^2=3.14×4^2=3.14×16 = 50.24平方厘米。
4. 一个圆的面积是28.26平方米,它的半径是()米。
- 解析:根据圆的面积公式S=π r^2,28.26=π r^2,π = 3.14,则r^2=(28.26)/(3.14) = 9,r = 3米。
5. 把一个圆平均分成若干份,拼成一个近似的长方形,这个长方形的长相当于圆的(),宽相当于圆的()。
- 解析:把圆平均分成若干份拼成近似长方形,这个长方形的长相当于圆周长的一半,宽相当于圆的半径。
二、判断题。
6. 圆的半径扩大3倍,它的面积也扩大3倍。
(×)- 解析:圆的面积公式S=π r^2,半径扩大3倍变为3r,则面积S'=π(3r)^2=9π r^2,面积扩大了9倍,而不是3倍。
(易错题精选)初中数学圆的易错题汇编及答案(1)
(易错题精选)初中数学圆的易错题汇编及答案(1)一、选择题1.已知线段AB 如图,(1)以线段AB 为直径作半圆弧»AB ,点O 为圆心;(2)过半径OA OB 、的中点C D 、分别作CE AB DF AB ⊥⊥、,交»AB 于点E F 、;(3)连接,OE OF .根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是( )A .CE DF =B .»»AE BF =C .60EOF ∠=︒D . =2CE CO【答案】D【解析】【分析】 根据作图可知AC CO OD DB ===,据此对每个选项逐一判断即可.【详解】根据HL 可判定ECO FDO ≅V V ,得CE DF =,A 正确;∵过半径OA OB 、的中点C D 、分别作CE AB DF AB ⊥⊥、,连接AE ,CE 为OA 的中垂线,AE OE =在半圆中,OA OE =∴OA OE AE ==,AEO △为等边三角形,60EOF =o ∠AOE=∠FOD=∠, C 正确;∴圆心角相等,所对应的弧长度也相等,»»AE BF=,B 正确 ∵60,90EOC =o o ∠AOE=∠, ∴=3CE CO ,D 错误【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识点,解题的关键在于证明60o ∠AOE=.2.如图,ABC ∆是O e 的内接三角形,45A ∠=︒,1BC =,把ABC ∆绕圆心O 按逆时针方向旋转90︒得到DEB ∆,点A 的对应点为点D ,则点A ,D 之间的距离是()A .1B .2 C .3 D .2【答案】A【解析】【分析】 连接AD ,构造△ADB ,由同弧所对应的圆周角相等和旋转的性质,证△ADB 和△DBE 全等,从而得到AD=BE=BC=1.【详解】如图,连接AD ,AO ,DO∵ABC ∆绕圆心O 按逆时针方向旋转90︒得到DEB ∆,∴AB=DE ,90AOD ∠=︒,45CAB BDE ∠=∠=︒∴1452ABD AOD ∠=∠=︒(同弧所对应的圆周角等于圆心角的一半), 即45ABD EDB ∠=∠=︒,又∵DB=BD ,∴DAB BED ∠=∠(同弧所对应的圆周角相等),在△ADB 和△DBE 中 ABD EDB AB EDDAB BED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADB ≌△EBD (ASA ),∴AD=EB=BC=1.故答案为A.【点睛】本题主要考查圆周角、圆中的计算问题以及勾股定理的运用;顶点在圆上,两边都与圆相交的角角圆周角;掌握三角形全等的判定是解题的关键.3.如图,四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形.延长AB 与DC 相交于点G ,AO ⊥CD ,垂足为E ,连接BD ,∠GBC=50°,则∠DBC 的度数为( )A .50°B .60°C .80°D .90°【答案】C【解析】【分析】 根据圆内接四边形的性质得:∠GBC =∠ADC =50°,由垂径定理得:··CMDM =,则∠DBC =2∠EAD =80°.【详解】如图,∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形,∴∠GBC =∠ADC =50°.∵AE ⊥CD ,∴∠AED =90°,∴∠EAD =90°﹣50°=40°,延长AE 交⊙O 于点M .∵AO ⊥CD ,∴··CMDM =,∴∠DBC =2∠EAD =80°. 故选C .【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质:圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角,还考查了垂径定理的应用,属于基础题.4.如图,弧 AB 等于弧CD ,OE AB ⊥于点E ,OF CD ⊥于点F ,下列结论中错误..的是( )A .OE=OFB .AB=CDC .∠AOB =∠COD D .OE >OF【答案】D【解析】【分析】 根据圆心角、弧、弦的关系可得B 、C 正确,根据垂径定理和勾股定理可得A 正确,D 错误.【详解】解:∵»»AB CD =,∴AB =CD ,∠AOB =∠COD ,∵OE AB ⊥,OF CD ⊥,∴BE =12AB ,DF =12CD , ∴BE =DF ,又∵OB =OD , ∴由勾股定理可知OE =OF ,即A 、B 、C 正确,D 错误,故选:D .【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,垂径定理,勾股定理,熟练掌握基本性质定理是解题的关键.5.如图,AB 是⊙O 的直径,点C 是⊙O 上一点,点D 在BA 的延长线上,CD 与⊙O 交于另一点E ,DE=OB=2,∠D=20°,则弧BC 的长度为( )A .23πB .13πC .43πD .49π 【答案】A【解析】【分析】连接OE 、OC ,如图,根据等腰三角形的性质得到∠D=∠EOD=20°,根据外角的性质得到∠CEO=∠D+∠EOD=40°,根据等腰三角形的性质得到∠C=∠CEO=40°,根据外角的性质得到∠BOC=∠C+∠D=60°,根据求弧长的公式得到结论.【详解】解:连接OE 、OC ,如图,∵DE=OB=OE ,∴∠D=∠EOD=20°,∴∠CEO=∠D+∠EOD=40°,∵OE=OC ,∴∠C=∠CEO=40°,∴∠BOC=∠C+∠D=60°,∴»BC 的长度=260?2360π⨯=23π, 故选A.【点睛】本题考查了弧长公式:l=••180n R π(弧长为l ,圆心角度数为n ,圆的半径为R ),还考查了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质,熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键.6.在平面直角坐标系内,以原点O 为圆心,1为半径作圆,点P 在直线33y x =+上运动,过点P 作该圆的一条切线,切点为A ,则PA 的最小值为( )A .3B .2C 3D 2 【答案】D【解析】【分析】先根据题意,画出图形,令直线3x+ 23x 轴交于点C ,与y 轴交于点D ,作OH ⊥CD 于H ,作OH ⊥CD 于H ;然后根据坐标轴上点的坐标特点,由一次函数解析式,求得C 、D 两点的坐标值; 再在Rt △POC 中,利用勾股定理可计算出CD 的长,并利用面积法可计算出OH 的值; 最后连接OA ,利用切线的性质得OA ⊥PA ,在Rt △POH 中,利用勾股定理,得到21PA OP =-PA 的最小值即可.【详解】如图,令直线3x+23x轴交于点C,与y轴交于点D,作OH⊥CD于H,当x=0时,y=3D(0,3当y=033,解得x=-2,则C(-2,0),∴222(23)4CD=+=,∵12OH•CD=12OC•OD,∴2233⨯=连接OA,如图,∵PA为⊙O的切线,∴OA⊥PA,∴2221PA OP OA OP=-=-当OP的值最小时,PA的值最小,而OP的最小值为OH的长,∴PA22(3)12-=故选D.【点睛】本题考查了切线的性质,解题关键是熟记切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.7.中国科学技术馆有“圆与非圆”展品,涉及了“等宽曲线”的知识.因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的,所以圆是“等宽曲线”.除了例以外,还有一些几何图形也是“等宽曲线”,如勒洛只角形(图1),它是分别以等边三角形的征个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间画一段圆弧.三段圆弧围成的曲边三角形.图2是等宽的勒洛三角形和圆.下列说法中错误的是( )A .勒洛三角形是轴对称图形B .图1中,点A 到¶BC上任意一点的距离都相等 C .图2中,勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都相等D .图2中,勒洛三角形的周长与圆的周长相等【答案】C【解析】【分析】根据轴对称形的定义,可以找到一条直线是的图像左右对着完全重合,则为轴对称图形.鲁列斯曲边三角形有三条对称轴. 鲁列斯曲边三角形可以看成是3个圆心角为60°,半径为DE 的扇形的重叠,根据其特点可以进行判断选项的正误.【详解】鲁列斯曲边三角形有三条对称轴,就是等边三角形的各边中线所在的直线,故正确;点A 到¶BC上任意一点的距离都是DE ,故正确; 勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都不相等,1O 到顶点的距离是到边的中点的距离的2倍,故错误;鲁列斯曲边三角形的周长=3×60180DE DE ππ⨯=⨯ ,圆的周长=22DE DE ππ⨯=⨯ ,故说法正确.故选C.【点睛】主要考察轴对称图形,弧长的求法即对于新概念的理解.8.“直角”在几何学中无处不在,下列作图作出的AOB ∠不一定...是直角的是( ) A . B .C .D .【答案】C【解析】【分析】根据作图痕迹,分别探究各选项所做的几何图形问题可解.【详解】解:选项A 中,做出了点A 关于直线BC 的对称点,则AOB ∠是直角.选项B 中,AO 为BC 边上的高,则AOB ∠是直角.选项D 中,AOB ∠是直径AB 作对的圆周角,故AOB ∠是直角.故应选C【点睛】本题考查了尺规作图的相关知识,根据基本作图得到的结论,应用于几何证明是解题关键.9.将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放,A 为60°角与直尺的交点,B 为光盘与直尺的交点,AB =4,则光盘表示的圆的直径是( )A .4B .83C .6D .43【答案】B【解析】【分析】 设三角板与圆的切点为C ,连接OA 、OB ,根据切线长定理可得AB=AC=3,∠OAB=60°,然后根据三角函数,即可得出答案.【详解】设三角板与圆的切点为C ,连接OA 、OB ,由切线长定理知,AB =AC =3,AO 平分∠BAC ,∴∠OAB =60°,在Rt△ABO中,OB=AB tan∠OAB=43,∴光盘的直径为83.故选:B.【点睛】本题主要考查了切线的性质,解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.10.如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC=4,BD为⊙O的直径,则BD等于()A.4 B.6 C.8 D.12【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和定理求得∠C=∠ABC=30°,再根据圆周角定理及直角三角形的性质即可求得BD的长.【详解】∵∠BAC=120°,AB=AC=4,∴∠C=∠ABC=30°∴∠D=30°∵BD是直径∴∠BAD=90°∴BD=2AB=8.故选C.11.如图,⊙O过点B、C,圆心O在等腰直角△ABC的内部,∠BAC=90°,OA=1,BC=6,则⊙O的半径为()A.23B.13C.4 D.32【答案】B【解析】【分析】如下图,作AD⊥BC,设半径为r,则在Rt△OBD中,OD=3-1,OB=r,BD=3,利用勾股定理可求得r.【详解】如图,过A作AD⊥BC,由题意可知AD必过点O,连接OB;∵△BAC是等腰直角三角形,AD⊥BC,∴BD=CD=AD=3;∴OD=AD-OA=2;Rt△OBD中,根据勾股定理,得:OB= 22BD OD13+=故答案为:B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用,解题关键是利用等腰直角三角形ABC判定点O在AD上.12.如图,以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点E,交AD边于点F,则FEEC=()A.12B.13C.14D.38【答案】C【解析】【分析】连接OE、OF、OC,利用切线长定理和切线的性质求出∠OCF=∠FOE,证明△EOF∽△ECO,利用相似三角形的性质即可解答.【详解】解:连接OE、OF、OC.∵AD、CF、CB都与⊙O相切,∴CE=CB;OE⊥CF; FO平分∠AFC,CO平分∠BCF.∵AF∥BC,∴∠AFC+∠BCF=180°,∴∠OFC+∠OCF =90°,∵∠OFC+∠FOE =90°,∴∠OCF =∠FOE ,∴△EOF ∽△ECO , ∴=OE EF EC OE ,即OE 2=EF•EC . 设正方形边长为a ,则OE =12a ,CE =a . ∴EF =14a . ∴EF EC =14. 故选:C .【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质,其中通过作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键..13.下列命题中哪一个是假命题( )A .8的立方根是2B .在函数y =3x 的图象中,y 随x 增大而增大C .菱形的对角线相等且平分D .在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等【答案】C【解析】【分析】利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项.【详解】A 、8的立方根是2,正确,是真命题;B 、在函数3y x 的图象中,y 随x 增大而增大,正确,是真命题;C 、菱形的对角线垂直且平分,故错误,是假命题;D 、在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,正确,是真命题,故选C .【点睛】考查了命题与定理的知识,能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键.14.如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,OC交⊙O于点D,若∠ABD=24°,则∠C 的度数是()A.48°B.42°C.34°D.24°【答案】B【解析】【分析】根据切线的性质求出∠OAC,结合∠C=42°求出∠AOC,根据等腰三角形性质求出∠B=∠BDO,根据三角形外角性质求出即可.【详解】解:∵∠ABD=24°,∴∠AOC=48°,∵AC是⊙O的切线,∴∠OAC=90°,∴∠AOC+∠C=90°,∴∠C=90°﹣48°=42°,故选:B.【点睛】考查了切线的性质,圆周角定理,三角形内角和定理,解此题的关键是求出∠AOC的度数,题目比较好,难度适中.15.如图,3个正方形在⊙O直径的同侧,顶点B、C、G、H都在⊙O的直径上,正方形ABCD的顶点A在⊙O上,顶点D在PC上,正方形EFGH的顶点E在⊙O上、顶点F在QG 上,正方形PCGQ的顶点P也在⊙O上.若BC=1,GH=2,则CG的长为()A.125B6C21D.22【答案】B【解析】【分析】【详解】解:连接AO、PO、EO,设⊙O的半径为r,OC=x,OG=y,由勾股定理可知:22222222211{22r xr x x yr y=++=++=++()①()②()③,②﹣③得到:x2+(x+y)2﹣(y+2)2﹣22=0,∴(x+y)2﹣22=(y+2)2﹣x2,∴(x+y+2)(x+y﹣2)=(y+2+x)(y+2﹣x).∵x+y+2≠0,∴x+y﹣2=y+2﹣x,∴x=2,代入①得到r2=10,代入②得到:10=4+(x+y)2,∴(x+y)2=6.∵x+y>0,∴x+y=6,∴CG=x+y=6.故选B.点睛:本题考查了正方形的性质、圆、勾股定理等知识,解题的关键是设未知数列方程组解决问题,难点是解方程组,利用因式分解法巧妙求出x的值,学会把问题转化为方程组,用方程组的思想去思考问题.16.如图,圆O是△ABC的外接圆,∠A=68°,则∠OBC的大小是( )A.22°B.26°C.32°D.68°【答案】A【解析】试题分析:根据同弧所对的圆心角等于圆周角度数的两倍,则∠BOC=2∠A=136°,则根据三角形内角和定理可得:∠OBC+∠OCB=44°,根据OB=OC可得:∠OBC=∠OCB=22°.考点:圆周角的计算17.如图,四边形ABCD 内接于圆O ,DA DC =,50CBE ∠=︒,AOD ∠的大小为( )A .130°B .100°C .20°D .10°【答案】A【解析】【分析】 先求出∠ABC 的大小,根据内接四边形角度关系,得到∠ADC 的大小,从而得出∠C 的大小,最后利用圆周角与圆心角的关系得∠AOD 的大小.【详解】∵∠CBE=50°∴∠ABC=130°∵四边形ABCD 是内接四边形∴∠ADC=50°∵AD=DC∴在△ADC 中,∠C=∠DAC=65°∴∠AOD=2∠C=130°故选:A【点睛】本题考查圆的性质,主要是内接四边形对角互补和同弧对应圆心角是圆周角2倍,解题中,我们要充分利用圆的性质进行角度转换,以便得到我们需要的角度.18.如图,已知⊙O 上三点A ,B ,C ,半径OC=1,∠ABC=30°,切线PA 交OC 延长线于点P ,则PA 的长为( )A .2B 3C 2D .12【答案】B【解析】【分析】 连接OA ,由圆周角定理可求出∠AOC=60°,再根据∠AOC 的正切即可求出PA 的值.【详解】连接OA,∵∠ABC=30°,∴∠AOC=60°,∵PA是圆的切线,∴∠PAO=90°,∵tan∠AOC =PA OA,∴PA= tan60°×1=3.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识,根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键.19.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点M,若CD=8 cm,MB=2 cm,则直径AB的长为()A.9 cm B.10 cm C.11 cm D.12 cm【答案】B【解析】【分析】由CD⊥AB,可得DM=4.设半径OD=Rcm,则可求得OM的长,连接OD,在直角三角形DMO中,由勾股定理可求得OD的长,继而求得答案.【详解】解:连接OD,设⊙O半径OD为R,∵AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点M ,∴DM=12CD=4cm ,OM=R-2, 在RT △OMD 中, OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,解得:R=5,∴直径AB 的长为:2×5=10cm .故选B .【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理.注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用.20.如图,点E 为ABC ∆的内心,过点E 作MN BC P 交AB 于点M ,交AC 于点N ,若7AB =,5AC =,6BC =,则MN 的长为( )A .3.5B .4C .5D .5.5【答案】B【解析】【分析】 连接EB 、EC ,如图,利用三角形内心的性质得到∠1=∠2,利用平行线的性质得∠2=∠3,所以∠1=∠3,则BM=ME ,同理可得NC=NE ,接着证明△AMN ∽△ABC ,所以767MN BM -=,则BM=7-76MN①,同理可得CN=5-56MN②,把两式相加得到MN 的方程,然后解方程即可.【详解】连接EB 、EC ,如图,∵点E 为△ABC 的内心,∴EB 平分∠ABC ,EC 平分∠ACB ,∴∠1=∠2,∵MN∥BC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴BM=ME,同理可得NC=NE,∵MN∥BC,∴△AMN∽△ABC,∴MN AMBC AB=,即767MN BM-=,则BM=7-76MN①,同理可得CN=5-56MN②,①+②得MN=12-2MN,∴MN=4.故选:B.【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心,相似三角形的判定与性质,解题关键在于掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.。
第2章 对称图形-圆(易错必刷30题7种题型专项训练)(原卷版)
第2章对称图形-圆(易错必刷30题7种题型专项训练)一.垂径定理(共1小题)1.(2022秋•潍城区期中)如图,⊙O的直径AB与弦CD交于点E,若B为的中点,则下列说法错误的是()A.B.OE=BE C.CE=DE D.AB⊥CD二.圆心角、弧、弦的关系(共1小题)2.(2022秋•邳州市期中)如图,AB、CD是⊙O的两条弦,∠AOC=∠BOD.求证:AB=CD.三.圆周角定理(共19小题)3.(2022秋•邳州市期中)如图,在⊙O中,∠A=30°,则的度数为()A.30°B.15°C.60°D.40°4.(2022秋•海淀区校级期中)如图,点A,B,C均在⊙O上,若∠AOB=50°,则∠ACB的度数是()A.25°B.50°C.75°D.100°5.(2022秋•拱墅区校级期中)如图,点A在⊙O上,∠OBC=25°,则∠BAC的度数为()A.55°B.65°C.75°D.130°6.(2022秋•郾城区期中)如图,⊙O中,OA⊥弦BC,点E为垂足,点D在优弧上,则下列语句中,错误的是()A.BE=CE B.C.∠AOB=2∠ADC D.∠BCD=∠CBO7.(2022秋•巧家县期中)如图,A、B、D为⊙O上的点,∠ADB=57°,则∠AOB为()A.100°B.124°C.104°D.114°8.(2022秋•镇江期中)如图,C、D是⊙O上两点,位于直径AB的两侧,设∠ABC=24°,则∠BDC =°.9.(2022秋•邗江区期中)如图,已知点A,B,C依次在⊙O上,∠B﹣∠A=40°,则∠AOB的度数为.10.(2022秋•仪征市期中)如图,已知点A,B,C依次在⊙O上,∠B﹣∠A=30°,则∠AOB的度数为°.11.(2022秋•梁溪区校级期中)如图,OA、OB是⊙O的半径,C是⊙O上一点,∠AOB=40°,则∠ACB =°.12.(2022秋•崇川区期中)如图,圆的两条弦AB,CD相交于点E,且,∠A=36°,则且∠CEB的度数为.13.(2022秋•镇江期中)如图,AB为⊙O直径,CD为弦,AB⊥CD于E,连接CO,AD,∠BAD=26°,则∠BOC=.14.(2022秋•东台市期中)如图,AB是半圆O的直径,∠ABD=35°,点C是上的一点,则∠C=度.15.(2022秋•武昌区期中)已知⊙O的两条弦为AB、AC,连接半径OA、OB、OC,若AC=AB=OA,则∠BOC的度数为.16.(2022秋•东台市期中)如图,以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C,AE,BE分别平分∠BAC和∠ABC,AE的延长线交⊙O于点D,连接BD.(1)判断△BDE的形状,并证明你的结论;(2)若AB=10,BE=2,求BC的长.17.(2022秋•大丰区期中)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,连接AC、AD.若∠BAC=35°,(1)求∠D的度数;(2)若∠ACD=65°,求∠CEB的度数.18.(2022秋•工业园区校级期中)如图,BC是⊙O的直径,点A在⊙O上,AD⊥BC.垂足为点D.AE=AB,BE分别交AD、AC于点F、G.(1)判断△F AG的形状.并说明理由;(2)延长AD交⊙O于点M,连接ME,求证:ME⊥AC.19.(2022秋•梁溪区校级期中)如图,⊙O的直径AE=8,∠B=∠EAC,求AC的长.20.(2022秋•确山县期中)如图所示,⊙O的直径AB为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D.(1)判断△ADB的形状,并证明;(2)求BD的长.21.(2022秋•南浔区期中)如图,已知AC是⊙O的直径,AB,CD是⊙O中的两条弦,且AB∥CD,连结AD,BC.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)若∠BAC=30°,⊙O的直径为10,求矩形ABCD的面积.四.点与圆的位置关系(共1小题)22.(2022秋•新吴区期中)如图,点A,B的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C为坐标平面内一点,BC=1,点M为线段AC的中点,连接OM,则OM的最大值为()A.+1B.+C.2+1D.2﹣五.三角形的外接圆与外心(共2小题)23.(2022秋•溧阳市期中)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,直径AB=4,CD平分∠ACB交⊙O于点D,交AB于点E,连接AD、BD.(1)若∠CAB=25°,求∠AED的度数;(2)求AD的长.24.(2022秋•江都区期中)如图,四边形ABCD是平行四边形,∠B=60°,经过点A,C,D的圆与BC相交于点E,连接AE.(1)求证:△ABE是等边三角形.(2)F是上一点,且F A=FC,连接EF.求证:EF=BC.六.切线的性质(共5小题)25.(2022秋•丹阳市校级期中)如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=120°,以点C为圆心画弧,且与AB,AD边相切,则图中阴影部分的面积是()A.B.C.D.26.(2022秋•五华区校级期中)下列说法正确的是()A.平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧B.圆的切线垂直于圆的半径C.三角形的外心到三角形三边的距离相等D.同弧或等弧所对的圆周角相等27.(2022秋•兴隆台区校级期中)如图,在平面直角坐标系中,以M(2,3)为圆心,AB为直径的圆与x 轴相切,与y轴交于A,C两点,则AC的长为()A.4B.C.D.628.(2022秋•五华区校级期中)P A,PB是⊙O的切线,A,B是切点,点C是⊙O上不与A,B重合的一点,若∠APB=70°,则∠ACB的度数为.29.(2022秋•矿区期中)如图,△ABC内接于⊙O,直线EF与⊙O相切于点B,若∠C=40°,则∠ABF =.七.切线的判定与性质(共1小题)30.(2022秋•邳州市期中)如图,AB为⊙O的直径,过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C,过点O作OE∥AD交CD于点E,连接BE.(1)直线BE与⊙O相切吗?并说明理由;(2)若CA=2,CD=4,求DE的长.。
2024中考数学易错题专题易错06 圆(六大易错分析+举一反三+易错题通关)(解析版)
易错06圆易错点一:忽略了两个圆周角易错提醒:在同一个圆中,一条弦对着两种圆周角,这两种圆周角互补。
例1.如图,⊙O的半径是2,AB是⊙O的弦,点P是弦AB上的动点,且1≤OP≤2,则弦AB所对的圆周角的度数是( )A.60o B.120oC.60o或120o D.30o或150o【答案】C【详解】作OD⊥AB,如图,∵点P 是弦AB 上的动点,且12OP ££, ∴OD =1,30OAB \Ð=o , 120AOB \Ð=o , 1602AEB AOB \Ð=Ð=o , 180E F Ð+Ð=o Q ,120.F \Ð=o即弦AB 所对的圆周角的度数为60o 或120.o故选C.点睛:圆内接四边形的对角互补.例2.在半径为1的O e 中,弦AB =,则弦AB 所对的圆周角的度数为( ).A .45°B .30°C .45°或135°D .60°或120°【答案】C【分析】本题考查了圆周角定理,勾股定理的逆定理,掌握一条弦所对的圆周角有两种情况是解答本题的关键.连结OA ,OB ,先根据勾股定理的逆定理得到90AOB Ð=°,再根据圆周角的顶点在优弧和劣弧上两种情况,分别求出弦AB 所对的圆周角的度数即可.【详解】如图,连结OA ,OB ,=1OA OB =Q ,AB ,222+OA OB AB \=,90AOB Ð=°∴,当圆周角的顶点在优弧上时,1452ADB AOB а=Ð=,当圆周角的顶点在劣弧上时, 90AB =°,36090270ADB \=°-°=°,135ADB \Ð=°综上所述,弦AB 所对的圆周角的度数为45°或135°.故选C .变式1.圆中一条弦所对的圆心角是30°,则这条弦所对的圆周角的度数是 .【答案】15°或165°【分析】本题考查圆周角定理,分弦所对的弧为优弧和劣弧两种情况进行讨论即可.解题时,要注意分类讨论.【详解】解:当弦所对的弧为劣弧时,∵该弦所对的圆心角是30°,∴这条弦所对的圆周角的度数是15°;当弦所对的弧为优弧时,则:这条弦所对的圆周角的度数是18015165°-°=°;故答案为:15°或165°.变式2.已知AB 为e O 的弦,沿AB 折叠e O ,圆心O 恰好落在e O 上,则弦AB 所对的圆周角的度数为 .【答案】60°或120°【分析】本题考查了折叠的性质,圆的基本概念,等边三角形的性质,解题关键是“数形结合”.由沿AB 折叠e O ,圆心O 恰好落在e O 上点O ¢,可得OBO ¢△是等边三角形,即可得AOB Ð,再由圆的基本概念即可求解.【详解】解:沿AB 折叠e O ,圆心O 恰好落在e O 上点O ¢,OO ¢交AB 于点C 如图:由折叠可得:,OB O B OA O A ¢¢==,OB O B OO ¢¢\==,OBO ¢\V 是等边三角形,60O OB ¢\Ð=°,120AOB \Ð=°,\弦AB 所对的圆周角的度数为:60°或120°故答案为:60°或120°变式3.如图,O e 的半径为1,AB 是O e 的一条弦,且=1AB ,则弦AB 所对的圆周角的度数为 .【答案】30°或150°【分析】连接OA ,OB ,判定AOB △是等边三角形,再根据圆周角定理可得1==302C AOB Ðа,根据圆内接四边形的性质,即可得到答案.【详解】解:如图:连接OA ,OB ,在优弧AB 上取一点C ,在劣弧AB 上取一点D ,1AB =Q ,O e 的半径为1,OA OB AB \==,AOB \V 是等边三角形,=60AOB \а,∴1==302C AOB Ðа,=180=150ADB C \Ð-а°,∴弦AB 所对的圆周角的度数为30°或150°.故答案为:30°或150°.【点睛】本题考查的是圆周角定理,圆内接四边形的性质,等边三角形的判定和性质,掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键.变式4.线段AB 是圆内接正十边形的一条边,则AB 所对的圆周角的度数是 度.【答案】18或162/162或18【分析】作出图形,求出一条边所对的圆心角的度数,再根据圆周角和圆心角的关系解答.【详解】解:如下图,圆内接正十边形的边AB 所对的圆心角1=36010=36а¸°,则2=36036=324а-°°,根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半,AB 所对的圆周角的度数是136=182°´°或1324=1622°´°.故答案为:18或162.【点睛】本题主要考查了正多边形的中心角、圆周角定理等知识,解题关键是熟练掌握圆周角和圆心角的关系,并要注意分两种情况讨论.1.已知弦AB 把O e 的周长分成1:3的两部分,则弦AB 所对的圆周角的度数为 .【答案】45°或135°【分析】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质,以及圆心角与弧的关系.此题难度不大,解题的关键是注意数形结合思想的应用.先根据题意画出图形,然后由圆的一条弦AB 把圆周分成1:3两部分,求得AOB Ð的度数,又由圆周角定理,求得ACB Ð的度数,然后根据圆的内接四边形的对角互补,求得ADB Ð的度数,继而可求得答案.【详解】解:Q 弦AB 把O e 分成1:3两部分,1360904AOB \Ð=´°=°,1452ACB AOB \Ð=Ð=°,Q 四边形ADBC 是O e 的内接四边形,180135ADB ACB \Ð=°-Ð=°.\弦AB 所对的圆周角的度数为45°或135°,故答案为45°或135°.2.已知AB 是半径为6的圆的一条弦,若AB =AB 所对圆周角的度数是( )A .60°B .30°或150°C .60°或120°D .120°【答案】C【分析】根据垂径定理和正弦定义求得60AOC Ð=°,进而得到AOB Ð的度数,再根据圆周角定理和圆内接四边形的对角互补求解即可.【详解】解:如图,OC AB ^于C ,则12AC BC AB ===在Rt OAC V 中,OA =AC =∴sin AC AOC OA Ð==,∴60AOC Ð=°,∵OA OB =,OC AB ^,∴60BOC AOC Ð=Ð=°,∴2120AOB AOC Ð=Ð=°,∴1602ADB AOB Ð=Ð=°,∵四边形ADBE 是圆内接四边形,∴180120AEB ADB Ð=°-Ð=°,故AB 所对圆周角的度数是60°或120°,故选:C .【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三角形以及圆内接四边形的性质,熟练掌握圆周角定理是解答的关键.3.在半径为5的O e 中,弦5AB =,则弦AB 所对的圆周角的度数为 .【答案】30°或150°【分析】本题考查了圆周角定理,圆内接四边形对角互补;弦所对的弧有优弧和劣弧,故弦所对的圆周角也有两个,它们的关系是互补关系;弦长等于半径时,弦所对的圆心角为60°.【详解】解:如图,弦AB 所对的圆周角为C Ð,D Ð,连接OA 、OB ,因为5AB OA OB ===,所以,60AOB Ð=°,根据圆周角定理知,1302C AOB Ð=Ð=°,根据圆内接四边形的性质可知,180150D C Ð=°-Ð=°,所以,弦AB 所对的圆周角的度数30°或150°.故答案为:30°或150°.4.在O e 中,84AOB Ð=°,则弦AB 所对的圆周角的度数为 .【答案】42°或138°【分析】画出图形,可知弦AB 所对的圆周角有两个,根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”,“圆的内接四边形对角互补”即可求解,本题考查圆周角定理和圆的内接四边形的性质,解题的关键是注意弦所对的圆周角有两个,且互补.【详解】解:如图,ACB Ð和ADB Ð都是弦AB 所对的圆周角,Q 弦AB 所对的圆心角84AOB Ð=°,\ACB Ð1422AOB =Ð=°,Q 四边形ADBC 是O e 的内接四边形,\180ADB ACB Ð+Ð=°,\180138ADB ACB Ð=°-Ð=°,故答案为:42°或138°.5.已知⊙O 半径为r ,弦AB =r ,则AB 所对圆周角的度数为 .【答案】30°或150°【分析】先计算出AOB Ð的度数,根据圆周角定理即可求出C Ð的度数,再根据圆的内接四边形定理,可得的ADB Ð度数 ,这两个角都是弦AB 所对的圆周角.【详解】解:如图,O e 中 OA OB AB ==,∴60AOB Ð=°, ∴1302C AOB ==°∠∠,∵四边形ACBD 是O e 的内接四边形,∴180C ADB Ð+Ð=°,∴ADB Ð=18030150°-°=°,∴弦AB 所对的圆周角的度数是30°或150°.故答案为:30°或150°.【点睛】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形定理,熟练掌握这两个定理是解题的关键.注意:圆当中一条弦对了两条弧,也就对了两个圆周角,做题时防止漏掉一个解.6.如图,四边形ABCD 内接于O e ,4OC =,AC =(1)求点O 到AC 的距离;(2)求出弦AC 所对的圆周角的度数.【答案】(1)(2)∠B =45°,∠D =135°.【分析】(1)连接OA ,作OH ⊥AC 于H ,根据勾股定理的逆定理得到∠AOC =90°,根据等腰直角三角形的性质解答;(2)根据圆周角定理求出∠B ,根据圆内接四边形的性质计算,得到答案.【详解】(1)连接OA ,作OH ⊥AC 于H ,∵4OA OC ==,AC =,∴22224432OA OC +=+=,232AC ==, ∴OA 2+OC 2=AC 2,∴△AOC 为等腰直角三角形,90,AOC Ð=° 又∵OH AC ^,∴AH CH =,∴OH =12AC =O 到AC 的距离为;(2)90,AOC Ð=°Q\ ∠B =12∠AOC =45°,∵四边形ABCD 内接于⊙O , ∴∠D =180°-45°=135°.综上所述:弦AC 所对的圆周角∠B =45°,∠D =135°.【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质,圆周角定理,勾股定理的逆定理,掌握圆内接四边形对角互补是解本题的关键.7.如图,四边形ABCD 内接于4O OC AC ==,,e .(1)求点O 到AC 的距离;(2)直接写出弦AC 所对的圆周角的度数.【答案】(1)点O 到到AC 的距离为(2)弦AC 所对的圆周角的度数为45°或135°【分析】(1)过点O 作OE AC ^于点E ,利用勾股定理求解即可;(2)连接OA ,利用圆周角定理求出B Ð,再利用圆内接四边形的性质求出ADC Ð即可.【详解】(1)解:过点O 作OE AC ^于点E ,则12CE AC =,∵AC =∴CE =,在Rt OCE V 中,4OC =,∴OE ===∴点O 到到AC 的距离为;(2)解:连接OA ,由(1)知,在Rt OCE V 中,OE CE =,∴45OCE EOC Ð=Ð=°,∵OA OC =,∴45OAC OCA Ð==°,∴=90AOC а,∴45B Ð=°,∴180********ADC B Ð=°-Ð=°-°=°,∴弦AC 所对的圆周角的度数为45°或135°.【点睛】本题考查了垂径定理,勾股定理,灵活运用所学知识求解是解决本题的关键.易错点二:忽略两弦与圆心的位置易错提醒:求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置:两弦在圆心的同侧,两弦在圆心的异侧.例3.如图,一下水管道横截面为圆形,直径为260cm ,下雨前水面宽为100cm ,一场大雨过后,水面宽为240cm ,则水位上升 cm .【答案】70或170/170或70【分析】过圆心作垂直于弦的线段,构造直角三角形,再分水位分别在圆心上方和下方的两种情况去讨论,垂径定理与勾股定理结合求解即可.【详解】解:如图所示:,OE CD OF AB ^^,由题意=100cm AB ,=240cm CD ,根据垂径定理,1120cm 2DE CD ==,150cm 2BF AB ==,直径为260cm ,半径130cm OD OB ==,\在Rt OED V 中,222221*********OE OD DE =-=-=,\50cmOE =\在Rt OFB △中,222221305014400OF OB BF =-=-=,\120cmOF =①当CD 在圆心下方时,1205070cmEF OF OE =-=-=②当CD 在圆心上方时,12050170cmEF OF OE =+=+=故答案为:70或170【点睛】本题考查了垂径定理的应用,掌握垂径定理、灵活运用分类讨论的思想是解题的关键.例4.已知⊙O 的直径为20, AB , CD 分别是⊙O 的两条弦,且AB//CD ,AB=16,CD=10,则AB ,CD 之间的距离是 .【答案】6-或【分析】分两种情况考虑:当两条弦位于圆心O 一侧时,如图1所示,过O 作OE CD ^,交CD 于点E ,交AB 于点F ,连接OA ,OC ,由AB //CD ,得到OF AB ^,利用垂径定理得到E 与F 分别为CD 与AB 的中点,在直角三角形AOF 中,利用勾股定理求出OF 的长,在三角形COE 中,利用勾股定理求出OE 的长,由OE OF -即可求出EF 的长;当两条弦位于圆心O 两侧时,如图2所示,同理由OE OF +求出EF 的长即可.【详解】解:分两种情况考虑:当两条弦位于圆心O 一侧时,如图1所示,过O 作OE AB ^,交CD 于点E ,交AB 于点F ,连接OA ,OC ,AB //CD Q ,OE CD \^,∴F 、E 分别为AB 、CD 的中点,1AF BF AB 82\===,1CE DE CD 52===,在Rt COE V 中,OC 10=,CE 5=,根据勾股定理得:OE =,在Rt AOF V 中,OA 10=,8AF =,根据勾股定理得:OF =,则6EF OE OF =-=-;当两条弦位于圆心O 两侧时,如图2所示,同理可得6EF OE OF =+=,综上,弦AB 与CD 的距离为6或6,故答案为:6或6.【点睛】此题考查了垂径定理,勾股定理,利用了分类讨论的思想,熟练掌握垂径定理是解本题的关键.变式1.如图,O e 的半径为4,AB ,CD 是O e 的弦,且//AB CD ,4AB =,CD =,则AB 和CD 之间的距离为 .【答案】【分析】作OE AB ^于E ,交CD 于F ,连结OA ,OC ,根据平行线的性质等到OF CD ^,再利用垂径定理得到1122AE AB CF CD ==,,再由勾股定理解得OE ,OF 的长,继而分类讨论解题即可.【详解】作OE AB ^于E ,交CD 于F ,连结OA ,OC ,如图,//AB CDQ OF CD\^11222AE BE AB CF DF CD \======,在Rt OAE △中,42OA AE ==Q ,OE \==在Rt OCF V 中,4OC ==Q ,C FOF \==当圆心O 在AB 与CD 之间时,EF OF OE =+=当圆心O 不在AB 与CD 之间时,EF OF OE =-=即AB 和CD 之间的距离为故答案为:【点睛】本题考查勾股定理、垂径定理、分类讨论等知识,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.变式2.在圆柱形油槽内装有一些油,油槽直径MN 为10分米.截面如图,油面宽AB 为6分米,如果再注入一些油后,当油面宽变为8分米,油面AB 上升( )A .1分米B .4分米C .3分米D .1分米或7分米【答案】D 【分析】实质是求两条平行弦之间的距离.根据勾股定理求弦心距,作和或差分别求解.【详解】解:连接OA .作OG ⊥AB 于G ,则在直角△OAG 中,AG =3分米,因为OA =5分米,根据勾股定理得到:OG =4分米,即弦AB 的弦心距是4分米,同理当油面宽AB 为8分米时,弦心距是3分米,当油面没超过圆心O 时,油上升了1分米;当油面超过圆心O 时,油上升了7分米.因而油上升了1分米或7分米.故选:D .【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理,灵活运用是本题解题关键,注意要分类讨论.变式3.⊙O 的半径是10,弦AB CD ∥,1612AB CD ==,,则弦AB 与CD 的距离是( )A .2B .14C .2或14D .7或1【答案】C【分析】本题考查了垂径定理的应用.作OE AB ^于E ,OF CD ^于F ,由垂径定理得118622AE AB CF CD ====,,由于AB CD ∥,易得E 、O 、F 三点共线,在Rt AOE △和Rt OCF V 中,利用勾股定理分别计算出OE 与OF ,然后讨论:当圆心O 在弦AB 与CD 之间时,AB 与CD 的距离OF OE =+;当圆心O 在弦AB 与CD 的外部时,AB 与CD 的距离OF OE =-.【详解】解:如图,作OE AB ^于E ,OF CD ^于F ,连10OA OC OA OC ==,,,则118622AE AB CF CD ====,,∵AB CD ∥,∴E 、O 、F 三点共线,在Rt AOE △中,6OE ===,在Rt OCF V 中,8OF ===,当圆心O 在弦AB 与CD 之间时,AB 与CD 的距离8614OF OE +=+=;当圆心O 在弦AB 与CD 的外部时,AB 与CD 的距离862OF OE -=-=.所以AB 与CD 的距离是14或2.故选:C .变式4.已知O e 的半径为13,弦AB 平行于CD ,1024CD AB ==,,求AB 和CD 之间的距离.【答案】AB 和CD 之间的距离为7或17【分析】本题主要考查了垂径定理,勾股定理,分当O e 的圆心O 位于AB 、CD 之间时,当O e 的圆心O 不在两平行弦AB 、CD 之间时,两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O 到AB 和CD 的距离,据此可得答案.【详解】解:如图,当O e 的圆心O 位于AB 、CD 之间时,作OE AB ^于点E ,并延长EO ,交CD 于F 点.分别连接AO 、CO .∵AB CD P ,∴EF CD ^,∵1024CD AB ==,,∴1112522AE AB CF CD ====,,在Rt AEO △中,由勾股定理得5OE ==,在Rt CFO △中,由勾股定理得12OE ==,∴51217EF OE OF =+=+=,∴AB 和CD 之间的距离为17;如图所示,当O e 的圆心O 不在两平行弦AB 、CD 之间(即弦AB 、CD 在圆心O 的同侧)时,同理可得:125OF OE ==,,∴7EF OF OE =-=,∴AB 和CD 之间的距离为7;综上所述,AB 和CD 之间的距离为7或17.1.在半径为4cm 的O e 中,弦CD 平行于弦AB ,AB =,90BOD Ð=°,则AB 与CD 之间的距离是 cm .【答案】2或2【分析】根据题意,分析两种AB 的位置情况进行求解即可;【详解】解:①如图,AB //CD ,过点O 作GH AB GH CD^^、在O e 中∵90BOD Ð=°,GH AB GH CD^^、∴90GOB DOH Ð+Ð=°∴GOB ODHÐ=Ð∵OGB DHOGOB ODHOB ODÐ=ÐìïÐ=Ðíï=î∴()ΔΔGOB DHO AAS @∴BG OH=∵OG AB^∴12OH BG AB ===∴2OG ===∴2GH OH OG =+=∵AB //CD∴AB 与CD 之间的距离即GH∴AB与CD 之间的距离为2+②如图,作OF AB PD AB ^^、,连接AD则有四边形PEFD 是矩形,∴EF =PD∵90BOD Ð=°∴45BAD Ð=°∵PD AB^∴AP PD =∵OF AB^∴12BE AB ==∴2OE===∵222OD OF FD =+∴()()22242PD PD=++∴2PD =故答案为:2或2-【点睛】本题主要圆的的性质、三角形的全等,勾股定理,掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键.2.已知AB 、CD 是⊙O 的两条平行弦,⊙O 的半径为17cm ,30AB cm =,16CD cm =,则AB 、CD 间的距离为 .【答案】7或23【分析】过圆心作两条平行线的垂线,根据垂径定理分别在直角三角形中计算即可.【详解】如图,当两条弦在圆心两侧时:Q AB 、CD 是⊙O 的两条平行弦,\过圆心作MN 分别垂直于AB 、CD ,则根据垂径定理可得:15BN =,8DM =,在Rt DMO △中,15OM ===;同理在Rt BNO V 中,8ON ===;则15823MN =+=,同理可得:当两条弦位于圆心同侧时,1587MN =-=,故答案为:7或23.【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理解直角三角形,熟练掌握垂径定理并仔细计算是解题关键.3.如图,已知AB 是半圆O 的直径,弦CD ∥AB ,CD =8.AB =10,则CD 与AB 之间的距离是 .【答案】3【分析】过点O作OH⊥CD于H,连接OC,先利用垂径定理得到CH=4,然后在Rt△OCH中,利用勾股定理即可求解.【详解】解:过点O作OH⊥CD于H,CD=4,连接OC,如图,则CH=DH=12在Rt△OCH中,OH=3,所以CD与AB之间的距离是3.故答案为3.【点睛】此题主要考查垂径定理和勾股定理,熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键.4.若弦AB,CD是⊙O的两条平行弦,⊙O的半径为13,AB=10,CD=24,则AB,CD之间的距离为A.7B.17C.5或12D.7或17【答案】D【分析】过O作OE⊥AB交AB于E点,过O作OF⊥CD交CD于F点,连接OA、OC,由题意可得:OA=OC=13,AE=EB=12,CF=FD=5,E、F、O在一条直线上,EF为AB、CD之间的距离,再分别解Rt △OEA、Rt△OFC,即可得OE、OF的长,然后分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD 的距离.【详解】解:①当AB、CD在圆心两侧时;过O作OE⊥AB交AB于E点,过O作OF⊥CD交CD于F点,连接OA、OC,如图所示:∵半径r=13,弦AB∥CD,且AB=24,CD=10∴OA=OC=13,AE=EB=12,CF=FD=5,E、F、O在一条直线上∴EF为AB、CD之间的距离在Rt△OEA中,由勾股定理可得:OE2=OA2-AE2∴在Rt△OFC中,由勾股定理可得:OF2=OC2-CF2∴∴EF=OE+OF=17AB与CD的距离为17;②当AB、CD在圆心同侧时;同①可得:OE=5,OF=12;则AB与CD的距离为:OF-OE=7;故答案为:17或7.【点睛】本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用.5.AB和CD是⊙O的两条平行弦,AB=6,CD=8,⊙O的半径为5,则AB与CD间的距离为( )A.1或7B.7C.1D.3或4【答案】A【分析】分两种情况:①当AB、CD在圆心两侧时;②当AB、CD在圆心同侧时;利用垂径定理及勾股定理求出答案.【详解】解:①当AB、CD在圆心两侧时;过O作OE⊥CD交CD于E点,过O作OF⊥AB交AB于F点,连接OA、OC,如图所示:∵半径r=5,弦AB∥CD,且AB=6,CD=8,∴OA=OC=5,CE=DE=4,AF=FB=3,E、F、O在一条直线上,∴EF为AB、CD之间的距离在Rt△OEC中,由勾股定理可得:OE2=OC2﹣CE2∴OE==3,在Rt△OFA中,由勾股定理可得:OF2=OA2﹣AF2∴OF==4,∴EF=OE+OF=3+4=7,AB与CD的距离为7;②当AB 、CD 在圆心同侧时;同①可得:OE =3,OF =4;则AB 与CD 的距离为:OF ﹣OE =1;综上所述:AB 与CD 间的距离为1或7.故选:A.【点睛】此题考查圆的垂径定理、直角三角形的勾股定理,解题中注意运用分类讨论的思想避免漏解.6.已知O e 的半径长为5R =,弦AB 与弦CD 平行,6AB =,8CD =,求,AB CD 间的距离.【答案】1或7【分析】先根据勾股定理求出OF=4,OE=3,再分AB 、CD 在点O 的同侧时,AB 、CD 在点O 的两侧时两种情况分别计算求出EF 即可.【详解】如图,过点O 作OE ⊥CD 于E ,交AB 于点F ,∵//AB CD ,∴OE ⊥AB ,在Rt △AOF 中,OA=5,AF=12AB=3,∴OF=4,在Rt △COE 中,OC=5,CE=12CD=4,∴OE=3,当AB 、CD 在点O 的同侧时,AB 、CD 间的距离EF=OF-OE=4-3=1;当AB 、CD 在点O 的两侧时,AB 、CD 间的距离EF=OE+OF=3+4=7,故答案为:1或7.【点睛】此题考查了圆的垂径定理,勾股定理,在圆中通常利用垂径定理和勾股定理求半径、弦的一半、弦心距三者中的一个量.7.已知O e 的半径为5cm ,弦//AB CD ,6cm AB =,8cm CD =,求AB 与CD 间的距离.【答案】7cm 或1cm【分析】有两种情况,即AB ,CD 在圆心O 的同侧或两侧两种情况,需分类讨论.【详解】解:如图①,过O 作OF AB ^于F 交CD 于E ,连接OA ,OC ,//AB CD Q ,OE CD \^;由垂径定理得132AF FB AB ===,142CE DE CD ===,4OF \,3OE ==,1EF OF OE cm \=-=;如图②,过O 作OF AB ^于F ,OE CD ^于E ,连接AO ,CO ,同理可得4OF cm =,3OE cm =,当AB ,CD 在圆心O 的两侧时,7()EF OF OE cm =+=,AB \与CD 的距离为7cm 或1cm .【点睛】此题主要考查的是勾股定理及垂径定理的应用,需注意AB 、CD 的位置关系有两种,不要漏解.易错点三:理解不准确切线判定常用的证明方法:①知道直线和圆有公共点时,连半径,证垂直;②不知道直线与圆有没有公共点时,作垂直,证垂线段等于半径.切线性质定理及推论:①圆的切线垂直于过切点的半径;②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心易错提醒:运用判定和性质时,要严格根据方法及定理进行说明,不能凭主观进行判断.例5.如图,AB 是O e 的直径,弦CD AB ^,垂足为点E ,DF 为O e 的切线,AF 交CD 于点G ,若3AE =,43BE =,FD FG =,则AGGF =( )A .165B .3C .103D .247【答案】C【分析】本题考查圆的相关知识,三角形相似的判定及性质,等腰三角形的性质.连接OD ,由题意易证O e 的半径长,从而在Rt ODE △中,求得2ED ==.由DF 是O e 的切线,得到90ODE CDF Ð+Ð=°,又90EAG AGE Ð+Ð=°,CDF FGD AGE Ð=Ð=Ð,得到EAG EDO Ð=Ð,从而∴AEG DEO V V ∽,根据对应边成比例求得54EG =,进而34DG ED EG =-=,过点F 作FM CD ^于点M ,根据“三线合一”可得1328GM GD ==,因此由AEG FMG V V ∽即可解答.【详解】连接OD ,∵3AE =,43BE =,∴413333AB AE EB =+=+=,∴O e 的半径1113132236OD OA AB ===´=.∴135366OE AE AO =-=-=,∵CD AB ^,即90AED Ð=°∴在Rt ODE △中,2ED ===,∵DF 是O e 的切线,∴OD DF^∴90ODF Ð=°,即90ODE CDF Ð+Ð=°,∵90AEG Ð=°,∴90EAG AGE Ð+Ð=°,∵FD FG =,∴CDF FGD AGE Ð=Ð=Ð,∴EAG EDO Ð=Ð,∵90AEG DEO Ð=Ð=°,∴AEG DEO V V ∽,∴AE EG DE EO=,即3526EG=,∴54EG =,∴53244DG ED EG =-=-=.过点F 作FM CD ^于点M ,∵FD FG =,∴11332248GM GD ==´=,∵AGE FGM Ð=Ð,90AEG GMG Ð=Ð=°,∴AEG FMG V V ∽,∴5104338AG EG FG MG ===.故选:C例6.如图,AC 是O e 的切线,B 为切点,连接OA OC ,.若30A Ð=°,AB OC ==BC 的长度是( )A .3B .C .D .4【答案】B【分析】本题考查切线性质、正切定义、勾股定理,连接OB ,先根据切线性质得到90OBA Ð=°,再利用正切定义求得OB ,然后利用勾股定理求解即可.【详解】解:连接OB ,∵AC 是O e 的切线,∴90OBA OBC Ð=Ð=°,∵30A Ð=°,AB OC ==∴tan30OB AB =×°=∴BC ==故选:B .变式1.(1)如图①,ABC V 中,90,C AD Ð=°平分BAC Ð交BC 于点D ,点O 在边AB 上,且O e 经过A 、D 两点,分别交AB 、AC 于点E 、F .求证:BC 是O e 的切线:(2)如图②,ABC V 中,90C Ð=°,用直尺和圆规作P e ,使它满足以下条件:圆心P 在边AB 上,经过点A ,且与边BC 相切.(保留作图痕迹,不用写出作法)【答案】(1)证明见解析(2)作图见解析【分析】本题考查了圆的性质、圆的切线的判定、等边对等角、平行线的判定与性质,解题的关键是作出恰当的辅助线.连接OD ,由OA OD =得OAD ODA Ð=Ð,再由OAD CAD Ð=Ð得ODA CAD Ð=Ð,从而得OD AC ∥,结合90C Ð=°可证OD BC ^,因OD 为圆的半径,从而得证.【详解】(1)证明:连接OD ,如图.∵O e 经过A 、D 两点,∴OA OD =,∴OAD ODA Ð=Ð,∵AD 平分BACÐ∴OAD CAD Ð=Ð∴ODA CAD Ð=Ð∴OD AC ∥∵90C Ð=°,∴90ODB Ð=°,∴OD BC ^,又点D 在O e 上,∴BC 是O e 的切线.(2)根据(1)题的证明过程,所作P e 如下图.变式2.如图,BD 是O e 的直径,A 是BD 延长线上的一点,点E 在O e 上,BC AE ^,交AE 的延长线于点C ,BC 交O e 于点F ,且点E 是 DF的中点.(1)求证:AC 是O e 的切线;(2)若3,AD AE CE ===,求BC 的长.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】(1)由圆周角定理及等腰三角形的性质可得EBC DBE BEO Ð=Ð=Ð,经过角的转化即可证明90OEC Ð=°,再根据切线的判定定理可得答案;(2)设O e 的半径为r ,在Rt AOE △中,由勾股定理可得关于r 的方程,求出r 的值,再根据等角,利用三角函数即可求出BC 的值.【详解】(1)证明:如图,连接OE ,∵BD 为直径,∴90DBE BDE Ð+Ð=°,又AE BC ^,∴90EBC BEC Ð+Ð=°,又OB OE =,∴DBE BEO Ð=Ð,又E 为 DF中点,∴EBC DBE BEO Ð=Ð=Ð,∴90BEO BEC Ð+Ð=°,即90OEC Ð=°∴OE AC ^,则AC 为O e 的切线.(2)设O e 半径为r ,∵AC 为O e 的切线,∴90OEC Ð=°,即AOE △为直角三角形,∴222AE OE AO +=,而AE =,3AD =,∴()22183r r +=+,∴ 1.5r =,∴3BD =,15OD =.,∴在Rt AOE △中,1.51sin 4.53OE A AO Ð===,∴在Rt ABC △中,sin BCA ABÐ=,1sin 623BC A AB =д=´=,∴2BC =.【点睛】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及锐角的三角函数等知识点,熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.变式3.如图,已知等腰ABC V ,AB AC =,以AB 为直径作O e 交BC 于点D ,过D 作DF AC ^于点E ,交BA 延长线于点F .(1)求证:DF 是O e 的切线;(2)若CE 2CD =,求O e 的半径.【答案】(1)证明【分析】本题主要考查切线的性质和判定及特殊角的三角函数的应用,掌握切线问题中的辅助线的作法是解题的关键.(1)连接OD ,证明ODB C Ð=Ð,推出AC OD ∥,即可证明结论成立;(2)连接AD ,在Rt CED V 中,求得利用三角形函数的定义求得30C Ð=°,60AOD Ð=°,在Rt ADB V 中,利用勾股定理列式计算求得圆的半径即可.【详解】(1)证明:连接OD ,∵AB AC =,B C \Ð=Ð,又OB OD =Q ,B ODB \Ð=Ð,ODB C \Ð=Ð,AC OD \∥,DF AC ^Q ,OD DF \^,DF \是O e 的切线;(2)连接AD ,设O e 半径为r ,在Rt CED V 中,2CE CD ==Q ,222ED CD CE \=-222=-1=,又cos CE C CD Ð==Q 30C \Ð=°,30B \Ð=°,60AOD \=°∠,AB Q 是O e 的直径.90ADB \Ð=°,12AD AB r \==,∵AB AC =,∴2CD BD ==,又222AD BD AB +=Q ,2222(2)r r \+=,r \负值已舍).变式4.如图,AB 是O e 的直径,CD 是O e 的弦,AB CD ^,垂足是点H ,过点C 作直线分别与AB ,AD 的延长线交于点E ,F ,且2ECD BAD Ð=Ð.(1)求证:CF 是O e 的切线;(2)如果20AB =,12CD =,求AE 的长.【答案】(1)证明见解析(2)452【分析】(1)连接OC ,BC ,利用圆周角定理,垂径定理,同圆的半径线段,等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可;(2)利用勾股定理在Rt OCH V 中求出8OH =,同理求出BC =,AC =,利用切线的性质及勾股定理建立等式解答即可.【详解】(1)证明:连接OC 、BC ,如图所示:AB Q 是O e 的直径,90ACB \Ð=°,AO OB =,AB CD ^Q ,AB \平分弦CD ,AB 平分 CD,CH HD \=, CBDB =,90CHA CHE Ð=°=Ð,BAD BAC DCB \Ð=Ð=Ð,2ECD BAD Ð=ÐQ ,22ECD BAD BCD \Ð=Ð=Ð,ECD ECB BCD Ð=Ð+ÐQ ,BCE BCD \Ð=Ð,BCE BAC \Ð=Ð,OC OA =Q ,BAC OCA \Ð=Ð,ECB OCA \Ð=Ð,90ACB OCA OCB Ð=°=Ð+ÐQ ,90ECB OCB \Ð+Ð=°,\半径CO FC ^,CF \是O e 的切线;(2)解:20AB =Q ,12CD =,在(1)的结论中有10AO OB ==,6CH HD ==,在Rt OCH V 中,8OH ===,则1082BH OB OH =-=-=,在Rt BCH △中,BC ==在Rt ACH V 中,81018HA OA OH =+=+=,则AC ==,Q HE BH BE =+,\在Rt ECH △中,222226(2)EC HC HE BE =+=++,CF Q 是O e 的切线,90OCB \Ð=°,在Rt ECO △中,2222222()10(10)10EC OE OC OB BE BE =-=+-=+-,()()2222101062BE BE \+-=++,解得52BE =,\5452022AE AB BE =+=+=.【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定,圆周角定理,垂径定理,勾股定理,解题的关键是连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线.1.一个边长为4cm 的等边三角形ABC 与O e 等高,如图放置,O e 与BC 相切于点C ,O e 与AC 相交于点 E ,则CE 的长为 cm【答案】3【分析】本题连接OC ,并过点O 作OF CE ^于F ,根据等边三角形的性质,等边三角形的高等于底边的4cm 的等边三角形 ABC 与O e 等高,说明O e 的半径为OC =60ACB Ð=°,故有30OCF Ð=°,在Rt OFC △中,利用锐角三角函数,可得出FC 的长,利用垂径定理即可得出CE 的长.【详解】解: 连接OC ,并过点O 作OF CE ^于F ,ABC V 为等边三角形,边长为4,故高为 OC =Q O e 与BC 相切于点C ,90OCB \Ð=°,又60ACB Ð=°,故有30OCF Ð=°,在Rt OFC △中,可得 3cos302FC OC =×°=,OF 过圆心,且OFCE ^,根据垂径定理易知23CE FC ==.故答案为:3.【点睛】本题考查了等边三角形的性质、切线的性质、锐角三角函数、垂径定理,熟练掌握相关性质并灵活运用,即可解题.2.如图,正方形ABCD 的边长为4,点E 是AB 边上的一点,将BCE V 沿着CE 折叠至FCE △,若CF 、CE 恰好与正方形ABCD 的中心为圆心的O e 相切,则折痕CE 的长为( )A .B .5CD .以上都不对【答案】C【分析】此题考查了翻折变换的知识.连接OC ,则根据正方形的性质可推出1303ECF BCE BCD Ð=Ð=Ð=°,在Rt BCE V 中,设BE x =,则2CE x =,利用勾股定理可得出x 的值,也即可得出CE 的长度.【详解】解:连接OC ,则DCO BCO Ð=Ð,FCO ECO Ð=Ð,DCO FCO BCO ECO \Ð-Ð=Ð-Ð,即DCF BCE Ð=Ð,又BCE QV 沿着CE 折叠至FCE △,BCE ECF \Ð=Ð,1303ECF BCE BCD \Ð=Ð=Ð=°,在Rt BCE V 中,设BE x =,则2CE x =,得222CE BE =,即22244x x =+,解得BE =,2CE x \=故选:C .3.如图,在ABC V 中,AB AC =,AD 平分BAC Ð,交BC 于点D ,以AD 为直径作O e ,交AB 于点E ,交AC 于点F ,连接EF 交AD 于点G ,连接OB 交EF 于点P ,连接DF .(1)求证:BC 是O e 的切线;(2)若3OG =,4EG =,求:①tan DFE Ð的值;②线段PG 的长.【答案】(1)见解析;(2)①12;②3.【分析】(1)根据三线合一得到AD BC ^,即可证明BC 是O e 的切线;(2)①如图所示,连接DE ,DF ,OE ,由角平分线的定义和圆周角定理得到∠∠E A D F A D =,即可利用三线合一得到AG EF ^,利用勾股定理求出5OE =,即可求出AD 的长,从而得出2DG =,由垂径定理得出GF ,最后根据正切的定义即可得出答案;②证明EF BC ∥,得到AEG ABD △∽△,利用相似三角形的性质求出5BD =,证得ODB △,OPG V 是等腰直角三角形即可求出PG 的长.【详解】(1)证明:∵AB AC =,AD 平分BAC Ð,∴AD BC ^,∵OD 是O e 的半径,∴BC 是O e 的切线;(2)解:①连接DE ,DF ,OE ,∵AD 为O e 的直径,∴90AED AFD Ð=Ð=°,∵AD 平分BAC Ð,∴∠∠E A D F A D =,∴ADE ADF Ð=Ð,∴ AE AF =,∴AG EF ^,∵3OG =,4EG =,∴5OE ==,∴8AG =,10AD =,∴2DG =,由垂径定理可得4GF EG ==,∴21tan 42DG DFE GF Ð===;②∵AG EF ^,AD BC ^,∴EF BC ∥,∴AEG ABD △∽△,∴AG EGAD BD =,∴8410BD=,∴5BD =,∴BD OD =,∴ODB △是等腰直角三角形,∴45OBD Ð=°,∵EF BC ∥,∴45OPG OBD Ð=Ð=°,∴OPG V 是等腰直角三角形,∴3PG OG ==.【点睛】本题主要考查了切线的判定,圆周角定理,三线合一定理,勾股定理,相似三角形的性质与判定等等,正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.4.如图,在ABC V 中,AB AC =,AD BC ^于点D ,E 是AC 上一点,以BE 为直径的O e 交BC 于点F ,连接DE ,DO ,且90DOB Ð=°.(1)求证:AC 是O e 的切线;(2)若1DF =,3DC =,求BE 的长.【答案】(1)见解析(2)【分析】此题重点考查圆周角定理、切线的判定定理、勾股定理、三角形的中位线定理、等腰三角形的“三线合一”、线段的垂直平分线的性质等知识,正确地作出辅助线是解题的关键.(1)由AB AC =,AD BC ^于点D ,得BD DC =,而BO OE =,根据三角形的中位线定理得OD EC ∥,则90CEB DOB Ð=Ð=°,即可证明AC 是O e 的切线;(2)连接EF ,由3BD DC ==,1DF =得到314BF BD DF =+=+=,由DO 垂直平分BE ,得3BD DE ==,由 BE 是O e 的直径,得90BFE Ð=°,则EF ===BE ===【详解】(1)证明:∵AB AC =,AD BC ^,∴BD DC =,又∵BO OE =,∴OD EC ∥.。
(易错题精选)初中数学圆的经典测试题附解析
(易错题精选)初中数学圆的经典测试题附解析一、选择题1.已知线段AB 如图,(1)以线段AB 为直径作半圆弧»AB ,点O 为圆心;(2)过半径OA OB 、的中点C D 、分别作CE AB DF AB ⊥⊥、,交»AB 于点E F 、;(3)连接,OE OF .根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是( )A .CE DF =B .»»AE BF =C .60EOF ∠=︒D . =2CE CO【答案】D【解析】【分析】 根据作图可知AC CO OD DB ===,据此对每个选项逐一判断即可.【详解】根据HL 可判定ECO FDO ≅V V ,得CE DF =,A 正确;∵过半径OA OB 、的中点C D 、分别作CE AB DF AB ⊥⊥、,连接AE ,CE 为OA 的中垂线,AE OE =在半圆中,OA OE =∴OA OE AE ==,AEO △为等边三角形,60EOF =o ∠AOE=∠FOD=∠, C 正确;∴圆心角相等,所对应的弧长度也相等,»»AE BF=,B 正确 ∵60,90EOC =o o ∠AOE=∠, ∴=3CE CO ,D 错误【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识点,解题的关键在于证明60o ∠AOE=.2.如图,已知AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,且CD ⊥AB ,BC=3,AC=4,则sin ∠ABD 的值是( )A.43B.34C.35D.45【答案】D【解析】【分析】由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC,再根据勾股定理求得AB=5,即可求sin∠ABD 的值.【详解】∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,∴弧AC=弧AD,∴∠ABD=∠ABC.根据勾股定理求得AB=5,∴sin∠ABD=sin∠ABC=45.故选D.【点睛】此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论,熟悉锐角三角函数的概念.3.如图,已知AB是⊙O是直径,弦CD⊥AB,AC=22,BD=1,则sin∠ABD的值是()A.2B.13C.23D.3【答案】C【解析】【分析】先根据垂径定理,可得BC的长,再利用直径对应圆周角为90°得到△ABC是直角三角形,利用勾股定理求得AB的长,得到sin∠ABC的大小,最终得到sin∠ABD【详解】解:∵弦CD ⊥AB ,AB 过O ,∴AB 平分CD ,∴BC =BD ,∴∠ABC =∠ABD ,∵BD =1,∴BC =1,∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB =90°,由勾股定理得:AB 3==,∴sin ∠ABD =sin ∠ABC =3AC AB = 故选:C .【点睛】本题考查了垂径定理、直径对应圆周角为90°、勾股定理和三角函数,解题关键是找出图形中的直角三角形,然后按照三角函数的定义求解4.下列命题中,是假命题的是( )A .任意多边形的外角和为360oB .在ABC V 和'''A B C V 中,若''AB A B =,''BC B C =,'90C C ∠=∠=o ,则ABC V ≌'''A B C VC .在一个三角形中,任意两边之差小于第三边D .同弧所对的圆周角和圆心角相等【答案】D【解析】【分析】根据相关的知识点逐个分析.【详解】解:A. 任意多边形的外角和为360o ,是真命题;B. 在ABC V 和'''A B C V 中,若''AB A B =,''BC B C =,'90C C ∠=∠=o ,则ABC V ≌'''A B C V ,根据HL ,是真命题;C. 在一个三角形中,任意两边之差小于第三边,是真命题;D. 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,本选项是假命题.故选D .【点睛】本题考核知识点:判断命题的真假. 解题关键点:熟记相关性质或定义.5.如图,AB是⊙O的直径,EF,EB是⊙O的弦,且EF=EB,EF与AB交于点C,连接OF,若∠AOF=40°,则∠F的度数是()A.20°B.35°C.40°D.55°【答案】B【解析】【分析】连接FB,由邻补角定义可得∠FOB=140°,由圆周角定理求得∠FEB=70°,根据等腰三角形的性质分别求出∠OFB、∠EFB的度数,继而根据∠EFO=∠EBF-∠OFB即可求得答案.【详解】连接FB,则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°,∴∠FEB=12∠FOB=70°,∵FO=BO,∴∠OFB=∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°,∵EF=EB,∴∠EFB=∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°,∴∠EFO=∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°,故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识,正确添加辅助线,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.6.如图,△ABC的外接圆是⊙O,半径AO=5,sinB=25,则线段AC的长为()A.1 B.2 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】首先连接CO并延长交⊙O于点D,连接AD,由CD是⊙O的直径,可得∠CAD=90°,又由⊙O的半径是5,sinB=25,即可求得答案.【详解】解:连接CO并延长交⊙O于点D,连接AD,由CD是⊙O的直径,可得∠CAD=90°,∵∠B和∠D所对的弧都为弧AC,∴∠B=∠D,即sinB=sinD=25,∵半径AO=5,∴CD=10,∴2 sin105AC ACDCD===,∴AC=4,故选:C.【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等,以及三角函数的内容,注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.7.下列命题是假命题的是()A.三角形两边的和大于第三边B.正六边形的每个中心角都等于60oC.半径为R2RD.只有正方形的外角和等于360︒【答案】D【解析】【分析】根据三角形三边关系、中心角的概念、正方形与圆的关系、多边形的外角和对各选项逐一进行分析判断即可.【详解】A 、三角形两边的和大于第三边,A 是真命题,不符合题意;B 、正六边形6条边对应6个中心角,每个中心角都等于360606︒︒=,B 是真命题,不符合题意;C 、半径为R 的圆内接正方形中,对角线长为圆的直径2R ,设边长等于x ,则:222(2)x x R +=,解得边长为2x R :=,C 是真命题,不符合题意;D 、任何凸3n n ≥()边形的外角和都为360︒,D 是假命题,符合题意, 故选D.【点睛】本题考查了真假命题,熟练掌握正多边形与圆、中心角、多边形的外角和等知识是解本题的关键.8.如图,AB 是⊙O 的直径,点C 是⊙O 上一点,点D 在BA 的延长线上,CD 与⊙O 交于另一点E ,DE=OB=2,∠D=20°,则弧BC 的长度为( )A .23πB .13πC .43πD .49π 【答案】A【解析】【分析】连接OE 、OC ,如图,根据等腰三角形的性质得到∠D=∠EOD=20°,根据外角的性质得到∠CEO=∠D+∠EOD=40°,根据等腰三角形的性质得到∠C=∠CEO=40°,根据外角的性质得到∠BOC=∠C+∠D=60°,根据求弧长的公式得到结论.【详解】解:连接OE 、OC ,如图,∵DE=OB=OE,∴∠D=∠EOD=20°,∴∠CEO=∠D+∠EOD=40°,∵OE=OC,∴∠C=∠CEO=40°,∴∠BOC=∠C+∠D=60°,∴»BC的长度=260?2360π⨯=23π,故选A.【点睛】本题考查了弧长公式:l=••180n Rπ(弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为R),还考查了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质,熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键.9.如图,⊙O中,弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC,若∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C的度数是()A.25°B.27.5°C.30°D.35°【答案】D【解析】分析:直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数,再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案.详解:∵∠A=60°,∠ADC=85°,∴∠B=85°-60°=25°,∠CDO=95°,∴∠AOC=2∠B=50°,∴∠C=180°-95°-50°=35°故选D.点睛:此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识,正确得出∠AOC度数是解题关键.10.如图,将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′,已知AC=6,BC=4,则线段AB扫过的图形面积为()A.32πB.83πC.6πD.以上答案都不对【答案】D【解析】【分析】从图中可以看出,线段AB扫过的图形面积为一个环形,环形中的大圆半径是AC,小圆半径是BC,圆心角是60度,所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积.【详解】阴影面积=() 603616103603π⨯-=π.故选D.【点睛】本题的关键是理解出,线段AB扫过的图形面积为一个环形.11.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点M,若CD=8 cm,MB=2 cm,则直径AB的长为()A.9 cm B.10 cm C.11 cm D.12 cm【答案】B【解析】【分析】由CD⊥AB,可得DM=4.设半径OD=Rcm,则可求得OM的长,连接OD,在直角三角形DMO中,由勾股定理可求得OD的长,继而求得答案.【详解】解:连接OD,设⊙O半径OD为R,∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点M,∴DM=12CD=4cm,OM=R-2,在RT△OMD中,OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,解得:R=5,∴直径AB的长为:2×5=10cm.故选B.【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理.注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用.12.如图,将边长为2cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动(不滑动),当正方形连续翻动8次后,正方形的中心O经过的路线长是()cm.A.2B.8 C.3πD.4π【答案】D【解析】【分析】由题意可得翻转一次中心O经过的路线长就是1个半径为1,圆心角是90°的弧长,然后进行计算即可解答.【详解】解:∵正方形ABCD2cm,∴对角线的一半=1cm,则连续翻动8次后,正方形的中心O经过的路线长=8×901180π⨯=4π.故选:D.【点睛】本题考查了弧长的计算,审清题意、确定点O的路线和长度是解答本题的关键.13.如图,抛物线y=ax2﹣6ax+5a(a>0)与x轴交于A、B两点,顶点为C点.以C点为圆心,半径为2画圆,点P 在⊙C 上,连接OP ,若OP 的最小值为3,则C 点坐标是( )A .522(,22-B .(4,﹣5)C .(3,﹣5)D .(3,﹣4)【答案】D【解析】【分析】首先根据二次函数的解析式求出点A 、B 、C 三点的坐标,再由当点O 、P 、C 三点共线时,OP 取最小值为3,列出关于a 的方程,即可求解.【详解】∵2650y ax ax a a +-=(>) 与x 轴交于A 、B 两点, ∴A (1,0)、B (5,0),∵226534y ax ax a a x a =+=---() , ∴顶点34C a (,-), 当点O 、P 、C 三点共线时,OP 取最小值为3,∴OC =OP+2=5, 29165(0)a a +=> ,∴1a = ,∴C (3,﹣4),故选:D .【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质,解题的关键是明确圆外一点到圆上的最短距离即该点与圆心的距离减去半径长.14.如图,3个正方形在⊙O 直径的同侧,顶点B 、C 、G 、H 都在⊙O 的直径上,正方形ABCD 的顶点A 在⊙O 上,顶点D 在PC 上,正方形EFGH 的顶点E 在⊙O 上、顶点F 在QG 上,正方形PCGQ 的顶点P 也在⊙O 上.若BC =1,GH =2,则CG 的长为( )A.125B.6C.21+D.22【答案】B【解析】【分析】【详解】解:连接AO、PO、EO,设⊙O的半径为r,OC=x,OG=y,由勾股定理可知:22222222211{22r xr x x yr y=++=++=++()①()②()③,②﹣③得到:x2+(x+y)2﹣(y+2)2﹣22=0,∴(x+y)2﹣22=(y+2)2﹣x2,∴(x+y+2)(x+y﹣2)=(y+2+x)(y+2﹣x).∵x+y+2≠0,∴x+y﹣2=y+2﹣x,∴x=2,代入①得到r2=10,代入②得到:10=4+(x+y)2,∴(x+y)2=6.∵x+y>0,∴x+y=6,∴CG=x+y=6.故选B.点睛:本题考查了正方形的性质、圆、勾股定理等知识,解题的关键是设未知数列方程组解决问题,难点是解方程组,利用因式分解法巧妙求出x的值,学会把问题转化为方程组,用方程组的思想去思考问题.15.如图,在边长为8的菱形ABCD中,∠DAB=60°,以点D为圆心,菱形的高DF为半径画弧,交AD于点E,交CD于点G,则图中阴影部分的面积是()A.183π-B.183πC.32316πD.1839π-【答案】C【解析】【分析】由菱形的性质得出AD=AB=8,∠ADC=120°,由三角函数求出菱形的高DF ,图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积,根据面积公式计算即可.【详解】解:∵四边形ABCD 是菱形,∠DAB=60°,∴AD=AB=8,∠ADC=180°-60°=120°,∵DF 是菱形的高,∴DF ⊥AB ,∴DF=AD •sin60°=3843⨯=, ∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积 =2120(43)84332316ππ⨯⨯-=-. 故选:C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算;由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键.16.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于E 点,若AD =CD = 23.则»BC的长为( )A .3πB .23πC .33πD .33π 【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理得到3CE DE ==»»BCBD = ,∠A=30°,再利用三角函数求出OD=2,即可利用弧长公式计算解答.【详解】如图:连接OD ,∵AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于E 点,AD =CD = 23∴3CE DE ==,»»BC BD = ,∠A=30°, ∴∠DOE=60°,∴OD=2sin 60DE =o, ∴»BC的长=»BD 的长=60221803ππ⨯=, 故选:B.【点睛】此题考查垂径定理,三角函数,弧长公式,圆周角定理,是一道圆的综合题.17.如图,已知某圆锥轴截面等腰三角形的底边和高线长均为10cm ,则这个圆锥的侧面积为( )A .50cm 2B .50πcm 2C .52D .5cm 2【答案】D【解析】【分析】 根据勾股定理求出圆锥的母线长,求出底面圆周长,根据扇形面积公式计算即可.【详解】解:如图所示,∵等腰三角形的底边和高线长均为10cm ,22105+=55,圆锥底面圆半径为5,∴这个圆锥的底面圆周长=2×π×5=10π,即为侧面展开扇形的弧长,圆锥的侧面积=1255cm 2, 故选:D .【点睛】本题考查了圆锥的计算,解题的关键是弄清楚圆锥的侧面积的计算方法,特别是圆锥的轴截面是等腰三角形,勾股定理的应用,以及圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长.18.如图,已知圆O的半径为10,AB⊥CD,垂足为P,且AB=CD=16,则OP的长为()A.6 B.6C.8 D.8【答案】B【解析】【分析】作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,连接OP,OB,OD,首先利用勾股定理求得OM的长,然后判定四边形OMPN是正方形,求得正方形的对角线的长即可求得OP的长.【详解】作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,连接OP,OB,OD,∵AB=CD=16,∴BM=DN=8,∴OM=ON==6,∵AB⊥CD,∴∠DPB=90°,∵OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,∴∠OMP=∠ONP=90°∴四边形MONP是矩形,∵OM=ON,∴四边形MONP是正方形,∴OP=.故选B.【点睛】本题考查的是垂径定理,正方形的判定与性质及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.19.如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,OA=4,以OB为直径作半圆,圆心为点C,过点C 作OA的平行线分别交两弧点D、E,则阴影部分的面积为()A.53π﹣3B.533C.3πD353π【答案】A【解析】【分析】连接OE.可得S阴影=S扇形BOE-S扇形BCD-S△OCE.根据已知条件易求得BC=OC=CD=2,BO=OE=4.∠BOE=60o,CE=23所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可.【详解】解:连接OE,可得S阴影=S扇形BOE-S扇形BCD-S△OCE,由已知条件可得,BC=OC=CD=2,又,BO=OE=4,∴∠BOE=o60,可得CE=23S扇形BOE=2604360π⋅⋅8=3π,S扇形BCD2902==360ππ⋅⋅,S△OCE=1=223=23 2⨯⨯∴S阴影=S扇形BOE-S扇形BCD-S△OCE=8--233ππ=533π故选A.【点睛】本题主要考查扇形面积公式、三角形面积公式,牢记公式并灵活运用可求得答案.20.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=23,BC=2,以AB的中点为圆心,OA的长为半径作半圆交AC于点D,则图中阴影部分的面积为( )A.532π-B.532π+C.23π-D.432π-【答案】A【解析】【分析】连接OD,过点O作OH⊥AC,垂足为 H,则有AD=2AH,∠AHO=90°,在Rt△ABC中,利用∠A的正切值求出∠A=30°,继而可求得OH、AH长,根据圆周角定理可求得∠BOC =60°,然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.【详解】连接OD,过点O作OH⊥AC,垂足为 H,则有AD=2AH,∠AHO=90°,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=23,BC=2,tan∠A=323BCAB==,∴∠A=30°,∴OH=12OA=32,AH=AO•cos∠A=3332⨯=,∠BOC=2∠A=60°,∴AD=2AH=3,∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=()26031132323222360π⨯⨯⨯-⨯⨯-=532π-,故选A.【点睛】本题考查了垂径定理,圆周角定理,扇形面积,解直角三角形等知识,正确添加辅助线,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.。
六年级上册数学圆的易错应用题
六年级上册数学《圆》的易错应用题1、一只环形玉佩的外圆半径为2厘米,比内圆半径多1.5厘米,这只环形玉佩的面积是多少平方厘米?1. 2-1.5=0.5(厘米)3.14×(2 ²-0.5 ²)=3.14×3.75=11.775( cm ²)答:这只环形玉佩的面积是11.775cm ²。
2、求下面图形的周长。
①图形的周长是:3.14×3÷2+3=9.42÷2+3=4.71+3=7.71(厘米)②图形的周长是:4+2×2+3.14×4÷2 =4+4+6.28=14.28(厘米)3、一根电线长15.7米,正好在一个圆柱形线圈上绕了20圈,这个圆柱形线圈的半径是多少厘米?15.7米=1570厘米,1570÷20÷3.14÷2=78.5÷3.14÷2=25÷2=12.5 (厘米)答:这个圆柱形线圈的半径是12.5 厘米。
4、一张长方形的纸,长25cm、宽13cm,最多可以剪几个半径为3cm的小圆片?13÷(3×2)≈2(个)25÷(3×2)≈4(个)4×2=8(个)答:最多可以剪8个半径为3cm的小圆片。
5、求图中阴影部分的周长。
(单位:cm)10÷2=5(厘米),10+5×2+3.14×10÷2=10+10+15.7=35.7(厘米)答:阴影部分的周长是35.7厘米。
6、轧路机前轮直径1.2米,每分钟滚动6周,每分钟能前进多少米?3.14×1.2×6=3.768×6=22.608 (米)答:每分钟能前进22.608 米。
7、一个圆形花坛的直径是10米,在它的周围修一条宽1米的小路,小路的面积是多少?3.14×(6²-5²)=34.54(平方米)答:小路的面积是34.54平方米。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
中考冲刺——关于圆的易错题(讲解用)
例1 ⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,⊙O1的半径为10,⊙O2的半径为17,公共弦AB=16,求两圆的圆心距。
思路提示:对两圆相交问题,一些考生往往只考虑两圆的圆心在公共弦两侧的情况,即图4(1)的情况,很容易遗漏图4(2)的情
况,所以正确答案是O O
12=21或O O
12
=9。
图4
例2、⊙O的半径为1cm,弦AB cm
=3,AC cm
=2,则∠BAC=________。
思路提示:由于弦AB和CD可能在圆心的同侧,也可能在圆心的异侧,有如图5两种可能。
根据垂径定理及解直角三角形知识可求出∠CAO=45°和∠BAO=30°,从而可知∠BAC=15°或∠BAC=75°。
图5
圆与圆的位置不确定
例3、两圆相切,圆心距是10cm,其中一圆的半径为4cm,则另一圆的半径是_____。
思路提示:两圆相切有内切和外切两种情况,所以另一圆的半径为6cm或14cm。
例4、⊙O1的半径为2cm,⊙O2的半径为5cm,两圆没有公共点,则两圆的圆心距d的取值范围为___________。
思路提示:两圆没有公共点,则⊙O1与⊙O2有外离或内含两种情况,外离时,d>7cm;内含时,0cm≤d<3cm。
点在弧上的位置不确定
例5、 PA,PC分别切⊙O于A,C两点,B为⊙O上与A,C不重合的点,若∠P=50°,则∠ABC=_________度。
思路提示:由于点B可能在优弧ABC上,也可能在劣弧AC上,有如图6两种可能,所以∠ABC=65°或∠ABC=115°。
图6
例6、在⊙O中,AB为直径,CD为弦,AB⊥CD,P为圆周上与C,D 不重合的任意一点,判断∠COB与∠CPD的数量关系,并证明你的结论。
思路提示:由于点P可能在优弧CPD上,也可能在劣弧CD上,有如图7两种可能。
当P在优弧CPD上时,∠COB=∠CPD;当P在劣弧CD上时,∠COB=180 CPD。
图7
弦与其所对弧的位置不确定
例7、圆的弦长恰好等于该圆的半径,则这条弦所对的圆周角是
________度。
思路提示:圆中一条弦所对的弧有优弧与劣弧之分,可求出这条弦所对的圆心角为60o,故该弦所对的圆周角是30°或150°。
例8、△ABC内接于⊙O,∠AOB=100°,则∠ACB=_________度。
思路提示:由于△ABC的形状不确定,有如图8(1)锐角△ABC
和如图8(2)钝角△ABC两种情况,所以∠ACB=50°或∠ACB=130°。
图8。