解三角形中的各类问题

课题 解三角形中的各类问题

考点一 利用正弦、余弦定理解三角形(重点保分型考点——师生共研)

[必备知识]

1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c

sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：

(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . 2．余弦定理

a 2＝

b 2＋

c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ． 变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

.

[典题例析]

(2014·辽宁高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA u u u r ·

BC uuu

r ＝2，cos B ＝1

3

，b ＝3，求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．

解：(1)由BA u u u r ·BC uuu r ＝2得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13

，所以ac ＝6.

由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.

解⎩⎪⎨⎪⎧ ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝3，c ＝2.

因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝

1－cos 2B ＝

1－⎝⎛⎭⎫132＝22

3，

由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝42

9.

因a ＝b >c ，所以C 是锐角， 因此cos C ＝

1－sin 2C ＝

1－⎝⎛⎭⎫4292＝7

9

. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝23

27

.

[类题通法]

正、余弦定理的应用原则

(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．

(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．

[演练冲关]

在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2b sin A ＝0. (1)求角B 的大小；

(2)若a ＋c ＝5，且a >c ，b ＝7，求AB u u u r ·AC u u u

r 的值．

解：(1)因为3a －2b sin A ＝0，所以3sin A －2sin B sin A ＝0. 因为sin A ≠0，所以sin B ＝3

2

. 又B 为锐角，则B ＝π

3

.

(2)由(1)知B ＝π3，因为b ＝7，根据余弦定理得7＝a 2＋c 2－2ac cos π

3，

整理，得(a ＋c )2－3ac ＝7. 由已知a ＋c ＝5，则ac ＝6. 又a >c ，可得a ＝3，c ＝2.

于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7＋4－947

＝7

14，

所以AB u u u r ·AC u u u r ＝|AB u u u r |·|AC u u u r |cos A ＝cb cos A ＝2×7×7

14

＝1.

考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(题点多变型考点——全面发掘)

[必备知识]

三角形中常见的结论 (1)A ＋B ＋C ＝π.

(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．

(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)三角形内的诱导公式：

sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；

tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2；cos A ＋B 2＝sin C

2.

(5)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C . (6)在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝60° .

(7)△ABC 为正三角形的充要条件是A ，B ，C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列．

[一题多变]

[典型母题]

[题点发散1] 本例的条件变为：若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形

D ．正三角形

解：选B 法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π

法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 2

2ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .

[题点发散2] 本例的条件变为：若a cos A ＝b cos B ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形

D ．等腰或直角三角形

解析：选D 由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ⇒sin 2A ＝sin 2B ， 因为2A,2B ∈(0，π)，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π

2.选D.

[题点发散3] 本例的条件变为：若2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ．且sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．

解：由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，cos A ＝－12，sin A ＝3

2，

则sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C .

又sin B ＋sin C ＝1，所以sin B sin C ＝14，所以sin B ＝sin C ＝1

2.

因为0

6

，所以△ABC 是等腰钝角三角形．

[类题通法]

判定三角形形状的两种常用途径

(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断． (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断． [提醒] 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响.

考点三 与三角形面积有关的问题(重点保分型考点——师生共研)

[必备知识]

三角形中常用的面积公式 (1)S ＝1

2ah (h 表示边a 上的高)；

(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝1

2ab sin C ；

(3)S ＝1

2

r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．

[典题例析]

(2014·山东高考)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π

2

. (1)求b 的值；