九年级函数总复习人教版
九年级二次函数复习专题(新人教版)
二次函数专题复习 (内含知识点分类与例题)知识点一：二次函数概念一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．知识点二：二次函数2y ax bx c =++的结构特征 1、等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．2、 a b c，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 知识点三：二次函数的基本形式（重点）1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2.2y ax c =+的性质： 上加下减 a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上()00，y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a <向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上()0c ，y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．0a <向下()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．3.()2y a x h =-的性质：左加右减4.()2y a x h k=-+的性质：知识点四：二次函数图象的平移（难点） 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 2a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上()0h ， X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0．0a <向下 ()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a > 向上()h k ， X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a <向下 ()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）知识点五：二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．知识点六：二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.知识点七：二次函数2y ax bx c =++的性质（重难点） 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a =-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y有最大值244ac b a -．二次函数课堂练习考点一： 二次函数的基本概念 1、下列函数：① 23y x =；② ()21y x x x =-+；③ ()224y x x x =+-；④21y x x =+；⑤ ()1y x x =-，其中是二次函数的是_________，其中a =________，b = _______，c =_______2、当m =_______ 时，函数()2235y m x x =-+-（m 为常数）是关于x 的二次函数 3、当m=________时，函数()2221m m y m m x--=+是关于x 的二次函数4、当m=________时，函数()2564m m y m x-+=-+3x 是关于x 的二次函数5、若点 A ( 2, m ) 在函数12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是_______._______ 6、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.考点二： 函数2ax y =的图象与性质1、填空：（1）抛物线221xy =的对称轴是_____（或 _________），顶点坐标是________，当x_______时，y 随x 的增大而增大，当x_______时，y 随x 的增大而减小，当x= _______时，该函数有最______值是______ ；（2）抛物线221xy -=的对称轴是_______（或 _______），顶点坐标是_______，当x_______时，y 随x 的增大而增大，当x _____时，y 随x 的增大而减小，当x=_______时，该函数有最______ 值是_______ ；2、对于函数22x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y的值也增大；③y 随x 的增大而减小；④图象关于y 轴对称.其中正确的是_______ .3、抛物线 y ＝－x2 不具有的性质是（ ）A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点4、函数2axy=与baxy+-=的图象可能是（）A． B． C． D．考点三：函数caxy+=2的图象与性质1、抛物线322--=xy的开口_______,对称轴是_______,顶点坐标是_______ ,当x_______时, y随x的增大而增大, 当x_______时, y随x的增大而减小.2、将抛物线231xy=向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为_______ ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为_________,并分别写出这两个函数的顶点坐标_______、_______ .3、任给一些不同的实数k，得到不同的抛物线kxy+=2，当k取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中判断正确的是_______ .4、将抛物线122-=xy向上平移4个单位后，所得的抛物线是_______ ，当x=_______时，该抛物线有最_____（填大或小）值，是_______.5、已知函数2)(22+-+=xmmmxy的图象关于y轴对称，则m＝________；6、二次函数caxy+=2()0≠a中，若当x取x1、x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值等于_______ .考点四：函数()2hxay-=的图象与性质1、抛物线()2321--=xy，顶点坐标是______,当x_______时,y随x的增大而减小，函数有最______值 .练习五()khxay+-=2的图象与性质1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上._____________.2、二次函数 y＝(x－1)2＋2，当 x＝_______时，y 有最小值.3、函数 y＝12 (x－1)2＋3，当 x_______时，函数值 y 随 x 的增大而增大.4、已知函数()9232+--=x y .确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； 当x=_______时，抛物线有最______值，是_______ .当x_______时，y 随x 的增大而增大；当x_______时，y 随x 的增大而减小.考点六：c bx ax y ++=2的图象和性质 1、抛物线942++=x x y 的对称轴是_______ . 2、抛物线251222+-=x x y 的开口方向是________，顶点坐标是______________. 3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式______________.4、将 y ＝x2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝_______.5、把二次函数215322y x x =---的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是______________6、抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为_________； 7、函数x x y +-=22有最____值，最值为_______；A 、22B 、23C 、32D 、33考点七：c bx ax y ++=2的性质 1、函数2y x px q =++的图象是以()3,2为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为_______2、二次函数的2224y mx x m m =++-图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是_______3、如果抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点A (0,2)，它的对称轴是1x =-，那么ac b =______________4、抛物线c bx x y ++=2与x 轴的正半轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且线段AB的长为1，△ABC 的面积为1，则b 的值为______.5、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a___0，b___0，c___0，ac b 42-____0；6、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则直线bc ax y +=的图象不经过第_____象限.7、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）练习七：二次函数解析式 1、抛物线y=ax2+bx+c 经过A(-1,0), B(3,0), C(0,1)三点，则a=_____, b= _____ , c= _____. 2、把抛物线y=x2+2x-3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，则所得的抛物线的解析式为_______ .二次函数有最小值为1-，当0x =时，1y =，它的图象的对称轴为1x =，则函数的关系式为______________考点八：二次函数与方程和不等式1、已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是_______ . 2、关于x 的一元二次方程02=--n x x 没有实数根，则抛物线n x x y --=2的顶点在第_____象限；3、抛物线222++-=kx x y 与x 轴交点的个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、以上都不对4、二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ） A 、0,0>∆>a B 、0,0<∆>a C 、0,0>∆<a D 、0,0<∆<a5、12++=kx x y 与k x x y --=2的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 为（ ）A 、0B 、-1C 、2D 、41。
九年级数学函数及其图象(复习)人教版知识精讲
九年级数学函数及其图象（复习）人教版【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 函数及其图象（复习） 1. 平面直角坐标系及其有关概念 2. 函数及其函数图象的意义3. 一次函数，二次函数，反比例函数的意义，图象及其性质。
二. 重点、难点：平面直角坐标系，及其三类函数的图象及其性质。
本章所涉及的数学思想主要有：数形结合思想，方程思想、分类讨论思想、转化思想。
【典型例题】例1. 已知点P （2a+1，4a －20）在第四象限，化简代数式： ||||2110252112a a a a +--++-。
分析：直角坐标系是刻画点的位置的一种工具，它把几何中的“点”与代数中的“数”联系起来，数与形的结合，从而使我们可以用代数方法来研究几何图形，在平面直角坐标系中要确定点的位置，应该知道两个方面的条件，一是它所在象限（或坐标轴），二是这个点到x 轴、y 轴的距离，此题只知道点P 所在象限，因此可以得到关于a 的不等式组，从而可以得到a 的取值范围，因此就可以化简原式。
解：因为点P （2a+1，4a －20）在第四象限。
∴即2104200125a a a a +>-<⎧⎨⎩>-<⎧⎨⎪⎩⎪ ∴-<<125a ∵||||2110252112a a a a +--++-=+--+-||()||2152112a a a=+--+-||||||215211a a a又∵-<<125a ∴，-<<+>1210210a aa a -<-<502110，∴原式=+---+--()[()][()]215211a a a =++--+215211a a a =+a 7例2. 如图所示，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （2，－1），B （1，3），C （－4，－2），求△ABC 的面积。
分析：在直角坐标系中标出A 、B 、C 各点，过A 、C 向x 轴引垂线与过B 向y 轴引的垂线交于D 、E ，则点D 的坐标为（2，3），点E 的坐标为（－4，3），那么 S S S S ABC ADEC ADB BCE △梯形△△=--解：分别过A 、B 、C 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于点D 、E ， ∵AD ∥y 轴，CE ∥y 轴，DE ∥x 轴， A （2，－1），B （1，3），C （－4，－2） ∴点D 的坐标为（2，3） 点E 的坐标为（－4，3）∴，AD CE =--==--=|()||()|314325 DE BE =--==--=||||426415， BD =-=||211∴²²梯形S AD EC DE ADEC =+12() =+=1245627³³()S AD BD ADB △²²³³===1212412S BE CE BCE △²³³===121255252∴△梯形△△S S S S ABC ADEC ADB BCE =--=--=272252252小结：A B AB x x y y A B x B A B A 、两点间距离为：，当、同在||()()=-+-22轴上，或同在与x 轴平行的一条直线上，则AB=|x B －x A |。
人教版函数知识点总结
人教版函数知识点总结一、函数的定义1.1 函数的基本概念函数是一种特殊的关系，它将每一个自变量映射到唯一的因变量上。
在数学中，我们通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。
1.2 函数的符号表示在函数的定义中，我们通常通过符号来表示函数。
例如，y=f(x)、y=g(x)等。
1.3 函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变量的取值范围。
在函数的图像中，定义域通常对应横坐标的取值范围，值域对应纵坐标的取值范围。
1.4 函数的判定确定一个关系是否为函数，可以通过水平线测试或者垂直线测试来进行判断。
如果任意一条垂直线只与图像相交一次，则该关系是函数。
1.5 函数的表示方法函数可以通过一张表格、一条曲线、一个公式等方式进行表示。
在实际应用中，我们通常通过表格、曲线等方式来描述函数的性质和特点。
二、函数的性质2.1 奇函数与偶函数奇函数指的是满足f(-x)=-f(x)的函数，偶函数指的是满足f(-x)=f(x)的函数。
奇函数通常以原点对称，偶函数通常以y轴对称。
2.2 单调递增与单调递减单调递增指的是当自变量增大时，因变量也随之增大；单调递减指的是当自变量增大时，因变量却减小。
单调递增函数通常在定义域内是一个递增的曲线，单调递减函数则是一个递减的曲线。
2.3 周期函数周期函数指的是具有周期性的函数，它在一个周期内重复自身。
常见的周期函数有正弦函数和余弦函数。
2.4 反函数函数f(x)的反函数通常表示为f^(-1)(x)，它满足f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x的性质。
反函数是原函数的镜像，它的定义域和值域与原函数互换。
三、函数的图像3.1 直角坐标系中的函数图像在直角坐标系中，函数的图像通常用曲线来表示。
曲线的形状与函数的性质密切相关，通过观察曲线的变化可以了解函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。
3.2 参数方程中的函数图像在参数方程中，函数的图像通常用参数的取值来表示。
九年级数学中考复习之函数总复习课件人教版
1、某函数具有下列两条性质
（1）它的图像是经过原点（0，0）的一条直线；
（2）y的值随x值的增大而增大。 请你举出一个满足上述条件的函数（用关系式表示）
2 2、函数 y x 4 的图像与x轴交点坐标为________, 3
与y轴的交点坐标为____________。
3、如果一次函数y=kx-3k+6的图象经过原点，那么 k的值为________。
• (2)当y>0时,为一元一次不等 式kx+b>0;当y<0时,为一元一 次不等式kx+b<0.这时不等式 的解集分别为:
b b x ;x . k k
·o
Y<0
驶向胜利 的彼岸
活学活用
• （07浙江宁波） 如图，是一次函数 y1 kx b 2 与反比例函数 y2 x 的图像， 2 则关于的方程 kx b x 的解为 x 1= ,则x2= 。 当 y1 y2 时，x的范围是
减小 。 ⑵当k<0时，y随x的增大而_________
⑶根据下列一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的草图回答出各图 中k、b的符号：
> Leabharlann b___0 > k___0> ，b___0 < k___0
< ，b___0 > k___0
< ，b___0 < k___0
例1
柴油机在工作时油箱中的余油量Q(千克）
与工作时间t（小时）成一次函数关系，当工作开始时 油箱中有油40千克，工作3.5小时后，油箱中余油22.5 千克(1)写出余油量Q与时间t的函数关系式；（2）画出 这个函数的图象。 解：（１）设Ｑ＝kt＋b。把t=0，Q=40； t=3.5， Q=22.5，分别代入上式，得
人教版数学九年级上册 第二十二章《二次函数》章节知识点归纳复习总结
人教版数学九年级上学期《二次函数》章节知识点归纳总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：（1）一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数。
（2）这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b c ，可以为零．二次函数的定义域(x)是全体实数．2. 二次函数 2y ax bx c =++ 的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． （2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．3. 二次函数解析式的几种形式（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0） （2）顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （ h ，k ）]（3）交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)[仅限于与x 轴有交点A （x 1，0）和 B （x 2，0）的抛物线]其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根，a ≠0. x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-)/2a在三种形式的互相转化中，有如下关系:h= -b / 2a ； k=(4ac-b 2) / 4a ； x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-) / 2a说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)；(2) 当h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点；(3) 如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax2+k4.抛物线的性质（1）.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线 x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
函数归纳总结九年级人教版
函数归纳总结九年级人教版函数归纳是数学中一种重要的证明方法，它通过观察不同情况并找出规律，从而推断出一个普遍性的结论。
在九年级的数学教材中，函数归纳是一个非常重要的内容，本文将从九年级人教版数学教材中提取几个典型例题，通过归纳总结的方法，帮助我们更好地理解和掌握函数归纳的思想。
例题一：已知函数f(n)表示正整数n的平方加1，即f(n) = n^2 + 1。
现在要证明对于任意正整数n，都有f(n) > n。
我们可以通过函数归纳来证明这一结论。
首先，当n = 1时，f(n) = f(1) = 1^2 + 1 = 2 > 1成立，符合题目要求。
假设当n = k时，结论成立，即f(k) > k，即k^2 + 1 > k成立。
接下来，我们需要证明当n = k + 1时，结论也成立。
即要证明f(k + 1) > k + 1，即(k + 1)^2 + 1 > k + 1。
展开后可以得到k^2 + 2k + 2 > k + 1。
由于假设中k^2 + 1 > k成立，所以只需要证明2k + 1 > 1即可，即2k > 0，显然对于任意正整数k，不论k取何值，2k皆大于0，因此2k + 1 > 1成立。
由此可见，当n = k + 1时，结论也成立。
根据数学归纳法的推理过程，对于任何正整数n，都有f(n) > n成立。
例题二：已知函数g(n)表示正整数n的阶乘，即g(n) = n!，现在要证明对于任意正整数n，都有g(n) > n^2。
同样地，我们可以通过函数归纳来证明这一结论。
首先，当n = 1时，g(n) = g(1) = 1! = 1 > 1^2 = 1，符合题目要求。
假设当n = k时，结论成立，即g(k) > k^2成立。
接下来，我们需要证明当n = k + 1时，结论也成立。
即要证明g(k + 1) > (k + 1)^2。
人教版九年级数学二次函数综合复习
二次函数综合复习形如y=ax 2+bx+c(a ≠0，a 、b 、c 为常数)的函数叫做二次函数．其中，x 是自变量，a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
例1.如果函数1)3(232++-=+-kx x k y k k是二次函数,则k 的值是______。
变式练习1.若y =(m −1)x m2+1是二次函数，则m 的值为。
2.函数y = a −5 x a2+4a +5+2x −1, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数。
3.当m 为何值时，y =(m +1)x m2−3m−2是二次函数1. 一般式：y =ax 2+bx +c 已经抛物线任意三点求解析式2. 顶点式：y =a (x −ℎ)2+k 已知抛物线顶点和一点或已知对称轴和另外两点求解析式3. 交点式：y =a (x −x 1)(x −x 2)已知抛物线与x 轴的两交点和另一点1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0),x 1，x 2分别是抛物线与x 轴两个交点的横坐标。
已知抛物线与x 轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。
①典型例题一：告诉抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。
例1：已知抛物线与x 轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。
②典型例题二：告诉抛物线与x 轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。
例2：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x 轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。
2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。
当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。
在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。
九年级数学中考前100天函数基础知识汇总人教版
中考函数总复习知识归纳知识点1：平面直角坐标系与函数的概念 1.2. x 0.3. P (x,y)关于x 轴对称的点坐标为__________，关于y 轴对称的点坐标为________， 关于原点对称的点坐标为___________.4. x y =有意义，则自变量x 的取值范围是 . xy 1=有意义，则自变量x 的取值范围是 . 练习11. 在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为A （-•2，1），B （-3，-1），C （1，-1）．若四边形ABCD 为平行四边形，那么点D 的坐标是_______．2.将点A （3，1）绕原点O 顺时针旋转90°到点B ，则点B•的坐标是_____． 函数11+=x y 中,自变量x 的取值范围是 .2．已知点P 在第二象限，且到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则点P 的坐标为 . 3.将点(12)，向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到对应点的坐标是 ． 4.点P （－2，3）关于x 轴的对称点的坐标是________．5．在平面直角坐标系中，点P （－1，2）的位置在 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 6．点A （—3，2）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）A.（－3，－2）B.（3，2）C.（3，－2）D.（2，－3） 7．若点P （1－m ，m ）在第二象限，则下列关系式正确的是（ ） A. 0<m<1 B. m<0 C. m>0 D. m>l8.学校升旗仪式上，•徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画，这幅图是下图中的（ ）9. 一天,亮亮发烧了,早晨他烧得厉害,吃过药后感觉好多了, 中午时亮亮的体温基本正常,但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么烫 了. 图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( )10.汽车由长沙驶往相距400km 的广州. 如果汽车的平均速度是100km/h,那么汽车距广州的路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系用图象表示应为( )11. 如图,点A 坐标为(-1,1),将此小船ABCD 向左平移2个单位，再向上平移3个单位得A′B′C′D′．（1）画出平面直角坐标系；（2）画出平移后的小船A′B′C′D′，写出A′，B′，C′，D′各点的坐标.知识点2：一次函数1．正比例函数的一般形式是__________．一次函数的一般形式是__________________. 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过 和 两点的 . 3.一次函数y kx b =+的图象与性质练习2：1.若正比例函数kx y =（k ≠0）经过点（1-，2），则该正比例函数的解析式为=y ___________.2.如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式0ax b +<的解集是 ． 3. 一次函数的图象经过点（1，2），且y 随x 的增大而减小，则这个函数的解析式可以是 .（任写出一个符合题意即可） 4．一次函数21y x =-的图象大致是（ ）k ＞0b ＞0k ＞0 b ＜0k ＜0 b ＞0ab+5.如果点M在直线1y x=-上，则M点的坐标可以是（）D6.直线y＝2x＋b经过点(1，3)，则b＝_________．7.已知直线y＝2x＋8与x轴和y轴的交点的坐标分别是_______、_______；与两条坐标轴围成的三角形的面积是__________．8. 如果直线y ax b=+经过第一、二、三象限,那么ab____0．( 填“>”、“<”、“=”)9.如图，将直线OA向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是．10.下列各点中，在函数27y x=-的图象上的是（）A．（2，3） B．（3，1） C．（0，－7） D．（－1，9）11.直线3y kx=+与x轴的交点是(1，0)，则k的值是( )A.3B.2C.－2D.－312.一次函数1y kx b=+与2y x a=+的图象如图，则下列结论：①0k<；②0a>；③当3x<时，12y y<中，正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．313.一次函数(1)5y m x=++中，y的值随x的增小而减小，则m的取值范围是（）A．1m>-B．1m<-C．1m=-D．1m<14. 已知一次函数物图象经过A(-2,-3)，B(1,3)两点.⑴求这个一次函数的解析式.⑵试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上.⑶求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积.15.某农户种植一种经济作物，总用水量y（米3）与种植时间x（天）之间的函数关系式如图所示．⑴第20天的总用水量为多少米3？⑵当x≥20时，求y与x之间的函数关系式．⑶种植时间为多少天时，总用水量达到7000米3？16. 如图，在边长为2的正方形ABCD的一边BC上，一点P从B点运动到C点，设BP＝x，四边形APCD的面积为y.(天)⑴ 写出y 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围； ⑵ 说明是否存在点P ，使四边形APCD 的面积为1.5？知识点3：反比例函数1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 （k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质3．k 的几何含义：反比例函数y ＝kx(k ≠0)中比例系数k 的几何 意义，即过双曲线y ＝kx(k ≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴 垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 . 练习31．已知反比例函数ky x=的图象经过点(36)A --，，则这个反比例函数的解析式是 ． 2．在反比例函数3k y x-=图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是 （ ）A ．k ＞3B ．k ＞0C ．k ＜3D ． k ＜03．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m 3) 的反比例函数，其图象如图1所示．当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）A ．不小于54m 3B ．小于54m 3C ．不小于45m 3D ．小于45m 34．如图2，若点A 在反比例函数(0)ky k x=≠ 的图象上，AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，则k = ．5．某反比例函数的图象经过点(23)-，，则此函数图象也经过点（ ）A ．(23)-，B ．(33)--，C ．(23)，D ．(46)-，6．对于反比例函数2y x=，下列说法不正确．．．的是（ ） A ．点(21)--，在它的图象上B ．它的图象在第一、三象限C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大 D ．当0x <时，y 随x 的增大而减小 7.如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x =(21)(1)A B n -，，，两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求AOB △的面积．知识点4：二次函数及其图像1. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质a ＞02. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式，其中 h ＝ ， k ＝ .3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系.4. 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,的符号的确定.yxDBA练习4：1．将抛物线23y x =-向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ． 2.如图1所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是 ．3.二次函数2(1)2y x =-+的最小值是（ ）A.－2B.2C.－1D.1 4.二次函数22(1)3y x =-+的图象的顶点坐标是（ ）A.C.（1,－3）D.（－1,－3）5. ）6. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 .7.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如右图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．8. 函数2y ax =与(0,0)y ax b a b =+>>在同一坐标系中的大致图象是（ ）9.已知函数y=x 2-2x-2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使 y ≥1成立的x 的取值范围是（ ） A ．-1≤x≤3B ．-3≤x≤1C ．x ≥-3D ．x ≤-1或x ≥310.二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论： ①a ＞0； ②c ＞0； ③ b 2-4a c ＞0，其中正确的个数是( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个（第9题） （第10题）11.某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么y 与x 的函数关系是（ ）A ．y ＝x 2＋aB ．y ＝ a （x －1）2C ．y ＝a （1－x ）2D ．y ＝a （l ＋x ）2知识点5 ：函数综合应用1．点A ()o y x ,0在函数c bx ax y ++=2的图像上.则有 .2. 求函数b kx y +=与x 轴的交点横坐标，即令 ，解方程 ； 与y 轴的交点纵坐标，即令 ，求y 值3. 求一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像的交点，解方程组 . 练习5：1．抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为________． 2．当路程s 一定时，速度v 与时间t 之间的函数关系是（ ）A ．正比例函数B ．反比例函数C ．一次函数D ．二次函数 3．函数2y kx =-与ky x=（k ≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）4.如右图，抛物线n x x y ++-=52经过点)0,1(A ，与y 轴交于点B.（1）求抛物线的解析式；（2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是等腰三角形，试求点P 的坐标.5． 反比例函数xk y =的图像经过A （－23，5）点、B （a ，－3），则k ＝ ，a ＝ ．6．如图是一次函数y 1＝kx ＋b 和反比例函数 y 2＝＝mx的图象，•观察图象写出y 1>y 2时，x 的取值范 围是_________．7．根据右图所示的程序计算 变量y 的值，若输入自变 量x 的值为32，则输出 的结果是_______.8.如图，过原点的一条直线与反比例函数y ＝kx（k<0） 的图像分别交于A 、B 两点，若A 点的坐标为（a ，b ），则B 点 的坐标为（ ） A ．（a ，b ） B ．（b ，a ） C ．（-b ，-a ） D ．（-a ，-b ）9. 二次函数y ＝x 2＋2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．－3和5 D ．3和－510.下列图中阴影部分的面积与算式12221(|43|-++-的结果相同的是（ ）11. 如图，方格纸上一圆经过(2,5)，(-2,1)，(2,-3)，(6,1) 四点，则该圆圆心的坐标 为( )A.(2,-1)B.(2,2)C.(2,1)D.(3,1)12.如图，在直角坐标系中放入一个边长OC 为9的矩形纸片ABCO ．将纸片翻折后，点B 恰好落在x 轴上，记为B ′，折痕为CE ，已知tan ∠OB ′C ＝34． （1）求B ′点的坐标；（2）求折痕CE 所在直线的解析式．知识点6：应用题型（一） 行程问题：1）追及问题：A ．两个物体在同一地点不同时间同向出发最后在同一地点的行程问题等量关系：甲路程=乙路程 甲速度×甲时间=乙速度×（甲时间+乙先走的时间） B ．两个物体从不同地点同时同向出发最后在同一地点的行程问题 等量关系：甲路程－乙路程=原相距路程2) 相遇问题：两个物体同时从不同地点出发相向而行最后相遇的行程问题等量关系：甲路程+乙路程=相遇路程 甲速度×相遇时间+乙速度×相遇时间=原两地的路程3) 一般行程问题：等量关系：速度×时间=路程 4) 航行问题：等量关系：顺水速度=静水速度+水流速度 逆水速度=静水速度－水流速度（二）商品的利润率：等量关系：利润=售价－进价 实际售价=折扣数×10%×标价 利润率=进价利润利润率=进价进价售价- 销售额=售价×销售量有关增长率的问题：工作量=工作效率×工作时间 各工作量之和=总工作量 总工作量常看作1 （a ）甲、乙一起合做：1+=合做天数合做天数甲独做天数乙独做天数（b ）甲先做a 天，后甲乙合做：1++=a 合做天数合做天数甲独做天数甲独做天数乙独做天数练习6：1．轮船顺流航行100km 和逆流航行60km 所用时间相等，已知轮船在静水中航行的速度为21km/h ，求水流速度。
人教版九年级下册数学知识点汇总
一、二次函数1.二次函数定义o二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项式函数，可以表示为f(x)=ax²+bx+c（a不为0）。
2.基本形式o一般式：y=ax²+bx+c (a≠0)o顶点式：y=a(x-h)²+k 或y=a(x+m)²+k（h, k为常数，a≠0）o交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)3.重要概念o顶点坐标：(-b/2a, (4ac-b²)/4a)o开口方向：由a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
o开口大小：由|a|决定，|a|越大开口越小，|a|越小开口越大。
4.函数变化o当a>0时，x>0时y随x增大而增大；x<0时y随x增大而减小。
o当a<0时，x>0时y随x增大而减小；x<0时y随x增大而增大。
二、相似三角形1.相似三角形的定义o三条边对应成比例，三个角对应相等的两个三角形叫相似三角形。
2.相似比o相似三角形的对应边的比叫作这两个三角形的相似比。
3.判定定理o如果两个三角形的两个角对应相等，则这两个三角形相似。
o如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，则这两个三角形相似。
o如果两个三角形的三组对应边的比相等，则这两个三角形相似。
o平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
4.特殊情况o两个等边三角形一定相似。
o两个等腰直角三角形一定相似。
5.相似三角形的性质o相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
o相似三角形周长的比等于相似比。
o相似三角形面积的比等于相似比的平方。
三、锐角三角函数1.基本概念o在直角三角形中，锐角的正弦(sin)、余弦(cos)和正切(tan)等称为锐角三角函数。
2.定义o正弦(sin)：对边/斜边o余弦(cos)：邻边/斜边o正切(tan)：对边/邻边o余切(cot)：邻边/对边3.特殊角的三角函数值o需要记忆如30°、45°、60°等特殊角的三角函数值。
初三数学知识点归纳人教版
初三数学知识点归纳人教版一、一元二次方程。
1. 定义。
- 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式为ax^2+bx + c=0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2. 解法。
- 直接开平方法：对于方程x^2=k(k≥0)，解得x=±√(k)。
例如(x - 3)^2=4，则x - 3=±2，解得x = 1或x = 5。
- 配方法：将一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)通过配方转化为(x+(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}的形式，然后再用直接开平方法求解。
例如x^2+6x - 1 = 0，配方得(x + 3)^2=10，解得x=-3±√(10)。
- 公式法：对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}(b^2-4ac≥0)。
- 因式分解法：将方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，即(mx +n)(px+q)=0，则mx + n = 0或px + q = 0。
例如x^2-3x+2 = 0，分解因式得(x - 1)(x -2)=0，解得x = 1或x = 2。
3. 根的判别式。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其判别式Δ=b^2-4ac。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。
4. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，若方程的两根为x_1,x_2，则x_1+x_2=-(b)/(a)，x_1x_2=(c)/(a)。
二、二次函数。
1. 定义。
- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a≠0)的函数叫做二次函数，其中a、b、c是常数，x是自变量。
人教版九年级数学第三单元《函数》中考知识点梳理
第三单元《函数》中考知识点梳理第9讲平面直角坐标系与函数知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例1.相关概念（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．（2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应．点的坐标先读横坐标(x轴)，再读纵坐标(y轴).2.点的坐标特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：点P(x,y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；点P(x,y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P（x,y）在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P（x,y）在第四象限⇔x＞0，y＜0.（2）坐标轴上点的坐标特征：①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0，y＝0.（3）各象限角平分线上点的坐标①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征：①关于x轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)；③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)．（5）点M（x,y）平移的坐标特征：M（x,y）M1(x+a,y)M2(x+a,y+b)（1）坐标轴上的点不属于任何象限.（2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同.（3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.3.坐标点的距离问题（1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|．（2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离：点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1－x2|；点M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1－y2|，点M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1－y2|．平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等.知识点二：函数4.函数的相关概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．失分点警示函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数y=35xx+-中自变量的取值范围是x≥-3且x≠5.5.函数的图象（1）分析实际问题判断函数图象的方法：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y随x的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图xy第四象限(＋，－)第三象限(－，－)第二象限(－，＋)第一象限(＋，＋)–1–2–3123–1–2–3123O（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围. 象越陡峭；③当函数y值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x轴的线段.第10讲一次函数知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数,2.一次函数的性质k，b符号K＞0，b＞0K＞0，b＜0K＞0，b=0 k<0，b>0k<0，b<0k<0，b＝0（1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.例：已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)．大致图象经过象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是()－bk，0，与y轴的交点是(0，b)；(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．例：一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.知识点二：确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；③解：求出k与b的值，得到函数表达式．（2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.5.一次函数图象的平移规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．知识点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.例：（1）已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为（1,0）.（2）一次函数y=-3x+12中，当x＞4时，y的值为负数．7.一次函数与方程组二元一次方程组的解 两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象的交点坐标.8.一次函数与不等式（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集（2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集知识点四：一次函数的实际应用9.一般步骤（1）设出实际问题中的变量；（2）建立一次函数关系式；（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；（4）确定自变量的取值范围；（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；（6）做答. 一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.10.常见题型（1）求一次函数的解析式.（2）利用一次函数的性质解决方案问题.第11讲反比例函数的图象和性质知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.y=k2x+by=k1x+b3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：若(a，b)在反比例函数kyx=的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD.知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.第12讲二次函数的图象与性质第13讲二次函数的应用五、知识清单梳理。
人教版九年级数学上册第22章《二次函数》知识小结与复习
解:(1)∵抛物线过点(3,8)，(-1,0)，(0,5)，
8 则 0
9a 3b c， a b c，
解得
a b
1， 4，
5 c.
c 5.
∴该二次函数关系式为y=-x2+4x+5
(2)顶点M的坐标为(2，9)， 对称轴为直线x=2,则B点坐标为(5，0)， 过M作MN⊥AB于N，则
S四边形ABMD =S△AOD+S梯形DONM +S△MNB
教学反思
本课时是对本章知识点的全面总结，教学 时，教师注重引导学生回忆知识点并构建知识 结构框图，同时辅以典型例题，复习和巩固所 学知识点，最后教师详细讲解解题思路和分析 过程.
4.已知抛物线y
1 2
x
2
3
x
5 2
.
(1)求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；
(2)求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；
解:(1)
y
1 2
x
2
3
x
5 2
.
1 2
(
x
3)2
7.
开口:向上，
对称轴:x=3,
顶点坐标:(3，-7).
(2)
0
1 2
(x轴的交点：
(3 14，0)，(3 14，0).
ab<0；②b2-4ac>0；③9a-3b+c<0；④b-4a=0；
⑤方程ax2+bx=0的两个根为x1=0, x2=-4. y 其中正确的结论有（ B ）
A.①③④ B.②④⑤
-4 -2 O
x
C.①②⑤ D.②③⑤
专题训练四 二次函数与一元二次方程的关系
（黑龙江牡丹江中考）已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴
九年级数学函数总复习(二)人教大纲版
函数总复习（二）《函数及其图象》一章的内容，是中考命题重点考查的内容之一。
近几年来各省市的考题中，考查本单元内容的分值，平均占到18%左右。
例1.（1）下列函数中，自变量x的取值X围为x≥2的是（）A、y=B、y=C、y=D、y=·（2）长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y(元) 是行李重量x (千克)的一次函数，其图象如图所示，则y与x之间的函数关系式是________，自变量x的取值X围是___________。
析解：函数自变量的取值X围包括两方面的内容：第一要使函数解析式本身有意义（切忌盲目化简）；第二要符合实际问题的需要。
对于第（1）小题，可直接从题中所提供的四个函数中，分别确定出自变量x的取值X围：(A)为x≤2；(B)为x>2；(C)为-2≤x≤2；(D)为；其公共解集为x≥2，故应选D。
对于第（2）小题，观察可知一次函数的图象经过(60,6)、(80,10)两点，可设y=ax+b，则有解得：∴y=x-6。
令y=0, 则x=30。
根据图象知，自变量x的取值X围是x≥30。
例2.（1）已知直角坐标系内，点P的纵坐标是横坐标的3倍，请写出过点P的一次函数的解析式（至少三个）________________________。
（某某某某）（2）某函数具有下列两条性质：①图象关于原点O成中心对称；②当x>0时，函数值y随自变量x 的增大而减小，请举一例（用解析式表示）：_______________。
（某某某某）（3）已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(c,0)，且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是_____________（只要求写出一个可能的解析式）。
（某某荆州）析解：三个小题都是确定函数的解析式，且有一个共同特点，所确定的解析式都是开放型的。
解答这类题，一定要抓住所求函数解析式具有的条件或性质来思考。
人教版九年级函数知识点
人教版九年级函数知识点九年级函数知识点函数是数学中一种重要的概念，它在数学和实际问题中都起着重要的作用。
下面将介绍九年级数学课程中的一些函数知识点。
1. 函数的定义函数是一个映射关系，它将一个集合的每个元素对应到另一个集合的唯一元素上。
数学上通常用函数的定义域、值域和对应关系来描述一个函数。
2. 函数的表示函数可以用多种形式来表示，常见的有显式函数、隐式函数和参数方程等。
显式函数是指将自变量表示为因变量的表达式，例如 y = f(x)。
隐式函数则是通过方程的形式来表示函数，例如 x^2 + y^2 = 1。
参数方程是使用参数来表示自变量和因变量之间的关系，例如 x = cos(t)，y = sin(t)。
3. 常见的函数类型在九年级数学中，学生将学习一些常见的函数类型，包括线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
线性函数是一次函数，其图像是一条直线；二次函数是二次多项式函数，其图像是一个抛物线；指数函数是以常数 e 为底的幂函数；对数函数则是指数函数的反函数。
4. 函数的性质函数有许多重要的性质，包括奇偶性、单调性、周期性和对称性等。
奇偶性是指函数关于原点的对称性，如果 f(-x) = f(x)，则函数是偶函数；如果 f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
单调性是指函数在定义域上的增减性，可以分为递增和递减。
周期性是指函数在某一区间上有重复的规律性，例如正弦函数和余弦函数。
对称性是指函数关于某条直线的对称性，如轴对称和中心对称等。
5. 函数的图像函数的图像可以通过绘制函数的坐标点来表示。
曲线的形状反映了函数的性质和特点。
使用图像可以更直观地理解函数的规律和变化，帮助解决各种实际问题。
6. 函数的应用函数在实际问题中有着广泛的应用。
例如，线性函数可以用来描述单位价格和数量之间的关系，二次函数可以用来描述抛物线的运动轨迹，指数函数可以用来描述人口增长和物质衰变等现象。
通过函数分析和建模，可以更好地理解和解决实际问题。
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2008年函数总复习题
例40 （1）（哈尔滨2007年）已知二次函数y = ax2 + bx + c的图象如图所示，下列结论中：①abc > 0；②b = 2a；③a + b + c；④a –b + c，正确的个数是（）.
(A) 4个(B) 3个(C) 2个(D) 1个
（2）（陕西省2007）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列关
于a、b、c间的关系判断正确的是（）
(A) ab < 0 (B) bc < 0
(C) a+b+c > 0 (D) a-b+c < 0
例41 （南京市2007年）已知二次函数y = ax2– 2 的图象经过点（1，- 1）. 求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点个数.
略解：依题意，得a = 1, y = x2– 2.
法1：开口向上，与y 轴交点在x 轴的下方，所以该函数图象与x 轴有两个交点. （由数思形，依形判数）
法2：… 由Δ = 0 – 4×（-2）= 8 > 0，所以该函数图象与x 轴有两个交点.
（令y = 0，转化为一元二次方程的判别式解决）
3．图形的移动（翻转，平移，旋转）
例42（1）（山东省潍坊课改实验区2007）抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则它关于y轴对称的抛物线的解析式为。
（2）（山东省2007年）已知抛物线C1 的解析式y = 2x2 - 4x + 5，
抛物线C2 与抛物线C1 关于x 轴对称，求抛物线C2 的解析式.
略解：依题意，开口反向，a2 = - a1 = - 2;
与y 轴交点关于x 轴对称c2 = - c1 = - 5;
对称轴不变，a2 = - a1，则b2 = - b1 = 4.
所以抛物线C2：y = - 2x2 + 4x– 5.
（用概念定系数）
例43 ★★（甘肃省2007）阅读以下材料并完成后面的问题. 将直线y = 2x– 3 向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式.
解：在直线y = 2x– 3上任取两点A( 1, -1 )、B( 0, -3 ).
由题意知：
点 A 向右平移3个单位的A’ ( 4, -1 )；再向上平移1个单位得A”（4，0）.
点 B 向右平移3个单位的B’ ( 3, -3 )；再向上平移1个单位得B”（3，-2）.
设平移后的直线的解析式为y = kx + b.
则点A”（4，0）, B”（3，-2）在该直线上，可解得k = 2，b = -8.
所以平移后的直线的解析式为y = 2x– 8.
根据以上信息解答下面问题：
将二次函数y = - x2 + 2x + 3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式. （平移后抛物线形状不变）
例44 ★★（四川郫县课改实验区2007） 如图，△OAB 是边长为三角形，其中O 是坐标原点，顶点B 在y 轴的正方向上，将△OAB 折叠，使点A 落在边OB 上，记为A’ 折痕为EF
（1）当 A’E // x 轴时，求点A’ 和E 的坐标；
（2）当 A’E // x 轴时，且抛物线y= –61x 2
+ bx + c
经过点A’ 和E 时，求该抛物线与x 轴的交点的坐标；
（3）当点A’ 在OB 上运动但不与O 、B 重合时，
能否使△A’ EF 成为直角三角形？若能，请求出
此时点A’ 的坐标；若不能，请你说明理由。
4. 二次函数的应用
例45 （吉林省2007）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的
距离称为指距. 某项研究表明，一般情况下人的身高h 是指距d 的一次函数. 下表是测得的指距与身高的一组数据：
（2） 某人身高为196cm ，一般情况下他的指距应是多少？
例46★★（山西省2007）若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅图像分别表示量之间的关系，请按图像所给顺序，将下面的a 、b 、c 、d 对应排序
(a) 小车从光滑的斜面上滑下（小车速度与时间的关系）
(b) 一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物重量的关系） (c) 运动员推出去的铅球（铅球高度与时间的关系）
(d) 小杨从A 到B 后，停留一段时间，然后按原速度返回（路程与时间的关系）
正确的顺序是：（ ）
(A)（c ）（d ）（b ）（a ） (B)（a ）（b ）（c ）（d ）
(C)（b ）（c ）（a ）（d ） (D)（d ）（a ）（c ）（b ）
5. 相关综合题
例47（天津市2007）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且交点为A （2，0）.
（I）求b、c的值；
（II）若抛物线与y轴的交点为B，坐标原点为O，求△OAB的周长（答案可带根号）
例48（重庆市2007年）已知一次函数y = ax + c 与二次函数y = ax2 + bx + c，它们在同一坐标系内的大致图象是（）.
(A) (B) (C) (D)
例49 抛物线y = x2 - 2x + c与x 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，且OC =OB，求此抛物线的函数解析式及三角形ABC的面积.
例50 ★★（吉林省2007）如图、已知抛物线y=x2 –ax+a+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D（0，8），直线DC平行于x轴，交抛物线于另一点C。
动点P以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿C→D运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从A出发，沿A→B运动。
连结PQ、CB.设点P的运动时间为t秒.
（1）求a的值；
（2）当t为何值时，PQ平行于y轴？
（3）当四边形PQBC的面积等于14时，
求t的值
例51 (吉林省2007) 下列图中阴影部分的面积与算式|4
3 |+（21）2 + 2-1的结果相同的
是
（
）
例52 ★★（海口市课改实验区2007）已知抛物线y = x 2 + (2n –1)x + n 2–1（n 为常数）
（1）当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；
（2）设A 是（1）所确定的抛物线上位于x 轴的下方，且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线与另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C.
①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；
②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由。