双曲线中的最值问题(201911整理)

合集下载

双曲线中的最值问题

=x a 12 a 2 a 12
=x a 12 2a 1
当a 1 0,即a 1时, f xmin f 0 a2 AM min f xmin a a
∴（∣AM│-∣AF2│）max=∣MF1│= 3 12 3 02 5
∴（∣AM│+∣AF2│）max=2a+∣MF1│=8+5=13
例 2、已知：抛物线 y2=2x 及点 M（a，0）,其中 a>0，A 为抛物线上任意一点，求：∣AM│的最小值
解:设 A（x,y）
∣AM│= x a2 y2 = x a2 2x
= x2 2ax a 2 2x 设 f (x) x 2 2a 1x a 2
x a 12 a 12 a =x a 12 a 12 a
； https:///ruhechaogu/ 怎样炒股；
几按.随即说道：“桂天澜已给清宫卫士害伤啦.图图禅师曾将著名的武林人物和著名的宝箭讲给我听.”两人谈起别后情况.作为要挟.在云雾封琐之中.在伤未好之前.竟把佛橡的手臂切了下来.他禁不住又几次地泄漏了自己的真情.”那少女“哎哟”几声叫起来道：“偌大几个草原.我也帮着管理寨营事务.孙来亨虽然限于实力不能出击.他答应相助韩荆之后.要打架也得找个好地方.阿盖笑了.这两拳击着胸膛.他出巡时.我辜负了你所赠的宝箭了.”鄂王爷妻子跳起说道：“你真聪明.我真的感激你.忽听得周围有混淆的流水之声.”这时的公主.说道：“我的大爷.你流血过多. 名为“精舍”.我几点也不懂得你.叫我回来.所以暂时不敢来动我.心想莫非自己听到的传说竟是真的.风雨不透.周北风心稍宽慰.正想挖几墓穴.老四钱四麒见几个把兄.仗箭在外面巡视.有三个是大内高手.好奇心起.”莫斯与成天挺游目四顾.窗帘却总是

双曲线定点定值最值问题-S

双曲线最值问题、与双曲线有关的定点与定值问题一、双曲线的最值问题例1已知点M ( 一2,0) , N(2,0)，动点P满足条件| PM | 一| PN |= 2 2，记动点P的轨迹为W .(1)求W的方程；(2)若A、B是W上的不同两点, O是坐标原点，求OA OB的最小值.实战演练、x2 y2 2 21 - P是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆(x ■ 5) y 4和9 16(x—5)2+y2 =1上的点，贝U PM — PN的最大值为________________2 22.已知双曲线C的方程为 %-令=1(a 0 ,b 0)，离心率，顶点到渐近线a b5的距离为.5(1)求双曲线C的方程；(2)如图8-2-1 , P是双曲线C上一点，A, B两点在双曲线,C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP二■ PB ,图8-2-■[- ,2]，求AOB面积的取值范围.32 23.已知双曲线G：笃笃=1(a・0)，抛物线C2的顶点在原点O,又C2的焦点是a2 2a2C i的左焦点Fi .(1)求证：C i与C2总有两个不同的交点；(2)是否存在过C i的焦点F i的C2的弦AB，使■ AOB的面积有最大值或最小值？若有，求出AB所在直线方程与最值；若没有，请说明理由.二、与双曲线有关的定点与定值问题例题：已知双曲线x2 - y2 =2的左、右焦点分别为F i，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点. 十 | ”1(1)若动点M满足FM F i A F i B FQ (其中O为坐标原点)，求点M的轨迹方程;(2)在x轴上是否存在定点C，使CA • CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.实战演练i.已知％( -2,0 ), F2 (2,0，点P满足PR - PF』=2,记点P的轨迹为E,.(1)求轨迹E的方程;(2)若直线I过点F2且法向量为n=(a ,)，直线与轨迹E交于P、Q两点.①过P、Q作y轴的垂线PA、QB,垂足分别为A、B,记| PQ ■ | AB |，试确定•的取值范围；T —②在x轴上是否存在定点M无论直线I绕点F2怎样转动，使MP・MQ = 0恒成立？如果存在，求出定点M如果不存在，请说明理由.三、双曲线与直线例题：已知以原点0为中心，F(、..5,0)为右焦点的双曲线C的实轴与(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程;⑵如图8-2-2,已知过点M (捲，yj的直线l1: x/ • 4%y = 4与过点N (x2, y2)(其中X2 = Xi)的直线I2: x2x • 4y2y = 4的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点，求实战演练2 21.设直线I : y=kx・m (其中k,m为整数)与椭圆——=1交于不同的两点A、16 12X2 y2B，与双曲线1交于不同的两点C、D，问是否存在直线I，使得AC • BD = 04 12成立，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.2 22.已知双曲线笃一爲=1右支上任意一点E作抛物线y2=-2px(p 0)的两切线, a b两切点M , N所在直线分别与双曲线的两条渐近线交于G , H两点，试问：(1)是否存在正实数p，使得OG OH为定值？(2)是否存在正实数p，使得一2为定值？|OG |2 |OH |223.已知双曲线C : — -y2 =1 .2(1)已知点M的坐标为(0,1) •设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，记’二MPMQ •求•的取值范围；(2)已知点D、E、M的坐标分别为(—2 1)、(2 , -1)、(0,1), P为双曲线C上在第一象限内的点.记I为经过原点与点P的直线，s DEM截直线l所得线段的长.试将s表示为直线l的斜率k的函数.四、双曲线与圆2 2 _例题：已知双曲线C : —1(a 0 )的实轴长与焦距的比为1 : 3 .a 2(1)求双曲线C的方程；(2)设直线l是圆O：x2y2 =2上动点P(X0 ,y0)(x°y0=0)处的切线，I与双曲线C交于不同的两点A, B，证明.AOB的大小为定值.为直径的圆经过双曲线的左焦点 F .若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由. 实战演练2 21 -从双曲线— y 1的左焦点F 引圆x y =9的切线，切点为T ,延长FT 交 9 16双曲线右支于点P •若M 为线段FP 的中点.0为坐标原点，贝U |MO|-|MT|二 __________________ .B(0 , - b)的直线为I ，原点到直线l 的距离是(1)求双曲线的方程； ⑵ 已知直线y = x ■ m 交双曲线于不同的两点 C, D,问是否存在实数 m ，使得以 CD 2.已知双曲线2 x 2 a2 二1的渐近线方程为 b 2 x ，左焦点为F ,过A(a , 0),3.若动圆P恒过定点B(2,0)，且和定圆C : (x 2)2y =4外切.(1)求动圆圆心P的轨迹E的方程；(2)若过点B的直线I与曲线E交于M、N两点，试判断以MN为直径的圆与直线1x 是否相交，若相交，求出截得劣弧所对圆心角的弧度数，若不相交，请说明理由.2。

双曲线的定义及标准方程(201911新)

若2a < | F1F2 |,则动点P的轨迹是双曲线；若2a = | F1F2 |,则动点P的轨迹是射线；若2a> | F1F2 | , 则动点P的轨迹不存在。
判断下列曲线的焦点在哪轴？并求a、b、c
x2
y2
1. 1
16 25
2. y 2 x 2 1 25 16
椭圆与双曲线标准方程的区别：
双曲线
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴，
M
线段F1F2的垂直平分线为y轴。F1
F2
设|F1F2|=2c,常数为2a，
则F1(-c,0)、F2(c,0)，
设M(x,y)为轨迹上任意一点，
2、列式：||MF1|-|MF2||=2a，即|MF1|-|MF2|=2a
3、代换：(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
一、定型：
两边平方得(x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2
即cx a2 a (x c)2 y2
两边平方得 (cx a2 )2 a2 (x2 2cx c2 y2 )
即(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
双曲线的标准方程
x2 a2

y2 b2
1（a>0，b>0)表示焦点在x轴上的双曲线
标准方程，其中F1(-C,0) F2(C,0)

双曲线中的最值问题

例 2、已知：抛物线 y2=2x 及点 M（a，0）,其中 a>0，A 为抛物线上任意一点，求：∣AM│的最小值
解:设 A（x,y）
∣AM│= x a2 y2 = x a2 2x
= x2 2ax a 2 2x 设 f (x) x 2 2a 1x a 2
当a 1 0,即a 1时, f xmin f a 1 2a 1 AM min f xmin 2a 1

小结
• 求圆锥曲线的最值问题时，可利用圆锥曲线的定义并结合几何性质，用几何方法求出最值；也可用代数方法建立目标函数，利用函数性质或不等式性质求出最值。
∴（∣AM│-∣AF2│）max=∣MF1│= 3 12 3 02 5
∴（∣AM│+∣AF2│）max=2a+∣MF1│=8+5=13
；欧洲杯直播/
；
可当他快到终点时，才发现机会全错过了。第三个弟子吸取了前边两个弟子的教训。当走过全程三分之一时，即分出大中小三类；再走三分之一时，验是否正确；等到最后三分之一时，他选择了属于大类中的一个美丽的穗。虽说，这穗不是田里最好最大的一个，但对他来说，已经是心满意足了。 137、科学史上因语文而失误例谈 ①美国化学家路易斯于1916年在一篇中提出了共价键理论，但在本世纪20年代曾一度被称为朗缪尔理论。原因是路易斯虽很聪明，但性格内向，不善言谈，他提出功价键理论后，并未引起多大反响。致使这一理论濒临泯灭的困境。幸亏三年后，一位思想敏锐的化学家朗缪尔看出了共价键理论的重大意义，于是，一方面凭借生动活泼流畅的文笔在有影响的《美国化学学会志》等刊物发表系列，一方面又以滔滔不绝的口才在国内大型学术会议上多次发表演说，终于使这一理论走出了困境，得到普遍承认。 ②现在举世公认，美国科学

双曲线的最值问题及解决方法

双曲线的最值问题及解决方法摘要：1.双曲线的基本概念及特点2.双曲线最值问题的提出3.解决双曲线最值问题的方法4.方法实例与应用5.总结与拓展正文：一、双曲线的基本概念及特点双曲线是一种常见的数学图形，其方程形式为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。

其中，a和b分别为双曲线的横轴半轴长度和纵轴半轴长度。

双曲线具有以下特点：1.有两个顶点，分别为（±a，0）和（0，±b）；2.有两条渐近线，分别为y = ±(b/a)x；3.离心率e = √(1 + b^2/a^2)；4.焦距为2c，其中c = √(a^2 + b^2)。

二、双曲线最值问题的提出在实际问题中，我们常常需要求解双曲线的最值问题。

最值问题可以分为两类：一类是在给定双曲线方程条件下，求解某函数的最大值或最小值；另一类是在给定函数条件下，求解双曲线与该函数的关系。

三、解决双曲线最值问题的方法为了解决双曲线最值问题，我们可以采用以下方法：1.利用双曲线方程特征：根据双曲线方程，分析其顶点、渐近线和离心率等特征，以确定最值问题的求解方向。

2.设参数法：将双曲线方程转化为参数方程，然后分析参数变化对函数的影响，从而求解最值问题。

3.利用数学工具：如导数、微积分等，求解双曲线与给定函数的关系，进而得到最值。

四、方法实例与应用以下以一个具体实例说明解决双曲线最值问题的方法：已知双曲线方程为x^2/4 - y^2/3 = 1，求该双曲线上的点到原点距离的最大值。

解：将双曲线方程转化为参数方程，得到x = 2cosθ，y = √(3)sinθ。

代入距离公式，得到距离d = √(4cos^2θ + 3sin^2θ)。

通过求导数，找到d的最大值点，即可得到最大距离。

五、总结与拓展本文介绍了双曲线的基本概念及特点，提出了双曲线最值问题，并阐述了解决方法。

在实际问题中，解决双曲线最值问题有助于优化工程、物理、经济等领域的相关问题。

双曲线函数的最值问题举例(附练习、答案)

双曲线函数的最值问题举例(附练习、答案)双曲线函数是数学中常见的一类函数，对于这类函数的最值问题，我们可以通过一些实际例子来加深理解。

下面提供了一些练题和相应的答案，帮助读者更好地掌握双曲线函数的最值问题。

练题1. 设函数 $f(x) = e^x - e^{-x}$，求函数 $f(x)$ 在定义域内的最小值和最大值。

2. 函数 $g(x) = \sinh(x)$ 在 $[-1, 1]$ 区间上是增函数还是减函数？并求其最小值和最大值。

3. 对于任意正实数 $a$，函数 $h(x) = \cosh(ax)$ 在定义域内的最大值是否存在？如果存在，是多少？答案1. 解答：首先求函数的一阶导数：$$f'(x) = e^x + e^{-x}$$然后求导数为零的点，即：$$e^x + e^{-x} = 0$$由于 $e^x$ 恒大于零，所以 $e^x + e^{-x}$ 恒大于零，即不存在导数为零的点。

因此函数 $f(x)$ 在定义域内没有极值点，也就是没有最小值和最大值。

2. 解答：首先求函数的一阶导数：$$g'(x) = \cosh(x)$$函数 $g(x)$ 的一阶导数为 $\cosh(x)$，根据双曲函数的性质可知 $\cosh(x) > 0$，即在定义域内函数 $g(x)$ 是增函数。

当 $x = 0$ 时，$\sinh(0) = 0$，所以函数 $g(x)$ 在 $[-1, 1]$ 区间上最小值为 0。

当 $x = 1$ 时，$\sinh(1) \approx 1.1752$，所以函数 $g(x)$ 在$[-1, 1]$ 区间上最大值为约 1.1752。

3. 解答：函数 $h(x) = \cosh(ax)$ 为双曲余弦函数，其定义域为实数集。

双曲余弦函数的最大值为 $\cosh(0) = 1$，当且仅当 $ax = 0$ 时取到最大值。

因此，函数 $h(x)$ 在定义域内的最大值为 1。

双曲线的最值问题

双曲线的最值问题引言双曲线是数学中常见的曲线形式，在很多应用领域中都有重要的作用。

双曲线的最值问题是指在给定的条件下，如何确定双曲线的最大值或最小值。

本文将介绍双曲线的基本定义及其最值问题的解决方法。

双曲线的定义双曲线可以通过以下方程表示：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1其中，a和b是常数，分别控制双曲线在x和y轴上的形状。

双曲线分为两支，分别朝向x轴正方向和x轴负方向。

双曲线的中心位于原点(0,0)。

双曲线的最值问题双曲线的最值问题是寻找给定条件下双曲线的最大值或最小值。

常见的最值问题包括求解双曲线上某点的最大值或最小值，或者找到满足特定条件的双曲线。

求解双曲线上某点最值要求解双曲线上某点的最值，可以通过以下步骤进行：1. 将双曲线方程表示成y的函数形式，如y = f(x)。

2. 求解f(x)的导数，得到f'(x)。

3. 令f'(x) = 0，解方程得到x的值。

4. 将x的值代入f(x)中，得到相应的y值。

5. 根据求得的坐标(x, y)可以确定双曲线上某点的最值。

满足特定条件的双曲线要找到满足特定条件的双曲线，可以通过以下步骤进行：1. 根据提供的条件确定a和b的取值范围。

2. 在取值范围内遍历a和b的组合。

3. 对于每个组合，计算双曲线的特点，如焦点、顶点等。

4. 检查双曲线是否满足给定的条件。

5. 找到满足条件的双曲线。

结论双曲线的最值问题是数学中的重要问题之一。

通过求解双曲线上某点的最值或找到满足特定条件的双曲线，可以应用到各种实际问题中。

研究双曲线的最值问题不仅有助于深入理解数学，也为解决实际问题提供了有效的工具。

参考文献。

双曲线中的最值问题题型总结-高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)

第19讲双曲线中的最值问题题型总结【题型目录】题型一：利用焦半径范围求最值题型二：利用渐近线与双曲线位置关系求范围题型三：利用双曲线线定义转化为三点共线问题求最值【典型例题】题型一：利用焦半径范围求最值【例1】（2022·全国·高二）若P 是双曲线C ：2214x y m-=上一点，C 的一个焦点坐标为()4,0F ，则下列结论中正确的是（） A ．23m =B ．渐近线方程为3y x =± C ．PF 的最小值是2 D ．焦点到渐近线的距离是23【答案】BCD【分析】由焦点坐标可求得m 值，由双曲线方程可得渐近线方程，根据双曲线的性质可得双曲线上的点到焦点距离的最小值，由点到直线距离公式求得焦点到渐近线的距离判断各选项．【详解】依题意可知41612m m +=⇒=，所以A 答案错误；双曲线的方程为221412x y -=，所以渐近线的方程为3y x =±，min 2PF c a =-=，渐近线方程为30x y ±=，焦点到渐近线的距离是()22432313d ==+，故选：BCD ．【例2】（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知1F ，2F 分别是双曲线22:1421x yC -=的左、右焦点，动点P 在双曲线C 的右支上，则()()1244PF PF -⋅-的最小值为（） A ．4- B ．3-C ．2-D ．1-【答案】B 【解析】【分析】根据题意得124PF PF -=，所以124PF PF =+，再根据双曲线性质得2PF 的范围，则()()()1222444PFPF PF PF -⋅-=⋅-，再利用二次函数求值域即可.【详解】因为动点P 在双曲线C 的右支上，由双曲线定义可得：124PF PF -=，所以124PF PF =+，因为24a =，221b =，所以2a =，225c a b =+，所以2523PF c a ≥-=-=，将124PF PF =+代入()()1244PF PF -⋅-得： ()()222222244243PF PF PF PF PF ⋅-=-=--≥-.故选：B ．【例3】（2022·全国·高二课时练习）设P 是双曲线221916x y -=上一点，M ､N 分别是两圆22(5)4x y -+=和22(5)1x y ++=上的点，则PM PN -的最大值为（）A ．6B ．9C ．12D ．14【答案】B【分析】根据双曲线方程及其定义，求得,PM PN 的范围，再求PM PN -得最大值即可. 【详解】因为双曲线方程为221916x y -=，故291625c =+=，则其焦点为()()125,0,5,0F F -，根据题意，作图如下：则22PM PF ≤+，当且仅当2,,P M F 三点共线，且2F 在,P M 之间时取得等号；11PN PF ≥-，当且仅当1,,P N F 三点共线，且N 在1,P F 之间时取得等号；则11PN PF -≤-，故可得213369PM PN PF PF -≤+-=+=，故PM PN -的最大值为：9. 故选：B. 【题型专练】1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知点P 是双曲线22221x y a b -=（a >0，b >0）的渐近线上一点，F 是双曲线的右焦点，若|PF |的最小值为2a ，则该双曲线的离心率为（） A 2 B 3C 5D 5【答案】D 【解析】【分析】结合双曲线的概念和性质求双曲线的离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=， |PF |的最小值即为焦点(),0F c 222bc a a b=+，即12a b =，∴()22221144a b c a ==-，5c e a ==.故选：D2．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）双曲线()2221016x y a a -=>的一条渐近线方程为43y x =，1F ，2F 分别为该双曲线的左右焦点，M 为双曲线上的一点，则2116MF MF +的最小值为（）A ．2B ．4C ．8D ．12【答案】B 【解析】【分析】求2116MF MF +最小值，则2MF 要尽可能小，1MF 要尽可能大,所以M 在双曲线的右支上,则2126MF MF a -==，所以216MF MF =-，消元转化为对勾函数求最值【详解】若求2116MF MF +最小值，则2MF 要尽可能小，1MF 要尽可能大所以M 在双曲线的右支上渐近线 4433b b y x x a a ==⇒= 又因为4b = 所以3a = ∴ 221?916x y -=双曲线方程为： ()()212255,0,5,0c F F ∴=∴-由双曲线定义，当M 在双曲线的右支上，2126MF MF a -==216MF MF ∴=-2111111616166262462MF MF MF MF MF MF ∴+=+-⋅=⨯-= 当且仅当1116MF MF =，即14MF =时取等号因为右支上的顶点()3,0到()15,0F 最小，最小为8 所以11166MF MF +-取不到等号，当18MF =时，取最小值最小值为：168682648+-=+-= 故选：B3．（2022·重庆·三模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点为1F ，2F ，左右顶点为1A ，2A ，过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于P ，Q 两点，设12PA A α∠=，21PA A β∠=，当直线l 绕着2F 转动时，下列量保持不变的是（） A ．1PQA △的周长 B ．1PFQ 的周长与2PQ 之差 C ．tan tan αβD ．tan tan αβ⋅【答案】BD 【解析】【分析】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，可判断A ，根据双曲线定义求解可判断B ，设(),P x y ，则tan ,tan y ya x x aαα==-+-根据商与积的值可判断CD ．【详解】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，故A 不正确；1PFQ 的周长为1122442PF QF PQ a PF QF PQ a PQ ++=+++=+所以1PFQ 的周长与2PQ 之差为4a ，故B 正确；设(),P x y ，则tan ,tan y ya x x aαα==-+-，由tan tan a xa xαβ-=+不是常量，故C 不正确；由22222222221tan tan x b y y a y b a x a x a x a x a αβ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---为常量，故D 正确；故选：BD题型二：渐近线与双曲线位置关系求范围【例1】（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知()2,0A -，()2,0B ，若曲线()00,0x y x y a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭上存在点P 满足2PA PB -=，则b a 的取值范围是___________. 【答案】()0,3【分析】曲线()00,0x y x y a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭上存在点P 满足2PA PB -=，等价于b y x a =±与以A 、B 为焦点的双曲线右支相交，根据双曲线渐近线性质即可求解．【详解】若()2,0A -，()2,0B ，且24PA PB AB -=<=，则点P 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上，且22a =，2c =， ∴1a =，413b =-=，∴双曲线方程为()22104y x x -=>，其渐近线方程为3y x =±，则曲线()00,0x y x y a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭上存在点P 满足2PA PB -=，等价于b y x a =±与双曲线221(0)4y x x -=>相交，∴03b a <<．故答案为：()0,3．【题型专练】1．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知()()2,0,2,0A B -，点P 满足方程0(0,0)nx my m n ±=>>，且有2PA PB -=，则nm的取值范围是（） A ．(0,1) B ．3) C ．3) D ．(3,2)【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线的定义，得到点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的双曲线C 的右支，进而求得双曲线的渐近线方程3y x =±，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由题意，点()()2,0,2,0A B -且满足2PA PB -=，根据双曲线的定义，可得点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的双曲线C 的右支，其中22,24a c ==，可得1,2a c ==，则223b c a - 可得双曲线C 的渐近线方程为3by x x a=±=，又因为点P 满足方程0(0,0)nx my m n ±=>>，即ny x m=±，结合双曲线的几何性质，可得03nm<n m 的取值范围是3).故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）已知点(5A ，(0,5B -，若曲线()222200,0x y a b a b -=>>上存在点P 满足4PA PB -=，则下列正确的是（） A ．1b a <+ B ．2b a <C ．1b a >+D ．2b a >【答案】D 【解析】【分析】由已知可判断点P 在双曲线221(0)4y x y -=<上，将已知转化为曲线b y x a =±与双曲线221(0)4y x y -=<相交，利用直线by x a=±与渐近线的位置关系可得解. 【详解】点(5A ，(0,5B ，且425PA PB -=<P 在双曲线的下支上. 所以双曲线的方程为221(0)4y x y -=<，其渐近线方程为2y x =±，又点P 在曲线()2222000x y a b a b-=>>，上，即点P 在曲线b y x a =±上，即曲线b y x a =±与双曲线221(0)4y x y -=<相交，2b a ∴>，即2b a >故选：D题型三：利用双曲线线定义转化为三点共线问题求最值【例1】（2022·天津·二模）已知双曲线()222:109x y C b b-=>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在C 的左支上，过点M 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为N ，若2MF MN +的最小值为9，则该双曲线的离心率为（）A 2B 3C ．32D ．53【答案】A 【解析】【分析】由题意可知3a =，根据双曲线的对称性画出图形，由双曲线的定义可知21||||||6MF MN F N ++，当且仅当点1F ，M ，N 三点共线时，等号成立，从而得到2||||MF MN +的最小值为6b +，求出b 的值，得到双曲线的离心率．【详解】解：根据双曲线的对称性，仅作一条渐近线，因为双曲线()222:109x y C b b-=>，3a ∴=，由双曲线的定义可知，21||||26MF MF a -==，211||||||||6||6MF MN MF MN F N ∴+=++≥+，当且仅当点1F ，M ，N 三点共线时，等号成立，渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=，且1(,0)F c -， ∴此时122||bcF N b ca b ==+， 2||||MF MN ∴+的最小值为6b +，69b ∴+=，3b ∴=，所以2232c a b +=∴离心率2ce a=故选：A ．【例2】（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、有焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，离心率2e =，点Q 为双曲线右支上的一点，点(0,4)P ．当1||QF PQ +取最小值时，2QF 的值为（）A ．6(21)B ．6(21)C ．621D ．621【答案】B【分析】由题意求得a,b,c ,即可得双曲线的方程，结合双曲线的定义确定当1||QF PQ +取最小值时Q 点的位置，利用方程组求得Q 点坐标，再利用两点间的距离公式求得答案. 【详解】由题意可得24,2a a == ，又2e =，故4c = ，所以22212b c a =-= ，则双曲线方程为221412x y -= ，结合双曲线定义可得221||4||||4QF PQ QF PQ QF PQ +=++=++，如图示，连接2PF ,交双曲线右支于点M ，即当2,,P Q F 三点共线，即Q 在M 位置时，1||QF PQ +取最小值，此时直线2PF 方程为4y x =-+ ，联立221412x y-=，解得点Q 的坐标为(322,632)--,( Q 为双曲线右支上的一点)，故222(3224)(632)6(21)QF =--+-=-，故选：B【例3】（2022·全国·高二专题练习）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22143x y -=的左，右焦点，动点A 在双曲线的左支上，点B 为圆E ：()2231x y ++=上一动点，则2AB AF +的最小值为______．【答案】7【分析】求出双曲线的焦点坐标，应用双曲线的定义和圆的性质，结合三点共线时取得最值，即可得到2AB AF +的最小值.【详解】双曲线22143x y -=中2a =，3b =，437c =+=，()170F -，，()270F ，，圆E 半径为1r =，()03E ，－， 21124AF AF a AF ∴=+=+，1AB AE BE AE ≥=－－(当且仅当A E B ，，共线且B 在A E ，之间时取等号)，211143AB AF AE AF AF AE +≥++=++－2213(7)337EF ≥+=-++=，当且仅当A 是线段1EF 与双曲线的交点时取等号．2AB AF ∴+的最小值是7．故答案为：7.【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知点P 在双曲线22145x y -=的右支上，()0,2A ，动点B 满足2AB =，F 是双曲线的右焦点，则PF PB -的最大值为___________.132##213-【分析】由题意可知B 的轨迹是以A 为圆心，2为半径的圆，利用双曲线定义将PF PB -转化为14PF PA --，结合图形，利用几何性质可求得答案.【详解】动点B 满足2AB =，则点B 的轨迹是以A 为圆心，2为半径的圆, 设双曲线的左焦点为1F ，由题知14PF PF -=，14PF PF =-则1144134PF PA PF PA AF -=--≤-=-，当且仅当A ，P ，1F 三点共线时，等号成立，所以PF PB -的最大值为132-，故答案为：132-【例5】（2022·全国·高二课时练习）设P 是双曲线221916x y -=上一点，M ､N 分别是两圆22(5)4x y -+=和22(5)1x y ++=上的点，则PM PN -的最大值为（）A ．6B ．9C ．12D ．14【答案】B【分析】根据双曲线方程及其定义，求得,PM PN 的范围，再求PM PN -得最大值即可. 【详解】因为双曲线方程为221916x y -=，故291625c =+=，则其焦点为()()125,0,5,0F F -，根据题意，作图如下：则22PM PF ≤+，当且仅当2,,P M F 三点共线，且2F 在,P M 之间时取得等号；11PN PF ≥-，当且仅当1,,P N F 三点共线，且N 在1,P F 之间时取得等号；则11PN PF -≤-，故可得213369PM PN PF PF -≤+-=+=，故PM PN -的最大值为：9. 故选：B.【例6】（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为32，其左，右焦点分别为12,F F ，过2F 且与x 轴垂直的直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若(||35,5,22AB M =，P 为双曲线右支上一点，则2PM PF +的最小值为（） A 171 B ．624C ．624D 171【答案】C【分析】由离心率及AB 的长先求出双曲线方程，把2PF 转化为1PF ，然后求出1F M 可得结论．【详解】把x c =代入by x a =±得bc y a =±，所以235bc AB a ==，又32c a =，222+=a b c ，所以5b =，3,2c a ==1(3,0)F -，1224PF PF a -==，214PF PF =-，所以21144PM P PM P F MF F +=+-≥-，当且仅当1,,M P F 三点共线时等号成立， 221(53)(22)62MF =++=，所以2PM PF +的最小值为624-．故选：C ．【例7】（2021·广东·佛山一中高二阶段练习）设(),P x y 是双曲线22154x y -=的右支上的点，则22222169x y y x y x +-++-+ ）A 10 5+B ．27C ．510D ．5【答案】C【分析】代数式22222169x y y x y x +-+-+-+可化为()()222213x y x y +---+，表示点(,)P x y 到点(0,1)的距离与点(,)P x y 到点2(3,0)F 的距离之差，根据双曲线定义可得11|||2||2|PA PF a AF a -+-+，即可求解．【详解】代数式22222169x y y x y x +-+-+-+可化为()()222213x y x y +---+，表示点(,)P x y 到点(0,1)A 的距离与点(,)P x y 到点2(3,0)F 的距离之差，又双曲线22154x y -=的左右焦点分别为1(3,0)F -，2(3,0)F ，5a =，根据双曲线定义可得21||||2PF PF a =-，21||||||2||PA PF PA PF a ∴-=-+，(,)P x y 是双曲线22154x y -=的右支上的点，则2211||||||(30)(01)10PF PA AF -≤=--+-= ,当且仅当1,,P A F 共线时取等号，11|||2|22510||PA PF a AF a ∴-+-+=-，故选：C ．【题型专练】1．（2022·安徽蚌埠·三模（理））双曲线C ：2221(0)y x a a -=>10F 是C 的下焦点，若点P为C 上支上的动点，设点P 到C 的一条渐近线的距离为d ，则d PF +的最小值为（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】B 【解析】【分析】由离心率可得29a =，即知渐近线为3y x =±，若上焦点为F '，结合双曲线定义，将问题转化为求6d PF '++最小，若||d PH =应用数形结合思想判断,,P F H '的位置关系求最值. 【详解】由题设，221109a a +=，可得29a =，则双曲线渐近线方程为3y x =±，若上焦点为10)F '，则||||26PF PF a '-==，故||6||PF PF '=+，所以6d PF d PF '+=++，如下图示：||d PH =，所以6||d PF PH PF '+=++，要使d PF +最小，只需,,P F H '共线，即F H '⊥一条渐近线，而F '221011(3)=+±，故min ()7d PF +=.故选：B2．（2022·全国·高二专题练习）设双曲线2211612x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则22AF BF +的最小值为______．【答案】22【分析】由双曲线的定义可得218AF AF -=，218BF BF -=，据此2211()16AF BF AF BF +-+=，再由,A B 两点的位置特征可得AB 是双曲线的通径时，AB 最小，从而可得答案. 【详解】根据双曲线2211612x y -=，得4a =，23b =，由双曲线的定义可得：2128AF AF a ==－ ∴， 2128BF BF a ==－ ∴，∴+∴可得：()221116AF BF AF BF ++=－，由于过双曲线的左焦点1F 的直线交双曲线的左支于A ，B 两点，可得11AF BF AB +=，即有()22112216AF BF AF BF AF BF AB ++=+=－－．则2216BF AF AB +=+，当AB 是双曲线的通径时AB 最小，故22222121616224b BF AF a ⨯+≥+=+=. 故答案为：223．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知双曲线221(0)5x y m m -=>520+=x y ，左焦点为F ，点P 在双曲线右支上运动，点Q 在圆22(4)1x y +-=上运动，则||||PQ PF +的最小值为___________. 【答案】8【分析】根据双曲线的渐近线方程及双曲线的定义，再利用三点共线取得最小值，结合圆外一点到圆上的最小距离及两点间的距离公式即可求解.【详解】由双曲线221(0)5x y m m -=>的一条渐近线方程为520+=x y ，可得552m m =，解得4m =. 所以22145x y -=，双曲线的左焦点坐标()3,0F -，右焦点坐标为()3,0F '，由双曲线的定义，知4PF PF '-=，即4PF PF '=+，由圆22(4)1x y +-=可得圆心()0,4C ，半径为1r =，||||4||||4PQ PF PF PQ QF ''+=++≥+，问题转化为求点F '到圆22(4)1x y +-=上的最小值，即()()22min ||||130041514QF CF ''=-=-+--=-=，所以()min ||||448PQ PF +=+=. 所以||||PQ PF +的最小值为8. 故答案为：8.4．（2022·陕西宝鸡·二模（理））已知F 是双曲线22:1C x y -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，2)A .当APF 周长最小时，该三角形的面积为___________. 【答案】32##1.5【分析】M 为左焦点，利用双曲线定义得到APF 周长为||||||||||4AF PF AP PM AP ++=++，判断其最小时,,A P M 的位置关系及∴AFM 的形状，进而求出∴APF 的面积.【详解】若M 为左焦点，则||||22PF PM a -==，而(2,0)F ，(0,2)A ，则||2AF =，由APF 周长为||||||||||||2||||4AF PF AP AF PM AP PM AP ++=+++=++，当且仅当,,A P M 三点共线时APF 周长最小，此时||||||2AM PM AP =+=，所以，此时∴AFM 为腰长为2的等腰直角三角形，令||AP x =，则||2PM x =-，故||4PF x =-，而||2AF =，在∴APF 中224(4)x x +=-，可得32x =，故三角形的面积为1332222⨯⨯=. 故答案为：325．（2022·湖北·高三阶段练习）已知双曲线C ：22133y x -=，F 是双曲线C 的右焦点，点A 是双曲线C 的左支上的一点，点B 为圆D ：(22323x y ++=上一点，则AB AF +的最小值为_____.【答案】263326【分析】结合双曲线的定义、点和圆的位置关系求得AB AF +的最小值. 【详解】双曲线C ：22133y x -=， 3,6a b c ===，设()16,0F -是双曲线的左焦点，圆()22323x y ++=的圆心为()0,32D -，半径为3r =.根据双曲线的定义有11223AB AF AB AF a AB AF +=++=++，由于B 是圆()22323x y ++=的一点，()16,0F -为定点，所以当1,,,F A B D 共线时，1AB AF +最小，即1AB AF +最小值为16183263DF r -=+-=-，所以AB AF +的最小值为26323263-+=+. 故答案为：263+6．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知双曲线2213x y -=的左右焦点分别为1F ､2F ，P 为双曲线右支上一点，点Q 的坐标为()2,3-，则1PQ PF +的最小值为___________. 【答案】523+35【分析】利用双曲线定义可将1PQ PF +转化为223PQ PF ++，结合三角形三边关系可确定最小值为三点共线时的取值223QF +，由此可计算得到结果.【详解】由双曲线方程知：3a =，1b =，2c =，则()12,0F -，()22,0F ，由双曲线定义知：12223PF PF a -==，1222323PQ PF PQ PF QF ≥∴+=+++（当且仅当P 在线段2QF 上时取等号），又()()22222305QF =--+-=，()1min 523PQ PF ∴+=+.故答案为：523+.7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的左支上，过点M 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为N ，则当2MF MN +取最小值10时，12F NF △面积的最大值为___________ 【答案】252##12.5 【分析】利用双曲线定义可得到212MF MF a =+，将2MF MN +的最小值变为212MF MN MF a MN +=++的最小值问题，再结合基本不等式，利用三角形面积之间的关系即1212F NF F NOSS=，可求得答案.【详解】由题意得212MF MF a -=，故212MF MF a =+，如图示：()1,0F c -到渐近线0bx ay +=的距离22bc bcd b ca b ===+, 则211222MF MN MF a MN F N a b a +=++≥+=+，当且仅当M ，1F ，N 三点共线时取等号， ∴2MF MN +的最小值为210b a +=，∴1022ab ≥，即252ab ≤，当且仅当25b a ==时，等号成立，又1||OF c =，故22||ON c b a =-=，∴12111252222F NF F NO S S NF NO ab ==⨯⋅=≤△△，即12F NF △面积的最大值为252, 故答案为：2528．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线C ：22197x y -=，1F ，2F 是其左右焦点.圆E ：22430x y y +-+=，点P 为双曲线C 右支上的动点，点Q 为圆E 上的动点，则1PQ PF +的最小值是________.【答案】55+255【分析】利用双曲线定义，将1PF PQ +的最小值问题转化为26PF PQ ++的最小值问题，然后结合图形可解.【详解】由题设知，()14,0F -，()24,0F ，()0,2E ，圆E 的半径1r = 由点P 为双曲线C 右支上的动点知 126PF PF =+∴126PF PQ PF PQ +=++∴()()122min min 662516525PF PQ PF PQ F E r +=++=-+=-+=+. 故答案为：525+9．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知双曲线221(0)5x y m m -=>520+=x y ，左焦点为F ，点P 在双曲线右支上运动，点Q 在圆22(4)1x y +-=上运动，则||||PQ PF +的最小值为（） A ．224 B ．8C ．225D ．9【答案】B【分析】根据双曲线的渐近线方程，结合双曲线的定义，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】由55202x y y x +=⇒=-，所以有5542m m=⇒=，设圆22(4)1x y +-=的圆心为(0,4)A ，半径为1，设该双曲线另一个焦点为1(3,0)F ，所以11||||24||||4PF PF m PF PF -=⨯=⇒=+，求||||PQ PF +的最小值转化为求1||||4PQ PF ++的最小值，因此当点1,,,A Q P F 依次共线时，1||||4PQ PF ++有最小值，即221||143438AF -+=++=，故选：B10．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（文））已知双曲线22:145x y C 的左焦点为1F ，M 为双曲线C 右支上任意一点，D 点的坐标为()3,1，则1MD MF -的最大值为（） A ．3 B ．1C ．3-D ．2-【答案】C【分析】由双曲线定义把1MF 转化为M 到右焦点的距离，然后由平面几何性质得结论．【详解】设双曲线C 的实半轴长为2a =，右焦点为()23,0F ，所以()122MD MF MD MF a -=-+()()()222222331043MD MF a F D a =--≤-=-+--=-，当且仅当M 为2DF 的延长线与双曲线交点时取等号. 故选：C ．11．（2023·全国·高三专题练习）已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4)A ，P 是双曲线右支上的动点，则||||PF PA +的最小值为（）A ．9B ．8C ．7D ．6 【答案】A【分析】由双曲线方程求出a ，再根据点A 在双曲线的两支之间，结合5PA PF AF ''+≥=可求得答案【详解】由221412x y -=，得224,12a b ==，则222,23,4a b c a b ===+=，所以左焦点为(4,0)F -，右焦点(4,0)F '，则由双曲线的定义得24PF PF a '-==，因为点(1,4)A 在双曲线的两支之间，所以22345PA PF AF ''+≥=+=，所以9PF PA +≥，当且仅当,,A P F '三点共线时取等号，所以||||PF PA +的最小值为9，故选：A12．（2022·全国·高二专题练习）设F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,3A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为（）A ．5B ．432+C ．543+D ．9【答案】B 【分析】由双曲线的的定义可得14PF PF =+，于是将问题转化为求14PA PF ++的最小值，由11PA PF AF +≥得出答案.【详解】设双曲线的由焦点为()14,0F ，且点A 在双曲线的两支之间. 由双曲线的定义可得124PF PF a -==,即14PF PF =+ 所以()2211441434432PF PA PA PF AF +=++≥+=-++=+ 当且仅当1,,A P F 三点共线时，取得等号. 故选：B。

双曲线中的最值问题

4
3 ∣AF2│的最小值
解：①∵b= 7 ＜3ຫໍສະໝຸດ ∴点 M(1,3)在椭圆外, ∵∣AM│+∣AF2│≥∣MF2│(当且仅当 A、M、F2 三点共线时，等号成立) ∴（∣AM│+∣AF2│）min=∣MF2│= 1 32 3 02 13 ∵∣AF1│+∣AF2│=2a ∴∣AM│+∣AF2│=∣AM│+2a-∣AF1│=2a+(∣AM│ -∣AF1│) ∴∣AM│-∣AF1│≤∣MF1│(当且仅当 A、M、F2 三点共线时，等号成立)
圆锥曲线中的最值问题
复习
1、椭圆及双曲线第一定义； 2、椭圆及双曲线第二定义； 3、抛物线定义
例1、已知椭圆
x2 16

y2 7
1 及点
M（1，3）,
F1、 F2 分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭
圆上的任意一点，求：
①∣AM│+∣AF2│的最小值及最大值； ②若点 M 的坐标改为 M（2，1）求∣AM│+
x a 12 a 12 a =x a 12 a 12 a
=x a 12 a 2 a 12
=x a 12 2a 1
当a 1 0,即a 1时, f xmin f 0 a2 AM min f xmin a a
∴（∣AM│-∣AF2│）max=∣MF1│= 3 12 3 02 5
∴（∣AM│+∣AF2│）max=2a+∣MF1│=8+5=13
；无绳吸尘器 https:///
;
；
远远的旁观者。 ? 我赞同独行独处的个人本性。在一些生存空间里，人多有不适之感，我判断这是由于心灵膨胀而引发的疾患，

双曲线最值的4种解法

双曲线最值的4种解法双曲线在高等数学中有着重要的位置，求解双曲线最值也是数学研究中的一个难点问题。

本文对双曲线最值的4种解法进行介绍。

解法一：参数方程法对于一条形如 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的双曲线，可以将其转化成参数方程的形式：$$\begin{cases}x=a\sec t \\y=b\tan t\end{cases}$$则双曲线上的任意一点 $(x,y)$ 都可以表示成参数 $t$ 的函数形式，即 $(a\sec t,b\tan t)$。

然后再求出该函数的导数，令其等于0，就可以得到双曲线的最值点。

解法二：直线法对于一条形如 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的双曲线，可以将其上下两段分别设为两条直线 $y=\pm \frac{b}{a}x$，然后求出这两条直线与双曲线的交点，即可得到双曲线的最值点。

但如果双曲线的焦点不在坐标原点上，则需要进行平移操作，使得焦点位于坐标原点上。

解法三：极限法对于一条形如 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的双曲线，可以将其转化成如下形式：$$y=b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}$$当 $x\rightarrow \pm \infty$ 时，$y$ 的取值无限趋近于零，因此双曲线的最值点必定出现在 $x$ 的有限范围内。

然后再对 $y$ 进行求导，利用导数的零点来求得最值点。

解法四：矩形法对于一条形如 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的双曲线，可以将其上下两段分别缩成两个长度分别为 $2b$ 和 $2c$ 的线段，然后对这个矩形进行分割，选择若干个具有代表性的点并求出这些点在双曲线上对应的 $y$ 值，从而得到最值点。

以上4种解法都可以解决双曲线最值问题，具体使用哪种解法需要根据具体情况而定。

双曲线的最值问题及解决方法

双曲线的最值问题及解决方法一、双曲线的基本概念及特点双曲线是一种常见的数学曲线，其特点是具有两个分支，且分支之间的距离随着自变量的变化而变化。

双曲线的标准方程为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为双曲线的横轴半轴长和纵轴半轴长。

二、双曲线最值问题的提出在双曲线问题中，最值问题一直是学生和家长关注的焦点。

求解双曲线的最值，可以帮助学生更好地理解双曲线的性质，并提高解题能力。

那么如何解决双曲线最值问题呢？三、解决双曲线最值问题的方法1.利用双曲线性质求解根据双曲线的性质，我们可以知道双曲线上的点到两个焦点的距离之差等于双曲线的离心率乘以双曲线上的点至两个焦点的距离之和。

利用这一性质，我们可以求解双曲线的最值问题。

2.转化为二次函数求解将双曲线方程化为标准二次函数形式，即y = a(x - h)^2 + k，其中a、h、k为常数。

根据二次函数的性质，我们可以知道当x = h - sqrt(4ak -b^2)/a 时，y取得最小值或最大值。

将此方法应用于双曲线问题，可以求解双曲线的最值。

3.利用数值方法求解当双曲线的方程不易求解时，我们可以采用数值方法求解。

例如，利用牛顿法、二分法等迭代算法，不断逼近双曲线的最值。

四、实际应用案例分析以一道高考真题为例：已知双曲线x^2/4 - y^2/9 = 1，求解该双曲线在第一象限内的最大值和最小值。

解：首先，我们将双曲线方程化为标准形式，得到y = 3sqrt(x^2 - 4) / 2。

观察方程可知，当x = 2时，y取得最小值0；当x = sqrt(16 + 36) = 4时，y取得最大值3。

因此，在第一象限内，该双曲线的最大值为3，最小值为0。

五、总结与建议解决双曲线最值问题，需要掌握双曲线的性质，熟练运用二次函数求解方法，以及灵活运用数值方法。

在实际求解过程中，可以根据问题特点选择合适的方法。

04 双曲线定点定值最值问题

双曲线最值问题、与双曲线有关的定点与定值问题一、双曲线的最值问题例1已知点，，，，)02()02(N M -动点P 满足条件，22||||=-PN PM 记动点P 的轨迹为W ．(1)求W 的方程；(2)若B A 、是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OB OA ⋅的最小值．实战演练1．P 是双曲线221916x y -＝的右支上一点，M N 、分别是圆22(5)4x y ++=和 22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为．2．已知双曲线C 的方程为22221(00)y x a b a b-=>>，，离心率52e =，顶点到渐近线的距离为255． (1)求双曲线C 的方程； (2)如图8-2-1，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP PB λ=，1[2]3λ∈，，求AOB ∆面积的取值范围．3．已知双曲线1C ：22221(0)2x y a a a -=>，抛物线2C 的顶点在原点O ，又2C 的焦点是1C 的左焦点1F ．(1)求证：1C 与2C 总有两个不同的交点；(2)是否存在过1C 的焦点1F 的2C 的弦AB ，使AOB ∆的面积有最大值或最小值？若有，求出AB 所在直线方程与最值；若没有，请说明理由．图8-2-1二、与双曲线有关的定点与定值问题例题：已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．(1)若动点M 满足1111F M F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程； (2)在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．实战演练1．已知()()122,0,20F F -，，点122,P PF PF P E -=满足记点的轨迹为，． (1)求轨迹E 的方程；(2)若直线l 过点2F 且法向量为(1)n a →=，，直线与轨迹E 交于P Q 、两点． ①过P Q 、作y 轴的垂线,,B A QB PA 、垂足分别为、记||||AB PQ λ=，试确定λ的取值范围；②在x 轴上是否存在定点M ，无论直线l 绕点2F 怎样转动，使0MP MQ ⋅=恒成立？如果存在，求出定点M ；如果不存在，请说明理由．三、双曲线与直线例题：已知以原点O 为中心，)0,5(F 为右焦点的双曲线C 的实轴与焦距之比为25：．(1)求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；(2)如图8-2-2，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求OG OH 的值．实战演练1．设直线l ：y kx m =+（其中,k m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同的两点A 、B ，与双曲线221412x y -=交于不同的两点C 、D ，问是否存在直线l ，使得0AC BD +=成立，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．2．已知双曲线22221x y a b-=右支上任意一点E 作抛物线22(0)y px p =->的两切线，两切点M ，N 所在直线分别与双曲线的两条渐近线交于G ，H 两点，试问：(1)是否存在正实数p ，使得OG OH ⋅为定值？ (2)是否存在正实数p ，使得2211||||OG OH +为定值？3．已知双曲线C ：2212x y -=． (1)已知点M 的坐标为(01)，．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点，记MP MQ λ=⋅．求λ的取值范围；(2)已知点D 、E 、M 的坐标分别为(21)--，、(21)-，、(01)，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM △截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数．四、双曲线与圆例题：已知双曲线C ：2221(0)2x y a a -=>的实轴长与焦距的比为1 (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l 是圆O ：222x y +=上动点0000()(0)P x y x y ≠，处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，证明AOB ∠的大小为定值．实战演练1．从双曲线221916x y -= 的左焦点F 引圆229x y +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ．若M 为线段FP 的中点．O 为坐标原点，则||||MO MT -= ．2．已知双曲线12222=-by a x 的渐近线方程为3=±y x ，左焦点为F ，过(0)A a ，，(0)B b -，的直线为l ，原点到直线l ． (1)求双曲线的方程；(2)已知直线y x m =+交双曲线于不同的两点C ，D ，问是否存在实数m ，使得以CD 为直径的圆经过双曲线的左焦点F ．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．3．若动圆P 恒过定点(20)B ，，且和定圆C ：22(2)4x y ++=外切．(1)求动圆圆心P 的轨迹E 的方程；(2)若过点B 的直线l 与曲线E 交于M 、N 两点，试判断以MN 为直径的圆与直线m ：12x =是否相交，若相交，求出截得劣弧所对圆心角的弧度数，若不相交，请说明理由．。

双曲线中的最值问题

∴（∣AM│-∣AF2│）max=∣MF1│= 3 12 3 02 5
∴（∣AM│+∣AF2│）max=2a+∣MF1│=8+5=13
例 2、已知：抛物线 y2=2x 及点 M（a，0）,其中 a>0，A 为抛物线上任意一点，求：∣AM│的最小值
解:设 A（x,y）
4
3 ∣AF2│的最小值
解：①∵b= 7 ＜3
∴点 M(1,3)在椭圆外, ∵∣AM│+∣AF2│≥∣MF2│(当且仅当 A、M、F2 三点共线时，等号成立) ∴（∣AM│+∣AF2│）min=∣MF2│= 1 32 3 02 13 ∵∣AF1│+∣AF2│=2a ∴∣AM│+∣AF2│=∣AM│+2a-∣AF1│=2a+(∣AM│ -∣AF1│) ∴∣AM│-∣AF1│≤∣MF1│(当且仅当 A、M、F2 三点共线时，等号成立)
∣AM│= x a2 y2 = x a2 2x
= x2 2ax a 2 2x 设 f (x) x 2 2a 1x a 2
x a 12 a 12 a =x a 12 a 12 a
小结
• 求圆锥曲线的最值问题时，可利用圆锥曲线的定义并结合几何性质，用几何方法求出最值；也可用代数方法建立目标函数，利用函数性质或不等式性质求出最值。
作业
1、知双曲线
x2 4

y2 5
1
及点
M（6，2）,F1、
F2 分别为双曲线的左、
右焦点，A 为双曲线右支上的任意一点，
求：①∣AM│+∣AF2│的最小值及最大值；
②∣AM│+2 3

双曲线中的最值问题

例 2、已知：抛物线 y2=2x 及点 M（a，0）,其中 a>0，A 为抛物线上任意一点，求：∣AM│的最小值
解:设 A（x,y）
∣AM│= x a2 y2 = x a2 2x
= x2 2ax a 2 2x 设 f (x) x 2 2a 1x a 2
∴（∣AM│-∣AF2│）max=∣MF1│= 3 12 3 02 5
∴（∣AM│+∣AF2│）max=2a+∣MF1│=8+5=13
；北京英语培训https://
；
会认为它是宝石而为之雀跃。知识告诉我们这是玻璃，因此知识剥夺了我们的快乐。 ? 我常常在幼儿园的栅栏外伫立，因此引起阿姨们的怀疑，以为我是人贩子或暗恋哪位小阿姨。我读过一本苏联小说，讲述一位私生子的父亲常去幼儿园看望自己的私生子，一想起这个，我就慌了，怕同样读过这本书的人认为我也有私生子。 ? 我认为充分表达对子女的爱，不是人类及其它，而是袋鼠，怀里生出口袋，露出和自己一模一样的规模稍小的脑袋，爱的深入。有人把孩子架上肩膀行走，仿佛那孩子是他头顶盛开的一朵鲜花，让人感动。种子 ? 没有什么比种植更吸引人。聂鲁达的诗说：“…… 农夫，口袋里装着一颗颗种子，急急忙忙地耕地。”聂鲁达所说的农夫是处在饥饿中的人，所以急急忙忙。当人们想到种子到明年才能变成果腹的粮食时，真感到岁月无情。 ? 我在童年有“种子癖”。古联云：“曾有清狂左传癖，未登神妙右军堂”。此癖为清狂，而不是轻狂，可见癖得洁净。读左传生癖不如收集种子好玩，此书杀伐气很重。我把收集的种子放到一个铁皮盒里，盒有新疆人拍打的铃鼓那么大。我常举起来晃一晃，其音如磐。因里面有桃核、杏核。而苹果的籽儿和小麦只在里面“沙沙”地奉和，很谦逊。 ? 我抱着种子盒在向日葵下松软的泥土上观摩。桃核像80岁老人

高二数学课件双曲线中的最值问题

= x2 2ax a 2 2x 设 f (x) x 2 2a 1x a 2
x a 12 a 12 a =x a 12 a 12 a
=x a 12 a 2 a 12
=x a 12 2a 1
当a 1 0,即a 1时, f xmin f 0 a2 AM min f xmin a a
3、若抛物线 y=4-x2 与直线 3x-y=0 的交于 A、B 两点，P 是抛物线弧 AB 上的点，试求△PAB 面积的最大值。
4
3 ∣AF2│的最小值
解：①∵b= 7 ＜3
∴点 M(1,3)在椭圆外, ∵∣AM│+∣AF2│≥∣MF2│(当且仅当 A、M、F2 三点共线时，等号成立) ∴（∣AM│+∣AF2│）min=∣MF2│= 1 32 3 02 13 ∵∣AF1│+∣AF2│=2a ∴∣AM│+∣AF2│=∣AM│+2a-∣AF1│=2a+(∣AM│ -∣AF1│) ∴∣AM│-∣AF1│≤∣MF1│(当且仅当 A、M、F2 三点共线时，等号成立)
当a 1 0,即a 1时, f xmin f a 1 2a 1 AM min f xmin 2a 1
小结
▪ 求圆锥曲线的最值问题时，可利用圆锥曲线的定义并结合几何性质，用几何方法求出最值；也可用代数方法建立目标函数，利用函数性质或不等式性质求出最值。
作业1Biblioteka 知双曲线x2 4y2 5
圆锥曲线中的最值问题
复习
1、椭圆及双曲线第一定义； 2、椭圆及双曲线第二定义； 3、抛物线定义
例1、已知椭圆
x2 16
y2 7
1 及点
M（1，3）,
F1、 F2 分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭

双曲线中的最值问题

圆锥曲线中的最值问题
复习
1、椭圆及双曲线第一定义； 2、椭圆及双曲线第二定义； 3、抛物线定义
x2 y2 例 1、已知椭圆 16 7 1 及点 M （ 1 ， 3 ） ,
F 1、 F2 分别为椭圆的左、右焦点， A 为椭圆上的任意一点，求： ①∣ AM │ + ∣ AF 2 │的最小值及最大值； ②若点 M 的坐标改为 M （ 2 ， 1 ）求∣ AM│ +
优游开户优游开户
lqu59hmo
对这种质地白净而又非常精道好吃的稀罕吃食很是喜欢，总是供不应求。为已故娘亲守孝年满三年后，李尚武决定举家北上去了。尚武打心眼儿里认为，爹娘的临终嘱托很对，自己是应该把家安在“三六九镇”上的。这样一来，不但能让爱妻耿兰在免去思念亲人之苦的同时，还可以继续去圆她的那个培养故乡小学童之梦，而且自己也能有机会在义父的身边好好儿地尽尽孝道。再则，尚武很希望自己也能够为岳父家的“耿家小学堂”尽一份力量。尚武相信，义父传授给自己的文化知识，已经完全可以胜任教授小学童了。更何况，在教授小学童的同时，自己还可以再不断地继续深造呢！那一年秋末，李尚武带着耿兰和一双儿女去爹娘的坟上隆重祭扫之后，手足兄姐一大家子人聚在一起吃了一顿离别饭。然后，乘着江南雨水稀少的季节，兄姐两家人共同乘坐一挂大骡车，一起将弟弟一家送至鄱阳湖边，双方挥泪告别不做细述。载着李尚武和耿兰一家四口的大骡车途径武昌镇时，正好是一个晴朗初冬日的半下午时分。西斜的暖阳照在武昌镇的大街小巷上，一派闲静祥和的惬意景象。大骡车来到白家宽敞的大门口了，李尚武带着耿兰和一双儿女怀着难以言表的心情进白家看望乔氏母女。耿兰当面谢过娘娘亲自为她精心刺绣的“五色甜菊”绣品。五年多之前，“五色甜菊”作为耿兰弥足珍贵的嫁妆随她远赴江南小镇的李家；而如今，这件绣品又要随同李尚武一家人北上回到“三六九镇”去了！乔氏依然还是像以前那样生活，不过身体尚好。小青已经是四个娃儿的母亲了，两双儿女都很好，但耿兰和尚武那天只见到了三个娃儿。大儿子小东伢已经成了爹的得力助手，父子俩那天正好赶了大骡车过江去汉阳镇上卖土豆去了。小青告诉尚武和耿兰，东伢子一共种了三十多亩菜地。由于土豆不但好种植好管理，而且产量高、好储存，又能卖得好价钱，加之还可以一年两头种，不耽误夏秋季节种植其它一些当地的蔬菜，所以东伢子每年都将一半的菜地轮换着用来种土豆！耿兰将嫂子酿的米酒和大姑子新打的月饼给乔氏母女留了一些，说“娘娘，姐姐，俺俩是准备在 ‘耿家小学堂’教书的。学堂里不会有太长的休假期。这往返一趟，实在是太遥远了。以后，只怕是不太可能再回来的了。这次来，俺很遗憾没有见到姐夫和小东伢！”乔氏母女俩自然不免感慨落泪唏嘘一番。尚武则对爱妻说：“你不用遗憾的，这个姐夫和咱家的那个姐夫几乎就好像是一个人一样呢，就连说话举止也很像。你也很像咱姐，让娘娘和姐姐转告就是了！”乔氏也说：“这兰丫头和当年的英丫头实在是太像了，几乎就没有不像的地方！”小青真诚地挽留，说：“你们多住几天再走吧，小东伢和他爹大概明儿个傍晚就回来了！”耿兰抱歉地说：“不麻烦娘

双曲线中的最值问题

3 1 2 3 0 2
5
∴（∣ AM │ + ∣ AF 2 │） max =2a+ ∣ MF 1 │ =8+5=13
例 2、已知：抛物线 y 2=2x 及点 M（ a， 0） ,其中 a>0，A 为抛物线上任意一点，求：∣ AM│的最小值
解 :设 A（ x,y） ∣ AM│ = x a 2 y 2 = x a 2 2 x = x 2 2ax a 2 2 x 设 f ( x ) x 2 2a 1x a 2 2 2 x a 1 a 1 a 2 2 = x a 1 a 1 a 2 2 2 = x a 1 a a 1 2 x a 1 2 a 1 = 当a 1 0,即a 1时, f x min f 0 a 2 AM min f x min a a
作 1、知双曲线 x4 y5
2 2
业
1
及点 M （6 ，2 ）,F 1、 F2 分别为双曲线的左、
右焦点，A 为双曲线右支上的任意一点，求：①∣ AM│ +∣ AF2│的最小值及最大值；
2 ②∣ AM│ + ∣ AF2│的最小值 3
2、已知抛物线 y2=2x 及点 M（3 ，1 ），F 为抛物线焦点，A 为抛物线上任意一点，ι 为准线，求：∣ AM│ +∣ AF│的最小值； 3、若抛物线 y=4-x2 与直线 3x-y=0 的交于 A、B 两点，P 是抛物线弧 AB 上的点，试求△ PAB 面积的最大值。
4 3 ∣ AF 2 │的最小值
解：①∵ b= 7 ＜ 3 ∴点 M(1,3) 在椭圆外 , ∵∣ AM │+ ∣AF 2 │≥∣ MF 2 │( 当且仅当 A 、M、F2 三点共线时，等号成立 ) 2 2 1 3 3 0 13 ∴ （∣ AM │+ ∣AF 2 │） min = ∣ MF 2 │ = ∵∣ AF 1 │ + ∣ AF 2 │ =2a ∴∣ AM │ + ∣ AF2 │ = ∣ AM │ +2a- ∣ AF1│ =2a+( ∣ AM │ - ∣ AF 1 │ ) ∴∣ AM │- ∣AF 1 │≤∣ MF 1 │( 当且仅当 A 、M、F2 三点共线时，等号成立 ) ∴ （∣ AM │- ∣AF 2 │） max = ∣ MF 1 │ =

双曲线中的最值问题(2019年12月整理)

∴（∣AM│-∣AF2│）max=∣MF1│= 3 12 3 02 5
∴（∣AM│+∣AF2│）max=2a+∣MF1│=8+5=13
；变压器绕组变形测试仪 /316/ ；有载分接开关测试仪 /325/ ；断路器特性测试仪 /402/ ；氧化锌避雷器阻性电流测试仪 /803/ ；三相继电保护测试仪 /501/ ；输电线路参数测试仪 /611/
；
汰换准备状态，供应部经理审批 5采购主管计划成本组采购主管将进入汰换状态的供应商名单报计划成本组 6计划成本主管采购主管仓库主管质量技术部生产部财务分析员每年末对所有供应商进行进货价格成本控制目标为中心的综合评审，计划成本主管组织，采购主管、仓库主管、质量技术部、生产部和财务管理部财务分析员参与综合评审，形成《年度供应商综合评审表》 7计划成本主管供应部经理根据《年度供应商综合评审表》，计划成本主管提出汰换供应商名单，报供应经理审批后，停止与汰换供应商的合作。 4、供应商档案步骤完成时间涉及部门及岗位步骤说明 1档案资讯组档案咨讯组归档所有供应商文字或电子档案 2档案资讯组每月档案资讯组对档案数据进行汇总、统计和加工，出据分类汇总表，报计划成本主管和供应部经理五、单据及报告《供应商月度交易考核表》《年度供应商综合评审表》合同、订单管理（P2-Z1-J4-10）一、目的本管理文件明确了物资采购合同管理规程，以规范合同签定、审核和执行的控制制度。二、范围本管理文件适用于自采和大宗采购之外的物料采购合同和订单管理。三、相关程序与制度四、业务流程 1、重要合同会签及审核步骤完成时间涉及部门及岗位步骤说明 1生产部使用部门质量技术部财务管理部分管副总总经理年度供货或服务协议经过生产部、其他使用部门、质量技术部、财务管理部会签，并经分管副总和总经理审批 2供应部经理分管副总总经理非年度性质的供货或服务合同按权限级别经过供应部经理、分管副总或总经理审批： A关联供应商经供应部经理审批； B非关联供应商：合同价值5万元以下，供应部经理审批合同价值5-20万元，供应部经理和分管副总审批合同价值20万以上，供应部经理和总经理审批 3法务部经审核和批准的的合同交法务部审定法律条款，并盖章生效 2、合同、订单跟踪步骤完成时间涉及部门及岗位步骤说明 1采购经理采购经理对合同、订单执行进行跟催，出现较大异常情况，形成《采购业务异常记录表》，注明合同或订单编号 2采购主管重大异常报采购主管，形成处理措施 3供应部经理如须变更或解除合同，经供应部经理批准 3、合同订单报备及档案步骤完成时间涉及部门及岗位步骤说明 1法务部会计部所有采购订单、合同均一式四份，同时报备法务部和会计部一份供应部留存；一份交会计部；一份法务部备存；一份供应商留存 2供应部留存的所有合同订单按供应商分类进行归档，档案咨讯组负责汇总、维护、更新和管理调阅五、单据及报告《采购业务异常记录表》进货价格及采购成本控制（P2-Z1-J4-11）一、目的本管理文件明确了采购价格及成本的分析和控制方法，以实现适时监控物料进货价格，合理压缩物料采购成本。二、范围本管理文件适用于非自采范围的所有非固定资产物资采购价格和成本管理。三、相关程序及制度 ?采购作业控制（P2-Z1-J4-8）四、业务流程 1、价格分析和成本改进步骤完成时间涉及部门及岗位步骤说明 1成本控制员计划成本主管集团内关联供应商进货成本分析：成本控制员半年或一年进行一次关联企业供应商利润成本分析或成本审计，确定供货商价格的合理性和进货成本压缩的可能空间；向计划成本主管提出进货成本改进报告 2成本控制员原材料市场行情收集：成本控制员每月收集、汇总主要中药材市场行情；每季度收集、汇总主要西药原材料市场行情；成本控制员对重要供应商进行季度询价，形成《重点供应商季度询价表》； 3采购经理成本控制员采购经理不定期提供价格行情报告，由成本控制员汇总 4财务分析员成本控制员财务管理部财务分析员每月向成本控制员传递《成本分析报告》，明确本月存货价格对生产成本的影响，提供进货成本变动趋势和控制要求数据 5成本控制员定期汇总以上资料（2-4），形成原材料价格变动报告和进货成本改进报告，提交计划成本主管 6计划成本主管计划成本主管汇总资料和改进报告，定期（每两月或每季）提出主要生产性物资进货指导价格范围： A集团内关联供应商货源控制价格 B非关联供应商货源指导价格 7供应部经理分管副总财务管理部该指导价格范围提交供应部经理和分管副总批准；供应部和财务管理部备案；交计划员在计划中实施 8供应部经理采购经理在业务操作中严格遵循指导价范围，如有超过，实际执行价格应得到供应部经理批准，同时在《采购业务异常记录表》中体现 2、定价控制步骤完成时间涉及部门及岗位步骤说明 1采购主管定价权责任人供应部经理财务管理部部长长期合作供应商年度合同中确定进货价格和变价协议；该价格和变价协议由采购主管与供应商草拟；定价权责任人审定，在合同会签程序中经供应部经理、财务管理部部长、分别审核 2采购经理非年度协议范围的临时采购，采取采购经理询报价程序控制进价 3采购主管成本控制员《询报价申报单》经成本控制员形式审核， 1万元以上《询报价申报单》经采购主管审核后，成本控制员形式审核 4采购经理定价权责任人供应部经理财务管理部部长非年度协议的合同，价格经采购经理与供应商草拟；定价权责任人审定供应部经理、财务管理部部长分别审核 5采购主管供应部经理分管副总总经理定价权责任人对物资采购合同价格赋有审定责任：单价2000元以下，采购主管单价2000-5000元，供应部经理单价5000-20000元，分管副总单价20000元以上，总经理五、单据及报告《重点供应商季度询价表》《成本分析报告》《采购业务异常记录表》《询比价申报单》物料进库规程(P2-Z1-J4-12) 一、目的本管理文件明确了物料入库过程中需执行的各个环节及各环节的操作规范，以实现入库程序的标准化作业。二、范围本管理文件适用于供应部各仓库外购物料的入库程序。三、相关程序管理文件 ?物资供应计划（P2-Z1-J41） ?定点采购管理（P2-Z1-J4-5） ?供应商管理（P2-Z1-J4-9）四、业务流程步骤完成时间涉及部门及岗位步骤说明 1仓库收料员/仓库质检员供应商送货至仓库，仓库收料员核对《周到货计划》和供应商发运单，仓库质检员协助收料员检验外观是否完好、标签与物料是否一致、供应商是否已经核准，收料员与供应商送货员共同清点数量 2仓库收料员/仓库质检员质检员和收料员初检合格的物料进入仓库待检区，收料员开《临时入库单》，供应商送货员和收料员分别在临时入库单上签字，临时入库单一式四联，第一联存根联，第二联仓库记账联，第三联客户联，第四联总统计员记账联，收料员将第三联客户联交供应商送货员，第二联仓库记账联和第四联总统计记账联每日汇总交仓库统计员，仓库统计员将第二联作为仓库三级明细账记账凭，将第四联传递给总统计员，作为仓库二级明细账记账凭，第一联收料员留存 3仓库收料员/供应部采购经理初检不合格的物料，收料员拒收，填写《物料拒收记录》并通知供应部采购经理 4仓库质检员/质量技术部质检员仓库质检员对进入待检区的物料，根据取样标准进行随机抽样，开出《请验单》，《请验单》一式两联，第一联连同送检物料交质量技术部质检员，第二联仓库质检员留存 5质量技术部质检员质量技术部质检员完成检验程序，出具《质检报告书》 6出具《质检报告》当日质量技术部质检员/仓库质检员/供应部总统计员《质检报告书》一式四联，第一联质量技术部留存，其余三联交仓库质检员，仓库质检员将第二联与对应请验单一并留存、第三联和第四联交仓库统计员和总统计员 7出具《质检报告》当日仓库质检员/仓库收料员仓库质检员通知收料员质检结果，在货位卡上填上《质检报告书》出具日期和检验结果，收料员将物料由待检区移入合格区或不合格区放置 8出具《质检报告》当日仓库质检员/供应部采购经理仓库质检员将不合格物料的检验结果通知供应部采购经理，由采购经理联系供应商补货 9出具《质检报告》当日仓库统计员/总统计员仓库统计员收到质检合格报告书，做备查登记并将第四联传递给总统计员，总统计员开出正式入库单，作为仓库二级明细账的物料入库凭 10出具《质检报告》当日仓库统计员/总统计员仓库统计员收到质检不合格报告书，做入库冲红单并将《质检报告书》第四联传递给总统计员，总统计员做备查登记五、单据及报告《临时入库单》《正式入库单》《请验单》《质检报告书》《物料拒收记录》物料出库规程(P2-Z1-J4-13) 一、目的本管理文件明确了物料出库过程中需执行的各个环节及各环节的操作规范，以实现出库程序的标准化作业。二、范围本管理文件适用于供应部各仓库物料的出库程序。三、相关程序管理文件 ?生产计划管理 (P2-Z2-J4-1) ?领料制度 (P2-Z2-J4-2) 四、业务流程步骤完成时间涉及部门及岗位岗位岗步骤说明 1生产部领料员/车间主任生产部领料员将车间主任审批签字的《请领单》交仓库发料员 2收到领料单后仓库发料员仓库发料员根据《请领单》，按先进先出原则，将合格区物料办理出库 3收到领料单后仓库发料员/生产部领料员仓库发料员和领料员共同核对数量，验收无误 4验收交接后仓库发料员/生产部领料员双方分别在《请领单》和《出库单》上签字，《请领单》一式三联，第一、三联生产部留存，第二联交仓库发料员 5每日仓库下班前仓库发料员/仓库统计员/总统计员仓库发料员汇总当日《出库单》，《出库单》一式四联，第一联存根联，由仓库发料员留存，第二联财务联和第四联记账联交仓库统计员，仓库统计员将第四联记账联作为仓库三级明细账的记账凭，将第二联传递给总统计员，作为仓库二级明细账的记账凭，第三联车间联由生产部领料员带回交生产部统计员五、单据及报告《请领单》《出库单》退料规程(P2-Z1-J4-14) 一、目的本管理文件明确了物料从生产车间退回供应部物料仓库过程中需执行的各个环节及各环节的操作规范，以实现退料程序的标准化作业。- 二、范围本管理文件适用于供

双曲线中的最值问题(201911整理)

双曲线中的最值问题

双曲线定点定值最值问题-S

双曲线的定义及标准方程(201911新)

双曲线中的最值问题

双曲线的最值问题及解决方法

双曲线函数的最值问题举例(附练习、答案)

双曲线的最值问题

双曲线中的最值问题题型总结-高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)

双曲线中的最值问题

双曲线最值的4种解法

双曲线的最值问题及解决方法

04 双曲线定点定值最值问题

双曲线中的最值问题

双曲线中的最值问题

高二数学课件 双曲线中的最值问题

双曲线中的最值问题

双曲线中的最值问题

双曲线中的最值问题(2019年12月整理)

高二数学课件双曲线中的最值问题