函数及其表格示 知识点与题型归纳

●高考明方向

1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的

定义域和值域，了解映射的概念．

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当

的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．

3.了解简单的分段函数，并能简单地应用.

★备考知考情

从近三年的高考试题看，函数的表示方法多以选择题、填空题形式出现，高考命题仍将集中在理解函数的概念，会求一些简单函数的定义域，而且经常与其他知识结合考查，如解不等式、能够利用解析式求函数值，并且多以分段函数形式给出.

函数的图象主要体现在选择与填空题中用

数形结合法解题和识图能力，大题常在应用题中给

出图象求解析式．

一、知识梳理《名师一号》P10

知识点一函数的基本概念

1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么

就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，

记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值围

A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函

数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

显然，值域是集合B的子集．

从映射的角度看，函数是由一个非空数集

到另一个非空数集的映射．

温馨提示：

(1)A、B都是非空数集，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在．

(2)函数关系的判断要注意“每一个”、“都有”、“唯一”等关键词．

(3)注意f(x)与f(a)的区别，f(a)表示当x＝a时的函数值，是一个常量；而f(x)是关于x的函数，一般情况下是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．

2、函数的构成要素：定义域、对应关系和值域

由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．

3、函数的表示法有：解析法、列表法、图像法

知识点二映射

映射的概念：

设A、B是两个集合，如果按照某种对应法

则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B

中都有唯一确定的元素与它对应，这样的对应关系

叫做从集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B .

（补充）象和原象：

给定一个集合A 到B 的映射，且a ∈A ，b ∈B ，

如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做

元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．

注意：《名师一号》P11 问题探究 问题2

函数与映射的区别与联系

(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射；

(2)映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，若A ，B 不是数集，则这个映射便不是函数．

知识点三 分段函数

若函数在其定义域，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．

（补充）复合函数()()=y f g x

二、例题分析：

（一) 映射与函数的概念

例1．（1）(补充)

（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；

（2）*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，

2:22f x y x x →=-+；

（3）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y x →=±． 上述三个对应 是A 到B 的映射．

答案：（2）

注意：(补充)

判断对应是否为映射，即看A 中元素是否满足

“每元有像”且“像唯一”；即要注意：

①允许一对一、多对一，但不允许一对多；

②B 中元素可有剩余（即允许B 中有的元素没有原象）.

例1．（2）(补充)点(),a b 在映射f 的作用下的象是(),a b a b -+，则在映射f 的作用下点()3,1的原象是

答案：()2,1-

例2.《名师一号》P11 高频考点 例1

有以下判断：

①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎨⎧

1 x ≥0－1 x <0表示同一函数；

②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；

④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．

答案: ②③.

解析：对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为

{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎨⎧

1 x ≥0，－1 x <0

的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示

同一函数；对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪

⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.