二项方程优质课教案

合集下载

1.3.1二项式定理(教案)

1． 3．1二项式定理教学目标：知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪第一课时一、复习引入：⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；⑵3322303122233333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：4a ，3a b ，22a b ，3ab ，4b ，展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有24C 种，22a b 的系数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是44C ，∴4413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++．二、讲解新课：二项式定理：01()()n n nr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈⑴()n a b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，⑵展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，na 的系数是0n C ；恰有1个取b 的情况有1n C 种，na b 的系数是1n C ，……，恰有r 个取b 的情况有rn C 种，n rr ab -的系数是rn C ，……，有n 都取b 的情况有n n C 种，nb 的系数是nn C ， ∴01()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()n a b +的二项展开式，⑶它有1n +项，各项的系数(0,1,)rn C r n =叫二项式系数，⑷r n r r n C a b -叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n r r r n T C a b -+=． ⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则1(1)1n r rn n x C x C x x +=+++++三、讲解范例：例1．展开41(1)x+．解一： 411233444411111(1)1()()()()C C C x x x x x +=++++23446411x x x x=++++．解二：4444413123444111(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x⎡⎤+=+=++++⎣⎦ 23446411x x x x=++++．例2．展开6．解：6631(21)x x =-61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x=-+-+-+ 32236012164192240160x x x x x x=-+-+-+．例3．求12()x a +的展开式中的倒数第4项解：12()x a +的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，9129933939911212220T C x a C x a x a -+===．例4．求（1）6(23)a b +，（2）6(32)b a +的展开式中的第3项．解：（1）24242216(2)(3)2160T C a b a b +==，（2）24242216(3)(2)4860T C b a b a +==．点评：6(23)a b +，6(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同例5．（1）求9(3x+的展开式常数项；（2）求9(3x +的展开式的中间两项解：∵399292199()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅，∴（1）当390,62r r -==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =⋅=；（2）9(3x +的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，489912593423T C xx--=⋅=，15951092693T C x --=⋅=例6．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数；（2）求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数解：7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280．（2）∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r rr r r r r T C xC x x--+=-=-， ∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =．例7．求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开解：（法一）42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234444(3)44C x x C -+⋅+⋅，显然，上式中只有第四项中含x 的项，∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=⋅⋅-C（法二）：42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅ ∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=．例8．已知()()nmx x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含2x 项的系数最小值分析：展开式中含2x 项的系数是关于n m ,的关系式，由展开式中含x 项的系数为36，可得3642=+n m ，从而转化为关于m 或n 的二次函数求解解：()()1214m nx x +++展开式中含x 的项为1124m n C x C x ⋅+⋅=11(24)m n C C x +∴11(24)36m n C C +=，即218m n +=，()()1214mnx x +++展开式中含2x 的项的系数为t =222224mn C C +222288m m n n =-+-， ∵218m n +=， ∴182m n =-，∴222(182)2(182)88t n n n n =---+-216148612n n =-+23715316()44n n =-+，∴当378n =时，t 取最小值，但*n N ∈， ∴ 5n =时，t 即2x 项的系数最小，最小值为272，此时5,8n m ==．第四课时例9．已知n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项解：由题意：1221121()22n n C C ⋅=+⋅，即0892=+-n n ，∴8(1n n ==舍去）∴818(rrrr T C-+=⋅82481()2r r r r C x x --=-⋅⋅()1638412r rr r C x -=-⋅08r r Z ≤≤⎛⎫⎪∈⎝⎭①若1+r T 是常数项，则04316=-r，即0316=-r ， ∵r Z ∈，这不可能，∴展开式中没有常数项； ②若1+r T 是有理项，当且仅当4316r-为整数， ∴08,r r Z ≤≤∈，∴ 0,4,8r =，即展开式中有三项有理项，分别是：41x T =，x T 8355=，292561-=x T 例10．求60.998的近似值，使误差小于0.001．解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-，展开式中第三项为2260.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=，一般地当a 较小时(1)1na na +≈+四、课堂练习：1.求()623a b +的展开式的第3项. 2.求()632b a +的展开式的第3项. 3.写出n 33)x21x (-的展开式的第r+1项.4.求()732x x+的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.5.用二项式定理展开：（1）5(a ；（2）5.6.化简：（1）55)x 1()x 1(-++；（2）4212142121)x 3x 2()x 3x 2(----+7．()5lg xx x +展开式中的第3项为610，求x ．8．求nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项答案：1. 262242216(2)(3)2160T C a b a b -+==2. 262224216(3)(2)4860T C b a a b -+==3.2311(2rn rr n rrr r nn T C C x--+⎛⎫==- ⎪⎝⎭4.展开式的第4项的二项式系数3735C =，第4项的系数3372280C = 5. （1）552(510105a a a a a b =++；（2）52315(2040322328x x x x =+-. 6. （1）552(1(122010x x +=++；（2）1111442222432(23)(23)192x x x x x x--+--=+ 7. ()5lg xx x +展开式中的第3项为232lg 632lg 551010x x C xx ++=⇒=22lg 3lg 50x x ⇒+-=5lg 1,lg 2x x ⇒==-10,1000x x ⇒== 8. nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项为2(1)n nn C -五、小结：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点六、课后作业： P36 习题1.3A 组1. 2. 3.4 七、板书设计（略）八、教学反思：(a+b) ｎ=这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的，其中rn C （r=0,1,2,……,n ）叫做，叫做二项展开式的通项，它是展开式的第项，展开式共有个项.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。

(完整版)二次方程教案

(完整版)二次方程教案1. 简介本教案旨在帮助学生理解和解决二次方程。

通过本教案的研究，学生将能够掌握二次方程的基本概念、求解方法和应用技巧。

2. 目标- 理解二次方程的定义和性质- 掌握二次方程的求解方法- 能够应用二次方程解决实际问题3. 教学内容1. 二次方程的定义和一般形式2. 二次方程的性质和特点3. 二次方程的求解方法（配方法、因式分解、根的性质）4. 应用二次方程解决实际问题的例题4. 教学步骤第一步：导入- 创造一个引入二次方程的场景，激发学生研究的兴趣。

- 引出二次方程的定义和例子，让学生了解二次方程的一般形式。

第二步：讲解- 通过导入的例子，引出二次方程的基本性质和一些重要概念。

- 详细讲解二次方程的求解方法，包括配方法、因式分解和利用根的性质。

第三步：练- 提供一些简单的练题，让学生巩固对二次方程的求解方法的掌握。

- 引导学生分析解题思路，帮助他们理解并克服常见的错误和困难。

第四步：应用- 给出一些实际问题，引导学生利用二次方程解决问题。

- 鼓励学生大胆尝试，培养他们应用数学知识解决实际问题的能力。

第五步：总结- 概括本节课的研究内容和要点。

- 强调二次方程在数学和实际生活中的重要性和应用。

5. 教学评价- 在课堂上观察学生的参与度和理解程度。

- 检查学生完成的练和作业，评价他们在应用二次方程解决实际问题方面的能力。

- 鼓励学生相互交流和讨论，提高他们的研究效果。

6.延伸拓展- 鼓励学生深入研究二次方程的相关知识，例如解二次不等式、二次函数等。

- 提供更多的挑战性问题和应用题，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

7. 课后作业- 练册的相关题。

- 设计并解决一个实际问题，用二次方程进行建模和求解。

8. 结束语本教案通过引入二次方程的定义和性质，详细讲解了二次方程的求解方法并引导学生应用二次方程解决实际问题。

通过这次学习，希望学生能够对二次方程有一个更深入的理解，并能够灵活运用到实际生活中。

《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。

课程目标1. 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。

2. 使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题．3. 渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。

数学学科素养1.数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3.数学运算：解一元二次不等式；4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。

重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集; 难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本50-52页，思考并完成以下问题1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.2.解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ=b 2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c (a>0)的图象一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a>0)的根有两相异实根x 1,x 2 (x 1<x 2)有两相等实根 x 1=x 2没有实数根ax 2+bx+c>0 (a>0)的解集{x|x >x 2或x <x 1}{x|x ≠−2b a} Rax 2+bx+c<0 (a>0)的解集{x|x 1<x <x 2}∅∅ab 2-=2.一元二次不等式ax 2+bx+c>0 (a>0)的求解的算法.(1)解ax 2+bx+c=0；(2)判断开口方向；(3)根据开口方向和两根画草图；(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；不等式<0，看草图下方，写对应x的结果.四、典例分析、举一反三题型一解不等式例1求下列不等式的解集（1）x2−5x+6>0（2）9x2−6x+1>0（3）−x2+2x−3>0【答案】（1）{x|x<2,或x>3}（2）{x|x≠13}（3）∅解题方法（解不等式）(1)解ax 2+bx+c=0；(2)判断开口方向；(3)根据开口方向和两根画草图；(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；不等式<0，看草图下方，写对应x的结果；跟踪训练一1、求下列不等式的解集（1）(x+2)(x−3)>0；（2）3x2−7x≤10；（3）−x2+4x−4<0（4）x2−x+14≤0【答案】（1）{x|x<−2,或x>3}（2）{x|x≤−3,或x≥103}（3） {x|x ≠2} （4） {x|x =12}题型二一元二次不等式恒成立问题例2 (1). 如果方程20ax bx c ++=的两根为2-和3且0a <，那么不等式20ax bx c ++>的解集为____________．(2).已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（） A ．01k ≤≤ B ．01k <≤C ．k 0<或1k >D ．0k ≤或1k >【答案】（1）{}|23x x -<< （2）A【解析】（1）由韦达定理得231236bac a⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，6b a c a =-⎧∴⎨=-⎩，代入不等式20ax bx c ++>，得260ax ax a -->，0a <，消去a 得260x x --<，解该不等式得23x -<<，因此，不等式20ax bx c ++>的解集为{}|23x x -<<，故答案为：{}|23x x -<<.（2）当0k =时，不等式为80≥恒成立，符合题意；当0k >时，若不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则2364(8)0k k k ∆=-+≤，解得01k <≤；当k 0<时，不等式2680kx kx k -++≥不能对任意x ∈R 恒成立。

小学数学公开课《列方程解含有两个未知项的应用题》优秀教学设计和反思

小学数学公开课《列方程解含有两个未知项的应用题》优秀教学设计和反思列方程解应用题是在学习列出含有未知数的等式解答一步计算应用题目的基础上进行教学的。

这里是列方程解含有两个未知数的应用题。

学情分析这在算术中称为“和倍”和“差倍”问题，由于逆向思考，解法特殊，不易掌握，现用方程解答，不仅思路简单，而且这两类问题思路统一，解法一致，既可以减轻学生负担，又能提高解答应用题的能力。

是今后学习分数应用题、代数应用题等问题的基础，必须重视教好这部分的内容，让学生学好并掌握好这部分知识。

1、使学生初步学会列方程解含有两个未知项的应用题。

2、使学生能正确地用列方程的方法解题。

3、培养学生认真审题的良好习惯。

教学重点和难点找出数量间的相等关系设计意图一、导入口答1、少年宫合唱队有男生30人，女生的人数是男生的3倍。

女生有多少人？少年宫合唱队有多少人？女生比男生多多少人? 二、教学实施教学例2三、课堂作业设计四、思维训练1、出示题目2、出示例23、出示相应的题目1、学生先独立看题思考，然后集体交流，教师指名回答。

2、学生读题、画线段图、解答、集体订正。

1、列举生活中的例子，能使学生在解决实际问题的过程中，学会列方程解决两步计算的实际问题。

2、强调根据题意找出数量间的相等关系，让学生养成根据等量关系列方程的习惯。

3、画线段图的方法可以引导学生很清楚地找出数量间的关系。

板书设计（需要一直留在黑板上主板书）列方程解含有两个未知项的应用题陆地面积+水面面积=颐和园的占地面积解：设颐和园的陆地大约有ⅹ公顷,水面大约有3ⅹ公顷.ⅹ+3ⅹ=2904ⅹ=290ⅹ=72.5学生学习活动评价设计设计评价方案，向学生展示他们将被如何评价（来自教师和小组其他成员的评价）。

另外，也可以创建一个自我评价表，这样学生可以用它对自己的学习进行评价。

1、学生已经学会列方程解含有一个未知项的应用题。

2、部分学生不会用把两个未知数的值代入已知条件看是否符合的方法进行验算。

用配方法解二次项系数是1的一元二次方程优秀教案

《用配方法解一元二次方程》教学设计第二课时教学设想本节课先由学生比较熟悉的直接开方法入手，引发学生对例题是否可以用直接开方法解答的思考和争论，从而激发学生的探究兴趣。

之后以将二次三项式配成完全平方式为媒介，层层递进，自然而然地获得用配方法解一元二次方程的一般方法，师生集体解答后，共同进行总结，进一步明确一般操作步骤，体会转化思想的运用。

在学生明确算理的基础上，通过四道由易到难的练习，使学生在练习中进一步体会和掌握配方法，提高计算熟练程度和准确性。

同时采用板演、集体批改、小组互批、学生讲评等多种方式让学生发现和总结计算中的易错点，提高自身的水平，获得成功的体验。

在学生掌握配方法解一元二次方程之后，通过“小小设计师”这个具体的情景，让学生体会一元二次方程在实际生活中的运用。

让学生深刻体会“数学源于生活，服务于生活”。

最后采用教师寄语的方式对学生进行情感教育，鼓励孩子们用数学知识武装自己的，让自己变得更加强大自信！教学目标1.知识与能力：①会进行配方，能熟练运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

②经历列一元二次方程解决实际问题的过程，增强数学应用意识和能力。

③体会转化的数学思想。

2.过程与方法：①经历对二次三项式进行配方的探究过程，能熟练对二次项系数为1的二次三项式进行配方。

②自主获得用配方法解一元二次方程的一般方法，体会转化思想。

③创设具体的情景，让学生体会一元二次方程在实际生活中的运用。

3.情感、态度、价值观：①通过小组合作的活动，培养学生的合作意识和能力。

②通过解决身边的实际问题，让学生初步认识数学与生活的密切联系。

③经历探索配方法的过程，掌握知识，获得成功的体验。

重难点教学重点：①会进行配方，能熟练运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

②能列一元二次方程解决简单的实际问题。

教学难点：掌握对二次项系数为1的二次三项式进行配方的方法。

学情分析从学生的认知结构上来看，前面已经系统的研究了完全平方式、二次根式，这就为继续研究用配方法解一元二次方程奠定了基础。

人教版解方程二说课稿

人教版解方程二说课稿尊敬的各位评委、老师，大家好！今天我说课的题目是人教版初中数学教材中的“解方程”这一单元。

我将从教材分析、教学目标、教学重点与难点、教学方法、教学过程及板书设计等方面进行详细的阐述。

一、教材分析本单元位于人教版初中数学教材的第二册，主要介绍了一元一次方程和二元一次方程的解法。

这部分内容是在学生掌握了代数表达式、等式的基本性质之后进行的，是代数学的基础，对于培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力具有重要意义。

通过对方程的学习，学生能够理解方程的概念、掌握解方程的基本方法，并能够将这些知识应用到实际问题中去。

二、教学目标1. 知识与技能目标：使学生理解方程的定义，掌握一元一次方程和二元一次方程的解法。

2. 过程与方法目标：培养学生通过观察、比较、归纳总结方程解法的能力。

3. 情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生合作交流的意识和解决问题的能力。

三、教学重点与难点1. 教学重点：一元一次方程和二元一次方程的解法。

2. 教学难点：二元一次方程组的解法，特别是代入法和消元法的应用。

四、教学方法本单元我将采用启发式教学法和探究式学习法相结合的方式，通过问题情境的创设，引导学生主动探究和解决问题。

同时，我会利用小组合作学习，让学生在交流和合作中共同进步。

五、教学过程1. 引入新课通过回顾等式的基本性质，引出方程的概念，并通过实例让学生理解方程与等式的关系。

2. 讲解一元一次方程首先，通过具体的例子讲解一元一次方程的定义和解方程的基本步骤。

然后，通过练习题巩固学生的理解和计算能力。

3. 讲解二元一次方程介绍二元一次方程的概念，并通过图解法让学生直观感受二元一次方程的解。

接着，讲解代入法和消元法解二元一次方程组的原理和步骤。

4. 小组合作探究将学生分成小组，每组解决一个实际问题，通过应用代入法和消元法，培养学生的问题解决能力。

5. 总结与提升总结方程解法的要点，强调解方程时需要注意的问题，如变量的系数、常数项的处理等。

九年级数学上册《用配方法求解二次项系数不是1的一元二次方程》教案、教学设计

-通过解题过程的引导，让学生认识到数学学习的实用性和趣味性。
2.增强学生的团队合作意识。
-在小组合作中，培养学生相互尊重、倾听他人意见的习惯。
-通过集体努力解决问题，让学生体会到团队合作的重要性。
3.树立正确的价值观。
-引导学生认识到学习数学不仅仅是解题，更是培养逻辑思维、解决实际问题的能力。
-倡导勤奋学习、积极探索的精神，帮助学生树立正确的学习观和人生观。
作业布置后，我会提醒学生按时完成，并鼓励他们在遇到问题时积极与同学讨论，或向老师请教。同时，我会及时批改作业，给予学生反馈，帮助他们发现并纠正错误，进一步提高解题能力。
然后，我在黑板上写下方程x^2 = 25，并询问学生如何求解。学生们可能会提出直接开平方的方法。这时，我引入配方法的概念，指出虽然直接开平方可行，但并非所有情况都这么简单。当我们遇到方程ax^2 + bx + c = 0，且a不等于1时，配方法就显得尤为重要。
（二）讲授新知
1.将方程的常数项移到等号右边。
-引导学生通过配方前后方程的对比，理解配方法在数学解题中的价值。
3.反思与评价：
-完成练习后，鼓励学生进行自我反思，评价解题过程中的得失。
-教师应及时给予反馈，指导学生总结经验，提高解题效率。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣和信心。
-设置难度适宜的题目，让不同水平的学生都能体验到成功解题的乐趣。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：配方法在求解二次项系数不是1的一元二次方程中的应用。
-理解并掌握配方法的原理，能够将非标准形式的一元二次方程转化为标准形式。
-学会通过配方将方程化为完全平方公式，进而求解。

解方程的教学设计名师公开课获奖教案百校联赛一等奖教案

解方程的教学设计一、教学目标：1. 学生能够了解方程的概念，并能正确运用解方程的方法解答问题。

2. 学生能够掌握一元一次方程和一元二次方程的解题方法。

3. 学生能够通过解方程的方法解决实际问题。

二、教学重点：1. 了解一元一次方程和一元二次方程的基本概念和性质。

2. 掌握一元一次方程和一元二次方程的解题方法。

3. 能够应用所学知识解决实际问题。

三、教学难点：1. 一元一次方程和一元二次方程的实际应用。

2. 针对不同类型的方程进行解题。

四、教学内容及步骤：第一课时：1. 导入（5分钟）引入方程的概念，通过实际例子引起学生的兴趣。

2. 一元一次方程的解法（30分钟）a. 介绍一元一次方程的基本形式和解的概念。

b. 通过示例演示解一元一次方程的步骤和方法。

c. 给予学生练习题，辅助学生巩固所学内容。

第二课时：1. 复习（5分钟）复习上一课时学的一元一次方程的解法。

2. 一元二次方程的解法（30分钟）a. 介绍一元二次方程的基本形式和解的概念。

b. 通过示例演示解一元二次方程的步骤和方法。

c. 给予学生练习题，辅助学生巩固所学内容。

第三课时：1. 复习（5分钟）复习上一课时学的一元二次方程的解法。

2. 解方程的应用（30分钟）a. 引导学生分析实际问题，找出可以建立方程的关系。

b. 指导学生将问题转化为方程。

c. 教授解决实际问题的步骤和方法。

d. 给予学生实际问题的解题练习，培养学生的应用能力。

第四课时：1. 总结（10分钟）通过回顾所学内容，总结解方程的基本方法和应用。

2. 课堂练习（20分钟）给予学生一些综合性的练习，让学生巩固所学内容，并检验他们的掌握程度。

五、教学评估：1. 教师通过学生的课堂表现和练习情况进行评估。

2. 学生通过课后的练习题和解决实际问题的能力来自我评估。

六、教学资源：1. 教科书、教学平台、白板、黑板等。

2. 练习题和实际问题。

七、教学延伸：教师可以引导学生进一步探索方程的性质和其他类型方程的解法。

八年级数学下册21.2二项方程教学设计沪教版五四制

八年级数学下册21.2二项方程教学设计沪教版五四制一. 教材分析《沪教版八年级数学下册21.2二项方程》这一节主要讲述了二项方程的概念、性质和求解方法。

通过本节课的学习，学生能够理解和掌握二项方程的基本概念，熟练运用公式法求解二项方程，并能够应用二项方程解决实际问题。

教材内容共分为三个部分：二项方程的概念与性质，二项方程的求解方法，以及二项方程的应用。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了方程和函数的基本概念，具备了一定的代数基础。

但在解决实际问题时，仍存在对概念理解不深刻、解题方法不灵活等问题。

因此，在教学过程中，需要引导学生深入理解二项方程的概念和性质，并通过大量的练习，让学生熟练掌握求解方法，提高解决问题的能力。

三. 教学目标1.理解二项方程的概念，掌握二项方程的性质。

2.学会运用公式法求解二项方程，并能灵活应用解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二项方程的概念与性质。

2.公式法求解二项方程。

3.二项方程在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题，引导学生自主探究，合作交流，从而深入理解二项方程的概念和性质。

同时，通过大量的例题和练习，让学生熟练掌握求解方法，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.教材、PPT及相关教学资料。

2.练习题及答案。

3.教学工具（黑板、粉笔、投影仪等）。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何求解这类问题。

例如：某商店举行抽奖活动，奖品为一个价值200元的书包。

抽奖规则如下：每个参与者支付10元，抽奖时，有两种可能的结果，要么中奖，要么不中奖。

中奖的概率是20%。

问参与者支付10元后，期望获得的价值是多少？2.呈现（10分钟）介绍二项方程的概念和性质。

二项方程一般形式为：x^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。

二项方程的解法有公式法和因式分解法。

九年级数学上册《用配方法求解二次项系数为1一元二次方程》教案、教学设计

（一）导入新课
在这一环节中，我将通过一个贴近学生生活的实际问题来导入新课，激发学生的兴趣和好奇心。我会提出这样一个问题：“同学们，假设你正在参加一个数学竞赛，你现在的得分是80分。如果想要将你的得分提高5%，使得分数超过90分，那么你原本计划得多少分呢？”这个问题能够让学生感受到数学与生活的紧密联系，同时也能引导学生思考如何运用数学知识解决问题。
我会要求学生在规定时间内完成练习，并对学生的解答进行及时反馈。对于普遍存在的问题，我会进行集中讲解，确保学生能够掌握配方法的解题技巧。
（五）总结归纳
在课堂的最后，我会引导学生进行总结归纳。首先，我会邀请几位学生分享他们在本节课中学到的知识和解题经验。这样的分享能够促进学生之间的相互学习，也能够巩固课堂所学。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：使学生掌握配方法的基本步骤，并能熟练运用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程。
2.难点：培养学生从实际问题中抽象出一元二次方程的能力，以及运用配方法解决实际问题的能力。
（二）教学设想
1.创设情境，引入新课
教学伊始，通过一个与生活密切相关的实际问题，引导学生思考如何解决该问题。例如，某学生参加数学竞赛，已知他的得分是80分，如果提高5%，他的得分将超过90分。请问他原计划得多少分？通过这个问题，让学生感受数学与现实生活的联系，激发学生学习兴趣。
接着，我会引导学生回顾一元二次方程的一般形式，特别是二次项系数为1的情况，为学生接下来学习配方法求解一元二次方程做好铺垫。通过这个导入过程，学生能够自然过渡到新课的学习，为后续的教学内容打下良好的基础。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，我会首先介绍配方法的基本概念和原理。我会详细解释配方法的步骤，包括将一元二次方程两边同时加上一次项系数一半的平方，从而使方程左边成为完全平方公式，右边成为一个常数。这样的转化可以使方程变得更简单，进而更容易求解。

四年级下北师大《解方程(二)》王倩教案新优质课比赛公开课获奖教学设计36

《解方程（二）》教学设计教学内容北师大版四年级下册第五单元教材第70、71页。

教学目标1、通过观察天平称重的具体情境，类比等式变形的过程，抽象出等式的性质，即等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立；进一步了解等式性质是解方程的依据。

2、会用等式的性质解形如2x=10的简单方程。

教学重难点重点：掌握等式的性质。

难点：根据等式的性质解方程。

教学准备课件教学过程一、回顾与交流1、什么是方程？2、在前面的学习中，我们依据什么解方程的呢？3、是不是所有的方程都能用这一性质解方程呢？师：今天我们继续学习解方程（二）。

二、探究新知（一）探究等式性质1、猜想师：前面我们学习了“等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。

”受这个规律的启发，你有什么新的猜想吗？生猜想：等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式还成立吗？师：怎样来验证我们的猜想呢？2、验证（1）课件出示图片师：此时天平怎么样？（平衡）师：你会表示天平两边的关系吗？（生：x=5）思考：如果左边有3个xg,要使天平平衡，右边应怎么放？请你先想一想，再与同桌说一说。

指名回答，并说一说自己是怎样想的。

课件出示天平直观图（左边3个xg,右边3个5g）师：此时天平两边的关系怎样表示呢？（生：3x=3×5）验证：等式两边都乘同一个数，等式仍然成立。

（2）请你仔细观察天平直观图师：你会表这两幅图中天平两边的关系吗？2x=202x÷2=20÷2验证：等式两边都除以同一个不为0数，等式仍然成立。

师：这是等式的又一个性质。

请同学们读一读这一规律。

（二）应用等式的性质1、师：规律探究出来了，你会用规律吗？出示：4y=2000师：你能求出方程4y=2000的解吗？学生先独立尝试解方程，再全班交流。

师：这样写的依据是什么？为什么两边都除以4呢？依据优势什么呢？学生思考并回答教师再对解题过程进行示范，并呈现检验的方法。

§21.2二项方程

预设学生回答： 1、 1、二项方程的概念如果一元 n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程． 2、 2、解二项方程的一般步骤
4
axn b 0 axn b b xn a b (相当于求的n次方根.) a
当 n 为奇数时方程有且只有一个实数根．当 n 为偶数时如果 ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数．如果 ab>0，那么方程没有实数根．
师：我们已经会解一元一次方程和一元二次方程了，那么是否所有的一元高次方程我们现在都能求解呢？我们来看这几个方程—— （教师划出几个二项方程，如果学生没有写出二项方程，那么教师可以补充几个二项方程．例如：） ……
x3 8 0
1 5 x 16 0 2
5 x 3 18 0
（3） (
1 x 1) 5 5 0 2 1 （3）解： x 1) 5 -5 ( 2 1 x 1 5 5 2 1 x 5 5 1 2 x 2 5 5 2
原方程的根是 x 2 5 5 2
5、巩固练习：书 P31/3 一、二、三、课堂小结今天这节课你学到了哪些知识？有哪些收获？
3
（1）是．一元三次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，（2）不是．方程的一边含有未知数项有两项，缺少非零常数项．（3）是．移项后，是一元五次方程，且方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零． (4)不是．方程的一边含有未知数项有两项，缺少非零常数项,同时另一边不是零．
（2） 2(1 3x) 10 0 （2）解： (1 3x ) 4 5

二次方程公式优质课教学设计完美版

二次方程公式优质课教学设计完美版教学目标通过本课的研究，学生应能够：- 理解二次方程的定义和特点；- 掌握解二次方程的一般方法；- 运用二次方程求解实际问题。

教学内容1. 二次方程的定义和特点- 二次方程的一般形式- 二次项、一次项和常数项的意义- 二次方程的图像和性质2. 解二次方程的一般方法- 判别式的理解和计算- 一元二次方程解的判别- 求解一元二次方程的步骤和技巧3. 运用二次方程求解实际问题- 设计一些实际问题，如抛物线运动问题、面积问题等- 将实际问题转化为二次方程- 运用解二次方程的方法求解实际问题教学步骤1. 激发兴趣：通过一个生动有趣的故事或实例引入二次方程，并解释它在现实生活中的应用。

2. 理解概念：介绍二次方程的定义和特点，以及二次项、一次项和常数项的意义。

通过图像展示和实例演示，让学生对二次方程有一个直观的认识。

3. 研究解法：讲解解二次方程的一般方法，包括判别式的计算和一元二次方程解的判别。

给出一些练题，引导学生掌握解二次方程的步骤和技巧。

4. 实践应用：设计一些实际问题，如抛物线运动问题、面积问题等，让学生将其转化为二次方程并求解。

通过实际问题的应用，培养学生运用二次方程解决实际问题的能力。

5. 总结回顾：对本课所学内容进行总结，强调二次方程在数学和现实生活中的重要性和应用。

鼓励学生思考二次方程在其他领域的应用，并提出相关问题进行讨论。

教学资源- 教科书- PowerPoint演示文稿- 实例演示视频- 练题和答案教学评估- 课堂练：检查学生对二次方程的理解和解法掌握情况。

- 实践应用：评估学生将二次方程应用于实际问题的能力。

教学扩展通过引入更复杂的二次方程及相关概念，如负根、一元二次不等式等，拓展学生的数学思维和解题能力。

参考资料- 教科书第X章。

方程2课程设计

方程2课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解并掌握一元一次方程、一元二次方程的定义及性质；2. 学会运用消元法、代入法等解二元一次方程组；3. 能够解决实际问题时建立方程模型，并运用所学的解方程方法求解。

技能目标：1. 培养学生运用方程解决问题的能力，提高逻辑思维和运算能力；2. 培养学生合作探讨、自主探究的学习习惯，形成解决问题的策略；3. 提高学生运用数学软件或工具辅助解题的能力。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对方程的兴趣，激发学生学习数学的热情；2. 培养学生面对困难时勇于挑战、积极进取的精神；3. 培养学生团队合作意识，尊重他人意见，形成良好的学术氛围。

课程性质：本课程为初中数学课程，属于方程与不等式模块。

学生特点：学生具备一定的数学基础，但对方程的理解和应用能力参差不齐。

教学要求：1. 注重启发式教学，引导学生主动探究，培养独立思考能力；2. 结合实际例题，让学生体会方程在生活中的应用，提高实际问题解决能力；3. 关注学生个体差异，实施分层教学，提高整体教学效果。

二、教学内容1. 一元一次方程：回顾一元一次方程的定义，解法及应用，重点讲解方程的解的概念和求解步骤。

- 教材章节：第一章第一节- 内容：方程的解、求解一元一次方程的步骤、实际应用案例2. 一元二次方程：引入一元二次方程的概念，探讨其解的性质，学习求解一元二次方程的公式法及因式分解法。

- 教材章节：第一章第二节- 内容：一元二次方程的定义、求解公式、因式分解法、实际应用案例3. 二元一次方程组：通过实例引入二元一次方程组，掌握消元法和代入法的解题步骤。

- 教材章节：第一章第三节- 内容：二元一次方程组的定义、消元法、代入法、实际应用案例4. 方程应用：结合实际情境，培养学生建立方程模型解决实际问题的能力。

- 教材章节：第一章第四节- 内容：建立方程模型、解决实际问题、案例分析教学进度安排：第一课时：一元一次方程的复习第二课时：一元二次方程的解法第三课时：二元一次方程组的解法第四课时：方程在实际问题中的应用三、教学方法针对本章节内容，采用以下多样化的教学方法，旨在激发学生的学习兴趣，提高课堂参与度和主动性。

浙江省衢州市仲尼中学高二数学《二项式定理》教案(人教A版)

教材分析：二项式定理，二项展开式及其通项公式是高考考点之一，考查重点是二项式系数及其性质．填空题出现的可能性大，难度属较易题，主要考查利用通项公式解决二项展开式中的项与系数问题.预测2013年高考考查利用二项式定理求近似值、求余数、证明不等式等.学情分析：学生对二项式定理，二项展开式及其通项公式掌握较差，基本运算还比较弱，对公式不能灵活运用，转化思想及知识迁移能力运算能力还需要加强。

教学目标：1. 知识与技能：掌握二项式定理，二项展开式及其通项公式，会求二项式系数，运用二项式系数的性质解题。

2. 过程与方法：在练习中多次运用公式达到自然记忆二项式定理，二项展开式及其通项公式。

3. 情感、态度与价值观：让学生通过练习，培养自我检查，自我小结，查漏补缺的能力。

教学重点：二项式定理，二项展开式及其通项公式。

教学难点：二项式系数及其性质。

教学过程：一、知识梳理：1.对于n ∈N *，nb a )(+ =_______________________，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等式右边的多项式叫做(a+b )n 的___________.2.二项展开式中各项的系数r n C (r =0， 1，2，…，n )叫做___________；二项展开式的第r +1项叫做二项展开式的通项，用Tr +1表示，Tr +1=____________________.3.与首末两端_______的两个二项式系数相等.4.二项式系数的前半部分是______，后半部分是______，且在中间取得______.5.当n 为偶数时，二项展开式的项数为奇数，正中间一项的二项式系数是____；当n 为奇数时，二项展开式的项数为偶数，正中间两项的二项式系数是_______.6. =+++n n n n C C C Λ10 ；=++Λ420n n n C C C =++Λ531n n n C C C (所有偶数项的二项式系数之和等于所有奇数项的二项式系数之和).二、讲练结合：例1、7)12(3x x -的展开式中的常数项是( )A. 14B. -14C. 42D. -42例2、已知(1-3x )9=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 9x 9，则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 9|等于( )A. 29B. 49C. 39D. 1例3、(1)求(1-3x )8的展开式中各项系数的绝对值之和. (2)求(1+2x )12·(2-x )8的展开式中x 的奇次幂的系数之和.练习1、已知n x x )(3123-+的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是 ____.练习2、已知(1+x )+(1+x )2+(1+x )3+…+(1+x )8=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a 8x 8，则a 1+a 2+a 3+…+a 8=_____.三、归纳小结1.展开式中常数项、有理项的特征是通项式中未知数的指数分别为零和整数，解决这类问题时，先要合并通项式中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析.2.二项展开式中各项的系数与二项式系数是不同的概念.一般地，某一项的系数是指该项中字母前面的常数值(包括正负符号)，它与a 、b 的取值有关，而二项式系数与a 、b 的取值无关.3.有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式求解，结合方程思想进行求值，通过解不等式求取值范围.4.求展开式中的系数和，一般通过对a 、b 适当赋值来求解；对求非二项式的展开式系数和，可先确定其展开式中的最高次数，按多项式形式设出其展开式，再赋值求系数和.四、布置作业1、求 32])1[(-+xx 的展开式中的常数项. 2、已知 n x x )31(2+的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是14∶3，求展开式中的常数项.3、(1)求(1+2x -x 2)(1-x )10的展开式中x 4的系数.(2)求(1+x )+(1+x )2+…+(1+x )15的展开式中x 3的系数. 五、板书设计六、教学反思本节课学生反映良好，对公式的应用欠缺，在做题中出现公式性质和通项写错，遇到根式不能顺利进行转化，在这方面要多加训练，通项公式是解决系数问题的关键。

初中数学二次方程讲解教案

初中数学二次方程讲解教案教学目标：1. 了解二次方程的定义及其一般形式；2. 学会解一元二次方程；3. 理解二次方程的解与一元二次方程的根的关系；4. 能够应用二次方程解决实际问题。

教学重点：1. 二次方程的定义及其一般形式；2. 解一元二次方程的方法；3. 二次方程的解与一元二次方程的根的关系。

教学难点：1. 解一元二次方程的多种方法的综合运用；2. 理解二次方程的解与一元二次方程的根的概念。

教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾一元一次方程的定义及其解法；2. 提问：一元一次方程的解是什么？解一元一次方程的方法有哪些？二、新课讲解（20分钟）1. 引入二次方程的概念：介绍二次方程的定义及其一般形式；2. 讲解解一元二次方程的方法：a) 因式分解法；b) 公式法；c) 配方法；d) 图形法。

3. 讲解二次方程的解与一元二次方程的根的关系：解释二次方程的解就是一元二次方程的根。

三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识；2. 引导学生总结解题方法，讨论遇到的问题。

四、总结与拓展（5分钟）1. 总结本节课的主要内容，让学生明确二次方程的定义、解法及其解与根的关系；2. 提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。

教学反思：本节课通过讲解二次方程的定义、解法及其解与根的关系，使学生掌握了二次方程的基本知识。

在讲解解法时，我采用了多种方法，帮助学生理解和掌握。

课堂练习环节，学生能够独立完成题目，巩固了所学知识。

但在拓展环节，部分学生还存在一定的困难，需要在今后的教学中加强引导和培养。

总体来说，本节课达到了预期的教学目标。