14级成都一诊理科数学测试题答案
2014年四川省成都市高考数学一模试卷(理科)
2014年四川省成都市高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知集合A={-2，3}，B={x||x|=3}，则A∩B=（）A.{-2}B.{3}C.{-2，3}D.∅【答案】B【解析】解：由B中的方程|x|=3，得到x=3或-3，即B={-3，3}，∵A={-2，3}，∴A∩B={3}．故选B求出B中方程的解确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.若复数z满足z（1-2i）=5（i为虚数单位），则复数z为（）A. B.1+2i C.1-2i D.【答案】B【解析】解：∵复数z满足z（1-2i）=5，∴z（1-2i）（1+2i）=5（1+2i），∴z=1+2i．故选：B．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3.计算log5+所得的结果为（）A.1B.C.D.4【答案】A【解析】解：原式===1．故选：A．利用指数幂的运算法则和对数的运算法则即可得出．本题考查了指数幂的运算法则和对数的运算法则，属于基础题．4.在等差数列{a n}中，a8=15，则a1+a7+a9+a15=（）A.15B.30C.45D.60【答案】D【解析】解：由等差数列{a n}的性质可得：a1+a15=a7+a9=2a8．∵a8=15，∴a1+a7+a9+a15=4a8=4×15=60．故选：D．由等差数列{a n}的性质可得：a1+a15=a7+a9=2a8．即可得出．本题考查了等差数列的性质，属于基础题．5.已知m，n是两条不同的直线，α为平面，则下列命题正确的是（）A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n⊥α．则m⊥nC.若m⊥α，n∥α，则m⊥nD.若m与α相交，n与α相交，则m，n一定不相交【答案】C【解析】解：对A，m∥α，n∥α，则直线m、n位置关系不确定，故A错误；对B，m⊥α，n⊥α，∴m∥n，故B错误；对C，m⊥α，n∥α，过n的平面β，α∩β=b，∴n∥b，又b⊂α，∴m⊥b，∴m⊥n．故C正确；对D，若m与α相交，n与α相交，当交点重合时，m、n相交，故D错误．故选C．根据m∥α，n∥α，则直线m、n位置关系不确定，判断A错误；根据垂直于同一平面的两直线平行，判断B错误；利用线面平行的性质及异面直线所成角的定义判断C 正确；根据当交点重合时，两直线相交，判断D错误．本题考查了空间直线与直线、直线与平面的位置关系，考查了学生的空间想象能力．6.如图，在平面直角坐标系x O y中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标为（，）和（-，），则cos（α+β）的值为（）A.-B.-C.0D.【答案】A【解析】解：∵点A，B的坐标为（，）和（-，），∴sinα=，cosα=，sinβ=，cosβ=-，则cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=×（-）-×=-．故选A根据A与B的坐标，利用任意角的三角函数定义求出sinα，cosα，sinβ，cosβ的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握公式是解本题的关键．7.世界华商大会的某分会场有A，B，C，将甲，乙，丙，丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数（）A.12种B.10种C.8种D.6种【答案】D【解析】解：∵甲、乙两人被分配到同一展台，∴甲与乙捆在一起，看成一个人，然后将3个人分到3个展台上的全排列，即有种，∴甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数=6种．故选：D．该题要求甲、乙两人被分配到同一展台，故采取捆绑法进行求解，然后利用排列组合知识进行求解即可．本题考查排列、组合的运用，关键是根据“每个展台至少1人”的要求，属于基础题．8.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如下图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A.120cm2B.80cm2C.100cm2D.60cm2【答案】C【解析】解：由三视图可判断几何体为一长方体削去一个角，其直观图如图：长方体的长、宽、高分别为5、4、6，∴长方体的体积为5×4×6=120，削去的三棱锥的体积为××5×4×6=20，∴该几何体的体积为120-20=100cm2．故选C．由三视图可判断几何体为一长方体削去一个角，画出直观图，标出三视图的数据对应的几何量，代入公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，由三视图判断几何体的形状，画出其直观图是解题的关键．9.如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′，其中A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴．若A′B′=B′C′=3，设△ABC的面积为S，△A′B′C的面积为S′，记S=k S′，执行如图②的框图，则输出T 的值（ ）A.12B.10C.9D.6 【答案】 A【解析】解：∵在直观图△A ′B ′C ′中，A ′B ′=B ′C ′=3， ∴S ′=A ′B ′•B ′C ′•sin 45°=由斜二侧画法的画图法则，可得在△ABC 中，AB=6．BC=3，且AB ⊥BC ∴S=AB •BC=9则由S=k S ′得k =2 ，则T=T=（m -1）=2（m -1）故执行循环前，S=9，k =2 ，T=0，m =1，满足进行循环的条件，执行循环体后，T=0，m =2当T=0，m =2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T=2，m =3当T=2，m =3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T=6，m =4当T=6，m =4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T=12，m =5当T=12，m =5时，不满足进行循环的条件，退出循环后，T=12， 故输出的结果为12故选：A由斜二侧画法的画图法则，结合已知可求出S 及k 值，模拟程序的运行过程，分析变量T 的值与S 值的关系，可得答案．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10.已知f （x ）=-2|2|x |-1|+1和g （x ）=x 2-2|x |+m （m ∈R ）是定义在R 上的两个函数，则下列命题正确的是（ ）A.关于x 的方程f （x ）-k =0恰有四个不相等实数根的充要条件是k ∈（-1，0）B.关于x 的方程f （x ）=g （x ）恰有四个不相等实数根的充要条件是m ∈[0，1]C.当m =1时，对∀x 1∈[-1，0]，∃x 2∈[-1，0]，f （x 1）＜g （x 2）成立D.若∃x 1∈[-1，1]，∃x 2∈[-1，1]，f （x 1）＜g （x 2）成立，则m ∈（-1，+∞） 【答案】 D【解析】解：∵f （x ）=-2|2|x |-1|+1， ∴f （-x ）=f （x ），∴f （x ）=-2|2|x |-1|+1是偶函数，x ＞0时，f （x ）=-2|2x -1|+1= ， ＞， ＜ ＜，∴f （x ）=-2|2|x |-1|+1的图象如图所示，∴关于x 的方程f （x ）-k =0恰有四个不相等实数根的充要条件是k ∈（-1，1），即A 不正确； 函数g （x ）=x 2-2|x |+m 是偶函数，与y 轴的交点坐标为（0，m ），显然m =-时，关于x 的方程f （x ）=g （x ）有四个不相等实数根，故B 不正确；∀x 1∈[-1，0]，f （x 1）∈[-1，1]，x 2∈[-1，0]，g （x ）=x 2+2x +1∈[0，1]，∴当m =1时，对∀x 1∈[-1，0]，∃x 2∈[-1，0]，f （x 1）＜g （x 2）不成立，即C 不正确；对于D，∀x1∈[-1，1]，∀x2∈[-1，1]，f（x1）≥g（x2）成立时，m≤-1，∴若∃x1∈[-1，1]，∃x2∈[-1，1]，f（x1）＜g（x2）成立，则m∈（-1，+∞），故D 正确．故选D．分析f（x）=-2|2|x|-1|+1和g（x）=x2-2|x|+m的函数性质，对选项逐个判断即可．本题考查命题真假的判断，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，分析函数的性质是关键．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.若f（x）=x2+（a-1）x+1是定义在R上的偶函数，则实数a= ______ ．【答案】1【解析】解：∵f（x）=x2+（a-1）x+1是定义在R上的偶函数，∴f（-x）=f（x），即f（-x）=x2-（a-1）x+1=x2+（a-1）x+1，∴-（a-1）=a-1，∴a-1=0，解得a=1．故答案为：1．根据函数奇偶性的定义建立方程f（-x）=f（x）即可求解a的值．本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数奇偶性的定义建立方程是解决本题的关键．12.已知（1+2x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a0+a1+…+a6= ______ ．【答案】729【解析】解：在（1+2x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6中，令x=1可得a0+a1+…+a6=36=729，故答案为：729．在（1+2x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6中，令x=1可得a0+a1+…+a6的值．本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．13.设x1，x2是函数f（x）=x3-2ax2+a2x的两个极值点，若x1＜2＜x2，则实数a的取值范围是______ ．【答案】（2，6）【解析】解：∵x1，x2是函数f（x）=x3-2ax2+a2x的两个极值点，∴x1，x2是方程的两个实数根，∴3×22-4a×2+a2＜0，即a2-8a+12=（a-2）（a-6）＜0，解得2＜a＜6，故答案为：（2，6）．由题意可得x1，x2是方程3x2-4ax+a2=0的两个实数根，故有3×22-4a×2+a2＜0，由此求得a的范围．本题主要考查函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于基础题．14.已知α∈[-，]，则cos2α的概率为______ ．【答案】【解析】解：∵cos2α，α∈[-，]，∴2α∈[-，]，即α∈[-，]，∴α∈[-，]，则cos2α的概率为=．故答案为：．先在区间[-，]上解不等式cos2α，然后利用几何概型的概率公式进行求解，这里的几何测度是区间长度．本题主要考查了三角不等式的解法，以及几何概型的概率计算，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．15.设⊙O为不等边△ABC的外接圆，△ABC内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，P是△ABC所在平面内的一点，且满足=•+（P与A不重合）．Q为△ABC所在平面外一点，QA=QB=QC．有下列命题：①若QA=QP，∠BAC=90°，则点Q在平面ABC上的射影恰在直线AP上；②若QA=QP，则；③若QA＞QP，∠BAC=90°，则；④若QA＞QP，则P在△ABC内部的概率为（S△ABC，S⊙O分别表示△ABC与⊙O的面积）．其中不正确的命题有______ （写出所有不正确命题的序号）．【答案】①③④【解析】解：∵=•+，∴-=（•-），∴，∴||c•cos∠PAB=∠PAC，∴∠PAB=∠PAC，∴AP是∠BAC的平分线，∵QA=QB=QC，∴Q在平面ABC上的射影是△ABC的外心O，∵∠BAC=90°，△ABC是不等边三角形，∴点Q在平面ABC上的射影恰在直线AP上不正确；∵QA=QP，∴P为的中点，∴OP⊥BC，∵OP是QP在平面ABC上的射影，∴QP⊥BC，∴，故②正确；③QA＞QP，则P在圆内，∠BAC=90°，则BC为直径，若，则AP为∠BPC的平分线且AP经过点O，与△ABC是不等边三角形矛盾，故③不正确；④若QA＞QP，∵AP是∠BAC的平分线，所以P在△ABC内部的概率应该以长度为测度，故④不正确．故答案为：①③④．根据=•+，可得AP是∠BAC的平分线，利用QA=QB=QC，可得Q在平面ABC上的射影是△ABC的外心O，由QA=QP，可知P为的中点，由QA＞QP，则P在圆内，再对选项判断，即可得出结论．本题考查向量知识的运用，考查命题真假的判断，综合性强，难度大．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知向量=（cos，cos2），=（2sin，2），设函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且f（2B-）=，a=3，b=3，求A的大小．【答案】解：（Ⅰ）∵向量=（cos，cos2），=（2sin，2），∴f（x）=•=2sin cos+2cos2=sin+cos+1=2sin（+）+1，∵ω=，∴函数f（x）的最小正周期为4π；（Ⅱ）f（2B-）=2sin B+1=+1，即sin B=，∵a=3，b=3，sin B=，∴由正弦定理=得：sin A===，∵a＜b，∴A＜B，∴A=30°．【解析】（Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可确定出函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由第一问f（x）解析式，根据已知等式求出sin B的值，再由a，b的值，利用正弦定理求出sin A的值，即可确定出A的度数．此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，两角和与差的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n+2-2，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数{a n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：（Ⅰ）当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n+1，又当n=1时，a1=S1=6，不符合上式，∴a n=，，（n∈N*）．（Ⅱ）b1=1，当n≥2时，b n==2（1-），∴T n=b1+b2+…+b n=2[（1-）+（1-）+…+（1-）] =2[n-（++…+）]=2[n-]=2n-1+．∴T n=，，．【解析】（Ⅰ）依题意，易求当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n，当n=1时，a1=2，从而可得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b n=2（1-），从而利用分组求和法即可求得数列{b n}的前n项和T n．本题考查数列的求和，着重考查知S n求a n型问题的解法，突出考查分组求和法的应用，属于中档题．18.某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下跌，后期价格在原有价格基础之上继续下跌．现有三种价格变化的模拟函数可选择：①f（x）=p•q x；②f（x）=px2+qx+7；③f（x）=log q （x+p）．其中p，q均为常数且q＞1．（注：x表示上市时间，f（x）表示价格，记x=0表示4月1号，x=1表示5月1号，…，以此类推，x∈[0，5]）（Ⅰ）在上述三个价格模拟函数中，哪一个更能体现该种水果的价格变化态势，请你选择，并简要说明理由；（Ⅱ）对（I）中所选的函数f（x），若f（2）=11，f（3）=10，记g（x）=，经过多年的统计发现，当函数g（x）取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？【答案】解：（Ⅰ）根据题意，该种水果价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减，基本符合开口向下的二次函数的变化趋势，故应该选择②f（x）=px2+qx+7；（Ⅱ）∵f（2）=11，f（3）=10，∴，解得：，∴f（x）=-x2+4x+7，则g（x）==，∴g（x）=-[+（x+1）-4]≤-（2-4）=-2，当且仅当x+1=3即x=2时等号成立，∴预测明年拓展外销市场的时间是6月1号．【解析】（Ⅰ）欲找出能较准确体现该种水果的价格变化态势的模拟函数，主要依据是该种水果价格变化趋势，故可从三个函数的单调上考虑；（Ⅱ）由题中条件：f（2）=11，f（3）=10得方程组，求出p，q即可，从而得到g（x）的解析式即可求出x取何值时函数g（x）取得最大值，得到所求．本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于中档题．19.如图①，四边形ABCD为等腰梯形，AE⊥DC，AB=AE=DC，F为EC的中点，现将△DAE沿AE翻折到△PAE的位置，如图②，且平面PAE⊥平面ABCE．（Ⅰ）求证：平面PAF⊥平面PBE；（Ⅱ）求直线PF与平面PBC所成角的正弦值．【答案】（I）证明：∵EF∥AB，AB=EF=CD，∴四边形AEFB为平行四边形，又AE=AB，AE⊥CD，∴四边形AEFB为正方形，∴BE⊥AF，∴平面PAE⊥平面ABCE，PE⊥AE，平面PAE∩平面ABCE=AE，∴PE⊥平面ABCE，∴PE⊥AF，又PE∩BE=E，∴AF⊥平面PBE，∵AF⊂平面PAF，∴平面PBE⊥平面PAF；（Ⅱ）解：建立如图所示的装不下，设AB=4，则P（0，0，4），A（0，4，0），B（4，4，0），C（8，0，0），F（4，0，0），∴，，，，，，，，，设=（x，y，z）为平面PBC的一个法向量，则，∴可去=（1，1，2），∴sinα==，∴直线PF与平面PBC所成角的正弦值为．【解析】（I）先证明四边形AEFB为正方形，可证得BE⊥AF；再利用面面垂直的性质，证得线面垂直，再得PE⊥AF，由此可证AF⊥平面PBE，从而证明面面垂直；（Ⅱ）求出，平面PBC的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求直线PF与平面PBC所成角的正弦值．本题考查了面面垂直的证明，考查线面角，考查向量知识的运用，正确求出平面的法向量是关键．20.我国采用的PM2.5的标准为：日均值在35微克/立方米以下的空气质量为一级；在35微克/立方米一75微克/立方米之间的空气质量为二级；75微克/立方米以上的空气质量为超标．某城市环保部门随机抽取该市m天的PM2.5的日均值，发现其茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下图所示．请据此解答如下问题：（Ⅰ）求m的值，并分别计算：频率分布直方图中的[75，95）和[95，115]这两个矩形的高；（Ⅱ）通过频率分布直方图估计这m天的PM2.5日均值的中位数（结果保留分数形式）；（Ⅲ）从这m天的PM2.5日均值中随机抽取2天，记X表示抽到PM2.5超标的天数，求X的分布列和数学期望．【答案】解：（Ⅰ）∵，∴m=20，矩形[75，95）的高为=0.0225，矩形[95，115）的高为0.01．（Ⅱ）根据频率分布直方图可以估计这m天的PM2.5日均值的中位数为75+=81．（Ⅲ）∵P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分别列为∴E（X）=1×+2×=．【解析】（Ⅰ）根据第一组的数据，建立方程即可求出m的值，然后分别计算：频率分布直方图中的[75，95）和[95，115]这两个矩形的高；（Ⅱ）根据茎叶图中的数据以及频率分布直方图来估计这m天的PM2.5日均值的中位数；（Ⅲ）求出X的相应的概率，可求X的分布列和数学期望．本题主要考查频率分布直方图的应用，以及概率的计算，考查分布列和数学期望，考查学生的计算能力，正确求概率是关键．21.已知函数f（x）=aln（x+1），g（x）=x-x2，a∈R．（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在x=3处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x）恒成立，求a的最小值；（Ⅲ）设p（x）=f（x-1），a＞0，若A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=p（x）的两个不同点，满足0＜x1＜x2，且∃x3∈（x1，x2），使得曲线y=f（x）在x3处的切线与直线AB平行，求证：x3＜．【答案】解：（I）当a=-1时，f（x）=-ln（x+1），得出切点（3，-ln4）．∵′，∴切线的斜率k=′．∴曲线y=f（x）在x=3处的切线方程为：y+ln4=-（x-3），化为x+4y+8ln2-3=0．（II）对任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x）恒成立⇔aln（x+1）-x+．令h（x）=aln（x+1）-x+（x≥0）．′=．①当a≥1时，h′（x）≥0恒成立，∴函数h（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）=0，∴a≥1时符合条件．②当a＜1时，由h′（x）=0，及x≥0，解得．当x∈，时，h′（x）＜0；当x∈，∞时，h′（x）＞0．∴=＜ ，这与h（x）≥0相矛盾，应舍去．综上可知：a≥1．∴a的最小值为1．（III）p（x）=f（x-1）=alnx，k AB=．∵′，∴′．∵曲线y=f（x）在x3处的切线与直线AB平行，∴．由′，a＞0，可知其在定义域内单调递减．要证：x3＜．即证明′＞′．即证明＞．变形可得＞，令，则t＞1．要证明的不等式等价于＞⇔（t+1）lnt＞2（t-1）．构造函数q（t）=（t+1）lnt-2（t-1），（t＞1）．′=（t＞1）．令u（t）lnt+-1，（t＞1）．则u′（t）=＞0，∴q′（t）在t＞1时单调递增．∴q′（t）＞q′（1）=0，∴函数q（t）在区间（1，+∞）上单调递增，∴q（t）＞q （1）=0，∴q（t）＞0在（1，+∞）上恒成立．∴（t+1）lnt＞2（t-1）在（1，+∞）上恒成立，即x3＜成立．【解析】（I）当a=-1时，f（x）=-ln（x+1），得出切点（3，-ln4）．利用导数的几何意义即可得出切线的斜率，进而得到切线方程；（II）对任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x）恒成立⇔aln（x+1）-x+．令h（x）=aln（x+1）-x+（x≥0）．利用导数的运算法则可得h′（x）=．分类讨论：当a≥1时，当a＜1时，只要验证最小值是否大于0即可得出．（III）p（x）=f（x-1）=alnx，k AB=．利用导数的运算法则可得′．由于曲线y=f（x）在x3处的切线与直线AB平行，可得．利用p′（x）在定义域内单调性质要证：x3＜．即证明′＞′．即证明＞．变形可得＞，令，则t＞1．要证明的不等式等价于＞⇔（t+1）lnt＞2（t-1）．构造函数q（t）=（t+1）lnt-2（t-1），（t＞1）．利用导数研究其单调性即可证明．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造函数法、换元法、恒成立问题的等价转化、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。
四川省成都市石室中学2014届高三数学上学期“一诊模拟”考试(二)试题 理 新人教A版
石室中学高2014届2013-2014学年度上期“一诊”模拟考试（二）数学（理科）试题一．选择题：本大题共有10个小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知全集}6,5,4,3,2,1,0{=U ,集合{1,2}A =,}5,2,0{=B ,则集合=B A C U )(（ ） A ．{}6,4,3 B ．{}5,3 C ．{}5,0 D ．{}4,2,02. 复数311i i-+（i 为虚数单位）的模是（ ） A.5B.22C.5D.83. 下列命题的否定为假命题的是（ ）A.2,220x R x x ∃∈++≤ B. x ∀∈R ，lg 1x <C.所有能被3整除的整数都是奇数D.22,sin cos 1x R x x ∀∈+=4. 已知ABC ∆的面积为2，在ABC ∆所在的平面内有两点P 、Q ，满足0=+PC PA ,BQ QA 2=,则APQ ∆的面积为（ ）A.13 B.12 C.23D.1 5. 将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为 （ ）A ．10B ．20C ．30D ．406. 右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ． 1B ．13C ． 12D ． 327. 执行右图所示的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）， 则输出的S 值为（ ）A.7B.6C.5D.48. 将函数()sin(2)()22f x x ππθθ=+-<<的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 、()g x的图象都经过点P ，则ϕ的值可以是（ ）A ．53πB ．56πC ．2πD ．6π9. 已知,a b R +∈，若向量(2,122)m a =-与向量(1,2)n b =共线，的最大值为（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．310. 定义域为R 的函数()f x 满足()()[)22,0,2f x f x x +=∈当时，()[)[)232,0,1,1,1,2,2x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩若[)4,2x ∈--时，()142t f x t≥-恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A.[)()2,00,1- B.[)[)2,01,-+∞C.[]2,1-D.(](],20,1-∞-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan α= 12. 在区间[]1,2-上随机取一个实数x ，则事件“122x ≤≤”发生的概率为______13. 若等比数列{}n a 的第5项是二项式613x ⎫⎪⎭展开式的常数项，则37a a =14. 已知函数()x xxx f sin 11ln+-+=，则关于a 的不等式()()0422<-+-a f a f 的解集是_______ 15. 若直线1y kx =+与曲线11||||y x x x x=+--恰有四个公共点，则k 的取值集合是______三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）设函数2()2cos 23sin cos f x x x x m =+⋅+.其中,m x R ∈（1）求()f x 的最小正周期； （2）当]2,0[π∈x 时，求实数m 的值，使函数)(x f 的值域恰为17[,],22并求此时()f x 在R 上的对称中心.17．（本小题满分12分）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝CA ＝AA 1＝2， 侧棱AA 1⊥面ABC ，D 、E 分别是棱A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上， 且14AF AB =． （Ⅰ）求证：EF ∥平面BDC 1； （Ⅱ）求二面角E －BC 1－D 的余弦值．18．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36a =，10110S =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 前n 项和为n T ，且21()2n a n T =-，令()n n n c a b n *=∈N ．求数列{}n c 的前n 项和n R . 19．（本小题满分12分）某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t ）分成六段：[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90)后得到如图4的频率分布直方图．问：（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.（2）若从车速在[60,70)的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在[65,70)的车辆数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．20．（本小题满分13分）已知函数2()43,()52.f x x x a g x mx m =-++=+- ⑴当,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若函数(sin )y f x =存在零点，求实数a 的取值范围并讨论零点个数； ⑵当0a =时，若对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使12()()f x g x =成立，求实数m 的取值范围.21．（本小题满分14分）已知函数2()ln f x a x x =-. （1）当2a =时，求函数()y f x =在1[,2]2上的最大值；（2）令()()g x f x ax =+，若()y g x =在区间(0,3)上不单调，求a 的取值范围；（3）当2a =时，函数()()h x f x mx =-的图象与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<，又()h x '是()h x 的导函数.若正常数,αβ满足条件1,αββα+=≥.证明：12()0h x x αβ'+<.石室中学高2014届一诊模拟考试(二)数学理科答案题号 1 2 3 4 5 6 7 89 10二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 34-； 12. 13 ；13. 259；14. 2) ； 15. 11{0,,}88- .三、解答题：本大题共6小题，共75分．16. (本小题满分12分)解：m x x x x f ++=cos sin 32cos 2)(2m x x +++=2sin 32cos 11)62sin(2+++=m x π………………………4分∴函数)(x f 的最小正周期T=π。
7 四川省成都市2014届高中毕业班第一次诊断性检测数学(理)试题
成都市2014届高中毕业班第一次诊断性检测数学（理工类）本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
礼答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
第工卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.已知集合}3,2{-=A ，}1ln |{>=x x B ，则AB=（ ）(A ）｛-2｝ (B)｛3｝ （C)｛-2，3｝ （D ）∅ 答案 B解析 由 1ln >x ，e x >∴，∴}3{=B A .2.若复数z 满足5)21(=-i z (i 为虚数单位），则复数z 为（ ）(A)1255i + (B)i 21+ (C) i 21- (D)1255i- 答案 B解析 )R ,(∈+=b a bi a z ，5)21)((=-+∴i bi a ，⎩⎨⎧=-=+∴0252a b b a ，解得⎩⎨⎧==21b a ，i z 21+=∴.3.计算21545log -+所得的结果为（ ）(A)1 (B) 52 (C) 72 (D) 4答案 A解析 原式12121=+=.4. 在等差数列}{n a 中，158=a ，则=+++15971a a a a （ ）(A) 15 (B)30 (C) 45 (D)60答案 D 解析 数列}{n a 是等差数列，158=a ，601544815971=⨯==+++a a a a a .5.已知m ，n 是两条不同的直线，α为平面，则下列命题正确的是： (A)若m ∥α，n ∥α，则m ∥n (B)若m ⊥α，n ⊥α．则m ⊥n (C)若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n(D)若m 与α相交，n 与α相交，则m ，n 一定不相交（ ） 答案 C解析 对(A)直线m 、n 还可能相交或异面；故 (A)是假命题； 对 (B)垂直于同一个平面的两条直线平行，故 (B)时假命题； 对 (C)真命题；对 (D)直线m 、n 可能相交、平行或异面. 故真命题是(C).6.如图，在平面直角坐标系xoy 中，角βα,的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ,B 两点,若点A ,B 的坐标为)54,53(和)53,54(-，则)cos(βα+的值为( )(A) 2524-(B)257-(C)0 (D)2524答案 A解析 依题意，53cos =α，54sin =α，54cos -=β，53sin =β， 25245354)54(53sin sin cos cos )cos(-=⨯--⨯=-=+∴βαβαβα.7、世界华商大会的某分会场有A ，B ，C ，将甲，乙，丙，丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲，乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数（ ）（A ）12种 （B ）10种 （C ）8种 （D ） 6种 答案 D解析 把甲乙看作一人再与丙丁分到三个展台有633=A 种方法. 8一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如下图所示（单位：cm)，则该几何体的体积为（ ）(A) 120 3cm (B)80 3cm (C)1003cm (D)60 3cm答案 C解析 意图以，原几何体的体积1006542131654-=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯==三棱锥长方体V V V 3cm . 9.如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的ABC ∆的直观图C B A '''∆，其中y B A '''//轴，x C B '''//轴．若3=''=''C B B A ，设ABC ∆的面积为S ，C B A '''∆的面积为S '，记S k S '=，执行如图②的框图，则输出T 的值（ ）(A) 12 (B) 10 (C) 9 (D) 6答案 A解析 在直观图C B A '''∆中，3=''=''C B B A ，42945sin 21=⋅''⋅''⋅='∴ C B B A S ， 由斜二侧画法的画图法则，可得在ABC ∆中，6=AB ，3=BC ，且BC AB ⊥，9362121=⨯⨯=⋅⋅=∴BC AB S ，由S k S '=得22=k ，则)1(2)1(22-=-=m m k T ，故执行循环前，9=S ，22=k ，0=T ，1=m ，满足循环的条件，执行循环体后0=T ，2=m ，当0=T ，2=m ，满足循环条件，执行循环体后2=T ，3=m ； 当2=T ，3=m ，满足循环条件，执行循环体后6=T ，4=m ； 当6=T ，4=m ，满足循环条件，执行循环体后12=T ，5=m ； 当12=T ，5=m ，不满足循环条件，退出循环体后12=T . 故输出的结果为12.10.已知1|1||2|2)(+--=x x f 和)R (||2)(2∈+-=x m x x x g 是定义在R 上的两个函数，则下列命题正确的的是（ ）（A ）关于x 的方程0)(=-k x f 恰有四个不相等的实数根的充要条件是)0,1(-∈k （B ）关于x 的方程)()(x g x f =恰有四个不相等的实数根的充要条件是]1,0[∈k （C ）当1=m 时，对]0,1[1-∈∀x ，]0,1[2-∈∃x ，)()(21x g x f <成立 （D ）若]1,1[1-∈∃x ，]1,1[2-∈x ，)()(21x g x f <成立，则),1(+∞-∈m 答案 D解析 函数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>+-≤<-≤≤----<+=+--=21,34210,14021,1421,341|1||2|2)(x x x x x x x x x x f 的图象如图所示，故函数)(x f 的图象关于直线0=x 对称，即①正确；由图象知，关于x 的方程)()(x g x f =恰有四个不相等的实数根的充要条件是]1,0[∈k ，故②正确；当1=m 时，1||2)(2+-=x x x g ，]0,1[-∈x 时，1)21()(=-=f x f Max ，]0,1[-∈x 时，]1,0[121||2)(22∈++=+-=x x x x x g ， 故211-=x 时，不存在]0,1[2-∈x ，使得)()(21x g x f <成立，故③错误；]1,1[-∈x 时，],1[)1(12||2)(22m m m x x m x x x g -∈-+++=+-=，若]1,1[1-∈∃x ，]1,1[2-∈∃x ，)()(21x g x f <成立，则1->m ，故④正确. 故正确的命题是D.第II 卷（非选择题，共 100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 若1)1()(2+-+=x a x x f 是R 上的偶函数，则实数=a . 答案 1解析 依题意，021=--a ，即1=a .12. 已知6622106)21(x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=+，则=+⋅⋅⋅+++6210a a a a . 答案 729（或63）解析 令1=x ，则729366210==+⋅⋅⋅+++a a a a . 13、设1x ，2x 是函数x a ax x x f 2232)(+-=的两个极值点，若212x x <<，则实数a 的 取值范围是 . 答案 )6,2(解析 ))(3(23)(22a x a x a ax x x f --=+-=' ，令0)(='x f ，即3ax =或a ，要函数)(x f 有两个极值点，212x x <<，则⎪⎩⎪⎨⎧<>232a a ，62<<∴a ，故实数a 的取值范围是)6,2(.14. 已知]2,2[ππα-∈，则212cos ≥α的概率为 .答案 31解析 由]2,2[ππα-∈，则212cos ≥α，∴66παπ≤≤-，由几何概型公式，所求的概率31)2(2)6(6=----=ππππP .15.设⊙O 为不等边ABC ∆的外接圆，ABC ∆内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ,b ,c ，p是ABC ∆所在平面内的一点，且满足2b cb bc -+∙=∙（P 与A 不重合），Q 为ABC ∆所在平面外一点，QC QB QA ==.有下列命题：①若QP QA =，90=∠BAC ，则点Q 在平面ABC 上的射影恰在直线AP 上；②若QP QA =，则PC QP PB QP ∙=∙；③若QP QA >， 90=∠BAC ，则AC ABCP BP =；④若若QP QA >，则P 在ABC ∆内部的概率为OABCS S 圆∆（ABC S ∆、O S 圆分别表示ABC ∆与圆O 的面积）.其中不正确的命题有 （写出所有不正确命题的序号）． 答案 ①③④解析 2PA b c b PC PA b c PB PA -+∙=∙,∴)(22PA PC PA b cPA PB PA -∙=-∙,AC PA b c AB PA ∙=∙∴，PAC b PA b cPAB c PA ∠⋅⋅⋅=∠⋅⋅∴cos ||cos ||，PAC PAB ∠=∠∴，即AP 是BAC ∠的平分线，QC QB QA == ，Q ∴在平面ABC 上的射影是ABC ∆的外心O ，90=∠BAC ，ABC ∆是不等边三角形，∴点Q 在平面ABC 上的射影恰在直线AP 上不正确，故①错误；QP QA = ，P ∴为BC 弧的中点，BC OP ⊥∴， OP 是QP 在平面ABC 上的射影，BC QP ⊥∴，∙=∙∴，故②正确；由于QP QA >，则点P 在圆内， 60=∠BAC ，则BC 为直径，若AC ABCP BP =，则AP 为BPC ∠的角平分线，且AP 经过点O ，与ABC ∆是不等边三角形矛盾，故③不正确；若QP QA >，AP 是BAC ∠的平分线，P ∴在ABC ∆内部的概率应该为长度的测度，故④不正确.故不正确的为 ①③④.三、解答题：本大题6小题，共75分.16.（本题满分12分）已知向量)4cos ,4cos 3(2x x =，)2,4sin 2(x=，设函数x f ∙=)(.（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且13)32(+=-πB f ，3=a ，33=b ，求A 的大小.解析 （Ⅰ） b a x f ∙=)(，1)62sin(212cos 2sin 24cos 24cos 4sin 32)(2++=++=+=∴πx x x x x x x f ，又||2ωπ=T ，π4=∴T . （5分）（Ⅱ）131sin 2)32(+=+=-B B f π ，23sin =∴B ， （8分)由正弦定理，可得B b A a sin sin =，即b Ba A sin sin =，又3=a ，33=b ， 2133333sin =⨯=∴A ，由题意知A 识锐角，6π=∴A . (12分）17. （本题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*+∈-=N ,221n S n n .（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列}{b b 满足n nn a S b =，求数列}{n b 的前n 项和n T .解析 （Ⅰ）当2≥x 时，1--=n n n S S a ，n n a 2=∴，*∈≥N ,2n n ， 又当1=n 时，211==S a ，*∈=∴N ,2n a n n . (6分）（Ⅱ）)211(22)12(2nn n n b -=-=，)211(2)211(2)211(2)211(232321n n n b b b b T -+⋅⋅⋅+-+-+-=+⋅⋅⋅+++=∴ 2212)]211([2)]21212121([2132-+=---=+⋅⋅⋅+++-=-n n n n n n . （12分）（本题满分12分）某种特色水果每年的上式时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间.上式初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下跌，后期价格在原价格基础上继续下跌.现有三种价格变化的模拟函数可选择：①x q p x f ⋅=)(；②7)(2++=qx px x f ；③)(log )(p x x f q +=，其中q p ,均为常数且1>q （注：x 表示上式时间，)(x f 表示价格，记0=x 表示4月1号，1=x 表示5月1号，⋅⋅⋅，依次类推，]5,0[∈x ）.（Ⅰ）在上述三种价格模拟函数中，哪个更能体现该种水果的价格变动态势，请你选择，并简要说明理由；（Ⅱ）对（Ⅰ）所选的函数)(x f ，若11)2(=f ，10)3(=f ，记1132)()(+--=x x x f x g ，经过多年的统计发现，当函数)(x g 取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？解析 （Ⅰ）根据题意，该种水果的价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减，基本符合开口向下的二次函数的变化趋势，故应选择②7)(2++=qx px x f ， （4分）（Ⅱ）由11)2(=f ，10)3(=f ，代入7)(2++=qx px x f 得⎩⎨⎧=++=++1073911724q p q p ，解得⎩⎨⎧=-=41q p ，即74)(2++-=x x x f ，1621132)()(2++--=+--=∴x x x x x x f x g ， （8分) 2]4)1(19[)(-≤-+++-=∴x x x g ，当且仅当31=+x 即2=x 时取等号.故明年拓展外销的事件应为6月1号. (12分） （本题满分12分）如图①，四边形ABCD 为等腰梯形，DC AE ⊥，DC AE AB 31==，F 为EC 的中点，先将DAE ∆沿AE 翻折到PAE ∆的位置，如图②，且平面⊥PAE 平面ABCD .（Ⅰ）求证：平面⊥PAF 平面PBE ； （Ⅱ）求直线PF 与平面PBC 所成角的正弦值.解析 （Ⅰ）AB EF // 且ABCD EF ==31，∴四边形AEFB 为平行四边形，又AB AE = 且EC AE ⊥，∴四边形AEFB 为正方形，BE AF ⊥∴. （3分）平面⊥PAE 平面ABCE ，又AE PE ⊥，平面 PAE 平面AE ABCE =，⊥∴PE 平面ABCE ，AE PE ⊥∴，又E PE BE = ，∴平面⊥PAF 平面PBE . (6分）（Ⅱ）以E 为坐标原点，EC 、EA 、EP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图的空间直角坐标系xyz E -，设4=AB ，易知)4,0,0(P ，)0,4,0(A ，)0,4,4(B ，)0,0,8(C ，)0,0,4(F ，)4,0,4(-=∴PF ，)0,4,4(-=BC ，)4,4,4(-=PB ， （8分)设),,(z y x n =为平面PBC 的一个法向量，⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙∴00PB n ，∴⎩⎨⎧=-∙=-∙0)4,4,4(),,(0)0,4,4(),,(z y x z y x ， 即⎩⎨⎧=-+=-0444044z y x y x ，令1=x ，∴)2,1,1(=， 63|211)4(4)2,1,1()4,0,4(|||||||sin 22222=++⋅-+∙-=⋅=n PF α ，∴直线PF 与平面PBC 所成角的正弦值为63. （12分）20.（本题满分13分）我国采用的5.2PM 的标准为：日均值在35微克/立方米以下的空气为一级；在35微克/立方米-75微克/立方米之间的空气质量为二级；75微克/立方米以上的空气质量为超标.某城市环保部门随即抽取该市m 天的5.2PM 日均值，发现其茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下图所示：请据此解答如下问题：（Ⅰ）求m 的值，并分别计算：频率分布直直方图中的)95,75[和)115,95[这两个矩形的高；（Ⅱ）通过频率分布直方图估计这m 天的5.2PM 日均值的中位数（结果保留分数形（Ⅲ）从这m 天的5.2PM 日均值中随机抽取2天，记X 表示抽到的5.2PM 超标天数，求X 的分布列和数学期望.解析 （Ⅰ）200025.01⨯=m，20=∴m ，易知矩形)95,75[的高为0225.04009=，矩形]115,95[的高为01.0. （5分)（Ⅱ）其中位数为328132075=+. （8分）（Ⅲ）10021)0(22023===C C X P ，10091)1(22011313===C C C X P ，10039)2(220213===C C X P ，X ∴的分布列为：1013100393100912100211)(=⨯+⨯+⨯=∴X E . （13分）21.（本题满分14分）已知函数)1ln()(+=x a x f ，R ,21)(2∈-=a x x x g . （Ⅰ）若1-=a ，求曲线)(x f y =在3=x 出的切线方程；（Ⅱ）若对任意的),0[+∞∈x 都有)()(x g x f ≥恒成立，求a 的最小值；（Ⅲ）设)1()(-=x f x P ，0>a ，若),(11y x A ，),(22y x B 为曲线)(x P y =上的两个不同点满足210x x <<，且),(213x x x ∈，使得曲线)(x f y =在0x 处的切线与直线AB 平行，求证2213x x x +<.解析 （Ⅰ）41)3(-='=f k ，)3(212ln 2--=+∴x y ，2ln 24341-+-=∴x y .（Ⅱ）由221)1ln(x x x a -≥+恒成立等价于021)1ln(2≥+-+x x x a 恒成立， 令221)1ln()(x x x a x h +-+=，0≥x ，)0(1111)(2≥+-+=+-+='∴x x a x x x a x h ，①若1≥a ，则0)(≥'x h 恒成立.∴函数)(x h 在),0[+∞上是增函数，)0()(h x h ≥∴恒成立，又0)0(=h ，1≥∴a 符合条件.②若1<a ，由0)(='x h 可得a x -=12，解得a x -=1或a x --=1（舍去）， 当)1,0(a x -∈时，0)(<'x h ；当),1(+∞-∈a x 时，0)(>'x h ，)1()(a h x h -=∴最小值，0)1()1(=<-∴h a h ，这与0)(≥x h 恒成立矛盾. 综上所述，1≥a ，a 的最小值为1. （9分）（Ⅲ）x a a f x P ln )()(=-=，1212ln ln x x x a x a k AB --=， 又x a x P =')( ，33)(x a x P ='∴，∴31212ln ln x ax x x a x a =--， 由x ax P =')( ，易知其定义域内为单调减函数， 欲证2213x x x +<，即证明)2()(213x x P x P +'>'，即证明2112122ln ln x x a x x x a x a +=--，变形可得12122112121)1(2)(2x x xx x x x x x x +-=+->，令tx x =12，1>t ， 则1)1(2ln +->t t t 等价于)1(2ln )1(->+t t t ，构造函数)1(2ln )1()(--+=t t t x q ，1>t ， 则1,11ln )(>-+='t t t x q ，令1,11ln )(>-+=t t t t r ，当1>t 时，0111)(22>-=-='t t t t t r ，)(t q '∴在),1(+∞上为单调增函数，0)1()(='>'q t q ，0)1()(=>∴q t q ，0)(>∴t q 在),1(+∞上恒成立， )1(2ln )1(->+∴t t t 成立，∴2213x x x +<. （14分）。
成都市2014届高中毕业班摸底考试数学试题(理科)参考答案及评分意见 word版
成都市2011级高中毕业班摸底测试数学（理工类）参考答案及评分意见第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（每小题5分，共50分）1．D ； 2．C ； 3．B ；4．A ；5．D ；6．B ；7．C ；8．A ；9．D ；10．C ．第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 11．1； 1213．9； 14．2437； 15．①②④． 三、解答题（本大题共6个小题,共75分） 16．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ．∵12a =，且2a 是1a 、4a 的等比中项，∴2(2)2(23)d d +=+． ……………………………………………………2分 解得2d =或0d =（不合题意，舍去）．∴2d =． …………………………………………………………………4分 ∴1(1)2n a a n d n =+-=．即数列{}n a 的通项公式为.2n a n = ………………………………6分（Ⅱ）由题意，得2(22)2n n n S n n +==+． ……………………7分 ∴211111(1)1n S n n n n n n ===-+++． …………………………9分 ∴1231111+n nT S S S S =+++1111111(1)()()()223341n n =-+-+-++-+ 111n =-+． …………………………………………………11分∵*n ∈N ，∴1n T <． …………………………………………………………12分17．解：（Ⅰ）1cos sin 32cos 2)(2-+=x x x x f ………………………………………1分 x x 2sin 32cos += ……………………………………………………2分 )2sin 232cos 21(2x x +=2sin(2)6x π=+． ………………………………………………………4分由222()26236k x k k x k k ππππππ-≤+≤π+⇒π-≤≤π+∈Z ．∴函数)(x f 的单调递增区间为,()36k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z .……………………6分（Ⅱ）∵()2sin()226C f C π=+=，∴sin()16C π+=． ………………………7分又0C <<π， ∴7666C πππ<+<． ∴62C ππ+=． ∴3C π=． …………………………………………………9分又由cos cos a B b A =，即sin()0A B -=，又2233A B ππ-<-<∴A B =． …………………………… 11分 ∴ △ABC 为等边三角形． ………………………………………12分 （说明：本题也可由余弦定理得到a b =）18．解：（Ⅰ）由甲组技工在单位时间内加工的合格零件平均数=x 甲1(78101210)105m +++++=，解得3m =． ……………………2分由乙组技工在单位时间内加工的合格零件平均数=x 乙1(9101112)105n ++++=，解得8n =．……………………………4分 （Ⅱ）甲组的方差2222221=[(710)(810)(1010)(1210)(1310)] 5.25s -+-+-+-+-=甲．…5分乙组的方差2222221=[(810)(910)(1010)(1110)(1210)]25s -+-+-+-+-=乙．……6分∵=x x 甲乙，22ss >甲乙，…………………………………………………………7分∴两组技工水平基本相当，乙组更稳定些．……………………………………8分 （Ⅲ）从甲、乙两组中各随机抽取一名技工，加工的合格零件个数包含的基本事件为 （7,8），（7,9），（7,10），（7,11），（7,12）， （8,8），（8,9），（8,10），（8,11），（8,12）， （10,8），（10,9），（10,10），（10,11），（10,12）， （12,8），（12,9），（12,10），（12,11），（12,12）， （13,8），（13,9），（13,10），（13,11），（13,12）．∴基本事件总数有25个． ………………………………………………………10分 若记车间“质量合格”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为（7,8），（7,9），（7,10），（8,8），（8,9），共5个．……11分∴51()255P A ==． ∴14()155P A =-=．即该车间“质量合格”的概率为45．………………………………………………12分 19．解：(Ⅰ)连结AC ，设AC BD F = ． ∵ABCD 为正方形，F 为AC 中点，E 为PC∴在CPA ∆中，EF //PA .……………………2分而PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴//EF 平面PAD ． ……………………………4 19．解：(Ⅰ)连结AC ，设AC BD F = ． ∵ABCD 为正方形，F 为AC 中点，E 为PC ∴在CPA ∆中，EF //PA .……………………2分而PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，∴//EF 平面PAD ． ……………………………4分 (Ⅱ)如图,取AD 的中点O , 连结OP ,OF . ∵PA PD =, ∴PO AD ⊥.∵侧面PAD ⊥底面ABCD ,面PAD 面ABCD AD =,∴PO ⊥平面ABCD ．易知,,OA OF OP 三线两两垂直．分别以,,OA OF OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -如图所示…6分 则有(1,0,0)A ,(1,0,0)D -,(0,0,1)P ，(1,1,0)G∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且CD AD ⊥，则CD ⊥平面PAD ． ∴CD PA ⊥在PAD ∆中，∵PA PD ==2AD =，∴222PA PD AD +=，∴PA PD ⊥．且PD CD D = ，∴PA ⊥面PDC ．∴平面PDC 的一个法向量为(1,0,1)PA =-.……………………………………8分 设平面PGD 的一个法向量为(,,)x y z =n .且(1,0,1),(2,1,0)DP GD ==--.由0DP DG ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩ n n 020x z x y +=⎧⎨--=⎩．令2y =-,则1,1x z ==-．∴(1,2,1)=--n ． ………………………………………………10分∵cos ,PA PA PA⋅<>===n n n ∴二面角C PD G --……………………………………………12分C20．解：（Ⅰ）设动点B (,)x y ．当2x ≠±时，由条件可得12222222BA BA y y y k k m x x x ⋅=⋅==+--． 即224(2)mx y m x -=≠±． ……………………………………………3分又1(2,0)A -、2(2,0)A 的坐标满足224mx y m -=．∴曲线C 的方程为224mx y m -=．当1m <-时，曲线C 的方程为22144x y m+=-，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆；…4分当1m =-时，曲线C 的方程为224x y +=，曲线C 是圆心在原点的圆； ………5分 当10m -<<时，曲线C 的方程为22144x y m+=-，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆．……6分（Ⅱ）由（Ⅰ），知曲线C 的方程为22143x y +=． ………………………7分 依题意，直线1l 的方程为(1)y k x =-．由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ．则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+.∴ 弦MN 的中点为22243(,)3434k kP k k-++. ∴MN === 2212(1)43k k +=+. …………………………………………………………9分直线2l 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++． 由0y =，得2243k x k =+．则22(,0)43k D k +．∴PQ =． …………………………………………………10分∴224312(1)43PQ k k MN k +==++=． ………………………11分 又∵211k +>，∴21011k <<+.∴104<.∴PQ MN的取值范围是1(0,)4． …………………………13分21．解：（Ⅰ）当1a =时，2()(21)e x f x x x =-+．……………………………………1分 ∴22()(22)e (21)e (1)e x x x f x x x x x '=-+-+=-． ………………………2分 令()0f x '=，得1x =±． ………………………………………………3分 当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：∴()=f x 极大值(1)ef -=；()=f x 极小值(1)0f =． ………………………5分 （Ⅱ）2()[2(1)]e [(1)1]e x x f x ax a ax a x '=-++-++2[(1)]e x ax a x a =+--． ………………………………6分 由函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则()0f x '≤对[0,1]x ∈恒成立．即2(1)0ax a x a +--≤对[0,1]x ∈恒成立． …………………………………………7分 令2()(1)g x ax a x a =+--，[0,1]x ∈ ①当0a =时，()0g x x =-≤对一切[0,1]x ∈恒成立．∴0a =，符合题意． ………………………………………………8分②当0a >时，∵函数2()(1)g x ax a x a =+--过点(0,)a -，∴要使()0g x ≤对一切[0,1]x ∈恒成立，则(1)0g ≤，即1a ≤．此时，01a <≤． ……………………………………………9分 ③当0a <时，∵函数2()(1)g x ax a x a =+--过点(0,)a -，且函数()y g x =开口向下．∴此时()0g x ≤在[]0,1上不可能恒成立．∴0a <不符合题意，舍去． ……………………………………………10分 综上，若函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则a 的取值范围[0,1]．……………11分（Ⅲ）由（Ⅰ），知当1a =时，2()(1)e x f x x =-，2()(1)e x f x x '=-．假设当1x >时，存在[,]m n 使()f x 在[,]a b 上的值域也是[,]m n ， 由1x >时，()0f x '>，∴()f x 单调递增．故有()()f m m f n n =⎧⎨=⎩，即22(1)(1)mnm e mn e n⎧-=⎪⎨-=⎪⎩． 也就是说，方程2(1)e x x x -=有两个大于1的不等实根． …………………………12分 设2()(1)e x x x x ϕ=-- (1)x >，则2()(1)e 1x x x ϕ'=--． 再设2()(1)e 1x k x x =--(1)x >，则2()e (21)x k x x x '=+-． 当1x >时，()0k x '>，即()k x 在(1,)+∞单调递增． 又(1)10k =-<，2(2)3e 10k =->．因此在(1,2)上存在唯一0x ，使得0()0k x =，即存在唯一0x ，使得0()0x ϕ'=．(),()x x ϕϕ'随x 的变化如下表由上表可知，0()(1)10x ϕϕ<=-<又2(2)e 20ϕ=->，故()y x ϕ=因此()x ϕ在(1,)+∞只能有一个零点． 这与()0x ϕ=有两个大于1的不等实根相矛盾．∴不存在区间[,]m n 满足题意． ……………………………………14分 （说明：第（Ⅲ）问也可转化为求()y f x =与y x =的图象的交点个数，但需验证存在01x >，满足00()f x x >）。
成都市 届高中毕业班第一次诊断性检测数学 理科 试卷和参考答案
(II)由f(x)＜０,得 (x ＋１)a ＞xln(x ＋１)＋ １ ２x ＋２．
当x
≥ ０ 时 ,上 式 等 价 于a
＞
xln(x
＋１)＋
１ ２x
x ＋１
＋２
．
������ ������ ������ ������５ 分
xln(x 令h(x)＝
∴g′(x)＝ln(x ＋１)＋２－a ．
������ ������ ������ ������１ 分
∴ 当２－a ≥０,即a ≤２时,g′(x)＞０对x ∈ (０,＋ ∞)恒成立．
此时,g(x)的单调递增区间为 (０,＋ ∞),无单调递减区间．
������ ������ ������ ������２ 分
������ ������ ������ ������１ 分
∴PD ⊥ 平面 PEF ．
������ ������ ������ ������３ 分
在图１中,∵E,F 分别是AB,BC 的中点,∴EF ∥ AC ．∴GB ＝２GH ．
又 ∵G 为BD 的中点,∴DG ＝２GH ．
在图
２
中 ,∵
PR RH
∴ 甲、乙两校的合格率均为９６％．
������ ������ ������ ������５ 分
(II)样本中甲校 C 等级的学生人数为０．０１２×１０×５０＝６．
而乙校 C 等级的学生人数为４．
∴ 随机抽取３人中,甲校学生人数 X 的可能取值为０,１,２,３．
∴P(X
＝０)＝CC３１３４０
１ ＝３０
则
x１
＋x２
１０k２ ＝４＋５k２
,x１x２
成都14毕业班摸底测试理科
成都市2014届高中毕业班摸底测试数学(理工类) 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{1,2}A =，{}2,4B =，则AB =(A){}1 (B){}4 (C){}1,4 (D){}1,2,42．已知向量(1,2)λ=+a ，(1,2)=-b ．若a 与b 共线，则实数λ的值为 (A)3 (B)2 (C)2- (D)3- 4．已知tan 3α=，则2cos sin cos ααα+的值为(A)1- (B)12(C)1 (D)2 4．命题“2,10x R x x ∃∈-+<”的否定是 (A)2,10x R x x ∀∈-+≥ (B)2,10x R x x ∀∈-+>(C)2,10x R x x ∃∈-+≥ (D)2,10x R x x ∃∈-+>5．如图是一个几何体的三视图如图所示(单位：cm), 则这个几何体的表面积是(A)2(4+ (B)2(6+(C)2(6 (D)2(7+6．对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是 (A)m n ⊥，//n α (B)//m n ，n ⊥α (C)m n ⊥，n ⊂α (D)//m β，⊥βα7．已知函数1()(2)()2f x x x =--的图象与x 轴的交点分别为(,0)a 和(,0)b ，则函数()x g x a b =-的图象可能为(A) (B) (C) (D)8．已知22log 5log x =-5log 3y =，125z -=，则下列关系正确的是 (A)z y x << (B)z x y << (C)x y z << (D)y z x <<9．某企业拟生产甲、乙两种产品，已知每件甲产品的利润为3万元，每件乙产品的利润为2万元，且甲、乙两种产品都需要在A 、B 两种设备上加工．在每台设备A 、每台设备B 上加工1件甲产品所需工时分别为1h 和2h ，加工1件乙产品所需工时分别为2h 和1h ，A 设备每天使用时间不超过4h ，B 设备每天使用时间不超过5h ，则通过合理安排生产计划，该企业在一天内的最大利润是(A)18万元 (B)12万元 (C)10万元 (D)8万元10．已知定义在R 上的偶函数()g x 满足：当0x ≠时，()0xg x '<(其中()g x '为函数()g x 的导函数)；定义在R 上的奇函数()f x 满足：()2()f x f x +=-，在区间[]0,1上为单调递增函数，且函数()y f x =在5x =-处的切线方程为6y =-．若关于x 的不等式()()24g f x g a a ≥-+⎡⎤⎣⎦对[]6,10x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是(A)23a -≤≤ (B)12a -≤≤ (C)1a ≤-或2a ≥ (D)2a ≤-或3a ≥第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5题,每小题5分,共25分．答案填在答题卡上． 11．设函数()ln 23f x x x =-+，则((1))f f =___________．12．若正方体的棱长为2，则该正方体的外接球的半径为___________．13．若直线22=0ax by -+(其中,a b 为正实数)经过圆22:2410C x y x y ++-+=的圆心，则41a b+的最小值为___________．14．如图是某算法的程序框图，若任意输入1,192⎡⎤⎢⎥⎣⎦中的实数x ，则输出的x 大于49的概率为___________．15．对抛物线:C y x 42=，有下列命题；①设直线1:+=kx y l ，则直线l 被抛物线C 所截得的最短弦长为4；②已知直线1:+=kx y l 交抛物线C 于,A B 两点，则以AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切；③过点(2,)P t (t R ∈)与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或3条； ④若抛物线C 的焦点为F ，抛物线上一点(2,1)Q 和抛物线内一点(2,)R m (1)m >，过点Q 作抛物线的切线1l ，直线2l 过点Q 且与1l 垂直，则2l 平分RQF ∠； 其中你认为是真命题的所有命题的序号是___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知向量(2cos ,2sin )=m x x ，(cos )=n x x ，设()=f x 1⋅-m n ． (Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()22C f =，且c o s c o s a B b A =， 试判断△ABC 的形状．18．(本小题满分12分)某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示．已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为10．(Ⅰ)分别求出m ，n 的值；(Ⅱ)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差2s 甲和2s 乙，并由此分析两组技工的加工水平；(Ⅲ)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．(注：方差2222121=[()()()]n s x x x x x x n-+-+-+，其中x 为数据12,,,n x x x 的平均数)19．(本小题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面A B C D，且P A P ==E 、F 分别为PC 、BD 的中点．(Ⅰ) 求证：EF //平面PAD ；(Ⅱ) 若G 为线段AB 的中点，求二面角C PD G--的余弦值．20．(本小题满分13分)记平面内与两定点1(2,0)A -，2(2,0)A 连线的斜率之积等于常数m (其中0m <)的动点B 的轨迹，加上1A ，2A 两点所构成的曲线为C ．P FEDCBAG(Ⅰ) 求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 的值的关系；(Ⅱ) 当34m =-时，过点F (1,0)且斜率为k (0)k ≠的直线1l 交曲线C 于,M N 两点，若弦MN 的中点为P ，过点P 作直线2l 交x 轴于点Q ，且满足0MN PQ ⋅=．试求PQMN的取值范围．21.(本小题满分14分)已知函数2()[(1)1],xf x ax a x e a R =-++∈． (Ⅰ)若1a =，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)若函数()f x 在区间[0,1]上单调递减，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，是否存在区间[,](1)m n m >使函数()f x 在[,]m n 上的值域也是[,]m n ？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由．成都市2011级高中毕业班摸底测试 数学(理工类)参考答案及评分意见第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．D ； 2．C ； 3．B ；4．A ；5．D ；6．B ；7．C ；8．A ；9．D ；10．C ．第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分) 11．1； 1213．9； 14．2437； 15．①②④． 三、解答题(本大题共6个小题,共75分) 16．解：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ．∵12a =，且2a 是1a 、4a 的等比中项，∴2(2)2(23)d d +=+． ……………………………………………………2分 解得2d =或0d =(不合题意，舍去)．∴2d =． …………………………………………………………………4分 ∴1(1)2n a a n d n =+-=．即数列{}n a 的通项公式为.2n a n = ………………………………6分(Ⅱ)由题意，得2(22)2n n n S n n +==+． ……………………7分 ∴211111(1)1n S n n n n n n ===-+++． …………………………9分 ∴1231111+n nT S S S S =+++ 1111111(1)()()()223341n n =-+-+-++-+111n =-+． …………………………………………………11分∵*n ∈N ，∴1n T <． …………………………………………………………12分17．解：(Ⅰ)1cos sin 32cos 2)(2-+=x x x x f ………………………………………1分x x 2sin 32cos += ……………………………………………………2分 )2sin 232cos 21(2x x += 2sin(2)6x π=+． ………………………………………………………4分由222()26236k x k k x k k ππππππ-≤+≤π+⇒π-≤≤π+∈Z ． ∴函数)(x f 的单调递增区间为,()36k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z .……………………6分(Ⅱ)∵()2sin()226C f C π=+=，∴sin()16C π+=． ………………………7分又0C <<π， ∴7666C πππ<+<． ∴62C ππ+=． ∴3C π=． …………………………………………………9分又由cos cos a B b A =，即sin()0A B -=，又2233A B ππ-<-<∴A B =． …………………………… 11分 ∴ △ABC 为等边三角形． ………………………………………12分 (说明：本题也可由余弦定理得到a b =)18．解：(Ⅰ)由甲组技工在单位时间内加工的合格零件平均数=x 甲1(78101210)105m +++++=，解得3m =． ……………………2分由乙组技工在单位时间内加工的合格零件平均数=x 乙1(9101112)105n ++++=，解得8n =．……………………………4分 (Ⅱ)甲组的方差2222221=[(710)(810)(1010)(1210)(1310)] 5.25s -+-+-+-+-=甲．…5分乙组的方差2222221=[(810)(910)(1010)(1110)(1210)]25s -+-+-+-+-=乙．……6分∵=x x 甲乙，22ss >甲乙，…………………………………………………………7分∴两组技工水平基本相当，乙组更稳定些．……………………………………8分 (Ⅲ)从甲、乙两组中各随机抽取一名技工，加工的合格零件个数包含的基本事件为 (7,8)，(7,9)，(7,10)，(7,11)，(7,12)， (8,8)，(8,9)，(8,10)，(8,11)，(8,12)，(10,8)，(10,9)，(10,10)，(10,11)，(10,12)， (12,8)，(12,9)，(12,10)，(12,11)，(12,12)， (13,8)，(13,9)，(13,10)，(13,11)，(13,12)．∴基本事件总数有25个． ………………………………………………………10分 若记车间“质量合格”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,8)，(8,9)，共5个．……11分∴51()255P A ==． ∴14()155P A =-=．即该车间“质量合格”的概率为45．………………………………………………12分 19．解：(Ⅰ)连结AC ，设AC BD F =． ∵ABCD 为正方形，F 为AC 中点，E 为PC∴在CPA ∆中，EF //PA .……………………2分 而PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴//EF 平面PAD ． ……………………………4 19．解：(Ⅰ)连结AC ，设AC BD F =． ∵ABCD 为正方形，F 为AC 中点，E 为PC ∴在CPA ∆中，EF //PA .……………………2分 而PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，∴//EF 平面PAD ． ……………………………4分 (Ⅱ)如图,取AD 的中点O , 连结OP ,OF . ∵PA PD =, ∴PO AD ⊥.∵侧面PAD ⊥底面ABCD ,面PAD 面ABCD AD =,∴PO ⊥平面ABCD ．易知,,OA OF OP 三线两两垂直．分别以,,OA OF OP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -如图所示…6分 则有(1,0,0)A ,(1,0,0)D -,(0,0,1)P ，(1,1,0)G∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且CD AD ⊥，则CD ⊥平面PAD ． ∴CD PA ⊥在PAD ∆中，∵PA PD ==2AD =，∴222PA PD AD +=，∴PA PD ⊥． 且PDCD D =，∴PA ⊥面PDC ．∴平面PDC 的一个法向量为(1,0,1)PA =-.……………………………………8分 设平面PGD 的一个法向量为(,,)x y z =n .且(1,0,1),(2,1,0)DP GD ==--.由0DP DG ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩n n 020x z x y +=⎧⎨--=⎩． 令2y =-,则1,1x z ==-．∴(1,2,1)=--n ． ………………………………………………10分 ∵cos ,2PA PA PA⋅<>===n n n ∴二面角C PD G --……………………………………………12分 C20．解：(Ⅰ)设动点B (,)x y ．当2x ≠±时，由条件可得12222222BA BA y y y k k m x x x ⋅=⋅==+--． 即224(2)mx y m x -=≠±． ……………………………………………3分 又1(2,0)A -、2(2,0)A 的坐标满足224mx y m -=． ∴曲线C 的方程为224mx y m -=．当1m <-时，曲线C 的方程为22144x y m +=-，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆；…4分 当1m =-时，曲线C 的方程为224x y +=，曲线C 是圆心在原点的圆； ………5分 当10m -<<时，曲线C 的方程为22144x y m+=-，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆． ……6分(Ⅱ)由(Ⅰ)，知曲线C 的方程为22143x y +=． ………………………7分 依题意，直线1l 的方程为(1)y k x =-．由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ．则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+.∴ 弦MN 的中点为22243(,)3434k kP k k -++. ∴MN ===2212(1)43k k +=+. …………………………………………………………9分 直线2l 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++． 由0y =，得2243k x k =+．则22(,0)43k D k +．∴PQ = …………………………………………………10分∴224312(1)43PQ k k MN k +==++=． ………………………11分 又∵211k +>，∴21011k <<+.∴104<<.∴PQ MN的取值范围是1(0,)4． …………………………13分 21．解：(Ⅰ)当1a =时，2()(21)e xf x x x =-+．……………………………………1分∴22()(22)e (21)e (1)e x x xf x x x x x '=-+-+=-． ………………………2分令()0f x '=，得1x =±． ………………………………………………3分 当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：∴()=f x 极大值(1)ef -=；()=f x 极小值(1)0f =． ………………………5分 (Ⅱ)2()[2(1)]e [(1)1]e xxf x ax a ax a x '=-++-++2[(1)]e xax a x a =+--． ………………………………6分 由函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则()0f x '≤对[0,1]x ∈恒成立．即2(1)0ax a x a +--≤对[0,1]x ∈恒成立． …………………………………………7分 令2()(1)g x ax a x a =+--，[0,1]x ∈ ①当0a =时，()0g x x =-≤对一切[0,1]x ∈恒成立．∴0a =，符合题意． ………………………………………………8分②当0a >时，∵函数2()(1)g x ax a x a =+--过点(0,)a -，∴要使()0g x ≤对一切[0,1]x ∈恒成立，则(1)0g ≤，即1a ≤．此时，01a <≤． ……………………………………………9分 ③当0a <时，∵函数2()(1)g x ax a x a =+--过点(0,)a -，且函数()y g x =开口向下． ∴此时()0g x ≤在[]0,1上不可能恒成立．∴0a <不符合题意，舍去． ……………………………………………10分 综上，若函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则a 的取值范围[0,1]．……………11分 (Ⅲ)由(Ⅰ)，知当1a =时，2()(1)e x f x x =-，2()(1)e x f x x '=-．假设当1x >时，存在[,]m n 使()f x 在[,]a b 上的值域也是[,]m n ， 由1x >时，()0f x '>，∴()f x 单调递增．故有()()f m m f n n =⎧⎨=⎩，即22(1)(1)m nm e m n e n⎧-=⎪⎨-=⎪⎩．也就是说，方程2(1)e xx x -=有两个大于1的不等实根． …………………………12分 设2()(1)e xx x x ϕ=-- (1)x >，则2()(1)e 1xx x ϕ'=--． 再设2()(1)e 1xk x x =--(1)x >，则2()e (21)xk x x x '=+-． 当1x >时，()0k x '>，即()k x 在(1,)+∞单调递增． 又(1)10k =-<，2(2)3e 10k =->．因此在(1,2)上存在唯一0x ，使得0()0k x =，即存在唯一0x ，使得0()0x ϕ'=．(),()x x ϕϕ'随x 的变化如下表由上表可知，0()(1)10x ϕϕ<=-<又2(2)e 20ϕ=->，故()y x ϕ=因此()x ϕ在(1,)+∞只能有一个零点． 这与()0x ϕ=有两个大于1的不等实根相矛盾．∴不存在区间[,]m n 满足题意． ……………………………………14分1 x。
7 四川省成都市2014届高中毕业班第一次诊断性检测数学(理)试题
成都市2014届高中毕业班第一次诊断性检测数学（理工类）本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
礼答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
第工卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.已知集合}3,2{-=A ，}1ln |{>=x x B ，则AB=（ ）(A ）｛-2｝ (B)｛3｝ （C)｛-2，3｝ （D ）∅ 答案 B解析 由 1ln >x ，e x >∴，∴}3{=B A .2.若复数z 满足5)21(=-i z (i 为虚数单位），则复数z 为（ ）(A)1255i + (B)i 21+ (C) i 21- (D)1255i- 答案 B解析 )R ,(∈+=b a bi a z ，5)21)((=-+∴i bi a ，⎩⎨⎧=-=+∴0252a b b a ，解得⎩⎨⎧==21b a ，i z 21+=∴.3.计算21545log -+所得的结果为（ ）(A)1 (B) 52 (C) 72 (D) 4答案 A解析 原式12121=+=.4. 在等差数列}{n a 中，158=a ，则=+++15971a a a a （ ）(A) 15 (B)30 (C) 45 (D)60答案 D 解析 数列}{n a 是等差数列，158=a ，601544815971=⨯==+++a a a a a .5.已知m ，n 是两条不同的直线，α为平面，则下列命题正确的是： (A)若m ∥α，n ∥α，则m ∥n (B)若m ⊥α，n ⊥α．则m ⊥n (C)若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n(D)若m 与α相交，n 与α相交，则m ，n 一定不相交（ ） 答案 C解析 对(A)直线m 、n 还可能相交或异面；故 (A)是假命题； 对 (B)垂直于同一个平面的两条直线平行，故 (B)时假命题； 对 (C)真命题；对 (D)直线m 、n 可能相交、平行或异面. 故真命题是(C).6.如图，在平面直角坐标系xoy 中，角βα,的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ,B 两点,若点A ,B 的坐标为)54,53(和)53,54(-，则)cos(βα+的值为( )(A) 2524-(B)257-(C)0 (D)2524答案 A解析 依题意，53cos =α，54sin =α，54cos -=β，53sin =β， 25245354)54(53sin sin cos cos )cos(-=⨯--⨯=-=+∴βαβαβα.7、世界华商大会的某分会场有A ，B ，C ，将甲，乙，丙，丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲，乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数（ ）（A ）12种 （B ）10种 （C ）8种 （D ） 6种 答案 D解析 把甲乙看作一人再与丙丁分到三个展台有633=A 种方法. 8一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如下图所示（单位：cm)，则该几何体的体积为（ ）(A) 120 3cm (B)80 3cm (C)1003cm (D)60 3cm答案 C解析 意图以，原几何体的体积1006542131654-=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯==三棱锥长方体V V V 3cm . 9.如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的ABC ∆的直观图C B A '''∆，其中y B A '''//轴，x C B '''//轴．若3=''=''C B B A ，设ABC ∆的面积为S ，C B A '''∆的面积为S '，记S k S '=，执行如图②的框图，则输出T 的值（ ）(A) 12 (B) 10 (C) 9 (D) 6答案 A解析 在直观图C B A '''∆中，3=''=''C B B A ，42945sin 21=⋅''⋅''⋅='∴ C B B A S ， 由斜二侧画法的画图法则，可得在ABC ∆中，6=AB ，3=BC ，且BC AB ⊥，9362121=⨯⨯=⋅⋅=∴BC AB S ，由S k S '=得22=k ，则)1(2)1(22-=-=m m k T ，故执行循环前，9=S ，22=k ，0=T ，1=m ，满足循环的条件，执行循环体后0=T ，2=m ，当0=T ，2=m ，满足循环条件，执行循环体后2=T ，3=m ； 当2=T ，3=m ，满足循环条件，执行循环体后6=T ，4=m ； 当6=T ，4=m ，满足循环条件，执行循环体后12=T ，5=m ； 当12=T ，5=m ，不满足循环条件，退出循环体后12=T . 故输出的结果为12.10.已知1|1||2|2)(+--=x x f 和)R (||2)(2∈+-=x m x x x g 是定义在R 上的两个函数，则下列命题正确的的是（ ）（A ）关于x 的方程0)(=-k x f 恰有四个不相等的实数根的充要条件是)0,1(-∈k （B ）关于x 的方程)()(x g x f =恰有四个不相等的实数根的充要条件是]1,0[∈k （C ）当1=m 时，对]0,1[1-∈∀x ，]0,1[2-∈∃x ，)()(21x g x f <成立 （D ）若]1,1[1-∈∃x ，]1,1[2-∈x ，)()(21x g x f <成立，则),1(+∞-∈m 答案 D解析 函数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>+-≤<-≤≤----<+=+--=21,34210,14021,1421,341|1||2|2)(x x x x x x x x x x f 的图象如图所示，故函数)(x f 的图象关于直线0=x 对称，即①正确；由图象知，关于x 的方程)()(x g x f =恰有四个不相等的实数根的充要条件是]1,0[∈k ，故②正确；当1=m 时，1||2)(2+-=x x x g ，]0,1[-∈x 时，1)21()(=-=f x f Max ，]0,1[-∈x 时，]1,0[121||2)(22∈++=+-=x x x x x g ， 故211-=x 时，不存在]0,1[2-∈x ，使得)()(21x g x f <成立，故③错误；]1,1[-∈x 时，],1[)1(12||2)(22m m m x x m x x x g -∈-+++=+-=，若]1,1[1-∈∃x ，]1,1[2-∈∃x ，)()(21x g x f <成立，则1->m ，故④正确. 故正确的命题是D.第II 卷（非选择题，共 100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 若1)1()(2+-+=x a x x f 是R 上的偶函数，则实数=a . 答案 1解析 依题意，021=--a ，即1=a .12. 已知6622106)21(x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=+，则=+⋅⋅⋅+++6210a a a a . 答案 729（或63）解析 令1=x ，则729366210==+⋅⋅⋅+++a a a a . 13、设1x ，2x 是函数x a ax x x f 2232)(+-=的两个极值点，若212x x <<，则实数a 的 取值范围是 . 答案 )6,2(解析 ))(3(23)(22a x a x a ax x x f --=+-=' ，令0)(='x f ，即3ax =或a ，要函数)(x f 有两个极值点，212x x <<，则⎪⎩⎪⎨⎧<>232a a ，62<<∴a ，故实数a 的取值范围是)6,2(.14. 已知]2,2[ππα-∈，则212cos ≥α的概率为 .答案 31解析 由]2,2[ππα-∈，则212cos ≥α，∴66παπ≤≤-，由几何概型公式，所求的概率31)2(2)6(6=----=ππππP .15.设⊙O 为不等边ABC ∆的外接圆，ABC ∆内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ,b ,c ，p是ABC ∆所在平面内的一点，且满足2b cb bc -+∙=∙（P 与A 不重合），Q 为ABC ∆所在平面外一点，QC QB QA ==.有下列命题：①若QP QA =，90=∠BAC ，则点Q 在平面ABC 上的射影恰在直线AP 上；②若QP QA =，则PC QP PB QP ∙=∙；③若QP QA >， 90=∠BAC ，则AC ABCP BP =；④若若QP QA >，则P 在ABC ∆内部的概率为OABCS S 圆∆（ABC S ∆、O S 圆分别表示ABC ∆与圆O 的面积）.其中不正确的命题有 （写出所有不正确命题的序号）． 答案 ①③④解析 2PA b c b PC PA b c PB PA -+∙=∙,∴)(22PA PC PA b cPA PB PA -∙=-∙,AC PA b c AB PA ∙=∙∴，PAC b PA b cPAB c PA ∠⋅⋅⋅=∠⋅⋅∴cos ||cos ||，PAC PAB ∠=∠∴，即AP 是BAC ∠的平分线，QC QB QA == ，Q ∴在平面ABC 上的射影是ABC ∆的外心O ，90=∠BAC ，ABC ∆是不等边三角形，∴点Q 在平面ABC 上的射影恰在直线AP 上不正确，故①错误；QP QA = ，P ∴为BC 弧的中点，BC OP ⊥∴， OP 是QP 在平面ABC 上的射影，BC QP ⊥∴，∙=∙∴，故②正确；由于QP QA >，则点P 在圆内， 60=∠BAC ，则BC 为直径，若AC ABCP BP =，则AP 为BPC ∠的角平分线，且AP 经过点O ，与ABC ∆是不等边三角形矛盾，故③不正确；若QP QA >，AP 是BAC ∠的平分线，P ∴在ABC ∆内部的概率应该为长度的测度，故④不正确.故不正确的为 ①③④.三、解答题：本大题6小题，共75分.16.（本题满分12分）已知向量)4cos ,4cos 3(2x x =，)2,4sin 2(x=，设函数x f ∙=)(.（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且13)32(+=-πB f ，3=a ，33=b ，求A 的大小.解析 （Ⅰ） b a x f ∙=)(，1)62sin(212cos 2sin 24cos 24cos 4sin 32)(2++=++=+=∴πx x x x x x x f ，又||2ωπ=T ，π4=∴T . （5分）（Ⅱ）131sin 2)32(+=+=-B B f π ，23sin =∴B ， （8分)由正弦定理，可得B b A a sin sin =，即b Ba A sin sin =，又3=a ，33=b ， 2133333sin =⨯=∴A ，由题意知A 识锐角，6π=∴A . (12分）17. （本题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*+∈-=N ,221n S n n .（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列}{b b 满足n nn a S b =，求数列}{n b 的前n 项和n T .解析 （Ⅰ）当2≥x 时，1--=n n n S S a ，n n a 2=∴，*∈≥N ,2n n ， 又当1=n 时，211==S a ，*∈=∴N ,2n a n n . (6分）（Ⅱ）)211(22)12(2nn n n b -=-=，)211(2)211(2)211(2)211(232321n n n b b b b T -+⋅⋅⋅+-+-+-=+⋅⋅⋅+++=∴ 2212)]211([2)]21212121([2132-+=---=+⋅⋅⋅+++-=-n n n n n n . （12分）（本题满分12分）某种特色水果每年的上式时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间.上式初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下跌，后期价格在原价格基础上继续下跌.现有三种价格变化的模拟函数可选择：①x q p x f ⋅=)(；②7)(2++=qx px x f ；③)(log )(p x x f q +=，其中q p ,均为常数且1>q （注：x 表示上式时间，)(x f 表示价格，记0=x 表示4月1号，1=x 表示5月1号，⋅⋅⋅，依次类推，]5,0[∈x ）.（Ⅰ）在上述三种价格模拟函数中，哪个更能体现该种水果的价格变动态势，请你选择，并简要说明理由；（Ⅱ）对（Ⅰ）所选的函数)(x f ，若11)2(=f ，10)3(=f ，记1132)()(+--=x x x f x g ，经过多年的统计发现，当函数)(x g 取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？解析 （Ⅰ）根据题意，该种水果的价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减，基本符合开口向下的二次函数的变化趋势，故应选择②7)(2++=qx px x f ， （4分）（Ⅱ）由11)2(=f ，10)3(=f ，代入7)(2++=qx px x f 得⎩⎨⎧=++=++1073911724q p q p ，解得⎩⎨⎧=-=41q p ，即74)(2++-=x x x f ，1621132)()(2++--=+--=∴x x x x x x f x g ， （8分) 2]4)1(19[)(-≤-+++-=∴x x x g ，当且仅当31=+x 即2=x 时取等号.故明年拓展外销的事件应为6月1号. (12分） （本题满分12分）如图①，四边形ABCD 为等腰梯形，DC AE ⊥，DC AE AB 31==，F 为EC 的中点，先将DAE ∆沿AE 翻折到PAE ∆的位置，如图②，且平面⊥PAE 平面ABCD .（Ⅰ）求证：平面⊥PAF 平面PBE ； （Ⅱ）求直线PF 与平面PBC 所成角的正弦值.解析 （Ⅰ）AB EF // 且ABCD EF ==31，∴四边形AEFB 为平行四边形，又AB AE = 且EC AE ⊥，∴四边形AEFB 为正方形，BE AF ⊥∴. （3分）平面⊥PAE 平面ABCE ，又AE PE ⊥，平面 PAE 平面AE ABCE =，⊥∴PE 平面ABCE ，AE PE ⊥∴，又E PE BE = ，∴平面⊥PAF 平面PBE . (6分）（Ⅱ）以E 为坐标原点，EC 、EA 、EP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图的空间直角坐标系xyz E -，设4=AB ，易知)4,0,0(P ，)0,4,0(A ，)0,4,4(B ，)0,0,8(C ，)0,0,4(F ，)4,0,4(-=∴PF ，)0,4,4(-=BC ，)4,4,4(-=PB ， （8分)设),,(z y x n =为平面PBC 的一个法向量，⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙∴00PB n ，∴⎩⎨⎧=-∙=-∙0)4,4,4(),,(0)0,4,4(),,(z y x z y x ， 即⎩⎨⎧=-+=-0444044z y x y x ，令1=x ，∴)2,1,1(=， 63|211)4(4)2,1,1()4,0,4(|||||||sin 22222=++⋅-+∙-=⋅=n PF α ，∴直线PF 与平面PBC 所成角的正弦值为63. （12分）20.（本题满分13分）我国采用的5.2PM 的标准为：日均值在35微克/立方米以下的空气为一级；在35微克/立方米-75微克/立方米之间的空气质量为二级；75微克/立方米以上的空气质量为超标.某城市环保部门随即抽取该市m 天的5.2PM 日均值，发现其茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下图所示：请据此解答如下问题：（Ⅰ）求m 的值，并分别计算：频率分布直直方图中的)95,75[和)115,95[这两个矩形的高；（Ⅱ）通过频率分布直方图估计这m 天的5.2PM 日均值的中位数（结果保留分数形（Ⅲ）从这m 天的5.2PM 日均值中随机抽取2天，记X 表示抽到的5.2PM 超标天数，求X 的分布列和数学期望.解析 （Ⅰ）200025.01⨯=m，20=∴m ，易知矩形)95,75[的高为0225.04009=，矩形]115,95[的高为01.0. （5分)（Ⅱ）其中位数为328132075=+. （8分）（Ⅲ）10021)0(22023===C C X P ，10091)1(22011313===C C C X P ，10039)2(220213===C C X P ，X ∴的分布列为：1013100393100912100211)(=⨯+⨯+⨯=∴X E . （13分）21.（本题满分14分）已知函数)1ln()(+=x a x f ，R ,21)(2∈-=a x x x g . （Ⅰ）若1-=a ，求曲线)(x f y =在3=x 出的切线方程；（Ⅱ）若对任意的),0[+∞∈x 都有)()(x g x f ≥恒成立，求a 的最小值；（Ⅲ）设)1()(-=x f x P ，0>a ，若),(11y x A ，),(22y x B 为曲线)(x P y =上的两个不同点满足210x x <<，且),(213x x x ∈，使得曲线)(x f y =在0x 处的切线与直线AB 平行，求证2213x x x +<.解析 （Ⅰ）41)3(-='=f k ，)3(212ln 2--=+∴x y ，2ln 24341-+-=∴x y .（Ⅱ）由221)1ln(x x x a -≥+恒成立等价于021)1ln(2≥+-+x x x a 恒成立， 令221)1ln()(x x x a x h +-+=，0≥x ，)0(1111)(2≥+-+=+-+='∴x x a x x x a x h ，①若1≥a ，则0)(≥'x h 恒成立.∴函数)(x h 在),0[+∞上是增函数，)0()(h x h ≥∴恒成立，又0)0(=h ，1≥∴a 符合条件.②若1<a ，由0)(='x h 可得a x -=12，解得a x -=1或a x --=1（舍去）， 当)1,0(a x -∈时，0)(<'x h ；当),1(+∞-∈a x 时，0)(>'x h ，)1()(a h x h -=∴最小值，0)1()1(=<-∴h a h ，这与0)(≥x h 恒成立矛盾. 综上所述，1≥a ，a 的最小值为1. （9分）（Ⅲ）x a a f x P ln )()(=-=，1212ln ln x x x a x a k AB --=， 又x a x P =')( ，33)(x a x P ='∴，∴31212ln ln x ax x x a x a =--， 由x ax P =')( ，易知其定义域内为单调减函数， 欲证2213x x x +<，即证明)2()(213x x P x P +'>'，即证明2112122ln ln x x a x x x a x a +=--，变形可得12122112121)1(2)(2x x xx x x x x x x +-=+->，令tx x =12，1>t ， 则1)1(2ln +->t t t 等价于)1(2ln )1(->+t t t ，构造函数)1(2ln )1()(--+=t t t x q ，1>t ， 则1,11ln )(>-+='t t t x q ，令1,11ln )(>-+=t t t t r ，当1>t 时，0111)(22>-=-='t t t t t r ，)(t q '∴在),1(+∞上为单调增函数，0)1()(='>'q t q ，0)1()(=>∴q t q ，0)(>∴t q 在),1(+∞上恒成立， )1(2ln )1(->+∴t t t 成立，∴2213x x x +<. （14分）。
四川省成都市石室中学2024届高三上学期一诊模拟考试数学(理)试卷及答案
成都石室中学2023-2024年度上期高2024届一诊模拟数学试题（理）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）第Ⅱ卷（共90分）三、解答题（本题共6道小题，共70分）E选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.成都石室中学2023-2024年度上期高2024届一诊模拟理科数学（A 卷）参考答案1.B 【解析】{}{}2,01xA y y x y y ==≥=≥，{}{}N 2311,2B x x =∈-≤=，故{}1,2A B = .故选：B.2.A 【解析】令i(b 0)z b =≠，则i 34i 5z b ==+=，故5b =±，i 5z =±.故选：A.3.D 【解析】由表中数据可得()12345645x =++++=，()115.116.31717.218.416.85y =++++=，因为回归直线过样本点的中心，所以 16.80.754a=⨯+，解得 13.8a =，所以回归直线方程为ˆ0.7513.8yx =+，则该公司7月份这种型号产品的销售额为0.75713.819.05y =⨯+=万元.故选：D.4.B 【解析】由三视图可知多面体是如图所示的三棱锥1ABC D -，由图可知2,3,AB BC AC ====，11AD CD =1BD.故选：B.5.C 【解析】对于A 选项，若a c b c ⋅=⋅ ，则()0c a b ⋅-=r r r ，所以()c a b ⊥- ，不能推出a b =，故A 错误；对于B 选项，2,2x y ≥≥成立时，必有224x y +≥成立，反之，取3,0x y ==，则224x y +≥成立，但2,2x y ≥≥不成立，因此“224x y +≥”是“2,2x y ≥≥”的必要不充分条件，B 错误；对于选项C ，因为()54322341f x x x x x x =+-+-+，所以可以把多项式写成如下形式：()((((2)3)4)1)1f x x x x x x =+-+-+，按照从内而外的顺序，依次计算一次多项式当2x =的值：02v =，1224v =+=，24235v =⨯-=，352414v =⨯+=，故C 正确；对于选项D ，()(4)(2)120.38P X P X P X ≥=≤=->=，所以()340.5(4)0.12P X P X <<=-≥=，故D 错误.故选：C.6.D 【解析】因为2sin sin αβ-=2cos cos 1αβ-=，所以平方得，()22sin sin 3αβ-=，()22cos cos 1αβ-=，即224sin 4sin sin sin 3ααββ-+=，224cos 4cos cos cos 1ααββ-+=，两式相加可得44sin sin 4cos cos 14αβαβ--+=，即1cos cos sin sin 4αβαβ+=，故()1cos 4αβ-=，()()217cos 222cos 121168αβαβ-=--=⨯-=-.故选：D.7.A 【解析】因为直线1y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线2x dy -=-对称，所以直线2x d y -=-经过圆心，且直线1y a x m =+与直线2x dy -=-垂直，所以20d -=，即2d =，且12a =，则()()12212n n n S n n n -=+⨯=+，()111111n S n n n n ==-++，以数列1n S ⎧⎫⎨⎩⎭的前100项和为11111110011223100101101101-+-++-=-= ．故选：A.8.B 【解析】令32()g x ax bx c =++，则2()32g x ax bx '=+，由2()320g x ax bx '=+=得1220,3bx x a==-，结合图象知函数在(,0)-∞上递增，在(0,2)递减，所以223ba-=且0a >，所以0b <，又()()322,,axbx cb f x ac ++=∈R 过点(2,1)-，所以840a b c -++=，即20c a =，所以b a c <<故选：B.9．A 【解析】正方体1111ABCD A B C D -中，1111//,AB D C AB D C =,所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，又1AD ⊄平面1BDC ,1BC ⊂平面1BDC ,所以1//AD 平面1BDC ，即当点P 在线段1AD 上运动时P d 恒为定值，又11113D BPC P BD P C BDC V V S d --==⨯ ,1BDC S 也为定值，所以三棱锥1D BPC -的体积为定值，①正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥平面11BCC B ，1CB ⊂平面11BCC B ,所以1⊥CB AB ，在正方形11BCC B 中：11CB BC ⊥,又1AB BC B =I ,,AB BC ⊂平面11ABC D ，所以1CB ⊥平面11ABC D ，又1C P ⊂平面11ABC D ，所以11C P CB ⊥，②正确；因为点P 在线段1AD 上运动,若P ABCD ∈平面，则点P 与点A 重合，则三棱锥1C P D B -的外接球即为三棱锥1C A D B -，③正确；如图所示：将三角形1ADD 沿1AD 翻折90︒得到该图形，连接1DC 与1AD相交于点P ，此时1C P DP +取得最小值1DC ，延长11C D ，过D 作11DE C E ⊥于点E ，在1Rt DEC ∆中，1DC ==故1C P DP +.故选：A.10.B 【解析】该程序框图相当于在[0，3]上任取10000对数对(,)x y ，其中满足1xy ≤的数对有N 对.显然该问题是几何概型.不等式组0303x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的区域面积为9，03031x y xy ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤⎩所表示的区域面积为3131112ln 3dx x +=+ò，故412ln 3910N +»，因此410(12ln 3)9N +».故选：B.11.D 【解析】令()0f x =，得22(ln )l 2e 0n a ax x x x -+=，整理得2ln ln ()2e0x a x a x x +=-.令ln (0)xt x x =＞，0x >,原方程化为2e 02a a t t +=-.设ln ()(0)xg x x x=＞，则21ln ()x g x x '-=，令()0g x '=，解得e x =，且ln 1()e g e e e==，当(0,)x e ∈时，()0g x '＞，则()g x 单调递增，当(e,)x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减，则()g x 在x e =时，有最大值为1()g e e=，画出简图，如右图所示，因为原方程为220a at t e+=-.由题可知有三个零点，因此方程有两个不等实根12t t ,.结合ln ()(0)xg x x x =＞图象可得：121t t e＜0,0＜＜，设2(2)a a t h t e t -+=，则(0)01()0h h e⎧⎪⎨⎪⎩＜＞，得到2a e -＜＜0，因为12312123ln ln ln x x x t t x x x ===,，所以31212123ln 2ln ln 222,0x x x t t a x x x e ⎛⎫++=+=∈- ⎪⎝⎭.故选：D ．12.A 【解析】由题可知，点Q 在以MN 为直径的圆上，故90NQP ∠= ，连接FP 、NP ，如图所示，可得cos PM PQ PM PN MPN PM PN ⋅=-∠=-，其中()()()()()2222281,PM PN PF FM PF FN PF FM PF FM PF FM FM PF PF -=-++=-+-=--=-=- 由图可知，当点P 运动到双曲线右顶点时，即当1PF =时，PM PQ ⋅取最大值为80.故选：A.13.()0,1【解析】抛物线214y x =的标准方程为24x y =，焦点在y 轴正半轴上，焦点坐标为()0,1.14．29【解析】由题意可知，4人去4个不同的景点，总事件数为44256=，事件B 的总数为3327=，所以27()256P B =，事件A 和事件B 同时发生，即“只有甲去了锦水文风，另外3人去了另外3个不同的景点”，则事件AB 的总数为336A =，所以6()256P AB =，所以()()62()279P AB P A B P B ===，故答案为：29.15．⎡⎣【解析】以M 为圆心，以,MA MC 为,x y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由于2,AB AC ==所以BC BM CM ===由于点Q 在 AC，不妨设)Qθθ，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,((),,0A P a，其中a ≤，()(),,a a AP MQ θθθθ=+=+,所以AP MQ +=AC上的点)Qθθ到点(R a -的距离，由于点(R a -在线段y x =≤上运动，故当点(R a -运动到点(E时，此时距离最大，为CE ===当点(R a -运动到点(A 时，此时距离最小为0，综上可知：AP MQ ⎡⎣+∈.16．1【解析】因为()()e e 2sin()e e 2sin ()x x x x f x x x f x -----=---=-+=-，所以()f x 为R 上的奇函数．又()e e 2cos 2cos 22cos 0x x f x x x x -'=+-≥=-≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增．不等式2(e )(2ln )0x f a x f x x -++≤对任意的,()0x ∈+∞恒成立，即2(2ln )(e )x f x x f x a +≤-对任意的,()0x ∈+∞恒成立，所以22ln e x x x x a +≤-对任意的,()0x ∈+∞恒成立，即2e x a x ≤-2ln 2ln (2ln )e e (2ln )e (2ln )x x x x x x x x x x ++=⋅-+=-+对任意的,()0x ∈+∞恒成立．令()e x h x =x -，所以()e 1x h x '=-，所以当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上为增函数；当x 0<时，()0h x '<，()h x 在(,0)-∞上为减函数．所以0min ()(0)e 01h x h ==-=，设()2ln g x x x =+，显然()g x 为(0,)+∞上的增函数，因为1111()2ln 20e e e eg =+=-+<，(1)10g =>，所以存在01(1)e ,x ∈，使得000()2ln 0g x x x =+=，所以2ln min [e (2ln )]1x x x x +-+=，此时2ln 0x x +=，所以1a ≤，即a 的最大值为1．故答案为：1.17．解：（1）//a b，2sin x x =-，则tan 2x =-；----------------------------------------------------2分22222222221cos sin 1tan 1cos2cos sin sin cos tan 1712x x x x x x x x x ⎛- --⎝⎭=-====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭.------------------------------------------------5分（2）()()()()2sin sin 121sin cos 1f x a b a x x x x x x =+⋅=+-⨯=+-11π1sin 2cos 2sin 222262x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，----------------------------------------------------------------------------7分又()12f A =，所以πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得ππ262A -=，即π3A =，------------------------------------8分因为2a =，且由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可知，2242cos3b c bc π=+-，所以224b c bc +=+，由基本不等式可得2242b c bc bc +=+≥，所以4bc ≤，（当且仅当2b c ==时取等）----------------------------------------------------------------------------11分故()max 11sin 4222ABC S bc A ∆==创=,即ABC ∆面积最大值为.-----------------------------------------------------------------------------------------------12分（注：若求角的函数值域问题，按步骤对应给分）18．（1）证明：取AD 中点为F ，连接AC ，CF ，由2AD BC =得AF BC ∥且AF BC =.∴四边形ABCF 为平行四边形，∴CF AF DF ==，∴AC CD ⊥，--------------------------------------2分又因为二面角P CD B --为直二面角，且平面PCD 平面ABCD CD =，∴AC ⊥平面PCD ，因为PD ⊂平面PCD ，所以AC PD ⊥.-------------------------------------5分（2）解：如图，延长AB 和DC 交于点G ，连接GP ，则GP 为平面PCD 与平面PAB 的交线l ，取CD 中点为O ，连接OF ，OP ，∵OP ⊥AC ，OF AC ∥，∴OP ⊥OF ，OF ⊥CD ，OP ⊥CD .------------------------------------------------------------------------------------------7分如图，以O 为坐标原点，OF ，OD ，OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，P ⎛ ⎝⎭，2A ⎫-⎪⎪⎭，0,2G ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，PD →⎛= ⎝⎭，()AD →=，0,PG →⎛= ⎝⎭，设平面PAD 的法向量为(),,m a b c →=，PD m b cAD m⎧⋅=⎪⎨⎪⋅==⎩,令1c=，解得)m→=-------------------------------------------------------------------------------------------------9分设l与平面PAD的所成角为θ，则sin7m PGm PGθ→→→→⋅===⋅，-------------------------------------------11分因为πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦0,2，即l与平面PAD所成角的正弦值为7．-----------------------------------------------------------------------------12分19．解：（1）若甲第二次答题选方案一，记两次答题累计得分为ξ，则ξ的可能取值为70，60，20，10．339236(70),(60)55255525P Pξξ==⨯===⨯=326224(20),(10)55255525P Pξξ==⨯===⨯=-------------------1分则累计得分的期望9664()706020104625252525Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．-----------------------------------------------2分若甲第二次答题选方案二，记两次答题累计得分为η，则η的可能取值为60，30，20．339322312224(60),(30),(20)55255555255525P P Pηηη==⨯===⨯+⨯===⨯=，----------------------------------3分则累计得分的期望9124()60302039.2252525Eη=⨯+⨯+⨯=．--------------------------------------------------------4分因为()()E Eξη>，所以应选择方案一．----------------------------------------------------------------------------------5分（2）①依题意得()()1645i iE X E X+=+．--------------------------------------------------------------------------------6分1X的可能取值为20，10，其分布列为1X2010P3525所以()12201053165E X=⨯+⨯=．由()()1645i iE X E X+=+，得()()1620205i iE X E X++=+⎡⎤⎣⎦，所以(){}20nE X+为等比数列，其中首项为36，公比为65，所以()1620365n n E X -⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭，---------------------------------------------------------------------------------------------7分故()1636205n n E X -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭．------------------------------------------------------------------------------------------------8分②由①知，()1636205n n E X -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，故累计得分为63615620180201806515n n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎛⎫⎣⎦-=⨯-- ⎪⎝⎭-，------------------------------------------------9分设6()18020180(0)5x f x x x ⎛⎫=⨯-- ⎪⎝⎭＞，'66()180ln 20(0)55xf x x ⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭＞当0x ＞时，'66()180ln 20055x f x ⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭＞所以当0x ＞时，()f x 单调递增，---------------------------------------------------------------------------------------10分由题可知，至少需答题次数n 满足：*61802018021665N 2n n n n ⎧⎛⎫⨯--⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪∈≥⎩＞且，结合单调性与零点存在性定理，得到1415*618020141801851.22166561802015180231221665N 2n n ⎧⎛⎫⨯-⨯-≈⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫⨯-⨯-≈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪∈≥⎪⎪⎩＜＞且，故15n ≥，所以至少需答题15次.-------------------------------------------------------------------------------------------------------12分20．解：（1）函数()2cos sin 1f x x x x x =-+-，因为()01f =-，所以切点为()0,1-，------------------1分由()()2cos sin cos 2sin f x x x x x x x x x =--+=-∈'R ，，得()00f '=，所以曲线在点()()0,0f 处的切线斜率为0，-----------------------------------------------------------------------------2分所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =-．-----------------------------------------------------------3分（2）由（1）可知()()2cos sin cos 2sin f x x x x x x x x x =--+=-∈'R ，，因为[]sin 1,1x ∈-，所以2sin 0x ->，令()0f x '=，则0x =．--------------------------------------------------4分当()0x ∈-∞，时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0x ∈+∞，时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；又因为()010f =-<，22πππ0,202424f f π⎛⎫⎛⎫=>-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，-------------------------------------------------6分所以，由零点存在定理可知，存在唯一的1π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭使得()10f x =，存在唯一的2π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()20f x =．故函数()f x 有且仅有两个零点．---------------------------------------------------------------------------7分（3）因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当0x =时，由(0)112f a =-≥-得1a ≥---------------------------------------------------9分下面证明：当1a ≥时，对于任意π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()12f x a ≥-恒成立,即证2cos sin 112ax x x x a -+-≥-，即证()2cos sin 220x a x x x -+-≥+；而当1a ≥时，()222cos sin 2cos sin 2cos s n 2i 2x a x x x x x x x x x x x -+-≥-+-=-+++，-----------10分由（2）知，2cos sin 0x x x x -+≥；所以1a ≥时，()2cos sin 220x a x x x -+-≥+恒成立；综上所述，[)1a ∈+∞，．--------------------------------------------------------------------------------------------------12分21．解：（1）因为P 为ABC 的重心，且边,AC AB 上的两条中线长度之和为6，所以23PB PC BC +=⨯=>,-------------------------------------------------------------------------------1分故由椭圆的定义可知P 的轨迹Γ是以()()2,0,2,0B C -为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），且2a c ==，所以b =，-----------------------------------------------------------------------------------------2分所以P 的轨迹Γ的方程为(22162x y x +=≠.------------------------------------------------4分，注：未挖点扣1分（2）①依题意，设直线DE 方程为()20x my m =+≠.联立222162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()223420m y my ++-=，易知()()22216832410m m m ∆=++=+>设()11,D x y ，()22,E x y ，则12243m y y m +=-+，12223y y m ⋅=-+.-----------------------------------------------5分因为DM x ⊥轴，EN x ⊥轴，所以()1,0M x ，()2,0N x .所以直线DN ：()1212y y x x x x =--，直线EM ：()2121y y x x x x =--，联立解得()()122112211212121222223Q my y my y x y x y my y x y y y y y y ++++===+=+++.----------------------------------7分从而点Q 在定直线3x =上.--------------------------------------------------------------------------------------------------8分②因为1212121113222DEQ Q S EN x x y x y my y ∆=⋅-=⋅-=-，----------------------------------------------9分又121212my y y y =+，则1211221122423DEQ y y S y y y m +=-=-=+ ，------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10分1t =>，则2122224DEQ t S t t t=⋅=⋅≤++ ，当且仅当2t t=，即1m =±时，等号成立，故DEQ ∆分22．解：（1）令0x =，则2230t t --=，解得3t =，或1t =-（舍），则23324y =--=，即()0,4B ，--------------------------------------------------------------------------------------2分令0y =，则220t t --=，解得2t =，或1t =-（舍），则233222x -⨯-=-=，即()3,0A -，-------------------------------------------------------------------------------4分∴5AB =.----------------------------------------------------------------------------------------5分（2）曲线2C 的极坐标方程为221613cos ρθ=+，即()()22sin 4cos 16ρθρθ+=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的普通方程为221416x y +=，-------------------------------------------------------6分设2C 上点的坐标为()2cos ,4sin θθ，-----------------------------------------------------------------------------------7分由（1）知直线AB 的方程为43120x y -+=，令2C 上的点P 到直线AB 的距离为d ，则8cos 12sin 125d θθ-+==---------------------------------------------------------9分所以2C 上的点P 到直线AB 的距离为413120,5⎡⎤+⎢⎥⎣⎦.--------------------------------------------------------------10分23．解：（1）当12a =时，不等式()8f x ≤可化为238x x ++-≤，∴2128x x ≤-⎧⎨-≤⎩，或2358x -⎧⎨≤⎩＜＜，或3218x x ≥⎧⎨-≤⎩，---------------------------------------------------------------------2分解得722x -≤≤-或23x -＜＜或932x ≤≤，----------------------------------------------------------------------4分求并集得：7922x -≤≤，所以原不等式的解集为79,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．----------------------------------------------------------------------------------------5分（2）因为()999444414141f x x a x x a x a a a a =++-≥+-+=++++，当且仅当()94041x a x a ⎛⎫+⋅-≤ ⎪+⎝⎭时，即9441a x a -≤≤+时取到最小值，--------------------------------6分又因为0a >，所以()min 9441f x a a =++，所以9441m a a =++，------------------------------------------7分所以()()2222229941241184111681841611m a a a a a a a a ⎛⎫++++=+⎛⎫++=+++ ⎪++⎝⎭++ ⎪⎝⎭，因为()2292411818181841a a ⎛⎫+++≥= ⎪+⎝⎭，---------------------------9分当且仅当()22924141a a ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭时，即14a =-时，()2211681m a a ++++的最小值为18+.---------------------------------------------------------------------10分。
四川省成都石室中学2014届高三数学上学期“一诊”模拟试题 理 新人教A版
石室中学高2014届2013～2014学年度上期“一诊”模拟考试（一）数学(理科)试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是（ ） A ．1B ．0C ．－1D ．1或－12.复数i i (113-为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是 ( ） A ．(1,1) B ．(1,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1)--3.已知函数,0,)21(0,)(21⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x x f x则=-)]4([f f （ ） A ．4- B ． 41- C ． 4 D ． 6 4.函数ln ||||x x y x =的图像可能是（ ）5.实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+0,002204y x y x y x ,则yx -2的最小值为（ ）A ．16B ．4C ．1D ．126.下列说法中正确的是（ ） A ．“5x >”是“3x >”必要条件B ．命题“x R ∀∈，210x +>”的否定是“x R ∃∈，210x +≤”C ．R m ∈∃，使函数)()(2R x mx x x f ∈+=是奇函数D ．设p ，q 是简单命题，若p q ∨是真命题，则p q ∧也是真命题 7.阅读程序框图，若输入4m =，6n =，则输出i a ,分别是（ ） A ．12,3a i == B ．12,4a i == C ．8,3a i == D ． 8,4a i ==8.设函数)22,0)(sin(3)(πφπωφω<<->+=x x f 的图像关于直线32π=x 对称,它的周期是π,则（ ）A ．)(x f 的图象过点)21,0( B ．)(x f 的一个对称中心是)0,125(πC ．)(x f 在]32,12[ππ上是减函数 D ．将)(x f 的图象向右平移||φ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象9. 设三位数10010n a b c =++,若以,,{1,2,3,4}a b c ∈为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n 有（ ）A ．12种B ．24种C ．28种D ．36种10. 定义在R 上的函数1ln )(2++=x ex f x，且)()(x f t x f ＞+在()∞+-∈，1x 上恒成立，则关于x 的方程(21)()f x f t e -=-的根的个数叙述正确的是( ).A ．有两个B ．有一个C ．没有D ．上述情况都有可能二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知向量a 、b满足(1,0),(2,4)a b ==，则=+→→||b a .12.45)1)(1(x x x 展开式中-+的系数是 （用数字作答）.13. 在数列}a {n 中，)N n (a a a ,a ,a n n n *∈-===++122151，则2014a = .14.已知二次函数)R (4)(2∈+-=x c x ax x f 的值域为)0[∞+，，则ac 91+的最小值为 . 15. 已知D 是函数],[),(b a x x f y ∈=图象上的任意一点，B A ,该图象的两个端点， 点C 满足0=⋅=→→→→i DC AB AC ，λ，（其中→<<i ,10λ是x 轴上的单位向量），若T DC ≤→||(T 为常数)在区间],[b a 上恒成立，则称)(x f y =在区间],[b a 上具有 “T 性质”.现有函数： ①12+=x y ; ②12+=xy ； ③2x y =； ④x x y 1-=.则在区间]2,1[上具有“41性质”的函数为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. (本小题满分12分)设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知12a =，23210a a =-.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是以函数24sin y x π=的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的前n 项和n S .17. (本小题满分12分) 已知ABC ∆ 的内角A 、B 、C 所对的边为,,a b c ， (sin ,cos )m b A a a B =-,(2,0)n =，且m 与n 所成角为3π. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求C A sin sin +的取值范围.18. (本小题满分12分)某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。
(优辅资源)四川省成都市高三一诊考试试卷 理科数学 Word版含答案
成都市2014级高中毕业班第一次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。
第1卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）2至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设集合U=R ，A={x|x2-x-2>0）．则(A)（-∞，-1) ⋃(2,+∞) (B)[-1,2] (C)（-∞，-1] ⋃[2，+∞） (D)（-1，2） (2)命题“若a>b ，则a+c>b+c"的否命题是 (A)若a ≤6，则a+c ≤b+c (B)若a+c ≤b+c ，则a ≤6 (C)若a+c>b+c ，则a>b (D)若a>b ，则a+c ≤b+c(3)执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输 入的x 为(B) -1或1 (C)l (D)一1(4)已知双曲线2222-1(0x y a b a b=＞＞）的左，右焦点分别为F 1，F 2，双曲线上一点P 满足PF 2⊥x 轴，若 |F 1F 2|=12，|PF 2|=5，则该双曲线的离心率为 (A)1312 (B) 125 (C)32 (D)3 (5)已知α为第二象限角，且sin2α=2425，则cos α -sin α的值为(A) 75 (B) 一75 (C) 15 (D) 一15(6)（x+1)5(x-2）的展开式中x 2的系数为 (A) 25 (B)5 (C) - 15 (D) - 20(7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三 视图，则该四棱锥的外接球的表面积为 (A) 136π (B) 34π (C) 25π (D) 18π(8)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移6π个单位长度，得到函数g (x)的图象，则g(x)图象的一条对称轴方程是 (A)x=一6π (B)x=6π (C)x=2425π (D)x= 3π (9)在直三棱柱ABC-A1BlC1中，平面口与棱AB ，AC ，A 1C 1，A 1B 1分别交于点E ，F ，G ， H ，且直线AA 1∥平面d ．有下列三个命题：①四边形EFGH 是平行四边形；②平面α∥平面BCC 1B 1；③平面α上平面BCFE ．其中正确的命题有 (A)①② (B)②③ (C)①③ (D)①②③ (10)已知A,B 是圆O:x 2+y 2=4上的两个动点，若M 是线段AB的中点，则的值为(A)3(D) -3(11)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且f （-x-1）=f （x-1），当x ∈[-1，0]时，f(x)= 一x 3．则关于x 的方程f(x ) =|cos πx|在[一52，12]上的所有实数解之和为 (A) -7 (B) -6 (C) -3 (D) -1 (12)已知曲线C 1:y 2 =tx (y>0，t>0)在点M(4t,2)处的切线与曲线C 2:y=e x+l —1也相切，则tln 24e t的值为(A) 4e 2 (B) 8e (C)2 (D)8第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． (13)若复数z=1aii+（其中a ∈R ，i 为虚数单位）的虚部为-1，则a= ．(14)我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容 异”．“势’’即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为l 的梯形，且当实数t 取[0，3]上的任意值时，直线y=t 被图l和图2所截得的两线段长始终相等，则图l 的面积为 .(15)若实数x ，y 满足约束条件，则的最小值为(16)已知△ABC 中，ABC BA 的延长线上存在点D ，使∠CD = .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)（本小题满分12分）已知数列{a n }满足a l = -2，a n+1 =2a n +4． (I)证明数列{a n +4)是等比数列； (Ⅱ)求数列{|a n |}的前n 项和S n ． (18)（本小题满分12分）某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85 分及以上，记为A 等；分数在[70，85）内，记为B 等；分数 在[60，70）内，记为C 等；60分以下，记为D 等．同时认 定A ，B ，C 为合格，D 为不合格，已知甲，乙两所学校学生 的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的 成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统 计，按照[50,60), [60,70), [70,80), [80,90),[90 ,100] 的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙 校的样本中等级为C ，D 的所有数据的茎叶图如图2所示． (I)求图中x 的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合 格率；(II)在选取的样本中，从甲，乙两校C 等级的学生中随 机抽取3名学生进行调研，用X 表示所抽取的3名学生中 甲校的学生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．(19)（本小题满分12分）如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是 AB ，BC 的中点，BD 与EF 交于点H ，G 为BD 中 点，点R 在线段BH 上，且BRRH=λ(λ>0)．现将 △AED ，△CFD ，△DEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使点A ，C 重合于点B （该点记为P ），如图2所示．(I)若λ=2，求证：GR ⊥平面PEF ；(Ⅱ)是否存在正实数λ，使得直线FR 与平面DEF 求出λ的值；若不存在，请说明理由． (20)（本小题满分12分）已知椭圆22:154x y E +=的右焦点为F ，设直线l ：x=5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点． (I)若直线l 1的倾斜角为4π，求△ABM 的面积S 的值； (Ⅱ)过点B 作直线BN ⊥l 于点N ，证明：A ，M ，N 三点共线 (21)（本小题满分12分） 已知函数f(x)=xln(x+1)+（12一a ）x+2一a ，a ∈R ． (I)当x>0时，求函数g(x)=f(x)+ln(x+1)+12x 的单调区间； (Ⅱ)当a ∈Z 时，若存在x ≥0，使不等式f(x)<0成立，求a 的最小值． 请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． (22)（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α(α≠2π）的直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρcosx θ - 4sin θ=0．(I)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (Ⅱ)已知点P(1，0)．若点M 的极坐标为（1，2π），直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求|PQ|的值． (23)（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x ）=x +1+ |3 -x|，x ≥-1．(I)求不等式f(x）≤6的解集；(Ⅱ)若f(x）的最小值为n，正数a，b满足2nab =a+2b，求2a+b的最小值.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学试题(理科)解析版
6> <>a b ⎨ ⎩2014 年普通高等学校招生全国统一考试理科参考答案（四川卷）一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合 A = {x | x 2- x - 2 ≤ 0} ，集合 B 为整数集，则 A ⋂ B =A ．{-1, 0,1, 2} 【答案】AB ．{-2, -1, 0,1}C ．{0,1}D ．{-1, 0} 【解析】 A = {x | -1 ≤ x ≤ 2}， B = Z ，故 A ⋂ B = {-1, 0,1, 2}2．在 x (1+ x )6 的展开式中，含 x 3项的系数为 A ． 30 B ． 20 C ．15 D ．10 【答案】C【解析】含 x 3 项为 x (C 214 ⋅ x 2 ) = 15x 33．为了得到函数 y = sin(2x +1) 的图象，只需把函数 y = sin 2x 的图象上所有的点1 A ．向左平行移动 21 个单位长度 B ．向右平行移动 2个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】因为 y = sin(2x +1) = sin[2(x + 1)]，故可由函数 y = sin 2x 的图象上所有的点向左 21 平行移动 2个单位长度得到4．若 a > b > 0 ， c < d < 0 ，则一定有a b A ． B ． c da b a bC ．D ． c d dca <b d c【答案】D11【解析】由c < d < 0 ⇒ - > - > 0 ，又 a > b > 0 ，由d c不等式性质知： - > - > 0 ，所以 d ca < bd c5．执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的 x , y ∈ R ，则输出的 S 的最大值为A ． 0B ．1C ． 2D ． 3【答案】C⎧x ≥ 0 【解析】当⎪y ≥ 0 ⎪x + y ≤ 1 否则， S 的值为 1.时，函数 S = 2x + y 的最大值为 2，6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右3 6 6 2 22 2 6 63 2 2 62x 端不能拍甲，则不同的排法共有A ．192种B ． 216 种C ． 240 种D ． 288 种 【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有 A 5 种；当最左端为乙时，不同的排法共有C 1 A 4种。
四川省成都树德中学高三数学备战一诊练习试题(四)理 新人教A版
成都树德中学高2014届高三备战一诊训练（四）理科本试卷分为第Ⅰ 卷（选择题）和第Ⅱ 卷（非选择题）两部分。
全卷共130分，考试时间为90分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。
每小题仅有一个正确答案，请将正确答案代号填涂在答题卡上。
1．若集合{|23}M x x =-<<，2{|1,}N y y x x R ==+∈，则集合M N =（ ） A ．(2,)-+∞ B ．(2,3)- C ．[1,3) D ．R2．已知函数,0()ln ,0x e x f x x x ⎧<=⎨>⎩，则1[()]f f e =（ ）A ．1e -B ．e -C ．eD ．1e3．已知正数,x y 满足20350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩，则14()2x y z -=⋅的最小值为（ ）A ．1 BC ．116D ．1324．在Excel 中产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“()rand ”，用计算机模拟估计函数sin y x =的图像、直线2x π=和x 轴在区间[0,]2π上部分围成的图形面积时，随机点11(,)a b 与该区域内的点(,)a b 的坐标变换公式为（ ） A ．11,2a ab b π=+=B ．112(0.5),2(0.5)a a b b =-=-C ．[0,],[0,1]2a b π∈∈D ．11,2a ab b π==5．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊆平面β，则下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ； ②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β。
其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．已知函数()sin f x x x =，则()11f π，(1)f -，()3f π-的大小关系为（ ） A ．()(1)()311f f f ππ->->B ．(1)()()311f f f ππ->-> C ．()(1)()113f f f ππ>->- D ．()()(-1)311f f f ππ->> 7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F ∥平面1D AE ，记1A F 与平面11BCC B 所成的角为θ，下列说法错误的是（ ）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与1D E 不可能平行C ．1A F 与BE 是异面直线 D．tan θ≤8．已知函数()tan()(0,||)2f x A x πωϕωϕ=+><， ()y f x =的部分图像如图，则()9f π=（ ）1FNPBAA ．1 B．2-C．2 D．29．设函数()f x 在(,)a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(,)a b 上的导函数为()f x ''，若在(,)a b 上，()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(,)a b 上为“凸函数”。
四川省成都七中2014届高三“一诊”模拟考试数学(理)试题
成都七中高2014届一诊模拟数学试卷（理科）考试时间：120分钟总分：150分 命题人：张世永刘在廷审题人：巢中俊一．选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．） 1.已知集合{}1,0,A a =-，{}|01B x x =<<，若A B ≠∅ ，则实数a 的取值范围是（） A {}1B (,0)-∞C (1,)+∞D (0,1)2.复数1()1ii i-⋅+的虚部为（ ） A -2 B -1 C 0 D 13.定义行列式运算：12142334,a a a a a a a a =-将函数3cos ()1 sin xf x x =的图象向左平移m个单位(0)m >，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（）A 23πB 3πC 8πD 56π 4．阅读下边的程序框图，若输出S 的值为－14，则判断框内可填写（ ） A ．i<6 ？B ．i<8 ？C ．i<5 ？ D.i<7 ？5.二项式1()nx x x-展开式中含有2x 项，则n 可能的取值是（）A 5B 6C 7D 8 6.已知命题:(,0),34x x p x ∃∈-∞<； 命题:(0,),tan 2q x x x π∀∈>则下列命题中真命题是（ ）A p q ∧B ()p q ∨⌝C ()p q ∧⌝D ()p q ⌝∧7.已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+。
若存在两项,m n a a 使得14m n a a a =，则19m n+的最小值为( ) A83 B 114 C 145 D 1768.平面四边形ABCD 中，AD=AB=2,CD=CB=5,且AD AB ⊥，现将ABD ∆沿着对角线BD 翻折成/A BD ∆，则在/A BD ∆折起至转到平面BCD 内的过程中，直线/A C 与平面BCD 所成的最大角的正切值为( )D 1C 1A 1B 1EF A 1 B12 C 33D 39.已知)(x f 、)(x g 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''<，)()(x g a x f x =，25)1()1()1()1(=--+g f g f ，则关于x 的方程2520((0,1))2abx x b ++=∈有两个不同实根的概率为（）A 51B52 C53 D5410．已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，当12x x ≤时，12()()f x f x ≤。
四川省成都市2014届高三数学第一次诊断性考试试题 理 新人教A版
四川省成都市2014届高三数学第一次诊断性考试试题 理 新人教A 版本试卷分选择题和非选择题两部分。
第I 卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）2至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}2,3,|A B x x x =-==，则A B =(A){一2） (B){3) (C)(-2，3} (D)∅2．若复数z 满足(12)5z i -=（i 为虚数单位），则复数z 为(A)1255i + (B)12i + (C)12i - (D)1255i - 3．计算125log 54-+所得的结果为(A)1 (B)52 (C)72(D)4 4．在等差数列{口。
）中．a8 =15，则al+a7+a9+a15一(A)15 (B)30 (C)45 (D) 605．已知m ，n 是两条不同的直线，α为平面，则下列命题正确的是(A) //,////m n m n αα若则(B),,m n m n αα⊥⊥⊥若则(C),//,m n m n αα⊥⊥若则(D)若m 与α相交，n 与α相交，则m,n 一定不相交6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角,αβ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B两点．若点A,B 的坐标分别为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭和43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos()αβ+的值为 (A) 2425- (B)725- (C)0 (D)24257．世界华商大会的某分会场有A ，B ，C 三个展台，将甲，乙，丙，丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲，乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数有(A)12种 (B)10种(C)8种 (D)6种8．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为(A)1202cm (B)802cm(C)1002cm (D)602cm9．如图①，利用斜二测画法得到水平放置的△ABC 的直观图'''A B C ∆，其中''//'A B y轴，''//'B C x 轴．若''''3A B B C ==，设△ABC 的面积为S ，'''A B C ∆的面积为'S ，记S=kS'，执行如图②的框图，则输出T 的值(A)12 (B)10(C)9 (D)610.已知()2|2||1|1f x x =--+和2()2()g x x x m m R =-+∈是定义在R 上的两个函数，则下列命题正确的是(A)关于x 的方程()0f x k -=恰有四个不相等实数根的充要条件是(1,0)k ∈-(B)关于x 的方程()()f x g x =恰有四个不相等实数根的充要条件是m ∈[0，1](C)当m=l 时，对[][]12121,0,1,0,()()x x f x g x ∀∈-∃∈-<成立(D)若[][]12121,1,1,1,()()x x f x g x ∃∈-∃∈-<成立，则(1,)m ∈-+∞ 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．若2()(1)1f x x a x =+-+是定义在R 上的偶函数，则实数a=________.12．已知6260126(12)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则016a a a ++⋅⋅⋅+=________.13.设12,x x 是函数322()2f x x ax a x =-+的两个极值点，若122x x <<，则实数a 的取值范围是________．14．已知,22ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则1cos 22α≥的概率为________． 15.设O 为不等边△ABC 的外接圆，△ABC 内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，P 是△ABC 所在平面内的一点，且满足2c b c PA PB PA PC PA b b-=+(P 与A 不重合），Q 为△ABC 所在平面外一点，QA=QB= QC,有下列命题：①若QA=QP ，90BAC ∠=。