蒙特卡罗方法概述

n1 T (n )
常用的生成伪随机数的方法是线性同余法(LCG)，例 如有乘同余法、乘加同余法、加同余法等。
9
随机数的生成(续)
RiskSpectrum中不确定性分析设置界面
10
随机数的生成(续)
表示axi+c除以M之 后的余数
乘加同余法
xi 1 axi c
i 1
xi 1 ， M
(modM )
i 0,1,2,
• M通常取计算机中可以表示的最大的数，例如对于32位 的计算机，M=232=4,294,967,296 • a和c为（1，M-1）区间内的正整数，均为常数。 • 当i=0时，初始值x0称为种子，一般可任取一个正整数。 • 例如，当M=16，a=5，c=13，种子x0=12345时，计算 过程如下：
5
蒙特卡罗方法概述(续)
蒙特卡罗方法的优点和缺点
优点 1) 能够比较逼真地描述具有随机 性质的事物的特点及物理实验 过程。 2) 受几何条件限制小。 3) 收敛速度与问题的维数无关。 4) 具有同时计算多个方案与多个 未知量的能力。 5) 误差容易确定。 6) 程序结构简单，易于实现。 缺点 1) 收敛速度慢。 2) 误差具有概率性。
8
随机数的生成
随机数与伪随机数 (pseudorandom number)
在用蒙特卡罗方法进行系统可靠性分析和不确定性分 析时，采用随机数代替设备可靠性参数作为PSA模型 的输入，随机数质量的好坏直接影响定量化结果。 通常所说的随机数是指［0，1］上均匀分布的连续型 随机变量的子样。然而由于受到递推（迭代）公式和 计算机字长的限制，在计算机上不可能生成“真正” 的随机数，计算机生成的随机数只是近似［0，1］上 均匀分布的随机数，称为（伪）随机数。
7/16=0.4375
0/16=0 13/16=0.8125 14/16=0.875
得到随机数序列为：0.125，0.4375，0，0.8125，0.875，…
种子唯一确定了随机数序列，当种子的取值给定之后整个随机数 序列就不再“随机”了； 在进行蒙特卡罗模拟时，不应当刻意选定某个数值作为种子，否 则就违背了“随机试验”的理念。任何蒙特卡罗试验的结论都不应 当对种子的取值具有依赖性。
S1
S1 N1 S2 N 2
S2
3
蒙特卡罗方法概述
如何近似计算圆周率π ？
S1 / 4 N1 S2 1 4 N2
4 N1 N2
当N2=30000时，π的 估计值与真实值只 相差0.07%
4
蒙特卡罗方法概述(续)
蒙特卡罗(Monte Carlo, MC)方法又名随机模拟法或 统计试验法。它是在第二次世界大战期间兴起和发展起 来的。它的奠基人是冯.诺依曼(Von Neumann)。其主要 思想是在计算机上模拟实际概率过程，然后加以统计处 理。该方法与传统数学方法相比，具有直观性强、简便 易行的优点，它能处理一些其它方法所不能的复杂问题 ，并且容易在计算机上实现。 可以采用蒙特卡罗方法解决的问题分为两类，一类 是问题本身具有概率或随机事件背景，可以直接用蒙特 卡罗随机试验模拟；另一类是问题本身是确定性问题， 需要通过构造随机事件来逼近真实情景。 有记载的最早的蒙卡方法应用实例----蒲丰(Buffon) 投针试验（1777）
M=16，a=5，c=13，种子x0=54321 i 0 1 54321 (5*54321+13)/16=16976余2 xi ξi — 2/16=0.125
2
3 4 5
(5*2+13)/16=1余7
(5*7+13)/16=3余0 (5*0+13)/16=0余13 (5*13+13)/16=4余14
13
随机数的生成(续)
生成伪随机数时需要考虑的问题：
• 伪随机数的质量（独立性、均匀性）； • 伪随机数序列的周期和容量； • 方法的经济性。
针对上面的问题，生成伪随机数的策略是：
• 选取合适的递推公式T，设置合适的参数值。例如对于乘加 同余法，M的所有质数因子P，应当满足a≡1(mod P) 。当 M=2s(s为正整数)时，取a≡1(mod 4)，c ≡1(mod 2)时乘加 同余法生成的伪随机数质量最好； • 用蒙特卡罗方法进行有限次试验时，尽量避免试验次数不 要超过伪随机数序列的周期； • 如果调用系统自带的随机数生成函数，如果不知道其后台 算法，可以先随机生成种子再根据随机的种子生成随机数 ，避免在同一个随机数序列中多次取随机数。
人员可靠性分析 人员操作失误概率的不确定性传播
外部事件
地震脆弱性分析
火灾起火频率、水淹始发事件频率不确定性分析 外部灾害发生频率估算（外部水淹、强风）
PSA应用
在役检查管道劣化机理分析，结构可靠性分析(SRA) ，管道失效频率定量化
7
蒙特卡罗方法概述 随机数的生成 随机变量的抽样 MC在PSA不确定性分析中的应用 MC在HRA不确定性分析中的应用 小结
11
随机数的生成(续)
xi 1 5xi 13 (mod16)
i 1
i 0 1 2 3 4 12345 (5*12345+13)/16=3858余10 (5*10+13)/16=3余15 (5*15+13)/16=5余8 (5*8+13)/16=3余5
xi 1 ， 16
xi
i 0,1,2,
6
蒙特卡罗方法概述(续)
蒙特卡罗方法在PSA技术中的应用
PSA技术要素 蒙特卡罗方法应用范围
始发事件分析
系统分析 数据分析 定量化
始发事件频率估计及不确定性分析，特殊始发事件 建模及系统失效仿真
非能动系统可靠性分析，系统失效概率计算 仪控系统可靠性建模，Markov方法中方程组求解 设备可靠性数据的参数估计，似然方程求解 CDF/LRF的参数不确定性分析，PSA计算软件开发
蒙特卡罗方法 在可靠性分源自文库中的应用 （一） 此处看到的幻灯片标题
2011.12.28
何劼 2014.3
内容提要
蒙特卡罗方法概述 随机数的生成 随机变量的抽样 MC在PSA不确定性分析中的应用 MC在HRA不确定性分析中的应用 小结
2
蒙特卡罗方法概述
如何测量下面不规则图形的面积？
M=16，a=5，c=13，种子x0=12345 ξi — 10/16=0.625 15/16=0.9375 8/16=0.5 5/16=0.3125
5
(5*5+13)/16=2余6
6/16=0.375
得到随机数序列为：0.625，0.9375，0.5，0.3125，0.375，…
12
随机数的生成(续)