蒙特卡罗方法概述
[自然科学]蒙特卡洛方法
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热辐射传输中的蒙特卡洛方法航空航天热物理所2007 年9 月21日1 蒙特卡洛方法概述1 蒙特卡洛方法概述蒙特卡洛方法是一种随机模拟方法。
将其用于辐射传热计算时，其基本思想：将辐射能量看成由大量独立的光束（光子）组成将复杂的辐射传递问题分解为发射、反射、吸收、散射等独立过程。
每一光束在系统内的传递过程，由一系列随机数确定跟踪一定量的光束，可得较为稳定的统计结果1.1 辐射传递因子辐射传递因子RDij的定义为：在一个换热系统中，由单元i辐射出去的能量被单元j 吸收的份额。
比较角系数Xij的定义：在一个换热系统中，由单元i辐射出去的能量到达单元j的份额。
===+∑∑4414144N a i i a j j jij M k k k kik V T V T RD F T RD σκσκσε辐射传递因子用于能量方程由N 个介质单元、M 个表面单元组成的热辐射系统中，介质单元i 的能量方程为辐射传递因子用于能量方程壁面单元i 的能量方程为===+∑∑441414N i i i a j j jij M k k k kik F T V T RD F T RD εσσκσε,,x y zR R R ,R R θφ如何求辐射传递因子（蒙特卡洛M-C法）首先确定光子的发射点。
需要3个参数再确定2个方向参数已知发射点和2 个方向，就能确定空间的一条直线。
在一个封闭系统内，确定光子与某一个面相交即为求直线与平面相交的空间解析几何问题。
再确定1 个吸收、反射参数，判断光子被壁面Rρ吸收或反射。
如果光子被壁面吸收，则停止跟踪，在该壁面上存入一个光子。
再进行下一个光子的模拟。
若光子被壁面反射，则再确定2个方向参数再确定空间的一条直线…，即重复上述过程。
,R R θφ如果壁面1 发射10000个光子，则当所有模拟结束后，统计每个壁面上吸收的光子数。
若壁面5 吸收了4300个光子，则4300/10000=0.43，即辐射传递因子RD15 =0.43蒙特卡洛法求辐射传递因子通常灰体表面和灰体介质的辐射特性参数随温度变化很小，即辐射传递因子与温度无关。
蒙特卡洛方法简介
1.蒙特卡洛方法的定义 2.蒙特卡洛方法的原理 3.蒙特卡洛方法应用举例
1.蒙特卡洛方法的定义
蒙特· 卡罗方法，是指将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用 电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，也称为统 计模拟方法或计算机随机模拟方法。为象征性地表明这一方法的概 率统计特征，故借用赌城蒙特卡洛命名。
3.蒙特卡洛方法应用举例
3.蒙特卡洛方法应用举例
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当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期 望值时，可以通过蒙特卡洛方法，以这种事件出现的频率估计这一随 机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为 立概率统计模型 收集模型中风险变量的数据，确定风险因数的分布函数 根据分布函数，产生随机数 将随机数代入建立的数学模型，得到一个样本值 重复N次 得到N个样本值 统计分析估计均值，标准差
MonteCarlo(蒙特卡洛法)简介
一个例子 --
n=1000000; m=0; t=1; for i=1:n x=1; for k=1:7 ang=pi*rand; x=x+cos(ang); if x<0 l=0; t=0; end end if x>5 & t==1 l=1; else l=0; end m=m+l; t=1; end m/n
方差削减技术
对偶变量技术(适用正态分布函数） 取一组随机数Z_i，可得模拟值C_i ,i=1,2,..n 估计值为期平均C^ 再取Z_i 的对偶Z’_i=-Z_i,再生成估计值C’^ 然后去新的平均值C*=（C^+C’^)/2 则 varC*=1/2varC^+1/2cov(C^,C’^)< 1/2varC^+ 该技术使计算更稳定
随机数的取得
如果你对随机数有更高的要求，需要自己
编辑“随机数生成器” 最简单、最基本、最重要的一个概率分布 是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布） 例如在Matlab中，命令“rand()”将产生一 个(0,1)中均匀分布的随机数 你可以根据需要给随机数一个“种子”， 以求不同的数
基本思想和原理
基本思想：当所要求解的问题是某种事件出现
的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它 们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事 件出现的频率，或者这个随机变数的平均值， 并用它们作为问题的解。 原理：抓住事物运动的几何数量和几何特征， 利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模 拟实验。 它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所 描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题 的近似解。。
实现从已知概率分布抽样
蒙特卡罗(Monte Carlo)方法简介
蒙特卡罗(Monte Carlo)方法简介蒙特卡罗(Monte Carlo)方法简介蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，也称为计算机随机模拟方法，是一种基于"随机数"的计算方法。
一起源这一方法源于美国在第二次世界大战进研制原子弹的"曼哈顿计划"。
Monte Carlo方法创始人主要是这四位：Stanislaw Marcin Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann（学计算机的肯定都认识这个牛人吧）和Nicholas Metropolis。
Stanislaw Marcin Ulam是波兰裔美籍数学家，早年是研究拓扑的，后因参与曼哈顿工程，兴趣遂转向应用数学，他首先提出用Monte Carlo方法解决计算数学中的一些问题，然后又将其应用到解决链式反应的理论中去，可以说是MC方法的奠基人；Enrico Fermi是个物理大牛，理论和实验同时都是大牛，这在物理界很少见，在“物理大牛的八卦”那篇文章里提到这个人很多次，对于这么牛的人只能是英年早逝了（别说我嘴损啊，上帝都嫉妒！）；John von Neumann可以说是计算机界的牛顿吧，太牛了，结果和Fermi一样，被上帝嫉妒了；Nicholas Metropolis，希腊裔美籍数学家，物理学家，计算机科学家，这个人对Monte Carlo方法做的贡献相当大，正式由于他提出的一种什么算法（名字忘了），才使得Monte Carlo方法能够得到如此广泛的应用，这人现在还活着，与前几位牛人不同，Metropolis很专一，他一生主要的贡献就是Monte Carlo方法。
蒙特卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特•罗方法正是以概率为基础的方法。
与它对应的是确定性算法。
二解决问题的基本思路Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。
早在17世纪，人们就知道用事件发生的"频率"来决定事件的"概率"。
蒙特·卡罗方法（MonteCarlomethod）
蒙特·卡罗⽅法（MonteCarlomethod）蒙特·卡罗⽅法（Monte Carlo method），也称统计模拟⽅法，是⼆⼗世纪四⼗年代中期由于科学技术的发展和电⼦计算机的发明，⽽被提出的⼀种以概率统计理论为指导的⼀类⾮常重要的数值计算⽅法。
是指使⽤随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的⽅法。
与它对应的是确定性算法。
这个⽅法的发展始于20世纪40年代，和原⼦弹制造的曼哈顿计划密切相关，当时的⼏个⼤⽜，包括乌拉姆、冯.诺依曼、费⽶、费曼、Nicholas Metropolis，在美国洛斯阿拉莫斯国家实验室研究裂变物质的中⼦连锁反应的时候，开始使⽤统计模拟的⽅法，并在最早的计算机上进⾏编程实现。
现代的统计模拟⽅法最早由数学家乌拉姆提出，被Metropolis命名为蒙特卡罗⽅法，蒙特卡罗是著名的赌场，赌博总是和统计密切关联的，所以这个命名风趣⽽贴切，很快被⼤家⼴泛接受。
被不过据说费⽶之前就已经在实验中使⽤了，但是没有发表。
说起蒙特卡罗⽅法的源头，可以追溯到18世纪，布丰当年⽤于计算π的著名的投针实验就是蒙特卡罗模拟实验。
统计采样的⽅法其实数学家们很早就知道，但是在计算机出现以前，随机数⽣成的成本很⾼，所以该⽅法也没有实⽤价值。
随着计算机技术在⼆⼗世纪后半叶的迅猛发展，随机模拟技术很快进⼊实⽤阶段。
（类⽐深度学习，感叹~）对那些⽤确定算法不可⾏或不可能解决的问题，蒙特卡罗⽅法常常为⼈们带来希望。
蒙特卡罗基本思想：利⽤⼤量采样的⽅法来求解⼀些难以直接计算得到的积分。
例如，假想你有⼀袋⾖⼦，把⾖⼦均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗⾖⼦，这个⾖⼦的数⽬就是图形的⾯积。
当你的⾖⼦越⼩，撒的越多的时候，结果就越精确。
借助计算机程序可以⽣成⼤量均匀分布坐标点，然后统计出图形内的点数，通过它们占总点数的⽐例和坐标点⽣成范围的⾯积就可以求出图形⾯积。
蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于概率和统计的数值计算方法，常用于解决复杂的数学和物理问题。
它的原理是通过随机抽样来估计数学模型中的未知量，从而得到近似解。
该方法非常灵活，可以应用于各种领域，例如金融学、物理学、计算机科学等。
蒙特卡洛方法的命名源于摩纳哥的蒙特卡洛赌场，因为这种方法采用了赌场中使用的随机抽样技术。
20世纪40年代，由于原子弹的研制需求，蒙特卡洛方法开始应用于物理学领域。
当时，美国科学家在洛斯阿拉莫斯国家实验室利用蒙特卡洛方法模拟了中子输运过程，为原子弹的研发提供了重要支持。
蒙特卡洛方法最简单的例子是估算圆周率π的值。
我们可以在一个正方形内随机投放一些点，然后统计落入圆内的点的比例。
根据概率理论，圆的面积与正方形的面积之比等于落入圆内的点的数量与总点数之比。
通过这种方法，可以得到一个逼近π的值，随着投放点数的增加，逼近结果将越来越精确。
除了估算圆周率，蒙特卡洛方法还可以用于解决更为复杂的问题。
例如，在金融学中，蒙特卡洛方法常用于计算期权的价格。
期权是一种金融衍生品，它的价格与未来股票价格的波动性有关。
利用蒙特卡洛方法，可以通过随机模拟股票价格的变化来估计期权的价值。
在物理学中，蒙特卡洛方法可以用于模拟复杂的粒子系统。
例如，科学家可以通过模拟蒙特卡洛抽样来研究原子、分子的运动方式，从而揭示它们的行为规律。
这对于理解材料的性质、开发新的药物等具有重要意义。
在计算机科学领域，蒙特卡洛方法也有着广泛的应用。
例如，在人工智能中，蒙特卡洛树搜索算法常用于决策过程的优化。
通过模拟随机抽样，可以得到各种决策结果的估计值，并选择给出最佳决策的路径。
尽管蒙特卡洛方法有着广泛的应用，但它并不是解决所有问题的万能方法。
在实际应用中，蒙特卡洛方法往往需要耗费大量的计算资源和时间。
此外，它也依赖于随机抽样过程，因此可能会引入一定的误差。
因此，在使用蒙特卡洛方法时，需要在效率和精确性之间做出权衡。
总之，蒙特卡洛方法是一种基于概率和统计的数值计算方法，通过随机抽样来估计数学模型中的未知量。
动力学蒙特卡洛方法
动力学蒙特卡洛方法动力学蒙特卡洛方法（Dynamic Monte Carlo, DMC）是一种基于蒙特卡洛的随机模拟方法，用于研究物理系统的动力学行为。
下面提供十条与动力学蒙特卡洛方法相关的知识点，并展开详细描述。
1. DMC的基本思想：DMC方法是通过随机抽样和模拟粒子的运动轨迹来模拟物理系统的动力学行为的一种方法。
它采用基本的物理模型和蒙特卡洛方法来模拟实际系统的运动。
2. DMC的原理：DMC方法的基本原理是将物理系统视为一组相互作用的粒子，并通过模拟这些粒子与系统中其他粒子的相互作用来模拟系统的动力学行为。
3. DMC的模拟过程：DMC方法的模拟过程包括将系统分为若干步骤，每个步骤中，模拟粒子按随机分布移动，并与系统中的其他粒子相互作用。
4. DMC的应用：DMC方法广泛应用于物理化学、材料科学、生物医学、环境科学等领域。
它可以用来研究分子的构象和结构，材料的物理性质，生物分子的折叠和运动等等。
5. DMC的优点：与传统的分子动力学方法相比，DMC方法具有计算速度快，精度高，能够模拟大尺度物理系统等优点。
它还可以模拟非平衡态系统，对研究筛选具有重要作用。
6. DMC的缺点：尽管DMC方法在许多方面具有优点，但是它的计算复杂度仍然很高。
在处理非均匀系统和长时间模拟等问题上也存在困难。
7. DMC的改进：DMC方法的许多改进方法被提出，包括可扩展性，比例积分等。
这些改进方法使其更加适用于模拟复杂的物理系统。
8. DMC和机器学习的结合：DMC将经验势函数与机器学习相结合，可以提高其应用范围和精度。
机器学习方法可以学习并优化经验势函数，从而提高DMC方法的准确性和效率。
9. DMC的未来发展：未来的研究方向包括将DMC方法与非平衡态动力学相结合，研究固体材料的转变行为，开发高效的算法和软件工具等。
10. DMC在材料科学中的应用：DMC在材料科学中的应用涵盖了从材料的电子结构、晶体结构、缺陷形成和迁移、热传导等多个方面。
蒙特卡洛方法
蒙特卡罗法也称统计模拟法、统计试验法。
是把概率现象作为研究对象的数值模拟方法。
是按抽样调查法求取统计值来推定未知特性量的计算方法。
蒙特卡罗是摩纳哥的著名赌城，该法为表明其随机抽样的本质而命名。
故适用于对离散系统进行计算仿真试验。
在计算仿真中，通过构造一个和系统性能相近似的概率模型，并在数字计算机上进行随机试验，可以模拟系统的随机特性。
概念蒙特卡罗法(又称统计试验法)是描述装备运用过程中各种随机现象的基本方法，而且它特别适用于一些解析法难以求解甚至不可能求解的问题，因而在装备效能评估中具有重要地位。
用蒙特卡罗法来描述装备运用过程是1950年美国人约翰逊首先提出的。
这种方法能充分体现随机因素对装备运用过程的影响和作用。
更确切地反映运用活动的动态过程。
在装备效能评估中，常用蒙特卡罗法来确定含有随机因素的效率指标，如发现概率、命中概率、平均毁伤目标数等；模拟随机服务系统中的随机现象并计算其数字特征；对一些复杂的装备运用行动，通过合理的分解，将其简化成一系列前后相连的事件，再对每一事件用随机抽样方法进行模拟，最后达到模拟装备运用活动或运用过程的目的。
基本思路蒙特卡罗法的基本思想是：为了求解问题，首先建立一个概率模型或随机过程，使它的参数或数字特征等于问题的解：然后通过对模型或过程的观察或抽样试验来计算这些参数或数字特征，最后给出所求解的近似值。
解的精确度用估计值的标准误差来表示。
蒙特卡罗法的主要理论基础是概率统计理论，主要手段是随机抽样、统计试验。
用蒙特卡罗法求解实际问题的基本步骤为：(1)根据实际问题的特点．构造简单而又便于实现的概率统计模型．使所求的解恰好是所求问题的概率分布或数学期望；(2)给出模型中各种不同分布随机变量的抽样方法；(3)统计处理模拟结果，给出问题解的统计估计值和精度估计值。
优缺点蒙特卡罗法的最大优点是:1.方法的误差与问题的维数无关。
2.对于具有统计性质问题可以直接进行解决。
3.对于连续性的问题不必进行离散化处理蒙特卡罗法的缺点则是:1.对于确定性问题需要转化成随机性问题。
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6
蒙特卡罗方法概述(续)
蒙特卡罗方法在PSA技术中的应用
PSA技术要素 蒙特卡罗方法应用范围
始发事件分析
系统分析 数据分析 定量化
始发事件频率估计及不确定性分析，特殊始发事件 建模及系统失效仿真
非能动系统可靠性分析，系统失效概率计算 仪控系统可靠性建模，Markov方法中方程组求解 设备可靠性数据的参数估计，似然方程求解 CDF/LRF的参数不确定性分析，PSA计算软件开发
xi 1 ， M
(modM )
i 0,1,2,
• M通常取计算机中可以表示的最大的数，例如对于32位 的计算机，M=232=4,294,967,296 • a和c为（1，M-1）区间内的正整数，均为常数。 • 当i=0时，初始值x0称为种子，一般可任取一个正整数。 • 例如，当M=16，a=5，c=13，种子x0=12345时，计算 过程如下：
11
随机数的生成(续)
xi 1 5xi 13 (mod16)
i 1
i 0 1 2 3 4 12345 (5*12345+13)/16=3858余10 (5*10+13)/16=3余15 (5*15+13)/16=5余8 (5*8+13)/16=3余5
xi 1 ， 16
xi
i 0,1,2,
M=16，a=5，c=13，种子x0=12345 ξi — 10/16=0.625 15/16=0.9375 8/16=0.5 5/16=0.3125
5
(5*5+13)/16=2余6
6/16=0.375
得到随机数序列为：0.625，0.9375，0.5，0.3125，0.375，…
1概率的不确定性传播
外部事件
地震脆弱性分析
火灾起火频率、水淹始发事件频率不确定性分析 外部灾害发生频率估算（外部水淹、强风）
PSA应用
在役检查管道劣化机理分析，结构可靠性分析(SRA) ，管道失效频率定量化
7
蒙特卡罗方法概述 随机数的生成 随机变量的抽样 MC在PSA不确定性分析中的应用 MC在HRA不确定性分析中的应用 小结
5
蒙特卡罗方法概述(续)
蒙特卡罗方法的优点和缺点
优点 1) 能够比较逼真地描述具有随机 性质的事物的特点及物理实验 过程。 2) 受几何条件限制小。 3) 收敛速度与问题的维数无关。 4) 具有同时计算多个方案与多个 未知量的能力。 5) 误差容易确定。 6) 程序结构简单，易于实现。 缺点 1) 收敛速度慢。 2) 误差具有概率性。
S1
S1 N1 S2 N 2
S2
3
蒙特卡罗方法概述
如何近似计算圆周率π ？
S1 / 4 N1 S2 1 4 N2
4 N1 N2
当N2=30000时，π的 估计值与真实值只 相差0.07%
4
蒙特卡罗方法概述(续)
蒙特卡罗(Monte Carlo, MC)方法又名随机模拟法或 统计试验法。它是在第二次世界大战期间兴起和发展起 来的。它的奠基人是冯.诺依曼(Von Neumann)。其主要 思想是在计算机上模拟实际概率过程，然后加以统计处 理。该方法与传统数学方法相比，具有直观性强、简便 易行的优点，它能处理一些其它方法所不能的复杂问题 ，并且容易在计算机上实现。 可以采用蒙特卡罗方法解决的问题分为两类，一类 是问题本身具有概率或随机事件背景，可以直接用蒙特 卡罗随机试验模拟；另一类是问题本身是确定性问题， 需要通过构造随机事件来逼近真实情景。 有记载的最早的蒙卡方法应用实例----蒲丰(Buffon) 投针试验（1777）
8
随机数的生成
随机数与伪随机数 (pseudorandom number)
在用蒙特卡罗方法进行系统可靠性分析和不确定性分 析时，采用随机数代替设备可靠性参数作为PSA模型 的输入，随机数质量的好坏直接影响定量化结果。 通常所说的随机数是指［0，1］上均匀分布的连续型 随机变量的子样。然而由于受到递推（迭代）公式和 计算机字长的限制，在计算机上不可能生成“真正” 的随机数，计算机生成的随机数只是近似［0，1］上 均匀分布的随机数，称为（伪）随机数。
13
随机数的生成(续)
生成伪随机数时需要考虑的问题：
• 伪随机数的质量（独立性、均匀性）； • 伪随机数序列的周期和容量； • 方法的经济性。
针对上面的问题，生成伪随机数的策略是：
• 选取合适的递推公式T，设置合适的参数值。例如对于乘加 同余法，M的所有质数因子P，应当满足a≡1(mod P) 。当 M=2s(s为正整数)时，取a≡1(mod 4)，c ≡1(mod 2)时乘加 同余法生成的伪随机数质量最好； • 用蒙特卡罗方法进行有限次试验时，尽量避免试验次数不 要超过伪随机数序列的周期； • 如果调用系统自带的随机数生成函数，如果不知道其后台 算法，可以先随机生成种子再根据随机的种子生成随机数 ，避免在同一个随机数序列中多次取随机数。
蒙特卡罗方法 在可靠性分析中的应用 （一） 此处看到的幻灯片标题
2011.12.28
何劼 2014.3
内容提要
蒙特卡罗方法概述 随机数的生成 随机变量的抽样 MC在PSA不确定性分析中的应用 MC在HRA不确定性分析中的应用 小结
2
蒙特卡罗方法概述
如何测量下面不规则图形的面积？
n1 T (n )
常用的生成伪随机数的方法是线性同余法(LCG)，例 如有乘同余法、乘加同余法、加同余法等。
9
随机数的生成(续)
RiskSpectrum中不确定性分析设置界面
10
随机数的生成(续)
表示axi+c除以M之 后的余数
乘加同余法
xi 1 axi c
i 1
M=16，a=5，c=13，种子x0=54321 i 0 1 54321 (5*54321+13)/16=16976余2 xi ξi — 2/16=0.125
2
3 4 5
(5*2+13)/16=1余7
(5*7+13)/16=3余0 (5*0+13)/16=0余13 (5*13+13)/16=4余14
7/16=0.4375
0/16=0 13/16=0.8125 14/16=0.875
得到随机数序列为：0.125，0.4375，0，0.8125，0.875，…
种子唯一确定了随机数序列，当种子的取值给定之后整个随机数 序列就不再“随机”了； 在进行蒙特卡罗模拟时，不应当刻意选定某个数值作为种子，否 则就违背了“随机试验”的理念。任何蒙特卡罗试验的结论都不应 当对种子的取值具有依赖性。