数学中蕴涵的美学思想 (2)
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412x2－x +136
其中x系数旁边注以“元”字，常数项注以“太”字，筹 上画斜线表示“负数”。
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16世纪，数学家卡当、韦达等人对方程符号有了改进，直 到笛卡尔才第一个倡用x, y, z表示未知数。 他曾用
xxx－9xx +26－24∝0
表示方程
x3－9x2 +26－24 = 0
如果要具体写出圆周率或欧拉常数根本不可能，然而用数 学符号却能精确地表示它们。
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2. 形式简单
艺术家们追求的美中，形式美是其中特别重要的内容，他 们在渲染美时，常常运用不同形式，如泰山的雄伟，华山的险 峻，黄山的奇特，峨眉的秀丽，青海的幽深，滇池的开阔等。
数学家们也十分注重数学的形式美，美国数学家柏克提出 了一个公式
秩序 审美度= 复杂性
即人们对数学的审美感受程度，与数学表现出的秩序成正 比，与数学表现出的复杂性成反比。 因此，按审美度要求，数 学的表现形式越简单就越美。
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格林公式
cPdxQdyx ydxdy
DP Q
斯托克斯公式
sin sin sin
cPdxQdyRdzSx y
PQ
dS z R
比达朗贝尔判别法更精细的是拉贝(Laber)判别法
设
ln im n(aann1
1)r
则 当 r>1时，级数 a n 收敛；
n1
当 r<1时，级数 a n 发散。
n 1
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又如，泰勒公式的余项，局部性的有皮亚诺(Peano)余项， 整体性的有施诺米尔奇(Schlomilch)─罗赫(Roche)余项，柯西 余项和拉格朗日余项等。
这个演变过程就是对简单美的追求过程。
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有些数及其运算只有用符号表示，才能更精确、更完美。 例如，圆周率是一个常数，1737年欧拉首先倡导用希腊
字母π来表示它，且通用全世界； 也是欧拉用e表示特殊的无 理常数─欧拉常数
elim (11)n2.7182851980 24854 n n
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3
庞加莱：“数学家们十分重视他们的方法和理论是否 十分优美，这并非华而不实的作风，那么到底是什么使我 们感到一个解答、一个证明优美呢？那就是各个部分之间 的和谐、对称、恰到好处的平稳。”
克莱因：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类 灵魂最独特的创造。音乐能激发或挠慰情怀，绘画能使人 赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可 改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”
简洁的阿拉伯数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0这 一组数字是人们对物质世界存在性最直接最原始的表达。 历史上,各国各民族都有自己的数字,但只有阿拉伯数字保 留并广为流传,究其原因,简洁流畅的书写,干脆上口的发音, 运算中进位快捷方便,是其胜出的法宝。
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1. 符号简单
4. 方法简单
数学中的许多简单有效的判定定理，形式优美的表达方式， 并不是原本固有的，而是经过人们长期比较、筛选的结果。
例如，对于正项级数的收敛性判别，达朗贝尔判别法(比值 法)与柯西判别法(根式法)都是十分简单有效的判别法, 然而它们
都有一个共同的不足，就是不能判别当极限值 l 1时级数的敛散
性，于是人们不断地给出了许多其他形式的判别法。
简单性是数学美的本质之一 。数学是客观的数量关系和 空间形式的高度抽象和概括，而经过不同程度的抽象后，所 得出的数学形式和结构总是在不同的范围内呈现出简单的形 态，简单性可用图表示。
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8
简约是一种美。数学便是用最简洁的语言概括了数量 关系、空间结构,也正因为简洁,数学才得以最广泛地运用, 才有极强的生命力。
符号是书写数学语言的文字，大数学家克莱因说：“符 号常常比发明它们的数学家更能推理”, 人们总是探索用简 单的符号去表现复杂的数学内容。
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10
在埃及出土的三千六百年前的莱因特纸草上有下面一串符号
用今天的符号表示即：
x(2111)37. 327
宋、元时期我国也开始了相当于现在“方程论” 的研究， 当时记数使用的是“算筹”，的记号来表示二次三项式
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空间解析几何中
球
(x a )2 (y b )2 (z c )2 1
椭球
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
椭圆抛物面
z x2 y2 a2 b2
它们不仅便于记忆，而且具有形式美。
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3. 语言简单 数学的简单美表现在语言上使人回味无穷。
如 “负负得正”；“对顶角相等”；“实数集不可数”； “角、边、角”；“边、角、边” 等 。
高斯：“去寻求一种最美和最简洁的证明，乃是吸引 我研究的主要Fra Baidu bibliotek力。”
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4
二、数学美的涵义
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6
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7
第二节 数学美的特征
一、 简单美
简单性，在数学中普遍存在。数学中的每个概念，都是 经过人们精心“雕琢”得到的，是人类智慧的结晶，数学就 是以它的这种独特的“简”来展示它的美的。
一、太极八卦---中国象数学的美 二、河图洛书—数学形式美的雏形
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2
第一节 数学美的涵义
一、数学家论数学美
古希腊的哲学家、数学家普洛克拉斯(Proelus) 断言：“哪里有数，哪里就有美。”
古希腊著名学者毕达哥拉斯(Pythagoras)对数学 有很深的造诣，其中毕氏定理(勾股定理)就是他的杰 作, 他认为“万物最基本的元素是数，数的和谐---这 就是美。”
数列极限 l n i a n m a 0 , N N , n N a n a
函数极限 lf i ( x ) m A 0 , X 0 , x :x X f ( x ) A x
导数概念 f(a)lim f(ax)f(a)
x 0
x
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第十二章 数学中蕴涵的美学思想
第一节 数学美的涵义
一、数学家论数学美 二、数学美的涵义
第二节 数学美的特征
一、简单美 二、 对称美 三、和谐美 四、奇异美
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1
第三节 感受数学美
一、美观---外在的美 二、美好---内在的美 三、美妙---快乐的美 四、完美--- 至善至美
第四节 数学美在中国的源头
其中x系数旁边注以“元”字，常数项注以“太”字，筹 上画斜线表示“负数”。
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16世纪，数学家卡当、韦达等人对方程符号有了改进，直 到笛卡尔才第一个倡用x, y, z表示未知数。 他曾用
xxx－9xx +26－24∝0
表示方程
x3－9x2 +26－24 = 0
如果要具体写出圆周率或欧拉常数根本不可能，然而用数 学符号却能精确地表示它们。
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2. 形式简单
艺术家们追求的美中，形式美是其中特别重要的内容，他 们在渲染美时，常常运用不同形式，如泰山的雄伟，华山的险 峻，黄山的奇特，峨眉的秀丽，青海的幽深，滇池的开阔等。
数学家们也十分注重数学的形式美，美国数学家柏克提出 了一个公式
秩序 审美度= 复杂性
即人们对数学的审美感受程度，与数学表现出的秩序成正 比，与数学表现出的复杂性成反比。 因此，按审美度要求，数 学的表现形式越简单就越美。
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格林公式
cPdxQdyx ydxdy
DP Q
斯托克斯公式
sin sin sin
cPdxQdyRdzSx y
PQ
dS z R
比达朗贝尔判别法更精细的是拉贝(Laber)判别法
设
ln im n(aann1
1)r
则 当 r>1时，级数 a n 收敛；
n1
当 r<1时，级数 a n 发散。
n 1
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又如，泰勒公式的余项，局部性的有皮亚诺(Peano)余项， 整体性的有施诺米尔奇(Schlomilch)─罗赫(Roche)余项，柯西 余项和拉格朗日余项等。
这个演变过程就是对简单美的追求过程。
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有些数及其运算只有用符号表示，才能更精确、更完美。 例如，圆周率是一个常数，1737年欧拉首先倡导用希腊
字母π来表示它，且通用全世界； 也是欧拉用e表示特殊的无 理常数─欧拉常数
elim (11)n2.7182851980 24854 n n
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庞加莱：“数学家们十分重视他们的方法和理论是否 十分优美，这并非华而不实的作风，那么到底是什么使我 们感到一个解答、一个证明优美呢？那就是各个部分之间 的和谐、对称、恰到好处的平稳。”
克莱因：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类 灵魂最独特的创造。音乐能激发或挠慰情怀，绘画能使人 赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可 改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”
简洁的阿拉伯数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0这 一组数字是人们对物质世界存在性最直接最原始的表达。 历史上,各国各民族都有自己的数字,但只有阿拉伯数字保 留并广为流传,究其原因,简洁流畅的书写,干脆上口的发音, 运算中进位快捷方便,是其胜出的法宝。
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1. 符号简单
4. 方法简单
数学中的许多简单有效的判定定理，形式优美的表达方式， 并不是原本固有的，而是经过人们长期比较、筛选的结果。
例如，对于正项级数的收敛性判别，达朗贝尔判别法(比值 法)与柯西判别法(根式法)都是十分简单有效的判别法, 然而它们
都有一个共同的不足，就是不能判别当极限值 l 1时级数的敛散
性，于是人们不断地给出了许多其他形式的判别法。
简单性是数学美的本质之一 。数学是客观的数量关系和 空间形式的高度抽象和概括，而经过不同程度的抽象后，所 得出的数学形式和结构总是在不同的范围内呈现出简单的形 态，简单性可用图表示。
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简约是一种美。数学便是用最简洁的语言概括了数量 关系、空间结构,也正因为简洁,数学才得以最广泛地运用, 才有极强的生命力。
符号是书写数学语言的文字，大数学家克莱因说：“符 号常常比发明它们的数学家更能推理”, 人们总是探索用简 单的符号去表现复杂的数学内容。
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在埃及出土的三千六百年前的莱因特纸草上有下面一串符号
用今天的符号表示即：
x(2111)37. 327
宋、元时期我国也开始了相当于现在“方程论” 的研究， 当时记数使用的是“算筹”，的记号来表示二次三项式
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空间解析几何中
球
(x a )2 (y b )2 (z c )2 1
椭球
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
椭圆抛物面
z x2 y2 a2 b2
它们不仅便于记忆，而且具有形式美。
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3. 语言简单 数学的简单美表现在语言上使人回味无穷。
如 “负负得正”；“对顶角相等”；“实数集不可数”； “角、边、角”；“边、角、边” 等 。
高斯：“去寻求一种最美和最简洁的证明，乃是吸引 我研究的主要Fra Baidu bibliotek力。”
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第二节 数学美的特征
一、 简单美
简单性，在数学中普遍存在。数学中的每个概念，都是 经过人们精心“雕琢”得到的，是人类智慧的结晶，数学就 是以它的这种独特的“简”来展示它的美的。
一、太极八卦---中国象数学的美 二、河图洛书—数学形式美的雏形
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第一节 数学美的涵义
一、数学家论数学美
古希腊的哲学家、数学家普洛克拉斯(Proelus) 断言：“哪里有数，哪里就有美。”
古希腊著名学者毕达哥拉斯(Pythagoras)对数学 有很深的造诣，其中毕氏定理(勾股定理)就是他的杰 作, 他认为“万物最基本的元素是数，数的和谐---这 就是美。”
数列极限 l n i a n m a 0 , N N , n N a n a
函数极限 lf i ( x ) m A 0 , X 0 , x :x X f ( x ) A x
导数概念 f(a)lim f(ax)f(a)
x 0
x
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第十二章 数学中蕴涵的美学思想
第一节 数学美的涵义
一、数学家论数学美 二、数学美的涵义
第二节 数学美的特征
一、简单美 二、 对称美 三、和谐美 四、奇异美
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第三节 感受数学美
一、美观---外在的美 二、美好---内在的美 三、美妙---快乐的美 四、完美--- 至善至美
第四节 数学美在中国的源头