二元一次方程组的认识(学生版)
《10.1认识二元一次方程组》作业设计方案-初中数学青岛版12七年级下册
《认识二元一次方程组》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在帮助学生掌握二元一次方程组的基本概念和解题方法，通过练习巩固所学知识，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、作业内容1. 掌握二元一次方程组的概念及特点，理解其在实际生活中的应用。
2. 学会通过消元法解简单的二元一次方程组。
3. 掌握方程组的增广矩阵表示法，并能利用增广矩阵解二元一次方程组。
三、作业要求1. 理论知识部分：学生需自行预习并理解二元一次方程组的基本概念和增广矩阵的表示方法，做好笔记并标注疑惑点。
2. 练习题部分：设计练习题，包括基础题和拓展题，题型包括选择题、填空题和解答题。
要求学生独立完成练习题，并在完成后进行自我检查和订正。
3. 作业提交：学生需将作业以电子版形式提交至教师指定的平台或邮箱，同时要求字迹清晰、格式规范。
4. 附加任务：鼓励学生尝试寻找生活中的二元一次方程组实例，并加以分析和解决，以此加深对知识的理解和应用。
四、作业评价1. 教师将根据学生提交的作业进行批改，对正确答案进行标注，对错误答案进行指导性评语，指出错误原因及正确解题方法。
2. 对学生完成的练习题和附加任务进行综合评价，评价内容包括知识点掌握程度、解题思路和解题能力等方面。
3. 对表现优秀的学生给予表扬和鼓励，对表现欠佳的学生进行指导和帮助，促进其进步。
五、作业反馈1. 教师将根据批改情况，对全班学生的掌握情况进行总结，针对普遍存在的问题进行讲解和辅导。
2. 对于学生提交的附加任务中的优秀案例，将在课堂上进行展示和讲解，以鼓励更多学生积极参与实践活动。
3. 定期组织学生进行学习交流和讨论，让学生互相学习和借鉴，共同进步。
六、作业设计注意事项1. 作业量要适中，既要保证学生能够掌握知识点，又要避免过多作业导致学生产生厌学情绪。
2. 题目设计要有层次性，既要包括基础题，也要有适当难度的拓展题，以满足不同层次学生的需求。
3. 作业要突出重点和难点，确保学生在完成作业的过程中能够巩固所学知识，提高解题能力。
认识二元一次方程组教案
个人教学设计模板：五、教学策略选择与信息技术融合的设计（针对学习流程，设计教与学的方式的变革，配置学习资源和数字化工具，设计信息技术融合点）教师活动预设学生活动设计意图(一) 引入：由《鸡兔同笼》在小学和中学不同的解决方式引入本课。
本节相关知识点回顾：（1）什么叫方程？（2）什么是一元一次方程？（3）“一元”和“一次”分别指什么？（4）什么是一元一次方程的解，如何解一元一次方程？学生回答：1、含有未知数的等式。
2、一元一次方程的定义。
3、“一元”指一个未知数、“一次”指未知数的最高次数为1.4、一元一次方程的解及解方程的步骤。
通过让学生回忆一元一次方程的定义、一元一次方程的解、一元一次方程的解法，为本课类比研究二元一次方程（组）提供直接经验。
（二）实践探索活动一：探究二元一次方程的定义1、学生根据任务要求列出方程，教师巡视指导。
2、自学展示：设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹。
（1）老牛驮的包裹数比小马驮的多2个，由此你能得到怎样的方程？（2）若老牛从小马的背上拿来1个包裹，这时他们各有几个包裹？由此你又能得到怎样的方程？设他们中有x个成人、y个儿童，由此你能得到怎样的方程？3、自主归纳：观察所列方程思考：方程各含有几个未知数?含有未知数的项的次数是多少?你能够类比一元一次方程的定义给符合以上两个条件的方程下个定义？4、思考：要判断一个方程是不是二元一次方程需要满足哪几个条件？5、应用概念；（1）请判断下列方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是？并说明理由.（2）如果方程是二元一次方程，那么m= 、n= 。
1、自学课本P103—104老牛小马和公园门票问题，找出列方程的依据并列出方程。
2、x+1=2、x+1=2（y-1）、x+y=8、5x+3y=343、两个未知数、次数是1、二元一次方程的定义。
4、含有两个未知数、所含未知数的项的次数都是1。
5、（1）判断正误，对于不是二元一次方程的要说明理由。
3.5 认识二元一次方程组 课件(共21张PPT) 湘教版七年级数学上册
(2) 方程的左右两边都是整式.
典例精析
例1 判断下列方程是否为二元一次方程：
(1) 4 y 3z z 6 ; 是
(2)2 y 5 x; 3
(3) x2 2 y 0;
不是
(4) x 3 1; y
不是 不是
(5)2 x2 2 x y 2 x2;是
(6)4 xy 1. 不是
总结 判断要点：
B. x = 3，
y=6
D. x = 4，
y=2
一般地，二元一次方程有无数个解，而二元一次方 程组只有一个解.
典例精析
例4 小玲在文具店买了 3 本练习本，2 支圆珠笔， 共花去 17 元，其中购买练习本比圆珠笔多花 1 元. (1) 设练习本的单价是 x 元，圆珠笔的单价是 y 元， 试列出相应的二元一次方程组. (2) xy＝＝34，是列出的二元一次方程组的一个解吗？
x＋y＝35，① 4x＋2y＝94. ②
x＝12， y＝23.
典例精析
例3 若
x y
= =
-2，是关于 3
x、y
的方程
x－ky
=
1
的解，
则 k 的值为 －1 .
练一练
2. 二元一次方程组 x = 4，
A. y=3
C. x = 2， y=4
总结
x + 2y = 10，
y = 2x
的解是 ( C )
能否设两个未知数解决？
1 二元一次方程组
探究：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔?
(1) 找出，上述趣题中的等量关系： (1) 兔的只数＋鸡的只数＝35； (2) 兔的脚数＋鸡的脚数＝94.
【人教版】初中数学讲义之：实际问题与二元一次方程组(1)-学生版
实际问题与二元一次方程组（1）1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；2. 熟练掌握用方程组解决和差倍分，配套，工程等实际问题.要点一、常见的一些等量关系（一）1.和差倍分问题：年龄差不变2.产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.3.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.要点二、实际问题与二元一次方程组1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．特别说明：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.【典型例题】类型一、年龄问题1．甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁举一反三：【变式1】一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是___岁．【变式2】7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？．．2．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？请解答上述问题．举一反三：【变式1】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？【变式2】食品安全是关乎民生的重要问题，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但适量的添加剂对人体无害而且有利于食品的储存和运输．为提高质量，做进一步研究，某饮料加工厂需生产A、B两种饮料共100瓶，需加入同种添加剂270克，其中A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，饮料加工厂生产了A、B两种饮料各多少瓶？3．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答．举一反三：【变式1】2020年2月，“新冠”疫情日趋严重，“雷神山”医院急需新型救护车，某企业为了向医院捐献救护车，派人到汽车销售公司了解到，新型救护车共有A、B两种型号，2辆A救护车、3辆B型救护车的进价共计80万元；3辆A型救护车、2辆B型救护车的进价共计95万元．（1）求A、B两种型号的救护车每辆进价分别为多少万元?（2）若该企业计划正好用200万元购进以上两种型号的新型救护车（两种型号的救护车均购买），该企业共有哪几种购买方案．（3）若该救护车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型救护车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，该汽车销售公司全部售出这些新型救护车，哪种方案获利最大？【变式2】2020年新型冠状病毒肺炎在全球蔓延，口罩成了人们生活中的必备物资．某口罩厂现安排A、B两组工人共150人加工口罩，A组工人每人每小时可加工口罩70个，B组工人每人每小时可加工口罩50个，A、B两组工人每小时一共可加工口罩9300个．试问：A、B两组工人各多少人？4．《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少.请解答上述问题．举一反三：【变式1】《一千零一夜》中：有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上；若从觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的13树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？【变式2】《九章算术》中有这样一道题，原文如下：“今有人共买鸡，人出九，盈十一，人出六，不是十六，问人数、鸡价各几何”意思为：有几个人共同出钱买鸡，每人出九钱，则多了十一钱；每人出六钱，则少了十六钱，那么有几个人共同买鸡？鸡的价钱是多少？请解答上述问题．。
专题24 二元一次方程组有整数解(学生版)
专题24 二元一次方程组有整数解【最基础最核心】1．关于,x y的二元一次方程组2420x myx y+=⎧⎨-=⎩有正整数解,则满足条件的整数m的值有（）个A．1B．2C．3D．42．若关于x，y的方程组271ax yx y+=⎧⎨-=⎩有非负整数解，则满足条件的所有整数a值的和为（）A．﹣12B．7C．8D．133．已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组210320mx yx y+=⎧⎨-=⎩有整数解，则2m的值为（）A．4B．1C．49D．4或494．已知m为整数，二元一次方程组436626x yx my-=⎧⎨+=⎩有整数解，则m的值为（）A．4 或﹣4或﹣5B．4 或﹣4或﹣13C．4 或﹣5或﹣13D．4 或﹣4或﹣5或﹣135．若关于x，y的方程组322x yx y a+=⎧⎨-=-⎩的解是正整数，则整数a的值是_____．6．关于x，y的二元一次方程组5323x yx y a+=⎧⎨+=⎩的解是正整数，试确定整数a的值为_________________.7．若关于x，y的方程组362x yx my+=⎧⎨+=-⎩①②有整数解（即x，y均为整数），则满足条件的所有负整数m的值为_____．8．已知关于x，y的方程组322(1)tx yx t y t+=⎧⎨+-=⎩，当正整数t=_____时，方程组有整数解．【能力提升】9．a取何值时(a为整数），方程组2420x ayx y+=⎧⎨-=⎩的解是正整数，并求这个方程组的解．10．方程组1327x yx y+=-⎧-=⎨⎩的解满足210(x ky k-=是常数)，()1求k的值．()2直接写出关于x，y的方程()1213k x y-+=的正整数解11．k 为正整数，已知关于x ，y 的二元一次方程组 210{320kx y x y +=-=有整数解，求2k +x +y 的平方根．【乘风破浪拓展冲刺】12．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到对应点C ，D ，连接AC ，BD ．（1）求出点C ，D 的坐标；（2）设y 轴上一点P （0，m ），m 为整数，使关于x ，y 的二元一次方程组mx 2y 23x 2y 0+=-⎧⎨-=⎩有正整数解，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若Q 点在线段CD 上，横坐标为n ，△PBQ 的面积S △PBQ 的值不小于0.6且不大于4，求n 的取值范围．13．阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2312x y +=有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由2312x y +=，得：1222433x y x -==-（x 、y 为正整数）．要使243y x =-为正整数，则23x 为正整数，可知：x 为3的倍数，从而3x =，代入2423y x =-=．所以2312x y +=的正整数解为32x y =⎧⎨=⎩．问题： （1）请你直接写出方程328x y +=的正整数解___________．（2）若63x -为自然数，则求出满足条件的正整数x 的值． （3）关于x ，y 的二元一次方程组29210x y x ky +=⎧⎨+=⎩的解是正整数，求整数k 的值．天仰2020创作文档3。
二元一次方程组的应用(工程问题)-学生版
二元一次方程组的应用(工程问题)1．某市准备对一段长120m 的河道进行清淤疏通，若甲工程队先用4 天单独完成其中一部份河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9 天；若甲工程队单独工作8 天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要 3 天；设甲工程队平均每天疏通河道xm ，乙工程队平均每天疏通河道ym ，则(x + y) 的值为( )A ．20B ．15C ．10D ．52 ．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付给两组费用共3520 元；若先请甲组单独做 6 天，再请乙组单独做12 天可以完成，需付给两组费用共3480 元，若装修完后，商店每天可盈利200 元，你认为如何安排施工有利用商店经营？ ( )A．甲单独B．乙单独C．甲、乙同时做D．以上都不对3 ．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付给两组费用共3520 元；若先请甲组单独做 6 天，再请乙组单独做12 天可以完成，需付给两组费用共3480 元，甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？( )A．甲单独工作一天商店对付240 元，乙单独工作一天商店对付320 元B．甲单独工作一天商店对付200 元，乙单独工作一天商店对付180 元C．甲单独工作一天商店对付140 元，乙单独工作一天商店对付300 元D．甲单独工作一天商店对付300 元，乙单独工作一天商店对付140 元4 ．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付给两组费用共3520 元；若先请甲组单独做 6 天，再请乙组单独做12 天可以完成，需付给两组费用共3480 元，已知甲组单独完成需要12 天，乙组单独完成需要24 天，单独请哪组，商店所付费用较少？( )A．甲B．乙5．某地准备对一段长120m 的河道进行清淤疏通．若甲工程队先用4 天单独完成其中一部份河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9 天；若甲工程队先单独工作8 天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3 天．设甲工程队平均每天疏通河道xm ，乙工程队平均每天疏通河道ym ，则(x + y) 的值为________．6．某地准备对一段长120m 的河道进行清淤疏通．若甲工程队先用4 天单独完成其中一部份河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9 天；若甲工程队先单独工作8 天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3 天．则甲工程队平均每天疏通河道m ，乙工程队平均疏通河道m ．7．某地准备对一段长1200 米的河道进行消淤疏通．若甲工程队先用4 天单独完成其中一部分河道的疏通任务，剩余下的任务由乙工程队单独完成需要9 天；若甲工程队先单独工作8 天，剩余下的任务由乙工程队单独完成需要3 天．设甲工程队平均每天疏通河道x 米，乙工程队每天疏通河道y 米，则x + y = 米．8．一项世博工程，甲乙两个工程队合作7 个月可以完成．两队合作5 个月后，甲队所有队1员及乙队人数的调整做其它工作，剩下的人又过了6 个月把工程完成．如果该工程由甲、5乙单独来完成，那末甲需要________个月，乙需要_________个月(结果可以是小数)．9 ．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费用共3520 元，若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独做12 天可以完成，需付费用3480 元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店各对付多少钱？(2)已知甲单独完成需12 天，乙单独完成需24 天，单独请哪个组，商店所需费用至少？(3)若装修完后，商店每天可盈利200 元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你匡助商店决策． (可用(1) (2)问的条件及结论)10．建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程．某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120 万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150 天完成．由于特殊情况需要，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40 天后甲队返回，两队又共同施工了110 天，这时甲乙两队共完成土方量103.2 万立方．(1)问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？(2)在抽调甲队外援施工的情况下，为了保证150 天完成任务，公司为乙队新购进了一批机械来提高效率，那末乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才干保证按时完成任务？11．某家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费用共3520 元，若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独做12 天可以完成，需付费用3480 元．(1)甲、乙两组工作一天，商店各对付多少钱？(2) 现有三种施工方案：①单独请甲组装修；②单独请乙组装修；③请甲，乙两组合做．若装修完后，商店每天可盈利200 元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．12．深圳市某小区为了以斩新的面貌迎接“创文”工作，决定请甲、乙两个装饰公司对小区外墙进行装饰维护．若由甲、乙两个公司合作，需8 天完成，小区需支付费用12.8 万元；若由甲公司单独做4 天后，剩下的由乙公司来做，还需10 天才干完成，小区需支付费用12.4 万元．问：甲、乙两个装饰公司平均每天收取的费用分别是多少万元？13 ．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费用共3520 元，若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独做12 天可以完成，需付两组费用共3480 元，问：(1)甲、乙两组单独工作一天，商店各对付多少元？(2)单独请哪组，商店所付费用较少？(3)若装修完后，商店每天可盈利200 元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．14．玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6 周完成，共需装修费为5.2 万元；若甲公司单独做4 周后，剩下的由乙公司来做，还需9 周才干完成，共需装修费4.8 万元．玲玲的爸爸妈妈商议后决定只选一个公司单独完成．(1)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？(2)如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由．15 ．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付给两组费用共3520 元，若先请甲组单独做 6 天，再请乙组单独做12 天可以完成，需付给两组费用共3480 元，问：(1)甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独完成需要12 天，乙组单独完成需要24 天，单独请哪组，商店所付费用较少？16 ．某家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费用共3520 元，若先请甲组单独做6 天，再请乙单独做12 天可以完成，需付费用3480 元．(1)甲、乙两组工作一天，商店各对付多少钱？(2)已知甲组单独完成需12 天，乙组单独完成需24 天，单独请哪个组，商店所付费用较少？(3)在(2)的条件下，现有三种施工方案：①单独请甲组装修；②单独请乙组装修；③请甲、乙两组合做．若装修过程中，商店非但要支付装修费用，而且每天因装修损失收入200 元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你匡助商店决策． (可用(1) (2)问的条件及结论)17．修筑某一建造时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8 天可以完成，需付两队费用共3520 元；若先请甲队单独做6 天，再请乙队单独做12 天可以完成，需付两队费用共3480 元，问：(1)甲、乙两队每天费用各为多少？(2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？18 ．一家商店进行门店升级需要装修，装修期间暂停营业，若请甲乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付费用共3520 元；若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独做12 天可以完成，需付费用3480 元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店各对付多少钱？(2)已知甲组单独完成需12 天，乙组单独完成需24 天，单独请哪个组，商店所需费用最少？(3)装修完毕第二天即可正常营业，且每天仍可盈利200 元(即装修先后每天盈利不变)，你认为商店应如何安排施工更有利？说说你的理由． (可用(1) (2)问的条件及结论)19 ．今年是脱贫攻坚最后一年，某镇拟修一条连通贫困山区村子的公路，现有甲、乙两个工程队．若甲、乙合作，36 天可以完成，需用600 万元；若甲单独做20 天后，剩下的由乙做，还需40 天才干完成，这样所需550 万元．(1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？(2)求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少万元？20．某超市进行装修，若请A 、B 两个装修队同时施工，6 天可以完成，需付两队装修费共3600 元，若先请A 队单独做4 天，再请B 队单独做9 天可以完成，需付装修费3500 元．(1) A 、B 两装修队工作一天，超市各对付多少元给他们？(2)已知A 队单独完成需10 天，B 队单独完成需求15 天，单独请哪个队超市所需费用最少？(3)在(2)的条件下，若装修完，超市每天可盈利200 元，你认为如何安排施工更有利于超市？请说明理由．21 ．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费用共3520 元，若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独做12 天可以完成，需付给两组费用共3480 元，问：(1)甲、乙两组单独工作一天，商店各对付多少钱？(2)已知甲组单独完成需12 天，乙单独完成需24 天，单独请哪组商店所付费用较少？(3)若装修完成后，商店每天可以盈利200 元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由． (可用(1) (2)中的已知条件)22．修筑某一建造时，若请甲、乙两个工程队同时施工，5 天可以完成，需付两队费用共3500 元；若先请甲队单独做3 天，再请乙队单独做6 天可以完成，需付两队费用共3300 元．问：(1)甲、乙两队每天的费用各为多少？(2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？23．某小区计划对外墙进行装饰维护．若甲、乙两个装饰公司合作施工，则共需要6 天完成，小区总共需要支付9.6 万元；若甲装饰公司先单独施工2 天，则乙装饰公司还需要8 天来完成剩下的装饰工作，小区总共需要支付9.2 万元．问：甲、乙两个装饰公司每天分别收取多少费用？24．某工程队承包了全长3150 米的公路施工任务，甲、乙两个组分别从东、西两端同时施工，已知甲组比乙组平均每天多施工6 米，经过5 天施工，两组共完成为了450 米．(1)求甲、乙两个组平均每天各施工多少米？(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多施工4 米，乙组平均每天比原来多施工6 米，按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？25 ．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付给两组费用共3520 元；若先请甲组单独做 6 天，再请乙组单独做12 天可以完成，需付给两组费用共3480 元，问：(1)甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独完成需要12 天，乙组单独完成需要24 天，单独请哪组，商店对付费用较少？(3)若装修完后，商店每天可盈利200 元，你认为如何安排施工有利用商店经营？说说你的理由． (可以直接用(1) (2)中的已知条件)26．商铺进行维修，若请甲、乙两名工人同时施工，6 天可以完成，共需支付两人工资5700 元；若先请甲工人单独做4 天，再请乙工人单独做7 天也可完成，共需付给两人工资5450 元．(1)甲、乙工人单独工作一天，商铺应分别支付多少工资？(2)单独请哪名工人完成，商铺支付维修费用较少？3520 元，若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独做 12 天可以完成，需付费用3480 元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店各对付多少钱？(2)已知甲组单独完成需 12 天，乙组单独完成需 24 天，单独请哪个组，商店所需费用最 少？(3)若装修完后，商店每天可盈利200 元，现有三种方案： ①甲组单独做； ②乙组单独做； ③甲、乙组同时做，你认为哪一种施工方案更有利于商店？请你匡助商店决策． (可用(1)(2)问的条件及结论)28 ．某项工程若由甲、乙两队承包， 2 天可以完成，需支付 1800 元；若由乙、丙两队承 53 64 7元；(1)问甲、乙、丙三队的工作效率分别是多少？(2)在保证一个星期内完成这项工程的前提下，选择哪个队单独承包费用至少？包， 3 天可以完成，需支付 1500 元；若由丙、甲两队承包， 2 天可以完成，需支付 1600 2元，若先请甲队单独做6 天，再请乙队单独做16 天可以完成，需付费用4040 元．(1)甲、乙两队工作一天，商店各对付多少钱？(2)若装修完，商店每天可盈利200 元，则如何安排施工更有利于商店？请说明理由．30．解答题：小芳家准备装修一套新住房，若甲乙两个装修公司合作，需要6 周完成，共需要装修费 5.2 万元；若甲公司单独做4 周后，剩下的由乙公司来做，还需9 周才干完成，共需要装修费 4.8 万元，小芳的父母商议后决定只选一个公司单独完成，如果从节约开支的角度应该选择哪家公司来做？请说明理由．31 ．内江市对城区沿江两岸的部份路段进行亮化工程建设，整个工程拟由甲、乙两个安装公司共同完成．从两个公司的业务资料看到：若两个公司合做，则恰好用12 天完成；若甲、乙合做9 天后，由甲再单独做5 天也恰好完成．如果每天需要支付甲、乙两公司的工程费用分别为1.2 万元和0.7 万元．试问：(1)甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？(2)要使整个工程费用不超过22.5 万元，则乙公司至少应施工多少天？32 ．一家商店进行装修，若甲、乙两个装修队同时施工，8 天可以完成，需要给两队费用共3520 元；若先请甲队单独做6 天，再请乙队单独做12 天可以完成，需付给两队费用共3480 元．问：(1)甲、乙两队单独工作一天，商店对付多少元？(2)已知甲队单独完成需要12 天，乙队单独完成需要24 天，单独请哪个装修队商店所付费用较少？(3)若装修完后，商店每天可盈利200 元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由． (可以直接用(1) (2)中的已知条件)33．双流县新城湿地公园工程指挥部计划在休闲地带铺设地砖1600m2 ，由甲、乙两个工程队合作完成．如果甲工程队先单独做5 天，余下工程由乙队单独完成需要2 天；如果甲工程队先单独做2 天，余下工程由乙队单独完成需要4 天．那末甲、乙两个工程队哪一个工程队的工作效率高？高多少？34．一项工程，甲、乙两人合做8 天可以完成任务，需要费用352 元．若甲单独做6 天后剩下的工程由乙单独做，还需12 天才干完成，这样的费用需要348 元．问甲、乙两人单独完成此工程每天各需费用多少元？35 ．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费用共3520 元；若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独做12 天可以完成，需付两组费用共3480．问：(1)甲、乙两组工作一天，商店各对付多少钱？(2)已知甲组单独完成需要12 天，乙组单独完成需要24 天．请问该商店应选择以上哪一种方案所付费用至少．36 ．加工一批零件，甲先单独做8 小时，然后又与乙一起加工5 小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2 个零件，零件共350 个．问甲、乙两人每小时各加工多少个零件？37．一项工程，甲、乙两人合做8 天可完成任务，需要费用3520 元；若甲单独做6 天后，剩下的工程由乙单独做还需12 天才干完成，这样需要费用3480 元．问：甲、乙两人每天各需费用多少元？38．在我县乡村公路的改建中，某乡村公路长5280 米，现准备由甲、乙两个工程队拟在20 天内(含20 天)合作完成．已知两个工程队各有20 名工人(设甲、乙两个工程队工人全部参加工作，甲工程队每人每天的工作量相同，乙工程队每人每天的工作量相同)，甲工程队工作 2 天，乙工程队工作3 天，共修路700 米：甲工程队工作4 天，乙工程队工作5 天，共修路1300 米．(1)试求甲、乙两个工程队每天分别修路多少米？(2) 甲、乙两个工程队公共施工8 天后，由于工作需要，从乙队抽调m 人去其它工程工作，现要在规定的20 天内(含20 天)完成，请问乙队最多可以抽调多少人？39 ．蕲春新长途客运站准备在七一前建成营运，后期工程若请甲乙两个工程队同时施工，8 天可以完工，需付两工程队施工费用7040 元；若先请甲工程队单独施工6 天，再请乙工程队单独施工12 天可以完工，需付两工程队施工费用6960 元．(1)甲、乙两工程队施工一天，应各付施工费用多少元？(2)若想付费用较少，选择哪个工程队？若想及早完工，选择哪个工程队？。
第4讲 二元一次方程(组)的概念与解法(学生版)
第4讲 二元一次方程（组）的概念与解法一、知识回顾：一、二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（一般用x 和y ），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 特别说明：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为⎩⎨⎧ba＝＝y x 的形式.3. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组3452x y x +=⎧⎨=⎩.4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.二、二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变成b ax y +=（或b ay x +=）的形式；②将b ax y +=（或b ay x +=）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；转化消元一元一次方程二元一次方程组④把x （或y ）的值代入b ax y +=（或b ay x +=）中，求y （或x ）的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“{”联立在一起即可.二、经典例题：知识点一、二元一次方程（组）的概念【例1】若(a −2)x |a−1|−3y =5是关于x 、y 的二元一次方程，则a 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．1或2 【例2】下列各组数中，是二元一次方程3x −5y =8的解的是（ ）A ．{x =1y =1B ．{x =−1y =1C ．{x =−1y =−1D ．{x =1y =−1【例3】若{x =−1y =2是关于x ，y 的二元一次方程3x+ay=5的一个解，则a 的值为 【例4】如果{x =1，y =2是关于x ，y 的方程mx +2y =6的解，那么m 的值为（） A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．2【例5】下列方程中：①xy =1 ；②3x +2y =4 ；③2x +3y =0 ；④x 4+y3=7 ，二元一次方程有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【例6】下列方程组是二元一次方程组的是（ ）A ．{mn =2m +n =3 B ．{5m −2n =01m+n =3C ．{m +n =03m +2a =16D ．{m =8m 3−n 2=1知识点二、二元一次方程组的解法【例7】用代入消元法解方程组 {y =x −13x −2y =5正确的化简结果是（ ） A ．3x −2x −2=5 B ．3x −2x +2=5 C ．3x −2x −1=5 D ．3x −2x +1=5【例8】用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是（ ）A ．由（1），得x=2−4y 3B ．由（1），得y=2−3x 4C ．由（2），得x=y+52D ．由（2），得y=2x ﹣5【例9】解方程组。
北师大版八年级上册数学《认识二元一次方程组》说课稿
03
说教学目标
说教学目标
1.了解二元一次方程组及其解的定义； 2.掌握如何列出二元一次方程组； 3.掌握如何检验一组数是否是某个二元 一次方程组的解。
04
说教学重难点
说教学重难点
教学重点：让学生了解二元一次方程组及其解的定义，掌握如何列出 二元一次方程组； 教学难点：如何检验一组数是否是某个二元一次方程组的解。
谢谢
练习巩固
1. 求解下列二元一次方程组： 2x + y = 5 x - 3y = -1 2. 判断数对(2,3)是否是下列二元一次 方程组的解： 3x - y = 7 x + 2y = 8 3. 列出一个二元一次方程组，使得它 的解为x=3，y=4。
总结归纳
教师：今天我们学习了什么？ 学生：我们学习了二元一次方程组及 其解的定义，掌握了如何列出二元一 次方程组，以及如何检验一组数是否 是某个二元一次方程组的解。 教师：非常好，你们都很棒！希望你 们能够在以后的学习中继续努力，掌 握更多的数学知识。
01
说教材
说教材
本节课的教材是北师大版八年级上册数学教材， 第五章二元一次方程组的第一节。本节课主要 介绍了二元一次方程组及其解的定义，以及如 何列出二元一次方程组，并检验一组数是否是 某个二元一次方程组的解。
02
说学情
说学情
本节课是初中数学的重要内容，是学生初 步接触二元一次方程组的课程。在学习本 节课之前，学生已经学习了一元一次方程 的解法，对方程及其解有了一定的了解。 但是对于二元一次方程组及其解的概念还 不够清晰，需要通过本节课的学习来进一 步掌握。
06
说教学过程
导入环节
教师可以通过举例子的方式，引出二元一次方程组的概念，并让学生思考 一元一次方程组和二元一次方程组的区别。 教师：小明有一些苹果和橙子，苹果的单价为2元，橙子的单价为3元，小 明购买了5个苹果和3个橙子，花费了13元，请问苹果和橙子的数量各是多 少个？ 学生：这是一个二元一次方程组的问题吗？ 教师：对，这是一个二元一次方程组的问题。那么，你们知道什么是二元 一次方程组吗？ 学生：二元一次方程组是由两个未知数和两个一次方程组成的方程组。 教师：很好，那么一元一次方程和二元一次方程组有什么区别呢？ 学生：一元一次方程只有一个未知数和一个一次方程，而二元一次方程组 有两否是某个二元一次方程组的解
八年级数学上册5.1认识二元一次方程组教案 新版北师大版
八年级数学上册5.1认识二元一次方程组教案新版北师大版一. 教材分析本节课的主题是“认识二元一次方程组”，是北师大版八年级数学上册第五章第一节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了二元一次方程的基础上进行学习的，通过本节课的学习，让学生能够理解二元一次方程组的概念，学会用图形的方法来解二元一次方程组，为后续学习二元一次方程组的解法和其他应用打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二元一次方程的知识，对于解方程有一定的掌握，但是对于二元一次方程组的概念和解法可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解二元一次方程组的概念，掌握解二元一次方程组的方法。
三. 教学目标1.让学生理解二元一次方程组的概念，能够识别二元一次方程组。
2.让学生学会用图形的方法来解二元一次方程组。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二元一次方程组的概念和解法。
2.难点：如何引导学生用图形的方法来解二元一次方程组。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生思考和探索，让学生在自主学习的过程中掌握二元一次方程组的概念和解法。
同时，运用图形的方法，让学生更直观地理解二元一次方程组的解法。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括二元一次方程组的定义、解法以及应用等内容。
2.准备一些实际的例子，用于引导学生思考和探索。
3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际例子，引导学生思考如何解决两个未知数的问题。
例如，某个商品的单价和数量，总价是多少？这样让学生感受到二元一次方程组在实际生活中的应用。
2.呈现（10分钟）讲解二元一次方程组的定义，呈现一些二元一次方程组的例子，让学生理解二元一次方程组的概念。
同时，介绍解二元一次方程组的方法，如代入法、消元法等。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个二元一次方程组进行解题。
初中数学教案：二元一次方程组【优秀8篇】
初中数学教案：二元一次方程组【优秀8篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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完整版)二元一次方程组知识点归纳
完整版)二元一次方程组知识点归纳二元一次方程组是数学中的基本概念，它包含了两个未知数，且未知数的项次数都是1.这样的方程被称为二元一次方程。
当两个二元一次方程具有相同的未知数时，它们可以被合并成一个二元一次方程组。
需要注意的是，一个或多个二元一次方程也可以单独组成一个方程组。
二元一次方程组的解是指使方程组中两个未知数相等的值。
一个二元一次方程有无数个解。
二元一次方程组的解是指满足方程组中两个方程的公共解。
例如，方程组x+y=5和6x+13y=89有解x=-24/7，y=59/7.有些方程组没有解，例如x+y=4和2x+2y=10.这是因为方程②化简后为x+y=5，这与方程①相矛盾。
消元是解决方程组的一种常用方法，它可以将方程组中的未知数个数由多化少。
代入消元法是一种常见的消元方法，它可以将一个方程中的未知数用另一个未知数的式子表示出来，然后代入另一个方程中，消元求解。
加减消元法是另一种解二元一次方程组的方法，它可以将两个方程相加或相减，消去其中一个未知数，从而得到一个关于另一个未知数的一元一次方程。
最后解出这个方程，求出未知数的值。
1.理解问题，明确未知量和已知量之间的关系；2.根据问题中的条件，列出方程（组）；3.解方程（组），求出未知量的值；4.检验解是否符合实际情况；5.给出问题的答案，并附上解题过程。
七、注意事项1.在解题过程中，要注意符号的运用，避免出现计算错误；2.在列方程（组）时，要注意把问题中的信息全部转化为数学语言，避免遗漏；3.在解方程（组）时，要注意检查解的合理性，避免出现无解或多解的情况；4.在解应用题时，要注意理解问题的实际意义，避免出现解出的答案与实际情况不符的情况。
解二元一次方程组的方法主要有加减消元法和代入法。
在同一个方程中，如果同一未知数的系数不相等或不互为相反数，就可以用适当的数乘方程两边，使同一未知数的系数相等或互为相反数，即“乘”。
将两个方程的两边相加或相减，可消去一个未知数，得到一个一元一次方程，即“加减”。
北师大版数学八年级上册第五章认识二元一次方程组优秀教学案例
（一）情景创设
1.利用多媒体展示现实生活中的问题情境，如购物、旅行等，引导学生发现数学问题，引出二元一次方程组的概念。
2.通过设计有趣的数学故事或游戏，让学生在轻松愉快的氛围中学习二元一次方程组的解法。
3.创设具有挑战性的问题情境，激发学生的思考和探索欲望，引导学生主动参与学习。
（二）问题导向
（五）作业小结
1.布置具有针对性的作业，让学生巩固所学知识，提高自己的实际应用能力。
2.要求学生在作业中运用所学知识解决实际问题，培养他们的数学应用意识。
3.教师及时批改作业，了解学生对二元一次方程组的掌握情况，为下一步教学提供依据。
在教学过程中，我将以导入新课、讲授新知、学生小组讨论、总结归纳和作业小结为主线，关注每个学生的学习过程，给予他们个性化的指导。同时，我会充分利用多媒体教学资源，创设生动有趣的问题情境，激发学生的学习兴趣，提高他们的数学素养。在教学过程中，我会注重培养学生的团队协作能力，引导他们通过自主学习、合作交流的方式，探究二元一次方程组的解法，使他们在掌握知识的同时，也能培养良好的学习习惯和团队合作能力。
2.设计小组合作活动，让学生通过实践操作、讨论交流，共同完成任务，培养他们的团队合作能力和沟通能力。
3.关注小组合作过程中的每个学生，给予他们个性化的指导，确保他们在合作中收获成长。
（四）反思与评价
1.引导学生在学习过程中进行自我反思，发现自己的优点和不足，提高自我认知。
2.设计评价量表，让学生对自己的学习过程进行评价，培养他们的评价能力和自我改进意识。
3.定期进行课堂小测，了解学生对二元一次方程组的掌握情况，为下一步教学提供依据。
在教学过程中，我将根据教学目标和教学内容，灵活运用教学策略，关注每个学生的学习过程，给予他们个性化的指导。同时，我会充分利用多媒体教学资源，创设生动有趣的问题情境，激发学生的学习兴趣，提高他们的数学素养。在教学过程中，我会注重培养学生的团队协作能力，引导他们通过自主学习、合作交流的方式，探究二元一次方程组的解法，使他们在掌握知识的同时，也能培养良好的学习习惯和团队合作能力。
专题7 二元一次方程组及其解法-重难点题型(举一反三)(学生版)
专题2.1 二元一次方程组及其解法-重难点题型【知识点1 二元一次方程（组）的概念】1、二元一次方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
【题型1 二元一次方程（组）的概念】【例1】（2021春•常德期末）若方程（n ﹣1）x |n |﹣3y m ﹣2025＝5是关于x ，y 的二元一次方程，则n m ＝ ．【变式1-1】（2021春•平凉期末）方程组{y −(a −1)x =5y |a|+(b −5)xy =3是关于x ，y 的二元一次方程组，则a b 的值是 ． 【变式1-2】（2017春•长宁县月考）已知方程组{3x −(m −3)y |m−2|−2=1(m +1)x =−2是二元一次方程组，求m 的值．【变式1-3】（2021春•自贡期末）已知关于x 、y 的方程（k 2﹣4）x 2+（k +2）x +（k ﹣6）y ＝k +8， 试问：①当k 为何值时此方程为一元一次方程？②当k 为何值时此方程为二元一次方程？【知识点2 二元一次方程（组）的解】3、二元一次方程的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
4、二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法【题型2 二元一次方程（组）的解】【例2】（2021春•开福区月考）已知关于x ，y 的二元一次方程组{mx +2y =103x −2y =0的解中x ，y 均为整数，且m 为正整数，则m 2﹣1的值为（ ）A ．3或48B ．3C ．4或49D ．48【变式2-1】（2021春•嵊州市期末）关于x ，y 的二元一次方程组{x +y =9k x −y =5k的解也是二元一次方程2x +y ＝16的解，则k 的值为 ．【变式2-2】（2021春•遂宁期末）关于x ，y 的二元一次方程2x +3y ＝12的非负整数解有 组．【变式2-3】（2020春•永定区期中）若{x =2y =1是二元一次方程ax ﹣by ＝5和ax +2by ＝8的公共解，求b ﹣2a 的值．【题型3 构建二元一次方程组】【例3】（2021春•江津区期末）如果|x ﹣y ﹣3|+（x +3y +1）2＝0，那么x ，y 的值为（ ）A ．{x =1y =2B ．{x =2y =−1C ．{x =−1y =−2D ．{x =−2y =−1 【变式3-1】（2020•奉贤区三模）如果单项式x 4y m ﹣n 与2019x m +n y 2是同类项，那么m +n 的算术平方根是 ．【变式3-2】（2021春•海陵区期末）已知a 、b 都是有理数，观察表中的运算，则m ＝ ．a 、b 的运算a +b a ﹣b （a +2b ）3 运算的结果 5 9 m【变式3-3】（2021春•三门峡期末）对于有理数x ，y ，定义一种新运算：x ⊕y ＝ax +by ﹣5，其中a ，b 为常数．已知1⊕2＝9，（﹣3）⊕3＝﹣2，则2a ﹣b ＝ ．【题型4 整体换元求值】【例4】（2021春•绥棱县期末）已知x ，y 满足方程组{2x +5y =m −145x +2y =−m，则11x +11y 的值为（ ） A ．﹣22 B ．22 C ．11m D ．14【变式4-1】（2021•安徽二模）若x 2﹣y 2＝2021，且x ﹣y ＝1．则x ＝ ．【变式4-2】（2021春•自贡期末）阅读以下材料：解方程组{x −y −1=0①4(x −y)−y =5②． 解：由①得x ﹣y ＝1③，将③代入②得4×1﹣y ＝5，解得y ＝﹣1；把y ＝﹣1代入①解得{x =0y =−1，这种方法称为“整体代入法”． 请你用这种方法解方程组{2x −y −2=0①6x−3y+45+2y =12②．【变式4-3】（2021春•福州期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组{2x +5y =3①4x +11y =5②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x +10y +y ＝5即2（2x +5y ）+y ＝5③，把方程①代入③得：2×3+y ＝5，∴y ＝﹣1，把y ＝﹣1代入①得x ＝4，∴方程组的解为{x =4y =−1． 请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组{3x −2y =5①9x −4y =19②； （2）已知x ，y 满足方程组{3x 2−2xy +12y 2=47①2x 2+xy +8y 2=36②，求x 2+4y 2与xy 的值； （3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解．【题型5 由方程组的错解问题求参数的值】【例5】（2020春•定州市校级期末）解方程组{ax +by =2cx −7y =8时，一学生把c 看错而得{x =−2y =2，正确的解是{x =3y =−2，那么a 、b 、c 的值是（ ）A ．不能确定B ．a ＝4，b ＝5，c ＝﹣2C ．a ，b 不能确定，c ＝﹣2D ．a ＝4，b ＝7，c ＝2【变式5-1】（2020春•牡丹江期中）甲乙两人解方程组{ax +5y =15，①4x −by =−2，②，由于甲看错了方程①中的a ，而得到方程组的解为{x =−3y =−1，乙看错了方程②中的b ，而得到的解为{x =5y =4，则a +b ＝ ． 【变式5-2】（2021春•青川县期末）解关于x ，y 的方程组{ax +by =93x −cy =−2时，甲正确地解出{x =2y =4，乙因为把c 抄错了，误解为{x =4y =−1，求a ，b ，c 的值．【变式5-3】（2020春•邗江区期末）小明和小红同解同一个方程组时，小红不慎将一滴墨水滴在了题目上使得方程组的系数看不清了，显示如下{▲x +■y =2(1)▲x −7y =8(2)，同桌的小明说：“我正确的求出这个方程组的解为{x =3y =−2”，而小红说：“我求出的解是{x =−2y =2，于是小红检查后发现，这是她看错了方程组中第二个方程中x 的系数所致”，请你根据他们的对话，把原方程组还原出来．【题型6 根据方程组解的个数求参数】【例6】（2021春•江夏区期末）如果关于x ，y 的方程组{x +y =3x −2y =a −2的解是正数，那a 的取值范围是（ ） A ．﹣4＜a ＜5 B ．a ＞5 C ．a ＜﹣4 D ．无解【变式6-1】（2020秋•锦江区校级期中）若方程组{ax −y =14x +by =2有无数组解，则a +b ＝（ ） A ．2 B ．3 C ．﹣1 D ．0【变式6-2】（2021春•仓山区期中）关于x ，y 的方程（m ﹣1）x +4y ＝2和3x +（n +3）y ＝1，下列说法正确的有 ．（写出所有正确的序号）①当m ＝1，n ＝﹣3时，由这两个方程组成的二元一次方程组无解；②当m ＝1且n ≠﹣3时，由这两个方程组成的二元一次方程组有解；③当m ＝7，n ＝﹣1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有无数个解；④当m ＝7且n ≠﹣1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有且只有一个解．【变式6-3】（2021春•汉寿县期中）阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2x +3y ＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由2x +3y ＝12，得：y =12−2x 3=4−23x （x 、y 为正整数）．要使y ＝4−23x 为正整数，则23x 为正整数，可知：x 为3的倍数，从而x ＝3，代入y ＝4−23x ＝2．所以2x +3y ＝12的正整数解为{x =3y =2． 问题：（1）请你直接写出方程3x +2y ＝8的正整数解 {x =2y =1． （2）若6x−3为自然数，则满足条件的正整数x 的值有A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个（3）关于x ，y 的二元一次方程组{x +2y =92x +ky =10的解是正整数，求整数k 的值．。
学生版二元一次方程组解法(一)--代入(提高)知识讲解
二元一次方程组解法—代入法（提高）知识讲解【学习目标】1. 理解消元的思想；2. 会用代入法解二元一次方程组.【要点梳理】要点一、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.要点二、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．要点诠释：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．【典型例题】类型一、用代入法解二元一次方程组1．用代入法解方程组：237 338x yx y+=⎧⎨-=⎩①②举一反三：【变式】m取什么数值时，方程组的解（1）是正数；（2）是正整数？并求它的所有正整数解..2.“整体代入”解方程组：10 4()5x yx y y--=⎧⎨--=⎩举一反三：【高清课堂：二元一次方程组的解法369939 例7（1）】【变式1】解方程组2320,2352y9.7x yx y--=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩（2）45:4:3x yx y-=⎧⎨=⎩①②类型二、方程组解的应用3. 已知关于x，y的方程组2529x y mx y m+=⎧⎨-=⎩①②的解满足方程3x+2y＝19，求m的值．4.已知2564x yax by+=-⎧⎨-=-⎩①②和方程组35168x ybx ay-=⎧⎨+=-⎩③④的解相同，求2011(2)a b+的值．举一反三：【变式】小明和小华同时解方程组5213mx yx ny+=⎧⎨-=⎩，小明看错了m，解得722xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩小华看错了n，解得37xy=⎧⎨=-⎩，你能知道原方程组正确的解吗？请求出来．二元一次方程组解法（一）--代入法（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．解方程组347910250m n m n -=⎧⎨-+=⎩①②的最好方法是（ ）.A ．由①得743n m +=再代入② B ．由②得25109n m +=再代入① C ．由①得347m n =+再代入② D ．由②得91025m n =-再代入① 2.若|3x +y +5|+|2x -2y -2|=0，则2x 2-3xy 的值是（ ）.A ．14B ．-4C ．-12D ．123．关于x ，y 的方程y kx b =+，k 比b 大1，且当12x =时，12y =-，则k ，b 的值分别是（ ）. A ．13，23- B ．2，1 C ．-2，1 D ．-1，0 4．已知24x y =-⎧⎨=⎩和41x y =⎧⎨=⎩都是方程y ＝ax+b 的解，则（ ）. A ．125a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ B ．123a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ C ．121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ D ．121a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩5．如果二元一次方程组4x y a x y a+=⎧⎨-=⎩的解是二元一次方程3x -5y -30＝0的一个解，那么a 的值是（ ）.A ．3B ．2C ．7D ．66．一艘缉毒艇去距90海里的地方执行任务，去时顺水用了3小时，任务完成后按原路返回，逆水用了3.6小时，求缉毒艇在静水中的速度及水流速度．设在静水中的速度为x 海里/时，水流速度为y 海里/时，则下列方程组中正确的是（ ）.A ．33903.6 3.690x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．3 3.6903.6390x y y x +=⎧⎨+=⎩ C ．3()903()90x y x y +=⎧⎨-=⎩ D ．33903.6 3.690x y x y +=⎧⎨-=⎩ 二、填空题7．已知51,62x t y t =+=-，用含y 的式子表示x ，其结果是_______．8．在方程组31()352x y x y y +=-⎧⎪⎨+-=⎪⎩①②中，若把x+y 看作一个整体，把①代入②，解得y ＝________，所以x ＝_______． 9．x ，y 满足方程组3496527ax y ax y +=⎧⎨+=⎩，那么3ax+y 的值是________. 10．若532y x a b +与2244x y a b --是同类项，则x ＝ ________，y ＝ ________．11．已知方程组3524x y ax y -=⎧⎨-=⎩的解也是方程 47135x y x by -=⎧⎨-=⎩的解，则a ＝ _____，b ＝ ____ ．12.（淄博）关于,x y的二元一次方程组1353x y mx y m+=-⎧⎨-=+⎩中，m与方程组的解中的x y或相等，则m的值为 .三、解答题13．用代入法解方程组：（1）0.50.2 1.2,0.30.60.2;y xy x-=⎧⎨-=-⎩（2）3252,2(32)117.x y xx y x+=+⎧⎨+=+⎩14．研究下列方程组的解的个数：（1）21243x yx y-=⎧⎨-=⎩；（2）2123x yx y-=⎧⎨-=⎩；（3）21242x yx y-=⎧⎨-=⎩.你发现了什么规律？15．关于x，y的方程组278ax bycx y+=⎧⎨-=⎩，甲正确地解出32xy=⎧⎨=-⎩，乙因把c看错了，解得22.xy=-⎧⎨=⎩求a、b、c的值．16.已知关于x，y的二元一次方程组236x ayx y-=⎧⎨-=⎩①②当a为何整数值时，方程组的解均为整数？。
八年级数学上册5.1认识二元一次方程组教学设计 (新版北师大版)
八年级数学上册5.1认识二元一次方程组教学设计（新版北师大版）一. 教材分析《八年级数学上册5.1认识二元一次方程组》这一节内容，主要让学生了解二元一次方程组的概念，学会解二元一次方程组的方法。
通过这一节的学习，让学生能够理解二元一次方程组在实际生活中的应用，提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习这一节内容前，已经学习了方程、一元一次方程、一元一次不等式等知识。
他们对方程的概念和求解方法有一定的了解，但二元一次方程组的概念和求解方法是新的知识点，需要通过实例来引导学生理解和掌握。
三. 教学目标1.让学生理解二元一次方程组的概念，知道二元一次方程组的组成。
2.让学生学会解二元一次方程组的方法，提高学生解决问题的能力。
3.通过实例，让学生了解二元一次方程组在实际生活中的应用，培养学生的应用意识。
四. 教学重难点1.重难点：二元一次方程组的概念和求解方法。
2.难点：如何引导学生理解和掌握二元一次方程组的求解方法。
五. 教学方法采用“问题-探究”教学法，通过实例引入二元一次方程组的概念，引导学生探究二元一次方程组的求解方法，并通过实际问题，让学生应用所学知识解决问题。
六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引导学生理解和掌握二元一次方程组的概念和求解方法。
2.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入二元一次方程组的概念。
例如，小华买了x本故事书和y本数学书，一共花了30元，故事书每本5元，数学书每本4元。
请列出小华买书的一元一次方程。
2.呈现（15分钟）呈现二元一次方程组的定义，让学生了解二元一次方程组的组成。
通过实例，引导学生理解和掌握二元一次方程组的求解方法。
3.操练（15分钟）让学生独立完成一些二元一次方程组的练习题，巩固所学知识。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）通过一些实际问题，让学生应用所学知识解决问题，提高学生的应用能力。
二元一次方程组的整数解问题、无解问题(学生版)
二元一次方程组的整数解问题、无解问题一、二元一次方程组的整数解问题1、若关于x，y的方程组26x ymx y-=⎧⎨+=⎩有非负整数解，则正整数m为（）．A.0，1B.1，3，7C.0，1，3D.1，32、已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组210320mx yx y+=⎧⎨-=⎩有整数解，则m2的值为（）．A.4B.4，49C.1，4，49D.无法确定3、当正整数a=______时，关于x、y的方程组()112x a yx y⎧+-=⎨-+=⎩的解是整数．4、422ax yx y+=⎧⎨-=⎩（a为正整数），方程组的正整数解为x=______，y=______．5、当整数m=______时，方程组21148x myx y+=⎧⎨+=⎩的解是正整数．6、正整数a取______时，方程组52x yax y+=⎧⎨-=⎩的解是正整数．7、请回答下列问题：（1）当方程组2520x ayx y+=⎧⎨-=⎩的解是正整数时，整数a的值为______．（2）m为正整数，已知二元一次方程组210320mx yx y+=⎧⎨-=⎩有整数解，则m2=______．8、关于x，y的方程组25342x y ax y a+=-⎧⎨-=⎩的解都是正整数，求非负整数a的值．9、当关于x、y的方程组21230x myx y+=⎧⎨-=⎩的解为正整数时，求整数m的值．10、已知方程组2420x myx y+=⎧⎨-=⎩，当方程组的解是正整数时，求整数m的值，并求出方程的所有正整数解．11、若m为正整数，且已知关于x、y的二元一次方程组220520mx yx y+=⎧⎨-=⎩的解为一组整数，求m2的值．12、m取什么整数值时，方程组2420x myx y+=⎧⎨-=⎩的解是正整数？并求它的所有正整数解．二、二元一次方程组的无解问题关于x 、y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩，a 1、a 2、b 1、b 2、c 1、c 2均为实数，则解的情况有以下三种： ①当12a a ≠12b b 时，方程组有唯一的解； ②当12a a =12b b =12c c 时，方程组有无数多解； ③当12a a =12b b ≠12c c 时，方程组无解． 即：①当x 与y 的系数不成比例，常数取任意值时，有唯一解；②当、x 、y 与常数的系数都成比例时，有无数个解；③当x 与y 的系数成比例，常数不成比例时，无解．13、方程组423634x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩的解的情况是（）． A .有唯一解 B .无解 C .有两解 D .有无数解14、与二元一次方程5x -y =2组成的方程组有无数多个解的方程是（）．A .10x +2y =4B .4x -y =7C .20x -4y =3D .15x -3y =615、若方程组2354x y x my n +=⎧⎨+=⎩有无数解，则下列说法正确的是（）． A .m =6，n ≠10B .m ≠6，n ≠10C .m =6，n =10D .无法确定 16、若方程组()1332k x y kx y ⎧--=⎨-=⎩有无数个解，则k 的值为（）． A .1B .2C .3D .不存在这样的值 17、若关于x 、y 的方程组3921ax y x y +=⎧⎨-=⎩无解，则a 的值为（）． A .-6 B .6 C .9 D .3018、方程组373921x y x y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是______19、若二元一次方程组2354x y x my n +=⎧⎨+=⎩有无数组解，则m =______；n =______． 20、关于x ，y 的二元一次方程组232145ax y k x y +=-⎧⎨+=⎩有无数组解，求a +k =______． 21、关于x 、y 的方程组4410841x ky y x ++=⎧⎨-=⎩有无穷多组解，则k 的值为______．22、当m 、n 为何值时，关于x 、y 的方程组()214mx y n m x y -=-⎧⎨--=-⎩． （1）无解．（2）唯一解．（3）有无数多解．23、关于x ,y 的二元一次方程组8328ax y k x y k +=-⎧⎨--=-⎩有无数组解，求参数a ,k 满足的条件；若方程组有唯一解，则参数a ,k 又需要满足什么条件？24、求k ，a 为何值时，关于x 、y 的方程组()4222kx y a k x y -=⎧⎨+-=-⎩的解满足： （1）有唯一一组解．（2）无解．（3）有无数组解．25、已知关于x ，y 的方程组1ax y a x y -=⎧⎨-=⎩．（1）当a ≠1时，解这个方程组．（2）若a =1，方程组的解的情况怎样？（3）若a =1，方程组2ax y a x y -=⎧⎨-=⎩的解的情况怎样？。
认识二元一次方程组
昨天，我们8个人去红山公园玩，有大人和儿童， 买门票一共花了34元。每张成人票5元，每张儿童票3元， 你知道他们到底去了几个成人，几个儿童呢？
如果设有x个成人，y个儿童，由此你能得到怎样的方 程？
x y 8,
5x 3y 34.
想一想
x y 2,
x 1 2 y 1,
是方程组
x 2y 3x y
m n
的解，
那么m＝___5__，n＝ 1 ________.
x 2
3.写出一个以
y
3
为解的二元一次方程为
_____2__x____y____1_____. (答案不唯一)
课堂小结
1、含有两个未知数，并且所含未知数项的次数 都是1的方程叫做二元一次方程
2、共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一 组方程，叫做二元一次方程组
其他 x, y 的值适合方程 x y 8 吗?
(2) x 5, y 3 适合方程 5x 3y 34 吗? x 2, y 8 呢?
(3)你能找到一组 x, y 值，同时适合 x y 8
和 5x 3y 34 吗?
适合一个二元一次方程的一组未知数 的值,叫做这个二元一次方程的一个解.
第五章 二元一次方程组
1.认识二元一次方程组
学习目标
1、理解二元一次方程、二元一次方程组及 其解的概念 2、会检验一组数是不是某个二元一次方程 组的解 3、会列简单的二元一次方程和二元一次方 程组，掌握用方程解决实际问题的方法
新知探究
累死我了!
你还累?这么大 的个,才比我多 驮了2个.
哼,我从你背上拿 来 1个,我的包裹 数就是你的 2 倍!
例如： y 3 就是二元一次方程组 5x 3y 34 的解.
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第五章：二元一次方程组
【学习目标】
1、理解二元一次方程（组）及其解的概念, 能判别一组数是否是二元一次方程（组）的解；
2、会根据实际问题列简单的二元一次方程或二元一次方程组；
1、复习
（1）、什么叫方程？
（2）、什么叫方程的解？
（3）、怎样的方程叫一元一次方程？
（4）、解一元一次方程的一般步骤？
预习自测
1、（1）、当x=______时，代数式x-1和2x-2 的值互为相反数．
（2）、在方程4x+3y=1中，用x的代数式表示y，则y=_______ _．
（3）、已知三个连续的偶数的和为60，则这三个数是______ ．
2、解方程
（1）15-(8-5x)=7x+(4-3x) （2）2(x-2)+2=x+1
（3） 0.4(x-0.2)+1.5=0.7x-0.38
（4） 30x-10(10-x)=100 （5）4(x+2)=5(x-2)
（6） 120-4(x+5)=25
【探究】
（一）问题1、教材103页老牛和小马的问题
问题2、教材104页买票的问题
思考：上面所列方程有几个未知数？所含未知
数的项的次数是多少？
结论：二元一次方程的概念：含有两个未知数，
并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫二
元一次方程
（二）二元一次方程组概念的概念
上面的方程
2121
()
x y x y
-=+=-
，中
的x含义相同吗？y呢？（两个方程中x的表
示老牛驮的包裹数，y表示小马的包裹数，x、
y的含义分别相同.）由于x、y的含义分别相
同，因而必同时满足
2
x y
-=和
()
121
x y
+=-
，我们把这两个方程用大括号
联立起来，像这样共含有两个未知数的两个一
次方程所组成的一组方程.如：⎩
⎨
⎧
=
-
=
+
;0
3
,3
3
2
y
x
y
x
⎩
⎨
⎧
=
+
=
+
.8
,8
3
5
y
x
y
x
结论：二元一次方程组概念：含有两个未知数
的两个一次方程所组成的一组方程叫二元一
次方程组
（三）因承上面的情境，得出有关方程的解的
概念
1.
6,2
x y
==适合方程8
x y
+=吗？
5,3
x y
==呢？4,4
x y
==呢？你还能找到
其他x,y值适合
8
x y
+=方程吗？
2.
5,3
x y
==适合方程5334
x y
+=吗？
2,8
x y
==呢？
3.你能找到一组值x,、y同时适合方程
8
x y
+=和5334
x y
+=吗？
结论：适合一个二元一次方程的一组未知数的
值，叫做这个二元一次方程的解.
如x=6,y=2是方程x+y=8的一个
解，记作
⎩
⎨
⎧
=
=
2
,6
y
x
；同样，
⎩
⎨
⎧
=
=
3
,5
y
x
也是方
程8
x y
+=的一个解，同时
⎩
⎨
⎧
=
=
3
,5
y
x
又是
方程5334
x y
+=的一个解.
结论：二元一次方程组中各个方程的公共解，
叫做二元一次方程组的解.
例如，⎩
⎨
⎧
=
=
3
,5
y
x
就是二元一次方程组
⎩
⎨
⎧
=
+
=
+
34
3
5
,8
y
x
y
x
的解.
【当堂训练】
1.下列方程有哪些是二元一次方程：
（1）0
9
3=
-
+y
x，（2）
12
2
32=
+
-y
x，
（3）7
4
3=
-b
a，（4）1
1
3=
-
y
x，
（5）()5
2
3=
-y
x
x，（6）1
5
2
=
-n
m
.
2.如果方程1
3
22
1=
-+
-n
m
m y
x是二元一
次方程，那么m＝，n＝.
3、下列方程组哪些是二元一次方程组（）
只填序号。
（1）
⎩
⎨
⎧
=
+
=
-
;
12
5
3
,1
2
y
x
y
x
（2）
⎩
⎨
⎧
=
-
=
+
;5
3
,1
2
y
x
y
x
（3）
⎩
⎨
⎧
=
+
=
-
;1
5
3
,3
7
z
y
y
x
（4）
⎩
⎨
⎧
=
=
;2
,1
y
x
4、二元一次方程组⎩
⎨
⎧
=
=
+
x
y
y
x
2
,
10
2
的解是
（）
（A）⎩
⎨
⎧
=
=
;3
,4
y
x
（B）⎩
⎨
⎧
=
=
;6
,3
y
x
（C）⎩
⎨
⎧
=
=
;4
,2
y
x
（D）
⎩
⎨
⎧
=
=
.2
,4
y
x
【课后作业】
课本106页习题5.1的1-3题
批阅等次：时间：次数：。