方向向量法向量及空间线面关系的判定
直线的方向向量与法向量
3 | n | 2
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为 ( x, y, z) n
(2)找出（求出）平面内的 两个不共线的 向量的坐标a (a1, b1, c1 ),b (a2 , b2 , c2 )平面的法向
(3)根据法向量的定义建立关于x , y , z的 na 0 a1 x b1 y c1 z 0 方程组 nb 0 a2 x b2 y c2 z 0
n
A
几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 n是平面的法向量，向量 m 是 与平面平行或在平面内，则有
n m 0
例 1:在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，求 证： DB1 是平面 ACD1 的法向量
为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我 们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么 如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？
一、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
l
Байду номын сангаас e
直线l上的向量 e
以及与 e 共线
e
A
的向量叫做直线l的方向向量。 B
单位法向量。
（x，y，z） (4,5,3) 0,
1 2 x 2 y z 0 x 即 , 取z 1，得 2 4 x 5 y 3 z 0 y 1
1 2 2 求平面ABC的单位法向量为 ( ， ，） 3 3 3
1 n ( , 1,1), 2
二、平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以 用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。 平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂 直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 n ⊥ ， 如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量. 给定一点A和一个向量 n ,那么过点A, l 以向量 n 为法向量的平面是完全确定的.
方向向量和法向量
2、法向量的求法 待定系数法
(1)(设):设出平面法向量的坐标为 n(u,v,w)
(2)(列):根据 na0,，n列b出0方程组；
(3)(解):把u(或v或w)看作常数,用u(或v或w) 表示另外两个量
(4)(取):取u为任意一个数(当然取得越特殊越好),
练习：已知底面边长为1,高为3的正三 棱柱,试建立合适的空间直角坐标系， 确定三个侧面的面对角线所在直线的 一个方向向量。z
A1
C13Biblioteka B1A xD1 C y B
二、平面的法向量 1、定义
对于非零的空间向量 n ，如果它所在 的直线与平面α垂直，那么向量 n叫做
平面α的一个法向量。
n
α
注：
1、一个平面α有无穷多个法向量， 这些法向量之间互相平行。
平行的非零向量 d 叫做直线l的一个方
向向量。
z
l
d
y
d2
O
d1
x
注：
1、一条直线l 有无穷多个方向向量， 这些方向向量之间互相平行。
2、直线l 的方向向量也是所有与l平行 的直线的方向向量。
2、方向向量的求法
可根据直线l上的任意两点的坐标 写出直线l的一个方向向量。
dAB
z
(x2x1,y2y1,z2z1)
z
(1)平面BDE （1，-1，0） D 1
C1
(2)平面ACE （1，1，-2） A 1
B1
(3)平面DC1E （1，-2，2）
(4)平面A1EC （-1，1，2） D
A
x
x
E
y
C
32(二)向量方法证明空间线面垂直关系
学习目标 1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.知识点一 向量法判断线线垂直思考 若直线l 1的方向向量为μ1＝(1，3，2)，直线l 2的方向向量为μ2＝(1，－1，1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？答案 l 1与l 2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是两直线的方向向量，所以l 1与l 2垂直.判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点A 、B 与C 、D ，计算向量AB →与CD →的坐标，若AB →·CD →＝0，则两直线垂直，否则不垂直.(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直. 梳理 设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 知识点二 向量法判断线面垂直思考 若直线l 的方向向量为μ1＝⎝⎛⎭⎫2，43，1，平面α的法向量为μ2＝⎝⎛⎭⎫3，2，32，则直线l 与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案 垂直，因为μ1＝23μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l 与平面α垂直.判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线l 的方向向量与平面α的法向量共线⇒l ⊥α.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内. (3)直线l 的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直⇒l ⊥α.梳理 设直线l 的方向向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量μ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ(k ∈R ).知识点三 向量法判断面面垂直思考 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x 1，y 1，z 1)，μ2＝(x 2，y 2，z 2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？ 答案 x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.梳理 若平面α的法向量为μ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为ν＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.类型一 证明线线垂直例1 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .证明 设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OO 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0，B ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，0，N ⎝⎛⎭⎫0，32，14，B 1⎝⎛⎭⎫12，0，1， ∵M 为BC 中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫14，34，0.∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－14，34，14，AB 1→＝(1，0，1)，∴MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0.∴MN →⊥AB 1→， ∴AB 1⊥MN .反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1.证明 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直.如图，以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则C (0，0，0)，A (3，0，0)，C 1(0，0，4)，B (0，4，0)， ∵AC →＝(－3，0，0)，BC 1→＝(0，－4，4)， ∴AC →·BC 1→＝0.∴AC ⊥BC 1. 类型二 证明线面垂直例2 如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点.求证：AB 1⊥平面A 1BD .证明 如图所示，取BC 的中点O ，连接AO .因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， 所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，以OB →，OO 1→，OA →分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0). 所以AB 1→＝(1，2，－3)，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0). 因为AB 1→·BA 1→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0. AB 1→·BD →＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0.所以AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →，即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD . 又因为BA 1∩BD ＝B ，所以AB 1⊥平面A 1BD . 反思与感悟 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 方法一：(1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量. (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 方法二：(1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示. (3)求出平面的法向量.(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.跟踪训练2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点.求证：直线PB 1⊥平面P AC .证明 如图建系，C (1，0，0)，A (0，1，0)，P (0，0，1)，B 1(1，1，2)，PC →＝(1，0，－1)，P A →＝(0，1，－1)，PB 1→＝(1，1，1)，B 1C →＝(0，－1，－2)，B 1A →＝(－1，0，－2).PB 1→·PC →＝(1，1，1)·(1，0，－1)＝0， 所以PB 1→⊥PC →，即PB 1⊥PC .又PB 1→·P A →＝(1，1，1)·(0，1，－1)＝0， 所以PB 1→⊥P A →，即PB 1⊥P A .又P A ∩PC ＝P ，所以PB 1⊥平面P AC . 类型三 证明面面垂直例3 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明 由题意知直线AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以点B 为原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，0，0)，A 1(2，0，1)，C (0，2，0)，C 1(0，2，1)，E (0，0，12)，故AA 1→＝(0，0，1)，AC →＝(－2，2，0)，AC 1→＝(－2，2，1)，AE →＝(－2，0，12).设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0.令x ＝1，得y ＝1，故n 1＝(1，1，0). 设平面AEC 1的法向量为n 2＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＋c ＝0，－2a ＋12c ＝0. 令c ＝4，得a ＝1，b ＝－1，故n 2＝(1，－1，4). 因为n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0， 所以n 1⊥n 2.所以平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C . 反思与感悟 证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练3 在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝30°，E 、F 分别是AC 、AD 的中点，求证：平面BEF ⊥平面ABC .证明 以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设A (0，0，a )，则易得B (0，0，0)，C ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，D (0，3a ，0)，E ⎝⎛⎭⎫34a ，34a ，a 2，F (0，32a ，a 2)，故AB →＝(0，0，－a )，BC →＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.设平面ABC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－az 1＝0，x 1＋y 1＝0，取x 1＝1，∴n 1＝(1，－1，0)为平面ABC 的一个法向量. 设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面BEF 的一个法向量， 同理可得n 2＝(1，1，－3).∵n 1·n 2＝(1，－1，0)·(1，1，－3)＝0， ∴平面BEF ⊥平面ABC .1.下列命题中，正确命题的个数为( )①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔ n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的法向量，a 与平面α平行，则n ·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直. A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C解析 ①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确. 2.已知两直线的方向向量为a ，b ，则下列选项中能使两直线垂直的为( ) A.a ＝(1，0，0)，b ＝(－3，0，0) B.a ＝(0，1，0)，b ＝(1，0，1) C.a ＝(0，1，－1)，b ＝(0，－1，1)D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)答案 B解析因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B.3.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为μ＝(－2，0，－4)，则()A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交答案 B解析∵a∥μ，∴l⊥α.4.平面α的一个法向量为m＝(1，2，0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系是()A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.不能确定答案 C解析∵(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面垂直.5.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1，0，5)，ν＝(t，5，1)，则t的值为________.答案 5解析∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直，∴μ·ν＝0，即(－1)×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.空间垂直关系的解决策略40分钟课时作业一、选择题1.设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2，2，1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( ) A.－2 B.2 C.6 D.10 答案 D解析 因为a ⊥b ，故a ·b ＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m ＝0，解得m ＝10.2.若平面α，β的法向量分别为a ＝(－1，2，4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为( )A.10B.－10C.12D.－12答案 B解析 因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直， 所以a ·b ＝(－1，2，4)·(x ，－1，－2)＝0， 解得x ＝－10.3.已知点A (0，1，0)，B (－1，0，－1)，C (2，1，1)，P (x ，0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为( )A.(1，0，－2)B.(1，0，2)C.(－1，0，2)D.(2，0，－1) 答案 C解析 由题意知AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2，0，1)，AP →＝(x ，－1，z )，又P A ⊥平面ABC ，所以有AB →·AP →＝(－1，－1，－1)·(x ，－1，z )＝0，得－x ＋1－z ＝0， ① AC →·AP →＝(2，0，1)·(x ，－1，z )＝0，得2x ＋z ＝0，②联立①②得x ＝－1，z ＝2，故点P 的坐标为(－1，0，2).4.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A.AC B.BD C.A 1D D.A 1A 答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则A (0，1，0)，B (1，1，0)，C (1，0，0)，D (0，0，0)，A 1(0，1，1)，C 1(1，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，∴CE →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，1，AC →＝(1，－1，0)， BD →＝(－1，－1，0)，A 1D →＝(0，－1，－1)，A 1A →＝(0，0，－1)， ∵CE →·BD →＝(－1)×(－12)＋(－1)×12＋0×1＝0，∴CE ⊥BD .5.若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是( ) A.n 1＝(1，2，1)，n 2＝(－3，1，1) B.n 1＝(1，1，2)，n 2＝(－2，1，1) C.n 1＝(1，1，1)，n 2＝(－1，2，1) D.n 1＝(1，2，1)，n 2＝(0，－2，－2) 答案 A解析 ∵1×(－3)＋2×1＋1×1＝0， ∴n 1·n 2＝0，故选A.6.两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z )，v ＝(－2，－y ，1)，若α⊥β，则y ＋z 的值是( )A.－3B.6C.－6D.－12 答案 B解析 α⊥β⇒μ·v ＝0⇒－6＋y ＋z ＝0，即y ＋z ＝6. 二、填空题7.在三棱锥S －ABC 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，则异面直线SC 与BC 是否垂直________.(填“是”或“否”) 答案 是解析 如图，以A 为原点，AB ，AS 分别为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29， 得B (0，17，0)，S (0，0，23)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫21317，417，0， SC →＝⎝⎛⎭⎪⎫21317，417，－23，CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－21317，1317，0. 因为SC →·CB →＝0，所以SC ⊥BC .8.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1).对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________.(填序号) 答案 ①②③解析 ∵AP →·AB →＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，∴AP ⊥AB ，即①正确；∵AP →·AD →＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，∴AP ⊥AD ，即②正确； 又∵AB ∩AD ＝A ， ∴AP ⊥平面ABCD ，即AP →是平面ABCD 的一个法向量，即③正确； ∵AP →是平面ABCD 的法向量， ∴AP →⊥BD →，即④不正确.9.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P (2cos x ＋1，2cos 2x ＋2，0)和点Q (cos x ，－1，3)，其中x ∈[0，π].若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________. 答案 π2或π3解析 由题意得OP →⊥OQ →，∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos 2x ＋2)＝0. ∴2cos 2x －cos x ＝0， ∴cos x ＝0或cos x ＝12.又x ∈[0，π]， ∴x ＝π2或x ＝π3.10.在△ABC 中，A (1，－2，－1)，B (0，－3，1)，C (2，－2，1).若向量n 与平面ABC 垂直，且|n |＝21，则n 的坐标为________________. 答案 (－2，4，1)或(2，－4，－1)解析 据题意，得AB →＝(－1，－1，2)，AC →＝(1，0，2).设n ＝(x ，y ，z )，∵n 与平面ABC 垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4z ，y ＝－2x . ∵|n |＝21，∴x 2＋y 2＋z 2＝21，解得y ＝4或y ＝－4.当y ＝4时，x ＝－2，z ＝1；当y ＝－4时，x ＝2，z ＝－1.三、解答题11.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点.证明：CD ⊥平面P AE .证明 如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设P A ＝h ，则相关各点的坐标为A (0，0，0)，B (4，0，0)，C (4，3，0)，D (0，5，0)，E (2，4，0)，P (0，0，h ).易知CD →＝(－4，2，0)，AE →＝(2，4，0)，AP →＝(0，0，h ).因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP ，而AP ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .12.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .证明 建立如图所示空间直角坐标系，则P (0，0，1)，B (0，1，0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，12，D ()3，0，0，设BE ＝x (0≤x ≤3)，则E (x ，1，0)，PE →·AF →＝(x ，1，－1)·⎝⎛⎭⎫0，12，12＝0， 所以x ∈[0， 3 ]时都有PE ⊥AF ，即无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .13.已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点.(1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置.(1)证明 以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a ，则 A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a ).设E (0，a ，e ) (0≤e ≤a )，A 1E →＝(－a ，a ，e －a )，BD →＝(－a ，－a ，0)，A 1E →·BD →＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0，∴A 1E →⊥BD →，即A 1E ⊥BD .(2)解 设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2). ∵DB →＝(a ，a ，0)，DA 1→＝(a ，0，a )，DE →＝(0，a ，e )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0. 取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝(1，－1，a e)， 由平面A 1BD ⊥平面EBD 得n 1⊥n 2，∴2－a e ＝0，即e ＝a 2. ∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。
第10讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系4种常见方法归类(解析版)-新高二数学暑假自学课讲义
第10讲用空间向量研究直线、平面的位置关系4种常见方法归类1.理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量.2.会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题.知识点1空间中点、直线和平面的向量表示1．空间直线的向量表示式设A 是直线上一点，a 是直线l 的方向向量，在直线l 上取AB →＝a ，设P 是直线l 上任意一点，(1)点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使AP →＝ta ，即AP →＝tAB →.(2)取定空间中的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t .使OP →＝OA →＋ta .(3)取定空间中的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP →＝OA →＋tAB →.注意点：(1)空间中，一个向量成为直线l 的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l 平行或重合．(2)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．与直线l 平行的任意非零向量a 都是直线的方向向量，且直线l 的方向向量有无数个．(3)空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．2．空间平面的向量表示式①如图，设两条直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a 和b ，P 为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x ，y )，使得OP →＝xa ＋yb.②如图，取定空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，y ，使OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．③由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．如图，直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，我们称向量a 为平面α的法向量．给定一个点A 和一个向量a ，那么过点A ，且以向量a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P |a ·AP →＝0}．注意点：(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行．易错辨析：（1）空间中给定一个点A 和一个方向向量能唯一确定一条直线吗？答案：能（2）一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？答案：不一定，若两个定方向向量共线时不能确定，若两个定方向向量不共线能确定．（3）由空间点A 和直线l 的方向向量能表示直线上的任意一点？答案：能知识点2空间平行、垂直关系的向量表示1、理解直线方向向量的概念(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．(2)直线的方向向量不唯一．2、利用待定系数法求法向量的步骤3、求平面法向量的三个注意点（1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量（2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量（3）注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为04、用空间向量证明平行的方法(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．(2)线面平行：①证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．②证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．③先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．在证明线面平行时，需注意说明直线不在平面内．(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题．5、用空间向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线的方向向量互相垂直，即证明它们的数量积为零．(2)线面垂直：①基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．②坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．③法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．考点一：求直线的方向向量例1．（2023春·高二课时练习）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，AB ＝AP ＝1，AD PC 的一个方向向量．【答案】1)-【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，根据方向向量的定义可得．【详解】如图所示，建立空间直角坐标系A －xyz ，则(0,0,1)P ，C ，所以1)PC =-即为直线PC 的一个方向向量.变式1．（2023春·高二课时练习）已知直线1l 的一个方向向量为()5,3,2-，另一个方向向量为(),,8x y ，则x =________，y =________.【答案】－2012【分析】由直线的方向向量平行的性质即可求解.【详解】∵直线的方向向量平行，∴8532x y ==-，∴20,12x y =-=，故答案为：20-；12.变式2．（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知直线l 的一个法向量是)n =，则l 的倾斜角的大小是（）A ．π3B ．2π3C ．π6D ．π2【答案】A【分析】设直线l 的倾斜角为θ，[)0,πθ∈，直线l 的方向向量为(),u x y =，根据直线方向向量与法向量的关系得到得到y =，即可求解.【详解】设直线l 的倾斜角为θ，[)0,πθ∈，直线l 的方向向量为(),u x y =.则0u n y ⋅=-=，即y =，则tan y xθ==又[)0,πθ∈，解得π3θ=，故选：A.变式3．【多选】（2022秋·湖北十堰·高二校联考阶段练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 上不与1C ，C 重合的任意一点，则能作为直线1AA 的方向向量的是（）A ．1AA B ．1C EC ．ABD ．1A A【答案】ABD【分析】结合立体图形，得到平行关系，从而确定答案.【详解】因为111////C E AA A A ，所以1AA ，1C E ，1A A都可作为直线1AA 的方向向量.故选：ABD.变式4．（2023春·江苏常州·高二校联考期中）已知直线l 的一个方向向量()2,1,3m =-，且直线l 过A (0，y ，3)和B (－1，2，z )两点，则y －z 等于（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】根据//m AB求解即可.【详解】由题知：()1,2,3AB y z =---，因为//m AB ，所以213123y z -==---，解得33,22y z ==，所以0y z -=.故选：A考点二：求平面的法向量例2．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,2)C ，则平面ABC 的一个法向量可以是（）A ．(1,1,1)---B ．(1,1,1)-C ．(1,1,1)-D ．(1,1,1)-【答案】A【分析】代入法向量的计算公式，即可求解.【详解】(2,2,0)AB =- ，(2,0,2)AC =- ，令法向量为(,,)m x y z = ，则220220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，y z x ∴==，可取(1,1,1)m =---.故选：A.变式1．（2023春·高二课时练习）已知()()()1,1,0,1,0,1,0,1,1A B C ，则平面ABC 的一个单位法向量是（）A ．()1,1,1B．C ．111(,,)333D．(,)333-【答案】B【分析】待定系数法设平面ABC 的一个法向量为n，由法向量的性质建立方程组解出分析即可.【详解】设平面ABC 的一个法向量为(),,n x y z =，又()()0,1,1,1,1,0AB BC =-=- ，由0000AB n AB n y z x y BC n BC n ⎧⎧⊥⋅=-+=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+=⊥⋅=⎩⎪⎪⎩⎩ ，即x y z ==，又因为单位向量的模为1，所以B 选项正确，故选：B.变式2．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，=90BDC ∠︒，BD AB CD ==.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面ACD 的一个法向量为（）A ．()0,1,0B ．()0,1,1C ．()1,1,1D ．()1,1,0【答案】B【分析】根据题意，设1BD AB CD ===，可得A 、C 、D 的坐标，由此可得向量DC 、AD的坐标，由此可得关于x 、y 、z 的方程组，利用特殊值求出x 、y 、z 的值，即可得答案．【详解】根据题意，设1BD AB CD ===，则()0,1,0D ，()1,1,0C ，()0,0,1A ，则()1,0,0DC = ，()0,1,1AD =- ，设平面ACD 的一个法向量为(),,m x y z=，则有00DC m x AD m y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1y =，可得1z =，则()0,1,1m = .故选：B ．变式3．（2023秋·高二课时练习）在如图所示的坐标系中，1111ABCD A B C D -为正方体，给出下列结论：①直线1DD 的一个方向向量为(0,0,1)；②直线1BC 的一个方向向量为(0,1,1)；③平面11ABB A 的一个法向量为(0,1,0)；④平面1B CD 的一个法向量为(1,1,1).其中正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据空间直线的方向向量的概念以及平面的法向量的定义判断可得答案.【详解】设正方体的棱长为a ，则(0,,0)D a ，1(0,,)D a a ，1(0,0,)DD a = ，则1DD与(0,0,1)平行，故直线1DD 的一个方向向量为(0,0,1)，故①正确；因为(,0,0)B a ，1(,,)C a a a ，所以1(0,,)BC a a = ，因为1BC与(0,1,1)平行，所以直线1BC 的一个方向向量为(0,1,1)，故②正确；因为(0,0,0)A ，(0,,0)D a ，所以(0,,0)AD a = ，因为AD 是平面11ABB A 的一个法向量，且AD与(0,1,0)平行，所以平面11ABB A 的一个法向量为(0,1,0)，故③正确；因为(,,0)C a a ，(0,,0)D a ，所以(,0,0)CD a =-，因为(1,1,1)(,0,0)(1,1,1)0CD a a ⋅=-⋅=-≠ ，所以CD与(1,1,1)不垂直，所以(1,1,1)不是平面1B CD 的一个法向量，故④不正确.故选：C变式4．（2023·全国·高三专题练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD 中，H 是底面中心，DH ⊥平面ABC ，写出：平面BHD 的一个法向量___________；【答案】()（答案不唯一）【分析】利用向量法得出平面BHD的一个法向量.【详解】由题意可知23CH OC DH===，则(),0,1,0,0,,333H B D⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,0,3HD⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭,1,3BH⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭.设(),,n x y z=为平面BHD的一个法向量，则3n HD zn BH x y⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，不妨设1x=，则()n=.故平面BHD的一个法向量为().故答案为：()（答案不唯一）变式5．（2023春·高二课时练习）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，E，F分别为棱1111,A D A B的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面11BDD B的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量.【答案】(1)(2,2,0)=-AC(答案不唯一)(2)(2,2,1)n=--(答案不唯一)【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求解法向量；（2）利用空间向量的坐标运算求平面的法向量.【详解】（1）由题意，可得()()()()()0,0,0,2,2,0,2,0,0,0,2,0,1,0,2D B A C E ,连接AC ，因为底面为正方形，所以AC BD ⊥,又因为1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，且1BD DD D = ，则AC ⊥平面11BDD B ，∴(2,2,0)=-AC 为平面11BDD B 的一个法向量.(答案不唯一).（2）(2,2,0),(1,0,2).DB DE ==设平面BDEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则,0220,,120,.02y x n DB x y x z z x n DE =-⎧⎧⋅=+=⎧⎪⎪∴∴⎨⎨⎨+=-⋅=⎩⎪⎪⎩⎩令2x =，得2, 1.y z =-=-∴(2,2,1)n =--即为平面BDEF 的一个法向量.(答案不唯一).变式6．【多选】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知空间中三个向量()2,1,0AB = ，()1,2,1AC =- ，()3,1,1BC =-，则下列说法正确的是（）A ．AB与AC 是共线向量B ．与AB同向的单位向量是,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．BC 在AB方向上的投影向量是()2,1,0--D ．平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-【答案】BCD【分析】A ：由向量共线定理，应用坐标运算判断是否存在R λ∈使AB AC λ= ；B ：与AB同向的单位向量是||ABAB 即可判断；C ：由投影向量的定义可解；D ：应用平面法向量的求法求平面ABC 的一个法向量，即可判断.【详解】A ：若AB与AC 共线，存在R λ∈使AB AC λ= ，则2120λλλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩无解，故不共线，错误；B ：与AB同向的单位向量是||AB AB ==，正确；C：由cos ,11||||AB BCAB BC AB BC ⋅==-，则BC 在AB方向上的投影向量是()cos ,2,1,0AB BC AB BC AB ⎛=⨯-- ⎝⎭，正确；D ：若(,,)m x y z = 是面ABC 的一个法向量，则2020m AB x y m AC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令=2y -，则(1,2,5)m =- ，正确.故选：BCD变式7．（2023春·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）已知()2,0,2a =，()3,0,0= b 分别是平面α，β的法向量，则平面α，β交线的方向向量可以是（）A ．()1,0,0B ．()0,1,0C ．()0,0,1D ．()1,1,1【答案】B【分析】根据平面的交线都与两个平面的法向量垂直求解.【详解】因为四个选项中，只有()()()0,1,02,0,20,1,00⋅=⋅=a ，()()()0,1,03,0,00,1,00⋅=⋅=b ，所以平面α，β交线的方向向量可以是()0,1,0故选：B变式8．（2023秋·福建南平·高二统考期末）已知四面体ABCD 的顶点坐标分别为()0,0,2A ，()2,2,0B ，()1,2,1C ，()2,2,2D ．(1)若M 是BD 的中点，求直线CM 与平面ACD 所成的角的正弦值；(2)若P ，A ，C ，D 四点共面，且BP ⊥平面ACD ，求点P 的坐标．【答案】3(2)482,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意分别求出向量()1,0,0CM = 和平面ACD 的一个法向量()1,1,1n =--，再用直线与平面所成的角的正弦值公式代入计算即可；（2）由题意，(),,BP n λλλλ==--，于是点P 的坐标为()2,2,λλλ+--，由P ，A ，C ，D 四点共面，可设AP xAD y AC =+ ，将,AP AD AC ,坐标分别代入即可解得23λ=-，从而求得点P 的坐标.【详解】（1）由题意，()1,2,1AC =- ，()2,2,0AD = ，()2,2,1M ，()1,0,0CM =，可设平面ACD 的法向量(),,n x y z =，则00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220x y z x y +-=⎧⎨+=⎩，化简得z xy x=-⎧⎨=-⎩．令1x =，则1y =-，1z =-，可得平面ACD 的一个法向量()1,1,1n =--，设直线CM 与平面ACD ，则sin 3CM n CM n θ⋅===⋅ ，即直线CM 与平面ACD（2）由题意，(),,BP n λλλλ==-- ，于是点P 的坐标为()2,2,λλλ+--，又P ，A ，C ，D 四点共面，可设AP xAD y AC =+，即()()()2,2,22,2,01,2,1x y λλλ+---=+-，即222222x y x y y λλλ+=+⎧⎪-=+⎨⎪--=-⎩，解得23λ=-，所以所求点P 的坐标为482,,333⎛⎫⎪⎝⎭．变式9．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知点()2,6,2A -在平面α内，()3,1,2=n 是平面α的一个法向量，则下列点P 中，在平面α内的是（）A ．()1,1,1P -B ．31,3,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,3,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．31,3,4P ⎛⎫--- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据每个选项中P 点的坐标，求出AP的坐标，计算AP n ⋅ ，根据结果是否等于0，结合线面垂直的性质，即可判断点P 是否在平面α内.【详解】对于选项A ，()1,5,1AP =-- ，所以1351120AP n ⋅=-⨯+⨯-⨯= ，根据线面垂直的性质可知AP α⊂,故()1,1,1P -在平面α内；对于选项B ，11,9,2AP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则11391202AP n ⋅=-⨯+⨯+⨯≠ ，()2,6,2A -在平面α内，根据线面垂直的性质可知AP α⊄,故31,3,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭不在平面α内；对于选项C ，11,3,2AP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则11331202AP n ⋅=-⨯+⨯-⨯≠ ，()2,6,2A -在平面α内，根据线面垂直的性质可知AP α⊄,故31,3,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭不在平面α内；对于选项D ，113,3,4AP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则113331204AP n ⋅=-⨯+⨯-⨯≠ ，()2,6,2A -在平面α内，根据线面垂直的性质可知AP α⊄,故31,3,4P ⎛⎫--- ⎪⎝⎭不在平面α内；故选：A变式10．（2023春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知点()01,2,3P -在平面α内，平面{}00P n P P α=⋅= ∣，其中()1,1,1n =-是平面α的一个法向量，则下列各点在平面α内的是（）A ．()2,4,8-B ．()3,8,5C ．()2,3,4-D ．()3,4,1-【答案】B【分析】由法向量的定义结合数量积运算确定y =x+z ，再判断选项.【详解】设(),,P x y z 是平面α内的一点，则()01,2,3P P x y z =+--，所以()()()1230x y z +--+-=，即y =x+z ，选项B 满足．故选：B考点三：用空间向量证明平行问题（一）判断直线、平面的位置关系例3．（2023秋·湖北黄石·高二校考阶段练习）若直线l 的一个方向向量为()257，，a = ，平面α的一个法向量为()111，，u →=-，则（）A ．l ∥α或l ⊂αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交【答案】A【分析】直线的一个方向向量()257，，a = ，平面α的一个法向量为()111，，u →=-，计算数量积，即可判断出结论．【详解】 直线的一个方向向量为()257，，a = ，平面α的一个法向量为()111，，u →=-，2570a u →→∴⋅=+-=，∴a u →→⊥，l α∴∥或l ⊂α，故选：A变式1．（2023春·高二单元测试）若平面α与β的法向量分别是()1,0,2a =-，()1,0,2b =-r，则平面α与β的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．无法判断【答案】A【分析】利用平面法向量的位置关系，即可判断两平面的位置关系.【详解】因为()1,0,2a =- ，()1,0,2b =-r是平面α与β的法向量，则a b =-，所以两法向量平行，则平面α与β平行.故选：A变式2．（2023春·山东菏泽·高二统考期末）已知平面α与平面ABC 是不重合的两个平面，若平面α的法向量为(2,1,4)m =-，且(2,0,1)AB =- ，(1,6,1)AC = ，则平面α与平面ABC 的位置关系是________.【答案】平行【分析】分别计算AB m ⋅ ，AC m ⋅ ，可得0m AB ⋅= ，0m AC =⋅ ，从而可知m AB ⊥ ，m AC ⊥ ，m ⊥平面ABC ，所以可得平面α与平面ABC 平行.【详解】平面α的法向量为(2,1,4)m =-，且(2,0,1)AB =- ，(1,6,1)AC = ，()220410AB m =⨯⨯=⋅++- ，()2116410AC m =⨯+-⨯+⨯=⋅，所以m AB ⊥ ，m AC ⊥ ，m ⊥平面ABC ，平面ABC 的一个法向量为(2,1,4)m =-，又因为平面α与平面ABC 是不重合的两个平面所以平面α与平面ABC 平行.故答案为：平行.变式3．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）在长方体ABCD A B C D -''''中，222AA AB AD '===，以点D 为坐标原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设对角面ACD '所在法向量为(,,)x y z ，则::x y z =__________．【答案】2:2:1【分析】利用法向量的求法进行求解即可【详解】由题意得()1,0,0A ，()0,1,0C ，()0,0,2D '，()1,1,0AC =- ，()1,0,2AD '=-，因为平面ACD '的法向量为(),,n x y z = ，则00AC n AD n '⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()20x k k =≠，则2,y k z k ==，故::2:2:1x y z =故答案为：2:2:1变式4．【多选】（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（）A ．若两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =- ，()2,3,1b =--，则12//l l B ．若直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0μ=-，则l //αC ．若两个不同平面α，β的法向量分别为()12,1,0n =- ，()24,2,0n =-，则//αβD ．若平面α经过三点()1,0,1A -，()0,1,0B ，()1,2,0C -，向量()11,,n u t =是平面α的法向量，则1u t +=【答案】ACD【分析】利用空间向量共线定理判断A 即可；由,a μ的关系式即可判断B ；由12,n n 的关系即可判断选项C,利用平面内法向量的性质即可判断D.【详解】因为两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =- ，()2,3,1b =--，所以a b =-，所以,a b 共线，又直线1l ，2l 不重合，所以12//l l ，故A 正确；因为直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0μ=-且53a μ=-，所以l α⊥，故B 不正确；两个不同平面α，β的法向量分别为()12,1,0n =- ，()24,2,0n =-，则有212n n =-，所以//αβ，故C 正确；平面α经过三点()1,0,1A -，()0,1,0B ，()1,2,0C -，所以()(),,1,1,11,1,0B B A C --==又向量()11,,n u t = 是平面α的法向量，所以1111010100AB n AB n u t u BC n BC n ⎧⎧⊥⋅=-++=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+=⊥⊥=⎩⎪⎪⎩⎩则1u t +=，故D 正确，故选：ACD.（二）已知直线、平面的平行关系求参数例4．（2022秋·广东广州·高二广州市第九十七中学校考阶段练习）直线l 的方向向量是()1,1,1s =- ，平面α的法向量()222,,n x x x =+-，若直线//l 平面α，则x =______．【答案】2【分析】线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，即它们的数量积为零，根据数量积的坐标表示列出方程求解即可.【详解】解：若直线//l 平面α，则0s n ⋅=，22220x x x x ∴-++-=-=，解得2x =，故答案为：2.变式1．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）已知直线l 的一个方向向量为(1,2,1)d =-，平面α的一个法向量(,4,2)n x =-，若//l α，则实数x =_______．【答案】10【分析】根据直线与平面平行，得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，进而利用空间向量数量积为0列出方程，求出x 的值.【详解】因为//l α，所以直线l 的方向向量与平面α的法向量垂直，即(,4,2)(1,2,1)820n d x x ⋅=-⋅-=--=，解得：10x =.故答案为：10变式2．（2022秋·天津蓟州·高二校考期中）直线l 的方向向量是()1,1,1s →=，平面α的法向量()21,,n x x x →=--，若直线l α∥，则x =___________.【答案】1【分析】结合已知条件可得s n →→⊥，然后利用垂直向量的数量积为0即可求解.【详解】由题意可知，s n →→⊥，因为()1,1,1s →=，()21,,n x x x →=--，从而210s n x x x →→⋅=+--=，解得1x =.故答案为：1.变式3．（2023春·上海·高二校联考阶段练习）已知平面α的一个法向量为()11,2,3n =-，平面β的一个法向量为()22,4,n k =--，若//αβ，则k 的值为______【答案】6【分析】因为法向量定义，把//αβ转化为12//n n，可得k 的值.【详解】因为平面α的一个法向量为()11,2,3n =- ，平面β的一个法向量为()22,4,n k =--，又因为//αβ，所以12//n n，可得()()342k -⨯-=，即得6k =.故答案为：6.（三）证明直线、平面的平行问题例5．（2022春·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校联考期末）如图，三棱柱11ABC AB C -中侧棱与底面垂直，且AB ＝AC ＝2，AA 1＝4，AB ⊥AC ，M ，N ，P ，D 分别为CC 1，BC ，AB ，11B C 的中点．求证：PN ∥面ACC 1A 1；【解析】以点A 为坐标原点，AB ､AC ､1AA 所在直线分别为x ､y ､z 轴建立空间直角坐标系，则()10,0,4A ，()2,0,0B ，()0,2,2M ，()1,1,0N ，()1,0,4P ．取向量()2,0,0AB = 为平面11ACC A 的一个法向量，()0,1,4PN =-，∴()0210400PN AB ⋅=⨯++-=⨯⨯，∴PN AB ⊥ ．又∵PN ⊄平面11ACC A ，∴PN ∥平面11ACC A ．变式1．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形，线段AD 的中点为O 且PO ⊥底面ABCD ，112AB BC AD ===，π2BAD ABC ∠==∠，E 是PD 的中点．证明：CE ∥平面PAB ；【解析】连接OC ，因为//,AO BC AO BC =，所以四边形OABC 为平行四边形，所以//AB OC ，所以OC AD ⊥，以OC ，OD ，OP 分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，则(P ，()0,1,0A -，()1,1,0B -，()1,0,0C．11,22CE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，(0,1,PA =-，(1,1,PB =- ，设平面PAB 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1100PA n y PB n x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，则0x =，令1z =-，y =平面PAB的一个法向量()11n =-，1022CE n ⋅== ，则1CE n ⊥ ，又CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ．变式2．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，D ，E 分别为棱AB ，11B C 的中点，2BC =，AB =114AC =.证明：//DE 平面11ACC A ；【解析】证明：在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，2BC =，AB =114AC =.所以114AC AC ==，则222AC AB BC =+，则AB BC ⊥，则如下图，以B 为原点，1BC BA BB ，，为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，设1BB h =，则()()()00000200A B C ,,,,,,,,()()()()()111000200010A h B h C h D E h ,,,,,,,,,,,,所以()1DE h =，()()12000AC AA h =-=，，，，，设平面11ACC A 的一个法向量为()n x y z =，，，所以1200AC n x AA n hz ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1y =，则0x z ==，即)0n =，，所以())1000DE n h ⋅=⋅==，，得DE n ⊥，又DE ⊄平面11ACC A ，所以//DE 平面11ACC A ；变式3．（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，2PA AC ==，1AB =．求证：//MN 平面BDE ；【解析】因为PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，建立空间直角坐标系如图所示，则11(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,1),(0,1,1),(0,0,),(,1,0),(0,0,2)22A B C D E M N P ，所以(0,1,0),(1,0,1)DE DB ==-，设(,,)n x y z =为平面BDE 的法向量，则0n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00y x z =⎧⎨-=⎩，不妨设1z =，可得(1,0,1)n = ，又11,1,22MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，可得0MN n ⋅=，因为MN ⊄平面BDE ，所以//MN 平面BDE ，变式4．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且2PA =，四边形ABCD 是直角梯形，且AB AD ⊥，//BC AD ，2AD AB ==，4BC =，M 为PC 中点，E 在线段BC 上，且1BE =.求证：//DM 平面PAB ；【解析】证明：以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0D ，()002P ,,，()2,4,0C ，()1,2,1M ，()2,1,0E ，()1,0,1DM =，易知平面PAB 的一个法向量为()0,2,0AD = ，故0DM AD ⋅=，则DM AD ⊥ ，又DM ⊂/平面PAB ，故//DM 平面PAB ．变式5．（2023·四川成都·校考一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD MN ⊥，2AB =，4AD AP ==，M ，N 分别是BC ，PD 的中点.求证：MN ∥平面PAB ；【解析】（1）由题意，在矩形ABCD 中，2AB =，4AD AP ==，AB AD ⊥,M ，N 分别是BC ，PD 的中点，∴11222BM CM BC AD ====，2AB CD ==，在四棱锥P ABCD -中，面PAD ⊥平面ABCD ，面PAD ⋂面ABCD AD =，AB AD ⊥，∴AB ⊥面PAD ，PA ⊂面PAD ，∴PA AB ⊥，取AP 中点E ，连接BE ，由几何知识得BE MN ∥，∵AD MN ⊥，∴AD BE ⊥，AD AB⊥∵BE ⊂面PAB ，AB ⊂面PAB ，AB BE B = ∴AD ⊥面PAB ，∴PA AD⊥以AB 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如下图所示，∴()()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,4,0,0,4,0,0,0,4,2,2,0,0,2,2A B C D P M N ，∴()2,0,2MN =- ，面PAB 的一个法向量为()0,4,0AD =，∵2004200MN AD ⋅=-⨯+⨯+⨯=，∴MN ∥平面PAB .变式6．（2021·高二课时练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别在棱1A A ，11A B ，11A D 上，1111A E A F AG ===；点P ，Q ，R 分别在棱1CC ，CD ，CB 上，1CP CQ CR ===．求证：平面//EFG 平面PQR ．【答案】证明见解析【分析】构建以D 为原点，1,,DA DC DD为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系，令1,,AB a BC b BB c ===写出EF 、EG uu ur 、PQ 、PR ，进而求面EFG 、面PQR 的法向量m 、n ，根据所得法向量的关系即可证结论.【详解】构建以D 为原点，1,,DA DC DD为x 、y 、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示，设1,,AB a BC b BB c ===(,,1)a b c >，又1111A E A F AG ===，1CP CQ CR ===，∴(,0,1)E b c -，(,1,)F b c ，(1,0,)G b c -，(0,,1)P a ，(0,1,0)Q a -，(1,,0)R a ，∴(0,1,1)EF = ，(1,0,1)EG =- ，(0,1,1)PQ =--，(1,0,1)PR =- ，设(,,)m x y z = 是面EFG 的一个法向量，则00EF m y z EG m z x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1x =，(1,1,1)m =- ，设(,,)n i j k = 是面PQR 的一个法向量，则00PQ n j k PR n i k ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1i =，(1,1,1)n =- ，∴面EFG 、面PQR 的法向量共线，故平面//EFG 平面PQR ，得证.变式7．（2023·上海普陀·ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长1，侧棱长4，AA 1中点为E ，CC 1中点为F．求证：平面BDE ∥平面B 1D 1F ；【解析】（1）以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图则B （1，0，0），D （0，1，0），E （0，0，2），B 1（1，0，4），D 1（0，1，4），F （1，1，2），∵()10,1,2DE FB ==-，∴DE ∥FB 1，1//,DE FB DE ⊄ 平面11B D F ，1FB ⊂平面11B D F ，//DE ∴平面11B D F ，同理//BD 平面11B D F ，∵BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，BD DE D ⋂=平面BDE ，∴平面//BDE 平面11B D F ．考点四：利用空间向量证明垂直问题（一）判断直线、平面的位置关系例6．（2021秋·北京·高二校考期中）直线12,l l 的方向向量分别为(1,3,1),(8,2,2)a b =--=，则（）A ．12l l ⊥B ．1l ∥2l C ．1l 与2l 相交不平行D ．1l 与2l 重合【答案】A【分析】由题意可得0a b ⋅= ，即得a b ⊥，从而得12l l ⊥，即得答案.【详解】解：因为直线12,l l 的方向向量分别为(1,3,1),(8,2,2)a b =--=，(1,3,1)(8,2,2)8620a b ⋅=--⋅=--=所以a b ⊥ ，即12l l ⊥.故选：A.变式1．（2022秋·北京·高二校考阶段练习）若直线l 的方向向量为e (2,3,1)=-，平面α的法向量为311,,22n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则直线l 和平面α位置关系是（）A ．l α⊥B ．//l αC ．l α⊂D ．不确定【答案】A【分析】根据题意判断直线l 的方向向量和平面α的法向量的关系，即可判断直线l 和平面α位置关系.【详解】由题意直线l 的方向向量为e (2,3,1)=- ，平面α的法向量为311,,22n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ,可知e 2n =-，故l α⊥,故选：A变式2．【多选】（2022秋·广东珠海·高二珠海市斗门区第一中学校考期末）已知v为直线l 的方向向量,12,n n 分别为平面α,β的法向量（α,β不重合）,那么下列说法中正确的有（）．A ．12n n αβ⇔∥∥B ．12n n αβ⊥⇔⊥C ．1v n l ⇔ α∥∥D ．1v n l ⊥⇔⊥ α【答案】AB【分析】根据法线面垂直平行的性质及法向量、方向向量的概念即可选出选项.【详解】解:若12n n∥,因为α,β不重合,所以αβ∥,若αβ∥,则12,n n 共线,即12n n∥,故选项A 正确;若12n n ⊥,则平面α与平面β所成角为直角,故αβ⊥,若αβ⊥,则有12n n ⊥,故选项B 正确;若1v n ∥,则l α⊥,故选项C 错误;若1v n ⊥,则l α∥或l ⊂α,故选项D 错误.故选:AB变式3．（2023春·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()()2,3,1,2,3,1a b =-=--，则12l l ∥B ．直线l 的方向向量()112a ,,=- ，平面α的法向量是()6,4,1u =-，则l α⊥C ．两个不同的平面,αβ的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2u v =-=-，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则l α∥【答案】AC【分析】根据条件，利用方向向量､法向量的定义与性质，结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可．【详解】解：对于A ，两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是(2,3,1),(2,3,1)a b =-=--，则b a =-，所以//a b ，即12l l //，故A 正确；对于C ，两个不同的平面α，β的法向量分别是(2,2,1),(3,4,2)u v =-=-，则0u v =⋅，所以αβ⊥，故C 正确；对于B ，直线l 的方向向量(1,1,2)a =- ，平面α的法向量是(6,4,1)u =-，则16142(1)0a u ⋅=⨯-⨯+⨯-= ，所以a u ⊥，即//l α或l ⊂α，故B 错误；对于D ，直线l 的方向向量(0,3,0)a = ，平面a 的法向量是(0,5,0)u =-，则53u a =-，所以//μα ，即l α⊥，故D 错误．故选：AC ．变式4．【多选】（2022·高二课时练习）下列命题是真命题的有()A ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面B ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =- ，直线m 的方向向量12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r 为，则l 与m 垂直C ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =- ，平面α的法向量为10,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则l ⊥αD ．平面α经过三点()()()1,0,1,0,1,0,1,2,0A B C --，()1,,=rn u t 是平面α的法向量，则u +t ＝1【答案】ABD【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可．【详解】解：对于A ，A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN不能构成空间的一个基底，则,,BA BM BN共面，可得A ，B ，M ，N 共面，故A 正确；对于B ，2110a b ⋅=--=，故a ⊥ ，可得l 与m 垂直，故B 正确；对于C ，0110a n ⋅=-+= ，故a n ⊥，可得在α内或l ∥α，故C 错误；对于D ，()1,1,1AB =- ，易知AB n ⊥，故﹣1+u +t ＝0，故u +t ＝1，故D 正确．故选：ABD ．（二）已知直线、平面的垂直关系求参数例7．（2023春·北京海淀·高二中央民族大学附属中学校考开学考试）已知平面α的法向量为()1,2,0n = ，直线l 的方向向量为v，则下列选项中使得l α⊥的是（）A ．()2,1,0v =-B ．()2,1,0v =C ．()2,4,0v =D ．()1,2,0v =-【答案】C【分析】根据法向量与方向向量的定义，即可求得本题答案.【详解】若l α⊥，则直线l 的方向向量v垂直于平面α，所以v与平面α的法向量()1,2,0n = 平行，显然只有选项C 中2v n = 满足.故选：C变式1．（江苏省扬州市2022-2023学年高二下学期6月期末数学试题）已知直线l 的方向向量为()2,1,2e =-，平面α的法向量为()()2,,,n a b a b a b =--+∈R.若l α⊥，则3a b +的值为（）A ．5-B ．2-C ．1D ．4【答案】A【分析】根据题意得到//e n ，进而得到方程组12a b a b -=⎧⎨+=-⎩，求得,a b 的值，即可求解.【详解】由直线l 的方向向量为()2,1,2e =-，平面α的法向量为()2,,n a b a b =--+ ，因为l α⊥，可得//e n ，所以2212a b a b--+==-，即12a b a b -=⎧⎨+=-⎩，解得13,22a b =-=-，所以193522a b +=--=-.故选：A.变式2．（2023春·高二课时练习）已知()()3,,,R u a b a b a b =-+∈ 是直线l 的方向向量，()1,2,4n =r是平面α的法向量．若l α⊥，则ab =______．【答案】27【分析】根据线面垂直的概念，结合法向量的性质可得u n ∥，进而求得,a b ，即得.【详解】∵l α⊥，∴//u n ，∴3124a b a b-+==，故612a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得93a b =⎧⎨=⎩，∴27ab =．故答案为：27.变式3．（2022秋·广东珠海·高二珠海市实验中学校考阶段练习）若直线l 方向向量为()2,1,m ，平面α的法向量为11,,22⎛⎫⎪⎝⎭，且l α⊥，则m 为（）A ．1B ．2C ．4D ．54-【答案】C【分析】由l α⊥可知l 的方向向量为与平面α的法向量平行，再利用向量共线定理即可得出．【详解】l α⊥ ，l ∴的方向向量为()2,1,m 与平面α的法向量11,,22⎛⎫⎪⎝⎭平行，∴1(2,1,)(1,,2)2m λ=．∴21122m λλλ=⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得4m =．故选：C ．变式4．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）如图，在正三棱锥D -ABC中，AB =，2DA =，O 为底面ABC 的中心，点P 在线段DO 上，且PO DO λ=uu u r uuu r，若PA ⊥平面PBC ，则实数λ=（）A ．12B ．13-C．4D．6【答案】D【分析】由正棱锥的结构特征构建空间直角坐标系，根据已知条件确定相关点坐标并求出面PBC 的法向量，结合线面平行及向量共线定理求参数λ即可.【详解】由题设，△ABC2DA DB DC ===，等边△ABC32=，在正棱锥中，以O 为原点，平行CB 为x 轴，垂直CB 为y 轴，OD 为z 轴，如上图示，则11(0,1,0),(,,0),(,,0),2222A B C D --，且)P ，所以)AP =，1,)2PB =，CB = ，若(,,)m x y z = 为面PBC的法向量，则1020PB m y z CB m ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令1z =，则(0,,1)m = ，又PA ⊥平面PBC ，则AP km = 且k为实数，101k k λ⎧=⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩，故λ=.故选：D（三）证明直线、平面的垂直问题例8．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3，试证明AM ⊥平面BMC .。
高考数学一轮复习第7讲 立体几何中的向量方法
第7讲立体几何中的向量方法1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线l上的向量e或与01共线的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直02无数个．(2)平面的法向量如果表示向量n03垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，此时向量n叫做平面α的法向量．04无数个，且它们是05共线向量．(3)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则l∥m06a∥b⇔07a＝k b，k∈R；l⊥m08a⊥b⇔09a·b＝0；l∥α10a⊥u⇔11a·u＝0；l⊥α12a∥u⇔13a＝k u，k∈R；α∥β14u∥v⇔15u＝k v，k∈R；α⊥β16u⊥v⇔17u·v＝0.2．空间向量与空间角的关系(1)两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ| 18|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角，范围是(0°，90°])．(2)直线与平面所成角的求法如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝19|e ·n ||e ||n |，φ的取值范围是[0°，90°]．(3)求二面角的大小如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个半平面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝20〈AB→，CD →〉.如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉，取值范围是[0°，180°]．确定平面法向量的方法(1)直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量． (2)待定系数法：取平面内的两个相交向量a ，b ，设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0，解方程组求得．1．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( )A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．重合答案 C解析 由(1,2,0)·(2，－1,0)＝1×2＋2×(－1)＋0×0＝0，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直．2．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫33，33，－33B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，33C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，33D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33答案 D解析 AB→＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∴⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,1,1)．单位法向量为±n |n |＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫33，33，33. 3. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．MN 在平面BB 1C 1C 内答案 B解析 MN →＝MA 1→＋A 1A →＋AN →＝13BA 1→＋A 1A →＋13AC →＝13(B 1A 1→－B 1B →)＋B 1B →＋13(AB →＋AD →)＝23B 1B →＋13B 1C 1→，∴MN →，B 1B →，B 1C 1→共面．又MN ⊄平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C ．4. 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，那么异面直线OE 与FD 1所成角的余弦值等于( )A ．105B ．155C ．45D ．23答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则O (1，1,0)，E (0,2,1)，F (1，0,0)，D 1(0,0,2)，∴FD 1→＝(－1,0,2)，OE →＝(－1,1,1)．∴cos 〈FD 1→，OE →〉＝FD 1→·OE→|FD1→||OE →|＝1＋0＋25×3＝155.故选B ．5．如图，已知P 为矩形ABCD 所在平面外一点，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PC 的中点．若∠PDA ＝45°，则EF 与平面ABCD 所成的角的大小是( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°答案 C解析 设AD ＝a ，AB ＝b ，因为∠PDA ＝45°，P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AD ，P A ＝AD ＝a .以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0，0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，a 2，a 2，所以EF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2.易知AP →＝(0,0，a )是平面ABCD 的一个法向量．设EF 与平面ABCD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AP →，EF →〉|＝|AP →·EF →||AP →||EF →|＝22.所以θ＝45°.6. (2020·广东华侨中学高三模拟)如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则点M 的坐标为( )A ．(1,1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫24，24，1答案 C解析 设AC 与BD 相交于点O ，连接OE ，∵AM ∥平面BDE ，且AM ⊂平面ACEF ，平面ACEF ∩平面BDE ＝OE ，∴AM ∥EO ，又O 是正方形ABCD 对角线的交点，∴M 为线段EF 的中点．在空间直角坐标系中，E (0,0,1)，F (2，2，1)．由中点坐标公式，知点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.考向一 利用空间向量证明平行、垂直例1 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 所成的角为30°.求证：(1)CM ∥平面P AD ； (2)平面P AB ⊥平面P AD .证明 以点C 为坐标原点，分别以CB ，CD ，CP 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz .∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角． ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4.∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，∴DP→＝(0，－1,2)，DA→＝(23，3,0)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32. (1)设n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，得⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0. 令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)．∵n ·CM→＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n ⊥CM →.又CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD . (2)如图，取AP 的中点E ，连接BE ，则E (3，2,1)，BE →＝(－3，2,1)．∵PB ＝AB ，∴BE ⊥P A ．又BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， ∴BE→⊥DA →，∴BE ⊥DA ． 又P A ∩DA ＝A ，∴BE ⊥平面P AD . 又BE ⊂平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面P AD . 1.用向量法证平行问题的类型及常用方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行 ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量表示面面平行①证明两平面的法向量平行(即为共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题线线垂直 问题证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直 问题 直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直 问题两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直1. 如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 和侧面AA 1B 1B 都是正方形且互相垂直，M 为AA 1的中点，N 为BC 1的中点．求证：(1)MN ∥平面A 1B 1C 1； (2)平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C ．证明 由题意知AA 1，AB ，AC 两两垂直，以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设正方形AA 1C 1C 的边长为2，则A (0,0,0)，A 1(2,0,0)，B (0,2,0)，B 1(2,2,0)，C (0,0,2)，C 1(2,0,2)，M (1,0,0)，N (1,1,1)．(1)因为几何体是直三棱柱， 所以侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1.因为AA 1→＝(2,0,0)，MN →＝(0,1,1)，所以MN →·AA 1→＝0，即MN →⊥AA 1→.因为MN ⊄平面A 1B 1C 1，故MN ∥平面A 1B 1C 1.(2)设平面MBC 1与平面BB 1C 1C 的法向量分别为 n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 因为MB →＝(－1,2,0)，MC 1→＝(1,0,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1·MB →＝0，n 1·MC 1→＝0，即⎩⎨⎧－x 1＋2y 1＝0，x 1＋2z 1＝0， 令x 1＝2，则平面MBC 1的一个法向量为n 1＝(2,1，－1)．同理可得平面BB 1C 1C 的一个法向量为n 2＝(0,1,1)．因为n 1·n 2＝2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以n 1⊥n 2，所以平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C ． 多角度探究突破考向二 利用空间向量求空间角 角度1 求异面直线所成的角例2 (1) (2020·汕头模拟)如图，正四棱锥P －ABCD 的侧面P AB 为正三角形，E 为PC 的中点，则异面直线BE 和P A 所成角的余弦值为( )A ．33B ．32C ．22D ．12答案 A解析 连接AC ，BD ，交于点O ，连接PO ，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝2，则OA ＝OB ＝OP ＝1，A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，P (0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1，12，P A →＝(1,0，－1)，设异面直线BE 和P A 所成角为θ，则cos θ＝|BE →·P A →||BE →||P A →|＝132×2＝33. ∴异面直线BE 和P A 所成角的余弦值为33.故选A ．(2) 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，那么异面直线D 1E 和A 1F 所成角的余弦值等于________.答案 25解析 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系．则A 1(2,0,2)，F (1,0,0)，D 1(0，0,2)，E (0，2,1)， 则A 1F →＝(－1,0，－2)，D 1E →＝(0,2，－1)， cos 〈D 1E →，A 1F →〉＝D 1E →·A 1F →|D 1E →||A 1F →|＝25×5＝25， ∴异面直线D 1E 和A 1F 所成角的余弦值等于25.(1)求异面直线所成角的思路①选好基底或建立空间直角坐标系； ②求出两直线的方向向量v 1，v 2；③代入公式cos θ＝|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1||v 2|求解(θ为两异面直线所成角)．(2)两异面直线所成角的关注点两异面直线所成角θ的范围是(0°，90°]，两向量的夹角α的范围是[0°，180°]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，该角就是异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角．2.(多选)(2020·山东潍坊5月模拟)已知在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，H 分别是AB ，DD 1，BC 1的中点，下列结论中正确的是( )A ．D 1C 1∥平面CHDB ．AC 1⊥平面BDA 1C ．三棱锥D －BA 1C 1的体积为56 D ．直线EF 与BC 1所成的角为30° 答案 ABD解析 如图1所示，因为D 1C 1∥DC ，D 1C 1⊄平面CHD ，DC ⊂平面CHD ，所以D 1C 1∥平面CHD ，A 正确；建立空间直角坐标系，如图2所示．由于正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则AC 1→＝(－1,1,1)，BD →＝(－1，－1,0)，DA 1→＝(1,0,1)，所以AC 1→·BD →＝1－1＋0＝0，AC 1→·DA 1→＝－1＋0＋1＝0，所以AC 1→⊥BD →，AC 1→⊥DA 1→，所以AC 1⊥平面BDA 1，B 正确；三棱锥D －BA 1C 1的体积为V 三棱锥D －BA 1C 1＝V 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1－4V 三棱锥A 1－ABD ＝1－4×13×12×1×1×1＝13，所以C 错误；E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，12，BC →1＝(－1,0,1)，所以cos 〈EF →，BC 1→〉＝EF →·BC 1→|EF →||BC 1→|＝1＋0＋1232×2＝32，所以直线EF 与BC 1所成的角是30°，D 正确．故选ABD.角度2 求直线与平面所成的角例3 (2020·山东高考) 如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD .设平面P AD 与平面PBC 的交线为l .(1)证明：l ⊥平面PDC ；(2)已知PD ＝AD ＝1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．解 (1)证明：在正方形ABCD 中，AD ∥BC ， 因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以AD ∥平面PBC ，又因为AD ⊂平面P AD ，平面P AD ∩平面PBC ＝l ， 所以AD ∥l .因为在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形， 所以AD ⊥DC ，所以l ⊥DC ，又PD ⊥平面ABCD ，所以AD ⊥PD ，所以l ⊥PD . 因为DC ∩PD ＝D ，所以l ⊥平面PDC ． (2)如图，建立空间直角坐标系Dxyz .因为PD ＝AD ＝1，所以D (0,0,0)，C (0,1,0)，A (1,0,0)，P (0，0,1)，B (1,1,0)， 设Q (m,0,1)，则有DC→＝(0,1,0)，DQ →＝(m,0,1)，PB →＝(1,1，－1)．设平面QCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧DC →·n ＝0，DQ →·n ＝0，即⎩⎨⎧y ＝0，mx ＋z ＝0，令x ＝1，则z ＝－m ，所以平面QCD 的一个法向量为n ＝(1，0，－m )， 则cos 〈n ，PB →〉＝n ·PB →|n ||PB →|＝1＋0＋m 3·m 2＋1. 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，知直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值等于|cos 〈n ，PB→〉|＝ |1＋m |3·m 2＋1＝33·1＋2m ＋m 2m 2＋1＝33·1＋2m m 2＋1≤33·1＋2|m |m 2＋1≤33·1＋1＝63， 当且仅当m ＝1时取等号，所以直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为63.利用向量法求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线与平面所成的角．提醒：在求平面的法向量时，若能找出平面的垂线，则在垂线上取两个点可构成一个法向量．3.(2019·浙江高考)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，A 1A ＝A 1C ＝AC ，E ，F 分别是AC ，A 1B 1的中点．(1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．解解法一：(1)证明：如图1，连接A1E.因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．又因为平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC．又因为A1F∥AB，∠ABC＝90°，故BC⊥A1F.又因为A1E∩A1F＝A1，所以BC⊥平面A1EF.因为EF⊂平面A1EF，所以EF⊥BC．(2)如图1，取BC的中点G，连接EG，GF，连接A1G交EF于点O，则四边形EGF A1是平行四边形．由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGF A1为矩形．由(1)，得BC⊥平面EGF A1，所以平面A1BC⊥平面EGF A1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角)．不妨设AC ＝4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E ＝23，EG ＝ 3. 由于O 为A 1G 的中点，故EO ＝OG ＝A 1G 2＝152， 所以cos ∠EOG ＝EO 2＋OG 2－EG 22EO ·OG＝35.因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35. 解法二：(1)证明：如图2，连接A 1E .因为A 1A ＝A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ．又因为平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ，所以A 1E ⊥平面ABC ．以点E 为坐标原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz .不妨设AC ＝4，则E (0,0,0)，A 1(0,0，23)，B (3，1,0)，B 1(3，3,23)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，23，C (0,2,0)． 因此，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，23，BC →＝(－3，1,0)．由EF →·BC→＝0，得EF ⊥BC ．(2)由(1)可得BC →＝(－3，1,0)，A 1C →＝(0,2，－23)． 设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧BC →·n ＝0，A 1C →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝0，y －3z ＝0. 取n ＝(1, 3，1)，设直线EF 与平面A 1BC 所成的角为θ，故sin θ＝|cos 〈EF →，n 〉|＝|EF →·n ||EF →||n |＝45，所以cos θ＝35.因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35. 角度3 求二面角例4 (2020·济南一模)如图1，平面四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝2，AB ⊥AC ，AC ⊥CD ，E 为BC 的中点，将△ACD 沿对角线AC 折起，使CD ⊥BC ，连接BD ，DE ，AE ，得到如图2所示的三棱锥D －ABC ．(1)证明：平面ADE ⊥平面BCD ；(2)已知直线DE 与平面ABC 所成的角为π4，求二面角A －BD －C 的余弦值． 解 (1)证明：在三棱锥D －ABC 中，因为CD ⊥BC ，CD ⊥AC ，AC ∩BC ＝C ，所以CD ⊥平面ABC ． 又AE ⊂平面ABC ，所以AE ⊥CD .因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC ． 又BC ∩CD ＝C ，所以AE ⊥平面BCD . 又AE ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCD .(2)由(1)可知∠DEC 即为直线DE 与平面ABC 所成的角，所以∠DEC ＝π4. 在Rt △ABC 中，由勾股定理得BC ＝2，故CD ＝CE ＝1.作EF ∥CD 交BD 于点F ，由(1)知EA ，EB ，EF 两两垂直，以E 为原点，EA ，EB ，EF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则E (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0,1,0)，D (0，－1,1)， 易知平面BCD 的一个法向量为n 1＝(1,0,0)， 又AB→＝(－1,1,0)，AD →＝(－1，－1,1)， 设平面ABD 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AB →＝－x ＋y ＝0，n 2·AD →＝－x －y ＋z ＝0，令x ＝1，解得n 2＝(1,1,2)， cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝66.由图可知，该二面角为锐角， 所以二面角A －BD －C 的余弦值为66.利用向量法确定二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量夹角的大小就是二面角的大小．4. (2020·青岛模拟)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qiàn dǔ)；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑(biē nào)指四个面均为直角三角形的四面体．如图在堑堵ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ．(1)求证：四棱锥B －A 1ACC 1为阳马；(2)若C 1C ＝BC ＝2，当鳖臑C 1－ABC 体积最大时，求锐二面角C －A 1B －C 1的余弦值．解 (1)证明：∵A 1A ⊥底面ABC ，AB ⊂面ABC ， ∴A 1A ⊥AB ．又AB ⊥AC ，A 1A ∩AC ＝A ， ∴AB ⊥面ACC 1A 1. 又四边形ACC 1A 1为矩形， ∴四棱锥B －A 1ACC 1为阳马．(2)∵AB ⊥AC ，BC ＝2，∴AB 2＋AC 2＝4. 又C 1C ⊥底面ABC ，∴VC 1－ABC ＝13·C 1C ·12AB ·AC ＝13·AB ·AC ≤13·AB 2＋AC 22＝23，当且仅当AB ＝AC ＝2时，＝13·AB ·AC 取最大值．∵AB ⊥AC ，A 1A ⊥底面ABC ，∴以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (2，0,0)，C (0，2，0)，A 1(0，0,2)，C 1(0，2，2)，A 1B →＝(2，0，－2)，BC →＝(－2，2，0)，A 1C 1→＝(0，2，0)．设面A 1BC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B →＝0，n 1·BC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－2z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0，令z 1＝1，得n 1＝(2，2，1)． 同理得面A 1BC 1的一个法向量为n 2＝(2，0,1)，cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝155，∴二面角C －A 1B －C 1的余弦值为155.用向量法探究点的位置如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.(1)求证：PD ⊥平面P AB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(3)在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AMAP 的值；若不存在，说明理由．解 (1)证明：因为平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面P AD ，所以AB ⊥PD .又因为P A ⊥PD ，P A ∩AB ＝A ，所以PD ⊥平面P AB ． (2)如图，取AD 的中点O ，连接PO ，CO .因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD . 又因为PO ⊂平面P AD ， 平面P AD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD . 因为CO ⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥CO .因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD . 建立空间直角坐标系Oxyz .由题意得，A (0,1,0)，B (1,1,0)，C (2,0,0)，D (0，－1,0)，P (0，0,1)，PB →＝(1,1，－1)，PC→＝(2,0，－1)，PD →＝(0，－1，－1)．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·PC →＝0，即⎩⎨⎧－y －z ＝0，2x －z ＝0. 令z ＝2，则x ＝1，y ＝－2，所以n ＝(1，－2,2)． 又PB→＝(1,1，－1)，所以cos 〈n ，PB →〉＝n ·PB →|n ||PB→|＝－33，所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33.(3)假设在棱P A 上存在点M ，使得BM ∥平面PCD ，则存在λ∈[0,1]使得AM →＝λAP→.因此点M (0,1－λ，λ)，BM →＝(－1，－λ，λ)． 因为BM ⊄平面PCD ，所以当且仅当BM →·n ＝0时，BM ∥平面PCD ，即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0，解得λ＝14. 所以在棱P A 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时AM AP ＝14. 答题启示对于点的探究型问题，要善于根据点的位置结合向量的有关定理灵活设出未知量，尽量使未知量个数最少．对点训练(2020·滨州二模) 如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝60°，直角梯形ADFE 所在的平面垂直于平面ABCD ，且∠EAD ＝90°，EA ＝AD ＝2DF ＝2CD ＝2.(1)证明：平面ECD ⊥平面ACE ；(2)点M 在线段EF 上，试确定点M 的位置，使平面MCD 与平面EAB 所成的二面角的余弦值为34.解 (1)证明：因为平面ABCD ⊥平面ADFE ，平面ABCD ∩平面ADFE ＝AD ，EA ⊥AD ，EA ⊂平面ADFE ，所以EA ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，所以EA ⊥CD ， 在△ADC 中，CD ＝1，AD ＝2，∠ADC ＝60°， 由余弦定理得，AC ＝ 1＋4－2×1×2cos60°＝3， 所以AC 2＋CD 2＝AD 2，所以CD ⊥AC ．又EA ⊥CD ，EA ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面ACE ， 又CD ⊂平面ECD ，所以平面ECD ⊥平面ACE . (2)以C 为坐标原点，以CA ，CD 所在直线分别为x 轴、 y 轴，过点C 且平行于AE 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3，0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，0，D (0,1,0)，E (3，0,2)，F (0,1,1)，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，0，AE →＝(0,0,2)，CD→＝(0,1,0)，FE →＝(3，－1,1)，CF →＝(0,1,1)，设FM →＝λFE →＝(3λ，－λ，λ)(0≤λ≤1)，则CM→＝CF →＋FM →＝(3λ，1－λ，1＋λ)．设平面EAB 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎨⎧－32x 1－12y 1＝0，2z 1＝0，取x 1＝1，得m ＝(1，－3，0)．设平面MCD 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CM →＝0，得⎩⎨⎧y 2＝0，3λx 2＋(1－λ)y 2＋(1＋λ)z 2＝0，令x 2＝1＋λ，得n ＝(1＋λ，0，－3λ)，因为平面MCD 与平面EAB 所成的二面角的余弦值为34，所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝|1＋λ|24λ2＋2λ＋1＝34， 整理得8λ2－2λ－1＝0，解得λ＝12或λ＝－14(舍去)，所以点M 为线段EF 的中点时，平面MCD 与平面EAB 所成的二面角的余弦值为34.一、单项选择题1．直线l 的方向向量a ＝(1，－3,5)，平面α的法向量n ＝(－1,3，－5)，则有( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l 与α斜交D ．l ⊂α或l ∥α答案 B解析 因为a ＝(1，－3,5)，n ＝(－1,3，－5)，所以a ＝－n ，a ∥n .所以l ⊥平面α.选B ．2．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90° 答案 C解析 ∵cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12＝22，∴〈m ，n 〉＝45°.∴二面角为45°或135°.故选C ．3. 如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是上底面A 1B 1C 1D 1和侧面ADD 1A 1的中心，则EF 和CD 所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．135°答案 B解析 以D 为原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1为x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，DC →＝(0,1,0)，∴cos 〈EF →，DC →〉＝EF →·DC →|EF →||DC →|＝－22，∴〈EF →，DC →〉＝135°，∴异面直线EF 和CD 所成的角是45°.故选B ．4．如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝4，则直线BB 1与平面ACD 1所成角的正弦值为( )A ．13B ．33C ．63D ．223答案 A解析 如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz .则A (2,0,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,4)，B (2,2,0)，B 1(2,2,4)，AC →＝(－2,2，0)，AD 1→＝(－2,0,4)，BB 1→＝(0,0,4)． 设平面ACD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎨⎧－2x ＋2y ＝0，－2x ＋4z ＝0， 取x ＝2，则y ＝2，z ＝1，故n ＝(2,2,1)是平面ACD 1的一个法向量，设直线BB 1与平面ACD 1所成的角是θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BB 1→〉|＝|n ·BB 1→||n ||BB 1→|＝49×4＝13.故选A ．5．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )A ．5B ．41C ．4D ．2 5答案 A解析 ∵A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，∴AB→＝(4，－5,0)，AC →＝(0,4，－3)．∵点D 在直线AC 上，∴设AD →＝λAC →＝(0,4λ，－3λ)，由此可得BD→＝AD →－AB →＝(0,4λ，－3λ)－(4，－5,0)＝(－4,4λ＋5，－3λ)．又BD →⊥AC →，∴BD →·AC →＝－4×0＋(4λ＋5)×4＋(－3λ)×(－3)＝0，解得λ＝－45.因此BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，95，125.可得|BD→|＝ (－4)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫952＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝5.6. (2020·安徽六安一中质检)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2.若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为( )A ． 2B ． 3C ．2D ．22答案 A解析 分别以CA ，CB ，CC 1所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)，设AD ＝a ，则点D 坐标为(1,0，a )，CD →＝(1,0，a )，CB 1→＝(0,2,2)，设平面B 1CD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB 1→＝0，n ·CD →＝0，得⎩⎨⎧2y ＋2z ＝0，x ＋az ＝0，令z ＝－1，得n ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为m ＝(0，1,0)．所以cos60°＝m ·n |m ||n |，得1a 2＋2＝12，解得a ＝2，故选A ．7. (2021·湖南湘潭高三月考)在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面P AB 的法向量的是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12 B ．(1，2，1)C ．(1,1,1)D ．(2，－2,1)答案 A解析 P A →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)，设平面P AB 的法向量为n ＝(x ，y,1)，则⎩⎨⎧ x －2＝0，－x ＋y ＝0.解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2.∴n ＝(2,2,1)．又⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12＝12n ，∴A 正确．8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A ．12 B ．23 C ．33 D ．22答案 B解析 以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，设棱长为1，则A 1(0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，D (0，1,0)，∴A 1D →＝(0,1，－1)，A 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，－12，设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1D →＝0，n 1·A 1E →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴⎩⎨⎧y ＝2，z ＝2.∴n 1＝(1,2,2)．又平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23.即平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为23.故选B ．二、多项选择题9．(2020·海口高考调研) 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝23AB ＝2，AB ⊥AC ，点D ，E 分别是线段BC ，B 1C 上的动点(不含端点)，且EC B 1C ＝DCBC .则下列说法正确的是( )A ．ED ∥平面ACC 1B ．该三棱柱的外接球的表面积为68πC ．异面直线B 1C 与AA 1所成角的正切值为32 D ．二面角A －EC －D 的余弦值为413 答案 AD解析 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形BCC 1B 1是矩形，因为ECB 1C ＝DC BC ，所以ED ∥BB 1∥CC 1，所以ED ∥平面ACC 1，A 正确；因为AA 1＝AC ＝23AB ＝2，所以AB ＝3，因为AB ⊥AC ，所以BC ＝22＋32＝13，所以B 1C ＝13＋4＝17，易知B 1C 是三棱柱外接球的直径，所以三棱柱外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎫1722＝17π，B 错误；因为AA 1∥BB 1，所以异面直线B 1C 与AA 1所成的角为∠BB 1C ．在Rt △B 1BC 中，BB 1＝2，BC ＝13，所以tan ∠BB 1C ＝BC BB 1＝132，C 错误；二面角A －EC －D 即二面角A －B 1C －B ，以A 为坐标原点，以AB →，AC →，AA 1→的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面AB 1C 的一个法向量为(2,0，－3)，平面BB 1C 的一个法向量为(2,3,0)，故二面角A －EC －D 的余弦值为2×213×13＝413，D 正确．10. (2020·山东模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则下列说法正确的是( )A ．直线A 1G 与平面AEF 平行B ．直线D 1D 与直线AF 垂直C ．平面AEF 截正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1所得截面的面积为98 D ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等 答案 AC解析 如图，连接AD 1，D 1F ，因为A 1G ∥D 1F ，且A ，E ，F ，D 1在同一平面内，所以A 1G ∥平面AEF ，故A 正确；因为AF 与C 1C 相交且不垂直，D 1D 与C 1C 平行，所以直线D 1D 与直线AF 不垂直，故B 错误；平面AEF 截正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1所得截面为等腰梯形AEFD 1，作EH ⊥AD 1，交AD 1于点H ，连接D 1E ，DE ，可得AE ＝52，AD 1＝2，D 1E ＝1＋54＝32，所以在△AD 1E中，cos ∠D 1AE ＝1010，所以sin ∠D 1AE ＝31010，所以EH ＝52×31010＝324，所以等腰梯形AD 1FE 的面积S ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22×324＝98，故C 正确；以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，连接AG ，AC ，则可得平面AEF 的一个法向量为n ＝(2,1,2)，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AC →＝(－1,1,0)，所以点G 到平面AEF 的距离d 1＝|AG →·n ||n |＝23，点C 到平面AEF 的距离d 2＝|AC →·n ||n |＝13，故D 错误．故选AC ．三、填空题11. 如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为________.答案60°解析∵CD→＝CA→＋AB→＋BD→，∴|CD→|＝(CA→＋AB→＋BD→)2＝ 36＋16＋64＋2CA→·BD→＝ 116＋2CA→·BD→＝217.∴CA→·BD→＝|CA→||BD→|cos〈CA→，BD→〉＝－24.∴cos〈CA→，BD→〉＝－12.又所求二面角与〈CA→，BD→〉互补，∴所求的二面角为60°.12. 正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________.答案 π6解析 以C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，得下列坐标：A (2，0,0)，C 1(0，0，22)．点C 1在侧面ABB 1A 1内的射影为点C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，22.所以AC 1→＝(－2,0,22)，AC 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，22，设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为θ，则cos θ＝AC 1→·AC 2→|AC1→||AC 2→|＝1＋0＋823×3＝32.又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以θ＝π6.13．(2020·山西大同高三模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，且A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________.答案 平行解析 MN →＝MA 1→＋A 1A →＋AN →＝13BA 1→＋A 1A →＋13AC →＝13(BA →＋AA 1→)＋A 1A →＋13(AB →＋BC →)＝23A 1A →＋13BC →＝23B 1B →＋13BC →.∴MN →与B 1B →，BC →共面．又MN ⊄平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C ．14．已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值为________.答案23解析 如图，建立空间直角坐标系Dxyz ，设DA ＝1，由已知条件得A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，23，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，13，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，23， 设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，平面AEF 与平面ABC 所成的锐二面角为θ，由图知θ为锐角，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋13z ＝0，－x ＋y ＋23z ＝0.令y ＝1，则z ＝－3，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－3)，平面ABC 的一个法向量为m ＝(0,0，－1)，cos θ＝|cos 〈n ，m 〉|＝31111，tan θ＝23.四、解答题15．(2020·山东省模拟考) 如图，四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为矩形．SA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AD ，SC 的中点，EF 与平面ABCD 所成的角为45°.(1)证明：EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线；(2)若EF ＝12BC ，求二面角B －SC －D 的余弦值．解 (1)证明：以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴正方向，|AB →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .设D (0，b,0)，S (0,0，c )，则C (1，b,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b 2，c 2，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，c 2，AS →＝(0,0，c )，AD→＝(0，b,0)． 因为EF 与平面ABCD 所成的角为45°，所以EF →与平面ABCD 的法向量AS →的夹角为45°.所以AS →·EF →＝|AS →||EF →|cos45°， 即c 22＝22×c ×14＋c 24，解得c ＝1，故EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，SC →＝(1，b ，－1)， 从而EF →·SC →＝0，EF →·AD →＝0，所以EF ⊥SC ，EF ⊥AD .因此EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线． (2)由B (1,0,0)，BC →＝(0，b,0)， |EF→|＝12|BC →|得b ＝ 2. 于是F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，12，C (1，2，0)，连接FB ，故FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－22，－12，SC →＝(1，2，－1)，从而FB →·SC→＝0，即FB ⊥SC ．取CF 的中点G ，连接GD ，则G ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，324，14，GD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，24，－14，从而GD →·SC→＝0，即GD ⊥SC ．因此〈FB→，GD →〉等于二面角B －SC －D 的平面角．cos 〈FB →，GD →〉＝FB →·GD →|FB →||GD →|＝－33.所以二面角B －SC －D 的余弦值为－33.16. (2020·全国卷Ⅱ)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .(1)证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；(2)设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO ＝AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值．解 (1)证明：∵M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点， ∴MN ∥BB 1.又AA 1∥BB 1，∴AA 1∥MN .∵△A 1B 1C 1为等边三角形，N 为B 1C 1的中点， ∴A 1N ⊥B 1C 1.又侧面BB 1C 1C 为矩形，∴B 1C 1⊥BB 1. ∵MN ∥BB 1，∴MN ⊥B 1C 1.又MN ∩A 1N ＝N ，MN ，A 1N ⊂平面A 1AMN ， ∴B 1C 1⊥平面A 1AMN .又B 1C 1⊂平面EB 1C 1F ， ∴平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F .(2)解法一：连接NP ，∵AO ∥平面EB 1C 1F ，平面AONP ∩平面EB 1C 1F ＝NP ， ∴AO ∥NP .∵三棱柱上下底面平行，平面A 1AMN ∩平面ABC ＝AM ，平面A 1AMN ∩平面A 1B 1C 1＝A 1N ，∴ON ∥AP .∴四边形ONP A 是平行四边形． ∴ON ＝AP ，AO ＝NP . 设△ABC 边长是6m (m ＞0)， 则NP ＝AO ＝AB ＝6m .∵O 为△A 1B 1C 1的中心，且△A 1B 1C 1的边长为6m ， ∴ON ＝13×6m ×sin60°＝3m .∴ON ＝AP ＝3m . ∵BC ∥B 1C 1，B 1C 1⊂平面EFC 1B 1， ∴BC ∥平面EFC 1B 1.又BC ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面EFC 1B 1＝EF ， ∴EF ∥BC ，∴AP AM ＝EP BM ，∴3m 33m ＝EP 3m ，解得EP ＝m .在B 1C 1截取B 1Q ＝EP ＝m ，连接PQ ，故QN ＝2m . ∵B 1Q ＝EP 且B 1Q ∥EP ，∴四边形B 1QPE 是平行四边形，∴B 1E ∥PQ . 由(1)可知B 1C 1⊥平面A 1AMN ，故∠QPN 为B 1E 与平面A 1AMN 所成角． 在Rt △QPN 中，根据勾股定理可得PQ ＝QN 2＋NP 2＝(2m )2＋(6m )2＝210m ， ∴sin ∠QPN ＝QN PQ ＝2m 210m＝1010.∴直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值为1010. 解法二：由(1)知平面A 1AMN ⊥平面ABC ，作NQ ⊥AM ，垂足为Q ，则NQ ⊥平面ABC ．由已知得AM ⊥BC ，以Q 为坐标原点，QA→的方向为x 轴正方向，QN →的方向为z 轴正方向，|MB →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Qxyz ，设QM ＝a ，则AB ＝2，AM ＝ 3.连接NP ，则四边形AONP 为平行四边形， ∴NP ＝AO ＝AB ＝2，∴PQ ＝233－a ，NQ ＝ NP 2－PQ 2＝ 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫233－a2， ∴B 10,1,4－⎝ ⎛⎭⎪⎫233－a 2 ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫233－a ，13，0，故B 1E →＝233－a ，－23，－4－⎝ ⎛⎭⎪⎫233－a2，|B 1E →|＝2103.又n ＝(0，－1,0)是平面A 1AMN 的一个法向量， 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－〈n ，B 1E →〉＝cos 〈n ，B 1E →〉＝n ·B 1E →|n ||B 1E →|＝1010.∴直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值为1010.17．(2020·泰安三模)在四棱锥P －ABCD 中，△P AB 为等边三角形，四边形ABCD 为矩形，E 为PB 的中点，DE ⊥PB ．(1)证明：平面ABCD ⊥平面P AB ；(2)设二面角A －PC －B 的大小为α，求α的取值范围．解 (1)证明：连接AE ，因为△P AB 为等边三角形，所以AE ⊥PB ． 又DE ⊥PB ，AE ∩DE ＝E ，所以PB ⊥平面ADE ，所以PB ⊥AD . 因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ⊥AB ，且AB ∩PB ＝B ， 所以AD ⊥平面P AB ．因为AD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面P AB ．(2)以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，不妨设PB ＝AB ＝P A ＝1，C (0,1，n )，则A (0,0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，B (0，1,0)，由空间向量的坐标运算可得PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，n ，AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，0.设平面BPC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PC →＝0，m ·BP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－32x 1＋12y 1＋nz 1＝0，32x 1－12y 1＝0，令x 1＝1，则y 1＝3，z 1＝0，所以m ＝(1，3，0)． 设平面P AC 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·AP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－32x 2＋12y 2＋nz 2＝0，32x 2＋12y 2＝0，令x 2＝1，则y 2＝－3，z 2＝3n ，所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，3n .二面角A －PC －B 的大小为α，由图可知，二面角α为锐二面角， 所以cos α＝|m ·n ||m ||n |＝|1－3|1＋3×1＋3＋3n 2＝14＋3n 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. 18．(2020·山东平邑一中模拟)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．①AB ⊥BC ；②FC 与平面ABCD 所成的角为π6；③∠ABC ＝π3.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ＝2，PD 的中点为F .(1)在线段AB上是否存在一点G，使得AF∥平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；(2)若________，求二面角F－AC－D的余弦值．解(1)在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG.证明如下：如图所示．设PC的中点为H，连接FH，GH，∵FH∥CD，FH＝12CD，AG∥CD，AG＝12CD，∴FH∥AG，FH＝AG，∴四边形AGHF为平行四边形，则AF∥GH，又GH⊂平面PCG，AF⊄平面PCG，∴AF∥平面PCG.(2)选择①AB⊥BC：∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BC，由题意，知AB，AD，AP两两垂直，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵P A＝AB＝2，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0，2,0)，F(0，1,1)，P(0,0,2)，∴AF→＝(0,1,1)，CF→＝(－2，－1,1)，设平面F AC 的一个法向量为μ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧μ·AF →＝y ＋z ＝0，μ·CF →＝－2x －y ＋z ＝0，取y ＝1，得μ＝(－1,1，－1)， 平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)， 设二面角F －AC －D 的平面角为θ， 由图可知，二面角θ为锐二面角， 则cos θ＝|μ·v ||μ||v |＝33，∴二面角F －AC －D 的余弦值为33. 选择②FC 与平面ABCD 所成的角为π6：∵P A ⊥平面ABCD ，取BC 中点E ，连接AE ，取AD 的中点M ，连接FM ，CM ，则FM ∥P A ，且FM ＝1，∴FM ⊥平面ABCD ， FC 与平面ABCD 所成角为∠FCM ， ∴∠FCM ＝π6，在Rt △FCM 中，CM ＝3，又CM ＝AE ，∴AE 2＋BE 2＝AB 2，∴BC ⊥AE ， ∴AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵P A ＝AB ＝2，∴A (0,0,0)，B (3，－1,0)，C (3，1,0)，D (0,2,0)，E (3，0,0)，F (0,1,1)，P (0,0,2)，∴AF→＝(0,1,1)，CF →＝(－3，0,1)， 设平面F AC 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AF →＝y ＋z ＝0，m ·CF →＝－3x ＋z ＝0，取x ＝3，得m ＝(3，－3,3)，平面ACD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，设二面角F －AC －D 的平面角为θ，由图可知，二面角θ为锐二面角，则cos θ＝|m ·n ||m ||n |＝217.∴二面角F －AC －D 的余弦值为217.选择③∠ABC ＝π3：∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC ，取BC 中点E ，连接AE ，∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴△ABC 是正三角形，∵E 是BC 的中点，∴BC ⊥AE ，∴AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵P A ＝AB ＝2，∴A (0,0,0)，B (3，－1,0)，C (3，1,0)，D (0,2,0)，E (3，0,0)，F (0,1,1)，P (0,0,2)，∴AF→＝(0,1,1)，CF →＝(－3，0,1)， 设平面F AC 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AF →＝y ＋z ＝0，m ·CF →＝－3x ＋z ＝0，取x ＝3，得m ＝(3，－3,3)，平面ACD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)， 设二面角F －AC －D 的平面角为θ，由图可知，二面角θ为锐二面角，则cos θ＝|m ·n ||m ||n |＝217.∴二面角F －AC －D 的余弦值为217.。
空间线面关系的判定
D1
O
A B
x
C
D
y
l g l xm yn xl m yl m o
例3、如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，
ACB 90, BAC 30, BC 1, A1 A 6,
M 是棱 CC1 的中点，
求证：A1B AM
B1 C1 A1
6
M
B
30
求证：CD OB
B
D O
C A
B
证明：因为 所以
D
CD OA
O
因为 所以 所以
C A
AB , CD CD AB
CD OA 0
CD AB 0 因为 OB OA AB 所以 CD OB CD OA AB CD OA CD AB
所以： A1B AM A1 A AB AC CM
A1 C1
A1 A AC A1 A CM AB CM 0
所以：A B
AM 1 即， A1 B AM
B1
6
M
B
30
A
1
90
C
思考：还有其它的证明方法吗？
B1 C1
A1
利用相似形与线面垂直
同步练习： 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，CD1和DC1 相交于点 O ，求证：AO A1B
A1
B1 C1
D1
O
A B
C
D
同步练习（用坐标运算的方法） 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，CD1和DC1 相交于点 O ，求证：AO A1B
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(PPT)
平面 α 的法向量的是( )
A．(0，－3，1)
B．(2，0，1)
C．(－2，－3，1)
D．(－2，3，－1)
D 解析：与向量 n 共线的非零向量都可以作为平面 α 的法向
量．故选 D.
3．已知平面 α 内的两个向量 a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则平
面 α 的一个法向量为( )
A．(1，－1，1)
预习验收 衔接课堂
1．若 A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方
向向量为( )
A．(1，2，3)
B．(1，3，2)
C．(2，1，3)
D．(3，2，1)
A 解析：A→B＝(2，4，6)，而与A→B共线的非零向量都可以作为
直线 l 的方向向量，故选 A.
2．若 n＝(2，－3，1)是平面 α 的一个法向量，则下列可以作为
【例 3】 如图，在三棱锥 P ABC 中，PA⊥ 底面 ABC，∠BAC＝90°，点 D，E，N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PA ＝AC＝4，AB＝2.
求证：MN∥平面 BDE.
证明： 如图，以 A 为原点，AB，AC，AP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，依题意可得 A(0，0，0)，B(2，0， 0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0， 1)，N(1，2，0)．
定位置 定点
点 A 和向量 a 可以确定直线 l 的__位__置____ 可以具体表示出 l 上的任意__一__点____
取定空间中的任意一点 O，可以得到点 P 在直线 l 上的充要条件
是存在实数 t，使O→P＝__O_→_A_＋__t_O→_B___．
数学选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.2.1-3.2.2
§3.2 空间向量的应用3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2 空间线面关系的判定(一)——平行关系学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．知识点一 直线的方向向量与平面的法向量思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？答案 (1)点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP →来表示．我们把向量OP →称为点P 的位置向量．(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量．②对于直线l 上的任一点P ，在直线上取AB →＝a ，则存在实数t ，使得AP →＝tAB →.(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定．对于平面α上的任一点P ，a ，b 是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x ，y )，使得OP →＝x a ＋y b . ②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示． 梳理 (1)用向量表示直线的位置：(2)用向量表示平面的位置：①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定：②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定：(3)直线的方向向量和平面的法向量：知识点二利用空间向量处理平行问题思考(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量．若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系．(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案(1)由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R)．(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行．(3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行．梳理(1)空间中平行关系的向量表示：的法向量分别为μ，v，则设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β(2)利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论．1．若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．(√)2．平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(×) 3．两直线的方向向量平行，则两直线平行．(×)4．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(√)类型一 求直线的方向向量、平面的法向量例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．解 因为P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A －xyz ，则D (0，3，0)，E ⎝⎛⎭⎫0，32，12，B (1,0,0)，C (1，3，0)，于是AE →＝⎝⎛⎭⎫0，32，12，AC →＝(1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)． 引申探究若本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量． 解 由例1解析图可知，P (0,0,1)，C (1，3，0)， 所以PC →＝(1，3，－1)， 即为直线PC 的一个方向向量． 设平面PCD 的法向量为 n ＝(x ，y ，z )．因为D (0，3，0)，所以PD →＝(0，3，－1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，所以⎩⎨⎧x ＝0，z ＝3y ，令y ＝1，则z ＝ 3.所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(0,1，3)． 反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，列出方程组．(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．(6)得结论：得到平面的一个法向量．跟踪训练1 如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA的一个法向量．解 如图，以A 为坐标原点，以AD →，AB →，AS →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0， C (1,1,0)，S (0,0,1)， 则DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0， DS →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1. 易知向量AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． 设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量， 则⎩⎨⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎨⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)． 类型二 证明线线平行问题例2 已知直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)． 证明：l 1∥l 2.证明 ∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2.反思与感悟 两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面．跟踪训练2 已知在四面体ABCD 中，G ，H 分别是△ABC 和△ACD 的重心，则GH 与BD 的位置关系是________． 答案 平行解析 设E ，F 分别为BC 和CD 的中点，则GH →＝GA →＋AH →＝23(EA →＋AF →)＝23EF →，所以GH ∥EF ，所以GH ∥BD .类型三 利用空间向量证明线面、面面平行问题例3 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明 (1)以D 为坐标原点，以DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则有D (0,0,0)，A (2，0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2，2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC 1—→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1—→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1—→⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)因为C 1B 1—→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1—→，n 2⊥C 1B 1—→，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1—→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1—→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．跟踪训练3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由．解 以A 为坐标原点．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，如图所示．∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)， 设存在满足题意的点E (0，y ，z )， 则PE →＝(0，y ，z －1)， PD →＝(0,2，－1)， ∵PE →∥PD →，∴y ×(－1)－2(z －1)＝0，①∵AD →＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量， 又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB ， ∴CE →⊥AD →，∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0.∴y ＝1，代入①得z ＝12，∴E 是PD 的中点，∴存在点E ，当点E 为PD 中点时，CE ∥平面P AB .1．若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________．(填序号)①(－1,0,1)；②(1,4,7)；③(2,4,6)． 答案 ③解析 显然AB →＝(2,4,6)可以作为直线l 的一个方向向量．2．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________. 答案 6152解析 由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y ，解得x ＝6，y ＝152.3．已知向量n ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是________．(填序号)①n 1＝(0，－3,1)；②n 2＝(－2,0,4)； ③n 3＝(－2，－3,1)；④n 4＝(－2,3，－1)． 答案 ④解析 由题可知只有④可以作为α的法向量．4．已知向量n ＝(－1,3,1)为平面α的法向量，点M (0,1,1)为平面内一定点．P (x ，y ，z )为平面内任一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________． 答案 x －3y －z ＋4＝0解析 由题可知MP →＝(x ，y －1，z －1)． 又因为n ·MP →＝0，故－x ＋3(y －1)＋(z －1)＝0，化简， 得x －3y －z ＋4＝0.5．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m 为________． 答案 －8解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2， ∴(2，m,1)·⎝⎛⎭⎫1，12，2＝0， ∴2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8.1．应用向量法证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法：设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．一、填空题1．已知l 1的方向向量为v 1＝(1,2,3)，l 2的方向向量为v 2＝(λ，4,6)，若l 1∥l 2，则λ＝________. 答案 2解析 ∵l 1∥l 2，∴v 1∥v 2，则1λ＝24，∴λ＝2.2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则μ的值为________． 答案 12解析 因为a ∥b ，故2μ－1＝0，即μ＝12.3．直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥α，则x 的值为________． 答案 ±2解析 易知－1×2＋1×(x 2＋x )＋1×(－x )＝0， 解得x ＝±2.4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 的值为________． 答案 4解析 因为α∥β，所以平面α与平面β的法向量共线， 所以(－2，－4，k )＝λ(1,2，－2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＝λ，－4＝2λ，k ＝－2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，k ＝4.所以k 的值是4.5．已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为________． 答案 －1,2解析 c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，由c 为平面α的法向量，得⎩⎪⎨⎪⎧ c ·a ＝0，c ·b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2.6．已知A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为________． 答案 11解析 ∵点P 在平面ABC 内， ∴存在实数k 1，k 2， 使AP →＝k 1AB →＋k 2AC →，即(x －4，－2,0)＝k 1(－2,2，－2)＋k 2(－1,6，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k 1＋6k 2＝－2，k 1＋4k 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－4，k 2＝1.∴x －4＝－2k 1－k 2＝8－1＝7， 即x ＝11.7．已知l ∥α，且l 的方向向量为m ＝(2，－8,1)，平面α的法向量为n ＝(1，y,2)，则y ＝________.答案 12解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量m ＝(2，－8,1)与平面α的法向量n ＝(1，y,2)垂直，∴2×1－8×y ＋2＝0，∴y ＝12. 8．若平面α的一个法向量为u 1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________.答案 －3解析 ∵α∥β，∴u 1∥u 2，∴－36＝y －2＝2z. ∴y ＝1，z ＝－4.∴y ＋z ＝－3.9．已知平面α与平面β平行，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(5,25,5)，v ＝(t,5,1)，则t 的值为________．答案 1解析 ∵平面α与平面β平行，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量v 平行，∴5t ＝255＝51，解得t ＝1. 10．已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量为n ＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则β与α的位置关系是________．答案 α∥β解析 AB →＝(0,1，－1)，AC →＝(1,0，－1)，n ·AB →＝(－1，－1，－1)·(0,1，－1)＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，n ·AC →＝(－1，－1，－1)·(1,0，－1)＝－1×1＋0＋(－1)·(－1)＝0，∴n ⊥AB →，n ⊥AC →.∴n 也为α的一个法向量．又α与β不重合，∴α∥β.11．若平面α的一个法向量为u 1＝(m,2，－4)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－4，n )，且α∥β，则m ＋n ＝________.答案 5解析 ∵α∥β，∴u 1∥u 2.∴m 6＝2－4＝－4n∴m ＝－3，n ＝8.∴m ＋n ＝5.二、解答题12．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：AC 1—→是平面B 1D 1C 的法向量．证明 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)．所以AC 1—→＝(－1,1,1)，D 1B 1—→＝(1,1,0)，CB 1—→＝(1,0,1)，所以AC 1—→·D 1B 1—→＝(－1,1,1)·(1,1,0)＝0，AC 1—→·CB 1—→＝(－1,1,1)·(1,0,1)＝0，所以AC 1—→⊥D 1B 1—→，AC 1—→⊥CB 1→，又B 1D 1∩CB 1＝B 1，且B 1D 1，CB 1⊂平面B 1D 1C ，所以AC 1⊥平面B 1D 1C ，AC 1—→是平面B 1D 1C 的法向量．13．已知A ⎝⎛⎭⎫0，2，198，B ⎝⎛⎭⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，求x ∶y ∶z 的值．解 AB →＝⎝⎛⎭⎫1，－3，－74，AC →＝⎝⎛⎭⎫－2，－1，－74， 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，得⎩⎨⎧ x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝23y ，z ＝－43y ， 则x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝⎛⎭⎫－43y ＝2∶3∶(－4)． 三、探究与拓展14.已知O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 为空间的9个点(如图所示)，并且OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →.求证：(1)A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面；(2)AC →∥EG →.证明 (1)由AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →，知A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG →＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →)＝k (OD →－OA →)＋km (OB →－OA →)＝kAD →＋kmAB →＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →，∴AC →∥EG →.15.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?解 如图所示，以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，在CC 1上任取一点Q ，连结BQ ，D 1Q .设正方体的棱长为1，则O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，则Q (0,1，z )，则OP →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，12， BD 1→＝(－1，－1,1)，∴OP →∥BD 1—→，∴OP ∥BD 1.AP →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12，BQ →＝(－1,0，z )， 当z ＝12时，AP →＝BQ →， 即当AP ∥BQ 时，有平面P AO ∥平面D 1BQ ， ∴当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .。
高二数学空间直线的方向向量和平面的法向量
a 例题3：已知所有棱长为 的正三棱锥 A BCD ，试建立空间
直角坐标系，确定各棱所在直线的方向向量。
课堂练习：
1、已知A(3,3,1) ，B(1, 0,5) ，求线段AB 所在直线的一个
方向向量；
2 、如图所示直角坐标系中有一棱长为1的正方体
棱ACBCDD上，A1CB1GC1D11，4 CED,，F分H别是是C1GDD的1, D中B点中，点求线，段G 在
（1）向量 AA',OC, BC可以分别表示哪条空间直线的方向向量？
（2）写出空间直线 的一个方向向量，并说明这个方向向量 是否可以表示正方体A'的F 某条棱所在直线的方向。
例题2：已知长方体ABCD A'B'C'D'的棱长AB 2, AD ，4, AA' 3
以长方体的顶点D为' 坐标原点，过D' 的三条棱所在的直线为坐标
3.3 空间直线的方向向量和平面的法向量
平面直线的方向向量是如何定义的？唯一吗？ 如何表示空间直线的方向？
方向向量 对于空间任意一条直线l,我们把与直线平行的非零向量d
叫做直线的一个方向向量。
空间直线的方向向量是唯一的吗？
一个空间向量能够表示几条空间直线的方向向量？
例1：如图所示的空间直角坐标系中，棱长为a的正方体 OABC OABC 中，F为棱上的中点，所在直线的一个方向向量
3、教材P49 1 4、教材P49 2
课堂小结: 空间直线的方向向量的概念 直线方向向量的不唯一 一个向量可以表示无数条直线的方向
布置作业：见练习册
轴，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：
(1) AA'; (2)B'C; (3) A'C; (4)DB'
高二数学空间直线的方向向量和平面的法向量
2 、如图所示直角坐标系中有一棱长为1的正方体
ABCD A1B1C1D1， E, F分别是 DD1, DB 中点 ，G 在
棱
CD上 ，CG
1 4
CD，
H是
C1G
的中点，求线段
，
B1C, EF,C1G, FH 所在直线的一个方向向量
3、教材P49 1 4ห้องสมุดไป่ตู้教材P49 2
课堂小结: 空间直线的方向向量的概念 直线方向向量的不唯一 一个向量可以表示无数条直线的方向
布置作业：见练习册
； 猫先生 猫先生app ；
不咋大的不咋大的の凤舞城破仙阁,像毒蛇破仙这种神王巅峰の强者,最多属于中层人员,看情况和毒蛇差不多实力の破仙还有不少. 白重炙越想越心惊,这破仙阁の势力简直太庞大了,庞大得他都不敢想象了.想了一阵,白重炙却是苦笑一声,没有再多想. 破仙阁在强大又关自己什么事?自 己只是想赚够足够の神石,再想办法去龙阳府,将炽火位面购买下来.然后回炽火大陆去,带着自己几位漂亮の妻子,安安静静の度过漫长の岁月.等自己哪天烦了,腻了,或许才会想来神界寻找一些激动刺激の生活吧… 走进中央最大城堡内,白重炙发现里面装饰の很是简单,但是却又不缺乏 大气和庄严.里面大厅非常之大,比凤舞城家主府大多了.里面有着数十名身穿破仙袍の练家子,在里面玉石桌子上坐着.或是闲聊,或是喝茶饮酒. 一路上,遇到无数の破仙,这些人显然都认识毒蛇破仙三人,都含笑着对着三人打着招呼,也对三人背后の白重炙十一人,露出淡淡の微笑. 白重 炙十一人不敢多言,无比恭敬の跟着毒蛇破仙,朝里面走去,最后来到大厅右边一些房间门口.毒蛇破仙,示意众人在外面等一下,自己却独自走了进去.半个时辰之后却是再次出来了,递给众人一枚白色の刻着恶魔の徽章,说道： "这是临时徽章,正式の需要在五天之后才会
高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.2 空间线面关系的判定1数学教案
3.2.2 空间线面关系的判定设空间两条直线l 1，l 2的方向向量分别为e 1，e 2，两个平面α1，α2的法向量分别为n 1，n 2，则有下表：思考：否垂直？[提示] 垂直1．若直线l 的方向向量a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交B [∵n ＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a ， ∴n ∥a ，∴l ⊥α.]2．已知不重合的平面α，β的法向量分别为n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，－1，n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，－1，13，则平面α与β的位置关系是________．平行 [∵n 1＝－3n 2，∴n 1∥n 2，故α∥β.]3．设直线l 1的方向向量为a ＝(3,1，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－1,3,0)，则直线l 1与l 2的位置关系是________．垂直 [∵a·b ＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴a⊥b ，∴l 1⊥l 2.] 4．若直线l 的方向向量为a ＝(－1,2,3)，平面α的法向量为n ＝(2，－4，－6)，则直线l 与平面α的位置关系是________．垂直 [∵n ＝－2a ，∴n ∥a ，又n 是平面α的法向量，所以l ⊥α.]利用空间向量证明线线平行【例1】 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．[证明] 以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，C 1(0,1,1)，F ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，FC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，EC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12， ∵AE →＝FC 1→，EC 1→＝AF →， ∴AE →∥FC 1→，EC 1→∥AF →，又∵F ∉AE ，F ∉EC 1，∴AE ∥FC 1，EC 1∥AF ， ∴四边形AEC 1F 是平行四边形．1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． 2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直． 1．长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E ＝2EB 1，BF ＝2FA 1.求证：EF ∥AC 1.[证明] 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a ，0,0)，C 1(0，b ，c )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，23b ，c ，F ⎝⎛⎭⎪⎫a ，b 3，23c . ∴FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，b 3，c 3，AC 1→＝(－a ，b ，c )，∴FE →＝13AC 1→.又FE 与AC 1不共线，∴直线EF ∥AC 1.利用空间向量证明线面、面面平行[探究问题]在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？ 提示：可设几何体的棱长为1或a ，再求点的坐标．【例2】 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .[思路探究][证明] 法一：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，于是DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .法二：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→，∴MN ∥平面A 1BD .法三：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12DA →－12A 1A →＝12()DB →＋BA→－12()A 1B →＋BA →＝12DB →－12A 1B →.即MN →可用A 1B →与DB →线性表示，故MN →与A 1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD . 1．本例中条件不变，试证明平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.[证明] 由例题解析知，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)， 则CD 1→＝(0，－1,1)，D 1B 1→＝(1,1,0)， 设平面CB 1D 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥CD 1→m ⊥D 1B 1→，即⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD 1→＝－y 1＋z 1＝0，m ·D 1B 1→＝x 1＋y 1＝0，令y 1＝1，可得平面CB 1D 1的一个法向量为m ＝(－1,1,1)，又平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)． 所以m ＝－n ，所以m ∥n ，故平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.2．若本例换为：在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD ∥EF ，EF ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，EF ＝3，AE ＝BE ＝2，G 是BC 的中点，求证：AB ∥平面DEG .[证明] ∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， ∴EF ⊥AE ，EF ⊥BE .又∵AE ⊥EB ，∴EB ，EF ，EA 两两垂直．以点E 为坐标原点，EB ，EF ，EA 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，F (0,3,0)，D (0,2,2)，G (2，2,0)，∴ED →＝(0,2,2)，EG →＝(2,2,0)，AB →＝(2,0，－2)．设平面DEG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ED →·n ＝0，EG →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0，令y ＝1，得z ＝－1，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－1)， ∴AB →·n ＝－2＋0＋2＝0，即AB →⊥n . ∵AB ⊄平面DEG ， ∴AB ∥平面DEG .1．向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a ⊥u ，即a ·u ＝0.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v ，则α∥β⇔μ∥v .向量法证明垂直问题【例3】 如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE . [思路探究] 建系→求相关点的坐标→求相关向量的坐标→判断向量的关系→确定线线、线面关系[证明] AB ，AD ，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA ＝AB ＝BC ＝1， 则P (0,0,1)． (1)∵∠ABC ＝60°， ∴△ABC 为正三角形，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12. 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC →·CD →＝0， 即y ＝233，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0，∴CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0.又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，∴AE →·CD →＝－12×14＋36×34＝0，∴AE →⊥CD →，即AE ⊥CD .(2)法一：∵P (0,0,1)，∴PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1.又AE →·PD →＝34×233＋12×(－1)＝0，∴PD →⊥AE →，即PD ⊥AE . ∵AB →＝(1,0,0)，∴PD →·AB →＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .法二：AB →＝(1,0,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．∵PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，显然PD →＝33n .∴PD →∥n ，∴PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE . 1．证明线线垂直常用的方法证明这两条直线的方向向量互相垂直． 2．证明线面垂直常用的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量； (2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 3．证明面面垂直常用的方法 (1)转化为线线垂直、线面垂直处理； (2)证明两个平面的法向量互相垂直．2．在例3中，平面ABE 与平面PDC 是否垂直，若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．[解] 由例3，可知CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0，PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，设平面PDC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝－12x ＋36y ＝0，m ·PD →＝233y －z ＝0，令y ＝3，则x ＝1，z ＝2，即m ＝(1，3，2)，由例3知，平面ABE 的法向量为n ＝(0,2，－3)， ∴m·n ＝0＋23－23＝0，∴m⊥n . 所以平面ABE ⊥平面PDC .1．应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．3．(1)证明线面垂直问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来证明． (2)证明面面垂直问题，常转化为线线垂直、线面垂直或两个平面的法向量垂直. 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( ) (3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为0.( )(4)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，a 与b 分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152D [∵l 1∥l 2，∴a ∥b ， ∴存在λ∈R ，使a ＝λb ， 则有2＝3λ，4＝λx,5＝λy ， ∴x ＝6，y ＝152.]3．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，－2,3)，且α⊥β，则x ＝________.－5 [∵α⊥β，∴a ⊥b ， ∴a ·b ＝x －4＋9＝0， ∴x ＝－5.]4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，证明：平面B 1ED ⊥平面B 1BD . [证明] 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，DB 1→＝(1,1,1)，DE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝1，∴n 1＝(1,1，－2)．同理求得平面B1BD的法向量为n2＝(1，－1,0)，由n1·n2＝0，知n1⊥n2，∴平面B1DE⊥平面B1BD.。
高考数学一轮总复习第6章立体几何第6节立体几何中的向量方法__证明平行与垂直教师用书
第六节 立体几何中的向量方法——证明平行与垂直考试要求：1．理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．2．能用向量方法证明立体几何中有关直线、平面位置关系的判定定理．一、教材概念·结论·性质重现1．直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行( 或重合) 的非零向量，一条直线的方向向量有无数个平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量a ，我们称向量a为平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥αn⊥m⇔m·n＝0 l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，m α∥ βn∥m⇔n＝λm α⊥βn⊥m⇔n·m＝0二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)直线的方向向量是唯一确定的．( × )(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( × )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( √ )(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( √ )(5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行．( × )(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．( × ) 2．若直线l的方向向量a＝(1，－3,5)，平面α的法向量n＝(－1,3，－5)，则有( )A．l∥α B．l⊥αC．l与α斜交 D．l⊂α或l∥αB 解析：由a＝－n知，n∥a，则有l⊥α．故选B．3．已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则( )A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不对C 解析：因为n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，所以α，β既不平行，也不垂直．4．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D 的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．垂直 解析：以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)．设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M，O，N，AM·ON＝·＝0，所以ON与AM垂直．5．在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1，6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是________．平行 解析：由题意得，AB＝(－3，－3,3)，CD＝(1,1，－1)，所以AB＝－3CD，所以AB与CD共线．又AB与CD没有公共点，所以AB∥CD．考点1 利用空间向量证明平行问题——基础性如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG．证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)，则EF＝(0,1,0)，EG＝(1,2，－1)．设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则n＝(1,0,1)为平面EFG的一个法向量．因为PB＝(2,0，－2)，所以PB·n＝0，所以n⊥PB．因为PB⊄平面EFG，所以PB∥平面EFG．本例中条件不变，证明：平面EFG∥平面PBC．证明：因为EF＝(0,1,0)，BC＝(0,2,0)，所以BC＝2EF，所以BC∥EF．又因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC．又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面PBC．利用空间向量证明平行的方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行面面平行(1)证明两平面的法向量为共线向量．(2)转化为线面平行、线线平行问题如图，在四棱锥P ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．求证：CM∥平面PAD．证明：由题意知，CB，CD，CP两两垂直，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz．因为PC⊥平面ABCD，所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，所以∠PBC＝30°．因为PC＝2，所以BC＝2，PB＝4，所以D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，所以DP＝(0，－1,2)，DA＝(2，3,0)，CM＝．设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，由得取y＝2，得x＝－，z＝1，所以n＝(－，2,1)是平面PAD的一个法向量．因为n·CM＝－×＋2×0＋1×＝0，所以n⊥CM．又CM⊄平面PAD，所以CM∥平面PAD．考点2 利用空间向量证明垂直问题——应用性如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE ＝2AB．求证：平面BCE⊥平面CDE．证明：设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)，所以BE＝(a，a，a)，BC＝(2a,0，－a)，CD＝(－a，a,0)，ED＝(0,0，－2a)．设平面BCE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由n1·BE＝0，n1·BC＝0可得即令z1＝2，可得n1＝(1，－，2)．设平面CDE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，由n2·CD＝0，n2·ED＝0可得即令y2＝1，可得n2＝(，1,0)．因为n1·n2＝1×＋1×(－)＝0，所以n1⊥n2，所以平面BCE⊥平面CDE．若本例中条件不变，点F是CE的中点，证明：DF⊥平面BCE．证明：由例2知C(2a,0,0)，E(a，a,2a)，平面BCE的法向量n1＝(1，－，2)．因为点F是CE的中点，所以f，所以DF＝，所以DF＝n1，所以DF∥n1，故DF⊥平面BCE．1．利用空间向量证明垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示2．向量法证明空间垂直、平行关系时，是以计算为手段，寻求直线上的线段对应的向量和平面的基向量、法向量的关系，关键是建立空间直角坐标系(或找空间一组基底)及平面的法向量．如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE．证明：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．设PA＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．(1)因为∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形，所以C，E．设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得AC·CD＝0，即y＝，则D，所以CD＝．又AE＝，所以AE·CD＝－×＋×＝0，所以AE⊥CD，即AE⊥CD．(2)(方法一)由(1)知，D，P(0，0,1)，所以PD＝．又AE·PD＝×＋×(－1)＝0，所以PD⊥AE，即PD⊥AE．因为AB＝(1,0,0)，所以PD·AB＝0，所以PD⊥AB．又AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面AEB，所以PD⊥平面AEB．(方法二)由(1)知，AB＝(1,0,0)，AE＝．设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝2，则z＝－，所以n＝(0,2，－)为平面ABE的一个法向量．因为PD＝，显然PD＝n．因为PD∥n，所以PD⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE．考点3 利用空间向量解决探索性问题——应用性如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．解：在棱C1D1上存在一点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE．证明如下：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则A1(0,0,1)，B(1,0,0)，B1(1,0,1)，E，所以BA1＝(－1,0,1)，BE＝．设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由得所以x＝z，y＝z．取z＝2，得n＝(2,1,2)．设棱C1D1上存在点F(t,1,1)(0≤t≤1)满足条件，又因为B1(1,0,1)，所以B1F＝(t－1,1,0)．而B1F⊄平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE⇔B1F·n＝0⇔(t－1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t－1)＋1＝0⇔t＝⇔F为C1D1的中点．即说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE．向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由．(1)证明：由题意知，DA，DC，DP两两垂直．如图所示，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F，所以EF＝，DC＝(0，a,0)．因为EF·DC＝0，所以EF⊥DC，从而得EF⊥CD．(2)解：假设存在满足条件的点G，设G(x,0，z)，则FG＝．若使GF⊥平面PCB，则由FG·CB＝·(a,0,0)＝a＝0，得x＝．由FG·CP＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，得z＝0，所以点G坐标为，故存在满足条件的点G，且点G为AD的中点．。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解56---空间向量与立体几何
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第56讲空间向量与立体几何考向预测核心素养考查利用空间向量证明线面关系、求空间角及距离，主要以解答题的形式出现，难度较大.数学运算、数学抽象一、知识梳理1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2l1∥l2u1∥u2⇔u1＝λu2l1⊥l2u1⊥u2⇔u1·u2＝0直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n l∥αu⊥n⇔u·n＝0 l⊥αu∥n⇔u＝λn平面α，β的法向量分别为n1，n2α∥βn1∥n2⇔n1＝λn2α⊥βn1⊥n2⇔n1·n2＝03.空间距离(1)点到直线的距离：已知直线l 的单位方向向量为u ，设AP →＝a ，则向量AP →在直线l 上的投影向量AQ →＝(a ·u )u .在Rt △APQ 中，由勾股定理得PQ ＝|AP →|2－|AQ →|2＝a 2－（a ·u ）2.(2)点到平面的距离：设P 为平面α内的一点，n 为平面α的法向量，A 为平面α外一点，点A 到平面α的距离d ＝|PA →·n ||n |.4．空间角(1)两条异面直线所成的角的向量求法设异面直线l 1，l 2所成的角为θ，其方向向量分别为u ，v ， 则cos θ＝|cos 〈u ，v 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪u·v |u ||v |＝|u·v||u ||v |.(2)直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°；范围：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．②向量求法：直线AB 与平面α相交于B ，设直线AB 与平面α所成的角为θ，直线AB 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，则sin θ＝|cos 〈u ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪u·n |u ||n |＝|u·n||u ||n |．(3)两平面的夹角①定义：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面 β的夹角．②计算：设平面α，β的法向量分别是n 1，n 2，平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|．常用结论 1．最小角定理如图，若OA 为平面α的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在平面α内的射影，OC 为平面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2.2．线面距离、面面距离都可以转化为点到面的距离． 二、教材衍化1．(多选)(人A 选择性必修第一册P 35练习T 2改编)在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为线段DD 1的中点．F 为线段BB 1的中点．则直线FC 1到平面AB 1E 的距离等于( )A ．点F 到平面AB 1E 的距离 B ．点C 1到平面AB 1E 的距离 C ．直线FC 1到直线AE 的距离D ．点B 1到直线FC 1的距离 答案：AB2．(人A 必修第二册P 147例1改编)在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为________．解析：如图所示，连接BD 1交DB 1于点O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ，易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角或其补角．因为在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝OM 2＋OD 2－DM 22×OM ×OD＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55.答案：553．(人A 选择性必修第一册P 41练习T 1改编)二面角α-l -β的棱上有A ，B 两点，线段AC ，BD 分别在这个二面角的两个平面内，且都垂直于棱l .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则平面α与平面β的夹角为________．答案：60°一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)点A 到平面α的距离是点A 与α内任一点的线段的最小值．( ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角．( ) (4)利用|AB →|2＝AB →·AB →可以求空间中有向线段的长度．( ) 答案：(1) √ (2)× (3)× (4)√ 二、易错纠偏1．(线面角概念理解不清致误)已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝32，则l 与α所成的角为( )A ．30° B.60° C.120°D.150°解析：选B.由于cos 〈m ，n 〉＝32，所以〈m ，n 〉＝30°，所以直线l 与α所成的角为60°.2．(忽视二面角与向量的夹角的范围致误)已知两平面的法向量分别为m ＝(0，1，0)，n ＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为( )A ．45° B.135° C.45°或135° D.90°答案：C3．(线面距离概念不清致误)在棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1中点，F 为AB 的中点，则CF 到平面AEC 1的距离为________．答案：66考点一 空间距离(多维探究)复习指导：会用空间向量求解空间中点、线、面之间的距离问题． 角度1 点线距和线线距在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是AB ，C 1D 1，AD ，DD 1的中点．则点A 1到直线EF 的距离为________；直线EF 到直线MN 的距离为________．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则A 1(1，0，1)，D 1(0，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12.(1)EA 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，EF →＝(－1，0，1)，EF →的单位向量u ＝EF →|EF →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，22，所以点A 1到直线EF 的距离d ＝（EA 1→）2－（EA 1→·u ）2＝54－12＝32.(2)因为MN ∥EF ，所以直线MN 到直线EF 的距离即为点M 到直线EF 的距离． 因为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，所以EM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，0.又EF →的单位向量u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，22，所以直线MN 到直线EF 的距离d ＝（EM →）2－（EM →·u ）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋14－18＝ 12－18＝64. 【答案】3264角度2 点面距和线面距(链接常用结论2)(2022·日照实验高中月考)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝120°，O 为△ABC 的外心，PO ⊥平面ABC ，且PO ＝62. (1)求证：BO ∥平面PAC ；(2)计算BO 与平面PAC 之间的距离． 【解】(1)证明：如图，连接OC ，因为O 为△ABC 的外心，所以OA ＝OB ＝OC ，又因为AC ＝BC ＝1， 所以△OAC ≌△OBC ，所以∠ACO ＝∠BCO ＝12∠ACB ＝60°，故△OAC 和△OBC 都为等边三角形，可得OA ＝AC ＝CB ＝BO ＝1， 即四边形OACB 为菱形，所以OB ∥AC ； 又AC ⊂平面PAC ，OB ⊄平面PAC ， 所以BO ∥平面PAC . (2)因为BO ∥平面PAC ，所以BO 到平面PAC 的距离即为点O 到平面PAC 的距离，记为d ， 由题意知PA ＝PC ＝PO 2＋OA 2＝64＋1＝102，AC ＝1， 所以S △PAC ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1022－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，S △OAC ＝12×1×1×sin 60°＝34，又因为V P OAC ＝V O PAC ，所以13×S △OAC ×PO ＝13×S △PAC ×d ，即13×34×62＝13×34×d ，解得d ＝22， 所以BO 与平面PAC 之间的距离为22.空间距离求法(1)点线距的求解步骤：直线的方向向量a →所求点到直线上一点的向量PP ′→及其在直线的方向向量a 上的投影→代入公式．(2)点面距的求解步骤： ①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．|跟踪训练|在棱长均为a 的正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D 是侧棱CC 1的中点，则点C 1到平面AB 1D 的距离为( )A.24a B.28a C.324aD.22a 解析：选A.以A 为空间直角坐标原点，以垂直于AC 的直线为x 轴，以AC 为y 轴，以AA 1为z 轴建立空间直角坐标系．由ABC A 1B 1C 1是棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点， 故A ()0，0，0，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2，a 2，a ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，a 2，C 1(0，a ，a )，所以AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2，a 2，a ，DC 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，a 2，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，a 2 设平面AB 1D 的法向量是n ＝(x ，y ，z )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1→＝3a 2x ＋a 2y ＋az ＝0，n ·AD →＝ay ＋a2z ＝0，取n ＝(3，1，－2)，故点C 1到平面AB 1D 距离d ＝|DC 1→·n ||n |＝a 3＋1＋4＝24a .考点二 空间角(多维探究)复习指导：了解线线角、线面角、面面角的概念并会利用空间向量进行求解． 角度1 用向量求异面直线所成的角(1)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，BC ＝2，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与A 1C 所成的角为( )A.π2B.π3C.π4D.π6(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，AF →＝λAD →，若异面直线D 1E 和A 1F 所成角的余弦值为3210，则λ的值为________． 【解析】 (1)以A 为原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，A 1(0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，所以AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，A 1C →＝(0，2，－2)，所以cos 〈AD →，A 1C →〉＝AD →·A 1C →|AD →||A 1C →|＝12，所以〈AD →，A 1C →〉＝π3.故选B.(2)以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系(图略)．正方体的棱长为2，则A 1(2，0，2)，D 1(0，0，2)，E (0，2，1)，A (2，0，0)． 所以D 1E →＝(0，2，－1)，A 1F →＝A 1A →＋AF →＝A 1A →＋λAD →＝(0，0，－2)＋λ(－2，0，0)＝(－2λ，0，－2)．则cos 〈A 1F →，D 1E →〉＝A 1F →·D 1E →|A 1F →|·|D 1E →|＝22λ2＋1·5，所以225·λ2＋1＝3210，解得λ＝13(λ＝－13舍去)．【答案】 (1)B (2)13(1)利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：①选好基底或建立空间直角坐标系；②求出两直线的方向向量v 1，v 2；③代入公式|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1||v 2|求解．(2)两异面直线所成角的范围是θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角．角度2 线面角(2021·高考浙江卷)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ABC ＝120°，AB ＝1，BC ＝4，PA ＝15，M ，N 分别为BC ，PC 的中点，PD ⊥DC ，PM ⊥MD .(1)证明：AB ⊥PM ；(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值．【解】(1)证明：因为底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，BC＝4，AB＝1，且M为BC的中点，所以CM＝2，CD＝1，∠DCM＝60°，易得CD⊥DM.又PD⊥DC，且PD∩DM＝D，PD，DM⊂平面PDM，所以CD⊥平面PDM.因为AB∥CD，所以AB⊥平面PDM.又PM⊂平面PDM，所以AB⊥PM.(2)方法一：由(1)知AB⊥平面PDM，所以∠NAB为直线AN与平面PDM所成角的余角．连接AM，因为PM⊥MD，PM⊥DC，MD∩DC＝D，所以PM⊥平面ABCD，所以PM⊥AM.因为∠ABC＝120°，AB＝1，BM＝2，所以由余弦定理得AM＝7，又PA＝15，所以PM＝22，所以PB＝PC＝23，连接BN，结合余弦定理得BN＝11.连接AC，则由余弦定理得AC＝21，在△PAC中，结合余弦定理得PA2＋AC2＝2AN2＋2PN2，所以AN＝15.所以在△ABN中，cos∠BAN＝AB2＋AN2－BN22AB·AN＝1＋15－11215＝156.设直线AN与平面PDM所成的角为θ，则sin θ＝cos∠BAN＝15 6.方法二：因为PM⊥MD，PM⊥DC，所以PM⊥平面ABCD.连接AM，则PM⊥AM.因为∠ABC＝120°，AB＝1，BM＝2，所以AM ＝7，又PA＝15，所以PM＝2 2.由(1)知CD⊥DM，过点M 作ME∥CD交AD于点E，则ME⊥MD.故可以以M为坐标原点，MD，ME，MP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(－3，2，0)，P(0，0，22)，C(3，－1，0)，N(32，－12，2)，所以AN→＝(332，－52，2)．易知平面PDM的一个法向量为n＝(0，1，0)．设直线AN与平面PDM所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈AN→，n〉|＝|AN→·n||AN→|·|n|＝5215＝156.故直线AN与平面PDM所成角的正弦值为156.求直线与平面所成角的主要方法(1)定义法：利用定义作出直线和平面所成的角，然后在三角形中利用几何方法求解．(2)向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，先求向量夹角进而求出直线和平面所成的角．角度3 利用空间向量求两个平面的夹角(2021·新高考卷Ⅱ改编)在四棱锥QABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝5，QC＝3.(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；(2)求平面BDQ与平面QDA夹角的余弦值．【解】(1)证明：取AD的中点为O，连接QO，CO.因为QA＝QD，OA＝OD，则QO⊥AD，而AD＝2，QA＝5，故QO＝5－1＝2.在正方形ABCD中，因为AD＝2，DO＝1，故CO＝5，因为QC＝3，故QC2＝QO2＋OC2，故△QOC为直角三角形且QO⊥OC.因为OC∩AD＝O，AD，OC⊂平面ABCD，故QO⊥平面ABCD，因为QO⊂平面QAD，故平面QAD⊥平面ABCD.(2)在平面ABCD内，过O作OT∥CD，交BC于T，则OT⊥AD，结合(1)中的QO⊥平面ABCD，故可建如图所示的空间直角坐标系．则D(0，1，0)，Q(0，0，2)，B(2，－1，0)，故BQ→＝(－2，1，2)，BD→＝(－2，2，0)．设平面QBD的法向量为n＝(x，y，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BQ →＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎨⎧－2x ＋y ＋2z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝12，故n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12.而平面QAD 的一个法向量为m ＝(1，0，0)， 故cos 〈m ，n 〉＝11×32＝23.所以，所求平面BDQ 与平面QDA 夹角的余弦值为23.用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小．|跟踪训练|(2022·安丘过程性测试)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA ＝PD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝ 3.(1)求证：平面MQB ⊥平面PAD ；(2)若平面MBQ 与平面BQC 的夹角为30°，求直线QM 与平面PAD 所成角的正弦值． 解：(1)证明：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，Q 为AD 的中点，则QD ∥BC 且QD ＝BC ，所以四边形BCDQ 为平行四边形，所以CD ∥BQ ， 因为∠ADC ＝90°，所以∠AQB ＝90°，即BQ ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BQ ⊂平面ABCD ， 所以BQ ⊥平面PAD ，因为BQ ⊂平面MQB ，所以平面MQB ⊥平面PAD .(2)因为PA ＝PD ，Q 为AD 的中点，所以PQ ⊥AD .因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PQ ⊂平面PAD ，所以PQ ⊥平面ABCD ，又因为BQ ⊥AD ，所以以Q 为原点，以QA ，QB ，QP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Q xyz ，则Q()0，0，0，A()1，0，0，P()0，0，3，B()0，3，0，C ()－1，3，0，设PM →＝λPC →＝λ()－1，3，－3＝()－λ，3λ，－3λ，其中0≤λ≤1， 所以QM →＝QP →＋PM →＝()0，0，3＋(－λ，3λ，－3λ)＝()－λ，3λ，3－3λ，又QB →＝()0，3，0，设平面MBQ 的法向量为m ＝()x ，y ，z ， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·QM →＝0，m ·QB →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－λx ＋3λy ＋3()1－λz ＝03y ＝0，取x ＝3(1－λ)，得m ＝()3()1－λ，0，λ， 由题意知平面BQC 的一个法向量为n ＝()0，0，1，因为平面MBQ 与平面BQC 的夹角为30°，所以||cos 〈m ，n 〉＝||m ·n ||m ·||n ＝λ4λ2－6λ＋3＝32， 因为0≤λ≤1，解得λ＝34，所以QM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，334，34，易知平面PAD 的一个法向量为u ＝()0，1，0，sin θ＝|cos 〈QM →，u 〉|＝|QM →·u |||QM →·||u ＝334394＝31313.所以QM 与平面PAD 所成角的正弦值为31313.[A 基础达标]1．(2022·江淮名校阶段检测)已知平面α的一个法向量是m ＝(－2，－1，2)，点A (3，4，－1)是平面α内的一点，则点P (1，2，－1)到平面α的距离是( )A ．1 B.322C.2D.2 2解析：选C.因点A (3，4，－1)是平面α内的一点，而P (1，2，－1)，则AP →＝(－2，－2，0)，又平面α的一个法向量是m ＝(－2，－1，2)，所以点P 到平面α的距离d ＝|m ·AP →|||m ＝|4＋2|4＋1＋4＝2.2．(2022·上海一模)如图，点A ，B ，C 分别在空间直角坐标系O xyz 的三条坐标轴上，OC →＝(0，0，2)，OA →＝(1，0，0)，OB →＝(0，2，0)，设平面CAB 与平面ABO 的夹角为θ，则cos θ＝( )A.63B.66C.24D.34解析：选 B.因为OC →＝(0，0，2)，OA →＝(1，0，0)，OB →＝(0，2，0)，所以AB →＝(－1，2，0)，AC →＝(－1，0，2)，设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AB →·n ＝0即⎩⎨⎧－x ＋2z ＝0，－x ＋2y ＝0，取n ＝(2，1，1)，又因为平面ABO 的法向量为OC →＝(0，0，2)， 所以cos θ＝|OC →·n ||OC →|·|n |＝22×6＝66，故选B.3.(多选)如图，三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ＝2，BC ＝23，AC ＝4，A 到平面PBC 的距离为455，则( ) A ．PA ＝4B ．三棱锥P ABC 的外接球的表面积为32π C ．直线AB 与直线PC 所成角的余弦值为216D ．AB 与平面PBC 所成角的正弦值为255解析：选ABD.因为AB ＝2，BC ＝23，AC ＝4， 所以AB 2＋BC 2＝AC 2，即AB ⊥BC ， 又因为PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，设AP ＝a ，根据等体积法V P ABC ＝V A PBC ，即13×12×2×23×a ＝13×12×23×a 2＋4×455，解得a ＝4，所以AP ＝a ＝4，故A 选项正确；所以三棱锥P ABC 的外接球的半径与以BC ，BA ，AP 为邻边的长方体的外接球的半径相等，所以三棱锥P ABC 的外接球的半径为22，所以三棱锥P ABC 的外接球的表面积为32π，故B 选项正确； 过点B 作PA 的平行线BD ，则BD ⊥平面ABC ，所以以点B 为坐标原点，BC ，BA ，BD 所在边分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则B (0，0，0)，C (23，0，0)，A (0，2，0)，P (0，2，4)， 所以AB →＝(0，－2，0)，PC →＝(23，－2，－4)， 所以cos 〈AB →，PC →〉＝AB →·PC →|AB →||PC →|＝42×42＝24，所以直线AB 与直线PC 所成角的余弦值为24，故C 选项错误；因为BC →＝(23，0，0)，BP →＝(0，2，4)， 设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BP →＝0，m ·BC →＝0，即⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－2z ，令z ＝1，所以m ＝(0，－2，1)，由于AB →＝(0，－2，0)， 故设AB 与平面PBC 所成角为θ， 则sin θ＝||cos 〈m ，AB →〉＝||AB →·m |m |·|AB →|＝42×5＝255， 所以AB 与平面PBC 所成角的正弦值为255，故D 选项正确．4.如图所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为________．解析：如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D 1(0，0，1)，E (1，1，0)，A (1，0，0)，C (0，2，0)． 则D 1E →＝(1，1，－1)，AC →＝(－1，2，0)，AD →1＝(－1，0，1)． 设平面ACD 1的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝－a ＋2b ＝0，n ·AD →1＝－a ＋c ＝0，取a ＝2，得n ＝(2，1，2)，所以点E 到平面ACD 1的距离h ＝|D 1E →·n ||n |＝|2＋1－2|3＝13.答案：135.如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，E 是CC 1的中点．(1)求直线BC 1与平面A 1BE 所成角的正弦值； (2)求点C 到平面A 1BE 的距离．解：(1)由AA 1⊥平面ABC ，则在三棱柱ABC A 1B 1C 1中CC 1⊥平面ABC ， 由AC ，BC ⊂平面ABC ，故CC 1⊥AC ，CC 1⊥BC ，又∠ACB ＝90°，所以CC 1，AC ，BC 两两垂直，故可构建以C 为原点，CA →，CB →，CC 1→为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系(图略)，所以B (0，2，0)，E (0，0，1)，A 1(2，0，2)，C 1(0，0，2)，则BC 1→＝(0，－2，2)，BE →＝(0，－2，1)，EA 1→＝(2，0，1)，若m ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，则⎩⎨⎧－2y ＋z ＝0，2x ＋z ＝0，令z ＝2，有m ＝(－1，1，2)，所以|cosBC →1，m|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC 1→·m |BC 1→||m |＝222×6＝36，故直线BC 1与平面A 1BE 所成角的正弦值为36. (2)由V C A 1BE ＝V A 1BCE ，由(1)易知S △BCE ＝12CE ·BC ＝1，A 1到面BCE 的距离为A 1C 1＝2，若C 到平面A 1BE 的距离为d ，又EA 1＝BE ＝5，BA 1＝23，则S △A 1BE ＝12×23×5－3＝6，由13d ·S △A 1BE ＝13A 1C 1·S △BCE ，可得d ＝63. 所以点C 到平面A 1BE 的距离为63. 6.如图，在三棱锥P ABC 中，△PAC 是正三角形，AC ⊥BC ，AC ＝BC ，D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥PD ；(2)若AC ＝BC ＝PD ＝2，求直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值．解：(1)证明：取AC 中点O ，连接OP ，OD ，因为OD ∥CB ，AC ⊥CB ，所以AC ⊥OD ， △PAC 为正三角形，所以PO ⊥AC ，⎭⎬⎫AC ⊥ODAC ⊥PO PO ∩OD ＝O ⇒AC ⊥平面POD ，PD ⊂平面POD ，所以AC ⊥PD . (2)由(1)及PD 2＝PO 2＋OD 2，知OA ，OP ，OD 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系：O (0，0，0)，A (1，0，0)，D (0，1，0)，C (－1，0，0)，P (0，0，3)，PC →＝(－1，0，－3)，PA →＝(1，0，－3)，PD →＝(0，1，－3)，设平面PAB 法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PA →＝0n ·PD ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －3z ＝0，y －3z ＝0，令z ＝1, n ＝(3，3，1)，所以sin θ＝|cosPC →，n|＝|PC →·n ||PC →|·|n |＝|－3－3|2×7＝217.即直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为217. [B 综合应用]7.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD, EF ∥AB ，∠BAF ＝90°，AD ＝ 2，AB ＝AF ＝2EF ＝1，点P 在棱DF 上．(1)若P 是DF 的中点， ①求证：BF ∥ 平面ACP ；②求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； (2)若平面DAP 与平面APC 夹角的余弦值为63，求PF 的长度． 解：(1)①证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接OP . 因为P 是DF 中点，O 为矩形ABCD 对角线的交点， 所以OP 为三角形BDF 中位线， 所以BF ∥OP ，因为BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ， 所以BF ∥ 平面ACP . ②因为∠BAF ＝90°， 所以AF ⊥AB ，因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ， 且平面ABEF ∩平面ABCD ＝ AB ，AF ⊂平面ABEF ， 所以AF ⊥平面ABCD ， 因为四边形ABCD 为矩形，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz .所以B (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，C (1，2，0)．所以BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1，CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1，12，所以cos 〈BE →，CP →〉＝BE →·CP →|BE →|·|CP →|＝4515， 即异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为4515.(2)因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APD 的法向量为n 1＝(1，0，0)． 设P 点坐标为(0，2－2t ，t )(0<t <1)，在平面APC 中，AP →＝(0，2－2t ，t )，AC →＝(1，2，0)， 设平面APC 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AP →＝（2－2t ）y ＋tz ＝0，n 2·AC →＝x ＋2y ＝0，取y ＝1，则x ＝－2，z ＝2t －2t，得平面APC 的一个法向量为n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，2t －2t ， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝2（－2）2＋1＋⎝⎛⎭⎪⎫2t －2t 2＝63， 解得t ＝23或t ＝2(舍)．所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，23，所以PF 的长度|PF |＝（0－0）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＝53.[C 素养提升]8.如图所示，在四棱锥P ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.(1)求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长． 解：以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A xyz .则各点的坐标为B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)， A (0，0，0)．(1)因为AD ⊥平面PAB ，所以AD →是平面PAB 的一个法向量，AD →＝(0，2，0)． 因为PC →＝(1，1，－2)，PD →＝(0，2，－2)．设平面PCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·PC →＝0，m ·PD →＝0， 即⎩⎨⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1， 所以m ＝(1，1，1)是平面PCD 的一个法向量， 从而|cos 〈AD →，m 〉|＝|AD →·m ||AD →|·|m |＝33.所以平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值为33. (2)因为BP →＝(－1，0，2)，设BQ →＝λBP →＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)． 又CB →＝(0，－1，0)，则CQ →＝CB →＋BQ →＝(－λ，－1，2λ)． 又DP →＝(0，－2，2)，从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →|·|DP →|＝1＋2λ10λ2＋2，设1＋2λ＝t ，t ∈[1，3]，则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －592＋209≤910.当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →〉|的最大值为31010，因为y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，所以此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值，又因为BP ＝12＋22＝5，所以BQ ＝25BP ＝255.。
高二数学复习考点知识与题型专题讲解5---用空间向量研究直线、平面的位置关系
高二数学复习考点知识与题型专题讲解1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系【考点梳理】考点一：空间中点、直线和平面的向量表示1.空间中点的位置向量如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量OP→来表示．我们把向量OP→称为点P的位置向量．2.空间中直线的向量表示式直线l的方向向量为a，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP→＝OA→＋t a，①把AB→＝a代入①式得OP→＝OA→＋tAB→，②①式和②式都称为空间直线的向量表示式．3.空间中平面的向量表示式平面ABC的向量表示式：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使OP→＝OA→＋xAB→＋yAC→.我们称为空间平面ABC的向量表示式．考点二空间中平面的法向量平面的法向量如图，若直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称a为平面α的法向量；过点A且以a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·AP→＝0}．考点三：空间中直线、平面的平行1.线线平行的向量表示设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.12.线面平行的向量表示设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.面面平行的向量表示设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 .1考点四：空间中直线、平面的垂直1.线线垂直的向量表示设u1，u2分别是直线l1 , l2的方向向量，则l⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.12. 线面垂直的向量表示设u 是直线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量， l ⊄α，则l ⊥α⇔u ∥n ⇔∃λ∈R ，使得u ＝λn .知识点三 面面垂直的向量表示设n 1，n 2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0.【题型归纳】题型一：平面的法向量的求法1．（2021·江西·景德镇一中高二期中（理））已知直线l 过点(1,0,1)P -，平行于向量(211)S =,,，平面π经过直线l 和点(1,2,3)A ，则平面π的一个法向量n 的坐标为（ ）A ．1212⎛⎫- ⎪⎝⎭,,B ．1122⎛⎫- ⎪⎝⎭,,C ．(1,0,2)-D ．(120)-,, 2．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）已知平面α经过点(1,1,1)A 和(1,1,)B z -，(1,0,1)n =-是平面α的法向量，则实数z =（ ）A ．3B ．1-C ．2-D ．3-3．（2021·全国·高二课时练习）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD ，1AB AA =1OCB 的法向量(),,n x y z =为（ ）A ．()0,1,1B ．()1,1,1-C ．()1,0,1-D ．()1,1,1--题型二：空间中点、直线和平面的向量表示4．（2021·全国·高二专题练习）已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果()2,1,4AB =--，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--.对于结论：①||6AD =；②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的法向量；④AP//BD .其中正确的是（ ） A ．②④B ．②③C ．①③D ．①②5．（2022·全国·高二）已知平面α内有一点A (2，－1,2)，它的一个法向量为(3,1,2)n =，则下列点P 中，在平面α内的是（ ） A ．(1，－1,1)B ．(1,3，32)C ．(1，－3，32)D ．(－1,3，－32)6．（2022·四川·棠湖中学高二）对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有(,,)OP xOA yOB zOC x y z R =++∈，则2x =，3y =-，2z =是P ,A ,B ,C 四点共面的( ) A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．（2022·福建·高二学业考试）如图，在长方体体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱111,BB B C 的中点，以下说法正确的是（ ）A ．1A E 平面11CC D DB ．1A E ⊥平面11BCC B C ．11A ED F ∥D ．11AE DF ⊥8．（2022·山东淄博·高二期末）在空间直角坐标系Oxyz 中，平面α的法向量为()1,1,1n =，直线l 的方向向量为m ，则下列说法正确的是（ ）A ．若11,,122m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则//l αB ．若()1,0,1m =-，则l α⊥C ．平面α与所有坐标轴相交D ．原点O 一定不在平面α内9．（2022·安徽宣城·高二期末）如图已知正方体1111ABCD A B C D -，点M 是对角线1AC 上的一点且1AM AC λ=，()0,1λ∈，则（ ）A ．当12λ=时，1AC ⊥平面1A DMB ．当12λ=时，//DM 平面11CB D C ．当1A DM 为直角三角形时，13λ=D ．当1A DM 的面积最小时，13λ=10．（2021·湖北黄冈·高二期中）已知1v 、2v 分别为直线1l 、2l 的方向向量（1l 、2l 不重合），1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中不正确的是（ ）A ．1212v v l l ⇔∥∥；B ．111v n l α⊥⇔∥；C ．12n n αβ⊥⇔⊥D ．12n n αβ⇔∥∥11．（2021·安徽·高二期中）给出以下命题，其中正确的是（ ） A ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量为()2,1,1b =-，则l 与m 垂直 B ．直线l 的方向向量为()0,1,1a =-，平面α的法向量为()1,1,1n =，则l α⊥ C ．平面α､β的法向量分别为()10,1,3=n ，()21,0,2=n ，则αβ∥D ．平面α经过三个点()1,0,1A -，()0,1,0B -，()1,2,0C -，向量()1,,n p q =是平面α的法向量，则53p q +=12．（2022·全国·高二课时练习）若空间两直线1l 与2l 的方向向量分别为()123,,a a a a =和()123,,b b b b =，则两直线1l 与2l 垂直的充要条件为（ ）A ．11a b λ=，22a b λ=，33a b λ=（R λ∈）B ．存在实数k ，使得a kb =C ．1122330a b a b a b ++=D ．a b a b ⋅=±⋅题型五：空间向量研究直线、平面的位置综合问题13．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，P 、Q 是正方体表面上相异两点．若P 、Q 均在平面1111D C B A 上，满足1BP A E ⊥，1BQ A E ⊥．(1)判断PQ 与BD 的位置关系； (2)求1A P 的最小值．14．（2022·福建宁德·高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AD BC ∥.,3,2,AD AB AD AB BC PA ⊥===⊥平面ABCD ，且3PA =，点M 在棱PD 上，点N 为BC 中点.(1)若2DM MP =，证明：直线//MN 平面PAB ：(2)线段PD 上是否存在点M ，使NM 与平面PCD 6PM PD 值；若不存在，说明理由15．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二期中）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，E ，F 分别为棱1AA ，1CC 的中点，G 为棱1DD 上的动点.(1)求证：B ，E ，1D ，F 四点共面；(2)是否存在点G ，使得平面GEF ⊥平面BEF ？若存在，求出DG 的长度；若不存在，说明理由.【双基达标】一、单选题16．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））在直三棱柱ABC A B C '''-中，底面是以B 为直角项点，边长为1的等腰直角三角形，若在棱CC '上有唯一的一点E 使得A E EB '⊥，那么BB '=（ ）A ．1B ．2C ．12D ．1317．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知平面α的法向量为(342)n =-，，，(342)AB =--，，，则直线AB 与平面α的位置关系为（ ）A ．AB α∥B ．AB α⊥C ．AB α⊂D ．AB α⊂或AB α∥18．（2022·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，,E F 分别是11,BB DD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．1A O //EFB ．1A O EF ⊥C ．1A O //平面1EFBD ．1A O ⊥平面1EFB 19．（2022·全国·高二）有以下命题： ①一个平面的单位法向量是唯一的②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行 ③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直 其中真命题的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，有正方体ABCD A B C D ''''-，给出下列结论：①直线DD '的一个方向向量为1(0,0,1)v =；②直线BC '的一个方向向量为2(0,1,1)v =； ③平面ABB A ''的一个法向量为1(0,1,0)n =；④平面B CD '的一个法向量为2(1,1,1)n =．其中正确的个数为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．421．（2022·全国·高二）已知直线1l 经过点1(1,2,3)P -，平行于向量1(1,1,2)s =-，直线2l 经过点2(1,2,0)P -，平行于向量2(0,1,1)s =，求与两直线1l ，2l 都平行的平面α的一个法向量的坐标．22．（2022·全国·高二）如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且13BM BD =，13AN AE =．(1)求证：MN AD ⊥；(2)若1CD DE ==，求MN 的长．【高分突破】一：单选题23．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高二阶段练习）若直线l 的一个方向向量为()1,2,1a =--，平面α的一个法向量为()2,4,2b =-，则（ ）A ．l α⊂B ．//l αC ．l α⊥D ．//l α或l α⊂24．（2022·江苏苏州·高二期末）已知平面α的一个法向量为n =（2，－2，4）， AB =（－1，1，－2），则AB 所在直线l 与平面α的位置关系为（ ） A ．l ⊥αB ．l α⊂C ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α25．（2021·全国·高二如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=，60BAC ∠=，2PA AB ==．以点B 为原点，分别以BC ，BA ，AP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB 和平面PBC 的法向量分别为m 和n ，则下面选项中正确的是（ ）．A ．点P 的坐标为()0,0,2-B ．()4,0,2PC =- C ．n 可能为()0,2,2-D ．cos ,0m n >26．（2021·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二）设α，β是不重合的两个平面，α，β的法向量分别为1n ，2n ，l 和m 是不重合的两条直线，l ，m 的方向向量分别为1e ，2e ，那么αβ∥的一个充分条件是（ ）A ．l α⊂，m β⊂，且11e n ⊥，22e n ⊥B ．l α⊂，m β⊂，且12e e ∥C ．11e n ∥，22e n ∥，且12e e ∥D ．11e n ⊥，22e n ⊥，且12e e ∥27．（2021·浙江金华第一中学高二期中）平面四边形ABEF 和四边形CDFE 都是边长为1的正方形，且平面ABEF ⊥CDFE ，点G 为线段AF 的中点，点P ，Q 分别为线段BE 和CE 上的动点（不包括端点）.若GQ DP ⊥，则线段PQ 的长度的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．⎣C ．⎣D ．⎣⎭ 28．（2021·湖北·武汉市第十四中学高二阶段练习）设a ，b 是两条直线，a ，b 分别为直线a ，b 的方向向量，α，β是两个平面，且a α⊥，b β⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件29．（2021·河南·高二阶段练习（理））给出下列命题：①直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量为12,1,2⎛⎫=- ⎪⎝⎭b ，则l m ⊥②直线l 的方向向量为()0,1,1a =-，平面α的法向量为()1,1,1n =--，则l α⊥. ③平面,αβ的法向量分别为()()120,1,310,,,2n n ==，则//αβ.④平面α经过三点A (1，0，－1)，B (0，1，0)，C (－1，2，0)，向量()1,,=n u t 是平面α的法向量，则u ＋t ＝1.其中真命题的序号是（ ）A ．②③B ．①④C ．③④D ．①②30．（2021·安徽省五河第一中学高二阶段练习）已知点(2A ，1-，2)在平面α内，(3n =，1，2)是平面α的一个法向量，则下列点P 中，在平面α内的是（ ） A ．(1P ，1-，1)B ．P 31,3,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．31,3,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．31,3,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭31．（2021·北京·汇文中学高二期中）若,αβ表示不同的平面，平面α的一个法向量为1(1,2,1)v =，平面β的一个法向量为2(2,4,2)v =---，则平面α与平面β（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交D ．不确定32．（2021·重庆市第十一中学校高二期中）已知直线l 的方向向量是(3,2,1)a =-，平面α的法向量是1,2(,)1n =-，则l 与α的位置关系是（ ） A ．l α⊥B ．//l αC ．//l α或l α⊂D ．l 与α相交但不垂直 二、多选题(共0分)33．（2022·浙江省长兴中学高二期末）直三棱柱111ABC A B C -中，1,,,,CA CB CA CB CC D E M ⊥==分别为11B C ，11,CC AB 的中点，点N 是棱AC 上一动点，则（ ）A ．对于棱AC 上任意点N ，有1MN BC ⊥B ．棱AC 上存在点N ，使得MN ⊥面1BC NC ．对于棱AC 上任意点N ，有MN 面1A DED ．棱AC 上存在点N ，使得MN DE ∥34．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上（含端点），则下列结论正确的有（ ）A ．顶点B 到平面APC 2．存在点P ，使得1BD ⊥平面APC C ．AP PC +30．当P 为1BD 中点时，APC ∠为钝角35．（2022·江苏·连云港高中高二期中）给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．若直线l 的方向向量()1,1,2a =-，直线m 的方向向量12,1,2⎛⎫=- ⎪⎝⎭b ，则l 与m 垂直B ．若直线l 的方向向量()0,1,1a =-，平面α的法向量()1,1,1n =--，则l α⊥C ．若平面α，β的法向量分别为()10,1,3=n ，()21,0,2=n ，则αβ⊥D ．若存在实数,,x y 使,=+MP xMA yMB 则点,,,P M A B 共面36．（2022·福建宁德·高二期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160DAB DAA BAA ∠∠∠===，1AB AD AA ==，点M ，N 分别是棱1111,D C C B 的中点，则下列说法中正确的有（ ）A ．1MN AC ⊥B ．向量1,,AN BC BB 共面 C ．1CA ⊥平面1C BDD ．若AB =1637．（2022·江苏常州·高二期中）下列命题是真命题的有（ ） A ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面B ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量为12,1,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则l 与m 垂直C ．直线l 的方向向量为()0,1,1a =-，平面α的法向量为()1,1,1n =--，则l ⊥αD ．平面α经过三点(1,0,1),(0,1,0),(1,2,0),(1,,)A B C n u t --=是平面α的法向量，则1u t += 38．（2022·江苏宿迁·高二期中）给定下列命题，其中正确的命题是（ ） A ．若n 是平面α的法向量，且向量a 是平面α内的直线l 的方向向量，则0a n ⋅= B ．若1n ，2n 分别是不重合的两平面,αβ的法向量，则12//0n n αβ⇔⋅= C ．若1n ，2n 分别是不重合的两平面,αβ的法向量，则1212//n n n n αβ⇔⋅=⋅ D ．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直39．（2022·江苏常州·高二期中）如图，在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列结论正确的是（ ）A ．1BD AP ⊥B ．AP PB +26+ C ．异面直线AP 与1A D 23D ．11APB C PD ∠=∠40．（2022·全国·高二课时练习）给定下列命题，其中正确的命题是（ ） A ．若1n ，2n 分别是平面α，β的法向量，则12n n αβ⇔∥∥ B ．若1n ，2n 分别是平面α，β的法向量，则120n n αβ⇔⋅=∥C ．若n 是平面α的法向量，且向量a 是平面α内的直线l 的方向向量，则0a n ⋅=D ．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直 三、填空题41．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知平面,ABC (1,2,3),(4,5,6)AB AC ==，写出平面ABC 的一个法向量n =______．42．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））若直线l 的一个方向向量为()1,2,1a =-，平面a 的一个法向量为()1,2,1b =--，则直线l 与平面α的位置关系是______． 43．（2022·全国·高二课时练习）已知1v ､2v 分别为不重合的两直线1l ､2l 的方向向量，1n､2n 分别为不重合的两平面α､β的法向量，则下列所有正确结论的序号是___________. ①2121////v v l l ⇔；②2121v l l v ⊥⇔⊥；③12////n n αβ⇔；④12n n αβ⊥⇔⊥.44．（2022·四川成都·高二期中（理））如图，已知棱长为2的正方体A ′B ′C ′D ′－ABCD ，M 是正方形BB ′C ′C 的中心，P 是△A ′C ′D 内（包括边界）的动点，满足PM =PD ，则点P 的轨迹长度为______．45．（2022·全国·高二课时练习）向量,,i j k 分别代表空间直角坐标系与,,x y z 轴同方向的单位向量，若45a i j k =-+，44b mi j k =+-，若a 与b 垂直，则实数m =______． 46．（2022·全国·高二课时练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD 中，H 是底面中心，DH ⊥平面ABC ，写出：（1）直线BC 的一个方向向量___________； （2）点OD 的一个方向向量___________； （3）平面BHD 的一个法向量___________；（4）DBC △的重心坐标___________.47．（2022·上海·格致中学高二期末）已知向量()1,2,a m m =+是直线l 的一个方向向量，向量()1,,2n m =是平面α的一个法向量，若直线l ⊥平面α，则实数m 的值为______． 48．（2021·河北省盐山中学高二阶段练习）已知P 是ABCD 所在的平面外一点，()2,1,4AB =--，()4,2,0AD =，()1,2,1AP =--，给出下列结论：①AP AB ⊥； ②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的一个法向量；④AP//BD ，其中正确结论的个数是__________． 四、解答题49．（2022·全国·高二）如图所示，在棱长为1的正方体1111OABC O A B C -，中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE BF x ==，其中01x ≤≤，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -．(1)求证：11A F C E ⊥；(2)若1A 、E 、F 、1C 四点共面，求证：111112A F AC A E =+．50．（2022·全国·高二）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E ､F ､G 分别为AB ､SC ､SD 的中点.若AB a ，SD b =.(1)求EF ； (2)求cos ,AG BC ； (3)判断四边形AEFG 的形状.51．（2022·湖南·高二）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，6AD =，13AA =，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：(1)平面ABCD ； (2)平面11ACC A ； (3)平面1ACD ．52．（2022·全国·高二课时练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABC D ．(1)分别指出平面PAD 、平面PAB 的一个法向量；(2)若AB AD AP ==，试在图中作出平面PDC 的一个法向量； (3)PBD △是否有可能是直角三角形？(4)根据法向量判断平面PBC 与平面PDC 是否有可能垂直．53．（2022·浙江绍兴·高二期末）正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱长为4.E 为棱1AA 上的动点，F 为棱1CC 的中点.(1)证明：1EC BD ⊥；(2)若E 为棱1AA 上的中点，求直线BE 到平面11B D F 的距离.【答案详解】1．A 【解析】 【分析】设法向量(),,n x y z =，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】由题意可得()0,2,4AP =--,设经过直线l 和点A 平面的法向量为(),,n x y z =，则24020n AP y z n s x y z ⎧⋅=--=⎨⋅=++=⎩，令1x =，则4,2y z =-= ， 所以()1,4,2n =-，所以经过直线l 和点A 平面的法向量为()(),4,2,0t t t t R t -∈≠. 故选：A 2．B 【解析】 【分析】由(1,0,1)n =-是平面α的法向量，可得0AB n ⋅=，即可得出答案. 【详解】解：()2,0,1AB z =--，因为(1,0,1)n =-是平面α的法向量， 所以0AB n ⋅=，即()210z ---=，解得1z =-. 故选：B. 3．C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系写出各向量，利用法向量的性质可得解. 【详解】ABCD 是正方形，且AB1AO OC ∴==，11OA ∴=，()0,1,0A ∴-，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1A ，()1,1,0AB ∴=，()0,1,0OC =，又()111,1,0A B AB ==，()11,1,1B ∴，()11,1,1OB =，平面1OCB 的法向量为(),,n x y z =，则00y x y z =⎧⎨++=⎩，得0y =，x z =-，结合选项，可得()1,0,1n =-， 故选：C. 4．B 【解析】 【分析】求出||25AD = 0AP AD ⋅=判断②正确；由AP AB ⊥，AP AD ⊥判断③正确；假设存在λ使得λ=AP BD ，由122314λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩无解，判断④不正确.【详解】由(2AB =，1-，4)-，(4AD =，2，0)，(1AP =-，2，1)-，知：在①中，||166AD ==≠，故①不正确；在②中，4400AP AD ⋅=-++=，∴⊥AP AD ，AP AD ∴⊥，故②正确；在③中，2240AP AB ⋅=--+=， AP AB ∴⊥，又因为AP AD ⊥，AB AD A ⋂=，知AP 是平面ABCD 的法向量，故③正确；在④中，(2BD AD AB =-=，3，4)，假设存在λ使得λ=AP BD ，则122314λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，无解，故④不正确；综上可得：②③正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间向量垂直、向量平行等基础知识，考查了平面的法向量以及空间向量的模，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 5．B 【解析】 【分析】要判断点P 是否在平面内，只需判断向量PA 与平面的法向量n 是否垂直，即判断PA n 是否为0即可.【详解】对于选项A ，(1,0,1)PA =，则(1,0,1)(3,1,2)50==≠PA n ，故排除A ； 对于选项B ，1(1,-4,)2=PA ，则1(1,4,)(3,1,2)34102=-=-+=PA n对于选项C ，1(1,2,)2=PA ，则1(1,2,)(3,1,2)3+21602==+=≠PA n ，故排除C ；对于选项D ，7(3,-4,)2=PA ，则7(3,4,)(3,1,2)9471202=-=-+=≠PA n ，故排除D ； 故选:B 6．B 【解析】 【分析】利用空间中共面定理：空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且(),,OP xOA yOB zOC x y z R =++∈,得P ,A ,B ,C 四点共面等价于1x y z ++=，然后分充分性和必要性进行讨论即可. 【详解】解：空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且(),,OP xOA yOB zOC x y z R =++∈ 则P ,A ,B ,C 四点共面等价于1x y z ++=若2x =，3y =-，2z =，则1x y z ++=，所以P ,A ,B ,C 四点共面 若P ,A ,B ,C 四点共面，则1x y z ++=，不能得到2x =，3y =-，2z = 所以2x =，3y =-，2z =是P ,A ,B ,C 四点共面的充分不必要条件 故选B. 【点睛】本题考查了空间中四点共面定理，充分必要性的判断，属于基础题.7．A 【解析】 【分析】对A ：由平面11ABB A 平面11CC D D ，然后根据面面平行的性质定理即可判断；对B ：若1A E ⊥平面11BCC B ，则1A E ⊥1BB ，这与1A E 和1BB 不垂直相矛盾，从而即可判断； 对C 、D ：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，由1A E 与1D F 不是共线向量，且2110A E D F b ⋅=>，从而即可判断.【详解】解：对A ：由长方体的性质有平面11ABB A 平面11CC D D ，又1A E ⊂平面11ABB A ，所以1A E 平面11CC D D ，故选项A 正确；对B ：因为E 为棱1BB 的中点，且111A B BB ⊥，所以1A E 与1BB 不垂直，所以若1A E ⊥平面11BCC B ，则1A E ⊥1BB ，这与1A E 和1BB 不垂直相矛盾，故选项B 错误； 对C 、D ：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设1,,DA a DC b DD c ===，则()1,0,A a c =，,,2c E a b ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,D c ，,,2a Fbc ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以10,,2cA E b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1,,02aD F b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为1A E 与1D F 不是共线向量，且2110A E D F b ⋅=>，所以1A E 与1D F 不平行，且1A E 与1D F 不垂直，故选项C 、D 错误. 故选：A. 8．C 【解析】 【分析】根据空间位置关系的向量方法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，111022m n ⋅=--+=，所以m n ⊥，故//l α或l α⊂，故A 选项错误； 对于B 选项，1010m n ⋅=+-=，所以m n ⊥，故//l α或l α⊂，故B 选项错误；对于C 选项，由于法向量的横、纵、竖坐标均不取零，故平面不与坐标轴确定的平面平行，所以平面α与所有坐标轴相交，故正确；对于D 选项，由法向量不能确定平面的具体位置，故不能确定原点O 与平面α关系，故错误. 故选：C 9．D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得； 【详解】解：由题可知，如图令正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则()11,0,0A ，()1,0,1A ，()10,1,0C ，()0,0,1D ，()10,0,0D ，()11,1,0B ，()0,1,1C ，所以()11,1,1AC =--，因为1AM AC λ=，所以()1,,1M λλλ-+-+，所以()1,,1A M λλλ=--+，()1,,DM λλλ=-+-，()11,0,1CB =-，()10,1,1D C =，设平面11CB D 的法向量为(),,n x y z =，则1100CB n x z D C n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1z =，1y =-，所以()1,1,1n =-对于A ：若1AC ⊥平面1A DM ，则11AC A M ⊥，则()()11110AC A M λλλ⋅=++-⨯-+=，解得13λ=，故A 错误；对于B ：若//DM 平面11CB D ，则DM n ⊥，即10DM n λλλ⋅=-+--=，解得13λ=，故B 错误；当1A DM 为直角三角形时，有1MD MA ⊥，即()()()21110A M DM λλλλλ⋅=--+++--+=，解得23λ=或0λ=（舍去），故C 错误；设M 到1DA 的距离为k ，则22221111323()2236k DM λλλ=-=-+=-+，∴当1A DM 的面积最小时，13λ=，故D 正确．故选：D ．10．B 【解析】 【分析】按照方向向量和法向量在线面关系中的应用直接判断即可. 【详解】A 选项：因为1l 、2l 不重合，所以1212v v l l ⇔∥∥，A 正确；B 选项：111v n l α⊥⇔∥或1l α⊂，B 错误；C 选项：12n n αβ⊥⇔⊥，C 正确；D 选项：因为α，β不重合，所以12n n αβ⇔∥∥，D 正确. 故选：B. 11．D 【解析】 【分析】判断直线的方向向量和平面的法向量间的关系，判断线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项. 【详解】对于A ，因为21210a b ⋅=--=-≠，所以l 与m 不垂直，A 错误； 对于B ，因为110a n ⋅=-+=，l α⊥不成立，所以B 错误； 对于C ，因为1n 与2n 不平行，所以αβ∥不成立，C 错误；对于D ，()1,1,1AB =--，()1,3,0BC =-，由10n AB p q ⋅=--+=，130n BC p ⋅=-+=，解得13p =，43q =，所以53p q +=，D 正确. 故选：D. 12．C 【解析】 【分析】由空间直线垂直时方向向量0a b ⋅=，即可确定充要条件. 【详解】由空间直线垂直的判定知：1122330a b a b a b a b ⋅=++=. 当1122330a b a b a b ++=时，即0a b ⋅=，两直线1l 与2l 垂直. 而A 、B 、D 说明1l 与2l 平行. 故选：C13．(1)PQ 与BD 的位置关系是平行【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量判断PQ 与BD 的位置关系；（2）用含参数的表达式求出1A P ，进而求出最小值. (1)以D 为原点，以射线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴的正向建立空间直角坐标系，()11,0,1A ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1,1,0B ．因为P 、Q 均在平面1111D C B A 上，所以设(),,1P a b ，(),,1Q m n ，则111,1,2A E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,1,1BP a b =--，()1,1,1BQ m n =--． 因为1BP A E ⊥，1BQ A E ⊥，所以()()()()111110,21110,2BP A E a b BQ A E m n ⎧⋅=--+--=⎪⎪⎨⎪⋅=--+--=⎪⎩解得:1,21.2b a n m ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩所以(),,0PQ n b n b =--，()1,1,0BD =--，即()PQ b n BD =-，PQ BD ，所以PQ 与BD 的位置关系是平行．(2)由（1）可知：12b a -=，()11,,0A P a b =-，所以()101A P a a ===≤≤．当14a =时，1A P 有最小值，最小值为． 14．(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）以点A 为坐标原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，用向量法证明；（2）利用向量法计算，判断出点M 不存在.(1)如图所示，以点A 为坐标原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,3),(2,0,0),(0,3,0),(2,2,0),(2,1,0)P B D C N若2DM MP =，则(0,1,2)M ，(2,0,2)MN =-因为PA ⊥平面ABCD ，所以AD PA ⊥又因为,AD AB PA AB A ⊥⋂=所以AD ⊥平面PAB平面PAB 的其中一个法向量为(0,3,0)AD =所以0MN AD ⋅=，即AD MN ⊥又因为MN ⊄平面PAB所以//MN 平面PAB(2)不存在符合题意的点M ，理由如下：(0,3,3),(2,1,0),(2,2,0),PD CD DN =-=-=-设平面PCD 的法向量()1111,,n x y z =则111133020PD n y z CD n x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 不妨令11x =，则1(1,2,2)n = 设PM PDλ=，即,[0,1]PM PD λλ=∈(0,3,3)PM λλ=-则0,3,(3)3M λλ- 12(2,13,33),sin cos ,1MN MN n λλθ=--==+==解得53λ=或13λ=-，不满足[0,1]λ∈，故不存在符合题意的点M .15．(1)证明见解析(2)存在，12【解析】【分析】（1）连接1D E ，1D F ，取1BB 的中点为M ，连接1MC ，ME ，根据E 为1AA 的中点， F 为1BB 的中点，分别得到11//D E MC ，1//BF MC ，从而有1//BF D E ，再由平面的基本性质证明；（2）以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G ，设()0,0,G t ，分别求得平面BEF 的一个法向量()1111,,x n y z =和平面GEF 的一个法向量()2222,,n x y z =，根据平面GEF ⊥平面BEF ，由120n n ⋅=求解.(1)证明：如图所示：连接1D E ，1D F ，取1BB 的中点为M ，连接1MC ，ME ，因为E 为1AA 的中点，所以1111////EM A B C D ，且1111EM A B C D ==，所以四边形11EMC D 为平行四边形，所以11//D E MC ，又因为F 为1BB 的中点，所以1//BM C F ，且1BM C F =，所以四边形1BMC F 为平行四边形，所以1//BF MC ，所以1//BF D E ，所以B ，E ，1D ，F 四点共面；(2)以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G ，设()0,0,G t ，由已知()1,1,0B ，()1,0,1E ，()0,1,1F ， 则()1,1,0EF =-，()0,1,1EB =-，()1,0,1EG t =--，设平面BEF 的一个法向量为()1111,,x n y z =，则1100n EF n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩， 取11x =，则()11,1,1n =；设平面GEF 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则2200n EF n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()1222010x y x t z -+=⎧⎨-+-=⎩， 取21x t =-，则()21,1,1n t t =--；因为平面GEF ⊥平面BEF ，所以120n n ⋅=，所以1110t t -+-+=， 所以12t =.所以存在满足题意的点G ，使得平面GEF ⊥平面BEF ，DG 的长度为12.【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出()0BB m m '=>，根据垂直和唯一的点E 得到方程22210m m λλ-+=由唯一解，根据二次函数根的分布问题求出2m =.【详解】如图，以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB '所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设()0BB m m '=>，则()()0,0,0,1,0,B A m '，()0,1,E m λ，01λ≤≤，则()()1,1,,0,1,A E m m BE m λλ=--'=，则()()2221,1,0,1,10A E BE m m m m m λλλλ⋅=--⋅=-'+=，因为在棱CC '上有唯一的一点E 使得A E EB '⊥，所以22210m m λλ-+=在01λ≤≤上有唯一的解，令()2221f m m λλλ=-+，可知()()011f f ==，故要想在01λ≤≤上有唯一的解，只需42Δ40m m =-=，因为0m >，所以解得：2m =17．B【解析】【分析】求出AB n =-，即n 与AB 平行，从而求出AB α⊥【详解】因为AB n =-，即(342)n =-，，与(342)AB =--，，平行， 所以直线AB 与平面α垂直.故选：B18．B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.【详解】在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，以点D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令12,2(0,0)AB a DD b a b ==>>，O 是底面ABCD 的中心，,E F 分别是11,BB DD 的中点， 则11(,,0),(2,0,2),(2,2,),(2,2,2),(0,0,)O a a A a b E a a b B a a b F b ，1(,,2)OA a a b =-，1(2,2,0),(0,0,)FE a a EB b ==，对于A ，显然1OA 与FE 不共线，即1A O 与EF 不平行，A 不正确；对于B ，因12()2020OA FE a a a a b ⋅=⋅+-⋅+⋅=，则1OA FE ⊥，即1A O EF ⊥，B 正确；对于C ，设平面1EFB 的法向量为(,,)n x y z =，则12200n EF ax ay n EB bz ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x =，得(1,1,0)n =-， 120OA n a ⋅=>，因此1OA 与n 不垂直，即1A O 不平行于平面1EFB ，C 不正确；对于D ，由选项C 知，1OA 与n 不共线，即1A O 不垂直于平面1EFB ，D 不正确.故选：B19．A【解析】【分析】根据平面单位法向量的定义可判断①，根据直线方向向量与平面法向量的关系判断②，根据两平面法向量关系判断③，根据直线与平面垂直的判定定理判断④.【详解】因为一个平面的单位法向量方向不同，所以有2个，故①错误；当一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行时，则这条直线和这个平面垂直，故② 错误；因为两个平面的法向量平行时，平面平行，所以法向量不平行，则这两个平面相交，③正确；若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条相交直线的方向向量，则直线和平面垂直，故④ 错误.故选：A20．A【解析】【分析】由直线的方向向量及平面的法向量的定义即可求解.【详解】解：设正方体ABCD A B C D ''''-的边长为1，则()0,0,0D ，()0,0,1D '，()1,1,0B ，()0,1,1C '，()1,1,1B '，()0,1,0C ，对①：因为(0,0,1)DD '=，所以直线DD '的一个方向向量为1(0,0,1)v =正确； 对②：因为()101BC ,,'=-，所以直线BC '的一个方向向量为2(0,1,1)v =不正确； 对③：因为OA ⊥平面ABB A ''，又()1,0,0OA =，所以平面ABB A ''的一个法向量为1(0,1,0)n =不正确；对④：因为2(1,1,1)n =，()1,1,1DB '=，()0,1,0DC =，211130DB n ++='⋅=≠，201010DC n ⋅=++=≠，所以平面B CD '的一个法向量为2(1,1,1)n =不正确. 故选：A.21．(3,1,1)-（不唯一）【解析】【分析】由题设，1(1,1,2)s =-、2(0,1,1)s =是直线1l 、2l 的方向向量，设面α的法向量(,,)m x y z =，应用空间向量垂直的坐标表示求法向量即可.【详解】由题设，直线1l 、2l 的方向向量分别为1(1,1,2)s =-、2(0,1,1)s =，而12s s λ≠(R)λ∈， 所以直线1l 、2l 不平行，设与两直线1l ，2l 都平行的平面α的一个法向量(,,)m x y z =，所以21200m x y z m z s s y ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⋅⎩⋅，令1z =-，则(3,1,1)m =-. 故与两直线1l ，2l 都平行的平面α的一个法向量的坐标(3,1,1)-.22．(1)见解析【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质证明AB ⊥平面ADEF ，可得AB AF ⊥，再将MN 用,,AB AD AF 表示，再根据向量数量积的运算律证明0MN AD ⋅=，即可得证；（2）根据（1），根据2MN MN =，将MN 用,,AB AD AF 表示，从而可得出答案.(1)证明：在矩形ABCD 中，AB AD ⊥， 因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，且平面ABCD 平面ADEF AD =， AB 平面ABCD ， 所以AB ⊥平面ADEF ，又因AF ⊂平面ADEF ，所以AB AF ⊥， MN MB BA AN =++1133DB BA AE =++()()1133AB AD AB AD AF =--++ 2133AB AF =-+， 所以212103333MN AD AB AF AD AB AD AF AD ⎛⎫⋅=-+⋅=-⋅+⋅= ⎪⎝⎭， 所以MN AD ⊥； (2)解：因为1CD DE ==， 所以1AB AF ==，则222214145339993MN AB AF AB AF AB AF ⎛⎫=-+=+-⋅= ⎪，即MN 23．C 【解析】 【分析】推导出//a b ，利用空间向量法可得出线面关系. 【详解】因为()1,2,1a =--，()2,4,2b =-，则2b a =-，即//a b ，因此，l α⊥. 故选：C. 24．A 【解析】 【分析】由向量AB 与平面法向量的关系判断直线与平面的位置关系． 【详解】因为2AB n -=，所以//AB n ，所以AB α⊥． 故选：A ． 25．C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系，写出点坐标()0,0,0B ，()0,2,0A ，()23,0,0C ，()0,2,2P ，分别计算即可求值. 【详解】建立空间直角坐标系如图：由题意可得()0,0,0B ，()0,2,0A ，()23,0,0C ，()0,2,2P ， 所以()23,2,2PC =--，()0,2,2BP =.设(),,n x y z =，则23220220x y z z y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，取2z =，可得()0,2,2n =-.因为AB BC ⊥，PA BC ⊥，AB AP A =， 所以BC ⊥平面PAB ， 因为BC ⊂平面PBC 所以平面PBC ⊥平面PAB ， 所以m n ⊥，所以cos ,0m n =. 综上所述，A ，B ，D 错，C 正确. 故选：C 26．C 【解析】 【分析】利用面面平行的判定定理、向量位置关系及充分条件的定义即可判断. 【详解】对于A ，l α⊂，m β⊂，且11e n ⊥，22e n ⊥，则α与β相交或平行，故A 错误； 对于B ，l α⊂，m β⊂，且12e e ∥，则α与β相交或平行，故B 错误； 对于C ，11e n ∥，22e n ∥，且12e e ∥，则αβ∥，故C 正确；对于D ，11e n ⊥，22e n ⊥，且12e e ∥，则α与β相交或平行，故D 错误. 故选：C. 27．D 【解析】 【分析】以点E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设()()0,001P m m <<，，，()()00,,01Q n n <<，，根据向量垂直的坐标表示求得112n m =-，再由向量的模的计算公式和二次函数的性质可求得范围. 【详解】解：因为平面四边形ABEF 和四边形CDFE 都是边长为1的正方形，且平面ABEF ⊥CDFE ，所以以点E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如下图所示，则()10,1D ，，11,02G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 设()()0,001P m m <<，，，()()00,,01Q n n <<，， 所以11,2GQ n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，()1,1DP m =--，，又GQ DP ⊥，所以0GQ DP ⋅=，即()111,1,11022n m m n ⎛⎫--⋅--=--= ⎪⎝⎭，，， 整理得112n m =-，所以222222155241+1+24455PQ m n m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又01m <<，所以25552PQ ≤<， 故选：D.28．C【解析】 【分析】根据题意，结合面面垂直的向量证明方法，即可求解. 【详解】由题意可得a ，b 分别是平面α，β的法向量，所以αβ⊥等价于a b ⊥， 即“αβ⊥”是“a b ⊥”的充要条件． 故选：C. 29．B 【解析】 【分析】依据题意得到：①求数量积a b ⋅，得到a b ⊥，即l m ⊥；②求数量积n a ⋅，可得到a n ⊥，故//l α或l α⊂；③利用1n 与2n 的关系，两者既不平行，也不垂直，故两个平面不平行，是相交关系；④利用法向量的定义得到0,0n AB n AC ⋅=⋅=，解出1u =，0=t ，进而可求解． 【详解】①11211221102a b ⋅=⨯-⨯-⨯=--=，所以a b ⊥，即l m ⊥，所以①正确． ②011(1)(1)0a n ⋅=-⨯+-⋅-=，所以a n ⊥，所以//l α或l α⊂，所以②错误． ③因为1260n n ⋅=≠，且12n xn ≠，所以α与β是相交的．所以③错误．④因为(1n =，u ，)t 是平面α的法向量，A (1，0，－1)，B (0，1，0)，C (－1，2，0)，所以(1,1,1),(2,2,1)AB AC =-=-．所以0,0n AB n AC ⋅=⋅=，即10220u t u t -++=⎧⎨-++=⎩，解得1u =，0=t ，所以1u t +=．所以④正确． 故选：B.30．B 【解析】 【分析】根据题意可得AP n ⊥，依次验证是否满足0n AP ⋅=即可. 【详解】设(P x ，y ，)z ，则(2AP x =-，1y +，2)z -； 由题意知，AP n ⊥，则0n AP ⋅=，3(2)(1)2(2)0x y z ∴-+++-=，化简得329x y z ++=.验证得，在A 中，311214⨯-+⨯=，不满足条件； 在B 中，3313292⨯++⨯=，满足条件；在C 中，3313232⨯-+⨯=，不满足条件； 在D 中，()315313242⎛⎫⨯--+⨯-=- ⎪⎝⎭，不满足条件.故选：B. 31．A 【解析】 【分析】根据两个平面的法向量平行即可判断出平面α与平面β平行. 【详解】对于平面α的一个法向量为1(1,2,1)v =，平面β的一个法向量为2(2,4,2)v =---， 因为1212v v =-，所以12v v 、平行.。
空间线面关系的判定(1)
空间线面关系的判定（1）【基础平台】1．直线a 的方向向量为a ，直线b 的方向向量为b ，平面α的法向量为n ，若//,a n b n ⊥，则a 与b 的关系为（ ）A ．a b a b ⊥且与相交 B ．a b a b ⊥且与不相交 C ．a b ⊥ D ．a b 与不一定垂直2．直线a 的方向向量为a ，直线b 的方向向量为b，平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n，则（ ）A ． 若12,a n a n ⊥⊥，则//,//a ααβ且 B ． 若1212//,//,a n b n n n ⊥，则//,//a b βα C ． 若11,a n b n ⊥⊥ ，则//a bD ． 若121//,n n a n ⊥，则////a a αβ或4．四面体ABCD 中，棱AB=AC ，DB=DC ，点M 为棱BC 的中点，则平面ADM 的一个法向量为_______________________；5．正方形边长为12，P A ⊥平面ABCD ，PA=12，则P 到正方形对角线BD 所在直线的距离为_____________； 【自主检测】1．长方体1111A B C D A B C D -中，AB=15，BC=8，则1A A 与平面11BB D D 的距离为 （）A ．12017B ．172C ．8D ．152．在正方体1111ABC D A B C D -中，与1AD 垂直的一个平面是 （ ）A ．平面11D D C C B ．平面1A D B C ．平面1111A B C D D ．平面11A D B 3．AB 为O 的直径，C 为O 上一点，PA 垂直于O 所在的平面，AD PC D AF PB F ⊥⊥于，于，下列命题中正确命题的序号为 ①BC是平面PAC 的法向量； ②PBC AF 是平面的法向量；③AD是平面PBC的法向量； ④PC是平面ADF 的法向量（ ）A ．② ④B ．② ③C ．① ③D ．③ ④4．P 为A B C 所在平面外的一点，PA=PB=PC ，则P 在平面ABC 上的射影O 为A B C 的______心；5．P A ⊥平面ABC ，M 、N 分别为PC 、AB 的中点，使得M N A C ⊥的一个条件为_____________________________；6．在四面体ABCD 中，,,AB DC AC BD AE BC ⊥⊥⊥于E ，连结DE ，求证：BC是平面A D E 的一个法向量．7．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形， 侧棱PD ABCD ⊥底面，PD=DC ，E 是PC 的中 点，作EF PB ⊥交PB 于点F ⑴求证：//PA EDB 平面； ⑵求证：PB EFD ⊥平面．【拓展延伸】已知正方体''''ABCD A B C D -，点M 、N 分别是'B C 与''A C 的中点 （1）求证：//M N 平面''ABB A ；（2）求M N 与平面'AB C 所成角的余弦值 ．空间线面关系的判定（1）【基础平台】１．C ．２．Ｄ．３．BC．４．【自主检测】１．Ａ．２．Ｄ．３．Ｃ．４．外心．５．90BAC ∠= 3【拓展延伸】（１）略（２）arcsin３（DB ＇是平面'AB C 的一个法向量，DB ＇与MN 的夹角的余弦值为3。
空间线面关系经典讲义
基础回顾
立体几何基础知识
一、平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线。
二、空间中线、面的位置关系
1.线线关系
公理示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．
求证：PB∥平面EFG.
3.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
2.线面关系
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。
3.面面关系
平行与垂直
一、直线、平面平行（垂直）的判定及其性质
1．平面与平面的位置关系有、两种情况．
2．直线和平面平行的判定
(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；
(2)直线和平面垂直的性质
①直线垂直于平面，则垂直于平面内直线．
②垂直于同一个平面的两条直线。
③垂直于同一直线的两平面。
8．斜线和平面所成的角
斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．
9．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的判定方法
①定义法
②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的，则这两个平面互相垂直．
(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.
直线的方向向量、平面的法向量以及空间线面关系的判定
方程组
r nnr
• •
r ar b
0 0
aa12
x x
b1 y b2 y
c1z c2z
0 0
可。
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
例3. 在空间直角坐标系内，设平面 经过 点 P(x0 , y0 , z0 ) ，平面 的法向量为 e ( A, B, C)， M (x, y, z) 为平面 内任意一点，求 x, y, z
三、平行关系：
ur ur
设直线
l1 , l2
的方向向量分别为
uur uur
e1 , e2
，平面
1
,
2
的法向量分别为
ur
nur1 ,
n2
，则
ur
ur
线线平行 l1 // l2 e1 // e2 e1 e2 ；
ur uur ur uur
线面平行 l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0 ；
一、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
l
r
r
r
e
直线l上的向量e 以及与e 共线
的向量叫做直线l的方向向量。
r
eB
A
二、平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以
用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。
平直如面于果的平nr⊥法面向，量，那：则如称么果这向表个量示向nr向量叫垂量做直nr平的于面有平向面 线的段法,记所向作在量nr直.⊥线垂，
平行
巩固性训练2
1.设 u, v 分别是平面α,β的法向量,根据
用空间向量解决立体几何中的垂直问题
第2课时用空间向量解决立体几何中的垂直问题学习目标 1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.掌握用向量方法证明有关空间线面垂直关系的方法步骤．知识点一向量法判断线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b ＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.知识点二向量法判断线面垂直设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ(k∈R)．知识点三向量法判断面面垂直思考平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？答案x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.梳理若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(1)平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(×)(2)两直线的方向向量垂直，则两条直线垂直．(√)(3)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(√)(4)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．(√)类型一线线垂直问题例1已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .考点 向量法求解直线与直线的位置关系 题点 方向向量与线线垂直证明 设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OO 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz . 由已知得A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0， B ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，0， N ⎝⎛⎭⎫0，32，14，B 1⎝⎛⎭⎫12，0，1， ∵M 为BC 中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫14，34，0.∴MN -→＝⎝⎛⎭⎫－14，34，14，AB 1-→＝(1,0,1)，∴MN -→·AB 1-→＝－14＋0＋14＝0.∴MN -→⊥AB 1-→，∴AB 1⊥MN .反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1.考点 向量法求解直线与直线的位置关系 题点 方向向量与线线垂直证明 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ，BC ，C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Cxyz .则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)， ∵AC →＝(－3,0,0)，BC 1-→＝(0，－4,4)， ∴AC →·BC 1-→＝0.∴AC ⊥BC 1.类型二 证明线面垂直例2 如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点． 求证：AB 1⊥平面A 1BD .考点 向量法求解直线与平面的位置关系 题点 向量法解决线面垂直证明 如图所示，取BC 的中点O ，连接AO .因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，且平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，AO ⊂平面ABC ，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为坐标原点，OB ，OO 1，OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，则B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)，A (0,0，3)， B 1(1,2,0)．所以AB 1-→＝(1,2，－3)，BA 1-→＝(－1,2，3)， BD -→＝(－2,1,0)．因为AB 1-→·BA 1-→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0. AB 1-→·BD -→＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0.所以AB 1-→⊥BA 1-→，AB 1-→⊥BD -→，即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD . 又因为BA 1∩BD ＝B ，所以AB 1⊥平面A 1BD . 反思与感悟 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 方法一：(1)建立空间直角坐标系． (2)将直线的方向向量用坐标表示．(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量． (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 方法二：(1)建立空间直角坐标系． (2)将直线的方向向量用坐标表示． (3)求出平面的法向量．(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．跟踪训练2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点．求证：直线PB 1⊥平面P AC .考点 向量法求解直线与平面的位置关系 题点 向量法解决线面垂直证明 如图，以D 为坐标原点，DC ，DA ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ， C (1,0,0)，A (0,1,0)，P (0,0,1)，B 1(1,1,2)， PC →＝(1,0，－1)，P A →＝(0,1，－1)， PB 1-→＝(1,1,1)，B 1C -→＝(0，－1，－2)， B 1A -→＝(－1,0，－2)．PB 1-→·PC →＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0，所以PB 1-→⊥PC →，即PB 1⊥PC . 又PB 1-→·P A →＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0， 所以PB 1-→⊥P A →，即PB 1⊥P A .又P A ∩PC ＝P ，所以PB 1⊥平面P AC . 类型三 证明面面垂直问题例3 三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 的中点．证明：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1. 考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面垂直证明 方法一 如图，以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,1，3)． ∵D 为BC 的中点，∴D 点坐标为(1,1,0)， ∴AD →＝(1,1,0)，AA 1-→＝(0,0，3)，BC →＝(－2,2,0)， ∴AD →·BC →＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0， AA 1-→·BC →＝0×(－2)＋0×2＋3×0＝0， ∴AD →⊥BC →，AA 1-→⊥BC →， ∴BC ⊥AD ，BC ⊥AA 1.又A 1A ∩AD ＝A ，∴BC ⊥平面A 1AD .又BC ⊂平面BCC 1B 1，∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1. 方法二 同方法一建系后，得AA 1-→＝(0,0，3)， AD →＝(1,1,0)，BC →＝(－2,2,0)，CC 1-→＝(0，－1，3)． 设平面A 1AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1-→＝0，n 1·AD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0，令y 1＝－1，则x 1＝1，z 1＝0， ∴n 1＝(1，－1,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC →＝0，n 2·CC 1-→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0，令y 2＝1，则x 2＝1，z 2＝33， ∴n 2＝⎝⎛⎭⎫1，1，33. ∵n 1·n 2＝1－1＋0＝0，∴n 1⊥n 2， ∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.反思与感悟 证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．跟踪训练3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点． (1)求证：平面AED ⊥平面A 1FD 1；(2)在直线AE 上求一点M ，使得A 1M ⊥平面AED . 考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面垂直(1)证明 以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为2，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，E (2,2,1)，F (0,1,0)，A 1(2,0,2)，D 1(0,0,2)，∴DA →＝D 1A 1-→＝(2,0,0)，DE →＝(2,2,1)，D 1F -→＝(0,1，－2)． 设平面AED 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝(x 1，y 1，z 1)·(2，0，0)＝0，n 1·DE →＝(x 1，y 1，z 1)·(2，2，1)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝0，2x 1＋2y 1＋z 1＝0. 令y 1＝1，得n 1＝(0,1，－2)．同理，平面A 1FD 1的一个法向量为n 2＝(0,2,1)． ∵n 1·n 2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n 1⊥n 2， ∴平面AED ⊥平面A 1FD 1. (2)解 由于点M 在直线AE 上， 因此可设AM -→＝λAE →＝λ(0,2,1)＝(0,2λ，λ)， 则M (2,2λ，λ)，∴A 1M -→＝(0,2λ，λ－2)． 要使A 1M ⊥平面AED ，只需A 1M -→∥n 1， 即2λ1＝λ－2－2，解得λ＝25. 故当AM ＝25AE 时，A 1M ⊥平面AED .1．下列命题中，正确命题的个数为( )①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔ n 1·n 2＝0；③若n 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，若l 与平面α平行，则n ·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面垂直 答案 C解析 ①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知②③④正确．2．已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为()A．a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)B．a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)C．a＝(0,1，－1)，b＝(0，－1,1)D．a＝(1,0,0)，b＝(－1,0,0)考点向量法求解直线与直线的位置关系题点向量法解决线线垂直答案 B解析因为a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B. 3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交考点向量法求解直线与平面的位置关系题点向量法解决线面垂直答案 B解析∵a∥μ，∴l⊥α.4．平面α的一个法向量为m＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．不能确定考点向量法求解平面与平面的位置关系题点向量法解决面面垂直答案 C解析∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面垂直．5．在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝13，SB＝29，则异面直线SC与BC是否垂直________．(填“是”或“否”)考点向量法求解直线与直线的位置关系题点向量法解决线线垂直答案是解析如图，以A为坐标原点，AB，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz ， 则由AC ＝2，BC ＝13， SB ＝29，得B (0，17，0)，S (0,0，23)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫21317，417，0， SC →＝⎝⎛⎭⎪⎫21317，417，－23， CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－21317，1317，0. 因为SC →·CB →＝0，所以SC ⊥BC .空间垂直关系的解决策略一、选择题1．设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．6 D ．10考点 向量法求解直线与直线的位置关系 题点 方向向量与线线垂直 答案 D解析 因为a ⊥b ，故a ·b ＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m ＝0，解得m ＝10.2．若平面α，β的法向量分别为a ＝(－1,2,4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为( ) A ．10 B ．－10 C.12 D ．－12考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面垂直 答案 B解析 因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直， 所以a ·b ＝(－1,2,4)·(x ，－1，－2)＝0， 解得x ＝－10.3．已知点A (0,1,0)，B (－1,0，－1)，C (2,1,1)，P (x,0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为( ) A ．(1,0，－2) B ．(1,0,2) C ．(－1,0,2)D ．(2,0，－1)考点 向量法求解直线与平面的位置关系 题点 向量法解决线面垂直 答案 C解析 由题意知AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，AP →＝(x ，－1，z )，又P A ⊥平面ABC ，所以有AB →·AP →＝(－1，－1，－1)·(x ，－1，z )＝0，得－x ＋1－z ＝0. ① AC →·AP →＝(2,0,1)·(x ，－1，z )＝0，得2x ＋z ＝0，② 联立①②得x ＝－1，z ＝2，故点P 的坐标为(－1,0,2)．4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1A考点 向量法求解直线与直线的位置关系题点 方向向量与线线垂直答案 B解析 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为1.则C (0,1,0)，B (1,1,0)，A (1,0,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1，1)，A 1(1,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，∴CE →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1，AC →＝(－1,1,0)， BD →＝(－1，－1,0)，A 1D -→＝(－1,0，－1)，A 1A -→＝(0,0，－1)，∵CE →·BD →＝(－1)×12＋(－1)×⎝⎛⎭⎫－12＋0×1＝0，∴CE ⊥BD . 5．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A. (1，－1,1)B.⎝⎛⎭⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎫1，－3，32D.⎝⎛⎭⎫－1，3，－32 考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 法向量求解线面垂直答案 B解析 要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量P A →与平面α的法向量n 是否垂直，即P A →·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，P A →＝(1,0,1)，则P A →·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，P A →＝⎝⎛⎭⎫1，－4，12，则P A →·n ＝⎝⎛⎭⎫1，－4，12·(3,1,2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ， 则( )A ．EF 至多与A 1D ，AC 中的一个垂直B ．EF ⊥A 1D ，EF ⊥ACC ．EF 与BD 1相交D ．EF 与BD 1异面考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求直线的方向向量答案 B解析 以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，设正方体的棱长为1，则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫13，0，13，F ⎝⎛⎭⎫23，13，0，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，∴A 1D -→＝(－1,0，－1)，AC →＝(－1,1,0)，EF →＝⎝⎛⎭⎫13，13，－13，BD 1-→＝(－1，－1,1)，∴EF →＝－13BD 1-→，A 1D -→·EF →＝0，AC →·EF →＝0，从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC ，故选B.7．两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z )，v ＝(－2，－y ，1)，若α⊥β，则y ＋z 的值是( )A ．－3B ．6C ．－6D ．－12考点 向量法求解平面与平面的位置关系题点 向量法求解面面垂直答案 B解析 ∵α⊥β，∴μ·v ＝0，即－6＋y ＋z ＝0，即y ＋z ＝6.二、填空题8.如图所示，在三棱锥A －BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，E 为BC 的中点，则AE →·BC →＝_______.考点 向量法求解直线与直线的位置关系题点 方向向量与线线垂直答案 0解析 因为BE ＝EC ，故AE →＝DE →－DA →＝12(DB →＋DC →)－DA →，在三棱锥A －BCD 中， DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ，故AE →·BC →＝⎣⎡⎦⎤12(DB →＋DC →)－DA →·(DC →－DB →)＝12(DC →2－DB →2)＝0. 9．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量． 其中正确的是________．(填序号)考点 向量法求解直线与直线的位置关系题点 向量法解决线线垂直答案 ①②③解析 AP →·AB →＝(－1,2，－1)·(2，－1，－4)＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，∴AP ⊥AB ，即①正确．AP →·AD →＝(－1,2，－1)·(4,2,0)＝－1×4＋2×2＋(－1)×0＝0.∴AP ⊥AD ，即②正确．又∵AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ，即AP →是平面ABCD 的一个法向量，③正确．10．在△ABC 中，A (1，－2，－1)，B (0，－3,1)，C (2，－2,1)．若向量n 与平面ABC 垂直，且|n |＝21，则n 的坐标为________________．考点 向量法求解线面垂直问题题点 向量法求解线面垂直答案 (－2,4,1)或(2，－4，－1)解析 据题意，得AB →＝(－1，－1,2)，AC →＝(1,0,2)．设n ＝(x ，y ，z )，∵n 与平面ABC 垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4z ，y ＝－2x . ∵|n |＝21，∴x 2＋y 2＋z 2＝21，解得y ＝4或y ＝－4.当y ＝4时，x ＝－2，z ＝1；当y ＝－4时，x ＝2，z ＝－1.三、解答题11.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点．证明：CD ⊥平面P AE .考点 向量法求解直线与平面的位置关系题点 向量法解决线面垂直证明 如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .设P A ＝h ，则A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (4,3,0)，D (0,5,0)，E (2,4,0)，P (0，0，h )．所以CD →＝(－4,2,0)，AE →＝(2,4,0)，AP →＝(0,0，h )．因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP ，而AP ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD⊥平面P AE.12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB＝1，AD＝3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.考点向量法求解直线与直线的位置关系题点方向向量与线线垂直证明 以A 为坐标原点，AD ，AB ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，则P (0,0,1)，B (0,1,0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，12，D ()3，0，0， 设BE ＝x (0≤x ≤3)，则E (x,1,0)，PE →·AF →＝(x,1，－1)·⎝⎛⎭⎫0，12，12＝0， 所以x ∈[0， 3 ]时都有PE ⊥AF ，即无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .13.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ，点E 是PD 的中点．求证：(1)AC ⊥PB ；(2)PB ∥平面AEC .考点 向量法求解直线与直线的位置关系题点 方向向量与线线垂直证明 (1)如图，以A 为坐标原点，AC ，AB ，AP 所在直线分别为x 轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，设AC ＝a ，P A ＝b .则有A (0,0,0)，B (0，b,0)，C (a,0,0)，P (0,0，b )，∴AC →＝(a,0,0)，PB →＝(0，b ，－b )．从而AC →·PB →＝0，∴AC ⊥PB .(2)由已知得D (a ，－b,0)，E ⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，b 2，∴AE →＝⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，b 2. 设平面AEC 的一个法向量为n ，则n ⊥AC →且n ⊥AE →，可得n ＝(0,1,1)．∵n ·PB →＝0，∴n ⊥PB .又PB ⊄平面AEC ，∴PB ∥平面AEC . 四、探究与拓展14.如图，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的比值为( )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶1 答案 B解析 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，设正方形边长为1，P A ＝a ，则B (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，P (0,0，a )．设点F 的坐标为(0，y,0)，则BF →＝(－1，y,0)，PE →＝⎝⎛⎭⎫12，1，－a .因为BF ⊥PE ，所以BF →·PE →＝0，解得y ＝12，即点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，0，所以F 为AD 的中点，所以AF ∶FD ＝1∶1.15.如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：ME ⊥平面BCC 1B 1.考点 向量法求解直线与平面的位置关系题点 向量法解决线面垂直证明 (1)以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ，则BE →＝(3,0,1)，BF →＝(0,3,2)，BD 1→＝(3,3,3)，∴BD 1→＝BE →＋BF →，故BD 1→，BE →，BF →共面．又它们有公共点B ，∴E ，B ，F ，D 1四点共面．(2)设M (0,0，z )，则GM -→＝⎝⎛⎭⎫0，－23，z ，而BF →＝(0,3,2)， 由题设得GM -→·BF →＝－23·3＋z ·2＝0，得z ＝1. ∵M (0,0,1)，E (3,0,1)，∴ME -→＝(3,0,0)，又BB 1→＝(0,0,3)，BC →＝(0,3,0)∴ME -→·BB 1→＝0，ME -→·BC →＝0，从而ME ⊥BB 1，ME ⊥BC .又BB 1∩BC ＝B ，故ME ⊥平面BCC 1B 1.。
精品导学案：立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
第7讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直[最新考纲]1．理解直线的方向向量及平面的法向量．2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． 3．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.知 识 梳 理1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量，与AB →平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n·a ＝0，n·b ＝0.2．空间位置关系的向量表示辨 析 感 悟1．平行关系(1)直线的方向向量是唯一确定的．(×)(2)两不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1＝(1,0，－1)，v 2＝(－2,0,2)，则l 1与l 2的位置关系是平行．(√) 2．垂直关系(3)已知AB →＝(2,2,1)，AC →＝(4,5,3)，则平面ABC 的单位法向量是n 0＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－23，23.(√) (4)(2014·青岛质检改编)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线NO ，AM 的位置关系是异面垂直．(√)[感悟·提升]1．一是切莫混淆向量平行与向量垂直的坐标表示，二是理解直线平行与直线方向向量平行的差异，如(2)．否则易造成解题不严谨．2．利用向量知识证明空间位置关系，要注意立体几何中相关定理的活用，如证明直线a ∥b ，可证向量a ＝λb ，若用直线方向向量与平面法向量垂直判定线面平行，必需强调直线在平面外等.学生用书第125页考点一 利用空间向量证明平行问题【例1】 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .审题路线 若用向量证明线面平行，可转化为判定向量MN →∥DA 1→，或证明MN →与平面A 1BD 的法向量垂直．证明 法一 如图所示，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)．于是MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)．设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )． 则n ·DA 1→＝0，且n ·DB →＝0，得⎩⎨⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1. ∴n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n ， 又MN ⊄平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD .法二 MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→.∴MN →∥DA 1→， 又∵MN 与DA 1不共线， ∴MN ∥DA 1，又∵MN ⊄平面A 1BD ，A 1D ⊂平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD .规律方法 (1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．【训练1】 (2013·浙江卷选编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC . 证明：PQ ∥平面BCD .证明 如图所示，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD ，OP 所在射线为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz .由题意知A (0，2，2)，B (0，－2，0)，D (0，2，0)． 设点C 的坐标为(x 0，y 0,0)， 因为AQ →＝3QC →，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，12.因为点M 为AD 的中点，故M (0，2，1)． 又点P 为BM 的中点，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，所以PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0.又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0,0,1)，故PQ →·a ＝0. 又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD .考点二 利用空间向量证明垂直问题【例2】 (2014·济南质检)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .证明 (1)如图所示，以O 为坐标原点，以射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系O －xyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)， B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)． 于是AP →＝(0,3,4)， BC →＝(－8,0,0)，∴AP →·BC →＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0， 所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC . (2)由(1)知|AP |＝5，又|AM |＝3，且点M 在线段AP 上， ∴AM →＝35AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125， 又BC →＝(－8,0,0)，AC →＝(－4,5,0)，BA →＝(－4，－5,0)， ∴BM →＝BA →＋AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－165，125，则AP →·BM →＝(0,3,4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－165，125＝0， ∴AP →⊥BM →，即AP ⊥BM ， 又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，∴AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC . 又AM ⊂平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BCM .规律方法 (1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键． (2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．【训练2】 如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA1，D ，E ，F 分别为B 1A ，C 1C ，BC 的中点．求证： (1)DE ∥平面ABC ； (2)B 1F ⊥平面AEF .证明 如图，建立空间直角坐标系A －xyz ， 令AB ＝AA 1＝4，则A (0,0,0)，E (0,4,2)，F (2,2,0)，B (4,0,0)，B 1(4,0,4)． (1)取AB 中点为N ，则N (2,0,0)， 又C (0,4,0)，D (2,0,2)，∴DE →＝(－2,4,0)，NC →＝(－2,4,0)， ∴DE →＝NC →.∴DE ∥NC ，又NC 在平面ABC 内，故DE ∥平面ABC .(2)B 1F →＝(－2,2，－4)，EF →＝(2，－2，－2)，AF →＝(2,2,0)，B 1F →·EF →＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， 则B 1F →⊥EF →，∴B 1F ⊥EF ，∵B 1F →·AF →＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0， ∴B 1F →⊥AF →，即B 1F ⊥AF .又∵AF ∩EF ＝F ，∴B 1F ⊥平面AEF .学生用书第126页 考点三 利用空间向量解决探索性问题【例3】 (2014·福州调研)如图，在长方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 的中点． (1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．审题路线 由长方体特征，以A 为坐标原点建立空间坐标系，从而将几何位置关系转化为向量运算．第(1)问证明B 1E →·AD 1→＝0，第(2)问是存在性问题，由DP →与平面B 1AE 的法向量垂直，通过计算作出判定．(1)证明 以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0，B 1(a,0,1)．故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0.∵AD 1→·B 1E →＝－a2×0＋1×1＋(－1)×1＝0， ∴B 1E ⊥AD 1.(2)解 假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)． 使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0)． 又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )．∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋z ＝0，ax2＋y ＝0.取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－a 2，－a要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，有a2－az 0＝0， 解得z 0＝12. 又DP ⊄平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12. 规律方法 立体几何开放性问题求解方法有以下两种：(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；(2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．本题是设出点P 的坐标，借助向量运算，判定关于z 0的方程是否有解．【训练3】 如图所示，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点． (1)求证：AC ⊥SD .(2)若SD ⊥平面P AC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面P AC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由． (1)证明 连接BD ，设AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD . 由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，OS →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系如图．设底面边长为a ，则高SO ＝62a ， 于是S ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，62a ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，于是OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，SD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，－62a ，则OC →·SD →＝0.故OC ⊥SD .从而AC ⊥SD . (2)解 棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面P AC . 理由如下：由已知条件知DS →是平面P AC 的一个法向量， 且DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，62a ，CS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22a ，62a ，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，22a ，0.设CE →＝tCS →，则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS →＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，22a (1－t )，62at ，由BE →·DS →＝0⇔t ＝13.∴当SE ∶EC ＝2∶1时，BE →⊥DS →.又BE 不在平面P AC 内，故BE ∥平面P AC .1．用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想． 2．两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．3．运用向量知识判定空间位置关系，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．思想方法8——运用空间向量研究空间位置关系中的转化思想【典例】 (2013·陕西卷)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2. (1)证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小．(1)证明 法一 由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图．∵AB ＝AA 1＝2，∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)．①由A 1B 1→＝AB →，易得B 1(－1,1,1)．∵A 1C →＝(－1,0，－1)，BD →＝(0，－2,0)，BB 1→＝(－1,0,1)，∴A 1C →·BD →＝0，A 1C →·BB 1→＝0，② ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，且BB 1∩BD ＝B ，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .③ 法二 ∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD .又底面ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C .④又OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1C ＝2，且AC ＝2，∴AC 2＝AA 21＋A 1C 2，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C .又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1，又BB 1∩BD ＝B ，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D . ⑤(2)解 设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )．∵OC →＝(－1,0,0)，OB 1→＝(－1,1,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·OC →＝－x ＝0，n ·OB 1→＝－x ＋y ＋z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－z ，取n ＝(0,1，－1)， 由(1)知，A 1C →＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量，∴cos θ＝|cos<n ，A 1C →>|＝12×2＝12. ⑥ 又0≤θ≤π2，∴θ＝π3.[反思感悟] (1)转化化归是求解空间几何的基本思想方法：①中将空间位置、数量关系坐标化．②和③体现了线线垂直与线面垂直的转化，以及将线线垂直转化为向量的数量积为0.在④与⑤中主要实施线面、线线垂直的转化．⑥中把求“平面夹角的余弦值”转化为“两平面法向量夹角的余弦值”．(2)空间向量将“空间位置关系”转化为“向量的运算”．应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．【自主体验】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，AC ＝BC ＝BB 1.求证：(1)BC 1⊥AB 1；(2)BC 1∥平面CA 1D .证明 如图，以C 1点为原点，C 1A 1，C 1B 1，C 1C 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2,0,2)，B (0，2,2)，C (0,0,2)，A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D (1，1,2)．(1)由于BC 1→＝(0，－2，－2)，AB 1→＝(－2,2，－2)，所以BC 1→·AB 1→＝0－4＋4＝0，因此BC 1→⊥AB 1→，故BC 1⊥AB 1.(2)连接A 1C ，取A 1C 的中点E ，连接DE ，由于E (1,0,1)，所以ED →＝(0,1,1)，又BC 1→＝(0，－2，－2)，所以ED →＝－12BC 1→，又ED 和BC 1不共线，所以ED ∥BC 1，又DE ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ，故BC 1∥平面CA 1D .对应学生用书P321基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知平面α，β的法向量分别为μ＝(－2,3，－5)，v ＝(3，－1，4)，则( )．A ．α∥βB ．α⊥βC ．α、β相交但不垂直D ．以上都不正确解析 ∵－23≠3－1≠－54，∴μ与v 不是共线向量，又∵μ·v ＝－2×3＋3×(－1)＋(－5)×4＝－29≠0，∴μ与v 不垂直，∴平面α与平面β相交但不垂直．答案 C2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )．A ．相交B ．平行C ．在平面内D ．平行或在平面内解析 ∵AB →＝λCD →＋μCE →，∴AB →，CD →，CE →共面．则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内．答案 D3．(2014·泰安质检)已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)三点，向量n ＝(1,1,1)，则以n 为方向向量的直线l 与平面ABC 的关系是( )．A ．垂直B ．不垂直C ．平行D ．以上都有可能解析 易知AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，∴AB →·n ＝－1×1＋1×1＋0＝0，∴AC →·n＝0，则AB →⊥n ，AC →⊥n ，即AB ⊥l ，AC ⊥l ，又AB 与AC 是平面ABC 内两相交直线，∴l ⊥平面ABC .答案 A如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 的位置关系为( )．A ．平行B ．异面C ．垂直D ．以上都不对解析以D 点为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，依题意，可得，D (0,0,0)，P (0,1，3)，C (0,2,0)，A (22，0,0)，M (2，2,0)． ∴PM →＝(2，2,0)－(0,1，3)＝(2，1，－3)，AM →＝(2，2,0)－(22，0,0)＝(－2，2,0)，∴PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2,0)＝0，即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM .答案 C5.如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE .则M 点的坐标为( )．A ．(1,1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫24，24，1 解析 连接OE ，由AM ∥平面BDE ，且AM ⊂平面ACEF ，平面ACEF ∩平面BDE ＝OE ，∴AM ∥EO ，又O 是正方形ABCD 对角线交点，∴M 为线段EF 的中点．在空间坐标系中，E (0,0,1)，F (2，2，1)．由中点坐标公式，知点M 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1. 答案 C二、填空题6．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,1,2)，b ＝(x ，－2，3)，且α⊥β，则x ＝________.解析 ∵α⊥β，∴a ·b ＝x －2＋6＝0，则x ＝－4.答案 －47．已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)．则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．解析 AB →＝(0,1，－1)，AC →＝(1,0，－1)，∴n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，∴n ⊥AB →，n ⊥AC →，故n 也是α的一个法向量．又∵α与β不重合，∴α∥β.答案 平行8．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________．解析 ∵AB →·AP →＝0，AD →·AP →＝0，∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确．又AB →与AD →不平行，∴AP →是平面ABCD 的法向量，则③正确．由于BD →＝AD →－AB →＝(2,3,4)，AP →＝(－1,2，－1)，∴BD →与AP →不平行，故④错误．答案 ①②③三、解答题 9.如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG . 证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD 且ABCD 为正方形，∴AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2，0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0，0,2)，E (0,0,1)，F (0,1,1)，G (1，2,0)．∴PB →＝(2,0，－2)，FE →＝(0，－1,0)，FG →＝(1,1，－1)，设PB →＝sFE →＋tFG →，即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)，∴⎩⎨⎧ t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.∴PB →＝2FE →＋2FG →，又∵FE →与FG →不共线，∴PB →，FE →与FG →共面．∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角．(1)求证：CM ∥平面P AD ；(2)求证：平面P AB ⊥平面P AD .证明以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角，∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4.∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，∴DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32， (1)设n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧ －y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ z ＝12y ，x ＝－32y ， 令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)．∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n ⊥CM →，又CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD .(2)取AP 的中点E ，并连接BE ，则E (3，2,1)，BE →＝(－3，2,1)，∵PB ＝AB ，∴BE ⊥P A . 又BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0，∴BE →⊥DA →，则BE ⊥DA .∵P A ∩DA ＝A .∴BE ⊥平面P AD ，又∵BE ⊂平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面P AD .能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则x ＋y 的值为( )．A.257B.67C.187D.407解析 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP →⊥AB →，BP →⊥BC →，则⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得x ＝407，y ＝－157.于是x ＋y ＝407－157＝257. 答案 A2.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则( )．①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.以上正确说法的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 A 1M →＝A 1A →＋AM →＝A 1A →＋12AB →，D 1P →＝D 1D →＋DP →＝A 1A →＋12AB →，∴A 1M →∥D 1P →，所以A 1M ∥D 1P ，由线面平行的判定定理可知，A 1M ∥面DCC 1D 1，A 1M ∥面D 1PQB 1.①③④正确．答案 C二、填空题3.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱BC ，DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．解析 以D 1A 1，D 1C 1，D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于B 1E ⊥平面ABF ，所以FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1，0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.答案 1三、解答题4．在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．(1)证明如图，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0,0,0)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，P (0,0，a )， F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2. EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a,0)． ∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD .(2)解 设G (x,0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2， 若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a,0,0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2；由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a ) ＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0. ∴G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，即G 点为AD 的中点. 学生用书第128页。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
，则 ur
ur
线线垂直 l1
l2
eu1r
euur2
eur1 e2
0；
uur
线面垂直 l1 1 eu1ur// n1uur e1uur uurn1 ；
面面垂直1 2 n1 n2 n1 n2 0.
巩固性训练1
1.设 a,b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
列条件,判断l1,l2的位置关系.
.
例1 如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，点
M , N 分别在对角线 BD, AE上，且 BM 1 BD, AN 1 AE，
求证：MN // 平面CDE
3
3
Fz
E
N A
B
M
x
D
y
C
例2.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F分别是BB1,，
CD中点，求证：D1F u平uur面AuuDurE uuuur 证明：设正方体棱长为1，以DA，DC,DD1为单位正交
11
F1( 2 , 0,1), D1( 2 , 2 ,1)
A1
C
所以：uAuFur1
(
1 2
,
0,1),
uuuur BD1
(
1 2
,
1 2
,1)
A
By
uuur uuuur cos AF1, BD1
uuur uuuur x uAuuFr1gBuuDu1ur
1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
uur uur uur uur
面面平行 1 // 2 n1 // n2 n1 n2 .
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合.
四、垂直关系：
ur ur
设直线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l1 , l2
的方向向量分别为
uur uur
e1 , e2
，平面
1
,
2
的法向量分别为 ur
n1u,rn2
(1)求证：PA//平面EDB (2)求证：PB⊥平面EFD
P
FE
D
C
A
B
例6：如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四
边形，侧面SBC 底面ABCD。已知
BC=2 ，SA2=SB= . 3
ABC
45A0B=S2，
求证： SA BC.
OB
D
A
例7： RtVABC中，BCA 900,现将VABC沿着平面ABC的法向量
巩固性训练3
1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为
(-2,-4,k),若 // ，则k=
；若
则 k=
。
2、已知 l // ，且 l 的方向向量为(2,m,1)，平面
的法向量为(1,1/2,2),则m=
.
3、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为
(1,1/2,2),且 l ，则m=
基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：
uuur DA
(1,
0,
uuur 0)，DE
(1,1,
,
1)
z
D1
C1
2 设平面ADE的一个法向量
A1
B1
为nr=r(x，uuuyr，z) r uuur 则由n DA 0，n DE 0得
D Ax
E
C
F
y
B
x 0 0 0 则x=0，不妨取y 1，得z 2
三、平行关系：
ur ur
设直线
l1 , l2
的方向向量分别为
uur uur
e1 , e2
，平面
1
,
2
的法向量分别为
ur
nur1 ,
n2
，则
ur
ur
线线平行 l1 // l2 e1 // e2 e1 e2 ；
ur uur ur uur
线面平行 l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0 ；
5 3 10
42
30
所以 BD与1 A所F1成角的余弦值为 10
例8： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB= 5，AD 8,
AA1 4, M为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM .
简解：
z
A(0, 0, 0), A1(0, 0, 4),
一、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
l
r e
r eB
A
二、平面的法向量
以向量给定nr 为一法点向A和量一的个平向面量是nr完,那全么确过定点的A. ,
l
r n
A
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
A1
D1
N
D(0,8,0), M (5, 2, 4)
uuuur
B1 M
C1
uAuuMur (5, 2, 4),
又 x因 为y uD12u1uFzur0(0所, 12以, nr1)=(0，1，所- 2以) uDu1uFur//nr
所以 D1F 平面ADE
例：如图，在直三棱柱ABC -A1 B1C1中，ACB=900， BAC=300，BC=1，A1 A= 6，M是棱CC1的中点。 求证：A1B AM。
z
(1)a (2,1,2),b (6,3,6) 平行
(2)a (1,2,2),b (2,3,2)
垂直
(3)a (0,0,1),b (0,0,3)
平行
巩固性训练2
1.设 u, v 分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5),v (6,4,4) 垂直 (2)u (1,2,2),v (2,4,4) 平行 (3)u (2,3,5),v (3,1,4) 相交
B1 C1
y
M
B
C
z
C1
A1
A1
M
x
C
A
xA
B1
y
B
例4．如图，正方体ABCD ABCD 中，D
E为 DD的中点， 证明：BD //平面AEC
A
E
C
B
D
C
A
B
例5： 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的
向量的坐标a (a1,b1,c1),b (a2,b2, c2 )平面的法向
(3)根据法向量的定义建立关于x,
y,
z的量不惟一， 合理取值即
方程组
r nnr
• •
r ar b
0 0
aa12
x x
b1 y b2 y
c1z c2z
0 0
可。
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
平移到A1B1C1位置，已知 BC CA CC1，取A1B1、A1C1的中 取A1B1、A1C1的中点D1、F1，求BD1与AF1所成的角的余弦值.
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 z
系 C,如xy图z 所示，设 则C：C1 1
C1
F1
D1
B1
A(1, 0, 0), B(0,1, 0),
1