抽象代数

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1.2 变换群
置换群 当Ｍ是有限集时，称M上的对称群SM为 Ｍ上的置换群．若｜Ｍ｜＝n，则记SM为Sn， Sn中 的元素称为Ｍ上的n元置换． 例如，Ｍ＝｛１, 2, …, n }, ∈Sn, 若(i)=bi, 则将 表示为 1, 2 , , n

b , b , , b n 1 2
可逆变换)全体之集SM 关于映射的合成运算 构成一个群,称为M上的对称群. 证明：封闭性 两个一一对应的合成还是一 一对应，即Ａ,Ｂ∈ SM ，有AB∈ SM． 映射的合成运算满足结合律； 单位元就是恒等映射ε: x∈M, ε(x)=x ； f∈ SM，f 可逆，f －１就是 f 的逆元．

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1.2 变换群
推论２
轮换的奇偶性与其长度的奇偶
性相反．
定理1.3
Sn中的所有偶置换之集An关于映射 的合成运算构成一个群,称为n次交错群． 证明：结合律和封闭性是显然的(?)； 恒等映射是偶置换，故有单位元； 注意到(a1a2…am)－１＝am－１ … a2－１a1－１.可知, 偶置换的逆也是偶置换(?),故An中每个元素有 逆元. ■
第一章
群
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1.１群的概念和例子
首先复习一下群的概念
定义
设Ｇ是一个非空集合，如果Ｇ上 定义了一个运算满足 （Ｉ）结合律 a,b,c∈A 有 (ab)c=a(bc)； （Ⅱ）有单位元ｅ：a∈A有 ea=ae=a； （Ⅲ）有逆元 a∈G，有 b∈Ｇ使得
ab=ba=e (其中 b 称为 a 的逆元，记为 a－１ )。
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1.2 变换群
S1={(1)}=A1 是单位元群(只有一个元素的群); S2={(1),(12)}, A2 ={(1)}; S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}; 非交换群 A3 ={(1),(123),(132)}; S4={ (1), (12),(13),(14),(23),(24),(34), (123),(132), (124),(142),(134),(143), (234),(243), (12)(34),(13)(24),(14)(23), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)}; A4={(1),(123),(132), (124),(142),(134),(143), (234),(243), (12)(34),(13)(24),(14)(23),}

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1.2 变换群
定理1.1 每个置换都能分解为一些不相交的轮换的 乘积．若不记轮换的排列顺序,则分解是唯一的. 两个轮换 (a1a2…am)和 (b1b2…bt)不相交是指 {a1,a2,…,am} ∩{b1,b2,…,bt}=Φ. 证明：设 ∈Sn, a1∈M, 令 (ai)=ai+1, i=1, 2, …, 由于M是有限集, 则{a1,a2,…}必为有限集,设为 {a1,a2,…,am},于是有 (am)=a1(为什么?). 令 u1= (a1a2…am).
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1.１群的概念和例子
例４
域Ｆ上的全体n阶可逆方阵GLn(F)关于 矩阵的乘法构成一个群，称为Ｆ上的n阶一般 线性群． 证明：封闭性 可逆矩阵的乘积还是可逆矩 阵，即Ａ,Ｂ∈GLn(F)，有AB∈GLn(F)． 矩阵的乘法满足结合律； 单位矩阵Ｉ就是单位元； Ａ∈GLn(F)，Ａ可逆，A－１就是Ａ的逆元．


β
－１(∑)=β －１(β
(∑))=(β
－１β
)(∑)=ε(∑)=∑.
－１∈Ｇ(∑)
正交变换的逆变换还是正交变换．所以，β
■
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1.2 变换群
例１ 求正四边形的对称性群． 解: 绕中心O分别旋转0°,90°, l3 l2 A3 180°,270°的变换T0,T1,T2, T3都是正四边形的对称性变换. l4 o 关于直线l1,l2,l3,l4的反射Ｓ1,Ｓ2, A0 Ｓ3，Ｓ４也都是正四边形的 对称性变换.下面证明：四边形的对称性群 Ｇ＝｛ T0,T1,T2,T3 ，Ｓ1,Ｓ2,Ｓ3，Ｓ４｝

l1 A2
A1
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1.2 变换群
证明: 设T是正四边形的任一对称性变换，它只能把顶 点变为顶点，必有T(A0)=A i，注意到Ti(A0)=A i，则 有(Ti-1T) (A0)=A0,根据命题1可知, (Ti-1T也是对称性变 换,它保持A0和原点O不动,因而保持 l3 l2 l1 直线A0O不动,于是(Ti-1T) (A2)=A2, A3 A2 且(Ti-1T) (A1)=A1,或A3,(为什么?) l4 o 当(Ti-1T) (A1)=A1时, 必然 (Ti-1T) (A3)=A3, 故Ti-1T=T0 A0 A1
注意: b1b2…bn是１,2,…, n 的一个排列. 且 b1b2…bn 是Sn到１,2,…, n 的全体无重复全排列之集的一个双 射. 因而| Sn|= n!。
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1.2 变换群
当b1b2…bn是奇（偶）排列时[即 含有奇（偶）数个反序]，则说 是奇（偶）置换．

1, 2 , , n b , b , , b n 1 2
同理,有
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1.2 变换群






下面证明分解的唯一性 设有两个不相交的轮换分解 = u1 u2…ur = v1 v2…vt 唯一性是指: r=t, 且 v1,v2,…,vt 是 u1, u2,…,ur的一个排列. 设vi=(a1a2…as), 则 (al) = al+1, l =1,2,…,s-1, (as) = a1, 因为不相交, 则有且仅有一个uj使得 uj(al)=al+1, l=1,2,…,s-1, uj(as)= a1, 可见, uj =(a1a2…as)=vi, 即有且仅有一个uj使得uj=vi, 所以, r=t, 且 v1,v2,…,vt 是u1, u2,…,ur的一个排列. ■

则称Ｇ是一个群． 注意：记住验证运算的封闭性！
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1.１群的概念和例子
实集Ｒ、有理数集Ｑ、整数集Ｚ关于 数的加法都是交换群（满足交换律的群）； 关于数的乘法怎么样？ 例２ 正实集Ｒ＋、正有理数集Ｑ＋关于数的 乘法都是交换群； 正整数集Ｚ＋关于百度文库的乘法怎么样？
例１

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1.2 变换群
在群的研究中,群的元素间有一个重要的关系,叫做 共轭关系. 定义 设G是一个群, a,b∈G,若有g∈G使得a=g-1bg, 则说a与b是共轭的． 共轭技巧: ab=ag-1gb=b(b-1ab) 定义 设 ∈Sn，若 得循环分解为

( a1 , a 2 , , a r1 )( b1 , b2 , , br2 ) ( c1 , c2 , , c rs )
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1.2 变换群
定理1.2 每个置换都能分解为一些对换的乘积．且 分解式中所含对换个数的奇偶性与置换的奇偶性相 同. 证明：根据定理1.1,只需证明 “每个轮换都能表示为一些的对换的乘积”． 事实上，对于任意的轮换(a1a2…am).我们有 (a1a2…am)＝(a1am) (a1am-1) …(a1a3) (a1a2) . 这就证明了分解的存在性. 奇偶性问题的证明略■ 推论１ 奇置换×奇置换=偶置换×偶置换=偶置换; 奇置换×偶置换=偶置换×奇置换=奇置换;
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1.2 变换群

例如．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 6 7 1 5 8 3 9 4
则 α 的循环表示为 Α =(126894)(5)(37)=(126894)(37). 注意：长度为１的轮换(a)就是恒等置换．故 有(1)=(2)=…=(a); 思考：下列轮换有何关系？ (136425),(364251),(425136),(513642).

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1.2 变换群

b1∈M\ {a1,a2,…,am}, 令 (bi)=bi+1,i=1,2,…,
t 使得 (bt)=b1,令 u2= (b1b2…bt). 依此作下去,将得到一系列轮换 u1,u2 , …,这些 轮换是不相交的(为什么?). 进而,这些轮换u1,u2 , …最多有n个 (为什么?). 于是 = u1 u2…ur (为什么?).这就证明了分解 的存在性.

其中0<r1r2 ┅ rs, r
s i 1
i
n
, 则称数组(r1,r2,┅,rs)为
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置换 的型。 规定恒等置换的型为（1）。
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1.2 变换群



引理 设∈，则有 (a1a2┅ar) –1 = ((a1) (a2)┅ (ar))。 证明 x∈{1,2, ┅,n}, 分x∈{(a1) ,(a2),┅ ,(ar)}和 x{(a1) ,(a2),┅ ,(ar)}两种情况验证等式两端的作用即知。 ▊ 命题 Sn中两置换,β 共轭和β具有相同的型。 证明 充分性：设
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1.１群的概念和例子

例３
即方程
设
2 ki n U n k e : k 0 ,1, 2 , , n 1
是n次单位根集．
xn=1
的全部根之集，

n k
1, k 0 ,1, 2 , , n 1 .
不难验证: Ｕn关于数的乘法是一个群．叫做n次 单位根群。
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1.１群的概念和例子
例５
域Ｆ上的行列式为1的全体n阶方阵之 集SLn(F)关于矩阵的乘法构成一个群，称为Ｆ 上的n阶特殊线性群． 例6 实数域R上的全体n阶正交矩阵之集 On(R)关于矩阵的乘法构成一个群，称为n阶 正交群．
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1.2 变换群
对称群：非空集M到自身的一一对应(双射,

令
a1 a r1 b1 b r2 c1 c rs u u v v w w r1 1 r2 1 rs 1

则有–1 。必要性由定理1.1和引理即得。 ▊
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2012-8-2
1.2 变换群
变换群是刻画事物对称性的工具，它可以刻
画图形的对称性，也可以刻画多元函数的对 称性，甚至可以刻画物理系统的对称性． 设∑是一个平面（或空间）图形，如果平面 上（或空间中）的一个正交变换将∑变成与 自己重合，则称此变换为∑的一个对称性变 换.
(u1 , u 2 , , u r1 )( v1 , v 2 , , v r2 ) ( w1 , w 2 , , w rs )

( a1 , a 2 , , a r1 )( b1 , b2 , , br2 ) ( c1 , c2 , , c rs )
置换的循环表示: 设∈Sn, 若 (bi)=bi+1,i=1,2,…,m-1, (bm)=b1, 且 x∈M\{b1,b2,…,bm}, (x)=x, 则称 是一个循环置换（轮换），记为 ＝(b1b2…bm). 其中m为的长度.长度为2的轮换(ab)称为对换．
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1.2 变换群

命题１ 图形∑的全部对称性变换之集Ｇ(∑)关于变换的合成 运算构成一个群，称为∑的对称性群． 证明：封闭性 如果两个正交变换β 和δ 都将∑变成与自己 重合，那么， β 和δ 相继作用于∑后，结果还是将∑变成 与自己重合，所以， β δ 仍然是∑的一个对称性变换. 结合律显然成立． 有单位元 有逆元 恒等变换ε显然是∑的一个对称性变换. β ∈Ｇ(∑)，有∑＝β (∑) ，于是，