常微分方程教学大纲试用
常微分方程教学大纲_356004852
《常微分方程》课程教学大纲授课学时：72 学分：4 作者：陈向华课程类型：专业必修课适用专业：数学与数学与应用专业本科一、课程性质、目的和任务本课程是包头师范学院数学科学学院数学专业的一门专业基础课，也是常微分方程学科本身近代发展方向的重要基础，是数学理论（特别是微积分学）联系实际的重要渠道之一。
本课程的目的是向学生介绍常微分方程的一些最基本的方法，使学生理解常微分方程的基本概念、拓宽数学知识面，为学生进一步学习偏微分方程、微分几何与泛函分析等后继课打好基础。
同时还为培养学生的独立工作能力，处理实际问题的综合应用能力提供了必要的训练，对今后的学习、研究和应用都起到了关键性的作用。
二、课程主要内容概述及教学基本要求主要内容有：绪论、初等积分法、n阶线性微分方程、线性微分方程、一般理论。
要求学生对常微分方程的基本内容有较深刻的理解，掌握基本理论和主要方法，注重运算技能的培养和训练，使学生具有一定的解决实际问题的能力。
三、课程内容第一章：绪论基本要求：了解常微分方程的基本概念，领会常微分方程所讨论问题的基本内容，了解常微分方程的实际背景及应用。
教学内容：第一节基本概念第二节导出微分方程的实例第三节微分方程的几何意义教学重点：常微分方程的基本概念教学难点：导出微分方程的实例第二章：初等积分法基本要求：１、要求学生能够准确地判断给定方程的属类。
２、熟练地掌握一阶方程各种类型的初等解法。
３、根据所给方程的特点，引进适当的变换，增强解题能力，合理的处理某些一阶微分方程的求解问题。
教学内容：第一节变量分离方程第二节齐次方程第三节一阶线性方程与常数变易法第四节黎卡提方程第五节全微分方程与积分因子第六节一阶隐式微分方程第七节应用举例教学重点：、变量分离方程、齐次方程、一阶线性方程与常数变易法、全微分方程与积分因子、应用举例。
教学难点：分离变量法、常数变易法、变量替换法、积分因子法。
第三章：n阶线性微分方程基本要求：要求学生理解和掌握关于线性方程解的基本性质，求一般非齐次线性方程特解的常数变易法。
常微分方程教学大纲
《常微分方程》教学大纲课程名称：常微分方程学时：54学分：课程性质：专业必修课考核方式：考试开课对象：一、教学目的常微分方程是数学各专业必修的基础课之一，目的是要学习和逐步掌握常微分方程的基本理论和方法，学习建立和解决确定性数学模型的思想方法，把数学理论和方法运用到解决实际问题中去。
本课程要求学生能熟练掌握各类微分方程的基本解法，理解和掌握常微分方程的基本理论：存在唯一性定理和线性常微分方程的基本理论。
二、课程内容及学时分配第一章初等积分法（16学时）了解微分方程的背景和基本概念，熟练掌握各类一阶方程(变量分离方程、齐次方程、一阶线性方程、全微分方程、隐式微分方程)、高阶方程的基本解法。
第二章基本定理 (12学时)理解并掌握存在唯一性定理及证明方法—逐次逼进法，掌握解的延拓定理和解的存在区间。
理解解对初始值与参数的连续性，了解解对初始值的可微性。
了解奇解概念和会求奇解。
会应用存在唯一性定理。
第三章一阶线性微分方程（12学时）理解并掌握线性方程与方程组的基本理论：齐次和非齐次线性方程解的性质、函数线性关系、Wronsky行列式、基本解组、齐次和非齐次线性方程的通解结构定理、Liouville公式。
方程组基解方阵的性质。
第四章 n阶线性微分方程（14学时）熟练掌握常系数线性方程与方程组的解法（高阶非齐次可只讲待定系数法，算子法，Laplace 变换可不讲）。
高阶方程的特征方程方法，方程组的基解矩阵求法，指数矩阵exp(At)求法，通解。
三、教材及教学参考书教材：东北师范大学微分方程教研室，常微分方程（第二版），北京：高等教育出版社.2005教学参考书：常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。
常微分方程讲义，叶彦谦编，人教出版社。
常微分方程稳定性理论，许松庆编，上海科技出版社。
常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
四、说明本课程成绩评定方法：平时成绩30%；期末成绩70%。
常微分方程大纲(数学与应用数学专业)
常微分方程教学大纲（The teaching outline of ordinary differential equations）（供四年制数学与应用数学专业2009级试用）课程编号：21210590总学时数：51学分数：3 开课单位：数学科学学院课程的性质与任务常微分方程是一门从数量关系上研究客观现实世界规律性的学科，它在自然科学和工程技术中均有着广泛的应用，是数学与应用数学（师范类）专业教学计划中一门重要的专本课程为考试课程，建议考核方式：闭卷考试。
大纲内容与基本要求第一章绪论第一节常微分方程模型第二节基本概念和常微分方程的发展历史1、常微分方程的基本概念，2、雅可比矩阵与函数相关性，3、常微分方程的发展历史。
教学要求：1、通过简单实际问题的常微分方程模型的建立了解常微分方程的实际背景。
2、掌握常微分方程的基本概念（类型，阶，线性，非线性，解，通解，初值条件，初值问题，特解，积分曲线以及方向场等），通过方向场与欧拉折线了解一阶微分方程与解的几何意义。
3、理解函数相关性概念及结论，了解常微分方程的发展历史。
第二章一阶微分方程的初等解法第一节变量分离方程和变量变换1、变量分离方程，2、可化为变量分离方程的类型，3、应用举例。
第二节线性微分方程与常数变易法第三节恰当微分方程与积分因子1、恰当微分方程，2、积分因子。
第四节一阶隐式微分方程与参数表示1、可以解出y（或x）的方程，2、不显含y（或x）的方程。
教学要求：1、熟练掌握各类一阶显式方程(变量分离方程、齐次方程、准齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程、全微分方程等)的基本解法。
2、理解积分因子的概念，并能寻求特殊形式的积分因子。
第三章一阶微分方程的基本理论第一节一解微分方程的解的存在唯一性定理与逐步逼近法1、初值问题的解的存在唯一性定理，2、近似计算与误差估计。
第二节解的延拓第三节解对初值的连续性和可微性定理第四节奇解1、包络和奇解，2、克莱罗微分方程。
常微分方程教学大纲
《常微分方程》课程教学大纲一课程说明1.课程基本情况课程名称：常微分方程英文名称：Ordinary Differential Equation课程编号：2411208开课专业：数学与应用数学开课学期：第3学期学分/周学时：3/3课程类型：专业主干课2．课程性质（本课程在该专业的地位作用）本课程是数学与应用数学专业的专业主干课程，是整个数学课程体系中的一个重要组成部分。
本课程的教学，对锻炼和提高学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的思想方法有着重要的意义，以及对培养应用型人才方面起着重要的作用。
3．本课程的教学目的和任务掌握各种特殊类型的常微分方程的求解方法，理解常微分方程的基本概念和一些主要的基本理论，对常微分方程的发展有一个整体的认识，会用常微分方程解决一些简单的实际问题。
4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求本课程教学时间安排在第三学期。
它是数学分析和高等代数的后续课程，也是泛函分析、微分几何等的前导课，同时也是常微分方程学科本身近代发展方向的重要基础。
因此，在整个课程体系中起着承上启下的作用。
根据毕节学院生源实际和办学的实际情况，教材建议使用王高雄、周之铭等主编教材《常微分方程》（第三版、高等教育出版社）。
通过对本课程的学习，使学生了解微分方程的相关背景知识、理解和掌握基本概念和一些基本的理论；熟练掌握求解各类一阶线性微分方程及可降阶的高阶微分方程的初等积分法；理解并掌握一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理、解的延拓定理、解对初始值与参数的连续依赖性及解对初始值的可微性；会用常微分方程解决一些简单的实际问题；为学习本学科的后继课程（微分方程数值解法、偏微分方程、微分几何、泛函分析等）打下基础。
5．教学时数及课时分配二教材及主要参考书1．王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松等，常微分方程（第三版），北京：高等教育出版社，2006.2．叶彦谦，常微分方程讲义（第二版），北京：人民教育出版社，1982.3．丁同仁，李承治，常微分方程教程，高等教育出版社，2003.1.4．金忆丹，复变函数与拉普拉斯变换，浙江大学出版社，2004.8.三教学方法和教学手段说明以讲授、板演为主的教学模式，适当地加入了一些讨论式教学方法。
数学系(常微分方程)教学大纲
《数学系（常微分方程）》教学大纲学时：51学时学分：3适用专业：数学、系统科学与工程及控制理论与应用等专业。
大纲执笔人：鲁世平大纲审定人：刘树德一、说明(500字左右)1、课程的性质、地位和任务本课程是高等师范院校数学专业和综合性大学数学专业、系统科学与工程专业、控制理论与应用等专业的一门重要基础课程，它的任务是使学生获得微分方程的有关概念、一阶微分方程的初等解法、微分方程解的存在、唯一性定理、线性微分方程解的理论、线性微分方程的求解方法和线性微分系统理论及其解法等方面的系统知识。
2、课程教学的基本要求（1）掌握微分方程的概念以及一阶微分方程的初等解法。
对微分方程解的存在性和唯一性定理证明的思想有较深刻的认识。
熟练掌握线性微分方程和线性微分系统的理论和各种解法，特别是非齐次线性方程的解法，掌握常数变易法与其它方法的区别。
（2）系统掌握微分方程的基本概念：微分方程的初值问题的解、函数线性相关和线性无关、Wronsky行列式、常数变易法、基解矩阵等。
掌握微分方程有关解的存在性的证明方法；获得较熟练的计算技能和初步的应用能力。
（3）本课程总教学时数为70课时，其中理论课时为57，讨论课时为13。
3、课程教学改革（1）注重能力的培养在教学本课程时，要注重学生变量变换和分析技巧的训练，使得这些技巧成为学生进一步学习和研究的专业技能。
此外，要培养学生利用所学的知识解决实际问题，从而达到培养学生应用能力的目的。
（2）注重本课程知识与其它相关课程的联系在讲授此课程时，要注重本课程与相关课程《线性代数》、《数学分析》和《力学》等之间的联系。
二、大纲内容第一章：基本概念（3课时）[内容要点]常微分方程。
微分方程的解、通解与特解、初始条件与初值问题、方向场与积分曲线、微分方程的实际问题举例[教学要求]1．理解微分方程及其解的定义。
掌握微分方程的一些基本概念，如微分方程的阶数、线性与非线性，通解与特解，初始条件与初值问题等。
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《常微分方程与泛函分析》
课程教学大纲
课程编号：72073
制定单位：统计学院
制定人（执笔人）：徐慧植
审核人：刘庆
制定（或修订）时间：2016年 8 月 31 日
江西财经大学教务处
《微分方程与泛函分析》课程教学大纲
一、课程总述
本课程大纲是以2015年统计学本科专业人才培养方案为依据编制的。
课程名称 微分方程与泛函分析 课程代码
72073
英文名称 Differential equation and functional analysis
课程性质 主干 先修课程 数学分析、高等代数
总学时数 48 周学时数 3 开课学院 统计学院 任课教师 徐慧植 编 写 人 徐慧植 编写时间 2016.08.31 课程负责人
刘庆
大纲主审人
刘庆
使用教材
王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松编，常微分方程，高等教育出版社
教学参考资料
[1]张棣主编，常微分方程，西北大学出版社 [2]叶彦谦编，常微分方程讲义，高等教育出版社
[3]王柔坏，伍卓群编，常微分方程讲义，人民教育出版社
[4]东北师范大学数学系微分方程教研室编，常微分方程，高等教育出版社
课程教学目的
通过该课程的学习,要使学生系统地获得常微分方程的基本知识、基本理论，培养和训练学生运算技能及解决问题的能力；要求学生具有熟练的计算推导能力，逻辑推理能力，空间想象能力及综合运用所学知识分析和解决问题的能力；同时为学习后继课程奠定必要的基础。
课程教学要求
通过该课程的学习,要使学生系统地获得常微分方程的基本知识、 基本理论，掌握一阶、二阶微分方程胡解法及其应用。
本课程的重点和难点
一阶微分方程解的存在定、高阶微分方程、线性微分方程组
课程考试
院考，闭卷，平时成绩20%，期末成绩80%
二、教学时数分配
教学时数分配章目教学内容学时
实验（上
课堂讲授
机）
第一章
绪论 2 2
第二章
一阶方程的初等解法10 10
第三章一阶微分方程解的存在定理
10 10
第四章高阶微分方程
10 10
第五章线性微分方程组
12 12
第六章
非线性微分方程和稳定性（选学内容） 4 4
合计48
三、单元教学目的、教学重难点和内容设置
一、基本概念
课程内容
微分方程及微分方程解的概念及其表示式。
基本要求
1、理解微分方程特别是常微分方程的概念，熟悉微分方程的表示形式。
2、理解并掌握常微分方程的解、通解及满足初值条件的特解及其表示方法。
3、了解一阶常微分方程初值问题及其几何意义。
二、初等积分法
课程内容
分离变量方程和可化为分离变量的方程。
一阶线性方程和可化为一阶线性方程的方程。
恰当方程和积分因子。
一阶隐式方程。
基本要求
1、熟练掌握分离变量方程及齐次方程的求解方法。
了解可化为分离变量方程的类型。
2、熟练掌握一阶线性方程及迫努利（Bernoulli）方程的求解方法。
掌握常数变易法的基本原理。
理解一阶线性方程解的结构。
了解黎卡提（Riccati）方程及特定条件下的求解方法。
3、熟练掌握恰当方程的判别条件及求解方法。
掌握寻求积分因子的基本方法。
4、熟练掌握就y或x解出的一阶隐式方程的求解方法。
3
5、熟练掌握不显含x或y的一阶隐式方程的求解方法。
了解奇解的意义。
6、会用所学方法解决综合问题。
三、基本理论
课程内容
一阶方程解的存在唯一性定理及皮卡(Picard)逐步逼近法。
解的延拓定理。
解对初值的连续性与可微性定理。
高阶线性方程解的存在唯一性定理。
线性方程组解的存在唯一性定理。
基本要求
1、理解一阶方程解的存在唯一性定理，掌握用皮卡(Picard)逐步逼近法证明解的存在唯一性定理的基本原理和方法。
2、理解解的延拓定理及其意义。
3、理解解对初值的连续性与可微性定理及其意义。
4、理解高阶线性方程解的存在唯一性定理，注意定理的条件及解的存在区间。
5、理解线性方程组解的存在唯一性定理，注意定理的条件及解的存在区间。
四、线性方程组及高阶线性方程
课程内容
线性方程组，一阶正规型方程组，高阶线性方程及其之间的关系。
一阶正规型线性齐次方程组解的一般理论及解的结构。
一阶正规型线性非齐次方程组解的结构及常数变易法。
高阶线性齐次方程解的一般理论及解的结构。
高阶线性非齐次方程解的结构及常数变易法。
常系数线性齐次方程组的基本解矩阵及其通解表示。
常系数线性非齐次方程组通解的计算。
拉普拉斯(Laplace)变换的应用。
高阶常系数线性齐次方程的基本解组及通解表示。
高阶常系数线性非齐次方程通解的计算和特解的计算。
欧拉方程。
高阶方程的降阶法及特殊类型的高阶方程的求解方法。
基本要求
1、掌握一般线性方程组和一阶正规型线性方程组之间的关系。
熟练掌握高阶线性方程和一阶正规型方程组之间的等价关系。
2、理解并掌握一阶正规型线性齐次方程组解空间的基本理论与解的结构。
3、理解并掌握一阶正规型线性非齐次方程组解的结构和常数变易法的基本原理。
熟练掌握二维方程组的求解方法。
4、理解并掌握高阶线性齐次方程解空间的基本理论与解的结构。
5、理解并掌握高阶线性非齐次方程解的结构和常数变易法的基本原理。
熟练掌握二阶方程的求解方法。
6、熟练掌握常系数线性齐次方程组的基本解矩阵及通解的计算方法。
7、熟练掌握常系数线性非齐次方程组的通解和特解的计算方法。
掌握用拉普拉斯(Laplace)变换求特解的方法。
8、熟练掌握高阶常系数线性齐次方程的基本解组及通解的计算方法。
4
9、熟练掌握高阶常系数线性非齐次方程通解的计算方法。
熟练掌握待定系数求特解的方法。
熟练掌握二阶线性方程的常数变易法。
掌握幂级数法及拉普拉斯(Laplace)变换法。
10、熟练掌握高阶方程的降阶法。
掌握特殊类型的高阶方程的求解方法。
五、一阶线性偏微分方程
课程内容
一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系。
利用首次积分求解常微分方程组。
一阶线性偏微分方程的解法。
一阶线性偏微分方程的柯西问题。
基本要求
1、理解并熟练掌握一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系。
2、熟练掌握用首次积分求解常微分方程组的方法。
3、理解一阶线性齐次偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程通解结构和求解的几何意义。
熟练掌握一阶线性齐次偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法。
4、掌握一阶线性偏微分方程的柯西问题及求解方法。
六、定性与稳定性理论初步
课程内容
稳定性理论的基本概念。
按第一近似决定稳定性。
李雅普诺夫第二方法。
一般定性理论的基本概念。
奇点与极限环的意义。
基本要求
1、理解稳定、渐近稳定及全局渐近稳定的概念。
2、了解线性方程组零解稳定性的基本结论。
了解一近似方程组稳定性与该方程组稳定性之间的关系。
3、了解李雅普诺夫第二方法的基本思想。
了解应用李雅普诺夫函数确定非线性方程组解的稳定性态的基本方法。
4、理解相平面、相空间，轨线，奇点（平衡点），闭轨线（周期解）等基本概念。
5、了解二维驻定方程组奇点性态的研究方法。
掌握第一近似方程组奇点的类型。
6、了解极限环的意义及其存在性的判别方法。
7、会利用定性与稳定性理论解决一些简单的实际问题。
5。