数理逻辑练习题及答案-1
初中数理逻辑试题及答案
初中数理逻辑试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是（）A. 0或1B. 0或-1C. 1或-1D. 无法确定2. 下列哪个选项是偶数（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 一个三角形的三个内角之和等于（）A. 90°B. 180°C. 270°D. 360°4. 一个数的相反数是它本身，这个数是（）A. 0B. 1C. -1D. 无法确定5. 一个数的绝对值是它本身，这个数是（）A. 非负数B. 非正数C. 非负数或非正数D. 无法确定二、填空题（每题2分，共10分）1. 一个数的平方是25，那么这个数是_________。
2. 一个数的立方是-8，那么这个数是_________。
3. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是_________。
4. 一个数的绝对值是5，那么这个数是_________。
5. 如果一个数的平方根是3，那么这个数是_________。
三、解答题（每题5分，共30分）1. 证明：对于任意实数a和b，(a+b)² = a² + 2ab + b²。
2. 已知一个数的平方是16，求这个数。
3. 一个等腰三角形的底角是45°，求顶角的度数。
4. 一个数的立方是27，求这个数。
5. 一个数的绝对值是3，求这个数。
四、逻辑推理题（每题5分，共10分）1. 如果一个数既是偶数又是质数，那么这个数是（）A. 2B. 4C. 6D. 82. 如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是（）A. 正数B. 负数C. 零D. 正数或零五、应用题（每题10分，共20分）1. 一个长方形的长是宽的两倍，如果宽是5cm，求长方形的周长。
2. 一个数的平方比它的立方小64，求这个数。
答案：一、选择题1. A2. A3. B4. A5. A二、填空题1. ±52. -23. 24. ±55. 9三、解答题1. 证明：(a+b)² = (a+b)(a+b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²。
数理逻辑课后习题答案
数理逻辑课后习题答案数理逻辑课后习题答案数理逻辑是一门研究推理和思维的学科，它涉及到数学和哲学的交叉领域。
在学习数理逻辑的过程中，课后习题是巩固知识和提高能力的重要途径。
本文将为你提供一些数理逻辑课后习题的答案，希望能够帮助你更好地理解和应用这门学科。
1. 逻辑符号的运用习题：将以下自然语言句子转化为逻辑符号表示：a) 如果今天下雨，那么我就带伞。
b) 所有猫都喜欢吃鱼。
c) 除非你努力学习，否则你不会成功。
答案：a) p: 今天下雨q: 我带伞逻辑符号表示：p → qb) p: x是猫q: x喜欢吃鱼逻辑符号表示：∀x(p → q)c) p: 你努力学习q: 你成功逻辑符号表示：p → q2. 命题逻辑推理习题：使用命题逻辑进行推理，判断以下论断是否成立：a) 如果今天是周末，那么我会去看电影。
今天是周末，所以我会去看电影。
b) 如果这只猫是黑色的，那么它是一只黑猫。
这只猫是黑色的，所以它是一只黑猫。
答案：a) 论断成立。
根据前提条件，今天是周末，可以推出结论我会去看电影。
b) 论断不成立。
虽然前提条件是这只猫是黑色的，但不能推出结论它是一只黑猫，因为黑色的猫不一定全身都是黑色的。
3. 谓词逻辑推理习题：使用谓词逻辑进行推理，判断以下论断是否成立：a) 所有猫都喜欢吃鱼。
汤姆是一只猫，所以汤姆喜欢吃鱼。
b) 所有学生都喜欢音乐。
小明是学生，所以小明喜欢音乐。
答案：a) 论断成立。
根据前提条件，所有猫都喜欢吃鱼，可以推出结论汤姆喜欢吃鱼。
b) 论断成立。
根据前提条件，所有学生都喜欢音乐，可以推出结论小明喜欢音乐。
4. 范式化和归结习题：使用范式化和归结法解决以下逻辑问题：a) 给定前提条件：p → q, ¬q → r, ¬r。
证明结论：¬p。
答案：首先，根据前提条件，我们可以得到以下逻辑式：1. p → q2. ¬q → r3. ¬r然后，我们可以将逻辑式1和3应用范式化规则，得到新的逻辑式：4. ¬p → ¬q接下来，我们将逻辑式4和逻辑式2应用归结规则，得到新的逻辑式：5. ¬p → r最后，我们将逻辑式5和前提条件的逻辑式3应用归结规则，得到最终的结论：6. ¬p通过范式化和归结法，我们证明了结论¬p成立。
数理逻辑参考答案
以下是参考答案。
对于较长的答案，只要回答出要点即可。
每题10分。
酌情评分。
1（A）、答案：300元。
源源，田田，晖晖每人拿出100元即可。
1（B）、答案：故选派方案有：(1)派A、C出差；(2)派A、D出差；(3)派A、B、D出差；(4)派C出差(5)派D出差；(6)派B出差；(7)派B、D出差由于题目要派两个人去出差，因此只有方案(1)、(2)、(7)满足要求，即：派A、C出差；派A、D出差；派B、D出差。
2（A）、答案：底下放一个1，然后2 3放在1上面，另外的4 5竖起来放在1的上面。
另外参考：要两人才能做到，先在平面上摆放一枚，再在这枚硬币的正面立着放两枚（这两枚是侧面接触的），这样，这三枚硬币之间形成一个三角形空隙。
剩下的两枚在空隙处交叉就行了，注意这两枚同样是平躺着，但可能需要翘起一定的角度。
2（B）、答案：a=a+b；b=a-b；a=a-b；3（A）、答案：根据I，每条供词都是由供词中没有提到的怀疑对象所作的。
因此，供词与怀疑对象之间的对应关系只有两种可能：A B(1)布拉德：亚当是无辜的。
(1)科尔：亚当是无辜的6(2)科尔：布拉德说的是真话。
(2)亚当：布拉德说的是真话。
(3)亚当：科尔在撒谎。
(3)布拉德：科尔在撒谎。
对于A，(2)支持(1)；而(3)否定(2)，进而否定(1)。
事实上，供词变成了：(1)布拉德：亚当是无辜的。
(2)科尔：亚当是无辜的。
(3)亚当：亚当有罪。
如果“亚当有罪”是真话，那么亚当说了真话而且是有罪的。
根据Ⅱ，这是不可能的。
如果“亚当是无辜的”是真话，那么布拉德和科尔说了真话，而且其中有一人是有罪的。
根据Ⅱ，这也是不可能的。
因此，A是不可能的。
对于B，(3)否定(1)；而(2)支持(3)，进而否定(1)。
事实上，供词变成了：(1)科尔：亚当是无辜的。
(2)亚当：亚当有罪。
(3)布拉德：亚当有罪。
如果“亚当有罪”是真话，那么亚当说了真话而且是有罪的。
根据Ⅱ。
离散数学 练习-第1部分 数理逻辑(解答)
5、下列命题公式为重言式的是（ D ），为矛盾式的是（ C ）
A、(P→Q)⋀Q⋀R
B、(P→P)→Q
C、(Q⋁R)⋀R
D、((P→Q)⋀(Q→R))→(P→R)
6、命题公式 (P→Q) 的主合取范式中含有（ D ）个极大项， 主析取范式中含有（ B ）个极小项 A、0 B、1 C、2 D、3
7、下列式子不正确的是（ D ） A、∃xA(x) ⇔ ∀xA(x) B、∃x(A→B(x)) ⇔ A→∃xB(x) C、∀xA(x) ⇔ ∃xA(x) D、∀x(A(x)→B) ⇔ ∀xA(x)→B
以下方案任选一：①A不去,B不去,C去；②A不去,B去,C不去； ③A去,B不去,C去
9、证明下列谓词公式为永真式
(xF( x) yG( y)) (yG( y) xF( x))
证明：题中的谓词公式为 (P Q) (Q P) 的代换实例
(P Q) (Q P) (P Q) (Q P) (P Q) (P Q) 1 (A A 1)
(P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) m001 m000 m011 m111 m0 m1 m3 m（7 主析取范式） M2 M4 M5 M（6 主合取范式） (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R)
命题“并不是所有汽车都比火车跑得慢”可符号化为（ C ）
命题“说汽车都比火车快是不对的”可符号化为（ C ） A、∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) B、∃x∃y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) C、∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) D、∀x(F(x)∧∃y(G(y)→H(x,y)))
数理逻辑部分1章练习题参考答案
《离散数学》第1章练习题参考答案2017年一、填空题1. 设命题公式)(r q p G ∨⌝∧=，则G 的成真赋值是 100 、 101 、 111 .2. 已知命题公式r q p G →∧⌝=)(，则G 的析取范式为r q p ∨⌝∨.3. 设B A ,为两个命题公式，B A ⇔当且仅当为重言式B A ↔，B A ⇒当且仅当为重言式B A →.4. 已知命题公式),,(r q p A 的主合取范式为530M M M ∧∧，则它的主析取范式为76421m m m m m ∨∨∨∨.5. 已知命题公式),,(r q p A 的成真赋值为000,001,010,100,110，则其主合取范式为357M M M ∧∧.二、选择题1. 设命题公式)(p q p G ⌝→∧=，则使G 的真值为1的p ，q 的取值是 （ C ）（A ） 00 （B ） 01 （C ） 10 （D ） 112. 与命题公式)(r q p →→等值的公式是 （ B ）（A ）r q p →∨)( （B ）r q p →∧)( （C ）)(r q p ∧→ （D ）)(r q p ∨→3. 命题公式p q p →∧)(是 （ A ）（A ）永真式 （B ）永假式 （C ）非永真式的可满足式 （D ）合取范式4. 设命题公式)(),(p q H q p G ⌝→=→⌝=，则G 与H 的关系是 （ D ）（A ）G H ⇔ （B ）G H → （C ）G H ⇒ （D ）H G ⇒5. 下列重言蕴涵式中，不正确的是 （ C ）（A ）Q P Q ∨⇒ （B ）Q P Q →⇒（C ）P Q P Q ⇒→∧⌝)( （D ）Q Q P ⌝⇒→⌝)(三、计算题1. 将下列命题符号化（1）李强不是不聪明，而是不用功 （2）如果天不下雨，我们就去郊游 解 （1）设p ：李强聪明，q ：李强用功.原命题符号化为：q p ⌝∧（2）设p ：天下雨，q ：我们去郊游.原命题符号化为：q p →⌝2.给出下列公式的真值表（1）r q p r q p ⌝∧∧→→∧)(（2）)()()(r p r q q p ⌝∧⌝→→∧∨⌝解略.3. 设命题变项q p ,为1， s r ,为0，试求出下列命题的真值（1）)(r q p ∧∨ （2）)()(s q r p →⌝∧→解 （1）101)01(1)(⇔∨⇔∧∨⇔∧∨r q p（2）010)00()01()()(⇔∧⇔→∧→⇔→⌝∧→s q r p4. 判断下列公式的类型（1）)(r q p p ∨∨→ （2）)()(q p q p ∨⌝→↔解 用真值表知（1）是重言式，（2）是可满足式.5. 求命题公式r q p →∨)(的主合取范式，并求其成假赋值. 解 用真值表可得642)(M M M r q p ∧∧⇔→∨.真值为0的赋值有三种：001，100，110.6. 求命题公式r q p ∨∧)(的主合取范式与主析取范式.解 用真值表法可知42076531)(M M M m m m m m r q p ∧∧⇔∨∨∨∨⇔∨∧四、证明题1. 用等值演算法证明q q p p →→∧)(为重言式. 证 原式q q p p q q p p →∨⌝∧⇔→→∧⇔)()( q q p q q p p ∨∧⌝⇔∨∨⌝∧⌝⇔)())((11⇔∨⌝⇔∨⌝∨⌝⇔p q q p2. 构造下列推理的证明（1）前提：q p q s s r q r →⌝→∨⌝→,,,，结论：p ⌝；（2）前提：s r s p q s r q p ,),)((),()(⌝∨→∧⌝→→⌝，结论：q p ↔；(3) 前提：)(,)(,t p r r q q p ∧⌝⌝⌝∧∨⌝→，结论：t ⌝. 证 （1）用归谬法证明①p 结论的否定引入 ②q p → 前提引入 ③q ①②假言推理 ④q s ⌝→ 前提引入 ⑤s ⌝ ③④拒取 ⑥ s r ∨ 前提引入⑦r ⑤⑥析取三段论 ⑧q r ⌝→ 前提引入 ⑨q ⌝ ⑦⑧假言推理 ⑩q q ⌝∧ ③⑨合取 ⑩得出矛盾，因此，p ⌝是前提的有效结论.（2）① s p q ⌝∨→)( 前提引入② s 前提引入 ③ p q → ①②析取三段论 ④ )()(s r q p ∧⌝→→⌝ 前提引入 ⑤ r 前提引入 ⑥ s r ∧ ②⑤合取 ⑦ q p → ④⑥拒取⑧)p→∧q→③⑦合取(q)(p⑨qp↔⑧置换（3）①r⌝)(前提引入∨∧q⌝r②rq∨⌝①化简③r⌝①化简④)⌝前提引入⌝p∧(t⑤tp⌝∨④置换⑥q⌝②③析取三段论⑦qp→前提引入⑧p⌝⑥⑦拒取⑨t⌝⑤⑧析取三段论。
数理逻辑考试题及答案
数理逻辑考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个选项不是命题逻辑中的联结词？A. 与B. 或C. 非D. 存在答案：D2. 在布尔代数中，以下哪个表达式是正确的？A. ¬(A∧B) = ¬A∨¬ BB. A∧¬ A = AC. A∨¬ A = 1D. A∧(A∨B) = A答案：C3. 以下哪个命题是真命题？A. 如果今天是星期一，那么明天是星期二。
B. 所有的鸟都会飞。
C. 所有的人都是哲学家。
D. 2+2=5答案：A4. 在命题逻辑中，以下哪个命题的否定是正确的？A. 如果A，则B。
B. A且B。
C. A或B。
D. A当且仅当B。
答案：A5. 以下哪个选项是谓词逻辑中的量词？A. 与B. 或C. 存在D. 非答案：C6. 在谓词逻辑中，以下哪个表达式表示“存在一个x，使得x是学生”？A. ∀x (x 是学生)B. ∃x (x 是学生)C. ¬∃x (x 是学生)D. ¬∀x (x 是学生)答案：B7. 以下哪个选项是模态逻辑中的模态词？A. 与B. 或C. 可能D. 非答案：C8. 在模态逻辑中，以下哪个命题表示“必然P”？A. PB. ¬PC. ◊PD. □P答案：D9. 以下哪个命题是逻辑等价的？A. A∧BB. A∨BC. ¬A∧¬ BD. ¬(A∧¬B)答案：C10. 在逻辑推理中，以下哪个选项是演绎推理？A. 归纳推理B. 演绎推理C. 溯因推理D. 类比推理答案：B二、多项选择题（每题3分，共15分）1. 以下哪些选项是命题逻辑中的有效推理形式？A. 从A∧B，可以推出A。
B. 从A∨B，可以推出A。
C. 从A，可以推出A∨B。
D. 从A∧B，可以推出B。
答案：A, C, D2. 在布尔代数中，以下哪些表达式是等价的？A. A∧(B∨¬A)B. A∨(B∧¬A)C. A∧¬ BD. A∨¬ B答案：A, C3. 以下哪些命题是真命题？A. 如果A则B，且A为真，那么B也为真。
最新数理逻辑考试题及答案
“离散数学”数理逻辑部分考核试题答案━━━━━━━━━━━━━━━━━━★━━━━━━━━━━━━━━━━━━数理逻辑考试题及答案一、命题逻辑基本知识（5分）1、将下列命题符号化（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。
共2分）（0）小刘既不怕吃苦，又爱钻研。
解：⌝p∧q，其中，P：小刘怕吃苦；q：小刘爱钻研。
（1）只有不怕敌人，才能战胜敌人。
解：q→⌝p，其中，P：怕敌人；q：战胜敌人。
（2）只要别人有困难，老张就帮助别人，除非困难已经解决了。
解：⌝r→(p→p)，其中，P：别人有困难；q：老张帮助别人；r：困难解决了。
（3）小王与小张是亲戚。
解：p，其中，P：小王与小张是亲戚。
2、判断下列公式的类型（总共5题，完成的题号为学号尾数取5的余，完成1题。
共1分）（0）A：(⌝(p↔q)→((p∧⌝q) ∨(⌝p∧q)))∨ r（1）B：(p∧⌝(q→p)) ∧(r∧q)（2）C：(p↔⌝r) →(q↔r)（3）E：p→(p∨q∨r)（4）F：⌝(q→r) ∧r解：用真值表判断，A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式，E为重言式，F为矛盾式。
3、判断推理是否正确（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。
共2分）（0）设y=2|x|，x为实数。
推理如下：如y在x=0处可导，则y在x=0处连续。
发现y在x=0处连续，所以，y在x=0处可导。
解：设y=2|x|，x为实数。
令P：y在x=0处可导，q：y在x=0处连续。
由此，p为假，q为真。
本题推理符号化为：(p→q) ∧q→p。
由p、q的真值，计算推理公式真值为假，由此，本题推理不正确。
（1）若2和3都是素数，则6是奇数。
2是素数，3也是素数。
所以，5或6是奇数。
解：令p:2是素数，q:3是素数，r:5是奇数，s:6是奇数。
由此，p=1，q=1，r=1，s=0。
本题推理符号化为：((p ∧ q) →s) ∧p ∧q) →(r ∨ s)。
数理逻辑期末考试题及答案
数理逻辑期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个命题与“所有猫都怕水”是等价的？A. 没有猫不怕水B. 所有不怕水的都不是猫C. 有些猫不怕水D. 有些猫怕水2. 如果命题P：x > 0，命题Q：x^2 > 0，那么P是Q的什么条件？A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 逻辑运算符“与”（AND）的真值表中，当两个输入都为真时，输出是什么？A. 假B. 真C. 随机D. 无定义4. 以下哪个是命题逻辑中的有效论证？A. 如果今天是星期一，那么明天是星期二B. 如果今天是星期一，那么明天是星期三C. 如果今天是星期一，那么明天是星期五D. 如果今天是星期一，那么今天是星期二5. 以下哪个命题是真命题？A. 2 + 2 = 5B. 2 + 2 = 4C. 2 + 2 > 4D. 2 + 2 < 46. 以下哪个命题与“如果今天是星期五，那么明天是星期六”是逆命题？A. 如果明天是星期六，那么今天是星期五B. 如果明天不是星期六，那么今天不是星期五C. 如果今天是星期五，那么明天是星期六D. 如果明天是星期六，那么今天是星期六7. 以下哪个命题与“所有的狗都是哺乳动物”是矛盾命题？A. 有些狗不是哺乳动物B. 所有的狗都是哺乳动物C. 所有的哺乳动物都是狗D. 有些哺乳动物不是狗8. 以下哪个命题是假命题？A. 0是自然数B. 1是最小的正整数C. 0是最小的自然数D. 1是最小的正整数且0是最小的自然数9. 以下哪个命题是真命题？A. 所有的偶数都是整数B. 所有的整数都是偶数C. 所有的奇数都是整数D. 所有的整数都是奇数10. 以下哪个命题与“如果今天是星期三，那么明天是星期四”是同一律命题？A. 如果今天是星期三，那么明天是星期四B. 如果明天是星期四，那么今天是星期三C. 如果今天是星期四，那么明天是星期三D. 如果明天不是星期四，那么今天不是星期三答案：1. A2. B3. B4. A5. B6. A7. A8. D9. A10. A二、填空题（每空2分，共20分）1. 命题逻辑中的“或”运算符可以表示为________。
数理逻辑习题答案
P184 习题10.110.1.1 解：⑴①⌝P∧R→Q ；② Q→R ；③ P∧⌝Q⑵①我去镇上，当且仅当我有时间且天不下雪。
②我若去镇上则我有时间，并且我若有时间则去镇上。
③我有时间或我去镇上，此话不对。
（并非如此）10.1.2 解：⑴⇔T∨T∧F⇔T∨F⇔T⑵⇔T∧T∧F∨⌝(T∨T∧(F∨F)) ⇔F∨⌝(T∨T∧F) ⇔F∨F⇔F⑶⇔ (F∧T∨T)∧F∨(⌝(T∧T)∨T) ⇔F∨(F∨T) ⇔T⑷⇔⌝(T∧T)∨T∨( ) ⇔T⑸⇔ (T↔F)∧(F→F) ⇔F∧T⇔F⑹⇔T∨( )↔T∨T⇔T↔T⇔T10.1.3 解：⑴ P：天下雨；Q：我不去；正：⌝P→⌝Q ；逆：⌝Q→⌝P ；反：P→Q 。
⑵ P：你去； Q：我逗留；正：Q→P ；逆：P→Q ；反：⌝Q→⌝P 。
⑶ P：n是大于2的正整数； Q：方程x n+y n=z n无正整数解。
正：P→Q ；逆：Q→P ；反：⌝P→⌝Q。
P201 习题10.210.2.1 解：⑴⑵⑶⑷10.2.2 解：⑴ 否。
∵无论基础条款还是归纳条款都不能产生P ，Q 连在一起的情况。
⑵ 是。
根据基础，P ，Q ，R 是； 根据归纳，⌝P ，(P ∧Q) 皆是；又根据归纳，⌝P →(P ∧Q) 是； 又根据归纳，(⌝P →(P ∧Q))∨R 是。
⑶ 否。
∵无论基础条款还是归纳条款都不能产生∨∧。
⑷ 是。
根据基础，P ，Q ，R 是； 根据归纳，R →P 是；又根据归纳，Q ∧(R →P) 是； 又根据归纳，(Q ∧(R →P))→P 是。
10.2.3 解：⑴ P ∧(P →Q)→Q 36E ⇔⌝(P ∧(⌝P ∨Q))∨Q 7E ⇔⌝((P ∧⌝P)∨(P ∧Q))∨Q 19E ⇔⌝(F ∨(P ∧Q))∨Q 29E ⇔⌝(P ∧Q)∨Q 13E ⇔(⌝P ∨⌝Q)∨Q 4E ⇔⌝P ∨(⌝Q ∨Q) 20E ⇔⌝P ∨T 28E ⇔T⑵ (P →Q)∧(Q →R)→(P →R)36E ⇔⌝[(⌝P ∨Q)∧(⌝Q ∨R)]∨(⌝P ∨R) 7E ⇔⌝[(⌝P ∧⌝Q)∨(⌝P ∧R)∨(Q ∧⌝Q)∨(Q ∧R)]∨(⌝P ∨R) 19E ⇔⌝[(⌝P ∧⌝Q)∨(⌝P ∧R)∨F ∨(Q ∧R)]∨(⌝P ∨R) 29E ⇔⌝[(⌝P ∧⌝Q)∨(⌝P ∧R)∨(Q ∧R)]∨(⌝P ∨R) 14E ⇔[⌝(⌝P ∧⌝Q)∧⌝(⌝P ∧R)∧⌝(Q ∧R)]∨(⌝P ∨R) 13E ⇔[(P ∨Q)∧(P ∨⌝R)∧(⌝Q ∨⌝R)]∨(⌝P ∨R)8E ⇔(P ∨Q ∨⌝P ∨R)∧(P ∨⌝R ∨⌝P ∨R)∧(⌝Q ∨⌝R ∨⌝P ∨R) 20E ⇔(T ∨Q ∨R)∧(T ∨T )∧(T ∨⌝Q ∨⌝P)28E ⇔T ∧T ∧T ⇔ T ⑶ (P →Q)→(⌝P ∨Q)36E ⇔(P →Q)→(P →Q)21E ⇔T ⑷ (P ↔Q)↔(P ∧Q ∨⌝P ∧⌝Q)36E ⇔(P ↔Q)↔(P ↔Q)24E ⇔TP189 习题10.310.3.1 解：⌝P ⇔ P ↓PP ∧Q ⇔ (P ↓P)↓(Q ↓Q) P ∨Q ⇔ (P ↓Q)↓(P ↓Q) P →Q ⇔ (P ↓P ↓Q)↓(P ↓P ↓Q) P ↔Q ⇔ (P ↓P ↓Q)↓(Q ↓Q ↓P) 10.3.2 解：⌝P ⇔ P ↑PP ∧Q ⇔ (P ↑Q)↑(P ↑Q) P ∨Q ⇔ (P ↑P)↑(Q ↑Q)P →Q ⇔ P ↑(Q ↑Q) ⇔ P ↑(P ↑Q) P ↔Q ⇔ (P ↑Q)↑((P ↑P)↑(Q ↑Q)) 10.3.3 解：P ∧Q ⇔ ⌝(⌝P ∨⌝Q) ⇔ ⌝(P →⌝Q) P ∨Q ⇔ ⌝P →QP ↔Q ⇔(P →Q)∧(Q →P)⇔⌝(⌝(P →Q)∨⌝(Q →P))⇔ ⌝((P →Q)→⌝(Q →P)) T ⇔ P →P F ⇔ ⌝(P →P)10.3.4 解：P ∧Q ⇔ ⌝(⌝P ∨⌝Q) ⇔ ⌝(P →⌝Q) ⇔ (P →(Q →F ))→F P ∨Q ⇔ ⌝P →Q ⇔ (P →F ) →Q ⌝P ⇔ P →F T ⇔ P →PP ↔Q ⇔ (P →Q)∧(Q →P) ⇔ ((P →Q)→((Q →P)→F ))→F 10.3.5 解：⌝P ⇔ T PP ∧Q ⇔ P (T Q) P ∨Q ⇔ T ((T P)Q)P ↔Q ⇔ (T (P Q))(T (T (Q P))) F ⇔ T T10.3.6 证：⑴ P ↑Q ⇔⌝(P ∧Q)⇔⌝(Q ∧P)⇔Q ↑P 。
数理逻辑考试题目及答案
数理逻辑考试题目及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 在命题逻辑中，下列哪个命题是永真命题？A. (P → Q) ∧ (Q → R) → (P → R)B. (P → Q) ∧ (¬Q → ¬R) → (P → R)C. (P → Q) ∧ (¬Q → R) → (P → ¬R)D. (P → Q) ∧ (¬Q → ¬P) → (P → ¬Q)答案：A2. 谓词逻辑中的量词“∀”表示什么？A. 存在B. 任意C. 所有D. 唯一答案：C3. 以下哪个命题是命题逻辑中的矛盾命题？A. P ∧ ¬PB. P ∨ ¬PC. P → QD. P ↔ ¬P答案：A4. 在谓词逻辑中，下列哪个量词是存在量词？A. ∀xB. ∃xC. ∀yD. ∃y答案：B5. 以下哪个命题是命题逻辑中的等价命题？A. P → QB. ¬P → ¬QC. P ↔ QD. P ∨ Q答案：C6. 以下哪个命题是命题逻辑中的蕴含命题？A. P ∧ QB. P ∨ QC. P → QD. P ↔ Q答案：C7. 在谓词逻辑中，以下哪个符号表示存在量词？A. ∀B. ∃C. ¬D. →答案：B8. 以下哪个命题是命题逻辑中的析取命题？A. P ∧ QB. P ∨ QC. P → QD. P ↔ Q答案：B9. 在命题逻辑中，以下哪个命题是永假命题？A. P ∧ ¬PB. P ∨ ¬PC. P → QD. P ↔ ¬P答案：A10. 在谓词逻辑中，以下哪个命题是全称量化？A. ∃x P(x)B. ∀x P(x)C. ¬∀x P(x)D. ¬∃x P(x)答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 在命题逻辑中，命题“如果P，则Q”的符号表示为______。
数理逻辑模拟试题
数理逻辑模拟试题1. 题目一A、B、C、D、E五个人中，有一人必然是偷窃者，另外两人要么都是说真话，要么都是说假话。
已知：- A说：“我不是偷窃者。
”- B说：“C是偷窃者。
”- C说：“偷窃者肯定是D。
”- D说：“C在冤枉我。
”- E说：“我不知道谁是偷窃者。
”问：谁是偷窃者？解答：首先根据题目中的信息，我们可以知道只有一个人是偷窃者，因此只能有一个人说真话。
假设A是偷窃者，那么A在说谎，所以C、E也在说谎。
但题目已告知只有两人说真话，与题目矛盾，排除此假设。
假设B是偷窃者，那么C必说真话，而D在说谎，与题目矛盾，排除此假设。
假设C是偷窃者，那么B在说谎，所以D、E也在说谎，与题目矛盾，排除此假设。
假设D是偷窃者，那么C在说谎，所以B、E也在说谎，与题目矛盾，排除此假设。
最后只剩下E可能是偷窃者。
如果E是偷窃者，那么A、B、C、D都在说真话，与题目条件相符。
因此，答案是：E是偷窃者。
2. 题目二已知道以下五个数的排列顺序：2、4、6、8、10。
根据以下条件，判断每个数的位置：- 4比8大。
- 2比6大。
- 8比10大。
- 6不在第一个位置。
解答：根据题目信息，我们可以得出以下推论：- 由第一条信息可知，4必然在8的前面。
- 由第二条信息可知，2必然在6的前面。
- 由第三条信息可知，8必然在10的前面。
- 由第四条信息可知，6不在第一个位置，因此2必然在第一个位置。
综上所述，根据给定的条件，这五个数的排列顺序应为：2、4、6、8、10。
3. 题目三假设有3个箱子，分别标有"A"、"B"、"C"。
已知以下五个陈述中有两个是真的，而另外三个是假的：- A箱子标签放在B箱子上。
- B箱子标签放在C箱子上。
- C箱子标签放在A箱子上。
- A箱子的物品被放在B箱子上。
- A箱子的物品不在C箱子上。
问：物品放在哪个箱子上？标签放在哪个箱子上？解答：根据题目信息，我们可以得出以下推论：- 如果A箱子标签放在B箱子上，那么第一条陈述就是真的。
大学数学数理逻辑练习题及答案
大学数学数理逻辑练习题及答案第一题：简述“蕴涵”与“等价”的概念及其区别，并给出一个例子进行说明。
蕴涵和等价是数理逻辑中常用的两个概念，它们主要用于描述命题之间的逻辑关系。
蕴涵是指一个命题可以推出另一个命题，也可以理解为一个命题包含了另一个命题。
记作p→q，读作p蕴涵q。
当p为真时，q必为真；当p为假时，q可以为真也可以为假。
蕴涵关系可以用真值表来表示。
等价是指两个命题具有相同的真值，即当其中一个命题为真时，另一个命题也为真；当其中一个命题为假时，另一个命题也为假。
记作p↔q，读作p等价于q。
等价关系也可以通过真值表来表示。
例子：命题p：如果今天下雨，那么地面湿润。
命题q：地面湿润的话，那么今天一定下雨。
根据上述命题可以得出以下结论：p蕴涵q：如果今天下雨，那么地面湿润。
即p→q。
q蕴涵p：如果地面湿润，那么今天下雨。
即q→p。
p等价于q：今天下雨当且仅当地面湿润。
即p↔q。
以上例子通过逻辑关系中的蕴涵和等价来描述了“下雨”和“地面湿润”之间的关系。
第二题：证明蕴涵的逆否命题成立。
蕴涵的逆否命题是由蕴涵命题转化得到的。
对于蕴涵命题p→q，其逆否命题为非q→非p。
假设p为真，q为假。
根据蕴涵命题的定义，当p为真时，q为假，则非q为真，非p也为真。
所以非q→非p成立。
假设p为真，q为真。
根据蕴涵命题的定义，当p为真时，q为真，则非q为假，非p也为假。
所以非q→非p成立。
假设p为假，q为真。
根据蕴涵命题的定义，当p为假时，q可以为真也可以为假，所以非q为假，非p也为假。
所以非q→非p成立。
假设p为假，q为假。
根据蕴涵命题的定义，当p为假时，q可以为真也可以为假，所以非q为真，非p也为真。
所以非q→非p成立。
综上所述，蕴涵的逆否命题非q→非p成立。
第三题：使用真值表判断以下复合命题的真假，并给出判断步骤：命题：(p∧q)∨(¬p∧¬q)为了判断复合命题的真假，我们可以使用真值表。
真值表的步骤如下：1. 写出各命题变量p和q的所有可能的真值组合。
数理逻辑部分综合练习题
数理逻辑部分综合练习一、单项选择题1．设P：我将去打球，Q：我有时间．命题“我将去打球，仅当我有时间时”符号化为( )．A．P∨⌝P⌝Q→ B．QP→ C．QP↔ D．Q 2．命题公式P?Q的合取范式是 ( )．A．P?Q B．（P?Q）?（P?Q）C．P?Q D．?（?P??Q）3．命题公式)⌝的析取范式是( )．P→(QA．Q⌝ D．QP∨P⌝∨P⌝⌝ C．Q∧ B QP∧4．下列公式成立的为( )．A．?P??Q ? P?Q B．P??Q ? ?P?QC．Q?P ? P D．?P?(P?Q)?Q5．下列公式 ( )为重言式．A．?P??Q?P?Q B．(Q?(P?Q)) ?(?Q?(P?Q))C．(P?(?Q?P))?(?P?(P?Q)) D．(?P?(P?Q)) ?Q6．设A（x）：x是人，B（x）：x是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（）．A．(∀x)(A(x)?B(x)) B．?(∃x)(A(x)?B(x))C．?(?x)(A(x)?B(x)) D．?(∃x)(A(x)??B(x))7．设A（x）：x是人，B（x）：x是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（）．A．(?x)(A(x)?B(x)) B．(?x)(A(x)?B(x))C．?(?x)(A(x)?B(x)) D．?(?x)(A(x)??B(x))8．表达式))yQyRxzx∀∨∀中x∧∃xP→((,)(y))(zQ((z),∀的辖域是( )．A．P(x, y) B．P(x, y)?Q(z) C．R(x, y) D．P(x, y)?R(x, y) 9．在谓词公式(?x)(A(x)→B(x)?C(x，y))中，（）．A．x，y都是约束变元 B．x，y都是自由变元C．x是约束变元，y都是自由变元 D．x是自由变元，y都是约束变元补充题：设个体域为自然数集合，下列公式中是真命题的为 ( )A．)1∃∀y+yx(=xy⋅(=∃∀yxx B．)0C．)yxyx=+∃∀(y2yxyx=⋅∃ D．)∀(x二、填空题1．命题公式()→∨的真值是．P Q P2．设P：他生病了，Q：他出差了．R：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为．3．含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P?Q的主析取范式是．4．设个体域D＝{a, b},那么谓词公式)xA∀∨x∃消去量词后的等值式)yB((y为．5．设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x小于3”，则谓词公式(?x)A(x) 的真值为．6．谓词命题公式(?x)((A(x)?B(x)) ?C(y))中的自由变元为 .三、公式翻译题1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．4．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．命题公式P P⌝∧的真值是1．2．命题公式?P∧(P??Q)∨P为永真式．3．下面的推理是否正确，请给予说明．五．计算题1．求P?Q?R的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．2．设谓词公式()((,)()(,,))()(,)∃→∀∧∀．x P x y z Q y x z y R y z（1）试写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元．3．设个体域为D={a1, a2}，求谓词公式?y?xP(x,y)消去量词后的等值式．六、证明题1．试证明命题公式 (P?(Q??R))??P?Q与?（P??Q）等价．2．试证明(?x)(P(x)?R(x))?(?x)P(x)?(?x)R(x)．。
数理逻辑_复习题及参考答案
从一份模拟试题中抽取出来的《数理逻辑》复习题及参考答案一、单选题（每小题2分，共20分）1 以下语句是命题的是（ ）。
A ． y 等于x 。
B ． 每个自然数都是奇数。
C ． 请爱护环境。
D ． 你今天有空吗？2 设α是一赋值，α(p)= α(q)=1，α(r)=0，下列公式的值为假的是（ ）。
A ．p ∧(q ∨r)B ．(p ✂r) ↔ (¬r ✂q)C ．(r ✂q) ∧(q ✂p)D ．(r ✂q)3 以下联结词的集合（ ）不是完备集。
A ．{¬,∧,∨, ✂,↔}B ．{¬,∧,∨}C ．{¬, ✂}D ．{∧,∨}4 公式A 的对偶式为A*，下列结果成立的是（ ）。
A ．A ↔A*B ．¬A ↔A*C ．A|=|A*D ．¬A|=|A*5 假设论域是正整数集合，下列自然语言的符号化表示中，（ ）的值是真的。
A ．∀x ∃yG(x,y)，其中G(x,y)表示xy=yB ．∀x ∀yF(x,y)，其中F(x,y)表示x+y=yC ．∃x ∀yH(x,y)，其中H(x,y)表示x+y=xD ．∀x ∀yM(x,y)，其中M(x,y)表示xy=x6．以下式子错误的是（ ）。
A ．∀x ¬A(x) |=| ¬∃xA(x)B ．∀x(A(x)∧B(x)) |=| ∀xA(x)∧∀x B(x)C ．∃x(A(x)∨B(x)) |=| ∃xA(x)∨∃x B(x)D ．∀x(A(x)∨B(x)) |=| ∀xA(x)∨∀x B(x)7. 下列式子（ ）不正确。
A ．{x}∈{{x}}B ．{x}∈{{x},x}C ．{x}⊆{{x}}D ．{x}⊆{{x},x}二、填空题（每小题2分，共20分）1．句子“只有小王爱唱歌，他才会弹钢琴。
”中，把“小王爱唱歌”形式化为命题符p ，“小王会弹钢琴”形式化为命题符q ，则句子形式化为公式 。
数理逻辑练习题及答案-1
命题逻辑基本概念1．将下列命题符号化。
（1）刘晓月跑得快，跳得高。
（2）老王是山东人或河北人。
（3）因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
（4）王欢与李乐组成一个小组。
（5）李辛与李末是兄弟。
（6）王强与刘威都学过法语。
（7）他一面吃饭，一面听音乐。
（8）如果天下大雨，他就乘班车上班。
（9）只有天下大雨，他才乘班车上班。
（10）除非天下大雨，他才乘班车上班。
（11）下雪路滑，他迟到了。
（12）2与4都是素数，这是不对的。
（13）“2或4是素数，这是不对的”是不对的。
2．将下列命题符号化，并给出各命题的真值：（1）若3＋2＝4，则地球是静止不动的。
（2）若3＋2＝4，则地球是运动不止的。
（3）若地球上没有树木，则人类不能生存。
（4）若地球上没有水，则是无理数。
3．将下列命题符号化，并给出各命题的真值：（1）2＋2＝4当且仅当3＋3＝6。
（2）2＋2＝4的充要条件是3＋3≠6。
（3）2＋2≠4与3＋3＝6互为充要条件。
（4）若2＋2≠4，则3＋3≠6，反之亦然。
4．设p：2+3=5。
q：大熊猫产在中国。
r：复旦大学在广州。
求下列复合命题的真值：（1）(p q)→r（2）(r→(p∧q))┐p（3）┐r→(┐p∨┐q∨r)（4）(p∧q∧┐r)((┐p∨┐q)→r)5．用真值表判断下列公式的类型：（1）p→(p∨q∨r)（2）(p→┐q)→┐q（3）┐(q→r)∧r（4）(p→q)→(┐q→┐p)（5）(p∧r)(┐p∧┐q)（6）((p→q)∧(q→r))→(p→r)（7）(p→q)(r s)答案1．（1）p∧q，其中，p：刘晓月跑得快，q：刘晓月跳得高。
（2）p∨q，其中，p：老王是山东人，q：老王是河北人。
（3）p→q，其中，p：天气冷，q：我穿了羽绒服。
（4）p，其中，p：王欢与李乐组成一个小组，是简单命题。
（5）p，其中，p：李辛与李末是兄弟。
（6）p∧q，其中，p：王强学过法语，q：刘威学过法语。
数理逻辑部分综合练习附答案
数理逻辑部分综合练习及答案一、单项选择题1．设P ：我将去打球，Q ：我有时间．命题“我将去打球，仅当我有时间时”符号化为( )．A ．P Q →B ．Q P →C ．Q P ↔D ．Q P ⌝∨⌝因为语句“仅当我有时间时”是“我将去打球”的必要条件，一般地，当语句是由“……，仅当……”组成，它的符号化用条件联结词→．所以选项B 是正确的．正确答案：B问：如果把“我将去打球”改成“我将去学习”、“我将去旅游”等，怎么符号化呢？2．命题公式P ∨Q 的合取范式是 ( )．A ．P ∧QB ．（P ∧Q ）∨（P ∨Q ）C ．P ∨QD ．⌝（⌝P ∧⌝Q ）复习合取范式的定义：定义6.6.2 一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式：A 1∧A 2∧…∧A n ， （n ≥1）其中A 1，A 2，…，A n 均是由命题变元或其否定所组成的析取式．由此可知，选项B 和D 是错的．又因为P ∧Q 与P ∨Q 不是等价的，选项A 是错的．所以，选项C 是正确的． 正确答案：C3．命题公式)(Q P →⌝的析取范式是( )．A ．Q P ⌝∧B Q P ∧⌝C ．Q P ∨⌝D ．Q P ⌝∨复习析取范式的定义：定义6.6.3 一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式：A 1∨A 2∨…∨A n ， （n ≥1）其中A 1，A 2，…，A n 均是有命题变元或其否定所组成的合取式．由教材第167页中的蕴含等价式知道，公式)(Q P →⌝与Q P ⌝∧是等价的，Q P ⌝∧满足析取范式的定义，所以，选项A 是正确的．正确答案：A注：第2，3题复习了合取范式和析取范式的概念，大家一定要记住的。
如果题目改为求一个变元（P 或⌝P ）命题公式的合取范式或析取范式，那么答案是什么？4．下列公式成立的为( )．A ．⌝P ∧⌝Q ⇔ P ∨QB ．P →⌝Q ⇔ ⌝P →QC ．Q →P ⇒ PD ．⌝P ∧(P ∨Q )⇒Q因为： ⌝P ∧(P ∨Q )⇒Q （析取三段论，P171公式(10)）所以，选项D 是正确的．正确答案：D5．下列公式 ( )为重言式．A ．⌝P ∧⌝Q ↔P ∨QB ．(Q →(P ∨Q )) ↔(⌝Q ∧(P ∨Q ))C ．(P →(⌝Q →P ))↔(⌝P →(P →Q ))D ．(⌝P ∨(P ∧Q )) ↔Q由教材第167页中的蕴含等价式，得(P →(⌝Q →P )) ⇔⌝P ∨(Q ∨ P )，(⌝P →(P →Q )) ⇔ P ∨ (⌝P ∨Q )所以，C 是重言式，也就是永真式．正确答案：C说明：如果题目改为“下列公式 ( )为永真式”，应该是一样的．6．设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（ ）．A ．(∀x )(A (x )∧B (x )) B ．⌝(∃x )(A (x )∧B (x ))C ．⌝(∀x )(A (x )→B (x ))D ．⌝(∃x )(A (x )∧⌝B (x ))由题设知道，A (x )→B (x )表示只要是人，就是学生，而“不是所有”应该用全称量词的否定，即⌝∀x ，得到公式C ．正确答案：C7．设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（ ）．A ．(∃x )(A (x )∧B (x )) B ．(∀x )(A (x )∧B (x ))C ．⌝(∀x )(A (x )→B (x ))D ．⌝(∃x )(A (x )∧⌝B (x ))选项A 中的A (x )∧B (x )表示x 是人，而且是工人，∃x 表示存在一个人，有一个人，因此(∃x )(A (x )∧B (x ))表示“有人是工人”．正确答案：A8．表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀中x ∀的辖域是( )．A ．P (x , y )B ．P (x , y )∨Q (z )C ．R (x , y )D ．P (x , y )∧R (x , y )所谓辖域是指“紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖域”．那么看题中紧接于量词∀x 之后最小的子公式是什么呢？显然是P (x , y )∨Q (z )，因此，选项B 是正确的．正确答案：B注：如果该题改为判断题，即表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀中x ∀的辖域是P (x , y )如何判断并说明理由呢？9．在谓词公式(∀x )(A (x )→B (x )∨C (x ，y ))中，（ ）．A ．x ，y 都是约束变元B ．x ，y 都是自由变元C ．x 是约束变元，y 都是自由变元D ．x 是自由变元，y 都是约束变元约束变元就是受相应的量词约束的变元．而自由变元就是不受任何量词约束的变元．所以选项C 是正确的． 正确答案：C注：如果该题改为填写约束变元或自由变元的填空题，大家也应该掌握．补充题：设个体域为自然数集合，下列公式中是真命题的为 ( )A ．)1(=⋅∃∀y x y xB ．)0(=+∃∀y x y xC ．)(x y x y x =⋅∀∃D ．)2(y y x y x =+∀∃因为选项A 表示：对任一自然数x 存在自然数y 满足xy =1，这样的y 是不存在的选项B 表示：对任一自然数x 存在自然数y 满足x +y =0，这样的y 也是不存在的选项C 表示：存在一自然数x 自然数对任意自然数y 满足xy =x ，取x =0即可，故选项C 正确正确答案：C二、填空题1．命题公式()P Q P →∨的真值是 ．因为()P Q P →∨⇔⌝P ∨(Q ∨P ) ⇔1，所以应该填写：1．应该填写：1问：命题公式Q Q →、Q Q ⌝∨的真值是什么？2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 ．一般地，当语句是由“如果……，那么……”，或“若……，则……”组成，它的符号化用条件联结词→． 应该填写：(P ∨Q )→R3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 ．复习主析取范式的定义：定义6.6.5 对于给定的命题变元，如果有一个等价公式，它仅仅有小项的析取组成，则该等价式称为原式的主析取范式．而小项的定义是：定义6.6.4 n 个命题变元的合取式，称为布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次．由小项的定义知道，命题公式P ∧Q 中缺少命题变项R 与它的否定，因此，应该补上，即P ∧Q ⇔P ∧Q ∧ (R ∨⌝R ) ⇔(P ∧Q ∧ R ) ∨(P ∧Q ∧⌝R )得到命题公式P ∧Q 的主析取范式．应该填写：(P ∧Q ∧R )∨ (P ∧Q ∧⌝R )4．设个体域D ＝{a , b },那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为 ． 因为在有限个体域下，消除量词的规则为：设D ＝{a 1, a 2, …, a n }，则)(...)()()(21n a A a A a A x xA ∧∧∧⇔∀)(...)()()(21n a A a A a A x xA ∨∨∨⇔∃所以，应该填写：(A (a )∨ A (b ))∨ (B (a )∧ B (b ))应该填写：(A (a )∨ A (b ))∨ (B (a )∧ B (b ))注：如果个体域是D ＝{1, 2}，D ={a , b , c }, 或谓词公式变为(()())x A x B x ∃∨，怎么做?5．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A (x )为“x 小于3”，则谓词公式(∃x )A (x ) 的真值为 ．因为 (∃x )A (x )⇔A (1)∨A (2)∨A (3)⇔1∨1∨0⇔1应该填写：1注：若个体域D ＝{1, 2}，A (x )为“x 小于3”，则谓词公式(∃x )A (x ) 的真值是什么？或：设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x是奇数”，则谓词公式(∃x)A(x) 的真值是什么？6．谓词命题公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中的自由变元为．因为自由变元就是不受任何量词约束的变元，在公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中，y是不受全称量词∀约束的变元．所以应该填写：y．应该填写：y问: 公式中的约束变元是什么?判断：谓词命题公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中的自由变元为x，是否正确?为什么?三、公式翻译题1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．解：设P：今天是天晴；则命题公式为：P．问：“今天不是天晴”的命题公式是什么？2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．解：设P：小王去旅游，Q：小李去旅游，则命题公式为：P∧Q．注：语句中包含“也”、“且”、“但”等连接词，命题公式要用合取“∧”．3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．解：设P：他去旅游，Q：他有时间，则命题公式为：P→Q．注：命题公式的翻译还要注意“不可兼或”的表示．例如，教材第164页的例6 “T2次列车5点或6点钟开．”怎么翻译成命题公式？这里的“或”为不可兼或．4．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．解：设P(x)：x是人，Q(x)：x努力工作．谓词公式为：(∀x)(P(x)→ Q(x))．四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）⌝∧的真值是1．1．命题公式P P解错误．⌝∧是永假式（教材167页的否定律）．因为P P2．命题公式⌝P∧(P→⌝Q)∨P为永真式．解：正确注：如果题目改为该命题公式为永假式，如何判断并说明理由？3．下面的推理是否正确，请给予说明．(1) (∀x)A(x) ∧ B(x) 前提引入(2) A(y) ∧B(y) US (1)解：错第2步应为：A(y) ∧B(x)因为A(x)中的x是约束变元，而B(x)中的x是自由变元，换名时，约束变元与自由变元不能混淆．五．计算题1．求P→Q∨R的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．分析：定义6.6.7 对于给定的命题变元，如果有一个等价公式，它仅仅有大项的合取组成，则该等价式称为原式的主合取范式．定义6.6.6 n个命题变元的析取式，称为布尔析取或大项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次．解析取范式，合取范式、主析取范式的定义前面复习过了，由教材167的蕴含等价式P→Q∨R ⇔⌝P∨Q∨R（析取范式、合取范式、主合取范式）⇔(⌝P ∧(Q ∨⌝Q )∧(R ∨⌝R ))∨((P ∨⌝P )∧Q ∧(R ∨⌝R ))∨((P ∨⌝P )∧(Q ∨⌝Q )∧R )（补齐命题变项）⇔(⌝P ∧Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R )∨(P ∧Q ∧R )∨(P ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧Q ∧R )∨(P ∧⌝Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧R ) （∧对∨的分配律）⇔(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧R )∨(P ∧⌝Q ∧R )∨(P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧Q ∧R ) （主析取范式）注：如果题目只是求“析取范式”或“合取范式”，大家一定不要再进一步求“主析取范式”或“主合取范式”． 例如：求（P ∨Q ）→R [或(P ∨Q )→(R ∨Q )，P →Q ∧R ]的合取范式、析取范式．2．设谓词公式()((,)()(,,))()(,)x P x y z Q y x z y R y z ∃→∀∧∀．（1）试写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元．解 （1）量词x ∃的辖域为(,)(,,)P x y zQ y x z →∀，z ∀的辖域为(,,)Q y x z ，y ∀的辖域为(,)R y z ．（2）自由变元为(,)(,,)P x y zQ y x z →∀中的y ，(,)R y z 中的z ．约束变元为(,)(,,)P x y zQ y x z →∀中的x ，(,,)Q y x z 中的z ，(,)R y z 中的y ．3．设个体域为D ={a 1, a 2}，求谓词公式∀y ∃xP (x ,y )消去量词后的等值式．解：∀y ∃xP (x , y ) ⇔(∃xP (x , a 1))∧(∃xP (x , a 2))⇔(P (a 1, a 1)∨P (a 2, a 1))∧(P (a 1, a 2)∨P (a 2, a 2))六、证明题1．试证明命题公式 (P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q 与⌝（P ∨⌝Q ）等价．证：(P →(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q ⇔(⌝P ∨(Q ∨⌝R ))∧⌝P ∧Q⇔((⌝P ∨Q ∨⌝R )∧⌝P )∧Q⇔⌝P ∧Q （吸收律）⇔⌝(P ∨⌝Q ) （摩根律）2．试证明(∃x )(P (x )∧R (x ))⇒(∃x )P (x )∧(∃x )R (x )．分析：前提：(∃x )(P (x )∧R (x ))，结论：(∃x )P (x )∧(∃x )R (x ) ．证明 (1) (∃x )(P (x )∧R (x )) P(2) P (a )∧R (a ) ES (1) (存在指定规则)(3) P (a ) T (2) I （化简）(4) (∃x )P (x ) EG (3) (存在推广规则)(5) R (a ) T (2) I （化简）(6) (∃x )R (x ) EG (5) (存在推广规则)(7) (∃x )P (x )∧(∃x )R (x ) T (4)(6)I （合取引入）。
数理逻辑考试题目及答案
数理逻辑考试题目及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 命题逻辑中的“与”运算符用符号表示为：A. ∨B. ∧C. →D. ¬答案：B2. 如果命题P为真，命题Q为假，则命题P∨Q的真值是：A. 真B. 假C. 未知D. 既非真也非假答案：A3. 以下哪个是命题逻辑中的有效论证？A. P → Q, ¬Q → ¬P, 因此P → ¬QB. P → Q, ¬P → Q, 因此QC. P → Q, Q → R, 因此P → RD. P ∧ Q, ¬P, 因此¬Q答案：C4. 命题逻辑中的“非”运算符用符号表示为：A. ∨B. ∧C. →D. ¬答案：D5. 如果命题P为假，命题Q为真，则命题P∧Q的真值是：A. 真B. 假C. 未知D. 既非真也非假答案：B6. 以下哪个是谓词逻辑中的量词？A. ∀B. ∃C. ∧D. ¬答案：A7. 在谓词逻辑中，全称量词“∀”表示：A. 存在B. 对所有C. 对某些D. 非答案：B8. 在谓词逻辑中，存在量词“∃”表示：A. 存在B. 对所有C. 对某些D. 非答案：A9. 以下哪个是谓词逻辑中的等价关系？A. 传递性B. 对称性C. 自反性D. 所有选项都是答案：D10. 以下哪个是谓词逻辑中的偏序关系？A. 传递性B. 对称性C. 自反性D. 所有选项都是答案：A二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 以下哪些是命题逻辑中的联结词？A. ∨B. ∧C. →D. ¬答案：ABCD12. 以下哪些是谓词逻辑中的量词？A. ∀B. ∃C. →D. ¬答案：AB13. 以下哪些是谓词逻辑中的等价关系的性质？A. 自反性B. 对称性C. 传递性D. 非对称性答案：ABC14. 以下哪些是谓词逻辑中的偏序关系的性质？A. 自反性B. 反对称性C. 传递性D. 对称性答案：ABC15. 以下哪些是谓词逻辑中的逻辑推理规则？A. 普遍实例化B. 存在概括C. 模态逻辑D. 条件证明答案：ABD三、填空题（每题2分，共20分）16. 命题逻辑中的“或”运算符用符号________表示。
面试数理逻辑面试题目(3篇)
第1篇一、题目一：命题逻辑1. 题目描述：（1）已知命题P：“今天是星期一”和命题Q：“明天是星期二”。
请判断以下命题的真假：A. P∧Q（P且Q）B. P∨Q（P或Q）C. ¬P（非P）D. P→Q（如果P，则Q）2. 解答思路：（1）根据题目，我们知道P为真，Q为假。
（2）根据逻辑运算规则，我们可以得出以下结论：A. P∧Q为假，因为Q为假；B. P∨Q为真，因为P为真；C. ¬P为假，因为P为真；D. P→Q为真，因为P为真且Q为假，不满足充分条件假言判断的假命题条件。
3. 解答：A. P∧Q为假；B. P∨Q为真；C. ¬P为假；D. P→Q为真。
二、题目二：谓词逻辑1. 题目描述：（1）已知谓词函数F(x)：“x是偶数”，请判断以下命题的真假：A. F(2)∧F(3)（2是偶数且3是偶数）B. F(2)∨F(3)（2是偶数或3是偶数）C. ¬F(2)∧F(3)（2不是偶数且3是偶数）D. F(2)→F(3)（如果2是偶数，则3是偶数）2. 解答思路：（1）根据题目，我们知道F(2)为真，F(3)为假。
（2）根据逻辑运算规则，我们可以得出以下结论：A. F(2)∧F(3)为假，因为F(3)为假；B. F(2)∨F(3)为真，因为F(2)为真；C. ¬F(2)∧F(3)为假，因为F(2)为真；D. F(2)→F(3)为假，因为F(2)为真且F(3)为假，不满足充分条件假言判断的假命题条件。
3. 解答：A. F(2)∧F(3)为假；B. F(2)∨F(3)为真；C. ¬F(2)∧F(3)为假；D. F(2)→F(3)为假。
三、题目三：推理证明1. 题目描述：（1）已知以下条件：A. 如果今天下雨，则明天会打雷；B. 今天没有下雨；C. 如果明天打雷，则会影响户外活动；请根据以上条件，判断以下命题的真假：A. 明天一定会打雷；B. 明天不会打雷；C. 明天会影响户外活动。
习题与解答(数理逻辑)
(x,y)：x=y。
(2) xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)) xy((x+2=y)→(y+2=x))，真值为 0。 (4) xF(f(x,x),g(x,x)) x(x+x=x·x),真值为 1。 11、判断下列各式的类型
(2) x(F(x)→F(x)) →y(G(y)∧┐G(y))) 此谓词公式前件永为真，而后件永为假，即公式为(1→0) ,此公式为矛盾式，所以原谓词公式为矛盾式。 (6) ┐(xF(x)→yG(y))∧yG(y) 此谓词公式是命题公式┐(p→q)∧q 的代换实例，而该命 题公式是矛盾式，所以此谓词公式是矛盾式。 第五章 15 (1)(2)(3)(4) 20 (1) (2) 23 (1) (2)
16、在自然推理系统 P 中用归谬法证明下面推理： (1) 前提：p→┐q, ┐r∨q, r∧┐s
结论：┐p 证明: ①p ②p→┐q ③┐q ④┐r∨q ⑤┐r ⑥r∧┐s ⑦r ⑧┐r∧r 结论否定引入 前提引入 ①②假言推理 前提引入 ③④析取三段论 前提引入 ⑥化简 ⑤⑦合取(矛盾)
⑧为矛盾式，由归谬法可知，推理正确。 第四章 5、(1) (2) (3) (4) 10、(2) (4) 11、(2) (6)
(3) 不存在比所有火车都快的汽车。 ┐x(F(x)∧y(G(y)→H(x,y))) 或x(F(x)→y(G(y)∧┐H(x,y)))， 其中，F(x): x 是汽车，G(y)：y 是火车，H(x,y):x 比 y 快。 (4) 说凡是汽车就比火车慢是不对的。 ┐xy(F(x)∧G(y)→H(x,y)) 或xy(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y) )， 其中，F(x): x 是汽车，G(y)：y 是火车，H(x,y):x 比 y 慢。 10、给定解释 I 如下： （a） 个体域 D=N（N 为自然数）。 （b） D 中特定元素 =2。 （c） D 上函数 D 上谓词 (x,y)=x＋y， (x,y)=x·y。
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命题逻辑基本概念
1．将下列命题符号化。
2．
3．（1）刘晓月跑得快，跳得高。
4．
5．（2）老王是山东人或河北人。
6．
7．（3）因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
8．
9．（4）王欢与李乐组成一个小组。
10．
11．（5）李辛与李末是兄弟。
12．
13．（6）王强与刘威都学过法语。
14．
15．（7）他一面吃饭，一面听音乐。
16．
17．（8）如果天下大雨，他就乘班车上班。
18．
19．（9）只有天下大雨，他才乘班车上班。
20．
21．（10）除非天下大雨，他才乘班车上班。
22．
23．（11）下雪路滑，他迟到了。
24．
25．（12）2与4都是素数，这是不对的。
26．
27．（13）“2或4是素数，这是不对的”是不对的。
28．将下列命题符号化，并给出各命题的真值：
29．
30．（1）若3＋2＝4，则地球是静止不动的。
31．
32．（2）若3＋2＝4，则地球是运动不止的。
33．
34．（3）若地球上没有树木，则人类不能生存。
35．（4）若地球上没有水，则是无理数。
36．将下列命题符号化，并给出各命题的真值：
37．
38．（1）2＋2＝4当且仅当3＋3＝6。
39．
40．（2）2＋2＝4的充要条件是3＋3≠6。
41．
42．（3）2＋2≠4与3＋3＝6互为充要条件。
43．
44．（4）若2＋2≠4，则3＋3≠6，反之亦然。
45．设p：2+3=5。
46．q：大熊猫产在中国。
47．r：复旦大学在广州。
求下列复合命题的真值：
（1）(p q)→r
（2）(r→(p∧q))┐p
（3）┐r→(┐p∨┐q∨r)
（4）(p∧q∧┐r)((┐p∨┐q)→r) 48．用真值表判断下列公式的类型：49．
50．（1）p→(p∨q∨r)
51．
52．（2）(p→┐q)→┐q
53．
54．（3）┐(q→r)∧r
55．
56．（4）(p→q)→(┐q→┐p)
57．
58．（5）(p∧r)(┐p∧┐q)
59．
60．（6）((p→q)∧(q→r))→(p→r) 61．
62．（7）(p→q)(r s)
答案
1．
（1）p∧q，其中，p：刘晓月跑得快，q：刘晓月跳得高。
（2）p∨q，其中，p：老王是山东人，q：老王是河北人。
（3）p→q，其中，p：天气冷，q：我穿了羽绒服。
（4）p，其中，p：王欢与李乐组成一个小组，是简单命题。
（5）p，其中，p：李辛与李末是兄弟。
（6）p∧q，其中，p：王强学过法语，q：刘威学过法语。
（7）p∧q，其中，p：他吃饭，q：他听音乐。
（8）p→q，其中，p：天下大雨，q：他乘班车上班。
（9）p→q，其中，p：他乘班车上班，q：天下大雨。
（10）p→q，其中，p：他乘班车上班，q：天下大雨。
（11）p→q，其中，p：下雪路滑，q：他迟到了。
（12）┐(p∧q)或┐p∨┐q，其中，p：2是素数，q：4是素数。
（13）┐┐(p∨q)或p∨q，其中，p：2是素数，q：4是素数。
2．
（1）p→q，其中，p：2＋2＝4，q：地球静止不动，真值为0。
（2）p→q，其中，p：2＋2＝4，q：地球运动不止，真值为1。
（3）┐p→┐q，其中，p：地球上有树木，q：人类能生存，真值为1。
（4）┐p→q，其中，p：地球上有水，q：是无理数，真值为1。
3．
（1）p q，其中，p：2＋2＝4，q：3＋3＝6，真值为1。
（2）p┐q，其中，p：2＋2＝4，q：3＋3＝6，真值为0。
（3）┐p q，其中，p：2＋2＝4，q：3＋3＝6，真值为0。
（4）┐p┐q，其中，p：2＋2＝4，q：3＋3＝6，真值为1。
4．
（1）真值为0。
（2）真值为0。
（3）真值为0。
（4）真值为1。
注意：p,q是真命题，r是假命题。
5．
(1)、(4)、(6)为重言式。
(3)为矛盾式。
(2)、(5)、(7)为可满足式。