工程应用数学电子教案第三章 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换2.3-2.6
0
f1 ( ) f 2 (t ) d
t
f1 ( ) f 2 (t ) d f1 ( ) f 2 (t ) d
0 t
f1 ( ) f 2 (t ) d (2.20)
第2-19页
■
积分变换 电子教案
例: t *e e
由于L-1[1]=(t)， L -1[sn]=(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆 变换由冲激函数构成。
第2-7页
■
积分变换 电子教案
下面主要讨论有理真分式的情形。
若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n)，则可写为
B( s) bm s m bm1s m1 .... b1s b0 F ( s) n A( s) s an 1s n 1 ... a1s a0
求其逆变换
k13 k11 k12 k2 解 F ( s) ( s 1)3 ( s 1) 2 ( s 1) s s2 3 令F1 ( s ) ( s 1) F ( s ) s
其中k11 F 1 ( s) s p
1
s2 s
k12 d F 1 (s) ds s p1
例 利用留数法求 F ( s)
1 的逆变换。 2 s( s 1)
解 这里s=0为单极点， s=1为2级极点，因此有
1 d 1 2 st st f t 2 e |s 0 lim s 1 e 2 3s 4 s 1 s ( s 1) s 1 ds d 1 st t st 1 st 1 lim e 1 lim e 2 e s s 1 ds s s 1 s 1 tet et 1 et t 1 , t 0
拉普拉斯变换以及它在工程中的应用
拉普拉斯变换以及它在工程中的应用拉普拉斯变换是一种常用的数学工具，它通过将时间域函数转换为复平面的复变量函数，使得运算变得更加方便。
在工程中，拉普拉斯变换被广泛应用于信号处理、控制系统设计、电路分析等领域。
本文将会对拉普拉斯变换的原理、性质以及在工程中的具体应用进行介绍和阐述。
一、拉普拉斯变换的原理拉普拉斯变换是将一个符合一定条件的时间域函数f(t)转换成复域函数F(s)的一种操作。
其定义为：F(s)= ∫ 0^∞ f(t) e^(-st) dt其中，s为复数，f(t)为时间域函数，e^(-st)为指数函数，即e的负s次幂。
该变换的逆变换为：f(t)= (1/2πi) ∫ C F(s) e^(st) ds其中，C为一个垂直于实轴的可行曲线，i为虚数单位。
该式子表明，拉普拉斯变换能够将一个函数从时间域转换到复域，逆变换则将一个函数从复域回到时间域。
通过对这两个变换的理解，我们可以更好地认识拉普拉斯变换的性质和应用。
二、拉普拉斯变换的性质1. 线性性拉普拉斯变换具有线性性质，即：L{a f(t) + b g(t)} = a L{f(t)} + b L{g(t)}其中，a、b为常数，f(t)、g(t)分别为时间域函数，L{}表示拉普拉斯变换。
这个性质非常重要，它意味着我们可以将不同函数的拉普拉斯变换运算分别进行，再将结果线性叠加，得到最终的变换结果。
2. 上移定理、下移定理上移定理和下移定理是拉普拉斯变换的两个重要性质，它们可以将函数平移一定的时间，将变换结果上升或下降一定的频率。
具体来说：L{f(t-a) u(t-a)}= e^(-as) F(s)L{e^(-at) f(t)}= F(s+a)其中，u(t-a)为单位阶跃函数，表示在t=a时取值为1，否则为0。
这两个定理的应用非常广泛，可以用来解决很多实际工程问题。
3. 频率移变性质拉普拉斯变换具有频率移变性质，即：L{f(t) e^(at)}= F(s-a)这个性质说明，如果函数f(t)中出现了exponential函数，变换结果中就会出现频率移项。
拉普拉斯变换及其性质课件
对于损坏的信号，可以利用拉普拉斯变换进行重 建，恢复出原始信号。
在图像处理中的应用
图像去噪
利用拉普拉斯变换，可以对图像进行去噪处理，去除图像中的噪 声和干扰。
图像增强
通过拉普拉斯变换，可以将图像从空间域转换到频域，对图像进 行增强处理。
图像压缩
利用拉普拉斯变换的稀疏性，可以对图像进行压缩处理，减少存法规则
拉普拉斯变换的加法规则可以表 示为f(t)+g(t)的拉普拉斯变换等 于f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉
普拉斯变换之和。
乘法规则
拉普拉斯变换的乘法规则可以表 示为f(t)g(t)的拉普拉斯变换等于 f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉普拉 斯变换之积。
微分规则
拉普拉斯变换的微分规则可以表示 为df(t)/dt的拉普拉斯变换等于f(t) 的拉普拉斯变换乘以s。
迭代法的优点是计算速度快， 适用于大规模数据的处理。
直接计算法
直接计算法是一种直接根据定义 进行计算的方法。
在拉普拉斯变换的数值计算中， 直接计算法通常采用定义式进行
计算。
直接计算法的优点是原理简单易 懂，但计算量较大，适用于小规
模数据的处理。
数值计算误差分析
误差分析是数值计算中非常重要的一个环节。
在物理学、工程学、经济学等领域中，许多偏微分方程的求解都可 以借助拉普拉斯变换得到解决。
优点
通过拉普拉斯变换，可以将偏微分方程的求解转化为简单的代数问 题，使得求解更加简便。
在信号处理中的应用
定义与公式
01
在信号处理中，拉普拉斯变换被用于分析信号的稳定性和系统
的稳定性。
应用场景
02
在通信、自动控制、图像处理等领域中，许多信号处理问题都
《拉普拉斯变换 》课件
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换分析其极点和零点，可以判断系 统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统稳定；否则系统 不稳定。
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ANALYSIS
SUMMAR Y
05
总结与展望
拉普拉斯变换的重要性和应用前景
拉普拉斯变换在数学、物理和工程领域中具有广泛的应用，是解决线性常微分方程 、积分方程、偏微分方程等数学问题的有力工具。
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03
拉普拉斯变换的运算技 巧
积分性质的运用
积分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么对于任意常数a，函数f(at)的拉普 拉斯变换为aF(as)。
应用场景
在求解某些物理问题时，可能需要将 时间变量乘以常数，此时可以利用积 分性质简化拉普拉斯变换的运算。
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《拉普拉斯变换》 PPT课件
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SUMMARY
目录
CONTENTS
• 拉普拉斯变换的基本概念 • 拉普拉斯变换的应用 • 拉普拉斯变换的运算技巧 • 拉普拉斯变换的实例分析 • 总结与展望
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SUMMAR Y
随着科学技术的发展，拉普拉斯变换的应用 领域也在不断拓展，例如在人工智能、机器 学习、数据科学等领域中的应用前景值得关 注。
未来需要进一步加强拉普拉斯变换 的理论研究，提高其在实际问题中 的应用效果，同时探索新的应用领 域，推动科学技术的发展。
拉普拉斯变换-拉普拉斯变换表.ppt
2.2.2 拉普拉斯变换的定义
拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛。拉氏变 换存在的条件： ① 当t≥0时，f(t) 分段连续，只有有限个间断点； ② 当t →∞时，f(t) 的增长速度不超过某一指数函数，即
f (t ) Meat
式中：M、a为实常数。
在复平面上，对于Res >a的所有复数s (Res表示s的实部)都 使积分式绝对收敛，故Res >a是拉普拉斯变换的定义域， a称 为收敛坐标。
1 jt -jt st Lsin t sin t e dt e e e dt 0 2j 0 1 - ( s-j ) t -( s j ) t 1 1 1 e e dt 2 2j 0 2 j s-j s j s 2
st
0
1 2 s
2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
(4) 指数函数
指数函数表达式：
f (t ) e at
式中：a是常数。 其拉普拉斯变换为：
Le
at
0
e e dt e
at st 0
( s a ) t
1 dt sa
2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
若：函数 f(t) 各重积分的初始值均为零，则有
(n)
1 f (t )dt n F ( s) s
注：利用积分定理，可以求时间函数的拉普拉斯变换；利 用微分定理和积分定理，可将微分-积分方程变为代数方程。
2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质 (5) 终值定理 若： L f (t ) F (s)
df (t ) L sF ( s) f (0) dt df (t ) 证明： df (t ) st st L e d t e df (t ) 0 dt 0 dt
第3章 拉普拉斯变换 128页 6.1M ppt版
6.3 拉氏变换的性质：
揭示信号时域特性与复频域描述的关系，主要讨论 ROC
1、 线性。
ax1(t) bx2 (t) aX1(s) bX 2 (s)
ROC:包括 R1 R2
若 R1 与R2 无公共部分，则表明ax1(t) bx2 (t) 的拉氏变换不存在。
当 aX1(s) bX 2 (s) 中有零极点抵消时，ROC 可能会扩大。
第三章 拉普拉斯变换
本章要点 拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉 氏变换 拉氏变换与傅氏变换的关系 拉氏变换的性质，收敛域 卷积定理(S域) 系统函数和单位冲激响应
1
第六章 拉普拉斯变换
6.0 引言
第四章已经讨论过复指数信号est 是 LTI 系统的特征函数 s j ，并对
s j 的情况进行了研究，即傅立叶分析。本章对更一般的情况（ s j ）
7
例三: x(t) ea t eatu(t) eatu(t)
j
X (s) 0 eatestdt eatestdt
0
1 1 sa sa
( a, a)
-a
a
当 a>0 时，这两部分地收敛域有共同部分
a a
此时
X (s)
1 sa
1 sa
2a s2 a2
存在
当 a<0 时这两个 ROC 无公共区域 x(s)不存在。
立叶变换地推广。
3
如果Xx(s) 在 s j 收敛，则 即 s 可以取j
X ( j) Xx(t))eejjtdt tdt
是x(t) 的拉付氏里变叶换变换
X ( j) X (s) 表明傅立叶变换氏是拉氏变换在j 轴上的特例 s j
由傅立叶反变换得到拉斯反变换
拉普拉斯变换在电路中的应用
拉普拉斯变换在电路中的应用拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，广泛应用于电路分析和信号处理领域。
它是一种将时间域中的函数转换为频域中的函数的方法，可以简化电路分析的计算过程，提高计算效率和精确度。
本文将探讨拉普拉斯变换在电路中的应用。
一、拉普拉斯变换的定义与性质首先，我们来对拉普拉斯变换进行简要介绍。
拉普拉斯变换可以将时域函数 f(t) 转换为频域函数 F(s)，其定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，s 是复数变量，表示频域中的频率。
拉普拉斯变换具有线性性质和位移性质等重要性质，使得它成为电路分析中的重要工具。
二、1. 电路响应的计算拉普拉斯变换可以方便地计算电路的时域响应。
通过将电路中的元件和信号源转换为拉普拉斯域中的等效函数，可以建立电路的等效电路方程。
然后，对等效电路方程进行拉普拉斯变换，得到频域中的等效电路方程。
最后，通过求解频域方程，可以得到电路在不同频率下的响应。
2. 电路传递函数的求解电路传递函数是描述输入和输出关系的重要指标。
拉普拉斯变换可以方便地求解电路的传递函数。
通过将电路中的元件抽象为阻抗和导纳的拉普拉斯域表达式，并根据电路的串并联关系，可以得到电路的总阻抗和总导纳。
然后，将输入电压和输出电压的拉普拉斯域表达式相除，可以得到电路的传递函数。
3. 时域响应的计算得到电路的传递函数后，可以通过拉普拉斯逆变换将传递函数转换为时域响应。
通过对传递函数进行部分分式展开或使用拉普拉斯逆变换表格，可以获得电路的时域响应。
这在实际电路设计和故障诊断中非常有用，可以根据输入信号和电路响应来判断电路的性能和健康状况。
4. 稳定性分析拉普拉斯变换还可以用于电路的稳定性分析。
通过计算电路的传递函数，可以得到系统的极点和零点。
根据极点的位置，可以判断电路的稳定性。
拉普拉斯变换的极点在左半平面内时，电路是稳定的；而极点在右半平面内时，电路是不稳定的。
【电路理论电子教案】拉普拉斯变换(Laplace Transformations)
CH13 拉普拉斯变换(Laplace Transformations)本章介绍拉普拉斯变换的定义、性质和反变换的应用；运算电路图的画法；用拉普拉斯变换分析电路。
§13-1拉普拉斯变换定义教学目的：拉普拉斯变换的定义。
教学重点：拉普拉斯正变换，拉普拉斯变换存在的条件。
教学难点: 用拉普拉斯变换定义求几个常见函数的拉氏变换。
教学方法：课堂讲授。
教学内容：一、引言拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。
拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。
因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。
二、拉普拉斯拉斯变换的定义一个定义在区间的函数)(t f ,其拉氏变换)(s F 定义为:⎰∞-==0)()]([)(t f t f L s F e -st dt式中：s=б+j ω为复数，有时称变量S 为复频率。
应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法。
F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。
通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。
三、几个常见函数的拉氏变换 1．的拉氏变换)(t ε⎩⎨⎧≥<=.01;00)(t t t ε s e sdt e dt e t t L s F st st st 1011)()]([)(00=∞⋅-=⋅===--∞∞-⎰⎰--εε2．)(t δ的拉氏变换⎪⎩⎪⎨⎧==≠=⎰∞+∞-.01)(;00)(t dt t t t δδ§13-2拉普拉斯变换的基本性质教学目的：本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。
教学重点：拉普拉斯变换的性质。
教学难点: 用拉普拉斯变换的性质求得象函数。
拉普拉斯变换教案
第九章--拉普拉斯变换教案(总36页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--教学目标方法手段教学目标：1、了解二、三阶行列式的定义及其相关概念，掌握利用对角线法则计算简单行列式的方法。
会用行列式法求解二、三元一次线性方程组。
2、理解余子式、代数余子式的概念，能求行列式中任意元素的余子式和代数余子式。
3、理解n阶行列式的定义、掌握几种特殊行列式，能利用行列式的定义计算行列式的数值。
4、培养学生计算能力、抽象概括、类比的能力核学习方法。
教学方法：课堂讲授、讨论与习题练习相结合。
教学手段：多媒体、板书演示。
重点难点重点：行列式的概念余子式和代数余子式的概念行列式的计算难点：行列式的概念利用行列式的定义计算行列式值教学过程与内容（一）引入（行列式的起源）1、二、三阶行列式的定义及计算法：考虑二元一次线性方程组11112212112222a x a x ba x a x b+=⎧⎨+=⎩(1)利用消元法，当11221221a a a a-≠时，得到上述方程组的解为122122112121121122122111221221,b a a b a b a bx xa a a a a a a a--==--。
(2)可以看出：方程组解的分子分母均是两个数的乘积减去另两个数的乘积．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源。
（二）新课讲授定义1我们称4个数组成的符号1112112221222122a aa a a aa a=-为二阶行列式。
其中的数(,1,2)ija i j=称为该行列式的第i行、第j列元素。
(横排称为行列式的行, 竖排列称为行列式的列)。
为了便于记忆，我们用下述对角线法则来记二阶行列式：这里的实线是主对角线，记正号，虚线是次对角线，记负号；而且在形式上，只是在原行列式的右边重新加上了第一列和第二列，且顺序不变。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换§13拉普拉斯变换重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤难点：1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用本章与其它章节的联系：是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。
预习知识：积分变换§13－1拉普拉斯变换的定义1.拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。
由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。
2.拉普拉斯变换的定义一个定义在[0,+∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。
由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为式中c为正的有限常数。
注意：1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，即：它计及t=0-至0+，f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。
2）象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s)，U(s)，原函数f(t)用小写字母表示，如i(t),u(t)。
3）象函数F(s)存在的条件：3.典型函数的拉氏变换1)单位阶跃函数的象函数2)单位冲激函数的象函数3)指数函数的象函数§13－2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质列于表13.1中。
表13-1拉氏变换的若干性质和定理特性和定理表达式条件和说明线性a、b为常数位移特性时域延迟为一非负实数频域延迟微分若所有初值为零，则有积分初值定理或存在终值定理或所有奇点均在s平面左半部卷积定理为与的卷积应用拉氏变换的性质，同时借助于表13.2中所示的一些常用函数的拉普拉斯变式可以使一些函数的象函数求解简化。
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方法一：定义法
方法二：基本公式法
方法三：性质法
例 解
求函数 f (t ) t 的拉氏变换 由拉氏变换的定义
L[ f (t )] L[t ]
0
1 pt te dt tde p 0
pt
1 pt 1 pt te e dt 0 p 0 p 1 pt 2e 0 p
第三章 拉普拉斯变换
引子 拉普拉斯变换的概念
拉普拉斯变换的计算
拉普拉斯逆变换的计算 拉普拉斯变换的应用 用Matlab进行拉普拉斯运算
拉普拉斯变换的作用
（1）求解常系数线性微分方程的有力工具
（2）分析和综合自动控制系统的运动过程
和脉冲电路的工作过程中有广泛应用
拉普拉斯变换的知识网络图
常用函数的拉普拉斯变换
（2）拉氏变换的本质是一种积分变换
0
（3）其中
f (t )dt F (t )
0
lim F (a) F (0)
a
例如： 0
1 dx ln | x 1 | lim ln | a | ln 1 a 0 x 1
又如： xe2 x dx ( 1 xe2 x 1 e 2 x ) 0
拉 普 拉 斯 变 换 的 概 念
拉普拉斯变换的性质
拉普拉斯变换表的使用
拉 普 拉 斯 变 换 的 应 用
拉普拉斯逆变换
第三章 拉普拉斯变换
引子
拉普拉斯变换的概念
拉普拉斯变换的计算
拉普拉斯逆变换的计算 拉普拉斯变换的应用 用Matlab进行拉普拉斯运算
引例
在电路理论和自动控制理论中，通常把系统的外加电动势
L[u (t )]
0
e pt dt
1 pt 1 pt 1 e d ( pt ) e 0 0 p p p
注意: 1、这个结论成立的条件是 p 0 ，否则积分不收收敛 2、单位阶跃函数向右平移 a 个单位后，解析式为
0 t a u (t a) 1 t a
0
1
e dt
pt
1 1 e p 1 (1 e p ) lim lim p 0 p 0 1 pe p lim p 0 1
1
例
解
求函数 f (t ) sin t 的拉氏变换
L[ f (t )] F ( p) L[sin t ]
0
f (t )e
pt
dt
或
F ( p)
0
f (t )e pt dt
有时也称 L[ f (t )] 为 f (t ) 的象函数，反之称 f (t ) 为 L[ f (t )] 的象原函数
注意：
f (t ) t 0 （1）为了研究方便，一般拉氏变换中 f (t ) 定义为 f (t ) t0 0
E (t )看成这个系统随时间 t 变化的输入函数，称为激励函数
r (t )，而把电容器 C 两端的电压 u (t )看成是系统随时间 t 变
化的输出函数，叫做响应函数 c(t )，如图.
激励 系统特性 响应
在研究激励和响应系统之间的关系时（建立的函数关系式 通常是一种线性微分方程），主要是通过研究传递函数 （响应函数 c(t ) 的拉普拉斯变换与激励函数 r (t )的拉普拉斯
作用后所产生的电流，机械系
统受冲击力作用后的运动情况等也要用到，它的拉氏
变换等于 1
注意：
单位阶跃函数对时间的导数即为单位脉冲函数， 反之，单位脉冲函数对时间的积分即为单位阶跃函数
例
解
试求单位脉冲函数的拉氏变换
L[ (t )]
0
0
(t )e pt dt
1 pt lim [ e ] 0 0 p 1
1 pt 1 1 lim 2 e 2 2 t p p p
案例
在自动控制系统中，由于开关的闭合或信号的突变 等原因，系统中经常会出现一个“突加作用信号”，
0 t 0 表示，如图. 用函数 u (t ) 1 t 0
试求它的拉氏变换.
解
由拉氏变换的定义
pt
a pt a 0 [ 2 e ] 2 0 p p
同样，结论成立的条件是 p 0
在自动控制系统中，瞬时的扰动（冲击）信号常用
0 1 单位脉冲函数 (t ) 0 t0 0t t
表示，如图.
在研究线性电路在脉冲电动势
变换之比），建立微分方程模型解决问题的，因此，拉普
拉斯变换是经典控制理论的数学基础.
引例
在电气工程学科中还经常会出现 sin x 的积分问题， 但由于
sin x dx 是发散的，因此无法进行计算，
在这种情况下，一般都是通过将函数 f (t ) 乘上因 子 e pt ( p 0) 变成绝对可积函数后解决问题的.
2
4
1 1 1 2 a 2 a lim (2ae e ) 0 4 a 4 4
第三章 拉普拉斯变换
引子
拉普拉斯变换的概念
拉普拉斯变换的计算
拉普拉斯逆变换的计算 拉普拉斯变换的应用 用Matlab进行拉普拉斯运算
求一个给定函数的拉氏变换，可用
方法一：定义法 方法二：基本公式法 方法三：性质法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
案例
在研究跟随系统时，经常以一种由弱到强做均匀变化的信 号作为典型的输入信号，这种信号函数称为斜坡函数，记 为： f (t ) at（ a 为常数），试求该函数的拉氏变换.
解
由拉氏变换的定义
L[ f (t )]
0
at pt a pt e dt ate dt [ e ] 0 p 0 p
——转化为拉普拉斯变换后解决问题
那么什么叫拉普拉斯变换呢？
拉普拉斯变换的实质是什么呢？
定义
若函数 f (t ) 的广义积分
0
f (t )e pt dt 在 p 的某一范围内的值收敛，
那么称这个关于 p 的函数 F ( p ) 为函数 f (t ) 的拉普拉斯变换，通常 记作
L[ f (t )]