人教版高中数学选修练习题及参考答案

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人教版新课标高中数学选修1—1测试题(含答案)

数学选修1—1练习一、选择题：1.已知P ：2＋2＝5，Q:3>2,则下列判断错误的是（） A.“P 或Q ”为真，“非Q ”为假； B.“P 且Q ”为假，“非P ”为真； C.“P 且Q ”为假，“非P ”为假； D.“P 且Q ”为假，“P 或Q ”为真2.在下列命题中，真命题是（）A. “x=2时,x 2－3x+2=0”的否命题；B.“若b=3,则b 2=9”的逆命题;C.若ac>bc,则a>b;D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题 3.已知P:|2x －3|<1, Q:x(x －3)<0, 则P 是Q 的（）A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；4.平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是( )A.[1,4];B.[2,6];C.[3,5 ];D. [3,6].5. 函数f(x)=x 3－ax 2－bx+a 2,在x=1时有极值10，则a 、b 的值为（）A.a=3,b=－3或a=―4,b=11 ；B.a=－4,b=1或a=－4,b=11 ；C.a=－1,b=5 ；6.曲线f(x)=x 3+x －2在P 0点处的切线平行于直线y=4x －1，则P 0点坐标为（） A.(1,0); B.(2,8); C.(1,0)和(－1,－4); D.(2,8)和(－1,－4)7.函数f(x)=x 3－ax+1在区间（1,+∞）内是增函数，则实数a 的取值范围是（） A.a<3 ； B.a>3 ； C.a ≤3； D.a ≥315222=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是（） A.2<k<5 ； B.k>5 ； C.k<2或k>5； D.以上答案均不对 9.函数y=xcosx －sinx 在下面哪个区间内是增函数（） A.()23,2ππ； B.)2,(ππ； C.)25,23(ππ； D.)3,2(ππ 13622=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上,且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( ) A.563； B.665 ； C.56 ； D.651:(x+4)2+y 2=2,C 2:(x －4)2+y 2=2,动圆M 与两圆C 1、C 2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（）A.x=0;B.114222=-y x （x ≥2）; C.114222=-y x ; D.114222=-y x 或x=0 二、填空题：12.双曲线的渐近线方程为y=x 43±，则双曲线的离心率为________ f(x)=(ln2)log 2x －5x log 5e(其中e 为自然对数的底数)的导函数为_______14522-=-y x ________ 15.正弦函数y=sinx 在x=6π处的切线方程为____________ 2=4x 的焦点，作倾斜角为4π的直线交抛物线于P 、Q 两点，O 为坐标原点，则∆POQ 的面积为_________ 三、解答题：17.命题甲：“方程x 2+mx+1=0有两个相异负根”,命题乙：“方程4x 2+4(m －2)x+1=0无实根”，这两个命题有且只有一个成立，试求实数m 的取值范围.18.求过定点P （0，1）且与抛物线y 2=2x 只有一个公共点的直线方程。

人教版高中数学选修课后习题参考答案

新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答第一章导数及其应用 3．1变化率与导数练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升.练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”1的思想. 练习（P9）函数33()4Vr V π=(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆. 所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=.因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第 5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J.4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>. 由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算练习（P18）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=；（2）2x y e '=；（3）4106y x x '=-；（4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin 33xy '=-；（6）21y x '=-.习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r r π∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=. 2、()9.8 6.5h t t '=-+. 3、3213()34r V Vπ'=.4、（1）213ln 2y x x '=+；（2）1n x n x y nx e x e -'=+；（3）2323sin cos cos sin x x x x xy x-+'=；（4）9899(1)y x '=+；（5）2x y e -'=-；（6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++. 5、()822f x x '=-+. 由0()4f x '=有 04822x =-+，解得032x =. 6、（1）ln 1y x '=+；（2）1y x =-. 7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少. 习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.1．3导数在研究函数中的应用练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增；当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增；当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增；当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，注：图象形状不唯一.其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点. 2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-. （2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54；当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-. （3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-；当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22 （4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-；当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2 练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈. 因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<. 因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>. 因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数.（4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值；（2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值；（3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值；（4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值.5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-.（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-. （3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-. （4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-；当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128. 6、（1）在[1,1]-上，当112x =-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为4724.由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16；当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-. 习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略（2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略（4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++. 下面分类讨论：当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a >，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a >，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4生活中的优化问题举例习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2lx =.当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x .（1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+，所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6ax =时，无盖方盒的容积最大.3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2V h R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R Rππππ=+=+，0R >. 令2()40V S R R R π'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>. 因此，R =是函数()S R 的极小值点，也是最小值点. 此时，22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，（第3题）可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2xm ，半圆的面积为28x π2m ，矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244xa x a l x x x x x πππ=++-=++，0x <<令22()104a l x x π'=+-=，得x =.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.时，所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大,习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<.令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c c c x a x b b-=-+⨯=--，54ba x <<.令845()0c ac bc L x x b b+'=-+=，解得458a bx +=. 当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<.当458a bx +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润.1．5定积分的概念练习（P42） 83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45）1、22112()[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n =.于是 111()n n ni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑2112[()]ni i n n n ==-⋅+⋅∑22211111()()()2n n n n n n n n -=-⋅--⋅-⋅+2231[12]2n n=-++++31(1)(21)26n n n n ++=-⋅+111(1)(1)232n n =-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323nnn n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km.说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48）2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.习题1.5 A 组（P50） 1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰；（2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰；（3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）；距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式11()nni i i b af x b a nξ==-∆==-∑∑，从而11lim nban i b adx b a n→∞=-==-∑⎰，说明：进一步熟悉定积分的概念.4、根据定积分的几何意义，0⎰表示由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此4π=⎰.5、（1）03114x dx -=-⎰. 由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -⎰表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得1133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得202333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx -⎰化为02331x dx x dx -+⎰⎰，这样，3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出031x dx -⎰，230x dx ⎰，进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）；不足近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）（3）49.81tdt ⎰；49.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n -，记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =），其长度为 (1)il i l l x n n n-∆=-=.把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作：12,,,n m m m ∆∆∆，则细棒的质量1ni i m m ==∆∑.（2）近似代替当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l iln n-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]i i l il n n ξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l il n n-上质量2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =）.（3）求和得细棒的质量 2111()nnni i i i i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑. （4）取极限细棒的质量 21lim ni n i lm nξ→∞==∑，所以20l m x dx =⎰..1．6微积分基本定理练习（P55）（1）50；（2）503；（3）533-；（4）24；（5）3ln 22-；（6）12；（7）0；（8）2-.说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题1.6 A 组（P55）1、（1）403；（2）13ln 22--；（3）9ln 3ln 22+-；（4）176-；（5）2318π+；（6）22ln 2e e --. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、3300sin [cos ]2xdx x ππ=-=⎰.它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习题1.6 B 组（P55）1、（1）原式＝221011[]222x e e =-；（2）原式＝4611[sin 2]22x ππ=；（3）原式＝3126[]ln 2ln 2x =. 2、（1）cos 1sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=-=---=⎰；（2）sin 1cos [sin sin()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=|=--=⎰；（3）21cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx m πππππππ----==-=⎰⎰；（4）21cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx mπππππππ---+==+=⎰⎰.3、（1）0.202220()(1)[]49245245t kt kt t kt t g g g g g gs t e dt t e t e t e k k k k k k----=-=+=+-=+-⎰.（2）由题意得 0.2492452455000t t e -+-=.这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值范围. 根据指数函数的性质，当0t >时，0.201t e -<<，从而 5000495245t <<，因此，500052454949t <<. 因此50000.2749245 3.3610e-⨯-≈⨯，52450.2749245 1.2410e-⨯-≈⨯，所以，70.271.2410245 3.3610t e ---⨯<<⨯.从而，在解方程0.2492452455000t t e -+-=时，0.2245t e -可以忽略不计.因此，.492455000t -≈，解之得 524549t ≈（s ）. 说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握. 1．7定积分的简单应用练习（P58）（1）323；（2）1.说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习（P59）1、52533(23)[3]22s t dt t t =+=+=⎰（m ）.2、424003(34)[4]402W x dx x x =+=+=⎰（J ）.习题1.7 A 组（P60）1、（1）2；（2）92.2、2[]b b a a q q q qW k dr k k k r r a b==-=-⎰. 3、令()0v t =，即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体达到最大高度.最大高度为 4240(4010)[405]80h t dt t t =-=-=⎰（m ）. 4、设t s 后两物体相遇，则20(31)105ttt dt tdt +=+⎰⎰，解之得5t =. 即,A B 两物体5s 后相遇. 此时，物体A 离出发地的距离为523500(31)[]130t dt t t +=+=⎰（m ）.5、由F kl =，得100.01k =. 解之得1000k =. 所做的功为 0.120.10010005005W ldl l ==|=⎰（J ）.6、（1）令55()501v t t t=-+=+，解之得10t =. 因此，火车经过10s 后完全停止. （2）1021000551(5)[555ln(1)]55ln1112s t dt t t t t =-+=-++=+⎰（m ）. 习题1.7 B 组（P60）1、（1）a -⎰表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积，因此22aa π-=⎰（2）1]x dx ⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线（第1（2）题）y x =所围成的图形（如图所示）的面积，因此，2120111[1(1)]114242x x dx ππ⨯---=-⨯⨯=-⎰. 2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为2y ax =，则2()2b h a =⨯，所以24ha b =.从而抛物线的方程为 224hy x b =.于是，抛物线拱的面积232202204422()2[]33b bh h S h x dx hx x bh b b =-=-=⎰. 3、如图所示.解方程组223y x y x⎧=+⎨=⎩得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =，22x =. 于是，所求的面积为122201[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=⎰⎰.4、证明：2[]()R hR h R RMm Mm MmhW Gdr G G r r R R h ++==-=+⎰. 第一章复习参考题A 组（P65）1、（1）3；（2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x xy x+'=；（2）23(2)(31)(53)y x x x '=-+-；（3）22ln ln 2x xy x x '=+；（4）2422(21)x x y x -'=+. 3、32GMm F r '=-. 4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略. 5、因为32()f x x =，所以32()3f x x'=.当32()03f x x'=>，即0x >时，()f x 单调递增；yxh b O（第2题）当()0f x '=<，即0x <时，()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+. 当()20f x x p '=+=，即12px =-=时，()f x 有最小值. 由12p-=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =. 7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+，所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--. 当()0f x '=，即3cx =，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >. 由于所以，当3c x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时，23c=，6c =. 8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，AOB ∆的面积最小. 因为直线AB 过点(,0)A a ，(1,1)P ，所以直线AB 的方程为001y x a x a --=--，即1()1y x a a =--.当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,)1aa -.因此，AOB ∆的面积21()212(1)AOBa a S S a a a a ∆===--.令()0S a '=，即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a =，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去.由于所以，当2a =，即直线AB 的倾斜角为135︒时，AOB ∆的面积最小，最小面积为2.9、D .10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m. 所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V ，则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++，0 1.6x <<.令()0V x '=，即26 4.4 1.60x x -++=. 所以，415x =-（舍去），或1x =. 当(0,1)x ∈时，()0V x '>；当(1,1.6)x ∈时，()0V x '<. 因此，1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100x +时，旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤. 令()0f x '=，即105000x -+=，50x =.又(0)100000f =，(80)108000f =，(50)112500f =. 所以，50x =是函数()f x 的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x，打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x=-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x =--，5.0898.38x <<.令()0S x '=，即23168.3966.340x -=，22.36x ≈（负值舍去），623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元.则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=，即3000q -+=，300q =.当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.14、（1）2；（2）22e -；（3）1；（4）原式＝22222000cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x xdx x x dx x x x xπππ-=-=+=+⎰⎰；（5）原式＝22001cos sin 2[]224x x x dx πππ---==⎰. 15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2.17、由F kl =，得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =.所做的功为 20.30.30.10.14.9 4.90.1962l W ldl ==⨯|=⎰（J ）第一章复习参考题B 组（P66）1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.（2）当05t ≤<时，()0b t '>，所以细菌在增加；当55t <<+时，()0b t '<，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S .因为212S r α=，2l r r α-=，所以2lrα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.令0S '=，即40l r -=，4lr =，此时α为2弧度.4l r =是函数()S r 在(0,)2l内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.所以，扇形的半径为4l、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222r h R +=.因此，222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.令22103V R h ππ'=-=，解得h =.容易知道，h R =是函数()V h 的极大值点，也是最大值点.所以，当h R =时，容积最大.把3h R =代入222r h R +=，得3r R =.由2R r απ=，得3α=.所以，圆心角为α=时，容积最大. 4、由于28010k =⨯，所以45k =. 设船速为x km ／h 时，总费用为y ，则2420204805y x x x=⨯+⨯ 960016x x=+，0x >令0y '=，即29600160x-=，24x ≈.容易知道，24x =是函数y 的极小值点，也是最小值点. 当24x =时，960020(1624)()9412424⨯+÷≈（元／时）所以，船速约为24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为941元.5、设汽车以x km ／h 行驶时，行车的总费用2390130(3)14360x y x x =++⨯，50100x ≤≤ 令0y '=，解得53x ≈（km ／h ）. 此时，114y ≈（元）容易得到，53x ≈是函数y 的极小值点，也是最小值点.因此，当53x ≈时，行车总费用最少.所以，最经济的车速约为53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元.6、原式＝4404422022[]2xx x x x e dx e dx e dx e e e e -----=+=-+|=+-⎰⎰⎰.7、解方程组 2y kx y x x=⎧⎨=-⎩ 得，直线y kx =与抛物线2y x x =-交点的横坐标为0x =，1k -.抛物线与x 轴所围图形的面积2312100111()[]23236x x S x x dx =-=-=-=⎰.由题设得 1120()2k k S x x dx kxdx --=--⎰⎰31221001()[]23kkk x x x kx dx x ---=--=-⎰3(1)6k -=.又因为16S =，所以31(1)2k -=. 于是12k =-.说明：本题也可以由面积相等直接得到111220()()kk k x x kx dx kxdx x x dx -----=+-⎰⎰⎰，由此求出k 的值. 但计算较为烦琐.新课程标准数学选修2—2第二章课后习题解答第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理练习（P77）1、由12341a a a a ====，猜想1n a =.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O P Q R -的体积，则111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅. 练习（P81） 1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ，若1n na p a +=，其中p 是非零常数，则{}n a 是等比数列； ……………………大前提又因为0cq ≠，则0q ≠，则11n n nn a cq q a cq ++==； ……………………………小前提所以，通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列. ……………………结论3、由AD BD >，得到ACD BCD ∠>∠的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而AD 与BD 不在同一个三角形中.习题2.1 A 组（P83）1、21n a n =+()n N *∈. 2、2F V E +=+.3、当6n ≤时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *∈.4、212111(2)n n A A A n π++≥-（2n >，且n N *∈）. 5、121217n n b b b b b b -=（17n <，且n N *∈）.6、如图，作DE ∥AB 交BC 于E .因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，又因为AD ∥BE ，AB ∥DE . 所以四边形ABED 是平行四边形.（第6题）因为平行四边形的对边相等.又因为四边形ABED 是平行四边形. 所以AB DE =.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，又因为AB DE =，AB DC =, 所以DE DC = 因为等腰三角形的两底角是相等的.又因为△DEC 是等腰三角形, 所以DEC C ∠=∠ 因为平行线的同位角相等又因为DEC ∠与B ∠是平行线AB 和DE 的同位角, 所以DEC B ∠=∠ 因为等于同角的两个角是相等的，又因为DEC C ∠=∠，DEC B ∠=∠, 所以B C ∠=∠ 习题2.1 B 组（P84）1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略.2．2直接证明与间接证明练习（P89）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2θθθθθθθ-=+-=，所以，命题得证.2>，只需证22>，即证1313+>+>，只需要22>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，命题得证. 3、因为 222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b αααα-=-+==，又因为 sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab αααααααααα+-=+-=⋅22222222sin (1cos )sin sin 161616sin tan cos cos αααααααα-===，从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P91）1、假设B ∠不是锐角，则90B ∠≥︒. 因此9090180C B ∠+∠≥︒+︒=︒. 这与三角形的内角和等于180°矛盾. 所以，假设不成立. 从而，B ∠一定是锐角.2成等差数列，则=所以22=，化简得5=225=，即2540=，这是不可能的. 所以，假设不成立..说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点. 习题2.2 A 组（P91）1、由于0a ≠，因此方程至少有一个跟bx a=.假设方程不止一个根，则至少有两个根，不妨设12,x x 是它的两个不同的根，则 1ax b = ①2ax b = ②①－②得12()0a x x -=因为12x x ≠，所以120x x -≠，从而0a =，这与已知条件矛盾，故假设不成立. 2、因为 (1tan )(1tan )2A B ++=展开得 1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ①假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A B A B -=，即cos()0cos cos A B A B += 所以cos()0A B +=.因为A ，B 都是锐角，所以0A B π<+<，从而2A B π+=，与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -≠.①式变形得 tan tan 11tan tan A BA B +=-，即tan()1A B +=.又因为0A B π<+<，所以4A B π+=.说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明.3、因为 1tan 12tan αα-=+，所以12tan 0α+=，从而2sin cos 0αα+=.另一方面，要证 3sin 24cos2αα=-，只要证226sin cos 4(cos sin )αααα=-- 即证 222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=，即证 (2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=由2sin cos 0αα+=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=，于是命题得证. 说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.4、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b a c=+. 假设2B π<不成立，即2B π≥，则B 是ABC ∆的最大内角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边），从而11112a c b b b +>+=. 这与211b a c=+矛盾. 所以，假设不成立，因此，2B π<.习题2.2 B 组（P91）1、要证2s a <，由于22s ab <，所以只需要2s s b<，即证b s <.因为1()2s a b c =++，所以只需要2b a b c <++，即证b a c <+. 由于,,a b c 为一个三角形的三条边，所以上式成立. 于是原命题成立. 2、由已知条件得 2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ② 要证2a cx y+=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy += 由①②，得 22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++， 24()()2xy a b b c ab b ac bc ab ac bc =++=+++=++，所以，224ay cx xy +=，于是命题得证. 3、由 tan()2tan αβα+= 得sin()2sin cos()cos αβααβα+=+，即sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+. ……①要证 3sin sin(2)βαβ=+即证 3sin[()]sin[()]αβααβα+-=++即证 3[sin()cos cos()sin ]sin()cos cos()sin αβααβααβααβα+-+=+++ 化简得sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+，这就是①式.。

人教a版高中数学选修21全册同步练习及单元检测含答案

答案：一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a≠0) 此方程有两个不相等的实数根
假
三、解答题 ( 每小题 10 分，共 20 分 )
7．指出下列命题的条件 p 和结论 q： (1) 若 x＋ y 是有理数，则 x， y 都是有理数；
(2) 如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数．
1
1
∴ a＋1≥１且 a≤ 2，即 0≤ a≤ 2.
1 ∴满足条件的 a 的取值范围为 0， 2 .
4 8．求证： 0≤ a< 是不等式
ax2－ ax＋1－ a>0 对一切实数
x 都成立的充要条件．
5
4 证明：充分性：∵ 0<a< ，
5 ∴ Δ＝a2－ 4a(1 －a) ＝ 5a2－ 4a＝ a(5 a－4)<0 ，则 ax2－ ax＋ 1－ a>0 对一切实数 x 都成立．而当 a＝ 0 时，不等式 ax2－ax＋ 1－ a>0 可变成 1>0.
x 都成立的充要条件．
尖子生题库 ☆☆☆ 9． (10 分 ) 已知条件 p： A＝ { x|2 a≤ x≤ a2＋ 1} ，条件 q： B＝{ x| x2－ 3( a＋ 1) x＋2(3 a＋ 1) ≤0} ．若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围．解析：先化简 B， B＝ { x|( x－ 2)[ x－ (3 a＋1)] ≤0} ，
答案： (1)(2)(3)
x 6．设集合 A＝ x| x－1<0 ，B＝ { x|0< x<3} ，那么“ m∈ A”是“ m∈ B”的 ________条件．
x
解析：
A＝
x|
<0 x－ 1

高中数学(人教A版)选修1-1全册综合测试题(含详解)

综合测试(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a >1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题D ．命题“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题答案 D2．如果命题“綈p 且綈q ”是真命题，那么下列结论中正确的是( ) A ．“p 或q ”是真命题 B ．“p 且q ”是真命题 C ．“綈p ”为真命题 D ．以上都有可能解析若“綈p 且綈q ”是真命题，则綈p ，綈q 均为真命题，即命题p 、命题q 都是假命题，故选C.答案 C3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.答案 A4．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析当sin θ＝1时，曲线表示圆．当sin θ<0时，曲线表示的双曲线．当sin θ>0时，曲线表示椭圆．答案 C5．曲线y ＝x 3＋1在点(－1,0)处的切线方程为( ) A ．3x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．3x －y ＝0D ．3x －y －3＝0解析 y ′＝3x 2，∴y ′| x ＝－1＝3，故切线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 答案 B6．下列命题中，正确的是( )A ．θ＝π4是f (x )＝sin(x －2θ)的图像关于y 轴对称的充分不必要条件 B ．|a |－|b |＝|a －b |的充要条件是a 与b 的方向相同 C ．b ＝ac 是a ，b ，c 三数成等比数列的充分不必要条件D ．m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件答案 A7．函数f (x )＝x 2＋a ln x 在x ＝1处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，又f ′(x )＝2x ＋a x ，∴由题可知，f ′(1)＝2＋a ＝0，∴a ＝－2. 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(x ＋1)x ，当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x >1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取得极值．故选B. 答案 B8．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是( )A ．－19B ．－1 C.19D.12解析由椭圆方程a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 1|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝(2a )2－(2c )2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝162|PF 1|·|PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9， ∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，故选A.答案 A9．给出下列三个命题： ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝2时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系．显然命题①正确，命题②用“分析法”便可证明其正确性．命题③：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题．故选B.答案 B10．如图所示是y ＝f (x )的导数图像，则正确的判断是( ) ①f (x )在(－3,1)上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点． A ．①②③ B ．②③ C ．③④D ．①③④解析从图像可知，当x ∈(－3，－1)，(2,4)时，f (x )为减函数，当x ∈(－1,2)，(4，＋∞)时，f (x )为增函数，∴x ＝－1是f (x )的极小值点， x ＝2是f (x )的极大值点，故选B. 答案 B11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是直线l ：x ＝a 2c (c 2＝a 2＋b 2)上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝4ab ，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 2D. 3解析设直线l 与x 轴交于点A ，在Rt △PF 1F 2中，有|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·|P A |，则|P A |＝2ab c ，又|P A |2＝|F 1A |·|F 2A |，则4a 2b 2c 2＝(c －a 2c )·(c ＋a 2c )＝c 4－a 4c 2，即4a 2b 2＝b 2(c 2＋a 2)，即3a 2＝c 2，从而e ＝ca ＝ 3.选B.答案 B12．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x ∈R 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8xx 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥(8x x 2＋4)max ，因为8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤2，当且仅当x ＝2时，“＝”成立，故m ≥2.易知p 是q 的必要不充分条件．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析 ∵双曲线y 212－x 24＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)， ∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±23)，在椭圆中a ＝4，c ＝23，b 2＝4.∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1. 答案 x 24＋y 216＝114．给出下列三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图像一定过原点；③函数y ＝sin2x ＋cos2x 的最小正周期为π，其中假．命题的序号是________．解析 ①不正确，如x ＝π4时tan x ＝1，当x ＝9π4时tan x ＝1，而9π4>π4，所以tan x 不是增函数；②不正确，如函数y ＝1x 是奇函数，但图像不过原点；③正确．答案 ①②15．若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为________时，材料最省．解析把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然后列出所用材料和面积关于边长a 的函数关系式．设水箱的高度为h ，底面边长为a ，那么V ＝a 2h ＝324，则h ＝324a 2，水箱所用材料的面积是S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋1296a ，令S ′＝2a －1296a 2＝0，得a 3＝648，a ＝633， ∴h ＝324a 2＝324(633)2＝333，经检验当水箱的高为333时，材料最省．答案 33316．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．解析因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m >1，即m <－12.答案 m <－12三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．解本题涉及了3个未知量，由题意可列出三个方程即可求解． ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①又∵在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切， ∴4a ＋2b ＋c ＝－1.②∴y ′＝2ax ＋b ，且k ＝1. ∴k ＝y ′| x ＝2＝4a ＋b ＝1， ③联立方程①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.18．(12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，直线l ：y ＝－x ＋22与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．求椭圆C 1的方程．解 ∵e ＝63，∴e 2＝c2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2.∵直线l ：y ＝－x ＋22与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴222＝b ，∴b ＝2.∴b 2＝4，a 2＝12.∴椭圆C 1的方程是x 212＋y 24＝1.19．(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (x >0)，则F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2(x >0)， ∵a >0，由F ′(x )>0，得x ∈(a ，＋∞)，∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增；由F ′(x )<0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减．∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立，即a ≥(－12x 20＋x 0)max ，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，∴a min ＝12.20．(12分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为(－2k ，－1)．∴RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k ，y 2＋1)＝(x 1＋2k )(x 2＋2k )＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k 2＋4 ＝4(k 2＋1k 2)＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.21．(12分)已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x .(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围；(3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值．解 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6，又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7.(2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x，又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎨⎧ a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.故a 的取值范围是[2,6](3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x，且x >0，所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.22．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 不过点M ，试问直线MA ，MB 与x 轴能否围成等腰三角形？解 (1)根据题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为e ＝32，a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝4b 2.又椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，则可得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆的方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)>0，得－5<m <5. 设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－205. k 1＋k 2＝y 1－1x 1－4＋y 2－1x 2－4＝(y 1－1)(x 2－4)＋(y 2－1)(x 1－4)(x 1－4)(x 2－4). 上式分子＝(x 1＋m －1)(x 2－4)＋(x 2＋m －1)·(x 1－4) ＝2x 1x 2＋(m －5)(x 1＋x 2)－8(m －1)＝2(4m 2－20)5－8m (m －5)5－8(m －1)＝0，即k 1＋k 2＝0.所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形．。

高中数学选修课后习题答案人教版

⾼中数学选修课后习题答案⼈教版⾼中数学⼈教版选修2-3课本习题答案练习《第6页〉1.（1）要完成的“⼀件事情”是“通出1⼈完成⼯作”，不同的选法种数是5+4=9；（2）要完成的“⼀件事情”是“从A村经B村到C村去”，不同路线条数是3X2=6.2.（1）要完成的“⼀件事情”是“彦出1⼈参加活动”，不同的选法种数是3+5+4 = 12，（2）要完戊的“⼀件事情”是“从3个年级的学⽣中各逸1⼈参加活动”，不同的选法种致是3X5X4=60.3.因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考■虑学校的差异.所以应当是6+4-1^ 9 （种）可能的专业选择.蛛习（第10页〉1.要完成的“⼀件事情”是“得到展开式的⼀项”.由于每⼀项都是a.b,c t的形式.所以可以分三形完成：第⼀步.取如有3种⽅法；第⼆步，取⼩有3种⽅法：第三步.取s有5神⽅法.根据分步乘法计数原理，展开式共有3X3X5=45 （项）.2.要完成的“⼀件事情”是“偷定⼀个电活号码的后四位⼆分四步完成，每⼀步部是从。

?9这10 个败字中取⼀个.共有10X10X10X10 = 10 000 （个）.3.要完成的“⼀件事情”是“从5名同学中选出正、副组长各1名”.分两步完成：第⼀步逸正组长，有5种⽅法；第⼆步选副组长.有4种⽅法.共有选法5X4 = 20 （#）.4.要完成的“⼀件事情”是“从6个门中的⼀个进⼊并从另⼀个门出去”.分例步完成：先从6个门中选⼀个进⼊.再从共余5个门中逸⼀个出去.共有进出⽅法5X5-30 （种）.习题1.1（M 12页）A组1.“⼀件事情”是“买⼀台某型号的电视机”.不同的选法有4+7=11 （神，.2.“⼀件事情”是“从甲地经⼄地或经丙地到丁地去”.所以是“先分类，后分步”.不同的路线共有2X3+4X2=14 （条）.3.对于第⼀问，“⼀件事情”是“构成⼀个分数”.由于1, 5, 9. 13是奇数，4, 8, 12,】6是偶数.所以以1.5, 9.13中任意⼀个为分⼦，都可以与4, 8?12, 16中的任意⼀个构成分数.因此可以分两步来构成分致：第⼀步，逸分孑，有4种选法；第⼆步，选分母，也有4种选法.共有不同的分数4X4 = 16 （个）.对于第⼆何，“⼀件事情”是“构成⼀个真分数”.分四类：分⼦为1时，分母可以从4.8. 12. 16 中任选⼀个.有4个；分⼦为5时，分母从8, 12, 16中选⼀个.有3个；分⼦为9时.分锹从12, 16中选⼀个，有2个,分⼦为13时，分母只能选16,有1个.所以共有其分散4+3 + 2+1 = 10 （个）.4.“⼀件事憎”是“接通线路”.根据电路的有关知识，容易褂到不同的接通线路有3 + 14-2X 2=8（条）.5.（1> “⼀件事情”是“⽤坐标确定⼀个点”.由于横、纵坐标可以相同，因此可以分两步完成：第⼀步，从⼈中选横坐怵.有6个选择；第⼆步从⼈中选纵坐标，也有6个选择.所以共有坐标6X6 =36 （个）.练习(第20页)1. < 1) aCf adba. be. bd■ e. cb, cd, da. db,(2)ab. ac. ad", ba ? be. bd? be. ca^ cb. cd. e. da. db. de de ea ? eb. "■ ed ?2. (D Ak = 15X14X13X12=32 760i (2) A| —71—5 040i<3) AJ-2Ai-8X7X6X5-2X8X7-l 568$⑷拜=耕=5.3.3. (1) ■?：(2) AJ-8A ；+7N -8A ；—8A ； + A ；-A ；. 4. Aj-60 (神>. 5. A3=24 (#>.(第 25 页)1. (I)甲.⼄?甲,丙.甲?丁.⼄,画.⼄,丁. W. 丁: ⑵2. MHC, △ABD, Z\ACD, △BCD.3. Ci-20 (抻).4. (3=6 (个〉. ⑵ 4^1 = 56，(4) 30 2Q-3X56 2X10-14& G+1〉！3JM 1-2 (第 27 贝)A 版1. (1) 5A?4-4AI=5X6O+4X 12 = 348i＜2) Aj-i-Al -FA14-A1—4+124 24 F24-G4.2. (1) Ch-455i(2)—Cl?—1 313 4(X )t(3) Cl+CJ-yi(4) U"?U JE,?u =(il )?业亍A-m ⽜12.3. (1) A ：：| — Ai —(n4-l ＞A ： —A ：—H/V ： —A ： Js 、(”+ 1)! ________ ”！ (n + l )! — 4 ? _(m —4 + 1)/t!9 ~A! e-l 〉L l!kl ?4. 由千4列⽕车各不JtttM.所以停放的⽅?法与Jlft 序右关.有A ： = 】680 (利》＞不同的停法.5. A4 =24.6. 由于书架是单层的.所以向《?相当于20个元蒙的全拊列.有 N ：种不同的排法.7. 可以分三步完成I 第⼀步.安排4个⾳乐⽇⽬.共右At 种排法3第⼆步?安招*版节共有A| 神擂法.第⼆步.安排共⽯AJ 仲抑法.所以不何的抑法有A1 ? Aj ? Aj -288 (科).8. 由于”个不向元索的全惜列北⽯，，！个?fM “!＞，，.所以⼭，，个不阿的敷(ft 可以以不同的，序形成其余的每⼀⾏?并且任息两⾏的顺序都不同.为使捋⼀⾏郁不甄复，⼩可以取的眼⼤值是”!?9. (1)由于DW 上的任意3点不共线.R1的荥的端点没有牍序.所以共诃以的CQ- 45《条〉不时的弦， (2)由于V ⾓形的顶点没有点序.所以诃以1?的圆内徭三⾓形有(::靛】20《个〉.10. ＜1＞⼋五:边形7T 5个侦#?任,*：2个顶点的庄绶段中-除四K 边形的边外撮是对⾓例.所以共有对⾓绶CI ⼀5-5 (条)】(2)何＜1＞的理曲.可得对⾓线为福⼀”?51^^*〈条〉.5. ⑴(4 =筏|=15，(3)。

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练习（P8）
证明：若 a − b = 1，则 a2 − b2 + 2a − 4b − 3
= (a + b)(a − b) + 2(a − b) − 2b − 3 = a + b + 2 − 2b − 3 = a −b −1= 0 所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.
习题 1.1 A 组（P8） 1、（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是.
2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题. 否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题. 逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.
3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题. 否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题. 逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题.
学海无涯
第二章圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
练习（P37）
1、是. 容易求出等腰三角形 ABC 的边 BC 上的中线 AO 所在直线的方程是 x = 0. 2、 a = 32 ,b = 18 .
25 25
3、解：设点 A, M 的坐标分别为 (t,0) ， (x, y) .
（1）当 t 2 时，直线 CA 斜率
迹方程为 x2 + y2 = 4.
4、解法一：设圆 x2 + y2 − 6x + 5 = 0 的圆心为 C ，则点 C 的坐标是 (3,0) . 由题意，得 CM ⊥ AB ，则有 kCM kAB = −1 .
学海无涯
所以， y y = −1 (x 3, x 0) x−3 x

人教A版高中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案

⼈教A版⾼中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～3 全册章节同步检测试题⽬录第1章《计数原理》同步练习 1.1测试1第1章《计数原理》同步练习 1.1测试2第1章《计数原理》同步练习 1.1测试3第1章《计数原理》同步练习 1.2排列与组合第1章《计数原理》同步练习 1.3⼆项式定理第1章《计数原理》测试（1）第1章《计数原理》测试（2）第2章同步练习 2.1离散型随机变量及其分布列第2章同步练习 2.2⼆项分布及其应⽤第2章测试（1）第2章测试（2）第2章测试（3）第3章练习 3.1回归分析的基本思想及其初步应⽤第3章练习 3.2独⽴性检验的基本思想及其初步应⽤第3章《统计案例》测试（1）第3章《统计案例》测试（2）第3章《统计案例》测试（3）1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题1．⼀件⼯作可以⽤2种⽅法完成，有3⼈会⽤第1种⽅法完成，另外5⼈会⽤第2种⽅法完成，从中选出1⼈来完成这件⼯作，不同选法的种数是（）Ａ．8 Ｂ．15Ｃ．16 Ｄ．30答案：Ａ2．从甲地去⼄地有3班⽕车，从⼄地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅⾏⽅式有（）Ａ．5种Ｂ．6种Ｃ．7种Ｄ．8种答案：Ｂ3．如图所⽰为⼀电路图，从A 到B 共有（）条不同的线路可通电（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｄ4．由数字0，1，2，3，4可组成⽆重复数字的两位数的个数是（）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．李芳有4件不同颜⾊的衬⾐，3件不同花样的裙⼦，另有两套不同样式的连⾐裙．“五⼀”节需选择⼀套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择⽅式（）Ａ．24 Ｂ．14 Ｃ．10 Ｄ．9答案：Ｂ 6．设A ，B 是两个⾮空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16答案：Ｃ⼆、填空题7．商店⾥有15种上⾐，18种裤⼦，某⼈要买⼀件上⾐或⼀条裤⼦，共有种不同的选法；要买上⾐，裤⼦各⼀件，共有种不同的选法．答案：33，2708．⼗字路⼝来往的车辆，如果不允许回头，共有种⾏车路线．答案：129．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则⽅程22()()25x a y b -+-=表⽰不同的圆的个数是．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有项．答案：1011．如图，从A →C ，有种不同⾛法．答案：612．将三封信投⼊4个邮箱，不同的投法有种．答案：34三、解答题 13．⼀个⼝袋内装有5个⼩球，另⼀个⼝袋内装有4个⼩球，所有这些⼩球的颜⾊互不相同．（1）从两个⼝袋内任取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？（2）从两个⼝袋内各取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？解：（1）549N =+=种；（2）5420N =?=种．14．某校学⽣会由⾼⼀年级5⼈，⾼⼆年级6⼈，⾼三年级4⼈组成．（1）选其中1⼈为学⽣会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1⼈为校学⽣会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两⼈参加市⾥组织的活动，有多少种不同的选法？解：（1）56415N =++=种；（2）564120N =??=种；（3）56644574N =?+?+?=种15．已知集合{}321012()M P a b =---，，，，，，，是平⾯上的点，a b M ∈，．（1）()P a b ，可表⽰平⾯上多少个不同的点？（2）()P a b ，可表⽰多少个坐标轴上的点？解：（1）完成这件事分为两个步骤：a 的取法有6种，b 的取法也有6种，∴P 点个数为N =6×6=36(个)；（2）根据分类加法计数原理，分为三类：①x 轴上（不含原点）有5个点；②y 轴上（不含原点）有5个点；③既在x 轴，⼜在y 轴上的点，即原点也适合，∴共有N =5+5+1=11（个）．1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题 1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（） A ．30个 B ．42个 C ．36个 D ．35个答案：Ｃ2．把10个苹果分成三堆，要求每堆⾄少1个，⾄多5个，则不同的分法共有（） A ．4种 B ．5种 C ．6种 D ．7种答案：Ａ3．如图，⽤4种不同的颜⾊涂⼊图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂⾊不同，则不同的涂法有（） A ．72种 B ．48种 C ．24种 D ．12种答案：Ａ4．教学⼤楼共有五层，每层均有两个楼梯，由⼀层到五层的⾛法有（） A ．10种 B ．52种Ｃ．25种Ｄ．42种答案：Ｄ5．已知集合{}{}023A B x x ab a b A ===∈，，，，，|，则B 的⼦集的个数是（）Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．15答案：Ｃ6．三边长均为正整数，且最⼤边长为11的三⾓形的个数为（）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ⼆、填空题7．平⾯内有7个点，其中有5个点在⼀条直线上，此外⽆三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．答案：128．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直⾓三⾓形的个数为．答案：2(1)n n -9．电⼦计算机的输⼊纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产⽣种不同的信息．答案：25610．椭圆221x y m n+=的焦点在y 轴上，且{}{}123451234567m n ∈∈，，，，，，，，，，，，则这样的椭圆的个数为．答案：20 11．已知集合{}123A ，，ü，且A 中⾄少有⼀个奇数，则满⾜条件的集合A 分别是．答案：{}{}{}{}{}13122313，，，，，，，12．整数630的正约数（包括1和630）共有个．答案：24三、解答题 13．⽤0，1，2，3，4，5六个数字组成⽆重复数字的四位数，⽐3410⼤的四位数有多少个？解：本题可以从⾼位到低位进⾏分类．（1）千位数字⽐3⼤．（2）千位数字为3：①百位数字⽐4⼤；②百位数字为4： 1°⼗位数字⽐1⼤；2°⼗位数字为1→个位数字⽐0⼤．所以⽐3410⼤的四位数共有2×5×4×3+4×3+2×3+2=140（个）．14．有红、黄、蓝三种颜⾊旗⼦各(3)n n >⾯，任取其中三⾯，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦中不允许有三⾯相同颜⾊的旗⼦，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦颜⾊各不相同，有多少种不同的信号？解： 1N =3×3×3=27种； 227324N =-=种； 33216N =??= 种．15．某出版社的7名⼯⼈中，有3⼈只会排版，2⼈只会印刷，还有2⼈既会排版⼜会印刷，现从7⼈中安排2⼈排版，2⼈印刷，有⼏种不同的安排⽅法．解：⾸先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版⼜会印刷”中的⼀个作为分类的标准．下⾯选择“既会排版⼜会印刷”作为分类的标准，按照被选出的⼈数，可将问题分为三类：第⼀类：2⼈全不被选出，即从只会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法；只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第⼆类：2⼈中被选出⼀⼈，有2种选法．若此⼈去排版，则再从会排版的3⼈中选1⼈，有3种选法，只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此⼈去印刷，则再从会印刷的2⼈中选1⼈，有2种选法，从会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2⼈全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．1． 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合卷⼀．选择题：1．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种2．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语⽂、数学、英语各⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种3．某商业⼤厦有东南西3个⼤门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到⼆楼的不同⾛法种数是（）（A ） 5 （B ）7 （C ）10 （D ）124．⽤1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个5．⽤1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个6．3科⽼师都布置了作业，在同⼀时刻4名学⽣都做作业的可能情况有（）（A ）43种（B ）34种（C ）4×3×2种（D ） 1×2×3种7．把4张同样的参观券分给5个代表，每⼈最多分⼀张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）（A ）120种（B ）1024种（C ）625种（D ）5种8．已知集合M={l ，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取⼀个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直⾓坐标系中可表⽰第⼀、⼆象限内不同的点的个数是（）（A ）18 （B ）17 （C ）16 （D ）109．三边长均为整数，且最⼤边为11的三⾓形的个数为（）（A ）25 （B ）36 （C ）26 （D ）3710．如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路⽹，若规定只能向东或向北两个⽅向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的⾛法共有（）（A ）25 （B ）15 （C）13 （D ）10 ⼆．填空题：11．某书店有不同年级的语⽂、数学、英语练习册各10本，买其中⼀种有种⽅法；买其中两种有种⽅法．12．⼤⼩不等的两个正⽅形玩具，分别在各⾯上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的⾯标着的两个数字之积不少于20的情形有种．13．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值．14．在连结正⼋边形的三个顶点组成的三⾓形中，与正⼋边形有公共边的有个．15．某班宣传⼩组要出⼀期向英雄学习的专刊，现有红、黄、⽩、绿、蓝五种颜⾊的粉笔供选⽤，要求在⿊板中A 、B 、C 、D 每⼀部分只写⼀种颜⾊，如图所⽰，相邻两块颜⾊不同，则不同颜⾊的书写⽅法共有种．三．解答题：16．现由某校⾼⼀年级四个班学⽣34⼈，其中⼀、⼆、三、四班分别为7⼈、8⼈、9⼈、10⼈，他们⾃愿组成数学课外⼩组．（1）选其中⼀⼈为负责⼈，有多少种不同的选法？（2）每班选⼀名组长，有多少种不同的选法？（3）推选⼆⼈做中⼼发⾔，这⼆⼈需来⾃不同的班级，有多少种不同的选法？17．4名同学分别报名参加⾜球队，蓝球队、乒乓球队，每⼈限报其中⼀个运动队，不同的报名⽅法有⼏种？［探究与提⾼］1．甲、⼄两个正整数的最⼤公约数为60，求甲、⼄两数的公约数共有多个？2．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线⽅程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第⼀象限，这样的抛物线共有多少条？3．电视台在“欢乐今宵”节⽬中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，⼄信箱中有20封．现由主持⼈抽奖确定幸运观众，若先确定⼀名幸运之星，再从两信箱中各确定⼀名幸运伙伴，有多少种不同的结果？综合卷1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 9．B 10．B11．30；300 12．513．17 14．40 15．1801． 2排列与组合1、排列综合卷1．90×9l ×92×……×100=（）（A ）10100A （B ）11100A （C ）12100A （D ）11101A 2．下列各式中与排列数mn A 相等的是（）（A ）!(1)!-+n n m （B ）n(n －1)(n －2)……(n －m) （C ）11m n nA n m --+ （D ）111m n n A A --3．若 n ∈N 且 n<20，则(27－n )(28－n)……(34－n)等于（）（A ）827n A - （B ）2734nn A -- （C ）734n A - （D ）834n A -4．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（）（A ）0 （B ）3 （C ）5 （D ）85．⽤1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）（A ）24个（B ）30个（C ）40个（D ）60个6．从0，l ，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）（A ）20个（B ）19个（C ）25个（D ）30个7．甲、⼄、丙、丁四种不同的种⼦，在三块不同⼟地上试种，其中种⼦甲必须试种，那么不同的试种⽅法共有（）（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）96种8．某天上午要排语⽂、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第⼀节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）（A ）6种（B ）9种（C ）18种（D ）24种9．有四位司机、四个售票员组成四个⼩组，每组有⼀位司机和⼀位售票员，则不同的分组⽅案共有（）（A ）88A 种（B ）48A 种（C ）44A ·44A 种（D ）44A 种10．有4位学⽣和3位⽼师站在⼀排拍照，任何两位⽼师不站在⼀起的不同排法共有（）（A ）(4!)2种（B ）4!·3!种（C ）34A ·4!种（D ）3 5A ·4!种11．把5件不同的商品在货架上排成⼀排，其中a ，b 两种必须排在⼀起，⽽c ，d 两种不能排在⼀起，则不同排法共有（）（A ）12种（B ）20种（C ）24种（D ）48种⼆．填空题:：12．6个⼈站⼀排，甲不在排头，共有种不同排法．13．6个⼈站⼀排，甲不在排头，⼄不在排尾，共有种不同排法．14．五男⼆⼥排成⼀排，若男⽣甲必须排在排头或排尾，⼆⼥必须排在⼀起，不同的排法共有种．15．将红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼩球，分别放⼊红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼝袋中，但红⼝袋不能装⼊红球，则有种不同的放法．16．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法；（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法．三、解答题：17．⼀场晚会有5个唱歌节⽬和3个舞蹈节⽬，要求排出⼀个节⽬单（1）前4个节⽬中要有舞蹈，有多少种排法？（2）3个舞蹈节⽬要排在⼀起，有多少种排法？（3）3个舞蹈节⽬彼此要隔开，有多少种排法？18．三个⼥⽣和五个男⽣排成⼀排．（1）如果⼥⽣必须全排在⼀起，有多少种不同的排法？（2）如果⼥⽣必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排⼥⽣，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排⼥⽣，有多少种不同的排法？（5）如果三个⼥⽣站在前排，五个男⽣站在后排，有多少种不同的排法？综合卷1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．C12．600 13．504 14．480 15．9616．(1) 60；(2) 12517．(1) 37440；(2) 4320；(3) 1440018．(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 7202、组合综合卷⼀、选择题：1．下列等式不正确的是（）（A ）!!()!mn n C m n m =- （B ）11mm n n m C C n m++=- （C ）1111m m n n m C C n +++=+ （D ）11m m n n C C ++= 2．下列等式不正确的是（）（A ）m n m n n C C -= （B ）11m m mm m m C C C -++=（C ）123455555552C C C C C ++++= （D ）11 111m m m m n n n n C C C C --+--=++3．⽅程2551616x x x C C --=的解共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4．若372345n n n C A ---=，则n 的值是（）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）145．已知7781n n n C C C +-=，那么n 的值是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6．从5名男⽣中挑选3⼈，4名⼥⽣中挑选2⼈，组成⼀个⼩组，不同的挑选⽅法共有（）（A ）3254C C 种（B ） 3254C C 55A 种（C ） 3254A A 种（D ） 3254A A 55A 种7．从4个男⽣，3个⼥⽣中挑选4⼈参加智⼒竞赛，要求⾄少有⼀个⼥⽣参加的选法共有（）（A ）12种（B ）34种（C ）35种（D ）340种8．平⾯上有7个点，除某三点在⼀直线上外，再⽆其它三点共线，若过其中两点作⼀直线，则可作成不同的直线（）（A ）18条（B ）19条（C ）20条（D ）21条9．在9件产品中，有⼀级品4件，⼆级品3件，三级品2件，现抽取4个检查，⾄少有两件⼀级品的抽法共有（）（A ）60种（B ）81种（C ）100种（D ）126种10．某电⼦元件电路有⼀个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某⼀焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）（A ）5种（B ）6种（C ）63种（D ）64种⼆．填空题：11．若11m m n n C xC --=，则x= ．12．三名教师教六个班的课，每⼈教两个班，分配⽅案共有种。

高中数学选修1-2(人教A 版)综合测试题及参考答案

高中数学选修1-2（人教A 版）综合测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.独立性检验，适用于检查______变量之间的关系（）A.线性B.非线性C.解释与预报D.分类2.样本点),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 的样本中心与回归直线a x b y ˆˆˆ+=的关系（）A.在直线上B.在直线左上方C. 在直线右下方D.在直线外 3.复平面上矩形ABCD 的四个顶点中，C B A 、、所对应的复数分别为i 32+、i 23+、i 32--，则D点对应的复数是（）A.i 32+-B.i 23--C.i 32-D.i 23-4.在复数集C内分解因式5422+-x x 等于（）A.)31)(31(i x i x --+-B.)322)(322(i x i x --+-^C.)1)(1(2i x i x --+-D.)1)(1(2i x i x -+++5.已知数列 ,11,22,5,2，则52是这个数列的（） A.第6项 B.第7项 C.第19项 D.第11项6.用数学归纳法证明)5,(22≥∈>*n N n n n成立时，第二步归纳假设正确写法是（） A.假设k n =时命题成立 B.假设)(*∈=N k k n 时命题成立 C.假设)5(≥=n k n 时命题成立 D.假设)5(>=n k n 时命题成立 7.2020)1()1(i i --+的值为（）A.0B.1024C.1024-D.10241- 8.确定结论“X 与Y 有关系”的可信度为5.99℅时，则随即变量2k 的观测值k 必须（） A.大于828.10 B.小于829.7 C.小于635.6 D.大于706.2 、 9.已知复数z满足||z z -=，则z的实部（）A.不小于0B.不大于0C.大于0D.小于0 10.下面说法正确的有 ( ) （1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。

高中人教选修一数学课本习题答案

高中人教选修一数学课本习题答案在高中数学的学习过程中，习题是检验学生对知识点掌握程度的重要手段。

以下是人教版高中数学选修一课本中的部分习题答案，供同学们参考：第一章：集合与函数习题1：集合的表示方法有两种，列举法和描述法。

例如，集合A={1, 2, 3}是列举法表示，而集合B={x | x是小于10的正整数}是描述法表示。

习题2：若集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}，A∪B={1, 2, 3, 4}。

习题3：函数f(x)=x^2+1在x=-1处的导数为2。

习题4：若f(x)=x^2，g(x)=3x+1，则复合函数f(g(x))=(x^2)(3x+1)。

第二章：三角函数与解三角形习题1：正弦定理：在三角形ABC中，a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别为角A、B、C所对的边。

习题2：余弦定理：在三角形ABC中，c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC。

习题3：若sinA = 3/5，且A在第一象限，则cosA = 4/5。

习题4：在三角形ABC中，若a=7，b=5，c=6，且cosC = 1/2，则角C=60°。

第三章：不等式习题1：解不等式x^2 - 4x + 4 ≤ 0，解集为[2, 2]。

习题2：若a > 0，b < 0，且|a| < |b|，则不等式ax + b > 0的解集为x < -b/a。

习题3：证明不等式：对于任意正数a、b，有a + b ≥ 2√(ab)。

习题4：若x > 0，y > 0，且x + y = 1，则x^2 + y^2 ≥ 1/2。

第四章：数列习题1：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

习题2：等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)。

习题3：若等差数列的前n项和为S，首项为a1，公差为d，则S = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。

人教版高中数学选修23课后习题参考答案

新课程标准数学选修2—3第一章课后习题解答第一章计数原理1．1分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习（P6）1、（1）要完成的“一件事情”是“选出1人完成工作”，不同的选法种数是5＋4＝9；（2）要完成的“一件事情”是“从A 村经B 村到C 村去”，不同路线条数是3×2＝6.2、（1）要完成的“一件事情”是“选出1人参加活动”，不同的选法种数是3＋5＋4＝12；（2）要完成的“一件事情”是“从3个年级的学生中各选1人参加活动”，不同选法种数是3×5×4＝60.3、因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考虑学校的差异，所以应当是6＋4－1=9（种）可能的专业选择. 练习（P10）1、要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”.由于每一项都是i j k a b c 的形式，所以可以分三步完成：第一步，取i a ，有3种方法；第二步，取j b ，有3种方法；第三步，取k c ，有5种方法. 根据分步乘法计数原理，展开式共有3×3×5＝45（项）.2、要完成的“一件事情”是“确定一个电话号码的后四位”. 分四步完成，每一步都是从0～9这10个数字中取一个，共有10×10×10×10=10000（个）.3、要完成的“一件事情”是“从5名同学中选出正、副组长各1名”. 第一步选正组长，有5种方法；第二步选副组长，有4种方法. 共有选法5×4＝20（种）.4、要完成的“一件事情”是“从6个门中的一个进入并从另一个门出去”. 分两步完成：先从6个门中选一个进入，再从其余5个门中选一个出去. 共有进出方法6×5＝30（种）. 习题1.1 A 组（P12）1、“一件事情”是“买一台某型号的电视机”. 不同的选法有4＋7＝11（种）.2、“一件事情”是“从甲地经乙地或经丙地到丁地去”. 所以是“先分类，后分步”，不同的路线共有2×3＋4×2=14（条）.3、对于第一问，“一件事情”是“构成一个分数”. 由于1，5，9，13是奇数，4，8，12，16是偶数，所以1，5，9，13中任意一个为分子，都可以与4，8，12，16中的任意一个构成分数. 因此可以分两步来构成分数：第一步，选分子，有4种选法；第二步，选分母，也有4种选法. 共有不同的分数4×4＝16（个）.对于第二问，“一件事情”是“构成一个真分数”. 分四类：分子为1时，分母可以从4，8，12，16中任选一个，有4个；分子为5时，分母可以从8，12，16中选一个，有3个；分子为9时，分母从12，16中选一个，有2个；分子为13时，分母只能选16，有1个. 所以共有真分数4＋3＋2＋1＝10（个）.4、“一件事情”是“接通线路”. 根据电路的有关知识，容易得到不同的接通线路有3＋1＋2×2＝8（条）.5、（1）“一件事情”是“用坐标确定一个点”. 由于横、纵坐标可以相同，因此可以分两步完成：第一步，从A中选横坐标，有6个选择；第二步，从A中选纵坐标，也有6个选择. 所以共有坐标6×6＝36（个）.（2）“一件事情”是“确定一条直线的方程”. 由于斜率不同截距不同、斜率不同截距相同、斜率相同截距不同的直线都是互不相同的，因此可分两步完成：第一步，取斜率，有4种取法；第二步，取截距，有4种取法. 所以共有直线4×4＝16（条）.习题1.1 B组（P13）1、“一件事情”是“组成一个四位数字号码”. 由于数字可以重复，最后一个只能在0～5这六个数字中拨，所以有号码10×10×10×6＝6000（个）.2、（1）“一件事情”是“4名学生分别参加3个运动队中的一个，每人限报一个，可以报同一个运动队”. 应该是人选运动队，所以不同报法种数是43.（2）“一件事情”是“3个班分别从5个风景点中选择一处游览”. 应该是人选风景点，故不同的选法种数是35. 1．2排列与组合练习（P20）1、（1）,,,,,,,,,,,ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc ；（2）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad ae ba bc bd be ca cb cd ce da db dc de ea eb ec ed .2、（1）4151514131232760A =⨯⨯⨯=；（2）777!5040A ==；（3）4288287652871568A A -=⨯⨯⨯-⨯⨯=；（4）87121277121255A A A A ==.3、4、（1）略. （2）876777787677778788A A A A A A A -+=-+=.5、3560A =（种）. 6、3424A =（种）. 练习（P25）1、（1）甲、乙，甲、丙，甲、丁，乙、丙，乙、丁，丙、丁；（2）2、ABC ∆，ABD ∆，ACD ∆，BCD ∆.3、3620C =（种）. 4、246C =（个）. 5、（1）26651512C ⨯==⨯；（2）3887656123C ⨯⨯==⨯⨯；（3）3276351520C C -=-=；（4）328532356210148C C -=⨯-⨯=.6、()1111(1)!!11(1)![(1)(1)]!!!m mn n m m n n C C n n m n m m n m +++++=⋅==++++-+- 习题1.2 A 组（P27）1、（1）325454*********A A +=⨯+⨯=；（2）12344444412242464A A A A +++=+++=. 2、（1）315455C =；（2）19732002001313400C C ==；（3）346827C C ÷=；（4）22211(1)(1)(1)22n n n n nn nn n n n CCCC n -++--⋅=⋅=+⋅=.3、（1）12111(1)n n n n n n n n n n n n A A n A A nA n A +-+--=+-==；（2）(1)!!(1)!!(1)!!(1)!!!n n n k n n k n k k k k ++-⋅-+-==-. 4、由于4列火车各不相同，所以停放的方法与顺序有关，有481680A =（种）不同的停法.5、4424A =. 6、由于书架是单层的，所以问题相当于20个元素的全排列，有2020A 种不同的排法.7、可以分三步完成：第一步，安排4个音乐节目，共有44A 种排法；第二步，安排舞蹈节目，共有33A 种排法；第三步，安排曲艺节目，共有22A 种排法. 所以不同的排法有432432288A A A ⋅⋅=（种）.8、由于n 个不同元素的全排列共有!n 个，而!n n ≥，所以由n 个不同的数值可以以不同的顺序形成其余的每一行，并且任意两行的顺序都不同. 为使每一行都不重复，m 可以取的最大值是!n .9、（1）由于圆上的任意3点不共线，圆的弦的端点没有顺序，所以共可以画21045C =（条）不同的弦；（2）由于三角形的顶点没有顺序，所以可以画的圆内接三角形有310120C =（个）. 10、（1）凸五边形有5个顶点，任意2个顶点的连线段中，除凸五边形的边外都是对角线，所以共有对角线2555C -=（条）；（2）同（1）的理由，可得对角线为2(3)2n n n C n --=（条）.说明：本题采用间接法更方便. 11、由于四张人民币的面值都不相同，组成的面值与顺序无关，所以可以分为四类面值，分别由1张、2张、3张、4张人民币组成，共有不同的面值1234444415C C C C +++=（种）. 12、（1）由“三个不共线的点确定一个平面”，所确定的平面与点的顺序无关，所以共可确定的平面数是3856C =；（2）由于四面体由四个顶点唯一确定，而与四个点的顺序无关，所以共可确定的四面体个数是410210C =. 13、（1）由于选出的人没有地位差异，所以是组合问题，不同的方法数是3510C =. （2）由于礼物互不相同，与分送的顺序有关系，所以是排列问题，不同方法数是3560A =；（3）由于5个人中每个人都有3中选择，而且选择的时间对别人没有影响，所以是一个“可重复排列”问题，不同方法数是53243=；（4）由于只要取出元素，而不必考虑顺序，所以可以分两步取元素：第一步，从集合A 中取，有m 种取法；第二步，从集合B 中取，有n 种取法. 所以共有取法mn 种. 说明：第（3）题是“可重复排列”问题，但可以用分步乘法计数原理解决.14、由于只要选出要做的题目即可，所以是组合问题，另外，可以分三步分别从第1，2，3题中选题，不同的选法种数有32143224C C C ⋅⋅=. 15、由于选出的人的地位没有差异，所以是组合问题.（1）225460C C ⋅=；（2）其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有2721C =（种）选法；（3）用间接法，在9人选4人的选法中，把男甲和女乙都不在内的去掉，就得到符合条件的选法数为449791C C -=；如果采用直接法，则可分为3类：只含男甲；只含女乙；同时含男甲女乙，得到符合条件的方法数为33277791C C C ++=；（4）用间接法，在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为444954120C C C --=. 也可以用直接法，分别按照含男生1，2，3人分类，得到符合条件的选法数为132231545454120C C C C C C ++=.16、按照去的人数分类，去的人数分别为1，2，3，4，5，6，而去的人大家没有地位差异，所以不同的去法有12345666666663C C C C C C +++++=（种）. 17、（1）31981274196C =；（2）142198124234110C C ⋅=；（3）51982410141734C =；（4）解法1：3141982198125508306C C C =⋅=. 解法2：55200198125508306C C -=. 说明：解答本题时，要注意区分“恰有”“至少有”等词. 习题1.2 B 组（P28）1、容易知道，在737C 注彩票中可以有一个一等奖.在解决第2问时，可分别计算37选6及37选8中的一等奖的中奖机会，它们分别是637112324784C =和8371138608020C =. 要将一等奖的机会提高到16000000以上且不超过1500000，即375000006000000nC ≤<，用计算机可得，6n =，或31n =.所以可在37个数中取6个或31个.2、可以按照I ，II ，III ，IV 的顺序分别着色：分别有5，4，3，3种方法，所以着色种数有5×4×3×3＝180（种）.3、“先取元素后排列”，分三步完成：第一步，从1，3，5，7，9中取3个数，有35C 种取法；第二步，从2，4，6，8中取2个数，有24C 种取法；第三步，将取出的5个数全排列，有55A 种排法. 共有符合条件的五位数3255457200C C A ⋅⋅=（个）. 4、由于甲和乙都没有得冠军，所以冠军是其余3人中的一个，有13A 种可能；乙不是最差的，所以是第2，3，4名中的一种有13A 种可能；上述位置确定后，甲连同其他2人可任意排列，有33A 种排法. 所以名次排列的可能情况的种数是11333354A A A ⋅⋅=. 5、等式两边都是两个数相乘，可以想到分步乘法计数原理，于是可得如下分步取组合的方法.在n 个人中选择m 个人搞卫生工作，其中k 个人擦窗，m k -个人拖地，共有多少种不同的选取人员的方法？解法1：利用分步计数原理，先从n 个人中选m 个人，然后从选出的m 个人中再选出k 个人擦窗，剩余的人拖地，这样有m knm C C 种不同的选取人员的方法；解法2：直接从n 个人中选k 个人擦窗，然后在剩下的n k -个人中选m k -个人拖地，这样，由分步计数原理得，共有k m knn k C C --种不同的人员选择方法. 所以，k m k m knn k n m C C C C --=成立. 说明：经常引导学生从一个排列组合的运算结果或等式出发，构造一个实际问题加以解释，有助于学生对问题的深入理解，检查结果，纠正错误. 1．3二项式定理练习（P31）1、7652433425677213535217p p q p q p q p q p q pq q +++++++.2、2424236(2)(3)2160T C a b a b =⋅=. 3、231(1)(2n rr r n rrr r nn r T C C x --+-=⋅=.4、D . 理由是5105555511010(1)T C x C x -+=-=-. 练习（P35）1、（1）当n 是偶数时，最大值2nn C ；当n 是奇数时，最大值12n nC-.（2）1311111111111210242C C C +++=⋅=. （3）12.2、∵0122knn nn n n n C C C C C ++++++=，2、∵0122knn nn n n n C C C C C ++++++=，0213nn n n C C C C ++=++∴012knnn n n n C C C C C ++++++0213()()n n n n C C C C =+++++022()2n n n C C =++=∴021222nn n nnnC C C -+++==. 3、略.习题1.3 A 组（P36）1、（1）011222(1)(1)(1)(1)n n n r n rr nn nn n n n C P C P P C P P C P P C P ---+-+-++-++-；（2）0122222nn n nn n n n n C C C C ++++.2、（1）9965432(9368412612684a a a a a b a a a b =+++23369a b ab b（2）27311357752222222172135(7016822412821283282x x x x x x x x ----=-+-+-+-.3、（1）552(1(122010x x ++=++；（2）11114412222(23)(23)192432x x x x x x ---+--=+. 4、（1）前4项分别是1，30x -，2420x ，33640x -；（2）91482099520T a b =-；（3）7924T =；（4）展开式的中间两项分别为8T ，9T ，其中78711815((6435T C x y =-=-87811915((6435T C x y =-=5、（1）含51x 的项是第6项，它的系数是5510163()28C -=-；（2）常数项是第6项，5105561012()2522T C -=⋅-=-.6、（1）2221221()(1)r n r r r r n rr n n T C x C xx --+=-=- 6、（1）2221221()(1)r n r r r r n rr n n T C x C xx--+=-=- 由220n r -=得r n =，即21()n x x-的展开式中常数项是12(1)n rn n T C +=-(2)!(1)!!nn n n =- 12345(21)2(1)!!n n nn n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅=-…[135(21)][2462](1)!!n n n n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=-……[135(21)]2!(1)!!n nn n n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅=-…135(21)(2)!nn n ⋅⋅⋅⋅-=-…（2）2(1)n x +的展开式共有21n +项，所以中间一项是12135(21)(2)!n nn n n n T C x x n +⋅⋅⋅⋅-==…7、略.8、展开式的第4项与第8项的二项式系数分别是3n C 与7n C ，由37n n n C C -=，得37n =-，即10n =.所以，这两个二项式系数分别是310C 与710C ，即120.习题1.3 B 组（P37）1、（1）∵1122221(1)111n n n n n n n n n n n n C n C n C n C n ----+-=++++++- 1122222n n n n nn n n C n C n C n n ---=+++++2213242(1)n n n n nn n n n C n C n C ----=+++++∴(1)1n n +-能被2n 整除；（2）∵1010991(1001)1-=--1019288291010101010010010010010011C C C C =-⋅+⋅++⋅-⋅+- 1019288210101010010010010010100C C C =-⋅+⋅++⋅-⨯1711521381010101000(101010101)C C C =-⋅+⋅++⋅-∴10991-能被1000整除.2、由0112211(21)222(1)2(1)n n n n n n n nnn n n n C C C C C -----=⋅-⋅+⋅++-⋅⋅+-，得112211222(1)2(1)1n n n n n n nn n C C C -----⋅+⋅++-⋅⋅+-=.第一章复习参考题A 组（P40）1、（1）2n ；说明：这里的“一件事情”是“得到展开式中的一项”. 由于项的形式是i j a b ，而,i j 都有n 种取法.（2）3276525C C ⋅=；（3）1545480A A ⋅=，或2454480A A ⋅=；说明：第一种方法是先考虑有限制的这名歌手的出场位置，第二种方法是先考虑有限制的两个位置. （4）45C ；说明：因为足球票无座，所以与顺序无关，是组合问题. （5）53；说明：对于每一名同学来说，有3种讲座选择，而且允许5名同学听同一个讲座，因此是一个“有重复排列”问题，可以用分步乘法原理解答. （6）54；说明：对角线的条数等于连接正十二边形中任意两个顶点的线段的条数212C ，减去其中的正十二边形的边12条：21212111212542C ⨯-=-=. （7）第1n +项.说明：展开式共有21n +项，且各系数与相应的二项式系数相同.2、（1）1234566666661956A A A A A A +++++=；说明：只要数字是1，2，3，4，5，6中的，而且数字是不重复的一位数、二位数、三位数、四位数、五位数和六位数都符合要求.（2）552240A =. 说明：只有首位数是6和5的六位数才符合要求.3、（1）3856C =；（2）1234555530C C C C +++=. 4、468898C C +=.说明：所请的人的地位没有差异，所以是组合问题. 按照“其中两位同学是否都请”为标准分为两类.5、（1）2(1)2n n n C -=；说明：任意两条直线都有交点，而且交点各不相同. （2）2(1)2n n n C -=. 说明：任意两个平面都有一条交线，而且交线互不相同. 6、（1）59764446024C =；（2）23397442320C C ⋅=；（3）2332397397446976C C C C ⋅+⋅=. 7、34533453103680A A A A ⋅⋅⋅=. 说明：由于不同类型的书不能分开，所以可以将它们看成一个整体，相当于是3个元素的全排列. 但同类书之间可以交换顺序，所以可以分步对它们进行全排列. 8、（1）226x -；说明：第三项是含2x 的项，其系数是22112244553(23)(2)26C C C C ⋅+⋅-⨯+--. （2）18118(9)(rr r r T C x -+=，由题意有1802rr --= 解得12r =，1318564T =；（3）由题意得98102n n n C C C =+，即2!!!9!(9)!8!(8)!10!(10)!n n n n n n ⋅=+---化简得2373220n n -+=，解得14n =，23n =；（4）解法1：设1r T +'是10(1)x -展开式的第1r +项，由题意知，所求展开式中4x 的系数为41T +'，31T +'与21T +'的系数之和.444110()T C x +'=-，333110()T C x +'=-，222110()T C x +'=-，因此，4x 的系数432101010135C C C =-+=. 解法2：原式39(1)(1)x x =--3223344999(1)(19)x x C x C x C x =--+-++因此，4x 的系数499135C =+=. 9、5555559(561)9+=-+5515454555556565619C C =-⋅++⋅-+ 551545455555656568C C =-⋅++⋅+由于551545455555656568C C -⋅++⋅+中各项都能被8整除，因此55559+也能被8整除.第一章复习参考题B 组（P41）1、（1）121121n n n C C -++==，即1(1)212n n +⋅=，解得6n =；（2）1144244224192A A A ⋅⋅=⨯⨯=；说明：先排有特殊要求的，再排其他的. （3）433333⨯⨯⨯=，34444⨯⨯=；说明：根据映射定义，只要集合A 中任意一个元素在集合B 中能够找到唯一对应的元素，（4）2426106500000A ⨯=；（5）481258C -=；说明：在从正方体的8个顶点中任取4个的所有种数48C 中，排除四点共面的12种情况，即正方体表面上的6种四点共面的情况，以及如右图中ABC D ''这样的四点共面的其他 6种情况，因此三棱锥的个数为481258C -=（6）1或1-.说明：令1x =，这时(12)n x -的值就是展开式中各项系数的和，其值是1,(12)(1)1n n n n -⎧-=-=⎨⎩是奇数，是偶数2、（1）先从1，3，5中选1个数放在末位，有13A 种情况；再从除0以外的4个数中选1个数放在首位，有14A 种情况；然后将剩余的数进行全排列，有44A 种情况. 所以能组成的六位奇数个数为114344288A A A ⋅⋅=. （2）解法1：由0，1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的正整数的个数是1555A A ⋅，其中不大于201345的正整数的个数，当首位数字是2时，只有201345这1个；当首位数字是1时，有55A 个. 因此，所求的正整数的个数是155555(1)479A A A ⋅-+=. 解法2：由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的正整数中，大于201345的数分为以下几种情况：前4位数字为2013，只有201354，个数为1；同理，前3位数字为201，个数为1222A A ⋅；前2位数字为20，个数为1333A A ⋅；首位数字为2，个数为1444A A ⋅；首位数字为3，4，5中的一个，个数为1535A A ⋅；根据分类计数原理，所求的正整数的个数是12131415223344351479A A A A A A A A +⋅+⋅+⋅+⋅=. 3、（1）分别从两组平行线中各取两条平行线，便可构成一个平行四边形，所以可以构成的平行四边形个数为221(1)(1)4m n C mn m n ⋅=--；（2）分别从三组平行平面中各取两个平行平面，便可构成一个平行六面体，所以可以构成的平行六面体个数为2221(1)(1)(1)8mn l C C C mnl m n l ⋅⋅=---. 4、（1）先排不能放在最后的那道工序，有14A 种排法；再排其余的4道工序，有44A 种排法. 根据分步乘法计数原理，排列加工顺序的方法共有144496A A ⋅=（种）；（2）先排不能放在最前和最后的那两道工序，有23A 种排法；再排其余的3道工序，有33A 种排法，根据分步乘法计数原理，排列加工顺序的方法共有233336A A ⋅=（种）.5、解法1：由等比数列求和公式得33342(1)(1)(1)(1)(1)n n x x x x x x+++-+++++++=，上述等式右边分子的两个二项式中含2x 项的系数分别是33n C +，33C ，因此它们的差23333(611)6n n n n CC +++-=，就是所求展开式中含2x 项的系数.解法2：原式中含2x 项的系数分别是23C ，24C ，…，22n C +，因此它们的和就是所求展开式中含2x 项的系数. 与复习参考题B 组第2题同理，可得22223334233(611)6n n n n n C C CCC +++++++=-=修2—3第二章课后习题解答第二章随机变量及其分布 2．1离散型随机变量及其分布列练习（P45）1、（1）能用离散型随机变量表示. 可能的取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12. （2）能用离散型随机变量表示. 可能的取值为0，1，2，3，4，5. （3）不能用离散型随机变量表示.说明：本题的目的是检验学生是否理解离散型随机变量的含义. 在（3）中，实际值与规定值之差可能的取值是在0附近的实数，既不是有限个值，也不是可数个值. 2、可以举的例子很多，这里给出几个例子：例1 某公共汽车站一分钟内等车的人数；例2 某城市一年内下雨的天数；例3 一位跳水运动员在比赛时所得的分数；例4 某人的手机在1天内接收到电话的次数.说明：本题希望学生能观察生活中的随机现象，知道哪些量是随机变量，哪些随机变量又是离散型随机变量. 练习（P49）1、设该运动员一次罚球得分为X ，X 是一个离散型随机变量，其分布列为说明：这是一个两点分布的例子，投中看作试验成功，没投中看作试验失败. 通过这样的例子可以使学生理解两点分布是一个很常用的概率模型，实际中大量存在. 虽然离散型随机变量的分布列可以用解析式的形式表示，但当分布列中的各个概率是以数值的形式给出时，通常用列表的方式表示分布列更为方便.2、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，其全部可能的结果为{正正，正反，反正，反反}. 正面向上次数X 是一个离散型随机变量，1(0)({})0.254P X P ====反反 2(1)({}{})0.54P X P ====正反反正1(2)({})0.25P X P ====正正因此X 的分布列为说明：这个离散型随机变量虽然简单，但却是帮助学生理解随机变量含义的一个很好的例子. 试验的全部可能的结果为{正正，正反，反正，反反}，随机量X 的取值范围为{0，1，2}，对应关系为正正→2 正反→1 反正→1 反反→0在这个例子中，对应于1的试验结果有两个，即“正反”和“反正”，因此用随机变量X 不能表示随机事件{正反}. 这说明对于一个具体的随机变量而言，有时它不能表示所有的随机事件.可以通过让学生们分析下面的推理过程存在的问题，进一步巩固古典概型的知识. 如果把X 所有取值看成是全体基本事件，即{0,1,2}Ω=.根据古典概型计算概率的公式有 1(1)({1})3P X P ===. 这与解答的结果相矛盾. 原因是这里的概率模型不是古典概型，因此上面式中的最后一个等号不成立. 详细解释下：虽然Ω中只含有3个基本事件，但是出现这3个基本事件不是等可能的，因此不能用古典概型计算概率的公式来计算事件发生的概率.3、设抽出的5张牌中包含A 牌的张数为X ，则X 服从超几何分布，其分布列为5448552()i iC C P X i C -==，i =0，1，2，3，4. 因此抽出的5张牌中至少3张A 的概率为(3)(3)(4)0.002P X P X P X ≥==+=≈.说明：从52张牌任意取出5张，这5张牌中包含A 的个数X 是一个离散型随机变量. 把52张牌看成是52件产品，把牌A 看成次品，则X 就成为从含有四件次品的52件产品中任意抽取5件中的次品数，因此X 服从超几何分布.本题的目的是让学生熟悉超几何分布模型，体会超几何分布在不同问题背景下的表现形式. 当让本题也可以用古典概型去解决，但不如直接用超几何分布简单. 另外，在解题中分布列是用解析式表达的，优点是书写简单，一目了然.4、两点分布的例子：掷一枚质地均匀的硬币出现正面的次数X 服从两点分布；射击一次命中目标的次数服从两点分布.超几何分布的例子：假设某鱼池中仅有鲤鱼和鲑鱼两种鱼，其中鲤鱼200条，鲑鱼40条，从鱼池中任意取出5条鱼，这5条鱼包含鲑鱼的条数X 服从超几何分布.说明：通过让学生举例子的方式，帮助学生理解这两个概率模型.习题2.1 A组（P49）1、（1）能用离散型随机变量表示.设能遇到的红灯个数为X，它可能的取值为0，1，2，3，4，5.事件{X＝0}表示5个路口遇到的都不是红灯；事件{X＝1}表示5个路口其中有1个路口遇到红灯，其他4个路口都不是红灯；事件{X＝2}表示5个路口其中有2个路口遇到红灯，其他3个路口都不是红灯；事件{X＝3}表示5个路口其中有3个路口遇到红灯，剩下2个路口都不是红灯；事件{X＝4}表示5个路口其中有4个路口遇到红灯，另外1个路口都不是红灯；事件{X＝5}表示5个路口全部都遇到红灯.（2）能用离散型随机变量表示.定义12345X⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩，成绩不及格，成绩及格，成绩中，成绩良，成绩优则X是一个离散型随机变量，可能的取值为1，2，3，4，5.事件{X＝1}表示该同学取得的成绩为不及格；事件{X＝2}表示该同学取得的成绩为及格；事件{X＝3}表示该同学取得的成绩为中；事件{X＝4}表示该同学取得的成绩为良；事件{X＝5}表示该同学取得的成绩为优.说明：本题是考查学生是否理解离散型随机变量的含义. 在（2）中，需要学生建立一个对应关系，因为随机变量的取值一定是实数，但这个对应关系不是唯一的，只要是从五个等级到实数的意义映射即可.2、某同学跑1 km所用时间X不是一个离散型随机变量. 如果我们只关心该同学是否能够取得优秀成绩，可以定义如下的随机变量：01km 4min 11km 4min Y >⎧=⎨≤⎩，跑所用的时间，跑所用的时间它是离散型随机变量，且仅取两个值：0或1.事件{1}Y =表示该同学跑1 km 所用时间小于等于4 min ，能够取得优秀成绩；事件{0}Y =表示该同学跑1 km 所用时间大于4 min ，不能够取得优秀成绩.说明：考查学生在一个随机现象中能否根据关心的问题不同定义不同的随机变量，以简化问题的解答. 可以与教科书中电灯泡的寿命的例子对比，基本思想是一致的.3、一般不能. 比如掷一枚质地均匀的硬币两次，用随机变量X 表示出现正面的次数，则不能用随机变量X 表示随机事件{第1次出现正面且第2次出现反面}和{第1次出现反面且第2次出现正面}. 因为{X ＝1}＝{第1次出现正面且第2次出现反面}∪{第1次出现反面且第2次出现正面}，所以这两个事件不能分别用随机变量X 表示.说明：一个随机变量是与一个事件域相对应的，一个事件域一般是由部分事件组成，但要满足一定的条件. 对离散型随机变量，如果它取某个值是由几个随机变量组成，则这几个随机事件就不能用随机变量表示，比如从一批产品中依次取出几个产品，用X 表示取出的产品中次品的个数，这时我们不能用X 表示随机事件{第i 次取出次品，其他均为合格品}. 4、不正确，因为取所有值的概率和不等于1.说明：考查学生对分布列的两个条件的理解，每个概率不小于0，其和等于1，即（1）0i p ≥，1,2,,i n =；（2）11ni i p ==∑.5、射击成绩优秀可以用事件{X ≥8}表示，因此射击优秀的概率为P {X ≥8}＝(8)(9)(10)0.280.290.220.79P X P X P X =+=+==++=说明：本题知识点是用随机变量表示随机事件，并通过分布列计算随机事件的概率. 6、用X 表示该班被选中的人数，则X 服从超几何分布，其分布列为104261030()i i C C P X i C -==， i =0，1，2，3，4. 该班恰有2名同学被选到的概率为2842610304!26!1902!2!8!18!(2)0.31230!60910!20!C C P X C ⨯⨯⨯====≈⨯.说明：本题与49页练习的第3题类似，希望学生在不同背景下能看出超几何分布模型. 习题2.1 B 组（P49）1、（1）设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的篇数为X ，则X 是一个离散型随机变量，它可能的取值为0，1，2，3，且X 服从超几何分布，分布列为即（2）该同学能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率为112(2)(2)(3)0.667263P X P X P X ≥==+==+==. 说明：本题是为了让学生熟悉超几何分布模型，并能用该模型解决实际问题.2、用X 表示所购买彩票上与选出的7个基本号码相同的号码的个数，则X 服从超几何分布，其分布列为7729736()i i C C P X i C -==， i =0，1，2，3，4，5，6，7. 至少中三等奖的概率为52617072972972977736363697(5)0.00192752C C C C C C P X C C C ≥=++=≈. 说明：与上题类似同样是用超几何分布解决实际问题，从此题的结算结果可以看出至少中三等奖的概率近似为1／1000. 2．2二项分布及其应用练习（P54）1、设第1次抽到A 的事件为B ，第2次抽到A 的事件为C ，则第1次和第2次都抽到A 的事件为BC .解法1：在第1次抽到A 的条件下，扑克牌中仅剩下51张牌，其中有3张A ，所以在第1次抽到A 的条件下第2次也抽到A 的概率为3()51P C B =. 解法2：在第1次抽到A 的条件下第2次也抽到A 的概率为()433()()45151n BC P C B n B ⨯===⨯. 解法3：在第1次抽到A 的条件下第2次也抽到A 的概率为43()35251()451()515251P BC P C B P B ⨯⨯===⨯⨯.说明：解法1是利用缩小基本事件范围的方法计算条件概率，即分析在第1次抽到A 的条件下第2次抽取一张牌的随机试验的所有可能结果，利用古典概型计算概率的公式直接得到结果. 解法2实际上是在原来的基本事件范围内通过事件的计数来计算条件概率. 第3种方法是利用条件概率的定义来计算. 这里可以让学生体会从不同角度求解条件概率的特点.2、设第1次抽出次品的时间为B ，第2次抽出正品的事件为C ，则第1次抽出次品且第2次抽出正品的事件为BC .解法1：在第1次抽出次品的条件下，剩下的99件产品中有4件次品，所以在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为95()99P C B =. 解法2：在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为()59595()()59999n BC P C B n B ⨯===⨯. 解法3：在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为595()9510099()599()9910099P BC P C B P B ⨯⨯===⨯⨯. 说明：与上题类似，可以用不同方法计算条件概率.3、例1 箱中3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3人无放回地任意抽取，在已知第一个人抽到奖券的条件下，第二个人抽到奖券的概率或第三个人抽到奖券的概率，均为条件概率，它们都是0.例2 某班有45名同学，其中20名男生，25名女生，依次从全班同学中任选两名同学代表班级参加知识竞赛，在第1名同学是女生的条件下，第2名同学也是女生的概率.说明：这样的例子很多，学生举例的过程可以帮助学生理解条件概率的含义.练习（P55）1、利用古典概型计算的公式，可以求得()0.5P A =，()0.5P B =，()0.5P C =，()0.25P AB =，()0.25P BC =，()0.25P AC =，可以验证()()()P AB P A P B =，()()()P BC P B P C =，()()()P AC P A P C =.所以根据事件相互独立的定义，有事件A 与B 相互独立，事件B 与C 相互独立，事件A 与C 相互独立.说明：本题中事件A 与B 相互独立比较显然，因为抛掷的两枚硬币之间是互不影响的. 但事件B 与C 相互独立，事件A 与C 相互独立不显然，需要利用定义验证, 从该习题可以看出，事件之间是否独立有时根据实际含义就可做出判断，但有时仅根据实际含义是不能判断，需要用独立性的定义判断.2、（1）先摸出1个白球不放回的条件下，口袋中剩下3个球，其中仅有1个白球，所以在先摸出1个白球不放回的条件下，再摸出1个白球的概率是1／3.（2）先摸出1个白球后放回的条件下，口袋中仍然有4个球，其中有2个白球，所以在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是1／2.说明：此题的目的是希望学生体会有放回摸球与无放回摸球的区别，在有放回摸球中第2次摸到白球的概率不受第1次摸球结果的影响，而在无放回摸球中第2次摸到白球的概率受第1次摸球结果的影响.3、设在元旦期间甲地降雨的事件为A ，乙地降雨的事件为B .（1）甲、乙两地都降雨的事件为AB ，所以甲、乙两地都降雨的概率为()()()0.20.30.06P AB P A P B ==⨯=（2）甲、乙两地都不降雨的事件为AB ，所以甲、乙两地都不降雨的概率为()()()0.80.70.56P AB P A P B ==⨯=（3）其中至少一个地方降雨的事件为()()()AB AB AB ，由于事件AB ，AB 和AB 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，其中至少一个地方降雨的概率为()()()0.060.20.70.80.30.44P AB P AB P AB ++=+⨯+⨯=.说明：与例3类似，利用事件独立性和概率的性质计算事件的概率，需要学生复习《数学3（必修）》中学过的概率性质.4、因为()()A AB AB =，而事件AB 与事件AB 互斥，利用概率的性质得到()()()P A P AB P AB =+所以()()()P AB P A P AB =-.。

人教版高中数学选修2-1第三章-空间向量与立体几何练习题及答案

第三章空间向量及立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1. 下列命题中不正确的命题个数是( ) ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；②对空间任意点O 及不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 及b 所在直线平行。

A .1 B .2 C .3 D .42.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )A .（41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，32） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________.5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 及1CD 所形成角的余弦值为( )A .1010 B . 15C .31010 D . 352．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定的3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ；_C_D_A_P_ N_B_M（2）当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31(0，，)22-，则(，，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)--2．已知(2，2，4)a=-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、、a b c ( )A ．可构成直角三角形B ．可构成锐角三角形C ．可构成钝角三角形D ．不能构成三角形3．若两点的坐标是A （3cosα，3sinα，1），B （2cosθ，2sinθ，1），则|AB |的取值范围是( ) A ．[0，5] B ．[1，5] C ．（1，5） D ．[1，25]4.设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，则a 的值为 .5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为2a .建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角.3.2立体几何中的向量方法1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1及平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42 B ．32 C ．33 D ．23 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥.（1）求证：1AC ⊥平面1A BC ；D 1C 1B 1A 1DABCC 1 B 1 A 1B A（2）求1C 到平面1A AB 的距离；（3）求二面角1A A B C --余弦值的大小.B 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，1AC AA ==(1)证明：1ABA C ⊥；（2）求二面角A —1A C —B 的大小.5. 如右图，四棱锥S-ABCD 棱S D 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P-AC-D 的大小（3）在（2）的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC .若存在，求S E ：EC 的值；若不存在，试说明理由.参考答案第三章空间向量及立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a +3b －5c5.如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-. 连结AC ，则§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3. ③④4.（1）设1,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，BD CD CB b a =-=- ，所以1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即；（2）1,2,CD x CD CC ==1设则 2CC =x，设1,,A A a AD b DCc ===，11,A C a b c C D a c =++=-，2211242()()6A C C D a b c a c a a b b c c xx ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=+-，令24260xx +-=，则2320x x --=，解得1x =，或23x =-（舍去），_C_D _A_P_ N _B _M _EA 1§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示 1.A 2.D 3.B 4.165. （1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a ，0）A 1（0，0，2a )，C 1（-23a ，a 2,2a) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ，于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1则有所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.因此，AC 1及AM 所成的角就是AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角.∴2194a AC AM ⋅=，而|13||3,||2AC a AM a ==，由cos<1,AC AM >=1132||||AC AM AC AM ⋅=，∴ <1,AC AM >=30°. ∴AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角为30°. 3.2立体几何中的向量方法新课标第一网1.A2.C3. （1）如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥，所以DEAC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ，以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A C CB ⊥，又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .（2）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得t =.设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(1AA =，()2,2,0AB =，所以10220n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,n =-，所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==7. （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,CA =-，()2,0,0CB =，所以13020m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()0,3,1m =，故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅77-，根据法向量的方向，可知二面角1A A B C --的余弦值大小为77. 4.（1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，由正弦定理030ACB∠=.如右图，建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(1,0,0)(0,3,0),(0,0,3)A B C A(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的法向量，设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =，则10,0,130BC n AC n BC ⋅=⋅==-又（，，），不妨取1,(3,1,1)mn ==则，1A AC BD ∴--15二面角的大小为arccos 5. 5. （1）连结BD ，设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如右图.设底面边长为a ，则高62SO a =.于是 62(0,0,),(,0,0)22S a D a -，2(0,,0)2C a ，2(0,,0)2OC a =，26(,0,)22SD a a =--，0OC SD ⋅= ，故OC SD ⊥.从而 AC SD ⊥. (2)由题设知，平面PAC 的一个法向量26()2DSa =，平面DAC 的一个法向量600aOS =（，，，设所求二面角为θ，则3cos OS DS OS DSθ⋅==，得所求二面角的大小为30°._C_A_S_F_BO（3）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由（2）知DS 是平面PAC 的一个法向量，且),(0,)DS CS ==.设,CEtCS = 则((1)BE BC CE BC tCS t =+=+=-，而 103BE DC t ⋅=⇔=.即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥.而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面. 作者于华东责任编辑庞保军。