高考数学一轮复习专题：9.7 抛物线

2p sin2α
(α为弦AB的倾斜角).
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切.
(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛
物线.( × ) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐 标是( a4，0)，准线方程是x＝－a4 .( × ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( × ) (y42))，AB则为x抛1x2物＝线p42y，2＝y12y2p＝x(p－>p02)，的弦过长焦|点ABF|＝( p2x1＋，x02)＋的p弦.(，√若)A(x1，y1)，B(x2，
知识拓展
1.抛物线y2＝2px (p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F p2，0 的距离|PF|＝x0＋ p2，
也称为抛物线的焦半径.
2.y2＝ax的焦点坐标为
a4，0，准线方程为x＝－
a 4
.
3.设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝p42 ，y1y2＝－p2. (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝
跟踪训练1 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距 离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为____5__. 答案 解析
几何画板展示
如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1， 由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P 到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P， 使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小， 显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为 [1－－1]2＋0－12＝ 5 .
A. －12，12 C.[－1,1]
B.[－2,2] D.[－4,4]
Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理 得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0， 由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0， 解得－1≤k≤1.
4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点 P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为_y_2_＝__－__8_x或__x_2_＝__－__y_.
＝ 16＋4＝2 5， 即|PB|＋|PF|的最小值为 2 5.
2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为
x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距 离为d2，求d1＋d2的最小值. 解答 几何画板展示
由题意知，抛物线的焦点为F(1,0).
点P到y轴的距离d1＝|PF|－1， 所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1. 易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，
如图，过点B作BQ垂直准线于点Q， 交抛物线于点P1， 则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为4.
引申探究 1.若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值. 解答
几何画板展示
由题意可知点(3,4)在抛物线的外部. ∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离， ∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝ 42＋22
考点自测
1.(2016·四川)抛物线y2＝4x的焦点坐标是 答案 解析
A.(0,2) C.(2,0)
B.(0,1) D.(1,0)
∵对于抛物线y2＝ax，其焦点坐标为 a4，0， ∴对于y2＝4x，焦点坐标为(1,0).
2.(2016·甘肃张掖一诊)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1， y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于 答案 解析
圆x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16，
则圆心为(3,0)，半径为4.
又因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，
所以3＋
p 2
＝4，
解得p＝2.
题型分类 深度剖析
题型一 抛物线的定义及应用 例1 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小 值为____4____. 答案 解析 几何画板展示
A.9
B.8
C.7
D.6
抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1. 根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
3.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有 公共点，则直线l的斜率的取值范围是 答案 解析 几何画板展示
|1＋5| 故 d2＋|PF|的最小值为 12＋－12＝3 2， 所以d1＋d2的最小值为3 2 －1.
思维升华
与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛 物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难 度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有 关问题的重要途径.
9.7 抛物线
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
基础知识 自主学习
知识梳理
1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫 做抛物线.点F叫做抛物线的 焦点，直线l叫做抛物线的准线 . 2.抛物线的标准方程与几何性质
标准 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 对称轴
焦点
离心率
F p2，0
y＝0 F －p2，0
O(0,0)
F 0，p2 e＝1
x＝0 F 0，－p2
准线方程
p Hale Waihona Puke Baidu＝－2
x＝
p 2
y＝－p2
p y＝ 2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
答案 解析
设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0).将P(－2，－4)代入， 分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.
5.(2017·合肥调研)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0
相切，则p的值为____2____. 答案 解析
抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－p， 2