mathematic积分与应用
mathematica二重积分
mathematica二重积分摘要：一、Mathematica软件简介1.背景介绍2.功能概述二、二重积分概念及应用1.二重积分的定义2.几何意义3.实际应用场景三、Mathematica实现二重积分的方法1.基本语法2.参数设置3.实例演示四、Mathematica二重积分的优势与局限1.优势2.局限五、实际问题求解1.例题解析2.步骤演示正文：一、Mathematica软件简介1.背景介绍Mathematica是一款由Wolfram Research公司开发的数学软件，自1988年问世以来，广泛应用于科学、工程、数学等领域。
它具有强大的计算和可视化功能，可以帮助用户解决复杂的数学问题。
2.功能概述Mathematica的主要功能包括：符号计算、数值计算、图形绘制、数据分析、编程等。
用户可以通过Mathematica进行各种数学运算、绘制三维图形、构建动态交互式界面、处理大数据等。
二、二重积分概念及应用1.二重积分的定义二重积分是指在二维平面上的积分，它可以用来求解空间曲线下面的面积。
设平面区域D由直线或曲线围成，函数f(x,y)在D上有定义，则二重积分表示为：∫∫Df(x,y)dxdy2.几何意义二重积分的几何意义是曲线下面的面积。
在进行二重积分时，可以将平面区域D划分为无数小矩形，每个小矩形的面积为dxdy，求和后即可得到整个区域D的面积。
3.实际应用场景二重积分广泛应用于物理、化学、经济学等领域。
例如，在物理学中，利用二重积分求解物体受力的功；在化学中，计算反应物质的摩尔面积；在经济学中，分析市场需求与价格的关系等。
三、Mathematica实现二重积分的方法1.基本语法在Mathematica中，二重积分的表示为：Integral[f(x, y), {x, a, b}, {y, c, d}]其中，f(x, y)为待求函数，a、b、c、d分别为x、y的积分区间。
2.参数设置Mathematica二重积分命令中，用户可以设置以下参数：- EvaluateBy：指定积分方式，如“Recursive”、“Parallel”等。
mathematic积分与应用
mathematic积分与应⽤实验三积分与应⽤3.1实验⽬的理解不定积分、变上限函数和定积分概念，了解定积分的近似计算⽅法。
熟悉Mathematica 数学软件的求不定积分、定积分命令，初步学会借助计算机和数学软件进⾏简单数学建模和求解。
3.2 实验准备3.2.1 本实验相关Mathematica 命令与功能 1.Integrate[f[x],x]功能：计算函数f(x)的⼀个原函数． 2.Integrate[f[x],{x,a,b}]功能：计算函数f(x)在区间[a,b]上的定积分值?badxx f )(．3.NIntegrate[f[x],{x,a,b}]功能：计算函数f(x)在区间上[a,b]的定积分值的近似值． 4.Sum[f[i],{i,1 ,n }]功能：计算f(1)+f(2)+…+f(n)的和． 5.NSum[f[i],{i,1,n }]功能：计算f(1)+f(2)+ …+f(n)的近似值． 3.3 实验任务 3.3.1 基础实验本实验熟悉数学软件命令操作 1.求下列函数的⼀个原函数：1）2+x x 2） )tan (sec sec x x x -3） x asin 4）1)1ln(++x x 5） x x arctan 2 6） x x 22cos sin 12.计算下列定积分： 1） ?-+422)123(dxx x 2）+1)sin 1(dxx e x3）+edx x x131dx x x x5）-21dx x 6） ?+-+22/11)11(dx e x x xx3.求下列变上限积分对x 的导数： 1）xadtt 2sin 2）-221x dtt 3）dtt a x x+24）-+xxdtt f sin )2(4. 标准正态分布函数为：.2221)(π画出该函数在区间[-3，3]的图形，并计算其在x=-1,-0.5,3,10的函数值． 5.求下列极限1）→xt xt x dte t dt e 022)()(lim222）1)(arctan lim202+?+∞→x dt t xx6.计算积分x xd ?1sin sin ．3.3.2 探索实验本实验探索定积分的近似计算⽅法。
mathematica 反常积分
mathematica 反常积分摘要：一、引言- 介绍Mathematica 软件- 阐述反常积分的概念二、Mathematica 中反常积分的应用- 计算反常积分- 求解反常积分的极限- 分析反常积分的性质三、Mathematica 中反常积分的函数操作- 常见反常积分函数- 反常积分函数的性质- 反常积分函数的实例四、总结- 概括Mathematica 在反常积分中的应用- 强调Mathematica 在解决反常积分问题中的优势正文：Mathematica 是一款强大的数学软件，广泛应用于各个领域的数学计算。
在数学分析中，反常积分是一个重要的概念，它涉及到许多复杂数学问题的求解。
本文将介绍如何在Mathematica 中处理反常积分问题。
首先，我们需要了解什么是反常积分。
在常规积分中，被积函数在积分区间内可积，而反常积分则针对那些在积分区间内不可积的函数。
反常积分的概念有助于我们解决一些复杂数学问题，例如求解函数的极限、研究函数的性质等。
在Mathematica 中，反常积分可以通过使用相关的内置函数进行计算。
这些函数可以方便地处理各种反常积分问题，包括计算反常积分的值、求解反常积分的极限等。
此外，Mathematica 还可以用于分析反常积分的性质，如可积性、可微性等。
Mathematica 中包含许多用于处理反常积分的函数。
例如，常见的不定积分函数如DiracDelta、Hypergeometric1F1 等，它们可以用于表示各种反常积分。
这些函数具有特定的性质，例如在某些区间内可积、可微等。
通过使用这些函数，我们可以在Mathematica 中轻松地完成反常积分的计算和分析。
总之，Mathematica 在反常积分问题中发挥着重要作用。
它不仅可以用于计算反常积分、求解极限，还可以用于分析函数的性质。
Mathematica中微积分使用
一个返回的是y[x]的表达式，并不能给出y[0],y’[x] 一个返回的是y的纯函数
例：
DSolve[y'[x] + 2x y[x]== x E^(-x^2), y, x] DSolve[{y'[x] + 2x y[x]== x E^(-x^2), y[1]==2E}, y, x]
2
1 (1 x )
2
dx
0
分段函数的积分
Hale Waihona Puke 2| x 1 | dx
0
原函数无法用初等函数表示的积分
sin x x
dx
极限概念的理解
方法：列表、作图、动画
数列极限的直观说明
观察数列 an=1/n2在n趋于无穷时的变化趋势
函数极限的直观说明
考察函数f(x)=sinx/x当x趋向于0时的变化趋势
它有时求不出，可结合极限存在的条件 有时需对被求极限的式子作一变形 无穷振荡处极限的表示方法
导数和微分
导数： D[f,x] 计算偏导数 D[f,x1,x2,…] 计算多重导数 D[f,{x,n}] 计算n阶导数 微分 Dt[f] 计算全微分 Dt[f,x] 计算全导数 Dt[f,x1,x2,…] 计算多重全导数 Dt[f,x, constants—>{c1,c2,…}] ， 其中c1,c2,…为常数
求最值所对应的程序
f[x_] = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 7 zhudian = Solve[f'[x] == 0, x] fxyvalue = Union[({x, f[x]}/.zhudian), {{a,f[a]}}, {{b, f[b]}}] fvalue = Transpose[fxyvalue][[2]] fmax = Max[fvalue] fmin = Min[fvalue] xx1 = Position[fxyvalue, fmax] xx2 = Position[fxyvalue, fmin] xmax = fxyvalue[[xx1[[1, 1]]]] xmin = fxyvalue[[xx2[[1, 1]]]]
Mathematica求定积分以及相关应用问题
§6 Mathematica求定积分以及相关应用问6. 1用Mathematica求定积分1定积分的运算在不定积分中加入积分的上下限便成为定积分(definite integral)。
Mathematica的定积分命令和不定积分的命令相同，但必须指定积分变量的上下(1)Integrate[f, {x,下限，上限}](2)J ? f(x)dx例6.1计算定积分解Zn[l]:= J,Out[1]=4-2ArcTan[2]和不定积分一样，除了我们指定的积分变量之外，其它所有符号都被作常数处理.2数值积分如果Mathematica无法解出积分的符号表达式或者定积分的结果过于冗长而失去意义时，我们就可以用数值积分求解。
数值积分只能进行定积分的运算，即必须指定上、下限。
用Mathematica求解数值积分有两种形式：(1)NIntegrateEf, {x, a, b}] x 从d 到b，做/(x)的数值积分。
(2)N[J力(x)心] 求定积分表达式的数值例 6. 3 求定积分J f sin(sin x)dx。
解用Integrate命令无法求sin(sin x)的定积分,用NIntegrate命令即可求得其数值积分。
In[l]:=NIntegrate[Sin[Sin[x]], {x, 0, Pi/3}]Out[l]=O. 466185求定积分表达式的数值，也能得到与上式相同的结果。
In[2] := N|J ^3Sin[Siii[A]]dx]0ut[2]=0. 466185例6. 4求定积分J詁的近似值。
解被积函数的原函数不能被等函数表示，我们可以计算它的数值积分。
In[3]:=NIntegrate[Exp[~x~2], {x, 0, 1}JOut[3]二0. 7468243近似值积分用Mathematica计算定积分的近似值还有矩形法、梯形法和抛物线法用分点a <x Q< %! < =b将区间[a,方]分成"个长度相等的小区间，每个小区间长度为人b-a (b-a)i b-a「、5=——=a + ——x/+1 = x{------ 儿=/(x)n n n矩形法公式：[^f{x)dx« 上上(旳+ y i + …+ 儿-)J nf afMdx «^-(>'1 + 乃…+ 儿)J n梯形法公式：f afWdx Q [；(〉'o + 儿)+〉'l +〉'2 + …+ y,i-\ ]J n 2抛物线法公式：f a f(x)dx «—^[(JO + 儿)+ 2(〉，2 +〉'4 + …+ y n-2) + 4(” +『3 + …+ y n-\ )1J 3/7例6. 5分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算定积分Jh?必。
最新6Mathematica求定积分以及相关应用问题练习解答汇总
6M a t h e m a t i c a求定积分以及相关应用问题练习解答§6 Mathematica 求定积分以及相关应用问题练习解答1. 用Mathematica 求解下列定积分： (1)dx e x x 211)5cos(3⎰-; (2)dx x x ⎰sin ; (3)dx x sin 35120+⎰π; (4) dx x a x a2220-⎰;(5) dx x ba )log(⎰2. 计算下列积分的数值积分 (1)dx x ⎰+1)(sin 310; (2)dx x x sin 0⎰π 3. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=0,110,11)(x x x e x f x ，求dx x f )1(20-⎰4. 分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算定积分dx x 32512+⎰.5. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积.6. 求半径为r 的圆的周长.7. 求星形线0,cos sin 33>⎩⎨⎧==a t a x ta y , )20(π≤≤t 的全长. 8. 求圆)0()(222b a a y b x <<=+-绕x 轴旋转一周的旋转体（环体）的体积.练习5.6答案1. (1) 解 In[1]:= dx x Exp x Cos ]2[]5[311⎰-Out[1]=⎪⎭⎫ ⎝⎛++--])5[5]5[2(29129]5[5]5[2322Sin Cos e e Sin Cos (1) 解 In[2]:= dx xSinx ⎰π0 Out[2]=SinIntegrate[π](2) 解 In[3]:= dx x Sin ][35120+⎰πOut[3]=2π (4) 解 In[4]:=dx x a x a 2220-⎰ Out[4]=24][16][a Sign a Sign a π (5) 解 In[5]:=Integrate[Log[x],{x,a,b}]Out[5]=a-b-aLog[a]+bLog[b]2. (1) 解In[1]:=NIntegrate[Sqrt[1+Sin[x]^3],{x,0,1}]Out[1]=1.08268(2) 解In[2]:=NIntegrate[Sin[x]/x,{x,0,Pi}]Out[2]=1.851943. 解In[1]:=f[x_]:=If[x<0,1/(1+E^x),1/(1+x)]NIntegrate[f[x-1],{x,0,2}]Out[1]=1.313264. 解(1)矩形法In[2]:=Clear[y,x,s1,n,b,a];n=20;a=1;b=5; y[x_]:=dx x 32512+⎰;s1=(b-a)/n*Sum[y[a+i(b-a)/n],{i,0,n-1}]//N;s2=(b-a)/n*Sum[y[a+i(b-a)/n],{i,1,n}]//N;Print[“s1=”,s1” s2=”,s2]Out[2]=s1=8.72358 s2=9.03513(1) 梯形法In[3]:=Clear[y,x,a,b,ss3,s3]; y[x_]:=dx x 32512+⎰;n=20;a=1;b=5;ss3=Sum[y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];s3=(y[a]/2+y[b]/2+ss3)*(b-a)/n //N;Print[“s3=”,s3]Out[3]=s3=8.87936(2) 抛物线法In[4]:=Clear[y,,x,a,b,s3]; y[x_]:=dx x 32512+⎰;n=20;a=1;b=5;m=10;ss1=Sum[(1+(-1)^i)*y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];(*ss1=2y 2+2y 4+…+2y n-2*)ss2=Sum[(1-(-1)^i)*y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];(*ss2=2y 1+2y 3+…+2y n-1*)s4=N[(y[a]+y[b]+ss1+2ss2)*(b-a)/3/n,20];Print[“s4=”,s4]Out[4]=s4=8.87919191438631169895. 解首先画出函数的图形，如图1所示In[1]:=Plot[{x^2,-Sqrt[x],Sqrt[x]},{x,0,2}]图1Out[1]=-Graphics-然后求出两条曲线的交点：In[2]:=Solve[{y-x^2==0,y^2-x==0},{x,y}]Out[2]={{x →0,y →0},{x →1,y →1}}再以y 为积分变量求面积：In[3]:=s=Integrate[Sqrt[y]-y^2,{y,0,1}]Out[3]=31 6. 解取圆心在原点半径为r 的圆的参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧==t r x tr y cos sin , )20(π≤≤t 取r =1,首先画出圆的图形，如图2所示In[1]:=ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio →Automatic]图2Out[1]=-Graphics-再利用定积分计算曲线的弧长In[2]:=dx=D[r*Cos[t],t]Out[2]=-rSin[t]In[3]:=dy=D[r*Sin[t],t]Out[3]=rCos[t]In[4]:=s=Integrate[Sqrt[dy^2+dx^2],{t,0,2Pi}]Out[4]=2πr7. 解取1=a ,首先画出星形线的图形，如图3所示→Automatic]图3Out[1]= -Graphics-再利用定积分计算弧长In[2]:= dx=D[a*Cos[t]^3,t]Out[2]=-3aCos[t]2Sin[t]In[3]:=dy=D[a*Sin[t]^3,t]Out[3]=3aCos[t]Sin[t]2In[4]:=s=Integrate[Sqrt[dy^2+dx^2],{t,0,2Pi}]Out[4]=6a8. 解圆的参数方程为{b t a x ta y +==cos sin , )20(π≤≤t首先画出图形（略）In[1]:=x[t_]=a*Cos[t]+b;d[t_]:=a*Sin[t];dy=D[y[t],t];v=2*Integrate[Pi*(x[t]^2*dy),{t,0,Pi}] Out[1]=2a2b 2。
mathematica求中求导数的不定积分
mathematica求中求导数的不定积分不定积分是微积分中的一个重要概念，表示函数的原函数（也称为反导函数）。
求不定积分的过程称为求导数的逆过程，也称为反求导。
在数学中，有许多方法可以求解不定积分，其中包括基本积分法、分部积分法、换元积分法等。
Mathematica是一种功能强大的数学软件，它可以通过内置的求解器准确、快速地求解不定积分。
下面，我将介绍Mathematica中的不定积分处理函数以及如何使用它们求解不定积分。
1. Integrate函数Mathematica中的Integrate函数可以用于求取不定积分。
它的基本语法如下：Integrate[被积函数,变量]其中，被积函数是需要求解的积分式，变量是求解积分的变量。
例如，我们要求解函数f(x) = x^2的不定积分，可以使用以下代码：Integrate[x^2, x]运行该代码后，Mathematica会输出结果：1/3 x^3 +常数其中，常数表示任意常数，由于这是不定积分，所以结果需要加上常数项。
2.常见的不定积分在Mathematica中，我们可以方便地求解许多常见的不定积分。
例如，我们要求解不定积分∫(3x^2 + 2x + 1) dx，可以使用以下代码：Integrate[3x^2 + 2x + 1, x]运行该代码后，Mathematica会输出结果：x^3 + x^2 + x +常数同样地，我们得到了函数的原函数，也需要加上常数项。
3.分部积分法Mathematica中的Integrate函数还支持分部积分法。
例如，我们要求解不定积分∫x*sin(x) dx，可以使用以下代码：Integrate[x*sin(x), x]运行该代码后，Mathematica会输出结果：-x*cos(x) + sin(x) +常数这里，Mathematica使用了分部积分法，将积分式分解为两个函数的乘积。
4.换元积分法Mathematica中的Integrate函数也支持换元积分法。
Mathematica软件定积分以及相关应用问题
实习六 定积分以及相关应用问题实习目的1.掌握用Mathematica 求定积分2.用定积分求面积、平面曲线的弧长和旋转体的体积。
实习作业1. 用Mathematica 求解下列定积分： (1)dx ex x 211)5cos(3⎰-; 输入：Integrate[3Cos[5x]/Exp[2x],{x,-1,1}]输出：(2)dx xx ⎰sin ; 输入：Integrate[Sin[x]/x,x]输出：SinIntegral[x] (3)dx xsin 35120+⎰π; 输入：Integrate[1/(5+3Sin[x]),{x,0,2Pi}]输出：2 (4) dx x a x a2220-⎰;输入：Integrate[x^2*Sqrt[a^2-x^2],{x,0,a}]输出：(5) dx x ba )log(⎰输入：Integrate[Log[x],{x,a,b}]输出：2. (1)dx x ⎰+1)(sin 310;输入：NIntegrate[Sqrt[Sin[x]^3+1],{x,0,1}]输出：1.08268(2)dx xx sin 0⎰π输入：NIntegrate[Sin[x]/x,{x,0,Pi}]输出：1.851943. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=0,110,11)(x x x ex f x ，求dx x f )1(20-⎰输入：4. 分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算定积分dx x 32512+⎰.矩形法输入：Clear y ,x,s1,n,b,a ;n 40;a 0;b 1;y x _ : 2x ^23;s1 b a n Sum y a i b a n , i ,0,n 1 N;s2 b a n Sum y a i b a n , i ,1,n Print "s1 ",s1"s2 ",s2 输出：s1= 1.32177 s2= 1.32632梯形法输入：Clear y ,x,a,b,ss3,s3 ;y x _ : 2x^23;n 20;a 0;b 1;ss3 Sum y a ib a n , i ,1 s3 y a 2y b 2ss3 b a Print "s3 ",s3 输出：s3= 1.32409输入;Clear y ,,x,a,b,s3 ;y x _ : 2x^23;n 20;a 0;b 1;m 10;ss1 Sum 1 1 ^i y a i b a n , i ,1 ss1 2y 22y 4¡2y n 2 ss2 Sum 1 1 ^i y a i b a n , i ,1 ss2 2y 12y 3¡2y n 1 s4 N y a y b ss12ss2 b a 3 n ,2 Print "s4 ",s4输出：s4= 1.3240274507181334834 5. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积.输入：Plot[{x^2,Sqrt[x],-Sqrt[x]},{x,0,1.5}]输出：输入：Solve[{y-x^2==0,x-y^2==0},{x,y}]输出：x 0,y 0 , x 1, x 1 1 3,y 1 x 1 2 3,y1 输入：Integrate[-x^2+Sqrt[x],{x,0,1}]输出： 3 6. 求半径为r 的圆的周长.输入：v=D[r*Sin[t],t];Integrate[Sqrt[u^2+v^2],{t,0,2Pi}]输出：7. 求星形线0,cos sin 33>⎩⎨⎧==a t a x t a y , )20(π≤≤t 的全长. 输入：u=D[a*Cos[t]^3,t];v=D[a*Sin[t]^3,t];Integrate[Sqrt[u^2+v^2],{t,0,2Pi}]输出：8. 求圆)0()(222b a a y b x <<=+-绕x 轴旋转一周的旋转体（环体）的体积.令a=b=1输入：ParametricPlot[{Cos[t]+1,Sin[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic] 输出：Graphics输入：x[t_]:=a*Cos[t]+b;y[t_]:=a*Sin[t];dx=D[x[t],t];V=Integrate[Pi*(y[t])^2 *dx,{t,0,Pi}]输出：。
mathematica数值计算
mathematica数值计算Mathematica是一款强大的数学计算软件，可以进行各种数值计算和符号计算。
本文将介绍Mathematica在数值计算方面的应用。
一、数值计算的基础在Mathematica中，我们可以使用各种内置函数进行数值计算。
比如，我们可以使用N函数将一个表达式或方程转化为数值，并指定精度。
例如，我们可以计算sin(π/4)的数值：N[Sin[π/4]]结果为0.707107。
二、数值积分Mathematica提供了强大的数值积分功能。
我们可以使用NIntegrate函数对函数进行数值积分。
例如，我们可以计算函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的积分：NIntegrate[x^2, {x, 0, 1}]结果为0.333333。
三、数值方程求解Mathematica还可以解决各种数值方程。
我们可以使用NSolve函数对方程进行数值求解。
例如，我们可以求解方程x^2 - 2x + 1 =0的解：NSolve[x^2 - 2x + 1 == 0, x]结果为{{x -> 1}}，即方程的解为x=1。
四、数值优化Mathematica也可以进行数值优化。
我们可以使用NMinimize函数对一个函数进行最小化。
例如，我们可以求解函数f(x) = x^2的最小值：NMinimize[x^2, x]结果为{x -> 0.}，即函数的最小值为0。
五、数值微分Mathematica还提供了数值微分的功能。
我们可以使用ND函数对函数进行数值微分。
例如，我们可以计算函数f(x) = x^2的导数在x=1的值：ND[x^2, x, 1]结果为2，即函数在x=1处的导数为2。
六、数值级数求和Mathematica可以对级数进行数值求和。
我们可以使用NSum函数对级数进行数值求和。
例如，我们可以计算级数1/2^k的和：NSum[1/2^k, {k, 1, ∞}]结果为1，即级数的和为1。
用Mathematica求重积分以及相关的应用
§5 用Mathematica 求重积分以及相关的应用5.1 常用的重积分运算函数ParametricPlot [{x[t],y[t],{t,a,b}}: 作二维参数方程的图形。
Plot3D[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d}]: 作),(y x f z =的图形。
ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,a,b}{v,c,d}]: 作三维参数方程的图形。
Integrate[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d}]: 计算累次积分。
例5.1 计算下列重积分：1.dxdy y y x x R)3(323⎰⎰++, 其中R=[0,1]×[0,1]. 解 In[1]:= Integrate[x^3+3x^2y+y^3,{x,0,1},{y,0,1}]Out[1]= 12.⎰⎰+=Raypx e z (p,q 是常数), 其中R=[0,a]×[0,a]. 解 In[1]:= Integrate[E^(p*x+q*y),{x,0,a},{y,0,a}]Out[1]= pqe e pq e aq ap aq )1(1+-++- 3.dxdy y x R⎰⎰+||, 其中R=[-1,1]×[-1,1].解 In[1]:= Integrate[Abs[x+y],{x,0,Pi},{y,0,Pi}]Out[1]= 3π4.dxdydz zxy V⎰⎰⎰+)(2,其中V=[-2,5]×[-3,3]×[0,1].解 In[1]:= Integrate[x*y+z^2,{x,-2,5},{y,-3,3},{z,0,1}]Out[1]= 14例5.2 计算下列重积分：1. 求二重积分dxdy y x D22，其中是D 由直线x=2,y=x 和xy=1双曲线所 围成。
解 先画出被积区域D 的图形:In[1]:= Clear[t1,t2];a=ParametricPlot[{2,y},{y,0,3},DisplayFunxtion->Identity]; b=Plot[{y=x,y=1/x},PlotRange->{0,3},AspectRatio->Automatic,DisplayFunction->Indentity];Show[a,b, PlotRange->{0,2.5},AspectRatio->Automatic,DisplayFunction->$DisplayFunction];Out[1]= -Graphics-再求出D 的边界曲线的交点:In[2]:= Solve[x-2= =0,y-x= =0,{x,y}]Solve[x-2= =0,x*y-1= =0,{x,y}]Solve[x*y-1= =0,y-x= =0,{x,y}]Out[2]= {{x->2,y->2}} {{x->21,y->2}} {{x->-1,y->-1},{x->1,y->1}}最后计算积分: In[3]:= Clear[y];Integrate[x^2/y^2,{x,1,2},{y,1/x,x}]Out[3]= 492. 求二重积分dxdy x D⎰⎰，其中D 是x y x ≤+22.解 先画出被积区域}|),{(22x y x y x D ≤+=的图形: In[1]:=ParametricPlot[{(1/2)*Sin[t]+1/2,(1/2)*Cos[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic]Out[1]= -Graphics-计算积分:In[2]:= Integrate[Sqrt[x],{x,0,1},{y,0,Sqrt[x-x^2]}]Out[2]=1543.求三重积分Vdadydzzxy32，其中V是由曲面z=xy,平面y=x，x=1，z=0所围成。
mathematica 积分过程
mathematica 积分过程摘要：一、引言- 介绍Mathematica软件- 阐述积分在数学中的重要性二、Mathematica积分过程简介- 定义积分- 常见积分方法- Mathematica软件的积分功能三、Mathematica积分操作步骤- 打开Mathematica软件- 输入积分表达式- 使用积分功能- 查看结果四、Mathematica积分应用案例- 例1：简单积分计算- 例2：多元积分计算- 例3：分部积分计算五、Mathematica积分优势与局限性- 优势：便捷、高效、准确- 局限性：功能有限，无法解决所有积分问题六、结论- 总结Mathematica积分过程- 强调在实际应用中合理利用Mathematica软件正文：一、引言Mathematica是一款功能强大的数学软件，广泛应用于科学研究、工程计算等领域。
在数学中，积分是一个重要的概念，掌握积分技巧对于解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍如何使用Mathematica软件进行积分计算，以帮助大家更好地理解和应用积分知识。
二、Mathematica积分过程简介1.定义积分积分是微积分的核心概念之一，表示将一个函数与一个区间[a, b]分割成无数子区间，求这些子区间的面积之和。
根据被积函数的不同特点，积分方法也有所不同。
2.常见积分方法常见的积分方法有：不定积分、定积分、多重积分、分部积分等。
这些方法都有各自适用的被积函数类型，需要灵活选用。
3.Mathematica软件的积分功能Mathematica软件内置了丰富的积分功能，可以方便地实现各种积分计算。
通过输入积分表达式，Mathematica能够自动识别被积函数类型，并给出相应的积分结果。
三、Mathematica积分操作步骤1.打开Mathematica软件下载并安装Mathematica软件，运行后进入操作界面。
2.输入积分表达式在Mathematica的输入框中，输入积分表达式。
§6 Mathematica求定积分以及相关应用问题练习解答
456§6 Mathematica 求定积分以及相关应用问题练习解答1. 用Mathematica 求解下列定积分： (1)dx e x x 211)5cos(3⎰-; (2)dx x x ⎰sin ; (3)dx x sin 35120+⎰π; (4) dx x a x a 2220-⎰; (5) dx x b a )log(⎰ 2. 计算下列积分的数值积分 (1)dx x ⎰+1)(sin 310; (2)dx xx sin 0⎰π3. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=0,110,11)(x x x e x f x ，求dx x f )1(20-⎰4. 分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算定积分dx x 32512+⎰.5. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积.6. 求半径为r 的圆的周长.7. 求星形线0,cos sin 33>⎩⎨⎧==a t a x t a y , )20(π≤≤t 的全长. 8. 求圆)0()(222b a a y b x <<=+-绕x 轴旋转一周的旋转体（环体）的体积.练习5.6答案1. (1) 解 In[1]:= dx x Exp x Cos ]2[]5[311⎰- Out[1]=⎪⎭⎫ ⎝⎛++--])5[5]5[2(29129]5[5]5[2322Sin Cos e e Sin Cos (1) 解457 In[2]:= dx x Sinx⎰π0Out[2]=SinIntegrate[π](2) 解 In[3]:= dx x Sin ][35120+⎰π Out[3]=2π(4) 解In[4]:= dx x a x a2220-⎰ Out[4]=24][16][a Sign a Sign a π (5) 解In[5]:=Integrate[Log[x],{x,a,b}]Out[5]=a-b-aLog[a]+bLog[b]2. (1) 解In[1]:=NIntegrate[Sqrt[1+Sin[x]^3],{x,0,1}]Out[1]=1.08268(2) 解In[2]:=NIntegrate[Sin[x]/x,{x,0,Pi}]Out[2]=1.851943. 解In[1]:=f[x_]:=If[x<0,1/(1+E^x),1/(1+x)]NIntegrate[f[x-1],{x,0,2}]Out[1]=1.313264. 解(1)矩形法In[2]:=Clear[y,x,s1,n,b,a];n=20;a=1;b=5; y[x_]:=dx x 32512+⎰;s1=(b-a)/n*Sum[y[a+i(b-a)/n],{i,0,n-1}]//N;s2=(b-a)/n*Sum[y[a+i(b-a)/n],{i,1,n}]//N;Print[“s1=”,s1” s2=”,s2]Out[2]=s1=8.72358 s2=9.03513(1) 梯形法In[3]:=Clear[y,x,a,b,ss3,s3]; y[x_]:=dx x 32512+⎰;458 n=20;a=1;b=5;ss3=Sum[y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];s3=(y[a]/2+y[b]/2+ss3)*(b-a)/n //N;Print[“s3=”,s3]Out[3]=s3=8.87936(2) 抛物线法In[4]:=Clear[y,,x,a,b,s3]; y[x_]:=dx x 32512+⎰;n=20;a=1;b=5;m=10;ss1=Sum[(1+(-1)^i)*y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];(*ss1=2y 2+2y 4+…+2y n-2*) ss2=Sum[(1-(-1)^i)*y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}];(*ss2=2y 1+2y 3+…+2y n-1*) s4=N[(y[a]+y[b]+ss1+2ss2)*(b-a)/3/n,20];Print[“s4=”,s4]Out[4]=s4=8.87919191438631169895. 解首先画出函数的图形，如图1所示In[1]:=Plot[{x^2,-Sqrt[x],Sqrt[x]},{x,0,2}]图1Out[1]=-Graphics-然后求出两条曲线的交点：In[2]:=Solve[{y-x^2==0,y^2-x==0},{x,y}]Out[2]={{x →0,y →0},{x →1,y →1}}再以y 为积分变量求面积：In[3]:=s=Integrate[Sqrt[y]-y^2,{y,0,1}]Out[3]=316. 解取圆心在原点半径为r 的圆的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==t r x tr y c o s s i n , )20(π≤≤t 取r =1,首先画出圆的图形，如图2所示459 In[1]:=ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio →Automatic]图2Out[1]=-Graphics-再利用定积分计算曲线的弧长In[2]:=dx=D[r*Cos[t],t]Out[2]=-rSin[t]In[3]:=dy=D[r*Sin[t],t]Out[3]=rCos[t]In[4]:=s=Integrate[Sqrt[dy^2+dx^2],{t,0,2Pi}]Out[4]=2πr7. 解取1=a ,首先画出星形线的图形，如图3所示In[1]:=ParametricPlot[{(Cos[t]^3),(Sin[t]^3)},{t,0,2Pi},AspectRatio →Automatic]Out[1]= -Graphics-再利用定积分计算弧长In[2]:= dx=D[a*Cos[t]^3,t]Out[2]=-3aCos[t]2Sin[t]In[3]:=dy=D[a*Sin[t]^3,t]Out[3]=3aCos[t]Sin[t]2In[4]:=s=Integrate[Sqrt[dy^2+dx^2],{t,0,2Pi}]Out[4]=6a460 8. 解圆的参数方程为{b t a x t a y +==cos sin , )20(π≤≤t 首先画出图形（略）In[1]:=x[t_]=a*Cos[t]+b;d[t_]:=a*Sin[t];dy=D[y[t],t];v=2*Integrate[Pi*(x[t]^2*dy),{t,0,Pi}] Out[1]=2a 2b π2。
mathematica 积分微分方程
mathematica积分微分方程一、简介Mathematica是一款功能强大的数学软件，它提供了丰富的函数和工具，可以方便地进行积分微分方程的计算和求解。
本教程将介绍如何使用Mathematica进行积分微分方程的求解，帮助您更好地理解和掌握数学方法。
二、基本概念积分微分方程是一种常见的数学问题，它涉及到函数的积分和微分。
在解决这类问题时，我们需要根据方程的特点，选择合适的积分和微分方法，如牛顿-莱布尼兹公式、级数法等。
通过Mathematica，我们可以轻松地实现这些方法，并得到准确的答案。
三、Mathematica的使用1.安装和打开Mathematica软件。
2.导入所需的函数和符号。
在Mathematica中，可以使用Integrate和D函数来求解积分微分方程。
3.编写方程并导入数据。
将方程中的变量和数据导入Mathematica中，以便进行计算和分析。
4.使用Integrate函数求解积分。
根据方程的特点，选择合适的积分方法，如牛顿-莱布尼兹公式或级数法，并使用Mathematica进行计算。
5.使用D函数求解微分方程。
根据方程的特点，选择合适的微分方法，如分离变量法或级数法，并使用Mathematica进行计算。
6.检查结果是否符合预期。
检查计算结果是否符合预期，并根据需要进行调整和优化。
四、示例以下是一个简单的示例，展示如何使用Mathematica求解一个简单的微分方程：解：我们要求解方程y''+y=cos(x)的解。
（1）导入所需的函数和符号：In[1]:=Integrate[D[y,x]^2+y,{x,x0,x1}]//SimplifyOut[1]=y''[x]+y[x]==0（2）编写微分方程：In[2]:=y[x_]=Cos[x]+a*y[x]+b*y'[x]//DSolve[%,a,x]Out[2]=y[x]==-Cos[x]/a-(a^2/2)/Sin[x]+(b*a^2/2)/Cos[x]+C[1]（3）使用D函数求解微分方程：In[3]:=a=1;b=2;x=0;y=y[x];y'=y'[x];D[y,x]//SimplifyOut[3]=(y-Sin[x])+a*(D[y,x]-Cos[x])+b*(D[y',x])/2通过上述步骤，我们可以得到方程的解为y(x)=f(x)。
数学软件Mathematica在积分计算中的应用
１ １ 初 等 函数 的不 定积 分 ．
例ｌ 求 定 分ｆ ＋ｄ． ： 不 积 （ １ ） ｘ
运 ｈ ｅ２，得＋． 行 Ｉ ａ ＋ 如 ｔｔ １ 手 ｅ
命令 Ｉｔ ｒｔ 与命 令 Ｄ表示一对互逆运算 ，即命令 Ｄ【Ｉ ， 表示 函数 ｆ 对 求 导． ｎｅ ａ ｇ ｅ ｆｘ ］
收稿 日期 ：２ １— １ １ ０ １０ — ９
・
作者简介：欧 鹏 （ ９８ ） １８一 ，男，重庆ｆ ）Ａ ，重庆三峡学院数 学与统计学院 ２０ 级学生． ｆ ￣ ｌ ０８ 基金项 目：本文 系重庆 市教委教改项 目 “ 于数 学软件的 大学生创新能力培养的实践研究 （ ０１４＇ 基 １３４ ） ＇ 、重庆三峡 学院教改项目 （ 重庆三峡学院高教 【Ｏ０１ 号 ） ２ｌ］４ 、重庆三峡学院大学生创新性实验项目 （ 重庆三峡学
积分变量而把此类变量 当做 常量 ．
例 ３： 求 不 定 积 分 甜 ＋ ） 与 ＋ ｃｄ ｘ
数来表 示．
例６ 计 不 积 ｓ（ｓ＋ ）ｘ － 算 定 分［ ｃ（ ３） ． ｉ ｏ１ ｘｄ ｎ
运 行 Ｉｔ ｒｔ［ｉ［ ｏ［＋ ｘ］ ｎｅ ａ ＳｎＣ ｓ１ ３］，卅得 ｇ ｅ
ｆｘ＋ｘ ｃ ａ （ ｂ＋） ． ａ ｄ
重 庆 三峡 掌 院 学 报
Ｎ ．． ｌ ｏ ２ Ｉ ３ ｏ
、０ ．７Ｎｏ．３ ，１ ２ １２
数学软件 Ｍａ ｅ ｔ ａ ｔ ｍａｃ 在积分计算 中的应用 ｈ ｉ
欧 鹏 王绍恒 高成 政 刘雪莲 吴 梦 蝶
（ 重庆三峡 学院数 学与统计学院 ，重庆万州，４４ ） ０１０ Ｏ
摘
要：随着 计算机软件技术的发展 ，数学软件 Ｍ ｔｅ ａｉａ的功 能越来越 强大 ，具有很强 ａｈｍ ｔｃ
mathematica 积分过程
mathematica 积分过程【最新版】目录1.Mathematica 简介2.积分的概念与方法3.Mathematica 进行积分的过程4.示例：使用 Mathematica 计算积分5.总结正文【1.Mathematica 简介】Mathematica 是一款强大的数学软件，由沃尔夫冈·克莱因（Wolfram Research）开发，广泛应用于科学、工程和教育等领域。
Mathematica 可以帮助用户解决各种数学问题，包括微积分、线性代数、概率论等。
【2.积分的概念与方法】积分是微积分中的一种重要运算，表示求解一个函数在某一区间上的累积量。
积分的方法有多种，如不定积分、定积分等。
【3.Mathematica 进行积分的过程】使用 Mathematica 进行积分的过程相对简单。
首先，打开Mathematica 软件，输入需要积分的函数表达式；然后，使用积分函数（如Integrate）进行计算；最后，Mathematica 会自动给出积分结果。
【4.示例：使用 Mathematica 计算积分】假设我们要计算函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 1] 上的定积分，可以使用以下步骤：1.打开 Mathematica 软件，输入函数表达式：f[x] = x^22.输入积分函数：Integrate[f[x], {x, 0, 1}]3.Mathematica 自动计算结果：2/3【5.总结】Mathematica 作为一款强大的数学软件，在解决积分问题方面具有很高的效率和准确性。
通过简单易用的操作界面，用户可以轻松地完成各种积分计算。
§8 用Mathematica求重积分以及相关的应用练习解答
§5 用Mathematica 求重积分以及相关的应用练习解答1 计算下列重积分： (1)⎰⎰-Ddxdy x y )2(,其中D =[3,5]×[1,2];解 In[1]:= Integrate[y-2x,{x,3,5},{y,1,2}] Out[1]= -13 (2)⎰⎰+Ddxdy y x Cos )(，其中D =[0,2π]×[0,π]; 解 In[1]:= Integrate[Cos[x+y],{x,0,Pi/2},{y,0,Pi}] Out[1]= -2(3) ⎰⎰Ddxdy xy 2，其中D 由抛物线px y 22=与直线)0(2>=p px 所围成的区域；解 In[1]:= a=Plot[Sqrt[2x],{x,0,2},DisplayFunction->Identity];b=ParametricPlot[{2,y},{y,0,4}, DisplayFunction->Identity]; Show[a,b,PlotRange->{0,4}, DisplayFunction->$ DisplayFunction]Out[1]= -Graphics-In[2]:= Integrate[x*y^2,{x,0, 2},{y,0,2px}]Out[2]= 3163px(4)⎰⎰Ddxdy xy ||，其中D 为圆域222a y x ≤+；解 In[1]:= ParametricPlot[{Sin[t],Cos[t],{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic}Out[1]= -Graphics-In[2]:= Integrate[Abs[x*y],{x,-1,1},{y,-Sqrt[a^2-x^2],Sqrt[a^2-x^2] }] Out[2]= 2π (5)⎰⎰⎰Vzdxdydz y x cos cos ，其中V =[0,1]×[0,2π]×[0,2π]; 解 In[1]:= Integrate[x*Cos[y]*Cos[z],{x,0,1},{y,0,Pi/2 },{ z,0,Pi/2 }] Out[1]= 21(6)⎰⎰⎰+Vdxdydz z x y )cos(，其中V 是由x y =，0y =，0z =及x z +=2π所围成的区域。
mathematica积分过程
mathematica积分过程Mathematica是一种强大的数学软件，它不仅可以进行数值计算，还可以进行符号计算和积分运算。
本文将以Mathematica的积分过程为主题，介绍Mathematica中的积分函数和积分过程。
在Mathematica中，积分函数主要有Integrate和NIntegrate两个。
其中，Integrate函数用于求解符号积分，而NIntegrate函数用于求解数值积分。
首先来看Integrate函数。
它的基本语法如下：Integrate[被积函数, {变量, 下限, 上限}]其中，被积函数可以是任意复杂的数学表达式，变量表示积分的变量，下限和上限表示积分的范围。
例如，我们要计算函数f(x) = x^2的积分，可以使用如下命令：Integrate[x^2, {x, 0, 1}]执行这个命令后，Mathematica会输出积分的结果。
在这个例子中，积分的结果是1/3。
接下来，我们来看NIntegrate函数。
它的基本语法如下：NIntegrate[被积函数, {变量, 下限, 上限}]与Integrate函数不同的是，NIntegrate函数可以用于求解无法进行符号积分的函数，它通过数值方法来进行积分计算。
例如，我们要计算函数g(x) = Sin[x]的积分，可以使用如下命令：NIntegrate[Sin[x], {x, 0, Pi}]执行这个命令后，Mathematica会输出积分的结果。
在这个例子中，积分的结果是2.。
除了基本的积分函数外，Mathematica还提供了许多其他的积分函数，例如多重积分函数、数值积分函数等。
这些函数可以用于求解更加复杂的积分问题。
除了使用积分函数来进行积分计算外，Mathematica还提供了一种方便的方法来可视化积分过程。
通过使用Plot函数和Integrate函数结合，我们可以绘制出被积函数和积分曲线，从而更直观地理解积分的概念和过程。
Mathematica软件在积分计算中的应用
５ ７
有 效 数 学 教 学 活 动 实 践 与 感 悟
刘 昌 龙
（ 苏 省姜 堰 中学 ， 苏 姜 堰 江 江
摘 要 ： 中数 学教 学 ， 求教 师组 织 有 效 的课 堂 活 动教 高 要 学． 而有 效 的数 学教 学活 动 必须 通过 有效 的教 学方 式和 学 习方 式 来 实现 。作 者结 合 自 己的 经验 和 调 查 ， 归纳 了影 响 数 学 教 学 活动 有 效性 的 因素 ， 出 了进 行 有 效 数 学教 学活 动 的 途 径 。 提 关键 词 ： 程 改革 有 效数 学教 学活 动 五 个方 面 课
∈ ≤
Ｉ． 一
－
例 １Ｘ ＣＳ ，＝ｉ‘ 求 面 积Ｓ ：－ Ｏ ｙ ｓ ｔ ｔ ｎ， 。 解： 先作 出 函数 图像 ， Ｍ ｔｅ ｔ 软 件 中 输 入 下 列 语 句 在 ａｈｍａｃ ｉ
得 到 图 形
盘 ｉｉｓ － ｌ【
通 计 ， 两 曲 交 ｔ ， 面 过 算 知 条 线 点詈于 积 可 ＝ 是
誉感 。 具体实例 ： Ⅲ经 常 提 供 课 堂解 题 比赛 ， 秀 者 奖励 。 优 题 目要 求 逻 辑性 强 ， ： 如
①在下列各题中 ， 判断Ｐ 的充 分条件 ， 是Ｑ 必要条件还是充
要条件（ ）
（ ） ： Ａ ／Ｂ ， “ Ａ与 Ｂ 对 顶 角 ” １Ｐ “ ＝ ”Ｑ： 是 （ ） ：ＡｎＢ ” Ｑ：Ａ＝ ２Ｐ “ ＝ ， “ ” （ ） ：ＡｕＢ ” Ｑ：Ａ 且Ｂ ４ ３Ｐ “ ＝ ， “＝ ＝） ”
一
从图形上很 容易得 出ｓ４ ３７ ｔ ｓｄ ＝ ×Ｌ ｓ ４。２ｔ ｎｃ ｔ ＝
例２ ｒ ３ ｏｔｒ ｌ ｃ ｓ， 所 围 图形 面积 Ｓ ： ｃ ｓ： ＋ ｏｔ求 － ＝ ＝ － 。 解 ： 图： 作
MATHEMATICA基本数学函数及应用
MATHEMATICA第一讲1 数的运算算例378/123N[378/123,6] (*取小数点后6位的近似值*)Pi^2E^(-1)100!N[Pi,100]N[I^(-I)]2 常用数学函数Sqrt[ ]平方根, Exp[ ]指数函数, Log[ ] 对数函数,Sin[ ] 正弦函数, Cos[ ] 余弦函数,T an[ ] 正切函数, Cot[ ] 余切函数,Sec[ ] 正割函数, Csc[ ] 余割函数,ArcSin[ ] 反正弦函数, ArcCos[ ] 反余弦函数,ArcT an[ ] 反正切函数, ArcCot[ ] 反余切函数, ArcSec[ ] 反正割函数, ArcCsc[ ] 反余割函数,Sinh[ ] 双曲正弦, Cosh[ ] 双曲余弦,T anh[ ] 双曲正切, Coth[ ] 双曲余切,Sech[ ] 双曲正割, Csch[ ] 双曲余割,ArcSinh[ ]反双曲正弦, ArcCosh[ ]反双曲余弦,ArcT anh[ ]反双曲正切, ...算例Sin[N[Sqrt[3],50]]3 其它函数! 阶乘Mod[n,m] n取模m的结,Quoti ent[n,m] n除以m的商的整数部分GCD[n,m]LCM[n,m] n和m的最大公约数和最小公约数Round[ ] 距离近似数x最近的整数Floor[ ] 不大于x的最大整数算例100!Quoti ent[10,3]GCD[105,30]Round[-1.234]Floor[-1.234]4 变量的赋值与替换算例f1=x^2+3 x+1 (*将表达式赋给变量f1*)f1/.x->3 (*求f1当x=3时的值f1(3)*)f1/.x->x+1 (*在f1中用x+1替换x得到f1(x+1)*) f1=. (*取消变量f1的定义*)f1/.x->3 (*此时已经得不到所想的结果f1(3)*)5 多项式计算Expand[p] (* 多项式展开*)Factor[p] (*多项式因式分解*)算例p1=x^3-6x^2+11x-6p2=(x-1)*(x-2)*(x-3)Factor[p1]Expand[p2]MATHEMATICA第二讲一元函数的图形一命令语句Plot[表达式,{变量,下限,上限},可选项]Plot[{表达式,表达式,...},{变量,下限,上限},可选项]二可选参数项第一类参数1. PlotRange->{y1,y2} 指定作图纵座标范围为(y1,y2)默认值为Atuomatic或指定All执行算例Plot[T an[x],{x,-2Pi,2Pi}]Plot[T an[x],{x,-2Pi,2Pi},PlotRange->{-10,10}]Plot[Exp[-x^2]*Sin[6x],{x,-2,2},PlotRange->{-0.5,0.5}] Plot[Exp[-x^2]*Sin[6x],{x,-2,2},PlotRange->All]2.AspectRatio->Automatic 按实际比例作图默认值为Atuomatic=0.618:1执行算例Plot[Sqrt[1-x^2],{x,-1.5,1.5}]Plot[Sqrt[1-x^2],{x,-1.5,1.5}, AspectRatio->Automatic] 3. Axes->Automatic 画坐标轴自动确定位置Axes->None 不画坐标轴Axes->{x0,y0} 指定坐标原点在(x0,y0)处执行算例Plot[Cos[x],{x,-2Pi,2Pi}]Plot[Cos[x],{x,-2Pi,2Pi},Axes->None]Plot[Cos[x],{x,-2Pi,2Pi},Axes->{1,2}]4 AxesLabel->None 不说明坐标轴的标记AxesLabel->{x,y} 指定横轴为x纵轴为yAxesLabel->{u,v} 指定横轴为u纵轴为v执行算例Plot[Sin[x]/x,{x,-10,10},AxesLabel->None]Plot[Sin[x]/x,{x,-10,10},AxesLabel->{x,y}]Plot[Sin[x]/x,{x,-10,10},AxesLabel->{时间T,电流I}]5. Ticks->{i,j} 规定坐标轴上的刻度位置Ticks->{t1,t2,t3,...}执行算例Plot[{ArcSin[x],ArcCos[x]},{x,-1,1},PlotStyle->{{RGBColor[0,1,1],Thickness[0.01]}, {RGBColor[1,0,1],Dashing[{0.05,0.05}]}}]第二类参数1.DisplayFunction->Identity 只生成图形现在不显示执行算例Plot[{Sin[T an[x]]-T an[Sin[x]]},{x,1,2},DisplayFunction->Identity]Plot[{Sin[T an[x]]-T an[Sin[x]]},{x,-2,2}]2. PlotPoints->50 指定计算函数值的取点数为50执行算例Plot[{Sin[T an[x]]-T an[Sin[x]]},{x,-2,2},PlotPoints->50]3. MaxBend 说明曲线的折线在相邻两段之间的最大折角执行算例4. PlotDivision 说明取点的限度执行算例5.PlotStyle->Thickness[t] 描述线宽PlotStyle->GrayLevel[i] 描述灰度PlotStyle->RGBColor[r,g,b] 描述颜色PlotStyle->Dashing[{d1,d2,...}] 描述虚线的画法PlotStyle->PointSize[0.03] 描述点的大小执行算例Plot[{Sin[x],Sin[2x],Sin[3x]},{x,0,2Pi},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,0],RGBColor[0,0,1]}]Plot[Sin[1/x],{x,-1,1}]Plot[Sqrt[1+x^2],{x,-6,6},PlotStyle->Dashing[{0.02,0.01}]] Plot[Sin[Cos[Sin[x]]],{x,-Pi,Pi}]Plot[(T an[Sin[x]]-Sin[T an[x]])/x^2,{x,-5,5}]Plot[{E^x,ArcT an[x],E^ArcT an[x]},{x,-5,5},PlotPoints->100] 三图形的重新显示，组合，存储和输出Show[t] 重新显示Show[t1,t2,...,tn] 将几个图形合在一起执行算例f1=Plot[x,{x,0.1,2},PlotRange->{0,2}]f2=Plot[1/x,{x,0.1,2},PlotRange->{0,3}]f3=ParametricPlot[{2,t},{t,0,2}]Show[f1,f2,f3]Display["filename",图形]保存图形到文件中存为Postsceipt格式Hardcopy[图形] 将图形送去打印四二维参数图形ParametricPlot[{x(t),y(t)},{t,下限，上限},可选项]执行算例ParametricPlot[{Sin[t],Cos[t]},{t,0,2*Pi}, AspectRatio->Automatic] ParametricPlot[{Sin[2*t],Cos[3*t]},{t,0,2*Pi}, AspectRatio->Automatic]y1=ParametricPlot[{Cos[t]^3,Sin[t]^3},{t,0,2*Pi}, AspectRatio->Automatic] y2=ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2*Pi}, AspectRatio->Automatic] Show[y1,y2]z1=ParametricPlot[{t-Sin[t],1-Cos[t]},{t,0,2*Pi}, AspectRatio->Automatic]五极坐标图形执行算例r[t_]:=(3Cos[t]^2-1)/2ParametricPlot[{r[t] Cos[t],r[t] Sin[t]},{t,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic]r[t_]:=2(1-Cos[t])ParametricPlot[{r[t] Cos[t],r[t] Sin[t]},{t,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic]r[t_]:=2Sin[3t]ParametricPlot[{r[t] Cos[t],r[t] Sin[t]},{t,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic]r[t_]:=Cos[2*t]ParametricPlot[{r[t] Cos[t],r[t] Sin[t]},{t,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic]r[t_]:=0.5*tParametricPlot[{r[t] Cos[t],r[t] Sin[t]},{t,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic]r[t_]:=Exp[t/3]ParametricPlot[{r[t] Cos[t],r[t] Sin[t]},{t,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic]r[t_]:=Cos[8*t]ParametricPlot[{r[t] Cos[t],r[t] Sin[t]},{t,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic]介绍：Hue六动画制作<<Graphics\Animatio.m 调入动画制作软件包Animate[图形,{自变量,下限,上限}],{参变量,下限,上限,步长}]执行算例<<Graphics\Animatio.mAnimate[Plot[Sin[x+t*Pi],{x,0,10Pi}],{t,0,5/3,1/3}]T able[k, 100]MATHEMATICA第三讲三维作图一命令语句Plot3D[函数表达式，,，{变量，上限，下限}，{可选项}]Plot3D[{函数表达式,着色表达式},{变量，上限，下限}，{变量，上限，下限}，{可选项}]二可选参数项1 PlotRange,说明要求的图形显示范围2 PlotLabel,说明图的名称标注3 AspectRatio,说明整个图的高度比4 Boxed:说明是否给图形加一个立体框5 BoxRation:说明图形立体框在三个方向的长度比6 ViewPoints:在将三维图形投射到平面上时使用的观察点.7 Mesh:说明在曲线上是否画网格8 HiddenSurface:曲面被挡住的部分是否隐掉9 Shading:在曲面上是否涂阴影10 lightScources:设置照明光源11 Lighting:说明是否打开已经设置的光源12 AmbienLight:漫射光设置.默认值是黑色,用GrayLevel[0]表示13 ClipFill:作出的图形中被切掉的那些部分用什么方法填充14 Axes:说明是否画坐标轴以及把坐标轴中心放在什么地方15 Ticks:规定坐标轴上刻度的位置执行算例1 默认情形Plot3D[x^2+y^2,{x,-1,1},{y,-1,1}]2 适当选取X,Y,Z轴的比例关系Plot3D[x^2+y^2,{x,-1,1},{y,-1,1},BoxRatios->{1,1,1.5}]3 不加阴影的情形Plot3D[x^2+y^2,{x,-1,1},{y,-1,1},BoxRatios->{1,1,1.5},Shading->False]4 不打开照明的情形Plot3D[x^2+y^2,{x,-1,1},{y,-1,1},BoxRatios->{1,1,1.5},Lighting->False]5 不设网格的情形Plot3D[x^2+y^2,{x,-1,1},{y,-1,1},BoxRatios->{1,1,1.5},Boxed->False,Axes->False,Mesh->False]-SurfaceGraphics-6 用参数方式图形更合乎实际情形ParametricPlot3D[{函数表达式},{变量，上限，下限},{可选项}]ParametricPlot3D[{v Sin[u],v Cos[u],v^2},{v,0,1},{u,0,2Pi}, BoxRatios->{1,1,1}] ParametricPlot3D[{u,u^2,t},{u,-1,1},{t,0,1}, PlotPoints->25,Lighting->True, ViewPoint->{2,-1,1}]7 视点的选择Plot3D[Cos[Sqrt[x^2+y^2]],{x,-10,10},{y,-10,10},PlotPoints->25,Lighting->True, ViewPoint->{1,1,2}]Plot3D[Cos[Sqrt[x^2+y^2]],{x,-10,10},{y,-10,10},PlotPoints->25,Lighting->True, ViewPoint->{0,0,1}]Plot3D[Cos[Sqrt[x^2+y^2]],{x,-10,10},{y,-10,10},PlotPoints->25,Lighting->True, ViewPoint->{0,1,2}]ParametricPlot3D[{u^2,u,v}, {v,0,2},{u,-2,2},BoxRatios->{1,1,0.6},ViewPoint->{1,3,1},Shading->True]8 将多个曲面放在一张图上Z1=Plot3D[x*y,{x,0,1},{y,0,1}]Z2=ParametricPlot3D[{u,u,t},{u,0,1},{t,0,1},PlotPoints->25,Lighting->True]Z3=ParametricPlot3D[{1,u,t},{u,-1,1},{t,0,1},PlotPoints->25,Lighting->True]Show[Z1,Z2,Z3,BoxRatios->{1,1,1},ViewPoint->{1,1,1},Shading->False]9 动画制作<<Graphics\Animatio.mAnimate[ParametricPlot3D[{u,u^2,t},{u,-1,1},{t,0,1},PlotPoints->25,Lighting->True,ViewPoint->{Cos[2*Pi*t],Sin[2*Pi*t],1}],{t,0,1,1/6}]波纹面动画演示注意：此演示需要较大内存，耐心等待。
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实验三 积分与应用3.1实验目的理解不定积分、变上限函数和定积分概念，了解定积分的近似计算方法。
熟悉Mathematica 数学软件的求不定积分、定积分命令，初步学会借助计算机和数学软件进行简单数学建模和求解。
3.2 实验准备3.2.1 本实验相关Mathematica 命令与功能 1.Integrate[f[x],x]功能：计算函数f(x)的一个原函数． 2.Integrate[f[x],{x,a,b}]功能：计算函数f(x)在区间[a,b]上的定积分值⎰badxx f )(．3.NIntegrate[f[x],{x,a,b}]功能：计算函数f(x)在区间上[a,b]的定积分值的近似值． 4.Sum[f[i],{i,1 ,n }]功能：计算f(1)+f(2)+…+f(n)的和． 5.NSum[f[i],{i,1,n }]功能：计算f(1)+f(2)+ …+f(n)的近似值． 3.3 实验任务 3.3.1 基础实验本实验熟悉数学软件命令操作 1.求下列函数的一个原函数：1）2+x x 2） )tan (sec sec x x x -3） x asin 4）1)1ln(++x x 5） x x arctan 2 6） x x 22cos sin 12.计算下列定积分： 1） ⎰-+422)123(dxx x 2）⎰+1)sin 1(dxx e x3）⎰+edx x x1ln 1 4）⎰++2131dx x x x5）⎰-21dx x 6） ⎰+-+22/11)11(dx e x x xx3.求下列变上限积分对x 的导数： 1）⎰xadtt 2sin 2）⎰-221x dtt 3）dtt a x x⎰+24）⎰-+xxdtt f sin )2(4. 标准正态分布函数为：.dte x x t ⎰-=Φ02221)(π画出该函数在区间[-3，3]的图形，并计算其在x=-1,-0.5,3,10的函数值． 5.求下列极限1）⎰⎰→xt xt x dte t dt e 022)()(lim222）1)(arctan lim202+⎰+∞→x dt t xx6.计算积分x xd ⎰1sin sin ．3.3.2 探索实验本实验探索定积分的近似计算方法。
1．定积分的基本思想是化整为零、以不变代变，积零为整，再取极限四个部分。
⎰badxx f )(的几何意义是由b x a x y x f y ====,,0),(围成的曲边梯形的面积（代数和）。
矩形方法就是用小矩形面积代替小曲边梯形的面积，然后求和以获得定积分的近似值（见图）。
试选择一个简单的定积分题目利用定积分近似计算的矩形公式计算之，观察后者随着节点的增多，计算值与准确值的误差变化。
图1定积分的几何意义3.3.3应用实验（ 转售机器的最佳时间问题）1.人们使用机器从事生产是为获得更大的利润。
通常是把购买的机器使用一段时间后再转售出去买更好的机器。
那么一台机器使用多少时间再转售出去才能获得最大的利润是使用机器者最想知道的。
现有一种机器由于折旧等因素其转售价格R(t)服从如下函数关系9643)(teA t R -=（元），这里t 是时间，单位是周，A 是机器的最初价格。
此外，还知道在任何时间t,机器开动就能产生484teA P -=的利润，问该机器使用了多长时间后转售出去能使总利润最大？最大利润是多少？机器卖了多少钱？ 3.4本实验的参考命令与输出结果、相关说明 1.1）In[1]:= Integrate[x*Sqrt[x]+2,x]Out[1]=xx 2525+2）In[2]:= Integrate[Sec[x]*(Sec[x]-Tan[x]),x]Out[2]=]2[]2[]2[2x Sin x Cos x Sin + 3）In[3]:= Integrate[a/Sin[x],x]Out[3]=]]2[[]]2[[x Sin aLog x Cos aLog +- 4）In[4]:= Integrate[Log[x ＋1]/Sqrt[x ＋1],x] Out[4]=]1[1214x Log x x ++++- 5）In[5]:= Integrate[x^2*ArcTan[x],x]Out[5]= ]1[61][316232x Log x ArcTan x x +++-6）In[6]:= Integrate[1/(Sin[x]^2 Cos[x]^2),x] Out[6]=-(Cos[2 x] Csc[x] Sec[x])2.1）In[1]:= Integrate[3x^2+2x-1,{x,2,4}] Out[1]=662）In[2]:= Integrate[Exp[x]*(1+Sin[x]),{x,0,1}] Out[2]=2])1[]1[2(21Sin Cos E +-+-3）In[3]:= Integrate[(1+Log[x])/x,{x,1,E}]Out[3]=234）In[4]:= Integrate[(1+x)/(x+x^3),{x,1,2}] Out[4] =2]5[2]2[3]2[4Log Log ArcTan Pi -++-5）In[5]:=Integrate[1－x,{x,0,1}]＋Integrate[x －1,{x,1,2}] Out[5]=16）In[6]:=Integrate[(1+x-1/x)*Exp[x+1/x], {x,1/2,2}]Out[6]=2325E3.1）In[1]:=D[Integrate[Sin[t^2],{t,a,x}],x] Out[1]=Sin[x 2]2）In[2]:= D[Integrate[Sqrt[1-t^2],{t,0,x^2}],x]Out[2]= 2/]1[2]1[2]1[24454x xSqrt x Sqrt x x Sqrt x -+---In[3]:=Simplify[%] Out[3]= ]1[24x xSqrt -3）In[4]:= D[Integrate[Sqrt[a+t],{t,x,x^2}],x]Out[4]= -Sqrt[a + x] + 2 x Sqrt[a + x 2]4）In[5]:= D[Integrate[f[t+2],{t,-x,Sin[x]}],x]Out[5]= f[2 - x] + Cos[x] f[2 + Sin[x]]4.In[1]:= fai[x_]:=Integrate[Exp[-t^2/2],{t,0,x}]/Sqrt[2Pi]In[2]:= Plot[fai[x],{x,-3,3}]输出的图形为Out[2]= -Graphics-In[3]:= {fai[-1],fai[-0.5],fai[3],fai[10]}//NOut[3]= {-0.341345, -0.191462, 0.49865, 0.5}因此函数在x=-1,0.5,3,10的函数值依次为-0.341345, -0.191462, 0.49865, 0.5。
5.1）In[1]:= Limit[Integrate[Exp[t^2],{t,0,x}]^2/Integrate[t Exp[t^2]^2,{t,0,x}], x->0]Out[1]=22）In[2]:=Limit[Integrate[ArcTan[t]^2,{t,0,x}]/Sqrt[1+x^2],x->+Infinity]屏幕会出现如下的红色英文提示信息:On::none: Message SeriesData::csa not found.……………………………………………………ComplexInfinity + <<1>> encountered.说明不能得出正确结果。
此时可以借助人工处理，如用一次洛必达法则后再求极限: In[3]:= Limit[ArcTan[x]^2/(x/Sqrt[1+x^2]), x->Infinity]Out[3]=42Pi6.In[1]:= Integrate[Sin[Sin[x]],{x,0,1}]屏幕会出现如下的红色英文提示信息:On::none: Message SeriesData::csa not found. Out[1]= Integrate[Sin[Sin[x]], {x, 0, 1}]说明不能得出正确结果，转用数值积分命令：In[2]:= NIntegrate[Sin[Sin[x]],{x,0,1}]Out[2]= 0.4306067.1) 问题分析 如果定积分⎰badxx f )(存在，则由定义，我们可以选择特殊的小区间和函数值，特别，可以选择n ab x i -=∆，)()(i i x f f =ξ，于是我们有n a b h ih a x x f n a b x f n a b dx x f i ni i ban i i n -=+=-≈-=∑⎰∑==∞→,;)()(lim )(11得到求定积分的矩形公式n a b h ih a x x f n a b dx x f i ban i i -=+=-≈⎰∑=,;)()(1下面选择定积分⎰10sin xdx x 并用矩形公式计算来做实验。
2）求解过程In[1]:= f[x_]:=x*Sin[x] In[2]:= a=0;b=1;h=b-a;In[3]:= s[n_]:=h*Sum[f[a+i*(b-a)/n],{i,1,n}]/n In[4]:= Table[{n,N[s[n]-s1,10]},{n,100,250}]Out[4]=: {{100, 0.004218869744}, {101, 0.004176985876}, {102, 0.004135925453}, {103, 0.004095664426}, {104, 0.004056179676}, {105, 0.004017448967}, {106, 0.003979450903}, {107, 0.003942164891}, {108, 0.003905571101}, …………………………………………………………………………………. {238, 0.001769829021}, {239, 0.001762415408}, {240, 0.001755063646}, {241, 0.001747772964}, {242, 0.001740542603}, {243, 0.001733371818}, {244, 0.001726259876}, {245, 0.001719206056}, {246, 0.001712209647}, {247, 0.001705269951}, {248, 0.001698386283}, {249, 0.001691557966}, {250, 0.001684784335}}计算使用了细分积分区间份数从100到250份，然后采用矩形公式进行计算。