mathematic积分与应用

实验三 积分与应用

3.1实验目的

理解不定积分、变上限函数和定积分概念，了解定积分的近似计算方法。熟悉Mathematica 数学软件的求不定积分、定积分命令，初步学会借助计算机和数学软件进行简单数学建模和求解。 3.2 实验准备

3.2.1 本实验相关Mathematica 命令与功能 1.Integrate[f[x],x]

功能：计算函数f(x)的一个原函数． 2.Integrate[f[x],{x,a,b}]

功能：计算函数f(x)在区间[a,b]上的定积分值⎰

b

a

dx

x f )(．

3.NIntegrate[f[x],{x,a,b}]

功能：计算函数f(x)在区间上[a,b]的定积分值的近似值． 4.Sum[f[i],{i,1 ,n }]

功能：计算f(1)+f(2)+…+f(n)的和． 5.NSum[f[i],{i,1,n }]

功能：计算f(1)+f(2)+ …+f(n)的近似值． 3.3 实验任务 3.3.1 基础实验

本实验熟悉数学软件命令操作 1.求下列函数的一个原函数：

1）2+x x 2） )tan (sec sec x x x -

3） x a

sin 4）

1)1ln(++x x 5） x x arctan 2 6） x x 2

2cos sin 1

2.计算下列定积分： 1） ⎰

-+4

22)123(dx

x x 2）

⎰

+1

)sin 1(dx

x e x

3）

⎰

+e

dx x x

1

ln 1 4）

⎰

++2

1

31dx x x x

5）

⎰

-2

1dx x 6） ⎰+-+2

2/11

)11(dx e x x x

x

3.求下列变上限积分对x 的导数： 1）

⎰

x

a

dt

t 2

sin 2）

⎰

-2

21x dt

t 3）

dt

t a x x

⎰

+2

4）

⎰

-+x

x

dt

t f sin )2(

4. 标准正态分布函数为：.

dt

e x x t ⎰-

=

Φ0

2

2

21

)(π

画出该函数在区间[-3，3]的图形，并计算其在x=-1,-0.5,3,10的函数值． 5.求下列极限

1）

⎰

⎰→x

t x

t x dt

e t dt e 0

2

2

)()(lim

2

2

2）

1

)(arctan lim

20

2+⎰

+∞

→x dt t x

x

6.计算积分

x xd ⎰1

sin sin ．

3.3.2 探索实验

本实验探索定积分的近似计算方法。

1．定积分的基本思想是化整为零、以不变代变，积零为整，再取极限四个部分。

⎰

b

a

dx

x f )(的几何意义是由b x a x y x f y ====,,0),(围成的曲边梯形的面积

（代数和）。矩形方法就是用小矩形面积代替小曲边梯形的面积，然后求和以获得定积分的近似值（见图）。试选择一个简单的定积分题目利用定积分近似计算的矩形公式计算之，观察后者随着节点的增多，计算值与准确值的误差变化。

图1定积分的几何意义

3.3.3应用实验（ 转售机器的最佳时间问题）

1.人们使用机器从事生产是为获得更大的利润。通常是把购买的机器使用一段时间后再转售出去买更好的机器。那么一台机器使用多少时间再转售出去才能获得最大的利润是使用机器者最想知道的。现有一种机器由于折旧等因素其转售价格R(t)服从如下函数关系

9643)(t

e

A t R -=（元），这里t 是时间，单位是周，A 是机器的最初价格。此外，还知道在任何时间t,机器开动就能产生48

4t

e

A P -=的利润，问该机器使用了多长时间后转售出去能使

总利润最大？最大利润是多少？机器卖了多少钱？ 3.4本实验的参考命令与输出结果、相关说明 1.

1）In[1]:= Integrate[x*Sqrt[x]+2,x]

Out[1]=x

x 2525+

2）In[2]:= Integrate[Sec[x]*(Sec[x]-Tan[x]),x]

Out[2]=

]

2[]2[]

2[2x Sin x Cos x Sin + 3）In[3]:= Integrate[a/Sin[x],x]

Out[3]=

]]

2[[]]2[[x Sin aLog x Cos aLog +- 4）In[4]:= Integrate[Log[x ＋1]/Sqrt[x ＋1],x] Out[4]=]1[1214x Log x x ++++- 5）In[5]:= Integrate[x^2*ArcTan[x],x]

Out[5]= ]1[61

][316232x Log x ArcTan x x +++-

6）In[6]:= Integrate[1/(Sin[x]^2 Cos[x]^2),x] Out[6]=-(Cos[2 x] Csc[x] Sec[x])

2.

1）In[1]:= Integrate[3x^2+2x-1,{x,2,4}] Out[1]=66

2）In[2]:= Integrate[Exp[x]*(1+Sin[x]),{x,0,1}] Out[2]=

2])1[]1[2(21Sin Cos E +-+-

3）In[3]:= Integrate[(1+Log[x])/x,{x,1,E}]

Out[3]=23

4）In[4]:= Integrate[(1+x)/(x+x^3),{x,1,2}] Out[4] =

2]5[2]2[3]2[4Log Log ArcTan Pi -++-

5）In[5]:=Integrate[1－x,{x,0,1}]＋Integrate[x －1,{x,1,2}] Out[5]=1

6）In[6]:=Integrate[(1+x-1/x)*Exp[x+1/x], {x,1/2,2}]

Out[6]=232

5E

3.

1）In[1]:=D[Integrate[Sin[t^2],{t,a,x}],x] Out[1]=Sin[x 2]

2）In[2]:= D[Integrate[Sqrt[1-t^2],{t,0,x^2}],x]

Out[2]= 2/]1[2]1[2]1[244

5

4x xSqrt x Sqrt x x Sqrt x -+---

In[3]:=Simplify[%] Out[3]= ]1[24

x xSqrt -