高考解三角形大题(30道)

专题精选习题----解三角形
1.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知
b
a
c B C A -=
-2cos cos 2cos . （1）求A
C
sin sin 的值； （2）若2,4
1
cos ==b B ，求ABC ∆的面积S .
2.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2
sin 1cos sin C C C -=+. （1）求C sin 的值；
（2）若8)(42
2
-+=+b a b a ，求边c 的值.
3.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,. （1）若A A cos 2)6sin(=+
π
，求A 的值；
（2）若c b A 3,3
1
cos ==，求C sin 的值.
4.ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，5
3
cos ,135sin ,33=∠==ADC B BD ，求AD .
5.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知4
1cos ,2,1===C b a . （1）求ABC ∆的周长； （2）求)cos(C A -的值.
6.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.已知)(sin sin sin R p B p C A ∈=+，且24
1b ac =
. （1）当1
,4
5
==b p 时，求c a ,的值； （2）若角B 为锐角，求p 的取值范围.
7.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=. （1）求A 的值；
（2）求C B sin sin +的最大值.
8.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知4
12cos -=C . （1）求C sin 的值；
（2）当C A a sin sin 2,2==时，求c b ,的长.
ABC ∆b c C a =+2
1cos 9.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足3,5
522cos =⋅=AC AB A . （1）求ABC ∆的面积；
（2）若6=+c b ，求a 的值.
10.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，2
2)4cos()4cos(=-++ππ
C C . （1）求角C 的大小；
（2）若32=c ，B A sin 2sin =，求b a ,.
11.在ABC ∆中，
角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且. （1）求角A 的大小；
（2）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围.
12.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足0cos cos )2(=--C a A c b . （1）求角A 的大小；
（2）若3=a ，4
3
3=∆ABC S ，试判断的形状，并说明理由.
13.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且.3)(22
22ab c b a =-+
（1）求2
sin
2
B
A +； （2）若2=c ，求ABC ∆面积的最大值.
14.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足2
2
2
2
cos 2cos 4c b a B ac B a -+=-. （1）求角B 的大小；
（2）设)1,3(),2cos ,2(sin -=-=n C A m ，求n m ⋅的取值范围.
15.已知)0)(cos ,(cos ),cos ,(sin >==ωωωωωx x n x x m ，若函数2
1
)(-
⋅=n m x f 的最小正周期为π4.
（1）求函数)(x f y =取最值时x 的取值集合；
（2）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足C b B c a cos cos )2(=-，求)(A f 的取值范围.
16.如图，ABC ∆中，2,332sin ==∠AB ABC ，点D 在线段AC 上，且3
3
4,2==BD DC AD . (1)求BC 的长； (2)求DBC ∆的面积.
A
B
D
C
17.已知向量5
5
2),sin ,(cos ),sin ,(cos =-==b a b a ββαα. （1）求)cos(βα-的值； （2）若02
,2
0<<-
<<βπ
π
α，13
5
sin -
=β，求αsin .
18.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知12cos sin 2sin 2sin 2
=+⋅+C C C C ，且
5=+b a ，7=c .
（1）求角C 的大小； （2）求ABC ∆的面积.
19.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足2
1)cos sin 3(cos =-⋅A A A . （1）求角A 的大小；
（2）若32,22==∆ABC S a ，求c b ,的长.
20.已知函数)(,cos 2
1
sin 23)(R x x x x f ∈+=ππ，当]1,1[-∈x 时，其图象与x 轴交于N M ,两点，最高点为P .
（1）求PN PM ,夹角的余弦值；
（2）将函数)(x f 的图象向右平移1个单位，再将所得图像上每点的横坐标扩大为原来的2倍，而得到函数)(x g y =的图象，试画出函数)(x g y =在]3
8
,32[上的图象.
3,5
3
sin ,3===b A B π
21.已知函数a x x x a x f -+=cos sin 2sin 2)(2
（a 为常数）在8
3π
=x 处取得最大值. （1）求a 的值；
（2）求)(x f 在],0[π上的增区间.
22.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且bc a c b =-+2
22. （1）求角A 的大小；
（2）若函数2
cos 2cos 2sin )(2x x x x f +=，当2
1
2)(+=
B f 时，若3=a ，求b 的值.
23.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知. （1）求C sin 的值； （2）求ABC ∆的面积.
24.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且B c a C b cos )3(cos -=. （1）求B sin 的值；
（2）若2=b ，且c a =，求ABC ∆的面积.
25.已知函数212cos 2cos 2sin
3)(2++=x x x x f .
(1)求)(x f 的单调区间；
（2）在锐角三角形ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足A c C a b cos cos )2(⋅=-，求)(A f 的取值范围.
26.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，a A b B A a 2cos sin sin 2
=+.
（1）求
a
b ； （2）若2
2
2
3a b c +=，求角B .
27.港口A 北偏东︒30方向的C 处有一检查站，港口正东方向的B 处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B 处沿正西方向航行20海里后到达D 处观测站，已知观测站与检查站距离为21海里，问此时轮船离港口A 还有多远？
28.某巡逻艇在A 处发现在北偏东︒45距A 处8海里的B 处有一走私船，正沿东偏南︒15的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以312海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇航行方向.
29.在海岛A 上有一座海拔1km 的山峰，山顶设有一个观察站P.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11:00时，测得此船在岛北偏东︒15、俯角为︒30的B 处，到11:10时，又测得该船在岛北偏西︒45、俯角为︒60的C 处.
（1）求船航行速度；
（2）求船从B 到C 行驶过程中与观察站P 的最短距离.
30.如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东︒45的方向做匀速直线航行，速度为215海里/小时，在甲船从A 到出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出发，朝北偏东θ（2
1
tan =θ）的方向做匀速直线航行，速度为m 海里/小时.
（1）求4小时后甲船到B 岛的距离为多少海里；
（2）若两船能相遇，求m.。