专题4-3用乘法公式分解因式专项提升训练(重难点培优)-2023-2024学年(0002)
因式分解压轴题(20题)-【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学下册压轴题攻略(原卷版)
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1第四章因式分解压轴题1．若a =a 的说法正确的是（）．A ．是正整数，而且是偶数B ．是正整数，而且是奇数C ．不是正整数，而是无理数D ．无法确定2．如果一个四位自然数abcd 的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足2a b c d ++=，那么称这个四位数为“和方数”．例如：四位数2613，因为22613++=，所以2613是“和方数”；四位数2514，因为22514++≠，所以2514不是“和方数”．若354a 是“和方数”，则这个数是；若四位数M 是“和方数”，将“和方数”M 的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N ，若M N +能被33整除，则满足条件的M 的最大值是．3．如果一个三位正整数M 可以表示为()3m m +的形式，其中m 为正整数，则称M 为“幸运数”．例如：三位数270，()27015153=⨯+ ，∴270是“幸运数”；又如：三位数102，1021102251334617=⨯=⨯=⨯=⨯ ，∴102不是“幸运数”、根据题意，最大的“幸运数”为；若M 与N 都是“幸运数”，且350M N -=，则所有满足条件的N 的和为．4．一个四位正整数m ，如果m 满足各个数位上的数字均不为0，千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，则称m 为“对称数”，将m 的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新数m '，记()81m m F m '-=．例如：对称数7337m =时，3373m '=，则()7337377373374481F -==．已知s 、t 都是“对称数”，记s 的千位数字与百位数字分别为a ，b ，t 的千位数字与百位数字分别为x ，y ，其中19b a ≤<≤，1x ≤，9y ≤，a ，b ，x ，y 均为整数．若()F s 能被8整除，则a b -=；同时，若()F s 、()F t 还满足()()64138F s F t a b x y xy +=++-+，则()F t 所有可能值的和为．5．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流．流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋．”其意境与韵味读起来都是一种美的享受．在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如11，343等．下列几个命题中：（1）2222是“回文数”；（2）所有两位数中，有9个“回文数”；所有三位数中，有81个“回文数”；（3）任意四位数的“回文数”是11的倍数；（4）如果一个“回文数”m 是另外一个正整数n 的平方，则称m 为“平方回数”．若t 是一个千位数字为1的四位数的“回文数”，若11s t =，且s 是一个“平方回数”，则1331t =．其中，真命题有．（填序号）6．定义：任意两个数a ，b ，按规则()()11c a b =++运算得到一个新数c ，称所得的新数c 为a ，b 的“和积数”．(1)若4a =，2b =-，求a ，b 的“和积数”c ；(2)若12ab =，228a b +=，求a ，b 的“和积数”c ；(3)已知1a x =+，且a ，b 的“和积数”32452c x x x =+++，求b （用含x 的式子表示）并计算a b +的最小值．7．若一个四位数M 的百位数字与千位数字的差恰好是个位数字与十位数字的差的2倍，则将这个四位数M 称作“星耀重外数”．例如：2456M =，∵()42265-=⨯-，∴2456是“星耀重外数”；又如4325M =，∵()34252-≠⨯-，∴4325不是“星耀重外数”．(1)判断2023，5522是否是“星耀重外数”，并说明理由；(2)一个“星耀重外数”M 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，且满足29a b c d ≤≤<≤≤，记()492223624ac a d b G M -++-=，当()G M 是整数时，求出所有满足条件的M ．8．已知一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数()M abcd a c =>，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数s ，若s 等于M 的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M 为“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数ba ，个位数字和十位数字组成两位数dc ，并记()T M ba dc =+．例如：6237是“平方差数”，因为226327-=，所以6237是“平方差数”；此时()6237267399T =+=．又如：5135不是“平方差数”，因为22531615-=≠，所以5135不是“平方差数”．(1)判断7425是否是“平方差数”？并说明理由；(2)若M abcd =是“平方差数”，且()T M 比M 的个位数字的9倍大30，求所有满足条件的“平方差数”M ．9．一个两位数M ，若将十位数字2倍的平方与个位数字的平方的差记为数N ，当N ＞0时，我们把N 放在M 的右边将所构成的新数叫做M 的“叠加数”．例如：M ＝47，∵N ＝(2×4)2－72＝15>0，∴47的“叠加数”为4715；M ＝26，∵N ＝(2×2)2－62＝－20＜0，∴26没有“叠加数”．(1)请判断3420和5846是否为某个两位数的“叠加数”，并说明理由；(2)两位数M ＝10a ＋b （1≤a ≤9,1≤b ≤4，且a 、b 均为整数）有“叠加数”，且12a －M －N 能被13整除，求所有满足条件的两位数M 的“叠加数”．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！310．材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++．(1)分解因式：1ab a b +++(2)若a ，()b a b >都是正整数且满足40ab a b ---=，求a b +的值；(3)若a ，b 为实数且满足50ab a b ---=，22235S a ab b a b =+++-，求S 的最小值．11．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2346a ab b --+因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式()()()()()()234623223232a ab b a b b b a =---=---=--；解法二：原式()()()()()()24362232223a ab b a b a a b =---=---=--．【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将22x a x a -++因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将222ax a ab bx b +--+因式分解；（3）若229a b +=，2a b -=，请用分组分解法先将432234222a a b a b ab b -+-+因式分解，再求值．12．如图①，在平面直角坐标系中，点A ，点B 分别在x 轴负半轴和y 轴正半轴上，点C 在第二象限，且90ACB ∠=︒，AC BC =，点B 的坐标为()0,m ，点C 的纵坐标为n ，满足222170m n m +-+=．(1)求点A 的坐标；(2)如图②，点D 是AB 的中点，点E ，F 分别是边AC ，BC 上的动点，且DE DF ⊥，在点E ，F 移动过程中，四边形的面积是否为定值？请说明理由；(3)在平面直角坐标系中，是否存在点P ，使得PAC △是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点P 的坐标.13．在x 轴正半轴上有一定点A ，(),0A a ．(1)若多项式24x x a ++恰好是某个整式的平方，那么点A 的坐标为__________；(2)如图1，点P 为第三象限角平分线上一动点，连接AP ，将射线AP 绕点A 逆时针旋转30︒交y 轴于点Q ，连接PQ ，在点P 运动的过程中，当45APQ ∠=︒时，求OQA ∠的度数；(3)如图2，已知点B 、点C 分别为y 轴正半轴，x 轴正半轴上的点，C 在A 右侧，在线段OB 上取点(0)E m ，，AC n =，且45BCE ∠=︒，过点A 做AD x ⊥轴，且AD OC =，求DF 的长．（结果用m ，n 表示）14．通过课堂的学习知道，我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式()()()()()222()2321414121231x x x x x x x x x +-=++-=+-=+++-=+-；再例如求代数式2246x x +-的最小值，()2222462232(1)8x x x x x +-=+-=+-．可知当=1x -时，2246x x +-有最小值，最小值是8-，根据阅读材料用配方法解决下列问题：(1)代数式223a a -++的最大值为：；(2)若2211M a b =++与62N a b =-，判断M N 、的大小关系，并说明理由；(3)已知：2a b -=，2450ab c c -++=，求代数式a b c ++的值．15．阅读材料，解决问题【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式223x x +-．原式()()()()()22223211314121231x x x x x x x x x =+-=++--=+-=+++-=+-．【材料2】因式分解：()()221x y x y ++++原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5解：把x y +看成一个整体，令x y A +=，则原式()22211A A A =++=+，再将A x y =+重新代入，得：原式()21x y =++上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：(1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：268x x -+；(2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：()()244x y x y ---+；(3)当a ，b ，c 分别为ABC 的三边时，且满足222464170a b c a b c ++---+=时，判断ABC 的形状并说明理由．16．我们定义：一个整数能表示成22a b +（a 、b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为22521=+，所以5是“完美数”．[解决问题](1)已知29是“完美数”，请将它写成22a b +（a 、b 是整数）的形式______；(2)若265x x -+可配方成()2x m n -+（m 、n 为常数），则mn =______；[探究问题](3)已知222450x y x y +-++=，则x y +=______；(4)已知224412S x y x y k =++-+（x 、y 是整数，k 是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由．[拓展结论](5)已知实数x 、y 满足25502x x y -++-=，求2x y -的最值．17．阅读材料：我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等．例分解因式：()22223214(1)4(12)(12)(3)(1)x x x x x x x x x +-=++-=+-=+++-=+-；又例如：求代数式2246x x +-的最小值：()2222462232(1)8x x x x x +-=+-=+- ；又2(1)0x + ；∴当=1x -时，2246x x +-有最小值，最小值是8-．根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：(1)分解因式：245a a --=___________；(2)已知ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足22412400a a b b -+-+=求边长c 的最小值；(3)当x 、y 为何值时，多项式222267x xy y y -+-++有最大值？并求出这个最大值．18．【实践探究】小青同学在学习“因式分解”时，用如图1所示编号为①②③④的四种长方体各若干块，进行实践探究：(1)现取其中两个拼成如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式：；(2)【问题解决】若要用这四种长方体拼成一个棱长为2x y +的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个?试通过计算说明理由；(3)【拓展延伸】如图3，在一个棱长为y 的正方体中挖出一个棱长为x 的正方体，请根据体积的不同表示方法，直接写出33y x -因式分解的结果，并利用此结果解决问题：已知a 与2n 分别是两个大小不同正方体的棱长，且()()338244a n a n an -=--，当2a n -为整数时，求an 的值．19．材料：对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得到一个数学等式．(1)如图1，将一个边长为a 的正方形纸片剪去-一个边长为b 的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个关于a ，b 的等式：__________．请类比上述探究过程，解答下列问题：(2)如图2，将一个棱长为a 的正方体木块挖去一个棱长为b 的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到等式：33a b -=__________，将等式右边因式分解，即33a b -=__________；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7(3)根据以上探究的结果，①如图3所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数．．．，按此规律拼叠到正方形ABCD ，其边长为19，求阴影部分的面积．②计算：()()33211211+--20．(1)【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式()20ax bx c a ++≠分解因式呢？我们已经知道：()()()2211221212211212122112a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c ++=+++=+++．反过来，就得到：()()()2121221121122a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++．我们发现，二次三项式()20ax bx c a ++≠的二次项的系数a分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c ，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到1221a c a c +，如果1221a c a c +的值正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解为()()1122a x c a x c ++，其中1a ，1c 位于图的上一行，2a ，2c 位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子26x x --分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即111=⨯，把常数项6-也分解为两个因数的积，即()623-=⨯-；然后把1，1，2，3-按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到()13121⨯-+⨯=-，恰好等于一次项的系数1-，于是26x x --就可以分解为()()23x x +-．请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：26x x +-=__________．(2)【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：①2257x x +-=__________；②22672x xy y -+=__________．(3)【探究与拓展】对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成jk 乘积作为第三列，如果mq npb +=，pk pj e +=，mk nj d +=，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式()()mx py j nx qy k =++++，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：①分解因式2235294x xy y x y +-++-=__________；②若关于x ，y 的二元二次式22718524x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值．。
2024年中考数学复习-因式分解的多种方法考点培优练习
因式分解的多种方法考点培优练习 考点直击 1.因式分解的常见方法：(1)提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.(2)运用公式法: a²−b²=(a +b )(a −b );a²±2ab +b²=(a ±b )²2.分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公因式，然后再考虑是否能用公式法分解.3.分解因式时常见的思维误区：(1)提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准.(2)提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“1”易漏掉.(3)分解不彻底，如保留中括号形式、还能继续分解等.4.因式分解的特殊方法：分组分解法和十字相乘法.其中，形如 x²+px +q 的二次三项式，如果常数项q 能分解为两个因数a ，b 的积，并且a+b 恰好等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即 x²+px +q =x²+(a +b )x +ab =(x+a)(x+b)，这种因式分解的方法称为十字相乘法.例题精讲例 1 【例题讲解】因式分解： x³−1.∵x³−1为三次二项式，对于方程 x³−1=0,x =1是其1个解.∴ 我们可以猜想 x³−1可以分解成 (x −1)(x²+ax +b ),展开等式右边得 x³+(a −1)2 ²+(b −a )x −b.:x³−1=x³+(a −1)x²+(b −a )x −b 恒成立，∴ 等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即 {a −1=0,b −a =0,−b =−1,解得 {a =1,b =1. ∴x³−1=(x −1)(x²+x +1).【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数对应相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法.【学以致用】(1)若 x²−mx −12=(x +3)(x −4),则 m =;(2)若 x³+3x²−3x +k 有一个因式是. x +1,,求 k 的值;(3)请判断多项式 x⁴+x²+1能否分解成两个整系数二次多项式的乘积.若能，请直接写出结果；若不能，请说明理由.【思路点拨】(1)根据题目中的待定系数法原理即可求得结果；(2)根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据恒等原理即可求得结论；(3)根据待定系数原理和多项式乘多项式的规律即可求得结论.举一反三1 (北京中考)因式分解：a²−4a+4−b².举一反三2 阅读下列材料：我们知道，多项式a²+6a+9可以写成( (a+3)²的形式，这就是将多项式a²+6a+9因式分解.当一个多项式(如a²+ 6a+8)不能写成两数和(或差)的平方的形式时，我们通常采用下面的方法：a²+6a+8=(a+3)²−1=(a+2)(a+4)请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：(1)x²-6x-27;(2)a²+3a-28;(3)x²-(2n+1)x+n²+n.举一反三3 下面是某同学对多项式( (x²−4x+2)(x²−4x+6)+4进行因式分解的过程：解：设x²−4x=y,原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)=y²+8y+16 (第二步)=(y+4)² (第三步)=(x²−4x+4)² (第四步)(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 (填字母).A.提取公因式B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式(2)该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果.这个结果是否分解到最后? (填“是”或“否”).如果否，直接写出最后的结果： .(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x²−2x)(x²−2x+2)+1进行因式分解.例2 (吉林中考)在下列三个整式 x²+2xy,y²+2xy,x²中，请你任意选出两个进行加(或减)运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解.【思路点拨】本题为开放性试题，在第一步组合过程中，考虑下一步因式分解的适当方法，可以用提取公因式法或公式法.举一反三4 (湖北中考)给出三个多项式： X =2a²+3ab +b²,Y =3a²+3ab, Z =a²+ab.请你任选两个进行加(或减)法运算，再将结果分解因式.举一反三5 阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式变形为 a (x +m )²+n 的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式 ax²+bx +c (a ≠0)的配方法.运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.例如：x 2+9x −10=x 2+9x +(92)2−(92)2−10=(x +92)2−1214=(x +92+112)(x +92−112)=(x +10)(x −1)根据以上材料，解答下列问题：(1)用配方法及平方差公式把多项式 x²−7x +12进行因式分解；(2)用多项式的配方法将x²+6x−9化成a(x+m)²+n的形式，并求出多项式的最小值；(3)求证：x，y 取任何实数时，多项式x²+y²−4x+2y+6的值总为正数.例3 阅读材料：若m²−2mn+2n²−8n+16=0,求m,n 的值.解:∵m²-2mn+2n²-8n+16=0,∴ (m²-2mn+n²)+(n²-8n+16)=0, ∴(m−n)2+(n−4)2=0,∴(m−n)2=0,(n−4)2=0,∴n= 4,m=4.根据你的观察，探究下面的问题：(1) 已知x²+2xy+2y²+2y+1=0,求2x+y的值；(2)已知a−b=4,ab+c²−6c+13=0求a+b+c的值.【思路点拨】(1)根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x，y的值，再求得2x+y的值;(2)根据a−b=4,ab+c²−6c+13=0,可以得到a，b，c 的值，再求得a+b+c的值.举一反三6 (南通中考)已知A=a+2,B=a²−a+5,C=a²+5a−19,其中a>2.(1) 求证: B−A>0,，并指出 A 与 B 的大小关系；(2)指出A与C哪个大?说明理由.举一反三7 (杭州中考)已知a,b,c 为. △ABC的三边，且满足a²c²−b²c²=a⁴−b⁴,试判断△ABC的形状.过关检测基础夯实1.(自贡中考)把多项式a²−4a因式分解，结果正确的是 ( )A. a(a-4)B.(a+2)(a-2)C. a(a+2)(a-2)D.(a−2)²−42.(桂林中考)因式分解a²−4的结果是( )A.(a+2)(a-2)B.(a−2)²C.(a+2)²D. a(a-2)3.(中山中考)因式分解1−4x²−4y²+8xy，正确的分组是 ( )A.(1−4x²)+(8xy−4y²)B.(1−4x²−4y²)+8xyC.(1+8xy)−(4x²+4y²)D.1−(4x²+4y²−8xy)4.(潍坊中考)下列因式分解正确的是 ( )A.3ax²−6ax=3(ax²−2ax)B.x²+y²=(−x+y)(−x−y)C.a²+2ab−4b²=(a+2b)²D.−ax²+2ax−a=−a(x−1)²5.(聊城中考)因式分解:x(x—2)—x+ 2= .6.(漳州中考)若x²+4x+4=(x+2)(x+n),则n= .7.(湖州中考)因式分解：a³−9a.8.因式分解: a²−b²+a−b.9.(北京中考)因式分解：m²−n²+2m−2n.能力拓展10.(临沂中考)多项式mx²−m与多项式x²−2x+1的公因式是 ( )A. x-1B. x+1C.x²−1D.(x−1)²11.(盘锦中考)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 ( )A.x²+2x−1=(x−1)²B.(a+b)(a−b)=a²−b²C.x²+4x+4=(x+2)²D.ax²−a=a(x²−1)12.(兰州中考)因式分解: m³−6m²+ 9m= .13.(宜宾中考)因式分解：b²+c²+2bc− a²= .14.(常德中考)多项式ax²−4a与多项式x²−4x+4的公因式是 .15.(杭州中考)化简: (a−b)(a+b)²−(a+b)(a−b)²+2b(a²+b²).16.(茂名中考)因式分解：9(a+b)²−(a−b)².17.(扬州中考)(1) 计算: √9−(−1)2+(−2012)0;(2)因式分解: m³n −9mn.18.(十堰中考)已知::a+b=3, ab=2,求下列各式的值：(1)a²b +ab²;(2)a²+b².19.(济南中考)请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解：4a²,(x+y)²,1,9b².综合创新20.设正整数a,b,c>100,满足 c²−1=a²(b²−1),且a>1,则a/b 的最小值是 ( )A. 13B. 12 C. 2 D.3 21.求证：对任何整数x 和y ，下式的值都不会等于33.x⁵+3x⁴y −5x³y²−15x²y³+4xy⁴+12y ⁵.【例题精讲】1.(1)1 (2) -5 ( (3)x⁴+x²+1=(x²+ x +1)(x²−x +1)解析： (1)∵(x +3)(x −4)=x²−x −12,∴--m=-1,∴m=1;(2) 设另一个因式为 (x²+ax +k ),(x +1)(x²+ax +k )= x³+ax²+kx +x²+ax +k =x³+(a + 1)x²+(a +k )x +k,∴x³+(a +1). x²+(a +k )x +k =x³+3x²−3x +k,∴a+1=3,a+k=-3,解得a=2,k=-5;(3)设多项式 x⁴+x²+1能分解成 ①(x²+1)(x²+ax +b )或( ②(x²+x + (1)(x²+ax +1),①(x²+1)(x²+ax + b)=x⁴+ax³+bx²+x²+ax +b =x⁴+ ax³+(b +1)x²+ax +b,∴a =0,b +1=1,b=1,由b+1=1得b=0≠1,矛盾; ②(x²+x +1)(x²+ax +1)=x⁴+(a + 1)x³+(a +2)x²+(a +1)x +1,∴a +1=0,a+2=1,解得a=-1.即. x⁴+x²+ 1=(x²+x +1)(x²−x +1).2.方法一:( (x²+2xy )+x²=2x²+2xy =2x(x+y)方法二：( (y²+2xy )+x²=(x +y )²方法三： (x²+2xy )−(y²+2xy )=x²− y²=(x +y )(x −y )方法四： (y²+2xy )−(x²+2xy )=y²− x²=(y +x )(y −x )3.(1)1 (2)3解析： (1):x 2+2xy +2y 2+2y +1=0,∴(x²+2xy +y²)+(y²+2y +1)=0, ∴(x +y )²+(y +1)²=0,∴x +y =0,y+1=0,解得x=1,y=-1,∴2x+y=2×1+(-1)=1;(2) ∵a-b=4,∴a=b+4,∴将a=b+4代入( ab +c²−6c +13=0,得 b²+4b +c²−6c +13=0, ∴(b²+4b +4)+(c²−6c +9)=0,∴(b +2)²+(c-3)²=0,∴b+2=0,c-3=0,解得b=-2,c=3,∴a=b+4=-2+4=2,∴a+b+c=2-2+3=3.【举一反三】1. 原式: =(a²−4a +4)−b²=(a −2)²−b²=(a-2+b)(a-2-b).2.(1) 原式=x²--6x+9-36=(x-3)²-6²=(x-3-6)(x-3+6)=(x+3)(x-9)(2)原式 =a 2+3a +(32)2−(32)2−28= (a +32)2−1214=(a +32−112)(a +32+ 112)=(a −4)(a +7) (3) 原式 =x²− (2n +1)x +(n +12)2−(n +12)2+n 2+ n =[x −(n +12)]2−(12)2=(x −n − 12−12)(x −n −12+12)=(x −n −1)(x-n)3.(1) C (2) 否(x-2)⁴ (3) 原式= (x²−2x )²+2(x²−2x )+1=(x²−2x + 1)²=(x −1)⁴4.解答一: Y +Z =(3a²+3ab )+(a²+ab )= 4a²+4ab =4a (a +b )解答二： X −Z =(2a²+3ab +b²)−(a²+ ab)=a²+2ab +b²=(a +b )²解答三： Y −X =(3a²+3ab )−(2a²+ 3ab +b²)=a²−b²=(a +b )(a −b )(其他合理答案均可)5.(1) 原式 =x 2−7x +494−494+12= (x −72)2−14=(x −72+12)(x −72− 12)=(x −3)(x −4) (2) 原式 =x²+6x+9-18=(x+3)²-18,最小值为-18(3) 证明:. x²+y²−4x +2y +6=(x − 2)²+(y +1)²+1≥1>0,,则x,y 取任何实数时，多项式 x²+y²−4x +2y +6的值总为正数.6.(1) 证明: B −A =(a²−a +5)−(a + 2)=a²−2a +3=(a −1)²+2>0,所以B>A; ( (2)C −A =a²+5a −19−a −2=a²+4a-21=(a+7)(a--3),因为a>2,所以a+7>0,当2<a<3时,A>C;当a=3时,A=C;当a>3时,A<C.7.等腰三 角形或直角三 角形 解析： ∴a²c²−b²c²=a⁴−b⁴,∴c²(a²−b²)= (a²+b²)(a²−b²),∴c²=a²+b²或 a²=b²，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.【过关检测】1. A2. A3. D4. D 解析:3ax²-6ax=3ax(x-2),A 错误; x²+y²无法因式分解，B 错误； a²+ 2ab −4b²无法因式分解，C 错误.5.(x--2)(x-1)6. 2 解析: ∴(x +2)(x +n )=x²+(n +2)x+2n,∴n+2=4,2n=4,解得n=2.7. a(a+3)(a-3)解析：原式 =a(a²−9)=a(a+3)(a-3).8.(a-b)(a+b+1)解析：原式 =(a²−b²)+(a-b)=(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1).9.(m-n)(m+n+2) 解析:原式 =(m²−n²)+(2m--2n)=(m+n)(m--n)+2(m--n)=(m-n)(m+n+2).10. A 解析:mx²-m=m(x--1)(x+1), x²−2x +1=(x −1)²,多项式 mx²−m 与多项式 x²−2x +1的公因式是x-1.11. C 解析: x²+2x −1≠(x −1)²,, A 错误; a²−b²=(a +b )(a −b )不是因式分解，B 错误;( ax²−a =a (x²−1)=a (x +1)(x −1)，分解不完全，D 错误.12. m(m-3)² 解析:原式; =m(m²−6m + 9)=m (m −3)².13.(b+c+a)(b+c-a) 解析:原式=(b+ c)²−a²=(b+c+a)(b+c−a).14. x--2 解析: ∴ax²−4a=a(x²−4)=a(x+2)(x−2),x²−4x+4=(x−2)²,∴多项式ax²−4a与多项式x²−4x+4的公因式是x-2.15. 4a²b 解析:( (a−b)(a+b)²−(a+b)(a−b)²+2b(a²+b²)=(a−b)(a+b).(a+b−a+b)+2b(a²+b²)=2b(a²−b²)+2b(a²+b²)=2b(a²−b²+a²+b²)=4a²b.16.4(2a+b)(a+2b) 解析: 9(a+b)²−(a−b)²=[3(a+b)]²−(a−b)²=[3(a+b)+(a-b)][3(a+b)-(a-b)]=(4a+2b)(2a+4b)=4(2a+b)(a+2b).17.(1) 3 (2) mn(m+3)(m-3)解析：(1)√9−(−1)2+(−2012)0=3−1+1=3;(2)m³n−9mn=mn(m²−9)=mn(m+3)(m-3).18.(1) 6 (2)5解析:( (1)a²b+ab²=ab(a+b)=2×3=;(2):(a+b)²=a²+2ab+b²,∴a²+( b²=(a+b)²−2ab=3²−2×2=5.19. 4a²--9b²=(2a+3b)(2a-3b) (x+y)²-1=(x+y+1)(x+y-1) (x+y)²−4a²=(x+y+2a)(x+y−2a)(x+y)²−9b²=(x+y+3b)(x+y−3b)4a²−(x+y)²=[2a+(x+y)][2a−(x+y)]=(2a+x+y)(2a−x−y)9b²−(x+y)²=[3b+(x+y)][3b−(x+y)]=(3b+x+y)(3b−x−y)1−(x+y)²=[1+(x+y)][1−(x+y)]=(1+x+y)(1-x--y)20. C 解析: ∴c²−1=a²(b²−1),正整数a，b,c>100,∴c²=a²(b²−1)+1=a²b²−a²+1<a²b²,∴c<ab,∴c≤ab--1, ∴a²b²−a²+1=c²≤(ab−1)²,化简得a2≥2ab,∴a≥2.b21. 证明:原式=(x⁵+3x⁴y)−(5x³y²+15x²y³)+(4xy⁴+12y⁵)=x⁴(x+3y)−5x²y²(x+3y)+4y⁴(x+3y)=(x+ 3y)(x⁴−5x²y²+4y⁴)=(x+3y).(x²−4y²)(x²−y²)=(x+3y)(x−2y)(x+2y)(x+y)(x-y).当y=0时,原式=x⁵≠33;;当y≠0时,x+3y,x-y,x+y,x-2y,x+2y为互不相同的整数,而33 不可能分解为5个不同因数的积. ∴x⁵+3x⁴y−5x³y²−15x²y³+4xy⁴+12y⁵的值不会等于33.。
中考数学总复习《整式的乘法与因式分解》专项提升练习题-带答案
中考数学总复习《整式的乘法与因式分解》专项提升练习题-带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．下列运算正确的是（）A．(ab)5=ab5B．a8÷a2=a6C．(a2)3=a5D．a2⋅a3=a62．已知2m=a，2n=b，m，n为正整数，则2m+n为（）A．a+b B．ab C．2ab D．a2+b23．若(x2−mx+1)(x−3)展开后不含x的一次项，则m的值是（）A．3 B．1 C．−13D．04．多项式(x2−2x+1)与多项式(x−1)(x+1)的公因式是( )A．x−1B．x+1C．x2+1D．x25．下列代数式变形中，属于因式分解是（）A．m(m−2)=m2−2m B．m2−2m+1=m(m−2)+1C．m2−1=(m+1)(m−1)D．m2−2+1m2=(m−1m)26．如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（）A．①B．②C．①②D．①②都不能7．已知x−1x =2，则x2+1x2的值为（）A．2 B．4 C．6 D．88．如果二次三项式x2−ax−9（a为整数）在整数范围内可以分解因式，那么a可取值的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．无数个二、填空题9．如果a2⋅a m=a6，则m=.10．在实数范围内分解因式：x2−4x−2=.11．当4x2+2kx+25是一个完全平方式，则k的值是12．已知a−b=8，ab=−15则a2+b2=.13．因式分解x2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果是(x+6)(x−2)，乙看错了b的值，分解的结果为(x−8)(x+4)，那么x2+ax+b分解因式正确的结果为．三、解答题14．计算：（1）（2）15．分解因式：（1）4x2+20x+25；（2）(a2−9b2)+(a−3b)．16．已知m+n=3，mn=2.（1）当a=2时，求a m⋅a n−(a m)n的值；（2）求(m−n)2+(m−4)(n−4)的值.17．为创建文明校园环境，高校长制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等宣传标语，标语由如图①所示的板材裁剪而成，其为一个长为2m，宽为2n的长方形板材，将长方形板材沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发现标语可以拼成图②所示的一个大正方形．（1）用两种不同方法表示图②中小正方形(阴影部分)面积：方法一：S小正方形=；方法二：S小正方形=；（2）(m+n)2，(m−n)2，4mn这三个代数式之间的等量关系为；（3）根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a−b=5，ab=−6求：(a+b)2的值；②已知：a−1a=1，求：(a+1a)2的值．18．阅读理解应用待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解x3−1．因为x3−1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3−1可以分解成x3−1=(x−1)(x2+ax+b)，展开等式右边得：x3+(a−1)x2+(b−a)x−b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a−1= 0，b−a=0，−b=−1可以求出a=1，b=1．所以x3−1=(x−1)(x2+x+1)（1）若x取任意值，等式x2+2x+3=x2+(3−a)x+3恒成立，则a=；（2）已知多项式x4+x2+1有因式x2+x+1，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．（3）请判断多项式x4−x2+1是否能分解成两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．参考答案1．B2．B3．C4．A5．C6．C7．C8．A9．410．(x−2+√6)(x−2−√6)11．±1012．3413．(x-6)(x+2)14．（1）解：原式＝（2）解：原式＝15．（1）解：4x2+20x+25=(2x)2+2⋅2x⋅5+52=(2x+5)2（2）解：(a2−9b2)+(a−3b)=[a2−(3b)2]+(a−3b)=(a+3b)(a−3b)+(a−3b)=(a−3b)(a+3b+1)16．（1）解：∵m+n=3mn=2∴a m⋅a n−(a m)n=a m+n−a mn=a3−a2∵a=2∴原式=23−22=8−4=4；（2）解：∵m +n =3∴(m −n)2=(m +n)2−4mn =32−4×2=1 ∴(m −n)2+(m −4)(n −4)=1+mn −4(m +n)+16=1+2−4×3+16=7.17．（1）(m −n)2；(m +n)2−4mn（2）(m +n)2=(m −n)2+4mn（3）(3)①a −b =5 ab =−6∴(a +b)2=(a −b)2+4ab=52+4×(−6)=25+(−24)=1；②(a +1a )2=(a −1a )2+4⋅a ⋅1a=12+4=1+4=5．18．（1）1（2）解：设x 4+x 2+1=(x 2+ax +1)(x 2+x +1)=x 4+(a +1)x 3+(a +2)x 2+(a +1)x +1∴a +1=0解得a =−1；∴多项式的另一因式是x 2−x +1；（3）解：不能，理由：∵设x 4−x 2+1=(x 2+ax +1)(x 2+bx +1)=x 4+(a +b)x 3+(ab +2)x 2+(a +b)x +1∴a +b =0 ab +2=−1解得：a =√3、b =−√3或a =−√3、b =√3 ∴系数不是整数∴多项式x 4−x 2+1是不能分解成的两个整系数二次多项式的乘积。
第14章 整式的乘法与因式分解(提优卷)学生版-2024-2025学年八年级数学上册真题汇编章节复习
2024-2025学年人教版数学八年级上册章节真题汇编检测卷（提优）第14章整式的乘法与因式分解考试时间：120分钟试卷满分：100分难度系数：0.54姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•金沙县期末）下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2B．a2+2a+1＝a（a+2）+1C．a3+2a2+a＝a（a2+2a）D．m3﹣mn2＝m（m+n）（m﹣n）2．（2分）（2023春•城关区校级期中）下列各式从左到右，是因式分解的是（）A．（y﹣1）（y+1）＝y2﹣1B．x2y+xy2﹣1＝xy（x+y）﹣1C．（x﹣2）（x﹣3）＝（3﹣x）（2﹣x）D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）23．（2分）（2023春•衢江区期末）如（x+m）与（x+4）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A．﹣4 B．4 C．0 D．14．（2分）（2022秋•黄冈期末）若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，则a2+b2＝（）A．3 B．6 C．±3 D．±65．（2分）（2023春•成县期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4C．（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12 D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）6．（2分）（2022秋•城关区校级期末）若a m＝4，a n＝7，则a m+n的值为（）A．3 B．11 C．28 D．无法计算7．（2分）（2023春•连平县期末）下面四个整式中，不能表示图中（图中图形均为长方形）阴影部分面积的是（）A．﹣x2+5x B．x（x+3）+6C．3（x+2）+x2D．（x+3）（x+2）﹣2x8．（2分）（2023•东莞市校级一模）已知3m＝2，3n＝5，则32m+n＝（）A．B．10 C．9 D．209．（2分）（2022秋•鼓楼区校级期末）若二次三项式ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2），则当a＞0，b＜0，c ＞0时，c1，c2的符号为（）A．c1＞0，c2＞0 B．c1＜0，c2＜0 C．c1＞0，c2＜0 D．c1，c2同号10．（2分）（2023•安徽模拟）若实数a、b满足a2+b2＝1，则ab+a+3b的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．3评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•建昌县期末）分解因式：mn2+6mn+9m＝．12．（2分）（2023春•高港区期中）若x2+mx+16是完全平方式，则m的值是．13．（2分）（2023春•福山区期中）如图1．将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底部长方形的周长为．（2023春•兴化市期末）已知二次三项式x2+mx+9能用完全平方公式分解因式，则m的值为．14．（2分）（2023春•靖江市期末）若（x+2）（x2﹣ax+5）的乘积中不含x的一次项，则a＝．（2分）15．16．（2分）（2023春•江都区期中）若3x＝4，3y＝5，则3x﹣y＝．17．（2分）（2022秋•夏邑县期末）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值为．18．（2分）（2022秋•番禺区期末）若（x﹣1）（x+2）＝x2+ax﹣2，则a＝．19．（2分）（2023春•达川区校级期末）多项式x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），则m＝．20．（2分）（2021秋•卢龙县校级期末）计算：15（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）＝．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023春•永定区期末）分解因式：（1）﹣2x3+8xy2 （2）3a2﹣12a+1222．（6分）（2022秋•魏都区校级期末）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：（1）图2中阴影部分的正方形的边长是．（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积：方法1：；方法2：．（3）观察图2，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是．（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，xy＝，则（x﹣y）2＝．23．（8分）（2022秋•陕州区期末）如图，有一块长（3a+b）米，宽（2a+b）米的长方形广场，园林部门要对阴影区域进行绿化，空白区域进行广场硬化，阴影部分是边长为（a+b）米的正方形．（1）计算广场上需要硬化部分的面积；（2）若a＝30，b＝10，求硬化部分的面积．24．（8分）（2022秋•射洪市期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下面试题：已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x和y的值；25．（8分）（2023春•金水区校级期中）（1）已知2x+5y﹣3＝0，试求4x×32y的值．（2）已知2m＝3，2n＝5，求24m+2n的值．26．（8分）（2022春•阳谷县期中）阅读，学习和解题．（1）阅读和学习下面的材料：比较355，444，533的大小．分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小．解法如下：解：∵355＝（35）11＝24311，444＝（44）11＝25611，533＝（53）11＝12511，∴533＜355＜444．学习以上解题思路和方法，然后完成下题：比较34040，43030，52020的大小．（2）阅读和学习下面的材料：已知a m＝3，a n＝5，求a3m+2n的值．分析：小刚同学发现，这些已知的和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下：解：∵a3m＝（a m）3＝33＝27，a2n＝（a n）2＝52＝25，∴a3m+2n＝a3m•a2n＝27×25＝675．学习以上解题思路和方法，然后完成下题：已知a m＝2，a n＝3，求a2m+3n的值．（3）计算：（﹣16）505×（﹣0.5）2021．27．（8分）（2022秋•怀柔区期末）小柔在进行因式分解时发现一个现象，一个关于x的多项式x2+ax+b若能分解成两个一次整式相乘的形式（x+p）（x+q），则当x+p＝0或x+q＝0时原多项式的值为0，因此定义x＝﹣p和x＝﹣q为多项式x2+ax+b的0值，﹣p和﹣q的平均值为轴值．例：x2﹣2x+3＝（x﹣3）（x+1），x﹣3＝0或x+1＝0时x2﹣2x+3＝0，则x＝3和x＝﹣1为x2﹣2x+3的0值，3和﹣1的平均值1为x2﹣2x+3的轴值．（1）x2﹣4的0值为，轴值为；（2）若x2+ax+4的0值只有一个，则a＝，此时0值与轴值相等；（3）x2﹣bx（b＞0）的0值为x1，x2（x1＜x2），轴值为m，则x1＝，若x2﹣6x+m的0值与轴值相等，则b＝．28．（8分）（2021秋•定西期末）我们在课堂上学习了运用提取公因式法、公式法等分解因式的方法，但单一运用这些方法分解某些多项式的因式时往往无法分解．例如：a2+6ab+9b2﹣1，通过观察可知，多项式的前三项符合完全平方公式，通过变形后可以与第四项结合再运用平方差公式分解因式，解题过程如下：a2+6ab+9b2﹣1＝（a+3b）2﹣1＝（a+3b+1）（a+3b﹣1），我们把这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种分解因式的方法解答下列各题：（1）分解因式：x2﹣y2﹣2x+1；（2）若△ABC三边a、b、c满足a2﹣2bc+2ac﹣ab＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．。
串讲03 因式分解(9个常考点 5种重难点题型 2个易错)七年级数学上学期期中考点(沪教版2024)
请你选择一种方法因式分解：
mx － my ＋ nx － ny ；
【解】 mx － my ＋ nx － ny ＝( mx － my )＋( nx － ny )
＝ m ( x － y )＋ n ( x － y )＝( x － y )( m ＋ n ).
(1)3.2×202.4＋4.7×202.4＋2.1×202.4；
【解】 原式＝202.4×(3.2＋4.7＋2.1)
＝202.4×10＝2 024.
(2)36.8×
＋20.2×
【解】 原式＝
＝
×55＝13.
－2×来自.×(36.8＋20.2－2)
题型二：变形后利用提公因式法分解因式计算
B. 都是乘法运算
C. ①是因式分解，②是乘法运算
D. ①是乘法运算，②是因式分解
考点2 公因式的定义
4. [2023·永州]2 a2与4 ab 的公因式为
2a
5. 8 xmyn－1－12 x3 myn 各项的公因式是( D
A. xmyn
B. xmyn－1
C. 4 xmyn
D. 4 xmyn－1
2x3–2x2y+8y–8x
解
6k2+9km – 6mn–4kn
=2(x3–x2y+4y–4x)
=(6k2+9km) – (6mn+4kn)
=2[(x3–x2y) +(4y–4x)]
=3k(2k+3m) –2n (3m+2k)
=2[x2(x-y)-4(x-y)]
2024年中考数学复习重难点(全国通用版)：专题02 整式、乘法公式、因式分解(解析版)
专题02整式、乘法公式、因式分解【中考考向导航】目录【直击中考】 (1)【考向一整式的有关概念】 (1)【考向二整式的运算】 (4)【考向三与乘法公式有关的运算】 (8)【考向四因式分解】 (11)【直击中考】【考向一整式的有关概念】【答案】21 n n【分析】第一个图形有1根木料，第二个图形有2(21)122根木料，第三个图形有A．9B．10C．11D．12【答案】B【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H的个数为4，第2个图中H的个数为4+2，【考向二整式的运算】例题1．（2022·湖南永州·统考中考真题）若单项式3m x y 的与62x y 是同类项，则m ______．【答案】6【分析】由题意直接根据同类项的概念，进行分析求解即可．【详解】解：∵单项式3m x y 与62x y 是同类项，∴6m ．故答案为：6．【点睛】本题主要考查同类项的定义，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”即相同字母的指数相同．例题2．（2022·青海西宁·统考中考真题） 2332x xy =_________【答案】336x y 【分析】根据积的乘方法则计算即可．【详解】解： 2332x xy =336x y ，故答案为：336x y ．【点睛】本题考查了积的乘方，解题的关键是掌握运算法则．【变式训练】1．（2022·贵州黔西·统考中考真题）计算 232x x 正确的是（）A ．36xB ．312xC ．318x D ．312x 【答案】C【分析】先算积的乘方，再算同底数幂的乘法，即可得．【详解】 232x x =239·218x x x 故选：C ．【点睛】本题考查了单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂的乘法，能灵活运用法则进行计算是解题的关键．2．（2022·西藏·统考中考真题）下列计算正确的是（）A ．2ab ﹣ab ＝abB ．2ab +ab ＝2a 2b 2C ．4a 3b 2﹣2a ＝2a 2bD ．﹣2ab 2﹣a 2b ＝﹣3a 2b 2【答案】A【详解】A 、2ab ﹣ab ＝（2﹣1）ab ＝ab ，选项正确，符合题意；B 、2ab +ab ＝（2+1）ab ＝3ab ，选项不正确，不符合题意；C 、4a 3b 2与﹣2a 不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意；D 、﹣2ab 2与﹣a 2b 不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意．故选A ．【点睛】本题考查整式的加减．在计算的过程中，把同类项进行合并，不能合并的直接写在结果中即可．3．（2022·青海·统考中考真题）下列运算正确的是（）A ．235347x x x B ． 222x y x y C ． 2232394x x x D ．224212xy xy xy y 【答案】D【分析】根据合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解计算即可．【详解】A .选项，3x 2与4x 3不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；B .选项，原式=2222x y x xy y ，故该选项计算错误，不符合题意；C .选项，原式=249x ，故该选项计算错误，不符合题意；D .选项，原式= 212xy y ，故该选项计算正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解，注意完全平方公式展开有三项是解题的易错点．4．（2022·甘肃武威·统考中考真题）计算：323a a _____________．【答案】53a 【分析】根据单项式的乘法直接计算即可求解．【详解】解：原式＝323a a 53a ．故答案为：53a ．【点睛】本题考查了单项式的乘法，正确的计算是解题的关键．5．（2022·内蒙古包头·中考真题）若一个多项式加上2328xy y ，结果得2235xy y ，则这个多项式为___________．【答案】23y xy 【分析】设这个多项式为A ，由题意得：22(328)235A xy y xy y ，求解即可．【详解】设这个多项式为A ，由题意得：22(328)235A xy y xy y ，22222(235)(328)2353283A xy y xy y xy y xy y y xy ，故答案为：23y xy ．【点睛】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出方程是解题的关键．6．（2022·山东威海·统考中考真题）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn ＝_____．【答案】1【分析】由第二行方格的数字，字母，可以得出第二行的数字之和为m ，然后以此得出可知第三行左边的数字为4，第一行中间的数字为m -n +4，第三行中间数字为n -6，第三行右边数字为，再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m 可得关于m ，n 方程组，解出即可．【详解】如图，根据题意，可得【考向三与乘法公式有关的运算】例题：（2022·江苏盐城·统考中考真题）先化简，再求值： 2443x x x ，其中2310x x ．【答案】2267x x ，-9【分析】根据平方差公式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：原式221669x x x 2267x x ．2310x x ∵，231x x ，原式 22372179x x 【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．【变式训练】1．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）计算： 22x y （）A ．2244x xy yB ．2224x xy yC ．2242x xy y D ．224x y 【答案】A【分析】根据完全平方公式展开即可．【详解】解：原式=2244x xy y 故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．2．（2022·上海·统考中考真题）下列运算正确的是……（）A ．a ²+a ³=a 6B ．（ab ）2=ab 2C ．（a +b ）²=a ²+b ²D ．（a +b ）（a -b ）=a ²-b 2【答案】D【分析】根据整式加法判定A ；运用积的乘方计算关判定B ；运用完全平方公式计算并判定C ；运用平方差公式计算并判定D ．【详解】解：A .a ²+a ³没有同类项不能合并，故此选项不符合题意；B .（ab ）2=a 2b 2，故此选项不符合题意；C .（a +b ）²=a ²+2ab +b ²，故此选项不符合题意D .（a +b ）（a -b ）=a ²-b 2，故此选项符合题意故选：D ．【点睛】本题考查整理式加法，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．3．（2022·江苏南通·统考中考真题）已知实数m ，n 满足222 m n mn ，则2(23)(2)(2) m n m n m n 的【答案】(1)266a ab ；(2)T =6【分析】(1)根据整式的四则运算法则化简即可；(2)由方程有两个相等的实数根得到判别式△=4a ²-4(-ab +1)=0即可得到21a ab ，整体代入即可求解．（1）解：T = 222226949a ab b a b a=266a ab ；（2）解：∵方程2210x ax ab 有两个相等的实数根，∴ 22410a ab ，∴21a ab ，则T = 26616a ab ．【点睛】本题考查了整式的四则运算法则、一元二次方程的实数根的判别、整体思想，属于基础题，熟练掌握运算法则及一元二次方程的根的判别式是解题的关键．【考向四因式分解】例题：（2022·贵州黔东南·统考中考真题）分解因式：2202240442022x x _______．【答案】 220221x ## 220221x 【分析】先提公因式，然后再根据完全平方公式可进行因式分解．【详解】解：原式= 2220222120221x x x ；故答案为 220221x ．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．【变式训练】1．（2022·山东济宁·统考中考真题）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A ．21(1)1x x x x B ．221(1)x x C ．26(3)(2)x x x x D ．2(1)x x x x【答案】C【分析】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可．【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．A 、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；B 、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；C 、符合因式分解的形式，符合题意；D 、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义．2．（2022·广西柳州·统考中考真题）把多项式a 2+2a 分解因式得（）A ．a （a +2）B ．a （a ﹣2）C ．（a +2）2D ．（a +2）（a ﹣2）【答案】A【分析】运用提公因式法进行因式分解即可．【详解】22(2)a a a a 故选A【点睛】本题主要考查了因式分解知识点，掌握提公因式法是解题的关键．3．（2022·广西河池·统考中考真题）多项式244x x 因式分解的结果是()A ．x （x ﹣4）+4B ．（x +2）（x ﹣2）C ．（x +2）2D ．（x ﹣2）2【答案】D【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解： 22442x x x ．故选：D ．【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，理解完全平方公式是解答关键．4．（2022·江苏扬州·统考中考真题）分解因式：233x _____．【答案】 311x x ##311x x 【分析】先提取公因式，再用平方差公式即可求解．【详解】233x231x 311x x ，故答案： 311x x ．【点睛】本题考查了用提公因式法和平方差公式分解因式的知识．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．因式分解是恒等变形．因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止．5．（2022·四川绵阳·统考中考真题）因式分解：32312x xy _________．【答案】322x x y x y 【分析】先提取公因式3x ，然后根据平方差公式因式分解即可求解．【详解】解：原式＝2234322x x y x x y x y ．故答案为： 322x x y x y ．【点睛】本题考查了因式分解，正确的计算是解题的关键．6．（2022·广东广州·统考中考真题）分解因式：2321 a ab ________【答案】37 a a b 【分析】直接提取公因式3a 即可得到结果．【详解】解： 232137 a ab a a b ．故答案为：37 a a b 【点睛】本题考查因式分解，解本题的关键是熟练掌握因式分解时有公因式要先提取公因式，再考虑是否可以用公式法．7．（2022·山东济南·统考中考真题）因式分解：244a a ______．【答案】 22a 【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【详解】解：244a a 22a ．故答案为： 22a ．【点睛】此题考查了公式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．（2022·湖北恩施·统考中考真题）因式分解：3269a a a ______．【答案】2(3)a a 【分析】先提公因式a ，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：原式22(69)(3)a a a a a ，故答案为：2(3)a a ．【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征．9．（2022·贵州黔西·统考中考真题）已知2ab ，3a b ，则22a b ab 的值为_____．【答案】6【分析】将22a b ab 因式分解，然后代入已知条件即可求值．【详解】解：22a b abab a b 236 ．故答案为：6【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．10．（2022·青海西宁·统考中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2346a ab b 因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式234623223232a ab b a b b b a 解法二：原式24362232223a ab b a b a a b 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】(1)请用分组分解法将22x a x a 因式分解；【挑战】(2)请用分组分解法将222ax a ab bx b 因式分解；【应用】(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a 和 b a b ，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将432234222a a b a b ab b 因式分解，再求值．【答案】(1)1x a x a (2)a b a b x (3) 222a b a b ，9【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到229a b ， 21a b ，整体代入得出答案即可．【详解】（1）解：22x a x a22x a x ax a x a x a 1x a x a ；（2）解：222ax a ab bx b222a ab b ax bx 2a b x a b a b a b x ；（3）解：432234222a a b a b ab b 422433222a a b b a b ab222222a b ab a b 22222a b a ab b 222a b a b ，∴根据题意得229a b ， 21a b ，∴原式9 ．【点睛】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．。
因式分解60道压轴题型(6大题型)——2023-2024学年八年级数学下册重难点(北师大版)(解析)
因式分解60道压轴题型专训（6大题型）【题型目录】题型一 已知因式分解的结果求参数 题型二 运用公式法分解因式题型三 因式分解在有理数简算中的应用 题型四 十字相乘法 题型五 分组分解法 题型六 因式分解的应用【压轴题型一 已知因式分解的结果求参数】1．已知多项式481x b +可以分解为()()()22492332a b a b b a ++−，则x 的值是（ ）A ．416aB ．416a −C ．24aD ．24a −【答案】B【分析】本题可根据题中条件，多项式分解为单项式，用分解出来的单项式进行相乘后，即可求出x 的值．【详解】解：根据题意可得：()()()224492332=81ab a b b a x b++−+，∵()()()22492332a b a b b a ++− ()()()22=492323a b a b a b −++− ()()2222=4949a b ab −+−()44=1681a b −−44=1681a b −+，∴4=16x a −， 故选：B ．【点睛】本题考查因式分解的基本知识，学生需掌握因式分解的基本知识，做此题就不难．2．如果把二次三项式22x x c ++分解因式得()()2213x x c x x ++=−+，那么常数c 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．2D ．-2【答案】B【分析】将因式分解的结果用多项式乘法的展开，其结果与二次三项式比较即可求解． 【详解】解：∵()()2213x x c x x ++=−+∴22223x x c x x ++=+−故3c =− 故选B【点睛】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键． 3．若22266−+++x y xy kx 能分解成两个一次因式的积，则整数k= . 【答案】7±【分析】根据题意设多项式可以分解为：（x+ay+c ）（2x+by+d ），则2c+d=k ，根据cd=6，求出所有符合条件的c 、d 的值，然后再代入ad+bc=0求出a 、b 的值，与2a+b=1联立求出a 、b 的值，a 、b 是整数则符合，否则不符合，最后把符合条件的值代入k 进行计算即可．【详解】解：设22266−+++x y xy kx 能分解成：(x ＋ay ＋c)（2x ＋by ＋d)， 即2x2+aby2＋（2a ＋b ）xy ＋（2c ＋d)x ＋（ad ＋bc)y ＋cd ， ∴cd=6，∵6=1×6=2×3=（-2）×（-3）=(-1)×(-6)，∴①c=1，d=6时，ad ＋bc=6a ＋b=0，与2a ＋b=1联立求解得1432a b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 或c=6，d=1时，ad ＋bc=a ＋6b=0,与2a ＋b=1联立求解得611111a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩， ②c=2，d=3时，ad ＋bc=3a ＋2b=0，与2a ＋b=1联立求解得23a b =⎧⎨=−⎩，或c=3，d=2时，ad ＋bc=2a ＋3b=0，与2a ＋b=1联立求解得3412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩, ③c=-2，d=-3时，ad ＋bc=-3a -2b=0，与2a ＋b=1联立求解得23a b =⎧⎨=−⎩，或c=-3，d=-2，ad ＋bc=-2a -3b=0，与2a ＋b=1联立求解得3412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩， ④c=-1，d=-6时，ad ＋bc=-6a -b=0，与2a ＋b=1联立求解得1432a b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 或c=-6，d=-1时，ad ＋bc=-a -6b=0，与2a ＋b=1联立求解得611111a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩， ∴c=2，d=3时，c=-2，d=-3时，符合，∴k=2c ＋d=2×2＋3=7，k=2c ＋d=2×（-2）＋（-3)=-7， ∴整数k 的值是7，-7． 故答案为：7±．【点睛】本题考查因式分解的意义，设成两个多项式的积的形式是解题的关键，要注意6的所有分解结果，还需要用a 、b 进行验证，注意不要漏解．4．已知多项式4x mx n ++能分解为()()2223x px q x x +++−，则p = ，q = ．【答案】 2−； 7．【分析】把()()2223xpx q x x +++−展开，找到所有3x 和2x 的项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．【详解】解：∵()()2223xpx q x x +++−432322222333x px qx x px qx x px q =+++++−−−()()()432223233x p x q p x q p x q=++++−+−−4x mx n =++．∴展开式乘积中不含3x 、2x 项，∴20230p q p +=⎧⎨+−=⎩，解得：27p q =−⎧⎨=⎩．故答案为：2−，7．【点睛】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可． 5．【例题讲解】因式分解：31x −．31x −为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想31x −可以分解成()()21x x ax b −++，展开等式右边得：()32(1)x a x b a x b +−+−−，()()33211x x a x b a x b ∴−=+−+−−恒成立．∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即1001a b a b −=⎧⎪−=⎨⎪−=−⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，()()32111x x x x ∴−=−++．【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】(1)若()()21234x mx x x −−=+−，则m =________；(2)若3233x x x k +−+有一个因式是1x +，求k 的值及另一个因式． 【答案】(1)1(2)5k =−，225x x +−【分析】（1）将()()34x x +−展开，再根据题干的方法即可求解；（2）设多项式3233x x x k +−+另一个因式为()2xax b ++，利用题干给出的待定系数法求解即可．【详解】（1）∵()()21234x mx x x −−=+−，∴221212x mx x x −−=−−，∴1m =，故答案为：1；（2）设多项式3233x x x k +−+另一个因式为()2x ax b ++，则()()()()322323311x x x k x x ax b x a x a b x b+−+=+++=+++++13a ∴+=，3a b +=−，b k =，2a ∴=，=5b −，5k ∴=−，即另一个式子为：225x x +−．【点睛】本题主要考查了多项式的乘法，因式分解等知识，掌握题干给出的待定系数法，是解答本题的关键．6．仔细阅读下面例题，解答问题例题：已知二次三项式24x x m −+有一个因式是()3x +，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，得()()243x x m x x n −+=++则()22433x x m x n x n −+=+++343n m n +=−⎧∴⎨=⎩解得7n =−，21m =−∴另一个因式为()7x −，m 的值为21−．问题：(1)已知二次三项式26x x a ++有一个因式是()5+x ，求另一个因式以及a 的值： (2)已知二次三项式22x x p −−有一个因式是()23x +，求另一个因式以及p 的值． 【答案】(1)另一个因式为1x +，a 的值为5 (2)另一个因式为()2x −，p 的值为6【分析】（1）设另一个因式为()x n +，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为()x q +，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论．【详解】（1）解：设另一个因式为()x n +，得()()265x x a x x n ++=++，则()22655x x a x n x n++=+++，565n n a +=⎧∴⎨=⎩，解得：15n a =⎧⎨=⎩，∴另一个因式为1x +，a 的值为5；（2）解：设另一个因式为()x q +，得()()2223x x p x q x −−=++，则()2222233x x p x q x q−−=+++，2313q q p +=−⎧∴⎨=−⎩，解得：26q p =−⎧⎨=⎩， ∴另一个因式为()2x −，p 的值为6．【点睛】本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是解题的关键． 7．1637年笛卡尔（R ．Descartes ，1596－1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：3235x x x ++−．解：观察可知，当1x =时，原式0=． ∴原式可分解为()1x −与另一个整式的积．设另一个整式为2x bx c ++．则()()322351x x x x x bx c ++−=−++， ∵()()()()23211x x bx c x b x c b x c −++=+−+−−，∴()()3232351x x x x b x c b x c ++−=+−+−−∵等式两边x 同次幂的系数相等，则有：1135b c b c −=⎧⎪−=⎨⎪−=−⎩，解得25b c =⎧⎨=⎩．∴()()32235125x x x x x x ++−=−++．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：(1)根据以上材料的方法，分解因式3223x x +−的过程中，观察可知，当x =______时，原式0=，所以原式可分解为______与另一个整式的积．若设另一个整式为2x bx c ++．则b =______，c =______． (2)已知多项式31x ax ++（a 为常数）有一个因式是1x +，求另一个因式以及a 的值． 下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程．解：设另一个因式为2x bx c ++，则()()3211x ax x x bx c ++=+++．……(3)已知二次三项式223x x k +−（k 为常数）有一个因式是4x +，则另一个因式为______，k 的值为______． 【答案】(1)1；(1)x −；3；3(2)解题过程见详解，321(1)(1)x x x x +=+−+(3)(25)x −；20【分析】（1）根据材料提示，当1x =时，3223x x +−的值为0，由此即可求解；（2）多项式31x ax ++（a 为常数）有一个因式是1x +，设另一个因式为2x bx c ++，根据材料提示，即可求解；（3）多项式223x x k +−（k 为常数）有一个因式是4x +，则另一个因式为mx n +，根据材料提示，即可求解．【详解】（1）解：当1x =时，3223x x +−的值为0，∴原式可分解为(1)x −与另一个整式的积，设另一个整式为2x bx c ++，∴32223(1)()x x x x bx c +−=−++，∵232(1)()()()x x bx c x b c x c b x c −++=+−+−−， ∴323223(1)()x x x b x c b x c +−=+−+−−，∴1203b c b c −=⎧⎪−=⎨⎪−=−⎩，解得，33b c =⎧⎨=⎩，∴32223(1)(33)x x x x x +−=−++，故答案为：1；(1)x −；3；3．（2）解：多项式31x ax ++（a 为常数）有一个因式是1x +，设另一个因式为2x bx c ++，则()()3211x ax x x bx c ++=+++，∵()()2321(1)()x x bx c x b x c b x c +++=+++++，∴3321(1)()x ax x b x c b x c ++=+++++， ∴101b c b a c +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，解方程得，011a b c =⎧⎪=−⎨⎪=⎩，∴多项式31x ax ++（a 为常数）为31x +，∴31x +因式分解为321(1)(1)x x x x +=+−+．（3）解：多项式223x x k +−（k 为常数）有一个因式是4x +，设另一个因式为mx n +，∴223(4)()x x k x mx n +−=++， ∵2(4)()(4)4x mx n mx n m x n ++=+++， ∴2223(4)4x x k mx n m x n +−=+++，∴2434m n m n k =⎧⎪+=⎨⎪=−⎩，解方程组得，2520m n k =⎧⎪=−⎨⎪=⎩，∴多项式223x x k +−（k 为常数）为22320x x +−，∴22320x x +−因数分解为22320(4)(25)x x x x +−=+−，故答案为：(25)x −，20．【点睛】本题主要考查因数分解，掌握整式的混合运算是解题的关键． 8．仔细阅读下面例题：例题：已知二次三项式25x x m ++有一个因式是x ＋2，求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式px ＋n ，得25x x m ++＝（x ＋2）（px ＋n ），对比等式左右两边x 的二次项系数，可知p ＝1，于是25x x m ++＝（x ＋2）（x ＋n ）． 则25x x m ++＝2x ＋（n ＋2）x ＋2n ，∴n ＋2＝5，m ＝2n ， 解得n ＝3，m ＝6，∴另一个因式为x ＋3，m 的值为6 依照以上方法解答下面问题：（1）若二次三项式2x ﹣7x ＋12可分解为（x ﹣3）（x ＋a ），则a ＝ ； （2）若二次三项式22x ＋bx ﹣6可分解为（2x ＋3）（x ﹣2），则b ＝ ； （3）已知代数式23x ＋2x ＋kx ﹣3有一个因式是2x ﹣1，求另一个因式以及k 的值． 【答案】（1）-4；（2）-1；（3）另一个因式为2x ＋x ＋3，k 的值为5． 【分析】（1）仿照题干中给出的方法计算即可； （2）仿照题干中给出的方法计算即可；（3）设出另一个因式为（2ax bx c ++），对比两边三次项系数可得a ＝1，再参照题干给出的方法计算即可．【详解】解：（1）∵2(3)()33x x a x x ax a −+=−+−＝2(3)3x a x a +−−＝2712x x −+．∴a ﹣3＝﹣7，﹣3a ＝12， 解得：a ＝﹣4.（2）∵2(23)(2)2346x x x x x +−=+−−＝226x x −−．＝226x bx +−．∴b ＝﹣1．（3）设另一个因式为（2ax bx c ++），得32223(21)()x x kx x ax bx c ++−=−++． 对比左右两边三次项系数可得：a ＝1．于是32223(21)()x x kx x x bx c ++−=−++．则3232232232222(21)(2)x x kx x x bx bx cx c x b x c b x c ++−=−+−+−=+−+−−．∴﹣c ＝﹣3，2b ﹣1＝1，2c ﹣b ＝k ． 解得：c ＝3，b ＝1，k ＝5．故另一个因式为23x x ++，k 的值为5．【点睛】本题以阅读材料给出的方法为背景考查了因式分解、整式乘法、合并同类项等知识，熟练掌握以上知识是解题关键．9．仔细阅读下面的例题：例题：已知二次三项式25x x m ++有一个因式是2x +，求另一个因式及m 的值． 解：设另一个因式为x n +，得25(2)()x x m x x n ++=++， 则225(2)2x x m x n x n ++=+++， 25n ∴+=，2m n =，解得3n =，6m =，∴另一个因式为3x +，m 的值为6． 依照以上方法解答下列问题：（1）若二次三项式254x x −+可分解为(1)()x x a −+，则=a ________； （2）若二次三项式226x bx +−可分解为(23)(2)x x +−，则b =________； （3）已知二次三项式229x x k +−有一个因式是21x −，求另一个因式以及k 的值． 【答案】（1）4−；（2）1−；（3）另一个因式为5x +，k 的值为5．【分析】（1）将(1)()x x a −+展开，根据所给出的二次三项式即可求出a 的值； （2）（2x+3）（x ﹣2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b 的值；（3）设另一个因式为（x+n ），得2x2+9x ﹣k ＝（2x ﹣1）（x+n ），可知2n ﹣1＝9，﹣k ＝﹣n ，继而求出n 和k 的值及另一个因式．【详解】解：（1）∵(1)()x x a −+＝x2+（a ﹣1）x ﹣a ＝254x x −+，∴a ﹣1＝﹣5， 解得：a ＝﹣4； 故答案是：﹣4（2）∵（2x+3）（x ﹣2）＝2x2﹣x ﹣6＝2x2+bx ﹣6， ∴b ＝﹣1． 故答案是：﹣1．（3）设另一个因式为（x+n ），得2x2+9x ﹣k ＝（2x ﹣1）（x+n ）， 则2x2+9x ﹣k ＝2x2+（2n ﹣1）x ﹣n ， ∴2n ﹣1＝9，﹣k ＝﹣n ， 解得n ＝5，k ＝5，∴另一个因式为x+5，k 的值为5．【点睛】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．10．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式24x x m −+有一个因式是()3x +，求另一个因数及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，由题意，得()()243x x m x x n −+=++，化简、整理，得()22433x x m x n x n −+=+++，于是有343n m n +=−⎧⎨=⎩解得217m n =−⎧⎨=−⎩， ∴另一个因式为()7x −，m 的值为21−．问题：仿照上述方法解答下面的问题：已知二次三项式223x x k +−有一个因式是()4x +，求另一个因式及k 的值．【答案】另一个因式为()25x −，k 的值为20．【分析】根据所求的式子223x x k +−的二次项系数是2，因式是（x+4）的一次项系数是1，可知另一个因式的一次项系数一定是2，设另一个因式为()2x a +，仿照例题计算即可． 【详解】解：设另一个因式为()2x a +， ∴()()22342x x k x x a +−=++， ∴()2223284x x k x a x a+−=+++， ∴834a a k +=⎧⎨=−⎩ ，解得：5a =−，20k =，故另一个因式为()25x −，k 的值为20．【点睛】考查了因式分解的应用，正确读懂例题，理解题意是解题的关键．【压轴题型二 运用公式法分解因式】1．若20192020,20192021,20192022a x b x c x =+=+=+，则代数式222a b c ab ac bc ++−−−的值是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】此题考查了因式分解的应用，由a ，b ，c 的代数式，求出a b −，a c −，b c −的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：20192020a x =+，20192021b x =+，20192022c x =+，1a b ∴−=−，2a c −=−，1b c −=−，则222a b c ab ac bc ++−−− 2221(222222)2a b c ab ac bc =++−−−2222221[(2)(2)(2)]2a ab b a ac c b bc c =−++−++−+2221[()()()]2a b a c b c =−+−+−，当1a b −=−，2a c −=−，1b c −=−时，原式1(141)32=⨯++=．故选：D ． 2．已知x y z 、、满足12x z −=，236xz y +=−，则2x y z ++的值为（ ）A ．4B ．1C ．0D ．-8【答案】C 【分析】根据题目条件可用x 来表示z ，并代入代数式中，运用公式法因式分解可得()226x y −=−，再根据平方数的非负性可分别求出x ，z 的值，最后运算即可． 【详解】解：12x z −=，∴12z x =−，又236xz y +=−，∴()21236x x y −+=−，∴2212+36=-y x x −，()226x y −=−， ()22600x y −≥−≤，，600x y ∴−==，，606x y z ∴===−，，，代入2x y z ++得，2x y z ++=0．故选：C ．【点睛】本题考查了运用公式法进行因式分解，平方数的非负性，熟练掌握运用公式法因式分解是解决本题的关键．3．已知a ，b 为自然数，且a b >，若4364()()a a b a ab b b+++−+=，则=a ，b = ． 【答案】 8 2【分析】化简原式可得：2264()a b b +=，设a kb =，则2264()kb b b +=，再根据22226416244()k b ∴+==⨯=⨯可求a ，b ． 【详解】4364()()a a b a ab b b +++−+=， 4364a a b a ab b b ∴+++−+=， 24464ab ab a b ∴++=，2264()a b b ∴+=．设a kb =，则2264()kb b b +=， a ，b 为自然数，0a ∴≠，0b ≠，22226416244()k b ∴+==⨯=⨯16k ∴=，22b +=或4k = ，24+=b ，160,k b ∴==(不合题意，舍去)或4k =，2b =，428a ∴=⨯=．故答案为：8，2．【点睛】本题主要考查了分式的加减，因式分解的应用，熟记完全平方公式是解决本题的关键．4．如果22344421x y xy y x −−++−因式分解的结果为 ．【答案】()()32121x y x y +−−+【分析】把21y −当成一个整体，再因式分解即可．【详解】原式22342441x xy x y y =−+−+− ()()22322121x x y y =−−−−()()32121x y x y =+−−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()32121x y x y =+−−+ 故答案为：()()32121x y x y +−−+．【点睛】题目主要考查利用整体法及公式法进行因式分解，理解题中的整体思想是解题关键．5．阅读材料，解决问题【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b −+叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式223x x +−．原式()()()()()22223211314121231x x x x x x x x x =+−=++−−=+−=+++−=+−．【材料2】因式分解：()()221x y x y ++++解：把x y +看成一个整体，令x y A +=，则原式()22211A A A =++=+，再将A x y =+重新代入，得：原式()21x y =++上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：(1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：268x x −+；(2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：()()244x y x y −−−+；(3)当a ，b ，c 分别为ABC 的三边时，且满足222464170a b c a b c ++−−−+=时，判断ABC 的形状并说明理由．【答案】(1)()()24x x −−；(2)()22x y −−；(3)ABC 是等腰三角形，理由见解析．【分析】（1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解；（2）利用完全平方进行因式分解；（3）先因式分解，判断字母a 、b 、c 三边的关系，再判定三角形的形状．【详解】（1）解：268x x −+26998x x =−+−+()231x =−−()()3131x x =-+-- ()()24x x =−−；（2）解：设A x y =−，()()244x y x y −−−+244A A =−+()22A =−∴()()244x y x y −−−+()22x y =−−；（3）解：ABC 是等腰三角形．理由如下：222464170a b c a b c ++−−−+=，∴2224469440a a b b c c −++−++−+=，∴()()()2222320a b c −+−+−=，∴20a −=，30b −=，20c −=，得，2a =，3b =，2c =．∴a b =，∴ABC 是等腰三角形．【点睛】此题考查了因式分解的应用，乘法公式，配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式44x +的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和()2222x +的形式，要使用公式就必须添一项24x ，随即将此项24x 减去，即可得()()()()()222442222222444424222222x x x x x x x x x x x x +=++−=+−=+−=++−+，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”．根据以上方法，把下列各式因式分解：(1)444x y +；(2)2244a am n mn −−+．【答案】(1)()()22222222x y xy x y xy +++−； (2)()()4a n a m n −−+．【分析】（1）根据苏菲·热门的做法，将原式配上224x y 后，根据完全平方公式和平方差公式即可进行因式分解；（2）先分组，再利用提公因式法因式分解．【详解】（1）原式442222444x y x y x y =++−()2222224x y x y =+−()()22222222x y xy x y xy =+++−； （2）原式22224444a am m m n mn =−+−−+()()22224444a am m m n mn =−+−+−()()2222a m m n =−−−()()2222a m m n a m m n =−+−−−+ ()()4a n a m n =−−+.【点睛】本题考查因式分解，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，理解苏菲·热门的做法是正确进行因式分解的关键．7．定义一种新运算“a b ⊗”：当a b ≥时，2a b a b ⊗=+；当a b <时，2a b a b ⊗=−．例如：3(4)3(8)(5)⊗−=+−=−，(6)1262430−⊗=−−=−(1)填空：(3)(2)−⊗−=______．(2)若(34)(5)(34)2(5)x x x x −−+⊗+=+，则x 的取值范围为______．(3)利用以上新运算化简：2(23)m m ⊗−(4)已知(57)(2)1x x ⊗−−>，求x 的取值范围．【答案】(1)1 (2)92x ≥(3)246m m +−(4)x 的取值范围为：8x >或819x <<.【分析】（1）由32−<−，利用2a b a b ⊗=−进行计算即可；（2）结合新定义与(34)(5)(34)2(5)x x x x −−+⊗+=+，可得345x x −≥+，再解不等式即可；（3）由()2223120m m m −+=−+>，可得223m m >−，再利用新定义运算即可；（4）分两种情况讨论：当572x x −≥−时，即1x ≥；可得()(57)(2)57221x x x x −−=−+⨯−>⊗，当572x x −<−时，即1x <；可得()(57)(2)57221x x x x −−=−−⨯−>⊗，再解不等式即可.【详解】（1）解：由题意可得：()(3)(2)322341−⊗−=−−⨯−=−+=； （2）解：∵(34)(5)(34)2(5)x x x x −−+⊗+=+，∴345x x −≥+，∴29x ≥， 解得：92x ≥；（3）解：∵()2223120m m m −+=−+>，∴223m m >−，∴()222(23)22346m m m m m m ⊗−=+−=+−；（4）解：当572x x −≥−时，∴77x ≥，即1x ≥；∴()(57)(2)57221x x x x −−=−+⨯−>⊗，∴8x >，综上，此时8x >；当572x x −<−时，∴77x <，即1x <；∴()(57)(2)57221x x x x −−=−−⨯−>⊗，∴98x >， 解得：89x >， 综上：此时819x <<； 综上：x 的取值范围为：8x >或819x <<.【点睛】本题考查的是新定义运算，整式的加减运算，利用完全平方公式分解因式，一元一次不等式的应用，理解新定义的运算法则是解本题的关键.8．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例1 用配方法因式分解：a 2＋6a ＋8．原式＝ a 2＋6a ＋9－1＝（a ＋3）2－1＝（a ＋3－1）（a ＋3＋1）＝（a ＋2）（a ＋4）．例2若M ＝a 2－2ab ＋2b 2－2b ＋2，利用配方法求M 的最小值；a 2－2ab ＋2b 2－2b ＋2＝a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2b ＋1＋1＝（a －b ）2＋（b －1）2＋1；∵（a －b ）2≥0，（b －1）2≥0， ∴当a ＝b ＝1时，M 有最小值1．请根据上述自主学习材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a 2＋10a ＋________；(2)用配方法因式分解：a 2－12a ＋35．(3)若M ＝a 2－3a +1，则M 的最小值为________；(4)已知a 2＋2b 2＋c 2－2ab ＋4b －6c ＋13＝0，则a ＋b ＋c 的值为________；【答案】(1)25；(2)(5)(7)a a −−； (3)54−； (4)1−．【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可；（2）原式常数项35分为361−，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可；（3）M 配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；（4）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出a ，b ，c 的值，代入原式计算即可．【详解】（1）解：221025(5)a a a ++=+；故答案为：25；（2）解：21235a a −+212361a a =−+−2(6)1a =−−(61)(61)a a =−+−−(5)(7)a a =−−；（3）解：295(3)44M a a =−+−235()24a =−−， 当302a −=，即32a =时，M 取最小值，最小值为54−； 故答案为：54−； （4）解：2222246130a b c ab b c ++−+−+=，2222(2)(44)(69)0a ab b b b c c ∴−+++++−+=，即222()(2)(3)0a b b c −+++−=，2()0a b −…，2(2)0b +…，2(3)0c −…，0a b ∴−=，20b +=，30c −=，解得：2a b ==−，3c =，则2231a b c ++=−−+=−．故答案为：1−．【点睛】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解−分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式．9．阅读材料：若2222440m mn n n −+−+=，求m ，n 的值．解：∵2222440m mn n n −+−+=，∴()()2222440m mn n n n −++−+=，∴22()(2)0m n n −+−=，∴2()0m n −=，2(2)0n −=，∴2n =，2m =．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知22228160x y xy y +−++=，则x =________，y =________；（2）已知ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足22248180a b a b +−−+=，求ABC 的周长．【答案】（1）-4，-4；（2）ABC 的周长为9．【分析】（1）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出x 和y 的值；（2）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出a 和b 的值，从而得出c 的取值范围，根据c 为整数即可得出c 的值，从而求得三角形的周长．【详解】解：（1）由22228160x y xy y +−++=得 222)((2816)0x xy y y y −+++=+，22()(4)0x y y −++=，∴0x y −=，40y +=，∴4x y ==−，故答案为：-4，-4；（2）由22248180a b a b +−−+=得：222428160a a b b −++−+=，222(1)(4)0a b −+−=，∴a -1=0，b -4=0，∴a=1，b=4，∴3＜c ＜5，∵△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，∴c=4，∴ABC 的周长为9．【点睛】本题主要考查了配方法的应用及偶次方的非负性，同时考查了三角形的三边关系，本题难度中等． 10．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：a 2+6a +8，解：原式=a 2+6a +8+1-1=a 2+6a +9-1=(a +3)2－12=[(3)1][(3)1](4)(2)a a a a +++−=++②M =a 2-2a －1，利用配方法求M 的最小值．解：22221212(1)2a a a a a −−=−+−=−−∵(a -b )2≥0，∴当a =1时，M 有最小值－2．请根据上述材料解决下列问题：（1）用配方法．．．因式分解：223x x +−． （2）若228M x x =−，求M 的最小值．（3）已知x 2+2y 2+z 2-2xy -2y -4z +5=0，求x +y +z 的值．【答案】（1）(3)(1)x x +−；（2）8−；（3）4．【分析】（1）根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可；（2）先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可；（3）先利用配方法进行因式分解，再利用偶次方的非负性求出x 、y 、z 的值，然后代入求解即可．【详解】（1）原式22344x x =+−+−2214x x =++−22(1)2x =+−[][](1)2(1)2x x =+++−(3)(1)x x =+−； （2）22282(4)x x x x −=−22(444)x x =−+−22(2)4x ⎡⎤=−−⎣⎦22(2)8x =−−2(2)0x −≥∴当2x =时，M 有最小值8−；（3）22222245x y z xy y z ++−−−+ 2222(2(21)()44)x xy y y y z z =−++−++−+222()(1)(2)x y y z =−+−+−222()(1)(20)x y y z −+−+−=01020x y y z −=⎧⎪∴−=⎨⎪−=⎩，解得112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩则1124x y z ++=++=．【点睛】本题考查了利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性等知识点，读懂题意，掌握配方法是解题关键．【压轴题型三 因式分解在有理数简算中的应用】1．计算22222111111111123456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−⨯−⨯−⨯−⨯− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）． A ．512 B ．12 C ．712D ．1130 【答案】C【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果． 【详解】原式111111111111111111112233445566⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13243546572233445566=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，1726=⨯， 712=，故选：C ．【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．2．已知()()22113(21)a b ab ++=−，则1b a a ⎛⎫− ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．0B ．1C ．-2D ．-1【答案】D 【分析】先对()()22113(21)a b ab ++=−进行变形，可以解出a ，b 的关系，然后在对1b a a ⎛⎫− ⎪⎝⎭进行因式分解即可．【详解】∵()()22113(21)a b ab ++=−，∴2222163a b a b ab +++=−，22222440a b ab a b ab +−+−+=，()()2220a b ab −+−=，∴a b =，2ab =， ∴1121b b a ab a a ⎛⎫−=−=−=− ⎪⎝⎭故选：D ．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，在解题时要注意符号变换，同时掌握正确的运算是解答本题的关键．3．若2023a =，2022b =，则计算221122a b −的结果为 ． 【答案】2022.5【分析】先提公因式，再用平方差公式进行计算即可． 【详解】221122a b − 22112023202222=⨯−⨯()222023212022=−⨯1=(20232022)(20232022)2⨯+− 140452=⨯2022.5=．故答案为：2022.5．【点睛】本题主要考查了利用平方差公式因式分解进行简便运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 4．某同学自己设计了一个运算程序，任意输入一个三位数，如567，重复该数，得到567567，将该数除以7，然后除以质数a ，再除以质数b ，结果又得到了567，则a b += ．【答案】24【分析】根据题意可知567567÷7÷567=ab ，然后即可得到ab 的值，再将ab 的积分解为两个质数的积，即可得到a 、b 的值，然后作和即可．【详解】解：由题意可得，567567÷7÷567=ab ，解得ab=143，∵143=11×13，∴a=11，b=13或a=13，b=11，∴a+b=24，故答案为：24．【点睛】本题考查有理数的混合运算、质数与合数，解答本题的关键是明确题意，求出a 、b 的值． 5．整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式222(21)2)(a a a a ++++进行因式分解的解题思路：将“22a a +”看成一个整体，令22a a x +=，则原式22(2)121(1)x x x x x =++=++=+．再将“x ”还原为“22a a +”即可．解题过程如下：解：设22a a x +=，则原式()21x x =++（第一步）221x x =++（第二步）2(1)x =+（第三步）()2221a a +=+（第四步）． 问题：(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；②请你模仿以上方法尝试对多项式()()2244816a a a a −−++进行因式分解；(2)请你模仿以上方法尝试计算：(1232023)(232024)(1232024)(232023)−−−−⨯+++−−−−−⨯+++．【答案】(1)①该同学没有完成因式分解；最后的结果为4(1)a +；②4(2)a −(2)2024【分析】本题考查公式法分解因式，理解整体思想是解决问题的前提，掌握完全平方公式的结构特征和必要的恒等变形是正确解答的关键．（1）①根据因式分解的意义进行判断，再利用完全平方公式分解因式即可；②利用换元法进行因式分解即可；（2）设1232023a =−−−−，232024x =+++，则原式(2024)(2024)ax a x =−−−，整体代入计算即可．【详解】（1）①该同学没有完成因式分解；设22a a x +=，则原式()21x x =++（第一步）221x x =++（第二步）2(1)x =+（第三步）()2221a a +=+（第四步）22(1)a =+⎡⎤⎣⎦4(1)a =+．∴最后的结果为4(1)a +．②设24a a x −=， 原式(8)16x x =++2816x x =++．2()4x =+()2244a a =−+4()2a =−；（2）设1232023a =−−−−，232024x =+++， 则123202320242024,2320232024a x −−−−−=−+++=−， 120242025a x +=+=，原式(2024)(2024)ax a x =−−−22024()2024ax ax a x =−++−2202420252024=⨯−22024(20241)2024=⨯+−22202420242024=+−2024=．6．（1）若100799611A =⨯⨯，119951008B =⨯⨯，求A B −；（2）证明5799449999⨯+⨯−能被100整除．【答案】（1）132；（2）证明见解析【分析】（1）先提取公因数11，再把1007996⨯化成()()1001.5 5.51001.5 5.5+⨯−，把9951008⨯化成()()1001.5 6.51001.5 6.5+⨯−，进而利用平方差公式进行求解即可；（2）把原式提取公因式99，进而得579944999999100⨯+⨯−=⨯，由此即可证明结论．【详解】解：（1）∵100799611A =⨯⨯，119951008B =⨯⨯，∴A B −100799611119951008=⨯⨯−⨯⨯()()()()111001.5 5.51001.5 5.51001.5 6.51001.5 6.5=⨯+⨯−−+⨯−⎡⎤⎣⎦()()2222111001.5 5.51001.5 6.5⎡⎤=⨯−−+⎣⎦()()11 6.5 5.5 6.5 5.5=⨯+⨯−11121=⨯⨯132=； （2）5799449999⨯+⨯−()9957441=⨯+−99100=⨯，∵99100⨯能被100整除，∴5799449999⨯+⨯−能被100整除．【点睛】本题主要考查了因式分解在有理数简便计算中的应用，熟知因式分解的方法是解题的关键．7．阅读下列材料，解决问题：我们把一个能被17整除的自然数称为“节俭数”．“节俭数”的特征是：若把一个自然数的个位数字截去，再把剩下的数减去截去的那个个位数字的5倍，如果差是17的整数倍（包括0），则原数能被17整除，如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾，倍尾，差尾，验差”的过程，直到能方便判断为止．例如：判断1675282是不是“节俭数”，判断过程：16752825167518−⨯=，167518516711−⨯=，1671151666−⨯=，16665136−⨯=，到这里如果你仍然观察不出来，就继续136517−⨯=−，17−是17的整数倍，所以1675282能被17整除，所以1675282是“节俭数”．(1)请用上述方法判断7259和2098752是否是“节俭数”，并说明理由．(2)一个五位节俭数213ab ，其中千位上的数字为b ，万位上的数字为a ，且1b a =−，请利用上面方法求出这个数．【答案】(1)7259是“节俭数”； 2098752是“节俭数”(2)54213【分析】（1）模仿例题解决问题即可；（2）模仿例题采用 “截尾，倍尾，差尾，验差”的过程，解决问题即可；【详解】（1）72595680−⨯=，680568−⨯=，68174÷=，所以7259能被17整除，是“节俭数”；20987525209865−⨯=，209865520961−⨯=，2096152091−⨯=，20915204−⨯=，2041712÷=， 所以2098752能被17整除，是“节俭数”；（2）解：∴213506ab ab ⨯=−，300ab −能被17整除∴1b a =−，∴()1001013011040a a a +−−=−能被17整除∴19a ≤≤∴当1a =时，1104070−=，不能被17整除，当2a =时，22040180−=，不能被17整除，当3a =时，33040290−=，不能被17整除，当4a =时，44040400−=，不能被17整除，当5a =时，55040510−=，能被17整除，当6a =时，66040620−=，不能被17整除，当7a =时，77040730−=，不能被17整除，当8a =时，88040840−=，不能被17整除，当9a =时，99040950−=，不能被17整除，∴5a =，4b =∴这个数为54213．【点睛】本题考查了因式分解的应用，数的整除，理解题意，仿照例题的方法是解题的关键．8．观察下列等式，并回答有关问题：22123415(141)⨯⨯⨯+==⨯+222345111(251)⨯⨯⨯+==⨯+223456119(361.......)⨯⨯⨯+==⨯+(1)填空：56781⨯⨯⨯+=（________）2(2)若n 为正整数，猜想(1)(2)(3)1n n n n ++++因式分解的结果并说明理由；(3)利用（2）的结果比较991001011021⨯⨯⨯+与210100的大小．【答案】(1)41(2)22(1)(2)(3)1(31)n n n n n n ++++=++，理由见解析(3)991001011021⨯⨯⨯+210100<【分析】（1）根据式子的规律即可得出答案；（2）根据规律猜想出结果，用因式分解的方法证明即可；（3）应用（2）的结果化简即可得出答案．【详解】（1）根据规律得：256781(581)⨯⨯⨯+=⨯+，故答案为：581⨯+；（2）222(1)(2)(3)1[(3)1](31)n n n n n n n n ++++=++=++， 理由：(1)(2)(3)1n n n n ++++[(3)][(1)(2)]1n n n n =++++22(3)(32)1n n n n =++++222(3)2(3)1n n n n =++++22(31)n n =++；（3）991001011021⨯⨯⨯+22(993991)=+⨯+2(98012971)=++221009910100<=．【点睛】本题考查了规律型−数字的变化类，体现了整体思想，把23n n +看作整体是解题的关键．9．（1）因式分解：①2249a b −②221218x x −+（2）利用因式分解进行简便计算：221.2351 1.2349⨯−⨯【答案】（1）①()()2323a b a b +−；②()223x −；（2）246【分析】（1）①利用平方差公式进行因式分解；②先提取公因式2，再用完全平方公式进行因式分解；（2）先提取公因式1.23，再用平方差公式进行因式分解即可求值．【详解】解：（1）①()()22223934a a b b b a −=+−； ②()()2222121826923x x x x x −+=−+=−；（2）221.2351 1.2349⨯−⨯()2251.14923=⨯−()()1.2351495149=⨯+⨯− 1.231002=⨯⨯246=．【点睛】本题考查了因式分解及因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．10．（1）按下表已填的完成表中的空白处代数式的值： 2()a b −222a ab b −+ 2a =，1b = 11a =−，3b = 462a =−，=5b −（2）比较两代数式计算结果，请写出你发现的2()a b −与222a ab b −+有什么关系？（3）利用你发现的结论，求：222021404220202020−⨯+的值．【答案】（1）见解析；（2）()2222a b a ab b −=−+；（3）1 【分析】（1）把每组,a b 的值分别代入2()a b −与222a ab b −+进行计算，再填表即可；（2）观察计算结果，再归纳出结论即可；（3）利用结论()2222a b a ab b −=−+可得2021,2020,a b == 再代入进行简便运算即可.【详解】解：（1）填表如下： 2()a b −222a ab b −+ 2a =，1b =1 1 1a =−，3b = 16 162a =−，=5b − 9 9（2）观察上表的计算结果归纳可得：()2222a b a ab b −=−+（3）222021404220202020−⨯+ =2220212202120202020−⨯⨯+=()220212020−=1【点睛】本题考查的是代数式的求值，运算规律的探究，完全平方公式的应用，熟练的利用完全平方公式进行简便运算是解本题的关键.【压轴题型四 十字相乘法】1．已知甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为29x −，乙与丙相乘的积为26x x +−，则甲与丙相减的结果是( ) A ．5− B ．5 C ．1 D ．1−【答案】D【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可．【详解】解：∵甲与乙相乘的积为29(3)(3)x x x −=+−，乙与丙相乘的积为()262(3)x x x x +−=−+，甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数， ∴甲为3x −，乙为3x +，丙为2x -， 则甲与丙相减的差为：()(3)21x x −−−=−；故选：D2．如果多项式432237x x ax x b −+++能被22x x +−整除，那么:a b 的值是（ ） A ． 2− B ． 3−C ．3D ．6【答案】A 【分析】由于()()2221+−=+−x x x x ，而多项式432237x x ax x b −+++能被22x x +−整除，则432237x x ax x b −+++能被()()21x x +−整除．运用待定系数法，可设商是A ，则()()43223721x x ax x b A x x −+++=+−，则2x =−和1x =时，4322370x x ax x b −+++=，分别代入，得到关于a 、b 的二元一次方程组，解此方程组，求出a 、b 的值，进而得到:a b 的值. 【详解】解：∵()()2221+−=+−x x x x ，∴432237x x ax x b −+++能被()()21x x +−整除，设商是A ． 则()()43223721x x ax x b A x x −+++=+−，则2x =−和1x =时，右边都等于0，所以左边也等于0．当2x =−时，43223732244144420x x ax x b a b a b −+++=++−+=++= ①当1x =时，43223723760x x ax x b a b a b −+++=−+++=++= ②−①②，得3360a +=，∴12a =−， ∴66b a =−−=． ∴:12:62a b =−=−， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出2x =−和1x =时，原多项式的值均为0，从而求出a 、b 的值．本题属于竞赛题型，有一定难度．3．已知()()20192016100x x −−+=，则40352x −的值为 ． 【答案】7±【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟练掌握用十字相乘法进行因式分解，将()()20192016100x x −−+=变形后再因式分解为()()20165201620x x −−−+=，求出x 的值，再代入求值即可． 【详解】解：()()20192016100x x −−+=，()()2019201610x x −−=−， ()()2019201610x x −−=， ()()20163201610x x −−−=，()()2201632016100x x −−−−=，()()20165201620x x −−−+=， ()()202120140x x −−=，解得：2021x =或2014x =，当2021x =时，原式4035220217=−⨯=−， 当2014x =时，原式4035220147=−⨯=， 故答案为：7±4．有甲、乙、丙三种纸片若干张（数据如图，a b >）．（1）若用这三种纸片紧密拼接成一个边长为()2a b +大正方形，则需要取乙纸片 张，丙纸片 张． （2）若取甲纸片1张，乙纸片3张，丙纸片2张紧密拼成一个长方形，则这个长方形的长为 ，宽为 ．【答案】 4 1()2a b +/()2b a + ()a b +/()b a + 【分析】（1）根据正方形的面积得出()222244a b a ab b +=++，即可求解；（2）根据题意长方形的面积为()()22322a ab b a b a b ++=++，结合题意，即可求解．【详解】解：（1）∵()222244a b a ab b +=++∴需要取乙纸片4张，丙纸片1张 故答案为：4，1． （2）依题意，()()22322a ab b a b a b ++=++，∴这个长方形的长为()2a b +，宽为()a b +，故答案为：()2a b +，()a b +．【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，因式分解的应用，数形结合是解题的关键． 5．根据以下素材，完成下列任务：素材1在因式分解习题课上，赵老师“随便”写了几个整系数二次三项式，让同学们因式分解，结果小王发现同学们都能在有理数范围内分解，小王也想试一试，就随便写了两个二次三项式∶243x x ++，2414x x −−让同学们因式分解，结果发现有一个不能因式分解，这到底为什么呢？。
4-3 用乘法公式分解因式(课件)-2023-2024学年七年级数学下册同步精
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知识要点
平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差. 公式变形:
(a–b) (a+b) =a2−b2 (b+a)(−b+a )=a2−b2
公式中字母的不仅可代表具体的数字、字母、单项式或多项式等 代数式
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典例精析
例1 利用平方差公式计算： (1) (5＋6x )( 5－6x ) ； (2) (x－2y)(x+2y)； (3) (－m+n)(－m－n) 解：（1）原式=52－(6x)2=25－36x2； （2）原式＝x2－(2y)2＝x2 － 4y2； （3）原式＝(－m)2－n2=m2－n2.
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知识点四 用完全平方公式进行计算
完全平方公式的实际运用
思考：怎样简便计算1022,992？
(1) 1022； 解：原式= (100+2)2
=10000+400+4 =10404.
(2) 992. 解：原式= (100 –1)2
=10000 -200+1 =9801.
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典例精析
例5 运用乘法公式计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; 解: (1)原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
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例2：利用平方差公式计算： (1)(－7m＋8n)(－8n－7m)； (2)(x－2)(x＋2)(x2＋4)． 解：(1)原式=(－7m)2－(8n)2
＝49m2－64n2； (2)原式=(x2－4)(x2＋4)
＝x4－16.
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练一练
1、先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1， y＝2.
第十四章+整式的乘法与因式分解+练习+2024-2025学年人教版数学八年级上册
第十四章整式的乘法与因式分解练习一、选择题1．下列计算正确的是（）A．2x2⋅3x3=6x6B．x3÷x3=0C．(2xy)3=6x3y3D．(x3)n÷x2n=x n2．下列各式变形中，是因式分解的是（）A．a2−2ab+b2−1=(a−b)2−1B．x4−1=(x2+1)(x+1)(x−1)C．(x+2)(x−2)=x2−4D．2x2+2x=2x2(1+1x)3．化简(-x)3·(-x)2的结果正确的是（）A．−x6B．x6C．x5D．−x5 4．已知x m=4,x n=6，则x2m−n的值为（）A．9 B．34C．83D．435．如果x2−kxy+9y2是一个完全平方式，那么k的值是（）A．3 B．±6 C．6 D．±36．若x+m与x+2的乘积化简后的结果中不含x的一次项，则m的值为（）A．2 B．-2 C．4 D．-47．用图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为2a+b，宽为a+b的矩形，需要A类卡片，B类卡片，C类卡片的张数分别是（）A．1、2、3 B．1、3、5 C．2、3、1 D．2、3、48．如图所示，将如图一所示的大小相同的四个小正方形按图二所示的方式放置在一个边长为a的大正方形中，中间恰好空出两条互相垂直的宽都为b的长方形，根据图二中阴影部分的面积计算方法可以验证的公式为（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab二、填空题9．分解因式：a2−1 = .10．将代数式(a+2)(a−2)−3a分解因式的结果是.11．如果x2−(m+1)x+1是完全平方式，则m的值为12．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是.（用“＞”连接）13．某农户租两块土地种植沃柑，第一块是边长为am的正方形，第二块是长为(a+10)m，宽为(a+5)m的长方形，则第二块比第一块的面积多了m2．三、计算题14．化简求值：(2x+1)2(3x−2)−(2x+1)(3x−2)2−x(2x+1)(2−3x)，其中x=3215．计算（1）(4a−b2)⋅(−2b)（2）(15x2y−10xy2)÷5xy（3）(−2m−1)2（4）(x+2y−3)(x−2y+3)16．分解因式：（1）x2y−4y；（2）(a−3b)(a−b)+b2．四、解答题17．两位同学将一个二次三项式进行因式分解时，一名同学因为看错了一次项系数而分解成：2(x−1)(x−9)，另一位同学因为看错了常数项而分解成了2(x−2)(x−4) .请求出原多项式，并将它因式分解. 18．如图，在边长为（2m+3）的正方形纸片中剪出一个边长为（m+3）的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，求另一边长．18．某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植(3a−b)株豌豆幼苗，种植了（3a+b）排，正方形实验田每排种植（a+b）株豌豆幼苗，种植了(a+b)排（a>b>0）.（1）长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗多少株？（2）当a=4，b=3时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？19．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1.解：将“x+y”看成一个整体，设x+y=m，则原式=m2+2m+1=(m+1)2.再将x+y=m代入，得原式=(x+y+1)2.上述解题方法用到的是“整体思想”.“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法.请写出下列因式分解的结果：（1）因式分解：1−2(x−y)+(x−y)2=；（2）因式分解：25(a−1)2−10(a−1)+1=；（3）因式分解：(y2−4y)(y2−4y+8)+16.。
2024七年级数学下册第4章 用乘法公式分解因式4.3.2用完全平方公式分解因式习题课件新版湘教版
【 解 】 ∵ a2 ＋ 8ab ＋ 12b2 ＝ a2 ＋ 2×a×4b ＋ (4b)2 － (4b)2 ＋ 12b2 ＝ (a ＋ 4b)2 － 4b2 ＝ (a ＋ 4b ＋ 2b)(a ＋ 4b － 2b)＝(a＋2b)(a＋6b)，∴当宽为a＋2b时，这个长方 形的长为a＋6b.
11 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提取公 因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解 法、拆项法等． ①分组分解法：例如：x2－2xy＋y2－4＝(x2－2xy＋ y2)－4＝(x－y)2－22＝(x－y－2)(x－y＋2)． ②拆项法：例如：x2＋2x－3＝x2＋2x＋1－4＝(x＋ 1)2－22＝(x＋1－2)(x＋1＋2)＝(x－1)(x＋3)．
【解】原式＝2 0242＋2×976×2 024＋9762＝(2 024＋ 976)2＝9×106. (2)6.572－2×6.57×4.57＋4.572. 原式＝(6.57－4.57)2＝22＝4.
9 (1)已知 a(a－1)－(a2－2b)＝6，求a42－ab＋b2 的值； 【解】由 a(a－1)－(a2－2b)＝6，得－a＋2b＝6. ∴a－2b＝－6. ∴a42－ab＋b2＝a2－4a4b＋4b2＝(a－42b)2＝(－46)2＝9.
(3)－3x3y＋18x2y2－27xy3＝－__3_x_y_(_x_－__3_y_)_2 ．
【点拨】原式＝－3xy(x2－6xy＋9y2)＝－3xy(x－3y)2.
5 [2023·杭州下城区期末]若4x2－(k－1)x＋9能用完全平
方公式分解因式，则k的值为( )
A．13或－11
B．±12
C．－13或11
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①(分组分解法)4x2＋4x－y2＋1； 【解】4x2＋4x－y2＋1＝(4x2＋4x＋1)－y2 ＝(2x＋1)2－y2＝(2x＋y＋1)(2x－y＋1)． ②(拆项法)x2－6x＋8. x2－6x＋8＝x2－6x＋9－1 ＝(x－3)2－1＝(x－3－1)(x－3＋1)＝(x－4)(x－2)．
因式分解易因式分解易错必刷题—2023-2024学年八年级数学下册(北师大版)(解析版)
因式分解易错必刷题型专训（52题13个考点）【易错必刷一 判断是否是因式分解】1．（21-22八年级下·安徽淮北·期中）下列从左边到边的变形，是因式分解的是（ ）A ．()()2339a a a +−=−B ．331234x y x y −=−⋅C ．()()2211a b a b a b −=−+−−D ．()mR mr m R r +=+【答案】D【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式，叫做因式分解，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A ．()()2339a a a +−=−，是乘法运算，故该选项不符合题意；B ．331234x y x y −=−⋅是单项式变形，故该选项不符合题意； C ．()()2211a b a b a b −=−+−−，等号右边不是积的形式，故该选项不符合题意； D ．()mR mr m R r +=+，符合因式分解的定义，故该选项符合题意；故选：D ．2．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）在()()22x y x y x y +−=−中，从左到右的变形是 ，从右到左的变形是 ．【答案】 整式乘法 因式分解【分析】此题主要是考查了因式分解的意义，根据因式分解的定义、整式乘法的定义和平方差公式进行求解，紧扣因式分解的定义是解题的关键．【详解】解：在()()22x y x y x y +−=−中，从左到右的变形是整式乘法，从右到左的变形是因式分解，故答案为：整式乘法，因式分解．3．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？(1)22446x y x xy =⋅；(2)2(5)(5)25x x x +−=−；(3)223(3)(1)x x x x +−=+−；(4)29613(32)1x x x x −+=−+； (5)211()x x x x+=+． 【答案】(1)不是因式分解(2)不是因式分解(3)是因式分解(4)不是因式分解(5)不是因式分解【分析】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解是针对多项式而言的，因式分解后，右边是整式积的形式．根据分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式【详解】（1）解：因式分解是针对多项式来说的，故不是因式分解；（2）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解；（3）解：是因式分解；（4）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解；（5）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解．4．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列代数式从左到右的变形哪些不属于因式分解？请说明理由．(1) ()222a a a b ab =++；(2) ()21bx bx bx x −−=；(3) ()22121x x x x −+=−+；(4)2322423a bc a bc ⋅⋅=．【答案】(1)是整式的乘法，不是因式分解(2)一个多项式转化成几个整式积的形式，是因式分解(3)没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解(4)等式的左边不是多项式，不是因式分解【分析】（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此即可作答；（2）根据因式分解的定义判断即可得答案；（3）根据因式分解的定义判断即可得答案；（4）根据因式分解的定义判断即可得答案．【详解】（1）()222a a a b ab =++是整式的乘法，故（1）不是因式分解； （2）()21bx bx bx x −−=，一个多项式转化成几个整式积的形式，故（2）是因式分解； （3）()22121x x x x −+=−+，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故（3）不是因式分解； （4）2322423a bc a bc ⋅⋅=，等式的左边不是多项式，故（4）不是因式分解．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．【易错必刷二 已知因式分解的结果求参数】1．（2024八年级·全国·竞赛）若多项式212x mx ++因式分解得()()3x x n ++，则m n +=（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】D【分析】本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法运算．根据因式分解的定义，列出等式，利用等式性质分别求出m 和n 的值，再求解即可．【详解】解：由已知， ()()()223312=3x n x x x n x x n m ++++++=+故可得，3,312n m n +==，∴4n =，37m n =+=，∴4711m n +=+=，故选：D2．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）已知，多项式212x mx −−可因式分解为()()34x x +−，则m 的值为 ．【答案】1【分析】本题主要考查了多项式乘法与分解因式之间的关系，根据多项式乘以多项式的计算法则求出()()34x x +−的结果即可得到答案．【详解】解：∵，多项式212x mx −−可因式分解为()()34x x +−， ∴()()2221234341212x mx x x x x x x x −−=+−=+−−=−−，∴1m −=−，即1m =，故答案为：1．3．（23-24八年级上·山东济南·期末）已知2+−x y 是二元二次式2256x axy by x y ++−++的一个因式，求a ，b 的值．【答案】1a =−，2b =−．【分析】本题主要考查了因式分解与整式乘法之间的关系，设另一个因式为3x cy +−，利用多项式乘法得到()()22221523656x c xy cy x c y x axy by x y +++−−++=++−++，进而得到231c +=−，求出2c =−，则11a c =+=−，2b c ==−．【详解】解：2x y +−为2256x axy ky x y ++−++的一个因式， ∴可设另一个因式为3x cy +−∴()()222356x y x cy x axy by x y +−+−=++−++()()22221523656x c xy cy x c y x axy by x y ∴+++−−++=++−++231c ∴+=−， 2c ∴=−，∴11a c =+=−，2b c ==−．4．（23-24八年级上·山东济宁·期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式24x x m −+分解因式后有一个因式是()3x +，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，得()()243x x m x x n −+=++，则()22433x x m x n x n −+=+++，343n m n +=−⎧∴⎨=⎩，解得：7n =−，21m =−，∴另一个因式为()7x −，m 的值为21−．请仿照上述方法解答下面问题：(1)若()()223x bx c x x ++=+−，则b =______，c =______；(2)已知二次三项式2814x x k −−分解因式后有一个因式是()23x −，求另一个因式以及k 的值；(3)已知二次三项式2642x ax ++有一个因式是()2x a +，a 是正整数，求另一个因式以及a 的值．【答案】(1)1−，6−(2)()41x −，3k =−(3)另一个因式是()31x +，a 的值是2【分析】（1）将()()223x bx c x x ++=+−，等式右边展开，根据对应项系数相等，即可求解，（2）设另一个因式为：()4x b +，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， （3）设另一个因式是()3x m +，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， 本题考查了，根据因式分解的结果求参数，多项式乘多项式，解题的关键是：理解因式分解与多项式乘法互为逆运算．【详解】（1）解：()()22236x x x x x bx c +−=−−=++，1b ∴=−，6c =−， 故答案为：1−，6−，（2）解：设另一个因式为：()4x b +，则()()()2222348212382123814x x b x bx x b x b x b x x k −+=+−−=+−−=−−，212143b b k −=−⎧∴⎨=⎩，解得：1b =-，3k =−，∴另一个因式是()41x −，故答案为：()41x −，3k =−，（3）解：设另一个因式是()3x m +，则()()()2223623642x a x m x m a x am x ax ++=+++=++则2342m a a am +=⎧⎨=⎩，解得：21a m =⎧⎨=⎩或21a m =−⎧⎨=−⎩，a 是正整数，2a ∴=，另一个因式是()31x +；2a =−（不符合题意舍去），∴另一个因式是()31x +，a 的值是2．【易错必刷三 公因式】1．（22-23八年级上·海南三亚·期中）多项式323226318a b ab a b −−分解因式时，应提取的公因式是（ ） A ．23a bB ．23abC ．333a bD ．223a b【答案】B【分析】本题考查了提公因式分解因式，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．【详解】解：323226318a b ab a b −−()223216ab a ab =−−， 故选B ．2．（22-23八年级上·山东威海·期末）多项式2324223126x y x y x y −−的公因式是（ ）A ．23x yB ．233x yC ．223x yD ．3xy 【答案】C【分析】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．根据多项式的公因式的确定方法，即可求解．【详解】解：多项式2324223126x y x y x y −−的公因式是223x y ， 故选C ．3．（21-22八年级下·陕西咸阳·阶段练习）多项式2223261812ab a b a b c +−的公因式是（ ）A ．226a bB ．26abC ．26ab cD ．326a b c【答案】B【分析】本题考查找公因式，找数字的最大公因式，字母找相同字母最低指数即可得到答案；【详解】解：由题意可得，2223261812ab a b a b c +−的公因式是：26ab ，故选：B ．4．（23-24八年级上·甘肃金昌·期末）232238612x y z xy z xy z −+分解因式时，应提取的公因式是（ ） A ．224x y zB ．22xy zC ．6xyD ．2【答案】B【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握以上知识点是解题的关键，找公因式的要点是：①公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；②字母取各项都含有的相同字母；③相同字母的指数取次数最低的．【详解】解：232238612x y z xy z xy z −+()22436xy z xyz z y =−+ 因此232238612x y z xy z xy z −+的公因式是22xy z 故选：B ．【易错必刷四 提公因式分解因式】1．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）把多项式33128ab a b +分解因式，应提的公因式是（ ） A ．abB ．4abC ．2abD ．24a b 【答案】B【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为4ab ，据此可得答案．【详解】解：()3322128432ab a b ab b a +=+，则多项式33128ab a b +分解因式，应提的公因式是4ab ， 故选：B ．2．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知()()()()221373713x x x x −−−−−可因式分解为()()3x a x b ++，其中a ，b 均为正整数，则3a b +的值为 ．【答案】31−【分析】本题考查的是因式分解的应用，先提取公因式37x −，得到()()()()3783x x x a x b −−=++，再求解a ，b 的值，代入计算即可． 【详解】解：()()()()221373713x x x x −−−−−()()3722113x x x =−−−+()()378x x =−−．∵()()()()221373713x x x x −−−−−可分解因式为()()3x a x b ++，∴()()()()3783x x x a x b −−=++，则7a =−，8b =−，故()373831a b +=−⨯−=−＋．故答案为31−．3．（23-24八年级下·全国·课后作业）用提公因式法将下列各式分解因式：(1)232224812x y x y z xy z +−；(2)()()3352202x x y y y x −−−．【答案】(1)()2423xy xy xz z +− (2)()()3524x y x y −+【分析】本题考查的是题公因式分解因式，掌握提公因式的方法是解本题的关键；（1）提取公因式24xy ，再分解因式即可；（2）提取公因式()352x y −，再分解因式即可；【详解】（1）解：232224812x y x y z xy z +−()2423xy xy xz z =+−．（2）()()3352202x x y y y x −−−()()3352202x x y y x y =−+−()()3524x y x y =−+；4．（23-24八年级上·青海海东·期末）已知x 、y 满足8xy =，2256x y xy −=．求下列各式的值：(1)x y −；(2)22x y +．【答案】(1)7x y −=，(2)2265x y +=．【分析】本题考查的是利用因式分解，完全平方公式的变形，求解代数式的值．（1）由2256x y xy −=，可得：()56xy x y −=，再利用8xy =，2256x y xy −=．从而可得答案； （2）由()2222x y x y xy +=−+，结合7x y −=，8xy =，可得答案．【详解】（1）∵2256x y xy −=，即()56xy x y −=，∵8xy =，∴7x y −=；（2）()2222272865x y x y xy +=−+=+⨯=．【易错必刷五 判断能否用公式法分解因式】1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（ ）A ．214a a +−B ．222−−+a b abC ．2225a b −+D ．249b −【答案】A【分析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键． 利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可．【详解】解：A 、214a a +−不能用公式法因式分解，故此选项符合题意； B 、()()2222222a b ab a ab b a b −−+=−−+=−−，故此选项不符合题意； C 、()()()222255525b a b a a a b b =−=++−−，故此选项不符合题意；D 、()()()22249232323b b b b −=−=+−，故此选项不符合题意． 故选：A ．2．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．222x xy y −+B ．222x xy y −+−C ．222x xy y −−+D ．2244x y xy ++【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟背完全平方公式是解决本题的关键．根据题意对各个选项逐个分析即可选出本题答案．【详解】解：∵2222()x xy y x y −+=−，∴A 选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意；∵222222(2)()x xy y x xy y x y −+−=−−+=−−，∴B 选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意；∵22222(2)x xy y x xy y −−+=−+−，即不符合完全平方公式， ∴C 选项不能用完全平方公式分解因式，符合题意；∵22244(2)x y xy x y ++=+，∴D 选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意；故选：C ．3．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ） （1）224x y −+（2）22931a b ab −+（3）222−−−x xy y （4）22x y −−．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【分析】本题考查了因式分解中的公式法，涉及完全平方公式以及平方差公式，据此逐项分析，即可作答．【详解】解：()()22224242y y y x x x y x −==++−−，故（1）符合题意；22931a b ab −+不能运用公式法分解因式，故（2）不符合题意；()()()222222x xy y x xy y x y x y −+=−=−+−−++，故（3）符合题意； ()2222x y x y −−=−+，不能运用公式法分解因式，故（4）不符合题意；所以能运用公式法分解因式的有（1）和（3），故选：B4．（22-23八年级上·福建厦门·期末）要使多项式22x M x ++能运用平方差公式进行分解因式，整式M 可以是（ ）A ．1B ．1−C ．24x −+D ．24x −− 【答案】D【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【详解】解：A.()22211x x x ++=+是完全平方公式因式分解，不合题意；B.221x x +−不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；C.222424x x x x x −++=+，不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；D. ()()22242422x x x x x x −−+=−=+−，能用平方差公式因式分解，故该选项正确，符合题意； 故选：D ．【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．【易错必刷六 运用平方差公式分解因式】1．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）若2212x y −=且2x y −=，则x y +的值是（ ）A ．12B ．24C ．6D ．14【答案】C【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；根据题意及平方差公式可直接进行求解．【详解】解：∵2212,2x y x y −=−=， ∴()()12x y x y +−=，∴6x y +=；故选C ．2．（2023·四川宜宾·模拟预测）分解因式：224169a b −= ．【答案】()()213213a b a b +−【分析】本题考查的是因式分解，熟记平方差公式是解题的关键．根据平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：224169a b −()()22213a b =−()()213213a b a b =+− 故答案为：()()213213a b a b +−3．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知9621−可以被在60至70之间的两个整数整除，求这两个整数是多少？【答案】65和63【分析】本题考查了用平方差公式进行因式分解，解题的关键是掌握()()22a b a b a b +−=−．根据平方差公式，将9621−进行因式分解，即可得出结论．【详解】解：9621−()248221=−()()48482121=+−()()()482424212121=++−()()()()4824121221212121=+++−()()()()()482412662121212121=++++− ()()()4824122121216563=+++⨯⨯，∴9621−能被65和63整除， ∴这两个整数是65和63．4．（21-22七年级下·广西桂林·期末）分解因式：21m −．【答案】()()11m m +−【分析】本题主要考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解题的关键．利用平方差公式分解即可．【详解】解：()()2111m m m −=+−．【易错必刷七 运用完全平方公式分解因式】1．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）已知20242023a x =+，20242024b x =+，20242025c x =+，则代数式222a b c ab ac bc ++−−−的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先根据已知条件式得到112a b b c a c −=−−=−−=−，，，再把原式变形为()22212222222a b c ab ac bc ++---，最后利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵20242023a x =+，20242024b x =+，20242025c x =+，∴20242023202420241a b x x −=+−−=−，20242024202420251b c x x −=+−−=−，20242023202420252a c x x −=+−−=−，∴222a b c ab ac bc ++−−−()22212222222a b c ab ac bc =++---()()()22222212222a ab b b bc c a ac c éù=-++-++-+êúëû()()()22212a b b c a c =−+−+−⎡⎤⎣⎦ ()()()22211122⎡⎤=−+−+−⎣⎦ 3=，故选：D ．2．（2024·江苏南京·一模）代数式22222x y xy x +++的最小值是 ．【答案】2−【分析】本题考查了完全平方公式和非负数性质的应用能力，通过将原式变形为()()22112x y y +++−−，再运用非负数的性质进行求解，关键是能对原式进行准确变形配方．【详解】解：22222x y xy x +++ 2222221212x xy x y y y y =++++++−+−()()()2222121212x x y y y y y =++++++−+−()()221122x y y =+++−−≥−，故答案为：2−．3．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）下面是小刚同学解答一道题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．先化简，再求值：()()()252a a b a b a b b +−+−−，其中22a b +=−． 解：原式()22225522a ab a ab ab b b =+−−+−−……第一步22225522a ab a ab ab b b =+−+−+−……第二步2244a ab b =++．……第三步当22a b +=−时，原式()22a b =+……第四步()224=−=．……第五步 任务：(1)小刚在解答过程中，从第三步到第四步涉及到的乘法公式是______．（填“平方差公式”或“完全平方公式”）(2)小刚在解答过程中，第五步的运算体现的数学思想是（ ）．A ． 数形结合思想B ． 整体代入思想C ． 分类讨论思想D ． 转化思想(3)求式子()()261x x x ++−的值，其中22450x x +−=．【答案】(1)完全平方公式(2)B(3)6【分析】本题考查的是整式的混合运算，因式分解，化简求值，掌握完全平方公式与整体思想是解本题的关键；（1）由计算过程可得利用了完全平方公式分解因式；（2）由整体代入计算可得体现的是整体思想；（3）先计算整式的乘法运算，再合并同类项，最后整体代入求值即可．【详解】（1）解：从第三步到第四步涉及到的乘法公式是：完全平方公式；（2）小刚在解答过程中，第五步的运算体现的数学思想是：整体代入思想，故选B（3）()()261x x x ++−22621x x x x =++−+2241x x =++，∵22450x x +−=， ∴2245x x +=，∴原式516=+=；4．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）定义：,,a b c 为正整数，若222c a b =+，则称c 为“完美勾股数”，,a b 为c 的“伴侣勾股数”．如22213512=+，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．(1)数10_______“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；(2)已知ABC 的三边,,a b c 满足2226810500a b c a b c ++−−−+=．求证：c 是“完美勾股数”．【答案】(1)是(2)见解析【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用，完全平方公式，解题的关键是掌握配方法．（1）根据完美勾股数的定义可得答案；（2）利用完全平方公式，将已知式配成几个平方数和的形式，利用非负数性质进而求出c ，即可证明．【详解】（1）解：2221068=+，∴数10是“完美勾股数”，故答案为：是；（2）证明：2226810500a b c a b c ++−−−+=∴()()()2226981610250a a b a c c −++−++−+= 222(3)(4)(5)0a b c \-+-+-= 222(3)0;(4)0;(5)0a b c −≥−≥−≥3,4,5a b c ∴===，222c a b ∴=+，c ∴是“完美勾股数”；【易错必刷八 综合运用公式法分解因式】1．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）把()22214a a +−因式分解得（ ） A ．()2214a a +− B ．()2214a a +−C ．()()2211+−a aD ．()221a − 【答案】C 【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答即可.【详解】解：()()()()()222222214121112a a a a a a a a ==−+−++−++；故选：C. 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键.2．（2024·河南周口·二模）分解因式()222224a b a b +−= ．【答案】()()22a b a b +− 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先利用平方差公式因式分解，然后利用完全平方公式因式分解即可．【详解】()222224a b a b +− ()()22222b a b a =+−()()222222a b ab a b ab =+++− ()()22a b a b =+−．故答案为：()()22a b a b +−．3．（23-24八年级上·河南三门峡·期末）分解因式：(1)229()()m n m n +−−；(2)3221218a a a −+−．【答案】(1)()()422m n m n ++；(2)22(3)a a −−．【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．（1）先利用平方差公式，再利用提公因式法继续分解即可解答；（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．【详解】（1）解：229()()m n m n +−−()()()()33m n m n m n m n =++−+−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()4224m n m n =++ ()()422m n m n =++；（2）解：3221218a a a −+−()2269a a a =−−+22(3)a a =−−． 4．（22-23八年级上·贵州黔西·期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法和十字相乘法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法，等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法.例如： ()()()2222222424()222x xy y x xy y x y x y x y −+−=−+−=−−=−+−−．②拆项法，将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法.例如： ()()()()222223214(1)2121213x x x x x x x x x +−=++−=+−=+−++=−+(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）22441x x y +−+；②（拆项法）268x x −+；(2)已知：a ，b ，c 为ABC 的三条边，222446170a b c a b c ++−−−+=，求ABC 的周长．【答案】(1)()()2121x y x y ++−+①；()()42x x −−②(2)ABC 的周长为7【分析】本题主要考查公式法因式分解：（1）①将22441x x y +−+组成为()22441x x y ++−分解即可．②将268x x −+拆项为()2691x x −+−分解即可； （2）分组拆项配成完全平方式的和形式()()()2226944440a b a b c c ++−−+++=−，利用非负性计算即可．【详解】（1）22441x x y +−+① ()22441x x y =++−2221()x y =+−()()2121x y x y =++−+268x x −+②2691x x =−+− 2(3)1x =−−()()3131x x =−−−+ ()()42x x =−−（2）222446170a b c a b c ++−−−+=Q ，()()()2224444690a a b b c c ∴−++−++−+=．222(2)(2)(3)0a b c ∴−+−+−=．2a ∴=，2b =，3c =．2237a b c ∴++=++=．ABC ∴的周长为7．【易错必刷九 综合提公因式和公式法分解因式】1．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列因式分解中，结果正确的有（ ）个．①()322221m m m m −=−；②()()2422x x x x x −=+−；③()()22416422x y x y x y −=+−；④()()2282222a b b b a b a b −=+−；⑤()22248422x xy y x y ++=+． A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D 【分析】本题考查的知识点是因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解的计算方法．根据提公因式法、公式法分别对五个式子进行判断，综合所有结果即可求解．【详解】解：①()()()322221211m m m m m m m −=−=+−，因此①不正确； ②()244x x x x −=−，因此②不正确； ③()()()222241644422x y x y x y x y −=−=+−，因此③正确； ④()2228224a b b b a b −=−，因此④不正确； ⑤()()22222484424x xy y x xy y x y ++=++=+，因此⑤不正确；综上所述，结果正确的有③，故选：D ．2．（23-24九年级下·湖北荆州·阶段练习）分解因式：2231212ax axy ay −+= ．【答案】()232a x y −【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式3a ，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：2231212ax axy ay −+()22344a x xy y =−+()232a x y =−，故答案为：()232a x y −．3．（22-23八年级下·广东深圳·期中）将下列多项式因式分解：(1)()()22162x x x −−−(2)()()269m n n m −−−+【答案】(1)()()()244x x x −−+(2)()23m n −+【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．（1）首先对各项提取公因式()2x −，再利用平方差公式进行因式分解，即可解答；（2）将原式转化为()()269m n m n −+−+，然后结合完全平方公式进行因式分解，即可解答． 【详解】（1）解：()()22162x x x −−− ()()2216x x =−−()()()244x x x =−−+；（2）解：()()269m n n m −−−+ ()()269m n m n =−+−+()23m n ⎡⎤=−+⎣⎦()23m n =−+．4．（23-24八年级上·贵州黔东南·阶段练习）下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．分解因式∶()()2233x y x y +−+．解∶原式()()3333x y x y x y x y =++++−−……第一步 ()()4422x y x y =+−……第二步()()8x y x y =+−……第三步()228x y =−．……第四步任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母a ，b 表示为 ；任务二：以上分解过程第 步出现错误，具体错误为 ，分解因式的正确结果为 ．【答案】任务一：()()22a b a b a b −=+−；任务二：四，进行乘法运算，()()8x y x y +−【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．任务一：根据平方差公式求解即可；任务二：根据因式分解的概念求解即可．【详解】任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母a ，b 表示为()()22a b a b a b −=+−；任务二：以上分解过程第四步出现错误，具体错误为进行乘法运算，分解因式的正确结果为()()8x y x y +−．【易错必刷十 因式分解在有理数简算中的应用】1．（21-22八年级下·陕西西安·期末）利用因式分解计算：22111021198⨯−⨯的结果是（ ）A ．44B ．800C ．2200D ．8800 【答案】D【分析】先提出11，再根据平方差公式计算即可．【详解】解：22111021198⨯−⨯()221110298=⨯−()()111029810298=⨯+− 112004=⨯⨯8800=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了应用因式分解计算，掌握平方公式是解题的关键．即22()()a b a b a b −=+−．2．（22-23八年级上·福建泉州·期中）计算：2202220222021−⨯= ．【答案】2022【分析】根据有理数的乘法运算律计算，即可求解．【详解】解：2202220222021−⨯()202220222021=⨯−20221=⨯2022=．故答案为：2022【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法运算律是解题的关键．3．（23-24八年级下·全国·课后作业）用简便方法计算：(1)222 023 4 044 2 023 2 022−⨯+；(2)222011.54011.59.5209.5⨯−⨯⨯+⨯．【答案】(1)1(2)80【分析】本题考查的是完全平方公式的灵活运用，熟记完全平方公式的特点是解本题的关键；（1）把原式化为2220232202220232022−⨯⨯+，再利用完全平方公式进行计算即可；（2）把原式化为()222011.5211.59.59.5⨯−⨯⨯+，再利用完全平方公式进行计算即可；【详解】（1）解：222023404420232022−⨯+2220232202220232022=−⨯⨯+()22023-2022=1=． （2）222011.54011.59.5209.5⨯−⨯⨯+⨯()222011.5211.59.59.5=⨯−⨯⨯+ ()22011.59.5=⨯−2202=⨯ 80=．4．（2023八年级上·全国·专题练习）利用乘法公式简便计算．(1)2202020222021⨯−(2)223.672 6.328 6.3287.344++⨯【答案】(1)1−(2)100【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知平方差公式和完全平方公式是解题的关键．（1）把原式变形为()()220211202112021−⨯+−，再利用平方差公式进行求解即可；（2）原式根据完全平方公式变形为()23.672 6.328+，据此求解即可． 【详解】（1）解：原式()()220211202112021=−⨯+−222202112021=−−1=−； （2）解：原式223.672 6.328 6.328 3.6722++⨯⨯=()23.672 6.328=+210=100=．【易错必刷十一 十字相乘法】1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）若23x −是多项式2212x mx +−（m 为系数）的一个因式，则m 的值是（ ）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】本题考查了因式分解的十字相乘法，利用十字相乘法很容易确定m 的值，解题的关键是熟练掌握十字相乘法．【详解】解：∵多项式2212x mx +−分解因式后含有因式23x −，()()222122342512x mx x x x x ∴+−=−+=+−，则5m =，故选：C ． 2．（2023·山东菏泽·三模）分解因式：3223x x x −+= ．【答案】()()31x x x +−【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先提取公因式，再用十字相乘法分解因式即可．【详解】3223x x x +−()223x x x =+−()()31x x x =+−．故答案为：()()31x x x +−．3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）把2412m m +−分解因式．【答案】()()26m m −+【分析】本题主要考查了因式分解．运用十字相乘法进行分解因式，即可．【详解】解：()()241226m m m m +−=−+．4．（23-24七年级上·山西朔州·期末）阅读下列材料：材料1：将一个形如2x px q ++的二次三项式因式分解时，如果能满足q mn =且p m n =+，则可以把2x px q ++因式分解成()()x m x n ++．①()()24313x x x x ++=++；②()()241262x x x x −−=−+．材料2：分解因式：()()221x y x y ++++．解：将“x y +”看成一个整体，令x y A +=，则原式()22211A A A =++=+，再将“A ”还原，得原式()21x y =++．上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，结合材料1和材料2，完成下面小题：(1)分解因式：()()243x y x y −+−+．(2)分解因式：()()22223m m m m ++−−．【答案】(1)()()13x y x y −+−+(2)()()()2113m m m +−+【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式，（1）令A x y =−，仿照例题解答即可；（2）令22B m m =+，先计算乘法，再因式分解即可．【详解】（1）解：令A x y =−，则原式()()24313A A A A =++=++，∴()()()()24313x y x y x y x y −+−+=−+−+；（2）令22B m m =+，则原式()()()2232313B B B B B B =−−=−−=+−.∴原式()()()()()2222123113m m m m m m m =+++−=+−+.【易错必刷十二 分组分解法】1．（20-21八年级下·河南郑州·期中）将多项式2233x y x y −−+分解因式的结果为（）A ．()()3x y x y ++−B ．()()3x y x y −−−C ．()()3x y x y +−−D ．()()3x y x y −+−【答案】A【分析】先分组，然后根据提公因式法与平方差公式进行因式分解即可求解．【详解】解：2233x y x y −−+()()()3x y x y x y =+−+−()()3x y x y =++−，故选：A ．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．2．（22-23八年级上·广西南宁·期中）分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解多项式．例如：()()()()()()22222221m n mn m n m mn n m n m n m n m n m n +−+−=−++−=−+−=−−+．根据上述方法，解决问题：已知a b c 、、是ABC 的三边，且满足220a b ac bc −+−=，则ABC 的形状是 ． 【答案】等腰三角形【分析】利用平方差公式和提公因式法将所给条件式变形为()()0a b c a b ++−=，由此推出a b =，据此可得答案．【详解】解：∵220a b ac bc −+−=， ∴()()220a b ac bc −+−=， ∴()()()0a b a b c a b +−+−=， ∴()()0a b c a b ++−=，∵0a b c ++≠，∴0a b −=，即a b =，∴ABC 的形状是等腰三角形，故答案为：等腰三角形．【点睛】本题主要考查了分解因式的应用，等腰三角形的判定，正确利用分组分解法分解因式是解题的关键．3．（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）先阅读下面的材料，再分解因式．要把多项式am an bm bn +++分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出a ，再把它的后两项分成一组，并提出b ，从而得()()am an bm bn a m n b m n +++=+++．这时，由于()()a m n b m n +++中又有公因式m n +，于是可提公因式m n +，从而得到()()m n a b ++，因此有()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n m n a b +++=+++=+++=++．这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式．(1)请用上面材料中提供的方法分解因式：①2ab ac bc b −+−；②222248x y x y y −−+．(2)已知ABC 的三边长为a ，b ，c ，并且2220a b c ab bc ca +−−+−=，试判断此三角形的形状．【答案】(1)①()()b c a b −−；②()()224y x y −−(2)等边三角形【分析】本题考查了因式分解、等边三角形的判定，熟练掌握分组分解法是解题关键．（1）①利用分组分解法分解因式即可得；②利用分组分解法分解因式即可得；（2）根据已知等式可得()22220a b c ab bc ca ++−−−=，再利用分组分解法分解等式的左边，然后根据偶次方的非负性求解即可得．【详解】（1）解：①2ab ac bc b −+−()()2ab ac b bc =−−−()()a b c b b c =−−−()()b c a b =−−； ②222248x y x y y −−+()()222248x y x y y =−−−()()2242x y y y =−−− ()()224y x y =−−．（2）解：2220a b c ab bc ca ++−−−=，()22220a b c ab bc ca ∴++−−−=，()()()2222222220a ab b b bc c a ca c ∴−++−++−+=， 即()()()2220a b b c a c −+−+−=，0,0,0a b b c a c ∴−=−=−=，a b c ==∴，∴ABC 是等边三角形．4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“222m mn m n −+−”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为()()()()()()22222222m mn m n m mn m n m m n m n m n m −+−=−+−=−+−=−+．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题：(1)因式分解：323618a a a −+−；(2)因式分解：222ax a ab bx b +−−+．【答案】(1)()()236a a −+(2)()()a b a b x −−+【分析】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组分解是解题关键．（1）首先将前两项组合提取公因式，后两项组合提取公因式，然后提取新的公因式即可；（2）首先分别将222a ab b −+与ax bx −组合，利用完全平方公式分解因式，然后提取新的公因式即可．【详解】（1）解：323618a a a −+−()()2363a a a =−+−()()236a a =−+；（2）222ax a ab bx b +−−+()()222a ab b ax bx =−++−()()2a b x a b =−+−()()a b a b x =−−+．【易错必刷十三 因式分解的应用】1．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式44x y −，因式分解的结果是()()()22x y x y x y −++，若取9x =，9y =，则各个因式的值是：0x y −=，18x y +=，22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy −，取52x =，28y =，用上述方法产生的密码不可能是（ ）A ．528024B ．522824C ．248052D ．522480。
用乘法公式分解因式(分层练习)-2022-2023学年七年级数学下册同步精品课堂(浙教版)
第4章 因式分解4.3 用乘法公式分解因式精选练习（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）1. 下列因式分解正确的是（ ）A. ()222x xy y x y ++=+ B. ()()25623x x x x --=--C. ()3244x x x x -=- D. ()()22943232m n m n m n -=+-（2023春·七年级课时练习）2. 用分组分解2222a b c bc --+的因式，分组正确的是（ ）A. ()()222a b b bc --- B. ()2222a b c ab --+C. ()()2222a b c bc --- D. ()2222a b c bc -+-（2023春·广东佛山·七年级佛山市第四中学校联考阶段练习）3. 如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长为b 的正方形卡片4张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ）A. 2+a bB. 4a b +C. 2a b +D. 3a b +（2023春·全国·七年级专题练习）4. 已知2022202020212021202120202022x -=⨯⨯，则x 的值为（ ）A. 2023B. 2022C. 2021D. 2020（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）5. 已知3b a -=，2ab =，计算：22a b ab -等于（ ）A. 6-B. 6C. 5D. 1-（2023春·七年级课时练习）6. 已知120212022a x =-+，120222022b x =-+，120232022c x =-+，那么，代数式222a b c ab bc ac ++---的值是（ ）A. 2022-B. 2022C. 3-D. 3（2023秋·广东韶关·八年级统考期末）7. 若+=3,+=1a b x y ，则代数式22+2++2 015a ab b x y －－的值是（ ）A. 2019B. 2017C. 2024D. 2023（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）8. 已知多项式224A x x n =++，多项式222633B x x n =+++．（1）2B A -≥；（2）若A B +=，4A B ⋅=-，则8A B -=-；（3）代数式22591262032A B A B A +-⋅-+的最小值为2023．以上结论正确的个数有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个（2022·湖南湘潭·校考一模）9. 分解因式：2288x x -+=_____．（2022秋·河南安阳·八年级统考期末）10. 如图，长与宽分别为a 、b 的长方形，它的周长为14，面积为10，则32232a b a b ab ++的值为________．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）11. 当12s t -=时，代数式22242s st t -+的值为______________．（2023春·全国·七年级专题练习）12. 若2310x x x +++=，则23201920201x x x x x ++++⋯++的值________．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）13. 阅读材料：对于任何实数，我们规定符号a b c d 的意义是a b ad bc c d=-，例如：121423234=⨯-⨯=-，按照这个规定请你计算：当2440x x -+=时，12123x x x x +--的值是__________．（2023春·江苏·七年级专题练习）14. 阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：()()22356x x x x ++=++；()()21323x x x x -+=+-．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：()()256=23x x x x ++++；()()223=13x x x x --++．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子223x x +-分解因式．这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()3=13--⨯，一次项系数()2=13-+，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：()()223=13x x x x --++．利用这种方法，将下列多项式分解因式：（1）2710=x x ++_______________；（2）223=x x --_________________；（3）2712=y y +-_________________；（4）2718=x x -+______________________．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）15. 因式分解：（1）22432a c c ac --+（2）()224216a b b --（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛第七中学校考期中）16. 因式分解：（1）22()9()a x yb y x -+-（2）()222224x y x y +-（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）17. 阅读材料：教科书中提到“222a ab b ++和222a ab b -+这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．例如：分解因式：()()()()()22222321412121213x x x x x x x x x --=-+-=--=-+--=+-求代数式223x x --的最小值()2222321414x x x x x --=-+-=--∵()210x -≥，∴当1x =时，代数式223x x --有最小值4-．结合以上材料解决下面的问题：（1）分解因式：267x x --；（2）当a ，b 为何值时，222242023a ab b b -+++有最小值？最小值是多少？（2023秋·重庆黔江·八年级统考期末）18. 阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由()()()2x p x q x p q x pq ++=+++得，()()()2x p q x pq x p x q +++=++；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子256x x ++分解因式．分析：这个式子的常数项623=⨯，一次项系数523=+，所以()22562323x x x x ++=+++⨯．解：()()25623x x x x ++=++．请依照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：2712x x ++；（2）分解因式：()()222332x x -+--；（3）若28x px +-可分解为两个一次因式的积，请写出整数p 的所有可能的值．（2023秋·云南昆明·八年级统考期末）19. （1）【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形（如图1），把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a ，b 的等式①______．（2）【知识迁移】在边长为a 的正方体上挖去一个边长为b 的小正方体后，余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）．根据它们的体积关系得到关于a ，b 的等式为②33a b -=______．（结果写成整式的积的形式）（3）【知识运用】已知4a b -=，3ab =，求33a b -的值．（2022春·湖南永州·七年级统考期中）20. 提出问题：你能把多项式256x x ++因式分解吗？探究问题：如图1所示，设a ，b 为常数，由面积相等可得：22()()()x a x b x ax bx ab x a b x ab ++=+++=+++，将该式从右到左使用，就可以对形如2()x a b x ab +++的多项式进行进行因式分解即2()()()x a b x ab x a x b +++=++．观察多项式2()x a b x ab +++的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．解决问题：2256(23)23(3)(2)x x x x x x ++=+++⨯=++运用结论：（1）基础运用：把多项式2524x x --进行因式分解．（2）知识迁移：对于多项式24415x x --进行因式分解还可以这样思考：将二次项24x 分解成图2中的两个2x 的积，再将常数项15-分解成5-与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为4x -，就是24415x x --的一次项，所以有24415(25)(23)x x x x --=-+．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：231914x x --（2023春·七年级课时练习）21. 将下列多项式因式分解，结果中不含因式(2)x +的是（ ）A. 224x x +B. 2312x -C. 26x x +- D. 2(2)8(2)16x x -+-+（2023·浙江宁波·校考一模）22. 如果328x ax bx +++能被232x x ++整除，则b a 的值是（ ）A. 2 B. 12 C.3 D. 13（2023春·全国·七年级专题练习）23. 计算22222111111111123456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）．A. 512 B. 12 C. 712 D. 1130（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考开学考试）24. 已知2211244m n n m +=--，则22m n -的值为（ ）A. 2- B. 0 C. 1- D. 14-（2023·全国·九年级专题练习）25. 已知当22x m n =++和2x m n =+时，多项式246x x ++的值相等，且20m n -+≠，则当1x m n =++时，多项式246x x ++的值等于（ ）A. 439 B. 1399 C. 3 D. 11（2023春·七年级单元测试）26. 对于两个整式，22,A a ab B b ab =+=+，有下面四个结论：（1）当2,3a b ==时，A 的值为10；（2）当7,9A m B m =+=-时，则4a b +=；（3）当0A a =≠时，则1a b +=；（4）当248A B b ab -=+时，则2a b =-或6a b =；以上结论正确的有（ ）．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个（2022秋·北京·八年级校考阶段练习）27. 在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如：对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =，9y =时，则各个因式的值是：()0x y -=，()18x y +=，()22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式329x xy -，取10x =，1y =时，用上述方法生成的密码可以是（ ）A. 101001B. 1307C. 1370D. 10137（2022秋·河南周口·八年级校考期末）28. 设m 、n 是实数，定义一种新运算：2()m n m n ⊗=-．下面四个推断正确的是（ ）A. m n n m⊗=⊗ B. 222()m n m n ⊗=⊗C. ()()m n p m n p ⊗⊗=⊗⊗ D. ()()()m n p m n m p ⊗-=⊗-⊗（2023·陕西渭南·统考一模）29. 因式分解：22x y y xy +-=________．（2023春·浙江·七年级专题练习）30. 利用配方法因式分解：22232a a a a +-=++______()2414a -=+-=______；（2023春·广东深圳·七年级坪山中学校考阶段练习）31. 已知12a a +=-，则441a a-的值是_____．（2023春·八年级课时练习）32. 已知2217m m +=（0m >），则代数式326103m m m -++=_____．（2023春·八年级课时练习）33. 若a 、b 是ABC 的两条边的长度，且满足226825a b a b +--=-，则ABC 面积的最大值是__________．（2022秋·全国·八年级专题练习）34. 阅读下面材料：分解因式：2232453x xy y x y +++++．因为()()22322x xy y x y x y ++=++，设()()22324532x xy y x y x y m x y n +++++=++++．比较系数得，425m n m n +=+=，．解得13m n ==，．所以()()2232453123x xy y x y x y x y +++++=++++．解答下面问题：在有理数范围内，分解因式2222111343x xy y x y ---+-=________．（2023春·浙江·七年级专题练习）35. 分解因式：（1）264a bc ab-（2）333x x -+（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）36. 因式分解（1）()()2294a x y b y x -+-（2）()2222214x y x y +-（2023·河北石家庄·统考一模）37. 发现：若两个已知正整数之差为奇数，则它们的平方差为奇数?若两个已知正整数之差为偶数，则它们的平方差为偶数．验证：如()22232+-=______________，()22343+-=______________．探究：设“发现”中的两个已知正整数为n ，n m +（两数之差为m ）．请论证“发现”中的结论的正确性．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）38. 如图，将一张长方形大铁皮切割成九块（切痕为虚线），其中有两块是边长都为cm a 的大正方形，两块是边长都为cm b 的小正方形，五块是长为cm a 、宽为cm b 的小长方形．（1）这张长方形大铁皮的长为____cm ，宽为_____cm ；（用含a 、b 的代数式表示）（2）求这张长方形大铁皮的面积S ；（用含a 、b 的代数式表示）（3）若一个小长方形的周长为22cm ，一个大正方形与一个小正方形的面积之差为233cm ，求a 、b 的值，并求这张长方形大铁皮的面积S ．（2023春·七年级课时练习）39. 把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：268a a ++．原式()()()()()2269131313124a a a a a a a =++-=+-=+-++=++②若222222M a ab b b =-+-+，利用配方法求M 的最小值：()()22222222222221111a ab b b a ab b b b a b b -+-+=-++-++=-+-+∵()20a b -≥，()210b -≥，∴当1a b ==时，M 有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：24a a ++______．（2）若231M a a =-+，求M 的最小值．（3）已知2222246130a b c ab b c ++---+=，求a b c ++的值．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）40. 我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到()()22232a b a b a ab b ++=++．请回答下列问题：（1）写出图②中所表示的数学等式______；（2）猜测()2a b c d +++=______．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知12a b c ++=，48ab bc ca ++=，求222a b c ++的值；（4）在（3）的条件下，若a 、b 、c 分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．第4章 因式分解4.3 用乘法公式分解因式精选练习（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）【1题答案】【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的方法进行逐一判断即可．【详解】解：A 、22x xy y ++不能进行因式分解，不符合题意；B 、()()25661x x x x --=-+，原因式分解错误，不符合题意；C 、()()()324422x x x x x x x -=-=+-，原因式分解错误，不符合题意；D 、()()22943232m n m n m n -=+-，因式分解正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键．（2023春·七年级课时练习）【2题答案】【答案】D【解析】【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可．【详解】解：2222a b c bc--+()2222a b c bc =-+-()22a b c =--()()a b c a b c =+--+．故选：D ．【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键．（2023春·广东佛山·七年级佛山市第四中学校联考阶段练习）【3题答案】【答案】A【解析】【分析】计算大正方形的面积，因式分解即可得到边长．【详解】解：大正方形的面积为()222442a b ab a b ++=+，∴大正方形的边长为2+a b ，故选：A ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，正确理解题意列得面积进行因式分解是解题的关键．（2023春·全国·七年级专题练习）【4题答案】【答案】D【解析】【分析】原式先提取公因式，再运用平方差公式进行计算即可求解．【详解】解：2022202020212021- ()20202202120211=⨯-()()202020212021120211=⨯+⨯-2020202220212020=⨯⨯，又2022202020212021202220212020x -=⨯⨯ ，2020202220212020202220212020x ∴⨯⨯=⨯⨯，2020x ∴=．故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）【答案】A【解析】【分析】先提取公因式ab ，再化为()ab b a --，再整体代入求值即可．【详解】解：∵3b a -=，2ab =，∴()()22236a b ab ab a b ab b a -=-=--=-⨯=-，故选：A【点睛】本题考查的是因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“提公因式分解因式”是解本题的关键．（2023春·七年级课时练习）【6题答案】【答案】D【解析】【分析】先求解1a b -=-，1b c -=-，2a c -=-，再把原式化为()()()22212a b b c a c ⎡⎤-+-+-⎣⎦，再代入求值即可．【详解】解：∵120212022a x =-+，120222022b x =-+，120232022c x =-+，∴1a b -=-，1b c -=-，2a c -=-，∴222a b c ab bc ac++---()=++---22212222222a b c ab bc ac ()()()22212a b b c a c =-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()11142=++ 3=；故选D ．【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“完全平方公式的应用”是解本题的关键．（2023秋·广东韶关·八年级统考期末）【答案】D【解析】【分析】把所给代数式变形后把+=3,+=1a b x y 代入计算即可．【详解】解：∵+=3,+=1a b x y ，∴22+2++2 015a ab b x y －－()()2+2 015a b x y =+-+231+2 015=-2023=．故选D ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算，也可以运用整体代入的思想，本题就利用了整体代入进行计算．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）【8题答案】【答案】C【解析】【分析】（1）把A ，B 代入化简后，根据完全平方公式变形为()()221111x n ++++≥，故（1）错误；（2）根据完全平方公式的变形可得8A B -=±，再由1B A -≥，可得8A B -=-，故（2）正确；（3）根据完全平方公式变形为()()2223320232023A B A -+-+≥，故（3）正确，即可．【详解】解：（1）()()222226334x x n B A x x n +++--+=+222226334x x n x x n =--+-++222223x x n n +++=+22221211x x n n +++++=+()()22111x n +++=+1≥，故（1）错误；（2）∵A B +=，∴()248A B +=，即22248A AB B +⋅+=∵4A B ⋅=-，∴2256A B +=，∴()222264A B A A B B -=-⋅+=，∴8A B -=±，∵1B A -≥，∴0A B -<，∴8A B -=-，故（2）正确；（3）22591262032A B A B A +-⋅-+2224129692023A AB B A A =-⋅++-++()()222332023A B A =-+-+2023≥，故（3）正确；故选：C【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形及其应用，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．（2022·湖南湘潭·校考一模）【9题答案】【答案】()222x -【解析】【分析】先提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：原式()2244x x -=+()222x =-．故答案为：()222x -．【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．（2022秋·河南安阳·八年级统考期末）【10题答案】【答案】490【解析】【分析】利用面积公式得到10ab =，由周长公式得到7a b +=，所以将原式因式分解得出()2ab a b +．将其代入求值即可．【详解】解：∵长与宽分别为a 、b 的长方形，它的周长为14，面积为10，∴10,7ab a b =+=，∴()()2322322222107490a b a b ab ab a ab b ab a b ++=++=+=⨯=．故答案为：490【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟记公式结构正确将原式分解因式是解题的关键．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）【11题答案】【答案】12【解析】【分析】将所求式子因式分解，再整体代入计算即可．【详解】解：∵12s t -=，∴22242s st t -+()2222s st t =-+()22s t =-2122⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭12=故答案为：12．【点睛】此题主要考查了代数式求值，因式分解，正确将原式变形得出是解题关键．（2023春·全国·七年级专题练习）【12题答案】【答案】1【解析】【分析】对所求代数式每相邻四项为一组提取公因式，然后代入已知条件式进行求解即可．【详解】解：2310x x x +++= ，∴原式()()()234567820172018201920201x x x x x x x x x x x x =+++++++++⋯++++()()()235232017231111x x x x x x x x x x x x =+++++++++⋯++++1000=+++⋯+1=．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解答本题的关键是把原式每相邻的四项提取公因式，此题难度不大．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）【13题答案】【答案】1-【解析】【分析】根据：2440x x -+=时，可得：2(2)0x -=，据此求出x 的值是多少，进而求出12123x x x x +--的值是多少即可．【详解】解：2440x x -+= 时，2(2)0x ∴-=，20x ∴-=，解得2x =，∴12123x xx x +--3411=3141=⨯-⨯34=-1=-故答案为：1-．【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2023春·江苏·七年级专题练习）【14题答案】【答案】 ①. ()()25x x ++ ②. ()()31x x -+ ③.()()34y y -- ④. ()()92x x +-【解析】【分析】根据题意，（1）将式子2710x x ++分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项10=25⨯，一次项系数7=25+；（2）将式子223x x --分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()3=13-⨯-，一次项系数()2=1+3--；（3）将式子2712y y -+分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()()12=34-⨯-，一次项系数()7=3+4---；（4）将式子2718x x +-分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()18=29--⨯，一次项系数7=2+9-．【详解】（1）将式子2710x x ++分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项10=25⨯，一次项系数7=25+，∴()()2710=25x x x x ++++．（2）将式子223x x --分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()3=13-⨯-，一次项系数()2=1+3--，∴()()223=31x x x x ---+．（3）将式子2712y y -+分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()()12=34-⨯-，一次项系数()7=3+4---，∴()()2712=34y y y y +---．（4）将式子2718x x +-分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()18=29--⨯，一次项系数7=2+9-，∴()()2718=92x x x x -++-．故答案为：（1）()()25x x ++，（2）()()31x x -+，（3）()()34y y --，（4）()()92x x +-．【点睛】本题主要考查了因式分解－十字相乘法，根据题意可知a 、b 是相互独立的，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a 、b 的值是解题的关键．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）【15题答案】【答案】（1）()22c a c --（2）()44a a b -【解析】【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解；（2）先提公因式，再利用平方差公式分解．【小问1详解】解：22432a c c ac --+()2222c a c ac =-+-()22c a c =--；【小问2详解】()224216a b b --()22424a b b ⎡⎤=--⎣⎦()()42222a b b a b b =-+--()44a a b =-【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛第七中学校考期中）【16题答案】【答案】（1）()()()33x y a b a b -+-（2）()()22x y x y +-【解析】【分析】（1）先提公因式()x y -，然后根据平方差公式进行计算即可求解；（2）先根据完全平方公式展开，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解．【小问1详解】解：22()9()a x y b y x -+-()()229x y a b =--()()()33x y a b a b =-+-；【小问2详解】解：()222224x y x y +-42242224x x y y x y =++-()222x y =-()()22x y x y =+-．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法以及乘法公式是解题的关键．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）【17题答案】【答案】（1）()()17+-x x ；（2）2a b ==-时，最小值为2019．【解析】【分析】（1）将多项式加9再减9，利用配方法可得；（2）将多项式配方后可得结论．【小问1详解】解：267x x --26916x x =-+-()2234x =--()()3434x x =-+--()()17x x =+-；【小问2详解】解：222242023a ab b b -+++2222442019a ab b b b =-+++++()()2222019a b b =-+++，∵()20a b -≥，()220b +≥，∴当0a b -=，20b +=，即2a b ==-时，原代数式有最小值，最小值为2019．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键．（2023秋·重庆黔江·八年级统考期末）【18题答案】【答案】（1）()()34++x x（2）()()()()2211x x x x +-+-（3）7±，2±【解析】【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；（2）将23x -看作整体，利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解可得；（3）找出所求满足题意p 的值即可．【小问1详解】解：()()271234x x x x ++=++【小问2详解】解：原式()()223132x x =---+()()2241x x =--()()()()2211x x x x =+-+-；【小问3详解】解：若28x px +-可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能的值是：817-+=-；187-+=；242-+=；422-+=-，即整数p 的所有可能的值是：7±，2±．【点睛】此题考查了因式分解——十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键．（2023秋·云南昆明·八年级统考期末）【19题答案】【答案】【知识再现】()()22a b a b a b -=+-；【知识迁移】()()22a b a ab b -++；【知识运用】100．【解析】【分析】（1）由题意可知，图1 阴影面积为大正方形面积减小正方形面积，图2剪拼后一个长方形长为()a b +，宽为()a b -，据此列等式即可得到答案；（2）由题意可知，图3的体积为大正方形体积减小正方形体积，图4切割拼成的几何体正面面积为()22a ab b ++，高为()a b -，据此列等式即可得到答案；（3）先利用完全平方公式求出2222a b +=，再根据结论对33a b -进行变形，即可计算求值．【详解】（1）【知识再现】解：根据题意可得：()()22a b a b a b -=+-，故答案为：()()22a b a b a b -=+-；（2）【知识迁移】解：根据题意可得：()()3322a b a b a ab b -=-++，故答案为：()()22a b a ab b -++；（3）【知识运用】4a b -= ，3ab =，()222216622a b a b ab ∴+=-+=+=，()()()33224223425100a b a b a ab b ∴-=-++=⨯+=⨯=．【点睛】本题考查了因式分解的应用，利用数形结合的方法解决问题是解题关键．（2022春·湖南永州·七年级统考期中）【20题答案】【答案】（1）()()83x x -+（2）327()()x x +-【解析】【分析】（1）把24-拆成83-⨯即可；（2）把23x 拆成3x x ⋅，把-14拆成()27⨯-即可．【小问1详解】解：()()2524 83x x x x --=-+；【小问2详解】解：231914(32)(7)x x x x --=+-．【点睛】本题属于阅读理解题型，考查了因式分解的十字相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律．（2023春·七年级课时练习）【21题答案】【答案】C【解析】【分析】将四个选项的式子分别进行因式分解，即可作出判断．【详解】A 、2242(2)x x x x +=+，故该选项不符合题意；B 、223123(4)3(2)(2)x x x x -=-=+-，故该选项不符合题意；C 、26(2)(3)x x x x +-=-+，故该选项符合题意；D 、()()222(2)8(2)16242x x x x -+-+=-+=+，故该选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解，涉及提公因式法、公式法、十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．（2023·浙江宁波·校考一模）【22题答案】【答案】A【解析】【分析】先把232x x ++因式分解为(2)(1)x x ++，找到进而得到21--，是方程328=0x ax bx +++的根，代入整理得2b a =，计算即可解题．【详解】解：∵232=(2)(1)x x x x ++++∴328x ax bx +++能被(2)(1)x x ++整除，即21--，是方程328=0x ax bx +++的根，∴84280180a b a b -+-+=⎧⎨-+-+=⎩，解得20a b -=，∴2b a =，∴=2b a，故选A ．【点睛】本题考查整除问题，转化为求方程的解是解题的关键．（2023春·全国·七年级专题练习）【23题答案】【答案】C【解析】【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．【详解】原式111111111111111111112233445566⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13243546572233445566=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，1726=⨯，712=，故选：C ．【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考开学考试）【24题答案】【答案】A【解析】【分析】首先根据2211244m n n m +=--，可得：()()2222m n ++-＝0，据此求出m 、n 的值各是多少，然后代入即可．【详解】解：2211244m n n m +=-- ，22448m n n m ∴+--=，()()2244440m m n n +-∴+++=，()()22220m n ∴++-=，20m ∴+=，20n -=，解得：2m =-，2n =，22m n∴-11=--2=-．故选：A ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，熟练掌握解题的方法是解题的关键．（2023·全国·九年级专题练习）【25题答案】【答案】C【解析】【分析】根据22x m n =++和2x m n =+时，多项式246x x ++的值相等，得到20m n -+=或20m n ++=，由20m n -+≠，得到20m n ++=，推出=1x -，即可得解．【详解】∵22x m n =++和2x m n =+时，多项式246x x ++的值相等，∴()()()()222242262426m n m n m n m n ++++++=++++，∴()()222422m n m n ++=++，∴()()2202422m n m n +-++=+∴()()242224220m n m n m n m n +++++++---=，即：()()3220m n m n ++-+=，∴20m n -+=或20m n ++=，∵20m n -+≠，∴20m n ++=，当1x m n =++时，=1x -，∴()()224614163x x ++=-+⨯-+=；故选C ．【点睛】本题考查代数式求值．解题的关键是利用整体思想，求出x 的值．（2023春·七年级单元测试）【26题答案】【答案】C【解析】【分析】将2,3a b ==代入代数式即可判断（1）计算()2A B a b +=+，又16A B +=根据平方根的定义即可判（2），利用因式分解即可判断（3）（4）．【详解】解：22,A a ab B b ab=+=+（1）当2,3a b ==时，A =2222310a ab +=+⨯=,故（1）正确；（2）∵()222A B a ab ab b a b +=+++=+又当7,9A m B m =+=-时，16A B +=∴4a b +=±，故（2）不正确（3）∵()2A a ab a a b =+=+，当0A a =≠时，则1a b +=；故（3）正确（4）∵222244434A B a ab b ab a ab b -=+--=--当248A B b ab -=+时，则222348a ab b b ab--=+∴224120a ab b --=即()()260a b a b +-=∴2a b =-或6a b =，故（4）正确；故选：C ．【点睛】本题考查了代数式求值，因式分解的应用，整式的加减，正确的计算是解题的关键．（2022秋·北京·八年级校考阶段练习）【27题答案】【答案】D【解析】【分析】首先对多项式提公因式，再利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算，即可确定出密码．【详解】解：329x xy -()229x x y =-()()33x x y x y =+-，当10x =，1y =时，10x =，310313x y +=+=，31037x y -=-=，∴上述方法生成的密码可以是10137．故选：D【点睛】本题考查了因式分解的应用，涉及分解因式的方法有：提公因式法，以及平方差公式法，属于阅读型的新定义题，其中根据阅读材料得出产生密码的方法是解本题的关键．（2022秋·河南周口·八年级校考期末）【28题答案】【答案】A【解析】【分析】各式利用题中的新定义判断即可．【详解】解：根据题中的新定义得：A ．()2m n m n ⊗=-，()2n m n m ⊗=-，故推断正确；B ．()()2242()m n m n m n ⎡⎤⊗=-=-⎣⎦，()()()()()22222222m n m n m m m n m n n n =-=+-=+-⎡⎤⎣⎦⊗，故推断不正确；C ．()()222()m n p m n p m n p ⎡⎤⊗⊗=-⊗=--⎣⎦，()()222()m n p m n p m n p ⎡⎤⊗⊗=⊗-=--⎣⎦，故推断不正确；D ．()()22()m n p m n p m n p ⊗-=--=-+⎡⎤⎣⎦，()()()()()()()()22()()2m n m p m n m p m n m p m n m p m n p p n ⊗-⊗=---=-+----=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故推断不正确．故选：A ．【点睛】此题考查了整式的运算和因式分解，弄清题中的新定义是解本题的关键．（2023·陕西渭南·统考一模）【29题答案】【答案】()21y x -【解析】【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式进行因式分解．【详解】解：()()2222211x y y xy y x x y x +-=-+=-，故答案为：()21y x -．【点睛】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，正确运用完全平方公式分解因式是解题关键．（2023春·浙江·七年级专题练习）【30题答案】【答案】①. 1 ②. ()()31a a +-【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式求解即可．【详解】解：223a a +-2214a a =++-()214a =+-()()1212a a =+++-()()31a a =+-，故答案为：1；()()31a a +-．【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．（2023春·广东深圳·七年级坪山中学校考阶段练习）【31题答案】【答案】0【解析】【分析】利用完全平方公式进行计算即可求得221a a +和1a a -的值，再将441a a-利用平方差公式进行因式分解，即可求解．【详解】解： 12a a +=-，2221124a a a a ⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭，2212a a ∴+=，又 222112a a a a ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，210a a ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，10a a ∴-=．422242*********a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=++-= ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴．故答案为：0．【点睛】本题考查了代数式求值，因式分解，解题的关键是灵活运用完全平方公式和平方差公式，注意整体带入的思想．（2023春·八年级课时练习）【32题答案】【答案】6【解析】【分析】先将2217m m +=变形为219⎛⎫+= ⎪⎝⎭m m ，再根据0m >得出13m m +=即231m m -=-，最后对326103m m m -++进行因式分解即可求解．【详解】解：∵2217m m +=，∴221272m m ++=+，∴219⎛⎫+= ⎪⎝⎭m m ，∵0m >，∴13m m+=，∴231m m -=-，∵326103m m m -++3223393m m m m m =--+++()()()23333m m m m m =---++()()()2333m m m m =--++()()313m m =-⨯-++33m m =-+++6=，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了完全平方公式及因式分解，掌握完全平方公式及因式分解的方法是解题的关键．（2023春·八年级课时练习）【33题答案】【答案】6【解析】【分析】利用因式分解得到()()22340a b -+-=，利用非负性，求出,a b 的值，再根据两条边互相垂直时，三角形的面积最大，进行求解即可．【详解】解：∵226825a b a b +--=-，∴2268250a b a b +--+=∴()()22340a b -+-=，∵()()2200,34a b ≥--≥，∴30,40a b -=-=，∴3,4a b ==，设：,AC b BC a ==，∵直角三角形的斜边大于直角边，∴BC 边上高AC ≤，∴当AC BC ⊥时，ABC 的面积最大，最大值为1134622ab =⨯⨯=；故答案为：6．【点睛】本题考查因式分解的应用，以及非负性．熟练掌握因式分解的方法，以及非负数的和为0，每一个非负数均为0，是解题的关键．（2022秋·全国·八年级专题练习）【34题答案】【答案】()()23111x y x y +--+【解析】【分析】先用十字相乘法分解因式得到()()2222111211x xy y x y x y --=+-，再设()()2222111343211x xy y x y x y m x y n ---+-=++-+，比较系数得到211134m n m n +=--+=，，解方程组即可求解．【详解】解：∵()()2222111211x xy y x y x y --=+-，设 ()()2222111343211x xy y x y x y m x y n ---+-=++-+，比较系数得，211134m n m n +=--+=，，解得31m n =-=，，∴()()222211134323111x xy y x y x y x y ---+-=+--+，故答案为：()()23111x y x y +--+．【点睛】本题考查分组分解法分解因式，十字相乘法分解因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．（2023春·浙江·七年级专题练习）【35题答案】【答案】（1）2(32)ab ac -（2）3(1)(1)x x x +-【解析】【分析】（1）用提公因式法因式分解即可；（2）先用提公因式，再根据平方差公式分解因式即可．【小问1详解】264a bc ab-解：原式2(32)ab ac =-【小问2详解】333x x -+解：原式23(1)x x =-3(1)(1)x x x =+-【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）【36题答案】【答案】（1）()()()3232a b a b x y +--（2）()()2211xy xy -+【解析】【分析】（1）先提取公因式()x y -，然后利用平方差公式分解因式即可；（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【小问1详解】解：()()2294a x y b y x -+-()()2294a x y b x y =---()()2294a b x y =--()()()3232a b a b x y =+--；【小问2详解】解：()2222214x y x y +-()()22221212x y xy x y xy =+++-()()2211xy xy =-+．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．（2023·河北石家庄·统考一模）【37题答案】【答案】验证：21，40；探究：见解析【解析】【分析】验证：；根据算式计算出结果即可；探究：根据完全平方公式，合并同类项法则计算，再分解因式即可求解；【详解】解：验证：()22222325225421+-=-=-=；()22223437349940+-=-=-=；故答案为：21，40探究：()22n m n +-()2222222n nm m n nm m m n m =++-=+=+当m 为奇数时，2n 为偶数，则2n m +为奇数，所以()2m n m +为奇数；当m 为偶数时，2n 为偶数，则2n m +为偶数，所以()2m n m +为偶数；【点睛】本题考查了完全平方公式的计算，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的式子的规律，写出相应的结论并进行验证．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）【38题答案】【答案】（1）()2a b +，()2b a +（2）22252a ab b ++（3）7a =，4b =，2270cm 【解析】【分析】（1）根据图形可知张长方形大铁皮长为(2)cm a b +，宽为(2)cm a b +；（2）根据长方形面积公式即可求出面积表达式；（3）根据题意列出方程，联立求值．【小问1详解】解：这张长方形大铁皮长为(2)a b +厘米，宽为(2)b a +厘米；故答案为：(2)a b +，(2)b a +；【小问2详解】根据题意得：2222(2)(2)422252a b b a ab a b ab a ab b ++=+++=++（平方厘米）；【小问3详解】根据题意得：2()22a b +=，2233a b -=，整理得：11a b +=，()()33a b a b +-=，解得：3a b -=，7a ∴=，4b =，225221409832270ab a b ∴++=++=，则这张长方形大铁皮的面积为270平方厘米．【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，解答本题的关键是理解题意，列出等式方程．（2023春·七年级课时练习）【39题答案】【答案】（1）4。
2024年中考数学复习-乘法公式考点培优练习
乘法公式考点培优练习考点直击 1.乘法公式是由多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论：① 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.(a +b )(a −b )=a²−b²②完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减去)它们的积的2倍.(a ±b )²=a²±2ab +b²2.对乘法公式的理解，重在突出代数推理思想的应用，在课本的基础上，常用的乘法公式还有：①(a −b )(a²+ab +b²)=a³−b³;②(a +b )(a²−ab +b²)=a³+b³;③(a +b )³=a³+3a²b +3ab²+b³④(a −b )³=a³−3a²b +3ab²−b³;(a +b +c )²=a²+b²+c²+2ac +2bc +2ab⑥(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac) =a³+b³+c³-3abc;⑦ (a −b )(a n−1+a n−2b +a n−3b 2+⋯+ab n−2+b n−1)=a n −b n ;⑧ (a +b )(a 2n −a 2n−1b +a 2n−2b 2−⋯−ab 2n−1+b 2n )=a 2n+1+b 2n+1.例题精讲例1 南山植物园中现有A ，B 两个园区，已知A 园区为长方形，长为(x+y)米,宽为(x-y)米;B 园区为正方形,边长为(x+3y)米.(1)请用代数式表示 A ，B 两园区的面积之和并化简；(2)现根据实际需要对A 园区进行整改，长增加(11x-y)米，宽减少(x-2y)米，整改后A 区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米.①求x,y 的值;②若 A 园区全部种植C 种花，B 园区全部种植D 种花，且C ，D 两种花投入的费用与吸引游客的收益如表：求整改后A ，B 两园区旅游的净收益之和.(净收益=收益-投入)【思路点拨】(1)根据长方形的面积公式和正方形的面积公式分别计算A ，B 两园区的面积，再相加即可求解；(2)①根据等量关系：整改后A 区的长比宽多350米，整改后两园区的周长之和为980米，列出方程组求出x ，y 的值；② 代入数值得到整改后A ，B 两园区的面积之和，再根据净收益=收益—投入，列式计算即可求解.举一反三1 (湖北中考)如图所示，图1是一个边长为a 的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个边长为(a-1)的正方形，记图1、图2中阴影部分的面积分别为S ₁，S ₂，则 S 1S 2可化简为 .举一反三2 有相邻的两块长方形土地，大小如图所示( (a⟩100,单位：m)，出售土地的价格有如下两种不同方式：方式一：左边大的长方形土地x万元，/m²,，右边小的长方形土地y万元/m²;万元/m².方式二：全部土地x+y2(1)分别求出按两种方式出售全部的土地的收入是多少万元.(2)比较按两种方式出售全部土地的收入的大小关系.举一反三3 某公园计划砌一个形状如图1的喷水池，后来有人建议改为图2的形状，且外圆的直径不变，请你比较两种方案，确定哪一种方案砌各圆形水池的周边需用的材料多.(友情提示：比较两种方案中各圆形水池周长的和)举一反三4 某全民健身中心游泳场设计方案如图所示，A 区为成人泳区，B 区为儿童泳区，其余地区为草坪.(1)游泳区和草坪的面积各是多少?(2)如果游泳场需要有不少于一半的草坪，那么这个设计方案符合要求吗?例2 (广东中考)阅读材料：把形如ax²+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫作配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a²±2ab+b²=(a±b)².例如：(x−1)2+3,(x−2)2+2x,(12x−2)2+34x2是x²−2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项).请根据阅读材料解决下列问题：(1)比照上面的例子，写出x²−4x+2三种不同形式的配方；(2) 将a²+ab+b²配方(至少两种形式)；(3) 已知a²+b²+c²−ab−3b−2c+4=0求a+b+c的值.【思路点拨】(1)(2)考查对完全平方公式的应用能力，由题中所给的已知材料可得x²−4x+2和a²+ab+b²的配方也可分别写成“余项”是常数项、一次项、二次项的三种不同形式；(3)通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值.举一反三5 (南通中考)已知A=2a²−a+2,B=2,C=a²−2a+4,其中a>1.(1) 求证: A−B>0;(2)试比较A，B，C三者之间的大小关系，并说明理由.举一反三6 (安徽中考)老师在黑板上写出三个算式：5²−3²=8×2,9²−7²=8×4,15²−3²=8×27,王华接着又写了两个具有同样规律的算式：11²−5²=8×12,15²−7²=8×22.(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式；(2)用文字写出反映上述算式的规律；(3)证明这个规律的正确性.举一反三7 (沈阳中考)认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式,如:(a +b)¹=a+b,(a+b)²=a²+2ab+b²,(a+b)³=(a+b)²(a+b) = a3+3a2b+3ab2+b3,⋯下面我们依次对(a+b)”展开式的各项系数进一步研究，发现当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：(1)多项式(a+b)ⁿ的展开式是一个几次几项式?并预测第三项的系数.(2)结合上述材料，推断出多项式( (a+b)ⁿ(n取正整数)的展开式的各项系数之和 S(结果用含字母n 的代数式表示).例3 (肇庆中考)(1)计算: (a+b)(a²−ab+b²);(2)若x+y=1,xy=−1,求x³+y³的值.【思路点拨】(1)用多项式的乘法法则将多项式展开，再合并同类项即可得解；(2)用立方和公式直接计算.举一反三8 (通辽中考)若关于x的二次三项式x2+ax+14是完全平方式，则实数a 的值是 . 举一反三9(广西中考)观察下列等式：1+2+3+4+⋯+n=12n(n+1);1+3+6+10+⋯+12n(n+1)=16n(n+1)(n+2);1+4+10+20+⋯+16n(n+1)(n+2)=124n(n+1)(n+2)(n+3);则1+5+15+35+⋯+124n(n+1)(n+2)(n+3)=¯举一反三 10 (西藏中考)先化简，再求值：( (m+n)²+(m+n)(m−3n)−(2m+n)(2m−n);；其中m=√2,n=1.过关检测基础夯实1.(娄底中考)下列运算正确的是 ( )A.a²⋅a³=a⁶B.(a+b)²=a²+b²C.(−2a)³=−8a³D.a²+a²=a⁴2.(牡丹江中考)下列运算正确的是 ( )A.a²⋅a⁵=a¹⁰B.(a−2)²=a²−4C.a⁶÷a²=a³D.(−a²)⁴=a⁸3.(连云港中考)计算( (x+2)²的结果为x²+□x+4,则“□”中的数为 ( )A. —2B. 2C. -4D.44.(玉溪中考)若x²+6x+k是完全平方式，则k= ( )A.9B. -9C.±9D. ±35.(枣庄中考)若a+b=3,a²+b²=7,则ab=.6.(湖州中考)利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式.例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：( (a+b)²=a²+2ab+b².你根据图乙能得到的数学公式是 .7.(湘潭中考)多项式x²+1添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是 (任写一个符合条件的即可).8.(温州中考)(1) 计算: √4−|−2|+(√6)0−(−1);(2) 化简: (x−1)²−x(x+7).9.(无锡中考)计算：(1)√9−(−2)2+(−0.1)0;(2)(x+1)²−(x+2)(x−2).能力拓展10.(遵义中考)如图,从边长为(a+1) cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a—1)cm的正方形(a>1)，再将剩余部分沿虚线剪开拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则该矩形的面积是 ( )A.2cm²B.2acm²C.4acm²D.(a²−1)cm²11.(乌鲁木齐中考)图1是边长为(a+b)的正方形，将图 1中的阴影部分拼成图 2 的形状，由此能验证的式子是 ( )A.(a+b)(a−b)=a²−b²B.(a+b)²−(a²+b²)=2abC.(a+b)²−(a−b)²=4abD.(a−b)²+2ab=a²+b²12.(杭州中考)设M=x+y,N=x-y,P=xy.若M=1,N=2,则P= .13.(宁波中考)用长、宽分别为a，b的矩形硬纸片拼成一个“带孔”正方形，如图所示.利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式: .14.(南充中考)若x²+mx+1=(x+n)²,且m>0,则n的值是 .15.(黄石中考)若x²+2xy+y²−a(x+y)+25是完全平方式，求a 的值.16.(兰州中考)化简:a(1—2a)+2(a+1)·(a-1).17.(大庆中考)已知: x²−y²=12,x+y=3,求2x²−2xy的值.18.(江西中考)(1)计算:((a+1)(a-1)-(a-2)²;(2)解不等式: x−1≥x−22+3.综合创新19.若(x+a)(x+b)+(x+b)·(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式,则a，b，c的关系可以写成( )A. a<b<cB.(a−b)²+(b−c)²=0C. c<a<bD. a=b≠c20.若√x√x =−2,则x²−1x2的值为 .21.(衢州中考)有一张边长为a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式a²+2ab+b²=(a+b)²,对于方案一，小明是这样验证的：a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²=(a+b)²请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程.方案二：方案三：22.(临汾中考)阅读材料并回答问题：我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如：(2a+ b)(a+b)=2a²+3ab+b²就可以用图 1或图 2等图形的面积表示.(1)请写出图3所表示的代数恒等式：;(2)试画一个几何图形，使它的面积表示恒等式(a+b)(a+3b)=a²+ 4ab+3b²;(3)请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形.2 乘法公式的各种变化【例题精讲】1. (1)(x+y)(x-y)+(x+3y)²=x²- y²+x²+6xy+9y²=2x²+6xy+8y²(平方米) (2) ① x =30 y = 10②57 600元解析:(2)①(x+y)+(11x--y)=x+y+11x-y=12x(米),(x--y)--(x-2y)=x-y-x+2y=y(米),依题意有{12x−y=350,2(12x+y)+4(x+3y)=980,解得{x=30,y=10.②12xy=12×30×10=3 600(平方米), (x+3y)²=x²+6xy+9y²=900+1 800+900=3 600(平方米),(18-12)×3600+ (26−16)×3600=6×3600+10×3 600=57 600(元).2. (1)x²−4x+2=(x−2)²−2x²−4x+- 2=(x+√2)2−(2√2+4)xx2−4x+6/ =(√2x−√2)2−x2 (2)a²+ab+b²=(a+b)²−aba²+ab+b²=(a+12b)2+34b2 (3)4解析：(3)a²+b²+c²−ab−3b−2c+4=(a2−ab+14b2)+(34b2−3b+3)+(c2−2c+1)=(a2−ab+14b2)+3 4(b2−4b+4)+(c2−2c+1)=(a−12b)2+34(b−2)2+(c−1)2=0,从而有 a一12b=0,b−2=0,c−1=0,即a=1,b=2,c=1,∴a+b+c=4.3.(1) 原式=a³−a²b+ab²+a²b−ab²+b³=a³+b³(2)x³+y³=(x+y)(x²−xy+y²)=(x+y)[(x+y)²−3xy],∵x+y=1,xy=−1,∴x³+y³=1×[1²−3×(−1)]=4.【举一反三】1.a+1a−1解析: S1S2=a2−1(a−1)2=(a−1)(a+1)(a−1)2=a+1a−1.2.(1) 方式一收入:xa(a+100)+100y(a- 100)=a²x+100ax+100ay−10000y;方式二收入：x+y2[a(a+100)+100.(a−100)]=12a2x+100ax−5000x+12a2y+100ay−5000y. (2)方式一、二的收入的差为(a²x+100ax+100ay=10000y)−(12a2x+100ax−5000x+)12a2y+100ay−5000y)=12a2x+5000x−12a2y−5000y=x−y2(a2+10000),①当x>y时,方式一的收入大于方式二的收入；②当x=y时，方式一的收入等于方式二的收入；③当x<y时，方式一的收入小于方式二的收入.3. 在图 1 中,周长为2×2πr=4πr;在图 2中，周长为2πr+2π⋅r2+2π⋅r3+2π.r6=2π⋅(r+r2+r3+r6)=4πr,∴两种方案各圆形水池的周边需要的材料一样多.4.(1)根据题意得A区的面积为4a ·3a=12a²,B区的面积为(3a2)2π=9a24π,则游泳区的面积为12a2+9a24π.草坪面积为(a+4a+5a)(32a+3a+32a)−(12a2+9a24π)=48a2−9a24π.(2) 根据题意得12a2+9a24π≥12(48a2−9a24π),整理得 12a² - 27a28π≤0,即3a2(32−9π)8≤0,∵32−9π>0，显然此不等式不成立，则这个方案不符合要求.5.(1) 证明: A−B=(2a²−a+2)−2=2a²-a=a(2a-1),∵a>1,∴2a-1> 0,a(2a−1)>0,∴(2a²−a+2)−2>0,∴A-B>0;(2) A>C>B 理由：A−C=(2a²−a+2)−(a²−2a+4)=a²+a--2=(a--1)(a+2),∵a>1,∴a-1>0,a+2>0,∴(a-1)(a+2)>0,∴A-C>0,即A>C. C-B=(a²- 2a+4)−2=a²−2a+2=(a−1)²+1,:a>1,∴(a−1)²>0,∴(a−1)²+1>0.∴C-B>0,即C>B.则A>C>B.C.(1)11²−9²=8×513²−11²(2)任意两个奇数的平方差等于8的倍数(3)证明：设m，n 为整数，两个奇数可表示2m+1和2n+1,则( (2m+1)²−(2n+1)²=4(m--n)(m+n+1).当m,n 同是奇数或偶数时，(m--n)一定为偶数，所以4(m-n)一定是8的倍数;当m,n一奇一偶时，则(m+n+1)一定为偶数，所以4(m+n+1)一定是8的倍数.所以任意两奇数的平方差是8的倍数.7.(1) 多项式(a+b)"的展开式是一个n次(n+1)项式，第三项的系数为n(n−1)2(2) S=2"解析:(1)∵当n=1时,多项式((a+b)¹的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为0=1×02;当n=2时,多项式(a+b)²的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为1=2×12;当n=3时，多项式(a+b)³的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为3=3×2 2;当n=4时,多项式(a+b)⁴的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为6=4×32,⋯多项式(a+b)"的展开式是一个n次(n+1)项式，第三项的系数为n(n−1)2.(2)∵当n=1时，多项式(a+b)¹展开式的各项系数之和为1+1=2=2¹;当n=2时,多项式(a+b)²展开式的各项系数之和为1+2+1=4=2²;当n=3时,多项式(a+b)³展开式的各项系数之和为1+3+3+1= 8=2³;;当n=4时,多项式(a+b)⁴展开式的各项系数之和为1+4+6+4+1=16=2⁴…∴多项式(a+b)"展开式的各项系数之和为S=2".8.±19.1120n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)解析: :1+2+3+4+⋯+n=11×2n(n+1)=12n(n+1);1+3+6+10+⋯+1 2n(n+1)=12×3n(n+1)(n+2)=16n(n+1)(n+2);1+4+10+20+⋯+16n(n+1)(n+2)=16×4n(n+1).(n+2)(n+3)=124n(n+1)(n+2).(n+3),∴1+5+15+35+⋯+124n(n+1)(n+2)(n+3)=124×5n(n+1).(n+2)(n+3)(n+4)=1120n(n+1).(n+2)(n+3)(n+4).10. 原式: =m²+2mn+n²+m²−3mn+mn−3n²−4m²+n²=−2m²−n².当m=√2,n=1时，原式：=−2×(√2)2−1²=−4−1=−5.【过关检测】1. C 解析: a²⋅a³=a⁵,A4错误；(a+b)²=a²+2ab+b²,B 错误; a²+a²=2a²,D错误.2. D 解析:( a²⋅a⁵=a⁷,A错误；(a−2)²=a²−4a+4,B错误; a⁶÷a²=a⁴,C错误.3. D 解析: (x+2)²=x²+4x+4.4. A 解析: ∴x²+6x+k是完全平方式，∴(x+3)²=x²+6x+k,即x²+6x+9=x²+6x+k,∴k=9.5. 1 解析:( (a+b)²=a²+b²+2ab=3²=9.∵a²+b²=7,∴2ab=2, ab=1.6.(a−b)²=a²−2ab+b²7.2x 解析: ∵x²+1+2x=(x+1)²,∴添加的单项式可以是2x.8.(1)2 (2)-9x+1解析:(1) 原式=2-2+1+1=2;(2)原式=x²−2x+1−x²−7x=−9x+1.9.(1) 0 (2) 2x+5解析:(1) 原式=3-4+1=0;(2) 原式= x²+2x+1−x²+4=2x+5.10. C 解析:如图,矩形 ABCD 的面积 = S正方形EFGH —2a+1−(a²−2a+1)=4a(cm²).11. B 解析: ∴AB=√a2+b2,∴S圆锥侧=(a+b)2−(a2+b2)=4⋅12ab=2ab.12.−34解析：方法一：(x+y)²=x²+2xy+y²=1²=1,(x−y)²=x²−2xy+y²=2²=4,两式相减得4xy=-3,解得xy=−34,则P=−34.方法二：由题可得{x+y=1,x−y=2,解得{x=32,y=−12,∴P=xy=−34.13.(a+b)²−(a−b)²=4ab解析：大正方形的面积-小正方形的面积=4个矩形的面积.14. 1 解析: ∵x²+mx+1=(x+n)²=x²+2nx+n²,∴m=2n,n²=1,∵m>0.∴n=1.15.±10 解析:原式=(x+y)²−a(x+y)+5²,∵原式为完全平方式,∴-a(x+y)=±2×5(x+y),角解得a=±10.16. a-2 解析:原式= =a−2a²+2(a²−1)=a−2a²+2a²−2=a−2.17. 28 解析: :x²−y²=12,∴(x+y)(x−y)=12,∵x+y=3 ①,∴x-y=4 ②,①+②得2x=7,∴2x²−2xy=2x(x−y)=7×4=28.18.(1) 4a-5 (2)x≥6解析:(1)原式=a²−1−a²+4a−4=4a--5;(2) 去分母得2x--2≥x--2+6,移项合并得x≥6.19. B 解析:原式=3x²+2(a+b+c)x+(ab+bc+ac),∵(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式,∴3x²+2(a+b+c)x+(ab+bc+ ac)=[√3x+√33(a+b+c)]2,∴ab+bc+ac=13(a+b+c)2=13(a2+b2+c²+2ab+2ac+2bc),∴ab+bc+ac= a²+b²+c²,∴2(ab+bc+ac)=2(a²+b²+c²),即(a−b)²+(b−c)²+(c−a)²=0,∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,∴a=b=c.20.−24√2解析：平方得(√x√x )2=(−2)²=4,展开后得x+1x−2=4,∴x+1x=6,∴x+1x+2=8,即(√x+√x)2=8,∴√x√x =2√2或−2√2(舍去), ∴x2−1x2=(x+1x)(x−1x)=(x+1x)(√x√x)(√x√x)=−24√2.21.a²+ab+(a+b)b=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²=(a+b)²a2+[a+(a+b)]b2+[a+(a+b)]b2=a2+ab+12b2+ab+12b2=a2+2ab+b²=(a+b)²2.(1)(2a+b)(a+2b)=2a²+5ab+2b²(3)恒等式为(a+2b)(a+b)=a²+3ab+2b²,，与它对应的几何图形如图所。
特训03 因式分解压轴题(原卷版)2023-2024学年七年级数学上册同步讲义全优学案(沪教版)
特训03因式分解压轴题一、解答题1．有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．(1)如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含m ，n 的式子表示）．方法1：__________________________________________________．方法2：__________________________________________________．(2)若640a b ab +-+-=，求()2a b -的值．(3)如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），根技图形的面积关系，因式分解：2232m mn n ++=______．2．观察下列各式，解答问题：第1个等式：22213-=；第2个等式：22325-=；第3个等式：22437-=；…第n 个等式：______．（n 为整数，且1n ≥）【尝试】(1)根据以上规律，写出第4个等式：______；【发现】(2)根据这个规律写出你猜想的第n 个等式，并说明其正确性；【应用】(3)利用以上规律，直接写出2220232022-的值为______．(4)利用以上规律，求357197+++⋅⋅⋅+的值．3．如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙．(1)S =甲_______，S =乙__________（用含a 、b 的代数式分别表示）；(2)利用（1）的结果，说明2a 、2b 、()()a b a b +-的等量关系：(3)应用所得的公式计算：22222111111111123499100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋯-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(4)如图丙，现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明2()a b +、2()a b -、ab 三者的等量关系．4．方法探究：已知二次多项式2421x x --，我们把3x =-代入多项式，发现24210x x --=，由此可以推断多项式中有因式（x ＋3）．设另一个因式为（x ＋k ），多项式可以表示成()()24213x x x x k --=++，则有()2242133x x x k x k --=+++，因为对应项的系数是对应相等的，即34k +=-，解得7k =-，因此多项式分解因式得：()()242137x x x x --=+-．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．问题解决：(1)对于二次多项式24x -，我们把x ＝代入该式，会发现240x -=成立；(2)对于三次多项式3233x x x --+，我们把x ＝1代入多项式，发现32330x x x --+=，由此可以推断多项式中有因式（1x -），设另一个因式为（2x ax b ++），多项式可以表示成()()322331x x x x x ax b --+=-++，试求出题目中a ，b 的值；(3)对于多项式324318x x x +--，用“试根法”分解因式．5．数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．(1)探究一：将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为a 的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为()<b b a 的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为____________；(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵BC a =，AB a b =-，CF b =，∴长方体①的体积为()ab a b -．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a -b =6，ab =2，求33a b -的值．(6)类比以上探究，尝试因式分解：33+a b =．6．阅读下列材料：材料1：将一个形如x ²＋px ＋q 的二次三项式因式分解时，如果能满足q ＝mn 且p ＝m ＋n 则可以把x ²＋px ＋q 因式分解成（x ＋m ）（x ＋n ），如：（1）x 2＋4x ＋3＝（x ＋1）（x ＋3）；（2）x 2﹣4x ﹣12＝（x ﹣6）（x ＋2）．材料2：因式分解：（x ＋y ）2＋2（x ＋y ）＋1，解：将“x ＋y 看成一个整体，令x+y ＝A ，则原式＝A ²＋2A ＋1＝（A ＋1）²，再将“A ”还原得：原式＝（x ＋y ＋1）²上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x 2＋2x ﹣24分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；①分解因式：（x ﹣y ）²﹣8（x ﹣y ）＋16；②分解因式：m （m ﹣2）（m ²﹣2m ﹣2）﹣37．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到222()2a b a ab b +=++（1）写出由图2所表示的数学等式：_________________；（2）写出由图3所表示的数学等式（利用阴影部分）：________________；（3）已知实数,,a b c 满足2221,1a b c a b c ++=++=．求：①ab bc ca ++的值；②3333a b c abc ++-的值．8．阅读以下内容解答下列问题．七年级我们学习了数学运算里第三级第六种开方运算中的平方根、立方根，也知道了开方运算是乘方的逆运算，实际上乘方运算可以看做是“升次”，而开方运算也可以看做是“降次”，也就是说要“升次”可以用乘方，要“降次”可以用开方，即要根据实际需要采取有效手段“升”或者“降”某字母的次数．本学期我们又学习了整式乘法和因式分解，请回顾学习过程中的法则、公式以及计算，解答下列问题：（1）对照乘方与开方的关系和作用，你认为因式分解的作用也可以看做是．（2）对于多项式x 3﹣5x 2+x+10，我们把x ＝2代入此多项式，发现x ＝2能使多项式x 3﹣5x 2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x 3﹣5x 2+x+10中有因式（x ﹣2），【注：把x ＝a 代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x ﹣a ）】，于是我们可以把多项式写成：x 3﹣5x 2+x+10＝（x ﹣2）（x 2+mx+n ），分别求出m 、n 后再代入x 3﹣5x 2+x+10＝（x ﹣2）（x 2+mx+n ），就可以把多项式x 3﹣5x 2+x+10因式分解，这种因式分解的方法叫“试根法”．①求式子中m 、n 的值；②用“试根法”分解多项式x 3+5x 2+8x+4．9．阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如22ax bxy cy ++的关于x ，y 的二次三项式来说，方法的关键是将2x 项系数a 分解成两个因数1a ，2a 的积，即12a a a =∙，将2y 项系数c 分解成两个因式1c ，2c 的积，即12c c c =∙，并使1221a c a c +正好等于xy 项的系数b ，那么可以直接写成结果：221221()()ax bxy cy a x c y a y c y ++=++例：分解因式：2228x xy y --解：如图1，其中111=⨯，8(4)2-=-⨯，而21(4)12-=⨯-+⨯所以2228(4)(2)x xy y x y x y --=-+而对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成fk 乘积作为第三列，如果mq np b +=，mk nj d +=，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式()()mx py f nx qy k =++++例：分解因式222332x xy y x y +-+++解：如图3，其中111=⨯，3(1)3-=-⨯，212=⨯而2131(1)=⨯+⨯-，1(1)231=-⨯+⨯，31211=⨯+⨯所以222332(1)(32)x xy y x y x y x y +-+++=-+++请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①2263342x xy y -+=．②22261915x xy y x y --++-=．（2）若关于x ，y 的二元二次式22718340x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值．10．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：()()()()2111111x x x x x x x x x +++++=++++⎡⎤⎣⎦()()()23111x x x =++=+.（1）上述分解因式的方法是______，共应用了______次；（2）若分解()()()220141111x x x x x x x ++++++++ ，则需应用上述方法______次，结果是______；（3）分解因式：()()()21111n x x x x x x x ++++++++ .（n 为正整数）11．若一个整数能表示成a 2＋b 2（a 、b 是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”。
2024届初中数学重难点题型专项(因式分解)练习(附答案)
2024届初中数学重难点题型专项(因式分解)练习题型一：因式分解的概念因式分解的概念（1）定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.（2）原则：①分解必须要彻底（即分解之后因式均不能再做分解）；②结果最后只留下小括号③结果的多项式首项为正。
1．下列各式由左边到右边的变形中，正确因式分解的是（ ）A ．232(3)2a a a a -+=-+B ．2(1)a x a a ax -=-C ．()22393x x x ++=+D ．()()2141414a a a -=+-2．下列因式分解中，正确的是（ ）A ．()211x x x +=+B ．()()2222x x x -=+-C ．()22693x x x -+=-D ．()()21644x x x x x +-=+-+3．下列四个式子从左到右的变形是因式分解的为（ ）A ．()()22x y x y y x --=--B ．23231226a b a b ⋅＝C ．()()()442281933x y x y x y x y -++-＝D ．()()()()222222*********a a a a a a a a +-++++-+＝题型二：提公因式法提公因式法的定义（1）定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.（2）理论依据：乘法分配律的逆运算)(c b a ac ab +=+.4．已知a −b =3，ab =2，则22a b ab -的值为____________．5．分解因式：x (x －3)－x +3=_______________________．6．因式分解：()()26a x y b y x ---=________．题型三：用平方差公式分解因式公式法（1）公式法的定义：逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.（2）方法归纳：①平分差公式))((22b a b a b a -+=-；②完全平方公式222)(2b a b ab a ±=+±.7．下列多项式中，既能用提取公因式又能用平方差公式进行因式分解的是（ ）A ．22a b --B ．24a -+C ．34a a -D ．24a a + 8．在下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（ ）A ．24a +B ．24a -C ．24a --D ．22a m +9．在实数范围内分解因式：425x -=________________________________．10．分解因式：()2249a b +-=________．11．因式分解：2()25()x m n n m -+-．12．因式分解：()()2222x y x y +-+．13．因式分解(1)336m m - (2)()222224m n m n +-14．分解因式：(1)2()4()x a b b a -+- (2)22(2)(2)a b a b +--题型四：用完全平方公式分解因式15．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．241x -B ．221x x +-C ．221x x ++D ．22x xy y -+16．下列各式：①22x y --；②22114a b -+；③22a ab b ++；④222x xy y -+-；⑤2214mn m n -+，能用公式法分解因式的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个17．下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）A ．21x +B ．221x x --C ．239x x ++D ．214x x -+ 18．分解因式：3222a a b ab -+=_________________．19．已知多项式29(6)4x m x -++可以按完全平方公式进行因式分解，则m =________________． 20．若多项式29x kx ++可以用完全平方公式进行因式分解，则k =_________．21．分解因式：am 2﹣2amn +an 2＝_____．22．分解因式：﹣8a 3b +8a 2b 2﹣2ab 3＝_____．23．分解因式：﹣x 2y ＋6xy ﹣9y ＝___．24．分解因式24(21)x x +-=________．题型五：用十字相乘法分解因式十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解.特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和.（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++25．分解因式：2-2-8a a =______．26．分解因式：x 2﹣5x ﹣6＝_____．27．因式分解：2412x x --=_______．28．因式分解：2a 2‐4a ‐6=________．29．把多项式2412ab ab a --分解因式的结果是_________．30．在实数范围内分解因式：2252x x -+=________．31．分解因式：3243a a a -+=__________．32．分解因式：32514x x x --=__________．33．在实数范围内分解因式：x 4﹣2x 2﹣3=_____．题型六：分组分解法34．分解因式：2224a ab b -+-=________________．35．因式分解：22421x y y ---=__________．36．已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．直角或等腰三角形D ．直角或等边三角形37．分解因式：22424x xy y x y --++= ．38．已知2226100a b a b ++-+=，求ab 的值．39．已知a ，b ，c 是ABC ∆的三边，且满足222222a b c ab ac ++=+，试判断ABC ∆的形状，并说明理由．40．已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，若2222220a b c ac bc ++--=，判断ABC ∆的形状？41．三角形ABC 的三条边长a ，b ，c 满足222166100a b c ab bc --++=，求证：2a c b +=．参考答案题型一：因式分解的概念因式分解的概念（1）定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.（2）原则：①分解必须要彻底（即分解之后因式均不能再做分解）；②结果最后只留下小括号③结果的多项式首项为正。
2024–2025学年九年级数学暑假提升精品讲义(北师大版)用因式分解法求解一元二次方程(原卷版)
第12讲用因式分解法求解一元二次方程模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；2．因式分解法解一元二次方方程的应用；知识点一.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.知识点二.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.考点一：用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程例1．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于x 的方程（因式分解方法）：(1)2350x -=；(2)7(3)39x x x -=-．【变式1-1】（2023八年级下·浙江·专题练习）用因式分解解方程：()()585x x x -=-．【变式1-2】（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：()3263x x x -=-．【变式1-3】（23-24八年级下·广西崇左·期中）解方程：(1)22350x x --=；(2)()2326x x +=+．考点二：用十字相乘法求解一元二次方程例2.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）阅读材料：解方程22350x x +-=，我们可以按下面的方法解答：（1）分解因式2235x x +-①竖分二次项与常数项：()()2,3557x x x =⋅-=-⨯+②交叉相乘，验中项：③横向写出两因式：2235(5)(7)x x x x +-=-+（2）根据乘法原理，若0ab =，则0a =或0b =，则方程2235x x +-可以这样求解：方程左边因式分解得(5)(7)0x x -+=50x ∴-=或70x +=125,7x x ∴==-试用上述这种十字相乘法解下列方程(1)2540x x ++=；(2)2680x x -+=；(3)23100x x +-=；(4)2670x x --=．【变式2-1】（2024·广东广州·二模）解方程：22350x x --=．【变式2-2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读材料：解方程22350x x +-=，我们可以按下面的方法解答：（1）分解因式2235x x +-①竖分二次项与常数项：2x x x =⋅，()()3557-=-⨯+②交叉相乘，验中项：③横向写出两因式：2235(5)(7)x x x x +-=-+（2）若0ab =，则0a =或0b =，所以方程2235x x +-可以这样求解：方程左边分解因式得()()570x x -+=∴50x -=或70x +=∴15=x ，27x =-上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程：(1)2540x x ++=；(2)22100x x +-=．【变式2-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）将2232x x --进行因式分解，我们可以按下面的方法解答：解：①坚分二次项与常数项：()222,221x x x =⋅-=-⨯．②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：③横向写出两因式：()()2232221x x x x --=-+．我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法．（2）根据乘法原理：若0ab =，则0a =或0b =．试用上述方法和原理解下列方程：①2320x x -+=；②260x x --=；③22360x x -+=；④2260x x +-=．考点三：用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题例3.（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程2326x x x -=-+的过程：解：方程两边因式分解，得()()323-=--x x x ，①方程两边同除以()3x -，得2x =-，②∴原方程的解为2x =-．③(1)上面的运算过程第______步出现了错误．(2)请你写出正确的解答过程．【变式3-1】（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程2230x x --=时，两位同学的解法如下：解法一：223x x -=(2)3x x -=1x =或23x -=∴11x =或25x =解法二：1a =，2b =-，3c =-244128b ac -=-=- 240b ac -<∴此方程无实数根．“√”；若错误，请在框内打“×”．(2)请选择合适的方法求解此方程．【变式3-2】（23-24八年级下·浙江·期中）甲、乙两位同学解方程22(2)(2)x x -=-的过程如下框：甲：22(2)(2)x x -=-两边同除以(2)x -得：22x =-则4x =（）乙：移项得22(2)(2)0x x ---=提公因式(2)(22)0x x ---=则20x -=或220x --=122,0x x ∴==（）你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”，若错误打“×”，并写出你的解答过程．【变式3-3】（23-24八年级下·广西百色·期中）小涵与小彤两位同学解方程()()2366x x x -=-的过程如下：小涵的解题过程：第1步：两边同时除以()6x -得36x x =-，第2步：移项，得36x x =-，第3步：解得2x =-．小彤的解题过程：第1步：移项，得()()23660x x x ---=，第2步：提取公因式，得()()6360x x x ---=．第3步：则60x -=或360x x --=，第4步：解得16x =，22x =．(1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步；(2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项．考点四：用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题例4.（2024·山东济宁·一模）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程2680 x x -+=的解，则这个三角形的周长是（）A ．1B ．11和13C ．11或8D ．13【变式4-1】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在ABCD Y 中，AE BC ⊥于点E ，BE a =，2AE CE a ==，且a 是一元二次方程2340x x +-=的根，则ABCD Y 的周长为（）A ．625+B ．85C ．10D ．445+【变式4-2】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）直角三角形两边长为方程216600x x -+=的解，第三边是方程215560x x -+=的解，则这个直角三角形的周长是（）A ．23或24B ．23C ．24D ．24或25【变式4-3】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连接CD ．设3BC =，4AC =，则方程26160x x +-=的一个根是线段（）的长度A ．AD 或AE 或CEB ．BD 或BC C ．CED ．AC考点五：新定义型用因式分解法解一元二次方程问题例5.（2024·浙江杭州·一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为()35b a b a b a =+-※．根据这个规则，方程()11x x +=-※的解是（）A ．45x =B ．1x =C ．45x =-或1x =D ．45x =或1x =【变式5-1】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）对于实数m ，n ，定义运算“※”：22m n m n =-※，例如：2232232=-⨯=-※．若50x x =※，则方程的根为（）A ．都为10B ．都为0C ．0或10D ．5或5-【变式5-2】（2024·安徽阜阳·三模）定义新运算a b ab a ⊗=-，如()()212124⊗-=⨯--=-，则方程()26x x x ⊗+=⊗的解是（）A ．10x =，24x =B ．12x =，23x =C ．12x =-，23x =-D ．126x =226x =【变式5-3】（2024·甘肃天水·一模）在正数范围内定义一种运算：()22,2M a b a ab b =-+，如()21,3121334M =-⨯⨯+=，若()2,9M m =，则m 的值为（）A ．1B ．1-C ．5或1-D ．5考点六：换元法解一元二次方程例6.（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：解方程42540x x -+=，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设2x y =，那么42x y =，于是原方程可变为2540y y -+=①，解得11y =，24y =．当1y =时，21x =，1x ∴=±；当4y =时，24x =，2x ∴=±；∴原方程有四个根：11x =，21x =-，32x =，42x =-．这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想．(1)方程4260x x --=的解为________．(2)仿照材料中的方法，尝试解方程()()2224120x x x x +-+-=．【变式6-1】（23-24八年级下·北京顺义·阶段练习）阅读下列材料：为解方程4260x x --=可将方程变形为()22260x x --=然后设2x t =，则()222x t =，原方程化为260t t --=①，解①得122,3t t =-=．当12t =-时，22x =-无意义，舍去；当23t =时，23x =，解得3;x =∴原方程的解为123,3x x ==-；上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．(1)利用换元法解方程()()2224120x x x x ----=时，新字母设为t ，则t =___________，原方程化为___________，解得t =___________．(2)求方程()()2224120x x x x ----=的解．【变式6-2】（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程42280x x +-=时，可设2y x =，则原方程可化为2280y y +-=，先解出y ，将y 的值再代入2y x =中解x 的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将2x 看作一个整体，得()222280x x +-=，解出2x 的值，再进一步求解即可．根据上述方法，完成下列问题：(1)若()()22222232237x y x y +-++=，则22x y +的值为___________；(2)解方程：()22234120y yy y --+=．【变式6-3】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程222(1)5(1)40x x ---+=时，我们可以将21x -视为一个整体，设21y x =-，则222(1)y x =-，原方程化为2540y y -+=，解此方程，得11y =，24y =，当1y =时，211x -=，22x =，∴2x =当4y =时，214x -=，25x =，∴5x =±．∴原方程的解为12x =-22x =35x =-45x =．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．运用上述方法解答下列问题：(1)42340x x --=；(2)222(2)(2)60x x x x +-+-=．一、单选题1．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解方程()()2575x x -=-，选择相对合适的方法是（）A ．直接开平方法B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法2．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）方程(3)6(3)x x x -=-的根是（）A ．3x =B ．6x =C ．123,6x x ==D ．123,6x x =-=-3．（2023·贵州贵阳·模拟预测）若菱形两条对角线AC 和BD 的长度是方程()()240x x --=的两根，则该菱形的边长为（）A 5B ．4C ．25D ．54．（23-24九年级上·河南南阳·期末）关于方程()()32632x x x +=+的描述，下列说法错误的是（）A ．它是一元二次方程B ．解方程时，方程两边先同时除以()32x +C ．它有两个不相等的实数根D ．用因式分解法解此方程最适宜5．（23-24六年级上·河南南阳·阶段练习）定义新运算：对于两个不相等的实数,a b ，我们规定符号{},max a b 表示,a b 中的较大值，如：{}2,44max =，{2,4}2max --=-．按照这个规定，若2{,}57max x x x x -=--，则x 的值是（）A ．211+1-B ．2117C ．1-或7D ．211+211-二、填空题6．（2024八年级下·浙江·专题练习）一元二次方程22x x =的根是．7．（2023·山东潍坊·模拟预测）等腰三角形的底边长为6，腰长是方程28150x x -+=的一个根，则该等腰三角形的周长为．8．（2024·浙江·三模）若方程()()37x x m --=有一个解为1x =，则方程()()37x x m ++=的解为．9．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知()()2222135x y x y +++-=，则22x y +的值等于．10．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）定义：如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根为αβ，，且满足2αβ=，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）方程29180x x -+=(选填“是”或“不是”)“倍根方程”．（2）若()()50x x a --=是“倍根方程”，则=a 三、解答题11．（23-24八年级下·江苏南通·期中）解下列方程：(1)267x x -=；(2)23520x x -+=．12．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程：(1)2430x x ++=；(2)()()()21332x x x --+=．13．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程：(1)()()628x x x -=-(2)()()221230x x +--=14．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．解方程：2(31)2(31)x x -=-解：方程两边除以(31)x -，得312x -=第一步移项，合并同类项，得33x =第二步系数化为1，得1x =第三步任务：(1)小明的解法从第__________步开始出现错误；(2)此题的正确结果是__________；(3)用因式分解法解方程：3(2)24x x x +=+．15．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）阅读下列材料：为解方程4260x x --=可将方程变形为()22260x x --=然后设2x y =，则()222x y =．例：4260x x --=，解：令2x y =，原方程化为260y y --=，解得12y =-，23y =，当12y =-时，22x =-（无意义，舍去）当23y =时，23x =，解得3x =±∴原方程的解为13x =23x =-．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：(1)()()22225260x x x x ----=；(2)()22351511x x x x ++-++=．。
第十四章整式的乘法与因式分解培优训练人教版2024—2025学年八年级上册
第十四章整式的乘法与因式分解培优训练人教版2024—2025学年八年级上册夯实基础一、选择题1、下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是 ( )A 、2(1)(1)1x x x +-=-B 、221(2)1x x x x -+=-+C 、22()()a b a b a b -=+-D 、()()mx my nx ny m x y n x y +++=+++2、计算2(1)(1)a a a -+-的结果为（ ）A 、1B 、1-C 、221a +D 、221a -3、（2+ x ）（x －2）的结果是（ ）A 、2－x 2B 、2+x 2C 、4 + x 2D 、x 2－44、分解因式x 3－x 的结果是（ ）A 、x （x 2－1）B 、x （x －1）2C 、x （x ＋1）2D 、x （x ＋1）（x －1）5、把代数式分解因式，下列结果中正确的是（ ）A 、B 、C 、D 、 6、如m x +与3+x 的乘积中不含．．x 的一次项．．．．，则m 的值为（ ） A 、3- B 、3 C 、0 D 、 17、若是一个多项式的完全平方式， 那么值等于（ ）A 、6B 、C 、-5D 、-5或7二、填空题1、计算：2(93)(3)x x x -+÷-= ____ .2、如果9Mx x 2+-是一个完全平方式，则M 的值是3、在横线处填上适当的数，使等式成立：2241______21⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x 4、多项式2263a b ab -的公因式是 .5、如果1-a 有意义，那么a 的取值范围是 .6、用简便方法计算20252－4050×2024+20242的结果是7、计算：①()()=-•-32a a ，①()32x 3-= ， ①=÷-ab 3c b a 2132 ；8、因式分解：①=-4x 2 ，①=+-9x 6x 2 ①=--2142x x ；9、若122=+a a ，则1a 6a 32++=10、如果9Mx x 2+-是一个完全平方式，则M 的值是 9)1(2+-+x k x k 6±11、如果x 、y 为实数，且()02y 2x 2=-++，则y x +=三、解答题1、计算22)xy ()xy 3(y x 2÷-⋅2、计算2)1x ()4x )(3x (--++3、计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--•2223x a 43)x 2a (x a 24、计算[]x 2)y x 2(x 2)y 2x )(y 2x ()y 2x (2÷--+-⋅+-5、计算())2x (x 1x )1x (35--+÷+6、计算)7()1428(2223223b a b a b a c b a -÷-+7、计算()()()()222222a b a b a b a b +--+--8、计算、2)1x ()1x )(1x (---+9、先化简，再求值：2)()(2b a b a a +-+，其中5=a ，2-=b ．10、因式分解（1）、()()83x 1x --- （2）、a a a 3244-+ （3）、3x 3－12xy 2（4）、1b ab 2a 22-+- （5）、4)b 2a (4)b 2a (2++++ （6）、()()m m n -+-2422能力提升一、填空题1、分解因式，直接写出结果)(6)(4)(8a x c x a b a x a ---+-=2、已知3=-b a ,2=b a ,则22b a +的值为 。
14.2 乘法公式 培优练习(无答案) 2024—2025学年人教版数学八年级上册.doc
14.2乘法公式培优练习人教版2024—2025八年级上册一、夯实基础1．下列各式不能用平方差公式计算的是（）A．（y+2x）（2x﹣y）B．（﹣x﹣3y）（x+3y）C．（2x2﹣y2）（2x2+y2）D．（4a+b）（4a﹣b）2．在运用乘法公式计算（2x﹣y+3）（2x+y﹣3）时，下列变形正确的是（）A．[（2x﹣y）+3][（2x+y）﹣3]B．[（2x﹣y）+3][（2x﹣y）﹣3]C．[2x﹣（y+3）][2x+（y﹣3）]D．[2x﹣（y﹣3）][2x+（y﹣3）] 3．已知x﹣y＝5，则x2﹣y2﹣10y的值是（）A．10B．15C．20D．254．若a﹣b＝2，则式子a2﹣b2﹣4a的值等于．5．已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值为6．若多项式4x2﹣（k﹣1）xy+25y2是关于x、y的完全平方式，则k的值为（）A．21B．19C．21或﹣19D．﹣21或19 7．已知实数a，b满足，则3a2+4b2+1012a﹣2024b+1的值是（）A．65B．105C．115D．20258．已知关于x的整式9x2+（2k﹣1）x+4是某个关于x的整式的平方，求k的值．二、能力提升（一）利用乘法公式计算1．计算：（a+2b﹣3c）（a﹣2b﹣3c）．2．计算：（x+2y﹣3z）（2y+3z+x）．3．求不等式（3x﹣4）（3x+4）＜9（x+2）2+21的负整数解．4．计算：（a+1）2（a﹣1）2（a2+1）2．5．计算．6．用简便算法计算．（1）20242﹣2025×2023；（2）4+4×196+982．（二）乘法公式的变形1．已知（a﹣b）2＝25，ab＝﹣6，求下列各式的值．（1）a2+b2；（2）a4+b4．2．若m﹣2n＝﹣1，求代数式m2﹣4n2+4n的值．3．已知a2﹣4a﹣1＝0．（1）求的值；（2）求的值．4．已知：a﹣b＝3，ab＝1，试求：（1）a2+3ab+b2的值；（2）（a+b）2的值．5．已知，求xy的值．6．已知：m，n为非负整数，且m2﹣n2＝11，求m，n的值．7．已知x2﹣4y+y2+8x+20＝0，求xy的值．8．已知a+b＝2，b+c＝17，求2a2+3b2+3c2+2ab+4bc﹣2ac＝．9．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，ab＝1所以（a+b）2＝9，2ab＝2所以a2+b2+2ab＝9，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法解决下列问题：（1）若a﹣b＝﹣5，ab＝3，则a2+b2＝．（2）若（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13求a2+b2的值．（3）已知x2+3x﹣1＝0，求的值．10．我们学过很多数学公式不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．根据你所学的知识解决下列问题：①若a＝2023，b＝2024，c＝2025，求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值；②若a2+b2+c2＝89，a+b+c＝9，求出ab+bc+ac的值．三、乘法公式与几何图形结合1．我们知道，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题：（1）如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形ABCD的面积．可以得到代数恒等式：（a+b+c）2＝．（2）若n、t满足：（n﹣2024）2+（2026﹣12n）2+（n+1）2＝t2+2t﹣18，（n ﹣2024）（2026﹣2n）+（n﹣2024）（n+1）+（2026﹣2n）（n+1）＝1﹣t，求t 的值．2．现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如图摆放，A、D、E三点在一条直线上，（1）如图①，AE＝m，CG＝n，这两个正方形的面积之和是．（用m、n的代数式表示）（2）如图②，如果大正方形ABCD和小正方形DEFG的面积之和是5，图中阴影部分的面积为2，求（mn）2是多少？（3）如图③，大正方形ABCD和小正方形DEFG的面积之和是25，AE的长度等于7，图中阴影部分的面积是．（4）如图④，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a、b（a＞b），如果a+b＝8，ab＝6，求图中阴影部分面积之和是多少？3．在“综合与实践”课上，老师准备了如图1所示的三种卡片，甲、乙两位同学拼成了如图2、图3所示的正方形．（1）【理解探究】①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到（a+b）2，2ab，a2+b2之间的等量关系式：．②观察图3，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到等量关系式：．（2）【类比应用】根据（1）中的等量关系，解决如下问题：已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn 和（m﹣n）2的值．（3）【拓展升华】如图4，在△BCE中，∠BCE＝90°，CE＝8，点Q是边CE上的点，在边BC 上取一点M，使BM＝EQ，设BM＝x（x＞0），分别以BC，CQ为边在△BCE 外部作正方形ABCD和正方形COPQ，连接BQ，若CM＝3，△BCQ的面积等于，直接写出正方形ABCD和正方形COPQ的面积和：．4．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．5．数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如材料图，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题．（1）图1中空白面积为S1，根据图形中的数量关系，用含a、b的式子表示S1；（2）图3中空白面积为S3，根据图形中的数量关系，用含a、b的式子表示S3；（3）图1，图2中空白部分面积S1、S2分别为19、68，求ab值．6．【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为．【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为．【应用】（1）根据图②所得的公式，若a+b＝10，ab＝5，则a2+b2＝．（2）若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值．【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，AC＝7，直接写出种草区域的面积和．7．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：（1）若xy＝7，x+y＝5，直接写出x2+y2的值；（2）若x（3﹣x）＝4，则x2+（x﹣3）2＝；（3）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝16，S△AOC +S△BOD＝60，求一块三角板的面积．。
专题14.5 整式的乘法与因式分解(章节复习+能力强化卷)学生版-2024-2025学年八年级数学上
2024-2025学年人教版数学八年级上册同步专题热点难点专项练习专题14.5 整式的乘法与因式分解（章节复习+能力强化卷）知识点01：幂的运算1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).同底数幂相除，底数不变，指数相减.m n ，m n ，n a m n ，m n5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.细节剖析:公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.知识点02：整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.细节剖析:运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即：知识点03：乘法公式1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.细节剖析:在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相()010.a a =≠mc mb ma c b a m ++=++)(c b a m ,,,()()a b m n am an bm bn ++=+++()()()2x a x b x a b x ab ++=+++()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++22()()a b a b a b +-=-a b ，反项”的平方.2. 完全平方公式：；两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.细节剖析:公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.知识点04：因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 细节剖析:落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式；一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•振兴区校级期中）下列因式分解正确的是（ ） A ．x 2+1＝（x +1）2B ．x +2x ﹣1＝（x ﹣1）2C ．2x 2﹣2＝2（x +1）（x ﹣1）D ．x 2﹣x +2＝x （x ﹣1）+22．（2分）（2023•道外区一模）下列运算正确的是（ ） A ．6a ﹣5a ＝1 B ．（a 2）3＝a 5C ．3a 2+2a 3＝5a 5D ．a 6•a 2＝a 83．（2分）（2023春•酒泉期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．x 2﹣x +1＝x （x ﹣1）+1 B ．（2x +3）（2x ﹣3y ）＝4x 2﹣9y 2C ．x 2+y 2＝（x +y ）2﹣2xyD ．x 2+6x +9＝（x +3）24．（2分）（2023春•茶陵县期末）已知a ＝8131，b ＝2741，c ＝961，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b5．（2分）（2023•海曙区模拟）已知x3﹣y3+3xy+1＝0，x﹣y的值有（）A．1个B．2个C．大于2个但有限D．无数个6．（2分）（2022秋•江北区校级期末）对于二次三项式A＝x2+mxy﹣2x（x≠0且m为常数）和B＝y2﹣xy+2y，下列结论正确的个数有（）①当m＝1时，若A＝0，则x+y＝2；②无论x取任何实数，若等式A＝x2﹣5x恒成立，则（my）3＝27；③当m＝﹣1时，A＝6，B＝9，则x﹣y＝5．A．3个B．2个C．1个D．0个7．（2分）（2022秋•射洪市期末）从前，一位庄园主把一块长为a米，宽为b米（a＞b＞100）的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（）A．变小了B．变大了C．没有变化D．无法确定8．（2分）（2023•南谯区校级一模）比较344，433，522的大小正确的是（）A．344＜433＜522B．522＜433＜344C．522＜344＜433D．433＜344＜5229．（2分）（2023•锦州模拟）已知m，n均为正整数且满足mn﹣2m﹣3n﹣20＝0，则m+n的最小值是（）A．20 B．30 C．32 D．3710．（2分）（2022秋•长沙期末）（a+b）n（n为非负整数）当n＝0，1，2，3，…时的展开情况如下所示：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了（a+b）n展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为（a+b）9展开式中所有项系数的和应该是（）A．128 B．256 C．512 D．1024二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•城固县模拟）因式分解：y﹣2xy+x2y＝．12．（2分）（2022秋•罗山县期末）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片块．13．（2分）（2022秋•千山区期末）把多项式mn2﹣9m分解因式的结果为．14．（2分）（2022秋•洪山区校级期末）已知（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，ab＝3，则（a+b）2＝．15．（2分）（2022秋•枣阳市期末）已知x2+mx+36是一个完全平方式，那么m的值为．16．（2分）（2022秋•济宁期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y ＝9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是（写出一个即可）．17．（2分）（2021春•盐湖区校级期末）定义一种新运算（a，b），若a c＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知（3，5）+（3，7）＝（3，x），则x的值为．18．（2分）（2021春•龙岗区期中）计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝．19．（2分）（2018春•成都期中）若a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc ﹣ca的值为．20．（2分）（2018春•成都期末）已知x2﹣2x﹣3＝0，则x3﹣x2﹣5x+12＝．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023春•冷水滩区期中）分解因式：（1）2x2y﹣8xy+6y；（2）（y2﹣1）2+6（1﹣y2）+9．22．（6分）（2023春•广陵区期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝；（2）因式分解：9（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+1；（3）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81．23．（8分）（2022秋•大荔县期末）聪聪和同学们用2张A型卡片、2张B型卡片和1张C型卡片拼成了如图所示的长方形．其中A型卡片是边长为a的正方形；B型卡片是长方形；C型卡片是边长为b的正方形．（1）请用含a、b的代数式分别表示出B型卡片的长和宽；（2）如果a＝10，b＝6，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积．24．（8分）（2022秋•千山区期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c的配方法；运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式；例如：＝＝＝（x+8）（x+3）．根据以上材料用多项式的配方法将x2+8x﹣9化成（x+m）2+n的形式并进行分解因式．25．（8分）（2022秋•泉州期末）[阅读]“若x满足（10﹣x）（x﹣3）＝17，求（10﹣x）2+（x﹣3）2的值”．设10﹣x＝a，x﹣3＝b，则（10﹣x）（x﹣3）＝ab＝17，a+b＝（10﹣x）+（x﹣3）＝7，（10﹣x）2+（x﹣3）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×17＝15．（1）[理解]①若x满足（50﹣x）（x﹣35）＝100，则（50﹣x）2+（x﹣35）2的值为；②若x满足（x﹣1）（3x﹣7）＝，试求（7﹣3x）2+9（x﹣1）2的值；（2）[应用]如图，长方形ABCD中，AD＝2CD＝2x，AE＝44，CG＝30，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和MEDQ 都是正方形，四边形PQDH是长方形．延长MP至T，使PT＝PQ，延长MF至O，使FO＝FE，过点O、T作MO、MT的垂线，两垂线相交于点R，求四边形MORT的面积．（结果必须是一个具体的数值）26．（8分）（2022秋•两江新区期末）小刚同学计算一道整式乘法：（3x+a）（2x+3），由于他抄错了多项式中a前面的符号，把“+”写成“﹣”，得到的结果为6x2+bx﹣6．（1）求a，b的值；（2）计算这道整式乘法的正确结果．27．（8分）（2022秋•罗定市期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个长方形，则它的长为；宽为；面积为．（2）由（1）可以得到一个公式：．（3）利用你得到的公式计算：20222﹣2024×2020．28．（8分）（2022秋•葫芦岛期末）在日常生活中，取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法设计的密码．原理是：如：多项式x4﹣y4因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝6，y＝2时，则各个因式的值是：x﹣y＝4，x+y＝8，x2+y2＝40，将3个数字按从大到小的顺序排列，于是可以把“400804”作为一个六位数的密码．对于多项式a3﹣8a2+16a，当a＝20时，写出用上述方法产生的密码，并说明理由．。
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【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】
专题4.3用乘法公式分解因式专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项：
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋•天山区校级期中）下列因式分解正确的是（ ）
A ．a （x ﹣y ）＝ax ﹣ay
B ．x 2+1＝（x +1）2
C ．x 2﹣x +2＝x （x ﹣1）+2
D ．x 2﹣2x +1＝（x ﹣1）2
2．（2021秋•叙州区期末）下列因式分解正确的是（ ）
A ．2a 2﹣4ab +b 2＝（2a ﹣b ）2
B ．m 2﹣n 2＝（m +n ）（m ﹣n ）
C ．4p 2+2p ＝p （4p +2）
D ．x 2+4y 2＝（x +2y ）2 3．（2021秋•镇平县期末）把代数式3x 3﹣6x 2y +3xy 2因式分解，结果正确的是（ ）
A ．x （3x +y ）（x ﹣3y ）
B ．3x （x 2﹣2xy +y 2）
C ．x （3x ﹣y ）
D ．3x （x ﹣y ）2 4．（2022秋•南岗区校级期中）下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（ ）
A ．a 2+（﹣b ）2
B ．﹣x 2﹣y 2
C ．﹣m 2+9
D ．3x 2y ﹣27xy 2
5．（2022秋•中山区期末）若多项式x 2+bx +c 因式分解的结果为（x ﹣2）（x +3），则b +c 的值为（ ）
A ．﹣5
B ．﹣1
C ．5
D ．6 6．（2022秋•合川区校级期末）已知2x ﹣y ＝3，则代数式x 2﹣xy +14y 2+74的值为（ ）
A ．434
B ．134
C ．3
D ．4
7．（2022春•运城月考）将下列多项式因式分解，结果中不含有x +3因式的是（ ）
A ．x 2﹣9
B ．x 2+3x
C ．x 2﹣6x +9
D ．x 2+6x +9
8．（2022秋•垦利区期中）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a ﹣b ，x ﹣y ，x +y ，a +b ，x 2﹣y 2，a 2﹣b 2分别对应下列六个字：利、爱、我、垦、游、美，现将（x 2﹣y 2）a 2﹣（x 2﹣y 2）b 2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A ．爱我垦利
B ．游我垦利
C ．游美垦利
D ．游美
9．（2022秋•九龙坡区校级月考）若xy ＝﹣3，x ﹣2y ＝5，则2x 2y ﹣4xy 2的值为（ ）
A ．−15
B ．−1
C ．2
D ．−30
10．（2022秋•和平区校级期末）已知a ＝2020m +2021n +2020，b ＝2020m +2021n +2021，c ＝2020m +2021n +2022，那么a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ca 的值为（ ）
A ．1
B ．3
C ．6
D ．1010
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022秋•绿园区校级期末）因式分解：n 3﹣25n ＝ ．
12．（2022秋•苍溪县期末）已知mn ＝4，n ﹣m ＝3，则mn 2﹣m 2n ＝ ．
13．（2022秋•张店区校级期末）若三角形的三边长a ，b ，c 满足（a ﹣c ）2+（a ﹣c ）b ＝0，则这个三角形形状一定是 三角形．
14．正整数p ，q （p ＜q ）分别是正整数n 的最小质因数和最大质因数，并且p 2+q 2＝n +9，则n ＝ ．
15．（2019•姑苏区校级开学）若x +y ＝3，则12（x 2+y 2）+xy ＝ ． 16．（2022春•运城月考）已知a ﹣b ＝﹣2，ab ＝7，则代数式a 3b ﹣2a 2b 2+ab 3的值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022秋•苍溪县期末）因式分解：
（1）a 2﹣9b 2；
（2）2a 2﹣4ab +2b 2．
18．（2022秋•密山市校级期末）分解因式：
（1）12abc ﹣2bc 2；
（2）a 3+2a 2﹣3a ；
（3）m 2﹣6m +9．
19．（2022秋•河西区期末）因式分解：
（1）x 2﹣3x +2；
（2）﹣3ma 2+12ma ﹣12m ；
（3）（x +1）（x ﹣3）+4．
20．（2022春•运城月考）两位同学将一个二次三项式ax 2+bx +c （其中a 、b 、c 均为常数，且abc ≠0）分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成（x ﹣1）（x ﹣4），另一位同学因看错了常数项而分解成（x ﹣5）（x +1）．
（1）求原多项式ax 2+bx +c 的二次项系数a 、一次项系数b 和常数项c 的值．
（2）将原多项式分解因式．
21．（2022春•运城月考）下面是某同学对多项式（9x2﹣6x+3）（9x2﹣6x﹣1）+4因式分解的过程．解：设9x2﹣6x＝y，
则原式＝（y+3）（y﹣﹣1）+4…第一步
＝y2+2y+1…第二步
＝（y+1）2…第三步
＝（9x2﹣6x+1）2…第四步
解答下列问题：
（1）该同学从第二步到第三步运用了因式分解的方法是；
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）老师说该同学因式分解的结果不彻底，请你直接写出该因式分解的最后结果；
（3）请你尝试用以上方法对多项式n（n2+3n+2）（n+3）+1进行因式分解．
22．（2022秋•无为市月考）我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求式子的最大值、最小值等．
例1：分解因式x2+2x﹣3．
原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
例2：求式子2x2+4x﹣6的最小值．
2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8，则当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值﹣8．
根据阅读材料解决下列问题：
填空：x2++36＝（x+6）2；3m2+6m＝3（m+1）2﹣；
（2）利用配方法分解因式：x2﹣6x﹣27；（注意：直接写出答案不给分）
（3）当x为何值时，多项式﹣x2﹣4x+1有最大值，并求出这个最大值．
23．（2022秋•离石区月考）综合与探究
观察以下各式：
（x ﹣y ）（x +y ）＝x 2﹣y 2．
（x ﹣y ）（x 2+xy +y 2）＝x 3﹣y 3．
（x ﹣y ）（x 3+x 2y +xy 2+y 3）＝x 4﹣y 4．
（x ﹣y ）（x 4+x 3y +x 2y 2+xy 3+y 4）＝x 5﹣y 5．
请回答以下问题：
（1）填空：（x ﹣y ）（x 6+x 5y +x 4y 2+x 3y 3+x 2y 4+xy 5+y 6）＝ ．
（2）若n ≥2，求证：6n ﹣2n 一定能被4整除．
（3）求
10209−1019﹣1018﹣1017﹣1016﹣…﹣102﹣10﹣1的值．。