08第八讲 离散傅里叶级数(DFS)
离散傅里叶级数推导
离散傅里叶级数推导标题：离散傅里叶级数（DFS）的推导与理解一、引言离散傅里叶级数（Discrete Fourier Series，简称DFS）是信号处理和数据分析中一种强有力的工具，它将周期性离散信号分解为一系列简单正弦波和余弦波的线性组合，从而揭示出信号内在的频率结构。
本篇文档旨在详细阐述离散傅里叶级数的理论基础及其推导过程。
二、离散傅里叶级数基本概念离散傅里叶级数主要应用于周期为N的离散时间信号f[n]，其表示形式如下：f[n] = a0 + Σ(ak * cos(2πkn/N) + bk * sin(2πkn/N))其中，k=1, 2, ..., (N-1)，a0, ak, bk分别代表直流分量和交流分量系数。
三、离散傅里叶级数的推导1. **直流分量**：a0是信号的平均值，可通过求信号序列的平均值得到，即a0 = (1/N) * Σf[n] （n=0,1,...,N-1）2. **交流分量系数**：对于每个正弦项和余弦项，其系数ak和bk可以通过内积运算得到，具体公式如下：ak = (1/N) * Σf[n] * cos(2πkn/N)bk = (1/N) * Σf[n] * sin(2πkn/N)3. 整体推导：将上述各系数代入原始的离散傅里叶级数表达式，即可完成从原始离散信号到其傅里叶级数展开式的转换。
四、离散傅里叶级数的应用与特性离散傅里叶级数不仅提供了一种分析周期信号的方法，还具有诸多重要性质，如频谱对称性、能量守恒性等。
在实际应用中，例如图像处理、音频压缩、数字通信等领域，DFS都有广泛的应用。
五、结论离散傅里叶级数作为数学工具在工程领域中的重要地位不言而喻，通过对其深入理解和推导，我们可以更有效地进行信号分析与处理，揭示并利用信号的内在规律。
对于复杂系统的设计与优化，离散傅里叶级数无疑是一种不可或缺的基础理论支撑。
离散时间傅里叶级数
离散时间傅里叶级数
离散时间傅里叶级数（Discrete Time Fourier Series）
一、什么是离散时间傅里叶级数
离散时间傅里叶级数（缩写又称DTFS）是一种时间域信号的分
析方法，它可以用来分析和处理有限个数据点（仅两个数据点）构成的信号（离散信号），并给出它们的波形的频域表示（频谱），即将离散信号转换成其傅里叶级数展开的频域表示形式，它是一种拥有确定性解的数学模型。
二、离散时间傅里叶级数的表达式
离散时间傅里叶级数的序列可以用下面的表达式表示：
x[n]=a_0+∑a_kcos[2πk(n+φ)/N](k=1,2,3,…,N-1) 其中：
a_k=2/N∑x[n]cos[2πk(n+φ)/N]
x[n]表示离散时间序列，a_k和a_0分别表示频域的正弦谱和常数谱，N表示所表示信号的周期，φ表示正弦谱和常数谱的相位差。
三、离散时间傅里叶级数的应用
1、频域滤波：采用离散时间傅里叶级数可以实现对数字信号进
行频域滤波，从而可以抑制被滤波信号中的特定频带信号，从而可以实现信号的增强。
2、信号恢复：离散时间傅里叶级数也可以用于信号恢复，即通
过使用傅里叶变换可以恢复某些信号，从而可以实现快速的信号恢复。
3、数字处理：离散时间傅里叶级数也可以用于数字信号的处理，
例如数字滤波、数字带阻滤波、数字等化器等。
dfs离散傅里叶级数
dfs离散傅里叶级数DFS离散傅里叶级数什么是DFS？DFS（Depth First Search），深度优先搜索，是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
它从起点开始遍历，沿着一条路径直到无法继续为止，然后返回到前一个节点并继续搜索其它路径。
什么是傅里叶级数？傅里叶级数是将任意周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的和的方法。
它可以用于信号处理、图像处理、音频处理、物理学等领域。
什么是离散傅里叶级数？离散傅里叶级数（Discrete Fourier Series，简称DFT）是将离散序列表示为正弦和余弦函数的和的方法。
它可以用于数字信号处理、数字图像处理等领域。
DFS离散傅里叶级数的原理在进行离散傅里叶变换时，我们需要将序列转换为复数序列，并对其进行计算。
而在计算过程中，我们可以利用DFS来遍历所有可能出现的指数值，并进行计算。
具体来说，我们可以将序列看作一个树形结构，其中每个节点表示一个指数值。
根节点表示指数值为0，左子节点表示指数值减半，右子节点表示指数值加半。
在进行DFS遍历时，我们可以依次遍历每个节点，并计算其对应的复数值。
具体计算方式为将当前节点的父节点对应的复数值分别与正弦和余弦函数进行运算，并将结果分别赋值给左右子节点对应的复数值。
当遍历完所有叶子节点时，我们就可以得到整个序列的离散傅里叶级数了。
DFS离散傅里叶级数的实现在实现DFS离散傅里叶级数时，我们需要考虑以下几个方面：1. 序列长度必须为2的幂次方由于DFS离散傅里叶级数是基于树形结构进行计算的，因此序列长度必须为2的幂次方。
否则无法构建完整的树形结构。
2. 复杂度较高由于DFS需要遍历所有可能出现的指数值，并进行计算，因此其时间复杂度较高。
具体来说，其时间复杂度为O(nlogn)。
3. 可能存在精度误差由于计算过程中涉及到浮点运算，因此可能存在精度误差。
这一点需要在实际应用中进行注意。
代码实现下面是一个简单的Python代码示例，用于实现DFS离散傅里叶级数：```pythonimport mathdef dft(x):n = len(x)if n == 1:return xelse:xe = x[::2]xo = x[1::2]ye = dft(xe)yo = dft(xo)y = [0] * nfor k in range(n):w_k = complex(math.cos(2*math.pi*k/n), -math.sin(2*math.pi*k/n))y[k] = ye[k%(n//2)] + w_k * yo[k%(n//2)]return yx = [1, 2, 3, 4]y = dft(x)print(y)```在上述代码中，我们首先定义了一个dft函数，用于实现DFS离散傅里叶级数的计算。
《离散傅里叶》PPT课件
F () f (t)e jt dt
f (t) 1 F ()e jt d 2
2.离散、非周期时域信号 f (n) ←映射→周期、连续频域信号 F(e j ) ，它有序列的傅里叶变换
构成映射关系，即
F (e j ) f (n)e jn n
f (n) 1 F (e j )e jn d 2
N 1
f
p
( n)W Nnk
W
nN N
n0
N 1
f p (n)WNnk Fp (k ) n0
周期序列 f p (n) 的傅里叶级数系数 Fp (k) 也是以 N 为周期的周期序列。
时域中的一个周期序列 f p (n) 必定与频域中的一个周期序列 Fp (k) 一一
对应，在信号处理理论中通常称 Fp (k) 为周期序列 f p (n) 的离散傅里叶级
数变换（Discrete Fourier Series 简写为 DFS），即
Fp (k) DFS[ f p (n)]
而 f p (n) 称为离散傅里叶级数的逆变换（Inverse Discrete Fourier Series 简 写为 IDFS），即
f p (n) IDFS[Fp (k)]
1.连续、非周期时域信号 f (t) ←映射→非周期、连续频域信号 F() ，它由傅里叶变换构成映
N 1
N 1
Fk [
e ] jn0 ( k r )
k 0
n0
上式中方括弧中的和式由正交关系求出，即：
N 1 e jn0r
n0
N
0
r mN r mN
式中 m 为整数，方括弧中的和式只有当 k r mN 或 k mN r 时，取非零值 N，由于后 一个和式变量 k 的取值范围为[0, N 1]，所以 m 必须取零值（即 m 0），这就是说只有当 k r 时，方括弧中的和式取非零值，于是
离散傅里叶变换(DFT)
尾补L－M个零后，再形成第一行的循环倒相序列。
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位 形成的。 （3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
x( L 1) x( L 2) y (0)c x(0) y (1) x(1) x(0) x( L 1) c y (2)c ＝ x(2) x(1) x(0) y ( L 1)c x( L 1) x( L 2) x( L 3) x(1) h(0) x(2) h(1) x(3) h(2) x (0) h( L 1)
主值序列 x(n)
DFT变换对
x(n)的长度为M点，N≥M
N点DFT 变换对
DFT [ x(n)] X (k ) x(n)WNkn
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
[ x(m)WNmk ]WN kn
k 0 m 0
N 1 N 1
1 x ( m) N m 0
1 N
WNk ( m n )
k 0
N 1
W
k 0
N 1
k ( mn ) N
1 N
e
k 0
N 1 j 2 k ( m n ) N
x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
用矩阵计算循环卷积的公式
L 1 yc (n) h(m) x((n m)) L RL (n) m0
离散傅里叶级数(DFS)及FFT快速卷积5
tic,
y1=conv(x,h);
toc,
L=pow2(nextpow2(M+N-1));
tic,
Xk=fft(x,L); Hk=fft(h,L);
Yk=Xk.*Hk;
y2=ifft(Yk,L);
toc,suຫໍສະໝຸດ plot(2,1,1),stem(0:M-1,x,'.'),
Elapsed time is 0.000038 seconds.
当M=410时：
firure 1
firure 2
Elapsed time is 0.000143 seconds.
Elapsed time is 0.000090 seconds.
（原因分析：如果滤波器长度相当于信号长度很短，那么直接卷积机会比用FFT快，否则是FFT快于直接卷积。）
end
x=[x,zeros(1,N-length(x))];
h=[h,zeros(1,N-length(h))];
k=0:N-1;
h=h(mod(-k,N)+1);
Z=zeros(N,N);
forn=1:N
Z(n,:)=circularshift(h,n-1,N);
end
y=Z*x'
1.重叠保留
functiony=ovlpsave(x,h,N)
三、用FFT实现FIR滤波器与信号的滤波
四、用FFT重叠相加法实现FIR滤波器与信号的滤波
实验环境
MATLAB 2007下的M文件编辑器
实
验
编
程
及
运
行
结
果
1.循环移位
离散傅里叶变换(DFT)(图)
离散傅里叶变换（DFT）（图）上一回说到，在离散傅里叶级数（DFS）中，离散时间周期序列在时域是离散的n ，其频谱是离散频率周期序列，在频域也是离散的k，理论上解决了时域离散和频域离散的对应关系问题。
但由于其在时域和频域都是周期序列，所以都是无限长序列。
无限长序列在计算机运算上仍然是无法实现的。
为此我们必须取有限长序列来建立其时域离散和频域离散的对应关系。
一、DFS的主值序列上一回讨论我们知道，离散时间周期序列是一个无限长序列，其傅立叶级数展开式为（1）可以看出时间点序号n 是以N为周期的，如果只取其一个周期，称之为的主值序列：（2）主值序列x（n）就是一个长度为N的有限长离散时间序列。
同理，的DFS也是一个无限长序列，即傅立叶系数：（3）也可以看出频率点序号k 也是以N为周期的，如果只取其一个周期，称之为的主值序列：（4）主值序列X（k）是一个长度为N的有限长离散频率序列。
可见，离散时间周期序列在时域和频域的主值序列，均为有限长离散序列。
且主值序列的长度均为N（即n，k＝0，1，2，…，N－1）。
二、离散傅里叶变换（DFT）的定义在离散傅立叶级数（DFS）中，取其时域和频域的主值序列，变换仍然成立。
这就是离散傅里叶变换（DFT），即：（5）和其逆变换（IDFT）：（6）可见离散傅里叶变换（DFT）只不过是特殊的离散傅立叶级数（DFS），如果其时域和频域都仅取主值序列。
离散傅立叶级数（DFS）中的无限长序列和都是以N为周期的周期序列，所以在计算离散时间周期序列及其频谱时，可以利用DFS的周期性，只需要在时域和频域各取一个主值序列，用计算机各计算一个周期中的N个样值，最后将所得的主值序列x（n）和X（k）进行周期延拓，即可得到原来的无限长序列和。
三、DFT的推广应用由DFT的导入过程可以发现，DFT不仅可以解决无限长周期序列的计算机运算问题，而且更可以解决有限长序列的计算机运算问题。
事实上，对于有限长离散序列，总可以把时域和频域的变换区间（序列长度）均取为N（包括适当数量的补0点），通常把N称之为等间隔采样点数，我们可以把这个N点的变换区间视为某个周期序列的一个主值序列，直接利用DFT的定义计算其N点变换。
离散傅里叶级数dfs
离散傅里叶级数dfs离散傅里叶级数（Discrete Fourier Series，DFS）是一种将离散信号分解为一系列正弦和余弦函数的方法。
它在信号处理、图像处理、通信系统等领域广泛应用。
本文将介绍DFS的基本原理、计算方法以及其在实际应用中的一些重要应用。
一、DFS的基本原理离散傅里叶级数是傅里叶级数在离散时间下的推广。
傅里叶级数是将周期信号分解为一系列谐波成分的方法，而离散傅里叶级数则是将离散信号分解为一系列离散频率成分的方法。
离散傅里叶级数的核心思想是将信号表示为一组正弦和余弦函数的线性组合。
二、DFS的计算方法离散傅里叶级数的计算可以通过离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）来实现。
DFT将离散信号从时域转换到频域，得到信号的频谱信息。
具体计算方法可以通过快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）来高效实现。
三、DFS的应用DFS在信号处理中有着广泛的应用。
首先，它可以用于信号的频谱分析，通过分析信号的频谱特征可以了解信号中包含的频率成分，从而对信号进行分析和处理。
其次，DFS在图像处理中也有着重要的应用。
通过对图像进行DFS分解，可以将图像分解为一系列频率成分，从而实现图像压缩、去噪、增强等功能。
此外，DFS还可以用于通信系统中的调制、解调、频谱分析等方面。
四、DFS的优缺点虽然离散傅里叶级数在信号处理中具有重要的地位和广泛的应用，但它也存在一些缺点。
首先，DFS要求信号是周期的，而实际中的信号往往是非周期的，因此需要对信号进行周期延拓，这会引入一定的误差。
其次，DFS的计算复杂度较高，尤其是对于大规模信号的处理，计算时间会很长。
因此，为了提高计算效率，通常会使用快速傅里叶变换算法。
总结离散傅里叶级数是一种将离散信号分解为一系列正弦和余弦函数的方法，它在信号处理、图像处理、通信系统等领域有着广泛的应用。
通过对离散信号进行DFS分解，可以获得信号的频谱信息，实现信号的分析和处理。
离散傅里叶级数
式中，乘以系数1/N是为了下面计算的方便； 为k次谐波的系数。 将上式两边同乘以 并从n=0到N-1求和，得到：
2
由复指数序列的正交性：
e
n 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
N 1
p ( k r ) n j 2N
所以，
N k r p ( k r ) N j 2N 1 e 0 k r p ( k r ) j 2N 1 e
1
n
x(n)r n ，ZT不存在。
e
j
j
2p n N
ek N e
j
2p n(k N ) N
ek e
2p nk N
e
j
2p nk N
ek
1
所以，第k次谐波也是周期为N的序列。
因此，对于离散傅里叶级数，只取下标从0到N-1的N个谐 波分量就足以表示原来的信号。这样可把离散傅里叶级 数表示为
令
则
上式表示的是两个周期序列的卷积，称为周期卷积。 两个周期为N的序列的卷积的离散傅里叶级数(DFS)等于 它们各自DFS的乘积。
8
周期卷积的计算：
周期卷积中的序列 和 对m都是 周期为N的周期序列，它们的乘积对m也是以N为周期的， 周期卷积仅在一个周期内求和。 相乘和相加运算仅在m=0到N-1的区间内进行。计算 出n=0到N-1(一个周期)的结果后，再将其进行周期延 拓，就得到周期卷积 。详见周期卷积的过程。 周期卷积满足交换律 两个周期序列的乘积
周期卷积中的序列对m都是周期为n的周期序列它们的乘积对m也是以n为周期的周期卷积仅在一个周期内求和
离散傅里叶级数及其性质
1. 1 离散傅里叶级数(DFS)定义（周期序列） 一个周期为N的周期序列 不满足 可表示为：
傅里叶级数（FS）以及FT、DTFT、DFS和DFT
傅⾥叶级数（FS）以及FT、DTFT、DFS和DFT 傅⾥叶级数（FS）周期为 T 的函数f(t),ω=2πT. 正交基为{e jnωt},n=0,±1,±2,⋯。
f(t)=∞∑n=−∞C n e−jωnt C n=<f(t),e jnωt><e jnωt,e jnωt>=∫T f(t)e−jnωt dt∫T e jnωt e−jnωt dt=1T∫Tf(t)e−jnωt dt连续时间的傅⾥叶变换（FT）F(ω)=∫∞−∞f(t)e−jωt dtf(t)=12π∫∞−∞F(ω)e jωt dω离散时间序列的傅⾥叶变换（DTFT)它⽤于离散⾮周期序列分析对应频域连续周期(周期为 2π)，条件是x(n) 绝对可和或者能量有限，即∑∞n=−∞|x(n)|<∞∑∞n=−∞|x(n)|2<∞。
X(e jω)=∞∑n=−∞x(n)e−jωn(1)x(n)=12π∫π−πX(e jω)e jωn dω(2)式(1)中，ω为数字⾓频率，它是模拟域频率Ω对采样频率f s的归⼀化，即ω=ΩT s=Ω/f s Z变换由z=e jω代⼊上式得X(z)=∞∑n=−∞x(n)z−n周期序列的离散傅⾥叶级数（DFS）x(n) 是周期为 N 的周期序列，可以看做X(k)的傅⾥叶级数频域展开，离散周期 ---> 周期离散，周期都为N。
˜X(k)=N−1∑n=0˜x(n)e−j2πN nk=N−1∑n=0˜x(n)W nk N k∈Z˜x(n)=1NN−1∑k=0˜X(k)e j2πN nk=1NN−1∑k=0˜X(k)W−nkNn∈Z W N=e−j2πN有限长序列的离散傅⾥叶变换（DFT）x(n) 为有限长序列，长度为 N 。
其他值都为 0 。
X(k)=N−1∑n=0x(n)W−nkN0⩽DFT 与 DTFT 、z变换的关系X(k) =X(e^{j\omega})|_{\omega =\frac{2\pi}{N}k} \\ X(k) = X(z)|_{z=W_N^{-k}} Matlab仿真信号的抽样，CFT，DFT 和 FFTts=0.5; %采样时间间隔df=1.0;fs = 1/ts; %采样频率n2 = 50/ts; %time=[0,50]之间采样n1 = fs/df;N = 2^(max(nextpow2(n1),nextpow2(n2))); %nextpow2(N) returns the first P such that 2.^P >= abs(N).%当序列是2的幂次⽅时，FFT⾼效df = fs/N; %设置分辨率t = 0:0.01:50;y = cos(2/5*pi*t);subplot(2,2,1);plot(t,y,'k:'); %绘制余弦信号hold ont2=0:ts:50;y2=cos(2/5*pi*t2);stem(t2,y2,'k'); % 画⽕柴杆图，对余弦信号抽样axis([0 10 -1.2,1.2]);title('抽样信号: \rm x_{s}(t)');xlabel('t');line([0 10],[0 0],'color',[0 0 0]);hold offk=-N:N;w = df*k;Y = 0.01*y*exp(-j*2*pi*t'*w);% 计算CFTY=abs(Y);subplot(2,2,2);plot(w,Y,'k');axis([-fs/2-0.5,fs/2+0.5,0,8*pi+0.5]);title('连续傅⾥叶变换: X(f)');xlabel('f');subplot(2,2,3);Y1=y2*exp(-j*2*pi*t2'*w); % 计算离散傅⾥叶变换Y1=Y1/fs;plot(w,abs(Y1),'k');title('离散傅⾥叶变换 \rm X_{s}(f)');xlabel('f');axis([-fs/2-1,fs/2+1,0,8*pi+0.5]);Y2=fft(y2,N); %使⽤FFT计算离散傅⾥叶变换Y2=Y2/fs;f=[0:df:df*(N-1)]-fs/2; %调整频率坐标subplot(2,2,4);plot(f,fftshift(abs(Y2)),'k');axis([-fs/2-0.5,fs/2+0.5,0,8*pi+0.5]);title('快速傅⾥叶变换：\rm X_{s}(f) ');xlabel('f');由此可见，FFT 可以很好地表现 CFT 的频谱图。
离散傅里叶级数
离散傅里叶级数
1简介
离散傅里叶级数(Discrete Fourier Series,简称DFS)是一种把一组有限数字转换为另一组有限数字的数学方法，被广泛应用在数字信号处理中。
其基本想法可以溯源于十九世纪爱因斯坦、贝尔提出的互调理论（Interference Theory）以及傅里叶分析（Fourier Analysis),在计算机时代被很好的落实。
2原理
DFS的主要思想也很简单，即：将一个有限的信号信息拆分为无限多个简单的信号，然后重新求和获得原来的有限信号，如此就实现了将有限信号拆分为无限多个独立的信号的概念。
基于此思想，离散傅里叶级数可以被表示为：
F(x)=a_0+\sum_{n=1}^{N}a_nsin\frac{n\pi x}{L}+
b_ncos\frac{n\pi x}{L}
上述公式中，a_n和b_n是系数，是由原始信号计算出来的，N表示信号变换的次数，x表示信号的变量，L表示信号的周期。
3应用
DFS因其准确性、高效率、简单性和可伸缩性，被广泛应用于数字信号处理和图像处理领域。
典型的应用包括物理信号精确表示、频谱分析、减少噪声、信号加密、恢复损坏的信号等等。
DFS应用在电影艺术、声音处理、数字广播、多媒体通信等方面，具有实际意义。
4总结
离散傅里叶级数提供了一个可以把有限的信号映射为无限的信号的有效的方法，它的应用被广泛的发挥在领域里。
它以其准确性、高效率、简单性和可伸缩性而得到优越的美誉。
08第八讲 离散傅里叶级数(DFS)
~ ~( n ) = IDFS [ X ( k )] = 1 x N
j nk 1 ~ N ∑ X ( k )e = N k =0
N −1
~ − X ( k )WN nk ∑
k =0
N −1
DFS［·］表示离散傅里叶级数正变换，IDFS［·］表示离散 傅里叶级数反变换。 只要知道周期序列一个周期的内容，其他的内容也都知道 了。 所以，这种无限长序列实际上只有一个周期中的N个序列 值有信息。 因而周期序列和有限长序列有着本质的联系。
~ (n 设) 和 ~2 (n ) 皆是周期为N的周期序列，们各自的DFS分 x x1
别为：
~ X 1 (k ) = DFS [ ~1 ( n )] x ~ X 2 ( k ) = DFS [ ~2 ( n )] x
第3章 离散傅里叶变换
2.3.1 线性
~ ~ ~ ( n ) + b~ ( n )] = aX ( k ) + bX ( k ) DFS [ax1 x2 1 2
~ X ( k ) = ∑ ~ ( n )e x
n =0
N −1
−j
2π kn N
~( n ) = 1 x N
~ ∑ X ( k )e
k =0
N −1
j
2π kn N
第3章 离散傅里叶变换
使用 WN = e
−j
2π N
表示为: 表示为
2π
N −1 N −1 − j nk ~ nk X ( k ) = DFS [ ~( n )] = ∑ ~( n )e N = ∑ ~( n )WN x x x n =0 n =0 2π
第3章离散傅里叶变换第八讲离散傅里叶级数dfs31引言32周期序列的离散傅里叶级数dfs33离散傅里叶级数dfs的性质第3章离散傅里叶变换xat??txptoottpxnton点xpnon点ntnabcdxaj?1?0o?0?xpjk??ok???xej???1txejk??s?oo??n点?st时域频域连续非周期非周期连续连续周期非周期离散离散非周期周期连续离散周期周期离散31傅里叶变换的几种可能形式第3章离散傅里叶变换表表31四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期非周期和离散离散和非周期周期和连续散和周期周期和离散一个域的离散对应另一个域的周期延拓一个域的连续必定对应另一个域的非周期第3章离散傅里叶变换31引言数字计算机只能计算有限长离散序列序列的傅里叶变换和z变换
dfs离散傅里叶级数
dfs离散傅里叶级数离散傅里叶级数（Discrete Fourier Series， DFS）是傅里叶级数的离散化形式，它将任意离散的n个时间序列数据，转换为对应的频域谱。
这个转换过程通常通过快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法实现，因为它具有高效、稳定、准确、可重复性等优点，广泛应用于各个领域，如图像处理、信号处理、音频处理、通讯、计算机图形学等，使得数据的分析和处理更快更方便。
离散傅里叶级数公式如下：设有N个信号x0, x1, ... , x(N-1) ，则其傅里叶变换X[m]可以表示为：$X[m]= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-\frac{2\pi{imn}}{N}}, m = 0, 1, ... , N-1.$这里，e是"欧拉数"，即自然对数的底数e=2.71828...，其中m表示频率，n表示样本点，N表示样本点数。
DFS的意义就是将一个周期函数分解成依次振幅和相位不断变化的正余弦函数。
在此基础上，对于连续信号进行采样之后，即可得到离散信号，DFS就是将离散信号转变到频域的一种方法。
通过DFS，可以将时间域的信号转化为频域的频谱，从而对不同频率的成分进行研究，帮助我们更好地理解信号的特性和行为。
在实际应用中，离散傅里叶级数可以用于音频处理、图像处理、信号识别等任务。
例如，在音频处理中，能够对声音的频率分布进行分析，进而对声音的音调、语音语速、音质等方面进行研究和处理；在图像处理中，能够通过对图像的傅里叶变换，得到图像的频率分布，从而进行图像去噪、增强、变换等操作；在信号识别中，能够对信号的频率分布进行分析，进而对信号的特征进行分类、识别等任务。
总之，离散傅里叶级数是一种十分重要的工具，它可以将我们平时处理的信号转换为频域的一种表示方式，从而方便我们进行信号分析、处理和应用。
dfs离散傅里叶级数
dfs离散傅里叶级数离散傅里叶级数（Discrete Fourier Series，DFS）是一种将离散信号表示为基频和谐波的和的方法。
它是傅里叶级数的离散形式，适用于离散时间系统中信号的频域分析和处理。
离散傅里叶级数在信号处理、通信、图像处理等领域中广泛应用。
离散傅里叶级数的数学定义如下：给定一个离散信号序列$x[n]$，其长度为N，离散傅里叶级数可以表示为：$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot e^{-j(2\pi/N)kn}$$其中，$X[k]$是信号在频域中的表示，表示频率为$k(0\leqk<N)$；$x[n]$是信号在时域中的表示，表示时间为$n(0\leqn<N)$；$e$是自然常数，$j$是虚数单位。
离散傅里叶级数的求解过程可分为两个步骤：离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）和离散傅里叶逆变换（Inverse Discrete Fourier Transform，IDFT）。
DFT是将信号$x[n]$从时域变换到频域的过程，其数学定义为：$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot W_N^{-kn}$$其中，$W_N = e^{-j(2\pi/N)}$是旋转因子。
这个公式实际上是将$x[n]$与旋转因子$W_N^{-kn}$进行了内积运算。
DFT的计算复杂度为O(N^2)。
IDFT是将信号$X[k]$从频域恢复到时域的过程，其数学定义为：$$x[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} X[k] \cdot W_N^{kn}$$其中，$W_N = e^{-j(2\pi/N)}$是旋转因子。
这个公式实际上是将$X[k]$与旋转因子$W_N^{kn}$进行了内积运算，然后再除以N。
IDFT的计算复杂度也为O(N^2)。
离散傅里叶级数的性质与傅里叶级数类似，包括线性性、循环性、频谱移位性、对称性、Parseval定理等。
DFS
~ [ k n ]} 证 : DFS{ x
k n r
k N
~ [ k n ]W mk x N
m ( r n ) ~ x[ r ]W N
r N
mn WN
r N
~[ r ]W mr x N
W
DFS
mn N
~ X [m]
国家电工电子教学基地 信号与系统系列课程组
n 0
N 1
~ x1[n]DFS{~ x2 [k n]}
n 0
N 1
~ ~ x1 [ n] X 2 [ m]W nm N
N 1 n 0
~ ~ X1[m]X 2[m]
DFS
国家电工电子教学基地 信号与系统系列课程组
1 ~ ~ DFSx1[k ] x2 [k ] DFS{~ x1[k ]} ~ DFS{~ x2 [k ]} N
~ x 2 [ 3] ~ x [ 0]
国家电工电子教学基地 信号与系统系列课程组
卷积定理：
DFS~ x1 [ k ] ~ ~ x2 [ k ] DFS{~ x1 [ k ]}DFS{~ x2 [ k ]}
证 : DFS~ x1[k ] ~ ~ x2 [k ] DFS{ ~ x1[n]~ x2 [k n]}
k M
M
e
当m=0, N, 2N, 时有
X [m] 2M 1
对m的其它取值，利用等比级数的求和公式有 m 2 2 j mM j m ( M 1) sin 2 M 1 e N e N N X [ m] 2 j m m N sin 1 e N
DFS
国家电工电子教学基地 信号与系统系列课程组
离散傅里叶级数(DFS)
~x (n)W1n0k
4
j 2 nk
e 10
n0
n0
| ~x(k) |
5
…
…
－ 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
15
20
k
第3章 离散傅里叶变换
X%(k)跟X (z)的关系:
周期序列 X~ (k )可看成是对 ~x(n) 的第一个周期x(n)作Z变换，然
后将Z变换在Z平面单位圆上按等间隔角2π/N采样而得到的。令
非周期和连续
连续和周期
非周期和离散
离散和非周期
周期和连续
散和周期
周期和离散
一个域的离散对应另一个域的周期延拓， 一个域的连续 必定对应另一个域的非周期
第3章 离散傅里叶变换
3.1 引 言
数字计算机只能计算有限长离散序列 序列的傅里叶变换和Z变换:其频谱连续且无限长 周期序列的离散傅里叶级数:其频谱离散但无限长(周期) 有限长序列的离散傅里叶变换:其频谱离散且有限长(一个周期) 离散傅里叶变存在有效的快速算法——快速离散傅里叶变换， 因而在各种数字信号处理的算法中起着核心作用。
1 N
N 1 X~ (k )WNnk
k 0
DFS［·］表示离散傅里叶级数正变换，IDFS［·］表示离散 傅里叶级数反变换。
只要知道周期序列一个周期的内容，其他的内容也都知道 了。 所以，这种无限长序列实际上只有一个周期中的N个序列 值有信息。 因而周期序列和有限长序列有着本质的联系。
第3章 离散傅里叶变换
复指数序列：ek
(n)
e
j
2
N
kn
ek rN
(n)
k, r为整数。
~x (n)
离散傅立叶级数
离散傅立叶级数（DFS）（图）上一回说到，非周期信号的离散时间序列，理论上可由离散时间傅里叶变换（DTFT）求出其频谱函数，一般是连续频谱。
但连续频谱不便于计算机处理，必须进一步探索路子，建立时域离散和频域离散的对应关系。
一、离散时间周期序列如果对一个连续时间周期信号，利用单位样值序列（类似于狄拉克梳状函数）（1）进行抽样，则可得到离散时间周期序列：（2）如果以连续时间周期信号为三角波为例，则抽样后的离散时间周期序列如下图所示：图1 离散时间周期序列举例离散时间周期序列的频谱是否也是离散周期序列呢？二、DFS的定义我们知道，对于连续时间周期信号，可展开为傅立叶级数（3）而对于序号n以N为周期的离散时间周期序列，考虑到（4）也可以展开为傅立叶级数（5）其中傅立叶系数（6）当整数k取值变化时，上式是以N为周期的序列。
可以看出式（5）的级数也是以N为周期，所以求和只限于N项。
科学上把（7）定义为离散时间周期序列的离散傅立叶级数系数（DFS），记为（8）其逆变换即（9）上述两式构成一个离散周期信号的离散傅立叶级数对。
它们都是以N为周期的离散周期序列。
注意：离散傅立叶级数（DFS）由于是有限项求和，所以总是收敛的。
三、离散时间周期序列的频谱由式DFS定义式（8）和离散时间周期序列的表达式（2）可知，一个离散时间周期序列可以分解为有限个（N个）无穷序列之和，每个序列都是无穷多个谐波分量，频率间隔为Ω1＝2π/N，第k次谐波数字角频率为Ωk＝kΩ1=k2π/N 。
因为整数k和n都是以N为周期的，离散时间周期序列的频谱也是频域离散的周期序列。
例：周期为N=10的单位矩形周期序列如下图：图2 单位矩形周期序列（N=10）其离散傅立叶级数（DFS）为（10）其幅度频谱为（11）频谱图如下图：图3 单位矩形周期序列（N=10）的频谱可见，离散时间周期序列的频谱也是频域的离散周期序列。
离散傅立叶级数（DFS）对周期序列实现了时域离散和频域离散的对应关系。
离散傅里叶级数推导
离散傅里叶级数（DFS）的推导与理解一、引言离散傅里叶级数（Discrete Fourier Series，简称DFS）是数字信号处理和许多工程领域中的重要工具，它提供了一种将周期离散信号分解为一系列正弦波和余弦波的方法。
这种分解使得对复杂信号的分析、处理和合成变得更加直观和方便。
二、离散傅里叶级数的基本定义考虑一个在区间[0, 2π]上周期为2π的离散时间信号x[n]，其离散傅里叶级数可以表示为：\[ x[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j\frac{2\pi kn}{N}} \]其中，\( N \)是信号的周期，\( X[k] \)是信号x[n]的傅里叶系数，\( j \)是虚数单位，\( e \)是自然对数的底数。
三、离散傅里叶级数的推导过程离散傅里叶级数的推导通常基于连续傅里叶级数并结合采样定理进行。
以下简述基本步骤：1. 从连续到离散首先，对于连续周期信号，我们可以利用连续傅里叶级数将其表示为无限项的正弦和余弦函数之和。
然后，通过周期性采样，将连续信号转化为离散信号。
2. 定义离散傅里叶系数离散傅里叶系数\( X[k] \)定义为信号x[n]与基函数\( e^{-j\frac{2\pi kn}{N}} \)的内积，即：\[ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi kn}{N}} \]3. 得到离散傅里叶级数表达式将上述傅里叶系数代入到离散傅里叶级数公式中，即可得到离散信号x[n]的复指数形式表示。
四、结论离散傅里叶级数的推导不仅展示了周期离散信号可以通过一组有限的正弦和余弦函数基来完全重建，还揭示了信号频域特性的获取方法，这对于后续的信号滤波、压缩、去噪等处理具有重要意义。
同时，离散傅里叶变换（DFT）以及快速傅里叶变换（FFT）正是建立在离散傅里叶级数理论基础之上，极大地提高了信号处理的效率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第3章 离散傅里叶变换
周期卷积的过程： 周期卷积的过程：
~ (n) x1
(a)
－N
0
N
n
~ (n) x2
1 (d)
－N
0
N
n
~ ( m) x1
(c)
0
N －1
m
两个周期序列（N=7）的周期卷积
第3章 离散傅里叶变换
由于DFS和IDFS变换的对称性，可以证明时域周期序列的 乘积对应着频域周期序列的周期卷积。即，如果
i =0
N −1
2.3.3 周期卷积 ~ ~ ~ 如果 Y ( k ) = X 1 ( k ) X 2 ( k ) N −1 ~ 则 ~( n ) = IDFS [Y ( k )] = ∑ ~1 ( m )~2 n − m） y x x （ 或
第3章 离散傅里叶变换
~( n ) = ~ ( m )~ n − m） y （ ∑ x2 x1
j
2π rn N
1 1 1− e = = 2π j r N 0 N 1− e
j
2π rN N
r=mN, m为整数 其他r
~(n) 乘以 − j 2π rn x e N
% ∑ x ( n)e
n=0 N −1 −j 2π rn N
，然后从n=0 到N-1的一个周期内求和，得
N −1 k =0 j 2π ( k −r ) n N
通常称x(n)为 ~( n ) 的主值区序列，则x(n)的Z变换为 x
X ( z) =
n = −∞
∑ x(n ) z
∞
−n
= ∑ ~( n ) z −n x
n =0
k
N −1
% X (k ) = X ( z )
2π j − z = e jω =WN k = e N
第3章 离散傅里叶变换
~ 可以看出，当0≤k≤N-1 时， X ( k ) 是对X(z)在Z平面单位圆上的N点 ~ 等间隔采样，在此区间之外随着k的变化， X ( k ) 的值呈周期变化。
jIm[z] 2 |z|＝1 3 1 2π / N 4 o k ＝0 7(＝N －1) 6 Re[z]
5
图2-4
第3章 离散傅里叶变换
~(n ) = ~ (n ) ~ (n ) y x1 x2
则
N −1 1 N −1 ~ ~ ~ ~(n )] = ~(n )W nk = Y (k ) = DFS [ y ∑ y N N ∑ X 1 (l )X 2 ( k − l ) n =0 l =0
~ ~( n ) = IDFS [ X ( k )] = 1 x N
j nk 1 ~ N ∑ X ( k )e = N k =0
N −1
~ − X ( k )WN nk ∑
k =0
N −1
DFS［·］表示离散傅里叶级数正变换，IDFS［·］表示离散 傅里叶级数反变换。 只要知道周期序列一个周期的内容，其他的内容也都知道 了。 所以，这种无限长序列实际上只有一个周期中的N个序列 值有信息。 因而周期序列和有限长序列有着本质的联系。
~ 对于所有的k值 X ( k ) 均相同。于是
~(n ) = x
1 ∑δ (n + rN ) = N r = −∞
∞
∑W
k =0
N −1
− nk N
1 = N
∑e
k =0
N −1
j
2π nk N
第3章 离散傅里叶变换
例3-2 已知周期序列 X ( k ) 如图3-2所示，其周期N=10, 试求 ~ 解它的傅里叶级数系数 X ( k ) 。
1 x (n ) = 0
0≤n≤4 其他
x (n 则 ~( n ) 的一个周期的傅里叶变换是
X ( e jω ) = ∑ e − jωn
n =0
4
1 − e − j 5ω − j 2ω sin(5ω / 2) = =e − jω 1− e sin(5ω / 2)
4πk 10
可以证明，若将ω=2πk/10 代入上式即
ωs
π
ω
第3章 离散傅里叶变换
表3-1 四种傅里叶变换形式的归纳
时间函数 连续和非周期 连续和周期 离散和非周期 散和周期 频率函数 非周期和连续 非周期和离散 周期和连续 周期和离散
一个域的离散对应另一个域的周期延拓， 一个域的离散对应另一个域的周期延拓， 一个域的连续 必定对应另一个域的非周期
ω
k
一个周期序列的DFS系数等于主 值区序列的傅里叶变换的采样
第3章 离散傅里叶变换
2.3 离散傅里叶级数（DFS）的性质 离散傅里叶级数（ ）
由于可以用采样Ｚ变换来解释DFS，因此它的许多性质与Ｚ
~ 变换性质非常相似。但是，由于 ~( n ) 和 X (k ) 两者都具有周期性， x
这就使它与Z变换性质还有一些重要差别。此外，DFS在时域和 频域之间具有严格的对偶关系，这是序列的Z变换表示所不具有 的。
=e
2π j N
kn
= ek + rN ( n )
k, r为整数。
~( n ) = 1 x N
~ ∑ X ( k )e
k =0
N −1
j
2π kn N
~ X ( k ) 是k次谐波的系数
第3章 离散傅里叶变换
~ 的求解： 系数 X ( k ) 的求解：
1 N
∑e
n =0
N −1
m =0
N −1
m =0
1 N −1 ~ ~ ~ ~ − 证 ~( n ) = IDFS [ X 1 ( k ) X 2 ( k )] = ∑ X 1 ( k )X（k）WN kn y 2 N k =0 =0 N −1 ~ mk X 1 ( n ) = ∑ ~1 ( m )WN x 代入 1 N −1 N −1 ~ ~ −( n − m ) k ~
~ X ( k ) = ∑ ~ ( n )e x
n =0
N −1
−j
2π kn N
~( n ) = 1 x N
~ ∑ X ( k )e
k =0
N −1
j
2π kn N
第3章 离散傅里叶变换
使用 WN = e
−j
2π N
表示为: 表示为
2π
N −1 N −1 − j nk ~ nk X ( k ) = DFS [ ~( n )] = ∑ ~( n )e N = ∑ ~( n )WN x x x n =0 n =0 2π
频域 非周期 连续
τ
t
－Ω 0
o
Ω0 |X p( jkΩ )|
Ω
连续 周期
o Tp t x(nT) (b) o |X( ejω )| 1/T nT (c)
非周期 离散
kΩ
离散 非周期
周期 连续
π
To N点 x p(n)
－π
o
ω
|X( ejkω s)|
离散 周期
o N点 n (d)
周期 离散
－π
o N点
2.3.2 序列的移位
2π mk N
% % DFS[ x(n + m)] = WN− mk X (k ) = e
j
% X (k )
时域时移频域相移 频域频移时域调制
~ nl IDFS [ X ( k + l )] = WN ~( n ) = e x
N −1 n =0
−j
2π nl N
~(n ) x
证
% X (k )跟X (e jω )的关系:
| ~ (k ) | x
5
…
…
－1 0 1 2 3 4
5
6 7 8
9 10
15
ห้องสมุดไป่ตู้
20
k
由于单位圆上的Z变换即为序列的傅里叶变换，所以周期序
~ 列X ( k ) 也可以解释为 ~( n ) 的一个周期x(n)的傅里叶变换的等间 x
隔采样。 因为
X ( e jω ) = ∑ x ( n )e − jωn = ∑ ~( n )e − jωn x
% % DFS [ x(n + m)] = ∑ x(n + m)WNnk =
ki N
N −1+ m
∑
i =m
% x(i )WNkiWN− mk
i=n+m
x 由于 ~(i )及W
都是以N为周期的周期函数， 故
− mk N
DFS [ ~( n + m)] = W x
~ ~(i )W ki = W −mk X ( k ) x ∑ N N
% X (k )跟X ( z )的关系:
~ x 周期序列 X ( k ) 可看成是对 ~(n ) 的第一个周期x(n)作Z变换，然
后将Z变换在Z平面单位圆上按等间隔角2π/N采样而得到的。令
x ~ (n ) ~ (n ) ⋅ R (n ) = x(n ) = x N 0
0≤n≤N-1 其他n
1 = N
∑∑
n =0
N −1
% X ( k )e
=∑
k =0
N −1
% (k ) 1 X N
2π kn N
∑e
n =0
N −1
j
2π ( k −r ) n N
% = X (r )
把r换成k可得
~ X ( k ) = ∑ ~ ( n )e x
n =0
N −1
k − r = mN
第3章 离散傅里叶变换
设
2.2 周期序列的离散傅里叶级数 周期序列的离散傅里叶级数(DFS) ~( n ) 是一个周期为N的周期序列， 即 x ~(n ) = ~( n + rN ) x x r为任意整数