08第八讲 离散傅里叶级数(DFS)

−j
第3章 离散傅里叶变换
~ X ( k ) 也是一个以N为周期的周期序列：
N −1 N −1 − j ( k + mN ) n ~ ~ ~( n )e N ~( n )e − j N kn = X ( k ) X ( k + mN ) = ∑ x = ∑x n =0 n =0 2π 2π
离散傅里叶级数（DFS）： 离散傅里叶级数（ ）：
第3章 离散傅里叶变换
3.1 引 言
数字计算机只能计算有限长离散序列 序列的傅里叶变换和Z变换:其频谱连续且无限长 周期序列的离散傅里叶级数:其频谱离散但无限长(周期) 有限长序列的离散傅里叶变换:其频谱离散且有限长(一个周期) 离散傅里叶变存在有效的快速算法——快速离散傅里叶变换， 因而在各种数字信号处理的算法中起着核心作用。
~(n ) = ~ (n ) ~ (n ) y x1 x2
则
N −1 1 N −1 ~ ~ ~ ~(n )] = ~(n )W nk = Y (k ) = DFS [ y ∑ y N N ∑ X 1 (l )X 2 ( k − l ) n =0 l =0
~ (n ) x
… …
~
－10
0 1 2 3 4 5
6
7
8
9 10
n
10 −1 4 ~ ~( n )W nk = e − j 10 nk X (k ) = ∑ x ∑ 10 n =0 n =0
2π
| ~ (k ) | x
5
…
…
－1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
15
20
k
第3章 离散傅里叶变换
~ X ( k ) = ∑ ~ ( n )e x
n =0
N −1
−j
2π kn N
~( n ) = 1 x N
~ ∑ X ( k )e
k =0
N −1
j
2π kn N
第3章 离散傅里叶变换
使用 WN = e
−j
2π N
表示为: 表示为
2π
N −1 N −1 − j nk ~ nk X ( k ) = DFS [ ~( n )] = ∑ ~( n )e N = ∑ ~( n )WN x x x n =0 n =0 2π
第3章 离散傅里叶变换
x 例3-1 设 ~ ( n )为周期脉冲串
~(n ) = x
r = −∞
∑δ (n + rN )
~( n ) 的DFS系数为 x
∞
对于0≤n≤N-1， ~ ( n ) = δ ( n ) , x
N −1 N −1 ~ nk nk X ( k ) = ∑ ~( n )WN = ∑ δ ( n )WN = 1 x n =0 n =0
~ ~( n ) = IDFS [ X ( k )] = 1 x N
j nk 1 ~ N ∑ X ( k )e = N k =0
N −1
~ − X ( k )WN nk ∑
k =0
N −1
DFS［·］表示离散傅里叶级数正变换，IDFS［·］表示离散 傅里叶级数反变换。 只要知道周期序列一个周期的内容，其他的内容也都知道 了。 所以，这种无限长序列实际上只有一个周期中的N个序列 值有信息。 因而周期序列和有限长序列有着本质的联系。
频域 非周期 连续
τ
t
－Ω 0
o
Ω0 |X p( jkΩ )|
Ω
连续 周期
o Tp t x(nT) (b) o |X( ejω )| 1/T nT (c)
非周期 离散
kΩ
离散 非周期
周期 连续
π
To N点 x p(n)
－π
o
ω
|X( ejkω s)|
离散 周期
o N点 n (d)
周期 离散
－π
o N点
m =0
第3章 离散傅里叶变换
周期卷积的过程： 周期卷积的过程：
~ (n) x1
(a)
－N
0
N
n
~ (n) x2
1 (d)
－N
0
N
n
~ ( m) x1
(c)
0
N －1
m
两个周期序列（N=7）的周期卷积
第3章 离散傅里叶变换
由于DFS和IDFS变换的对称性，可以证明时域周期序列的 乘积对应着频域周期序列的周期卷积。即，如果
% % DFS [ x(n + m)] = ∑ x(n + m)WNnk =
ki N
N −1+ m
∑
i =m
% x(i )WNkiWN− mk
i=n+m
x 由于 ~(i )及W
都是以N为周期的周期函数， 故
− mk N
DFS [ ~( n + m)] = W x
~ ~(i )W ki = W −mk X ( k ) x ∑ N N
~ (n 设) 和 ~2 (n ) 皆是周期为N的周期序列，们各自的DFS分 x x1
别为：
~ X 1 (k ) = DFS [ ~1 ( n )] x ~ X 2 ( k ) = DFS [ ~2 ( n )] x
第3章 离散傅里叶变换
2.3.1 线性
~ ~ ~ ( n ) + b~ ( n )] = aX ( k ) + bX ( k ) DFS [ax1 x2 1 2
~ 可以看出，当0≤k≤N-1 时， X ( k ) 是对X(z)在Z平面单位圆上的N点 ~ 等间隔采样，在此区间之外随着k的变化， X ( k ) 的值呈周期变化。
jIm[z] 2 |z|＝1 3 1 2π / N 4 o k ＝0 7(＝N －1) 6 Re[z]
5
图2-4
第3章 离散傅里叶变换
通常称x(n)为 ~( n ) 的主值区序列，则x(n)的Z变换为 x
X ( z) =
n = −∞
∑ x(n ) z
∞
−n
= ∑ ~( n ) z −n x
n =0
k
N −1
% X (k ) = X ( z )
2π j − z = e jω =WN k = e N
第3章 离散傅里叶变换
1 x (n ) = 0
0≤n≤4 其他
x (n 则 ~( n ) 的一个周期的傅里叶变换是
X ( e jω ) = ∑ e − jωn
n =0
4
1 − e − j 5ω − j 2ω sin(5ω / 2) = =e − jω 1− e sin(5ω / 2)
4πk 10
可以证明，若将ω=2πk/10 代入上式即
% X (k )跟X (e jω )的关系:
| ~ (k ) | x
5
…
…
－1 0 1 2 3 4
5
6 7 8
9 10
15
20
k
由于单位圆上的Z变换即为序列的傅里叶变换，所以周期序
~ 列X ( k ) 也可以解释为 ~( n ) 的一个周期x(n)的傅里叶变换的等间 x
隔采样。 因为
X ( e jω ) = ∑ x ( n )e − jωn = ∑ ~( n )e − jωn x
=e
2π j N
kn
= ek + rN ( n )
k, r为整数。
~( n ) = 1 x N
~ ∑ X ( k )e
k =0
N −1
j
2π kn N
~ X ( k ) 是k次谐波的系数
第3章 离散傅里叶变换
~ 的求解： 系数 X ( k ) 的求解：
1 N
∑e
n =0
N −1
m =0
y (n ) =
∑∑ x (m)X（k）W N
k =0 m =0 1 2
N
求和只在一个周期上进行， 即m=0到N-1，所以称为周期 卷积。
~ (m) 1 = ∑ x1 N m =0
N −1
N −1
∑
k =0
N −1
~ −( n − m ) k X（k）WN 2
= ∑ ~1 ( m )~2 ( n − m ) x x
i =0
N −1
2.3.3 周期卷积 ~ ~ ~ 如果 Y ( k ) = X 1 ( k ) X 2 ( k ) N −1 ~ 则 ~( n ) = IDFS [Y ( k )] = ∑ ~1 ( m )~2 n − m） y x x （ 或
第3章 离散傅里叶变换
~( n ) = ~ ( m )~ n − m） y （ ∑ x2 x1
1 = N
∑∑
n =0
N −1
% X ( k )e
=∑
k =0
N −1
% (k ) 1 X N
2π kn N
∑e
n =0
N −1
j
2π ( k −r ) n N
% = X (r )
把r换成k可得
~ X ( k ) = ∑ ~ ( n )e x
n =0
N −1
k − r = mN
第3章 离散傅里叶变换
设
2.2 周期序列的离散傅里叶级数 周期序列的离散傅里叶级数(DFS) ~( n ) 是一个周期为N的周期序列， 即 x ~(n ) = ~( n + rN ) x x r为任意整数
~(n ) 的基频（2π/N） x
周期序列不是绝对可和的，所以不能用Z变换表示，但可以 用离散傅里叶级数来表示为:频率是周期序列 的整数倍的的复指数序列（正弦型序列）之和。 复指数序列：ek ( n )
2.3.2 序列的移位
2π mk N
% % DFS[ x(n + m)] = WN− mk X (k ) = e
j
% X (k )
时域时移频域相移 频域频移时域调制
~ nl IDFS [ X ( k + l )] = WN ~( n ) = e x
N −1 n =0
−j
2π nl N
~(n ) x
证
第3章 离散傅里叶变换
第八讲 离散傅里叶级数(DFS)
3.1 引言 3.2 周期序列的离散傅里叶级数（DFS） 周期序列的离散傅里叶级数（ ） 3.3 离散傅里叶级数（DFS）的性质 离散傅里叶级数（ ）
第3章 离散傅里叶变换
3.1 傅里叶变换的几种可能形式
时域 连续 非周期
－τ
o x p(t) x a(t) 1 (a) |X a( jΩ )|
% X (k )跟X ( z )的关系:
~ x 周期序列 X ( k ) 可看成是对 ~(n ) 的第一个周期x(n)作Z变换，然
后将Z变换在Z平面单位圆上按等间隔角2π/N采样而得到的。令
x ~ (n ) ~ (n ) ⋅ R (n ) = x(n ) = x N 0
0≤n≤N-1 其他n
j
2π rn N
1 1 1− e = = 2π j r N 0 N 1− e
j
2π rN N
r=mN, m为整数 其他r
Baidu Nhomakorabea
~(n) 乘以 − j 2π rn x e N
% ∑ x ( n)e
n=0 N −1 −j 2π rn N
，然后从n=0 到N-1的一个周期内求和，得
N −1 k =0 j 2π ( k −r ) n N
ωs
π
ω
第3章 离散傅里叶变换
表3-1 四种傅里叶变换形式的归纳
时间函数 连续和非周期 连续和周期 离散和非周期 散和周期 频率函数 非周期和连续 非周期和离散 周期和连续 周期和离散
一个域的离散对应另一个域的周期延拓， 一个域的离散对应另一个域的周期延拓， 一个域的连续 必定对应另一个域的非周期
ω
k
一个周期序列的DFS系数等于主 值区序列的傅里叶变换的采样
第3章 离散傅里叶变换
2.3 离散傅里叶级数（DFS）的性质 离散傅里叶级数（ ）
由于可以用采样Ｚ变换来解释DFS，因此它的许多性质与Ｚ
~ 变换性质非常相似。但是，由于 ~( n ) 和 X (k ) 两者都具有周期性， x
这就使它与Z变换性质还有一些重要差别。此外，DFS在时域和 频域之间具有严格的对偶关系，这是序列的Z变换表示所不具有 的。
m =0
N −1
m =0
1 N −1 ~ ~ ~ ~ − 证 ~( n ) = IDFS [ X 1 ( k ) X 2 ( k )] = ∑ X 1 ( k )X（k）WN kn y 2 N k =0 =0 N −1 ~ mk X 1 ( n ) = ∑ ~1 ( m )WN x 代入 1 N −1 N −1 ~ ~ −( n − m ) k ~
~ 对于所有的k值 X ( k ) 均相同。于是
~(n ) = x
1 ∑δ (n + rN ) = N r = −∞
∞
∑W
k =0
N −1
− nk N
1 = N
∑e
k =0
N −1
j
2π nk N
第3章 离散傅里叶变换
例3-2 已知周期序列 X ( k ) 如图3-2所示，其周期N=10, 试求 ~ 解它的傅里叶级数系数 X ( k ) 。
n =0 n =0
N −1
N −1
~ X ( k ) = X ( e jω )
ω = 2 πk / N
这相当于以2π/N的频率间隔对傅里叶变换进行采样。
第3章 离散傅里叶变换
~ 例3-3 举例说明傅里叶级数系数 X ( k ) 和周期信号 ~( n )的一个 x
周期的傅里叶变换之间的关系，在序列 ~( n ) 的一个周期中： x
~ X ( k ) = X ( e jω )
ω = 2πk / 10
=e
−j
sin(5πk / 10) sin(πk / 10)
|X(ejω)|
第3章 离散傅里叶变换
序列的一个周期作傅里叶变换的幅值
5 … o π
|X(e jω )| , |X(k )|
… 2π 3π 4π
ω
5 … o 0 π 2π 10 3π 4π 20 …