力学基础(哈工大导航原理、惯性技术课件2)

Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
22
3.6 用柯氏加速度解释 河岸冲刷 用柯氏加速度解释:
现象: 现象 南北方向的河流两岸冲刷 的程度不一样. 的程度不一样
对北半球向北的河流, 东岸被冲刷 对北半球向北的河流 得更厉害. 得更厉害 该现象可以通过苛氏 (Coriolis) 加 速度得到解释. 速度得到解释
ω
Z
M
V
~ dR d R V= = +ω × R dt dt
牵连(transport) 速度 绝对速度 = 相对速度 + 牵连
R
O X
Y
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
19
3.3 推广 苛氏定律 推广:
~ dR V= +ω × R dt
苛氏定律 (Coriolis Theorem)：对任何和运动有关的矢量 B ： ： 它的绝对变化率 = 相对变化率 对动坐标系) 相对变化率(对动坐标系 对动坐标系 + 牵连变化率 由动坐标系转 牵连变化率(由动坐标系转 动引起的) 动引起的
Mechanical Fundamentals
力学基础
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
1
主要内容
关于地球 相关的坐标系和坐标变换 柯氏定律和柯氏加速度 动量矩定理 欧拉动力学方程
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
2
1.1 关于地球 形状 关于地球:
Lecture 2 -- MechaHale Waihona Puke Baiduical Fundmentals
7
Outline
关于地球 相关的坐标系和坐标变换 柯氏定律和柯氏加速度 动量矩定理 欧拉动力学方程
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
8
2.1 坐标系 惯性系 坐标系:
Solar-centered Inertial frame (SCI 日心惯性系 日心惯性系) Earth-centered inertial frame (ECI 地心惯性系) 地心惯性系)
都是小角度， 如果 α,β,γ 都是小角度， 则有近似： 则有近似：
x' 1 y ' = − γ z' β
γ
1 −α
− β X α Y 1 Z
16
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
R
j
∆θ
W
P
F
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
5
1.4 关于地球 垂线和纬度 关于地球:
纬度： 纬度：当地垂线和地球赤道平面之间的夹角 垂线的定义 地心垂线 -- 从地心到当地表面点的 连线 测地 (geodetic) 垂线 -- 当地椭球表 面的法线 沿着当地重力方向（ 重力垂线 -- 沿着当地重力方向（天 文垂线 ） 和垂线的三种定义相对应， 和垂线的三种定义相对应，纬度也有三种定义
目前常用的几种参考椭球体: 目前常用的几种参考椭球体 Clarke Krasovski 国际椭球体 全球大地系 WGS a -- major axis b -- minor axis 扁率(oblateness) =（a - b）/ a 扁率 （ ） 曲率半径 (curvature radius -- 和纬度有关) 和纬度有关
O
Z z1
z z'
引入内框架坐标系 xyz 和外框架 坐标系 x1y1z1 .
X x x'
x1
Y y 1
y y'
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
13
2.6 坐标系 第一次旋转 坐标系:
外框架相对基座, 绕外框架轴转过α 外框架相对基座 绕外框架轴转过 角 假设一个向量 R 在两个坐标系中的投影分别是 (X, Y, Z) 和 (x1, y1, z1) , 则利用投影关系 则利用投影关系:
~ dB d B = +ω× B dt dt
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
20
3.4 加速度合成定理
~ dR 速度: 速度 V= +ω × R dt 加速度： 加速度： ~ ~ ~ ~ dR dV d V d dR A= = + ω ×V = +ω × R +ω × +ω × R dt dt dt dt dt ~2 ~ ~ d R dω dR = 2 + × R + ω × (ω × R) + 2ω × dt dt dt
几乎所有导航问题都和地球相关. 几乎所有导航问题都和地球相关
地球表面是不规则的. 地球表面是不规则的 对地球形状的最粗糙近似 -- 球形
更精确的近似： 更精确的近似：参考椭球体 (reference ellipsoid)
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
3
1.2 关于地球 参考椭球体 关于地球:
Z z1
z z'
O
对转子相对内框架绕转子轴转 γ 角
x' cos γ y ' = − sin γ z' 0
sin γ cos γ 0
0 x 0 y 1 z
X x x'
x1
Y y 1 y y'
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
x' V ' = y ' z '
则
x' cos α 1 y ' = cos β 1 z ' cos γ 1
cos α 2 cos β 2 cos γ 2
cos α 3 x y cos β 3 cos γ 3 z
X x’ y’ z’ Y Z
O
Y X x'
y'
C11 C21 C31
C12 C22 C32
C13 C23 C33
坐标系分步旋转的方法可以方便方向余弦矩阵的计算 。
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
12
2.5 坐标系 顺序旋转 坐标系:
旋转顺序: 旋转顺序 外框架 相对基座转过 α角 角 内框架相对外框架 转过 β 角 转子相对内框架转过γ 转子相对内框架转过 角
Ar
相对
Aτe
牵连切向
Ane
牵连法向
Ak
苛氏
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
21
3.5*苛氏加速度 示例 苛氏加速度: 苛氏加速度
~ dR Ak = 2ω × dt
相对运动 -- 沿径向向外 牵连运动 -- 圆盘的转动 上述两种运动的相互影响
又可写为
Ak = 2ω × Vr
P
φ ' φa φ
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
6
1.5*关于地球 运动 关于地球: 关于地球
地球相对惯性空间的运动包括各种成分，最主要的有： 地球相对惯性空间的运动包括各种成分，最主要的有：
逐日自转 绕太阳的公转 地球自转角速度: 地球自转角速度 -- 相对惯性空间的 -- 相对太阳的
Ω
ζ
E
φ λ =0
X
Y
R
O
φ λ
λ
赤道
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
10
2.3 坐标系 变换 坐标系:
的轴上， 假设向量 (vector) V 分别投影坐标系 XYZ 和 X’Y’Z’ 的轴上，即:
Z
V
Y Z'
V
Y' X'
X
x V = y z
North Pole Z e
ZS
Sun
Earth
YS
Ye
XS
Equator
Xe
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
9
2.2*坐标系 地球和地理坐标系 坐标系: 坐标系
地球坐标系 （Earth Frame） ）
北极 Z 本地 子午面
R
N
地理坐标系 (Geographical, EastNorth-Up)
15
2.8 坐标系 转动变换的合成 坐标系:
将上述结果合并， 将上述结果合并，得到从基座到转子的变换矩阵 :
x' cos γ y ' = − sin γ z ' 0 sin γ cos γ 0 0 cos β 0 0 1 sin β 0 − sin β 1 0 1 0 0 cos α 0 cos β 0 − sin α 0 X sin α Y cos α Z
x1 = X y1 = Y cos α + Z sin α z1 = −Y sin α + Z cos α
或
z1
α
Z
Z cos α
y1
0 x1 1 y = 0 cos α 1 z1 0 − sin α
0 X sin α Y cos α Z
cosβ cosγ sinα sin β cosγ + cosα sinγ sinα sinγ − cosα sin β cosγ X = − cosβ sinγ cosα cosγ − sinα sin β sinγ cosα sin β sinγ + cosγ sinα Y sin β Z − sinα cosβ cosα cosβ
Z sin α & α
Y cos α
α
Y
X
x1
Y sin α
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
14
2.7 坐标系 第二、三次旋转 坐标系: 第二、
类似， 类似，对内框架相对外框架绕着内框架轴转过 β 角
x cos β y = 0 z sin β 0 − sin β x1 1 0 y1 0 cos β z1
Outline
关于地球 相关的坐标系和坐标变换 柯氏定律和柯氏加速度 动量矩定理 欧拉动力学方程
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
17
3.1*转动引起的牵连速度 转动引起的牵连速度
转动， 假设某刚体绕着固定点 O 以角速度 ω 转动， M 是刚体内的一点（相对刚体固定） 是刚体内的一点（相对刚体固定） M 的牵连 的牵连(transport) 速度为 速度为: v v v i j k V = ω × R = ωx ωy ωz (布桑公式 布桑公式) 布桑公式 x y z v r v = (ω y z − ω z y )i + (ω z x − ω x z ) j + (ω x y − ω y x)k 坐标系可以任意选取
o
z
b
y
a
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
4
1.3*关于地球 重力 关于地球: 关于地球
重力 (gravity) W 为万有引力 j 和地球自转引起的离心 (centrifugal) 力 F 之和： 之和： ωe
W = j+F
因为 F 远远小于 W，∆θ 最多只 ， 有几个角分 g -- 取决于纬度和高度（将地球视 取决于纬度和高度（ 为椭球体） 为椭球体）.
ω
Z
M
V
R
O X
Y
如果点 M 相对刚体移 动呢？ 动呢？
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
18
3.2 速度合成定理
假设一个动坐标系和刚体固联 当动坐标系绕着固定点转动, 当动坐标系绕着固定点转动 并且一个质 相对动坐标系作相对运动, 点 M 相对动坐标系作相对运动 则 M 点 的绝对速度为
方向余弦阵 (Direction cosine matrix)
Lecture 2 -- Mechanical Fundmentals
11
2.4 坐标系 以框架陀螺为例 坐标系:
Z z'
转子相对于基座的转动 转子(Rotor)坐标系 ox’y’z’ 坐标系 转子 基座(Base) 坐标系 OXYZ 基座 方向余弦矩阵 (Directional Cosine Matrix – DCM):