商人过河的数学模型及编程解决

摘要：M对商仆过河，一只船最多载N人，船上和岸上的仆人数都不能多于商人数，否则商人有危险。

安排合理的渡河方案，保证商人能安全渡河。

（可利用向量，矩阵，图解等方法）一．问题提出：有M对商仆乘船过河，一只船最多载N人，由商人和仆人自己划船渡河，在河的任意一岸，一旦仆人数多于商人数，仆人就可将商人杀死，谋取利益，但是乘船渡河的主动权掌握在商人们手中，商人们如何安排渡河方案，才能安全渡河？二．假设：商人和仆人都会划船，天气很好，无大风大浪，船的质量很好，船桨足够很多次的运载商人和仆人。

三．参数：1．设（x，y）是状态向量，表示任一岸的商人和仆人数，并且x，y分别要大于等于0，小于等于M。

2．设（m，n）是运载向量，表示运载的商人数和仆人数，0<=m<=N，0<=n<=N，0<=m+n<=N。

3．设用s表示所有的可取状态向量的集合。

4．设用d表示所有运载向量的集合。

5．设用表示从此岸到彼岸，作减；用表示从彼岸到此岸，作加。

Sk：表示第k步可取状态向量（sk属于s）；dk：表示第k步可取转移向量（dk属于d）；四．问题分析：商仆安全渡河问题可以视为一个多步决策过程，多步决策是指决策过程难以一次完成，而是多步优化，最后获取一个全局最优方案的决策方法。

对于每一步，即船由此岸驶向彼岸，或者船由彼岸驶向此岸的决策，不仅会影响到该过程的效果，而且还会影响到下一步的初始状态，从而对整个过程都会有影响。

所以，在每一次过河时，就不能只从这一次过河本身考虑，还要把它看成是整个过河过程中的一个部分。

在对船上的人员做决策时，要保证两岸的商人数不能少于仆人数，用最少的步伐是人员全部过河。

应用状态向量和运载向量，找出状态随运载变化的规律，此问题就转化为状态在允许范围内（即安全渡河条件），确定每一次该如何过河，从而达到渡河的目标。

现在我们都把它们数量化：即用数学语言来表示。

我们以3名商人为例设第k次渡河前此岸的商人数为x k，随从数为y k，k=1，2，…，x k，y k =0，1，2，3，将二维向量S k =（x k，y k）定义为状态。

安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记为S，则允许状态集合为：S={（x，y）| x = 0或3，y = 0，1，2，3，x = y = 1，2} （1）又设第k次渡船上的商人数为u k，随从数为v k，将二维向量d k=（u k+ v k）定义为决策。

则允许决策集合为：D={（u，v）| u + v = 1，2} （2）因为k为奇数时船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以状态S k随着决策d k变化的规律即状态转移规律是：S k+1 = S k +（- 1）k d k（3）这样，制定安全渡河方案归结为如下的多步决策问题：求决策d k ∈ D（k = 1，2，…，n），使状态S k ∈ S按照规律（3），由初始状态S1=（3，3）经有限步（设为n）到达状态S n+1=（0，0）。

模型的解答下面通过程序给出这个多步决策问题的一个解，a[1]={0，0}；a[2]={0，1}；a[3]={0，2}；a[4]={0，3}；a[5]={3，0}；a[6]={3，1}；a[7]={3，2}；a[8]={3，3}；a[9]={1，1}；a[10]={2，2}；（*以上给出10个允许的状态*）d[1]={0，2}；d[2]={2，0}；d[3]={1，1}；d[4]={0，1}；d[5]={1，0}；（*以上表示给出5个允许的决策*）i=1；j=1；k=1；s[0]=s[1]={3，3}；Print[″此岸————船上————对岸″]；Do[Do[s[i+1]=s[i]+（-1）^i d[j]；t=0；Do[If[s[i+1]= =a[k]，t=1]，{k，1，10}]；If[t= =0，Continue[ ]]；（*以上是保证状态属于允许的状态*）l=Mod[i+1，2]；m=l；u=0；If[i+1> =3，Do[If[s[i+1]= =s[m]，u=1，Break[ ]]，{m，l，i -1，2}]]；If[u= =0，c[i+1]=d[j]；Break[ ]]，{j，1，5}]；If[t= =0，Print[No，Result]；Break[ ]]；b[i+1]={3，3}-s[i+1]；Print[s[i]，″- - - -″，c[i+1]，″- - - -″，b[i+1]]；If[s[i+1]= ={0，0}，Break[ ]]，{i，1，12}]程序运行结果如下：此岸——————船上——————对岸{3，3}——————{0，2}——————{0，2} {3，1}——————{0，1}——————{0，1} {3，2}——————{0，2}——————{0，3} {3，0}——————{0，1}——————{0，2} {3，1}——————{2，0}——————{2，2} {1，1}——————{1，1}——————{1，1} {2，2}——————{2，0}——————{3，1} {0，2}——————{0，1}——————{3，0} {0，3}——————{0，2}——————{3，2} {0，1}——————{0，1}——————{3，1} {0，2}——————{0，2}——————{3，3} 可以得出经过11步的渡河就能达到安全渡河的目标及满足渡河的次数尽量少的条件。

这11步的渡河方案就是上面程序运行结果中船上下面的一列。

渡河的整个过程如下所示：去2随从回1随从（3商人3随从）—————→（3商人1随从）—————→去2随从回1随从（3商人2随从）—————→（3商人0随从）—————→去2商人回1商人1随从（3商人1随从）—————→（1商人1随从）—————→去2商人回1随从（2商人2随从）—————→（0商人2随从）—————→去2随从回1随从（0商人3随从）—————→（0商人1随从）—————→去2随从（0商人2随从）—————→（渡河成功）一．程序实现#include "stdio.h"#include "string.h"#include <memory>#include <stdlib.h>#include<iostream>using namespace std;#include "conio.h"FILE *fp;/*设立文件指针，以便将它用于其他函数中*/ struct a{long m,s;struct a *next;};/*数组类型a：记录各种情况下船上的商人和仆人数，m：代表商人数s：代表仆人数*/struct a *jj,head;/*head为头指针的链表单元（船上的人数的各种情况的链表）*/int n,total=0,js=0;/*total表示船上各种情况总数*/ struct aim {long m1,s1,m2,s2;int n;struct aim *back,*next;};/*用于建立双向的指针链表，记入符合的情况，m1，s1表示要过岸的商人数和仆人数；m2，s2表示过岸了的商人数和仆人数，n表示来回的次数*/int k1,k2;void freeit(struct aim *p){struct aim *p1=p; p1=p->back;free(p);if(p1!=NULL)p1->next=NULL;return;}/*释放该单元格，并将其上的单元格的next指针还原*/int determ(struct aim *p){ struct aim *p1=p;if(p->s1>k2)return -1;/*仆人数不能超过总仆人数*/if(p->m1>k1)return -1;/*商人数不能超过总商人数*/if(p->s2>k2)return -1;/*对岸，同上*/if(p->m2>k1)return -1;/*对岸，同上*/if(p->s1<0)return -1;/*仆人数不能为负*/if(p->s2<0)return -1;/*商人数不能为负*/if(p->m1<0)return -1;/*对岸，同上*/if(p->m2<0)return -1;/*对岸，同上*/if(p->m1!=0)if(p->s1>p->m1)return -1;if(p->m2!=0)if(p->s2>p->m2)return -1;/*两岸商人数均不能小于仆人数*/while(p1!=NULL){p1=p1->back;if(p1!=NULL)if(p1->n%2==p->n%2)if(p1->s1==p->s1)if(p1->s2==p->s2)if(p1->m1==p->m1)if(p1->m2==p->m2)return -1;}/*用于解决重复，算法思想：即将每次算出的链表单元与以前的相比较，若重复，则表示出现循环*/ if(p->s1==0&&p->m1==0)if(p->n%2==0)return 1;else return -1;/*显然如果达到条件就说明ok了*/return 0;}/*判断函数*/int sign(int n){if(n%2==0)return -1;return 1;}/*符号函数*/void copyit(struct aim *p3,struct aim *p){p3->s1=p->s1;p3->s2=p->s2;p3->m1=p->m1;p3->m2=p->m2;p3->n=p->n+1;p3->back=p;p3->next=NULL;p->next=p3;}/*复制内容函数，将p中的内容写入p3所指向的链表单元中*/void print(struct aim *p3){struct aim *p=p3;js++;while(p->back){p=p->back;}printf("\n第%d种方法:\n",js);fprintf(fp,"\n第%d种方法:\n",js);int count=0;while(p){ printf("%ld,%ld——》%ld,%ld\t",p->m1,p->s1,p->m2,p->s2);fprintf(fp,"%ld,%ld——》%ld,%ld\t",p->m1,p->s1,p->m2,p->s2);p=p->next;count++;}cout<<"一共有"<<count<<"步完成"<<endl;}/*打印函数，将p3所指的内容打印出来*/void trans(struct aim *p){struct aim *p3;/*p3为申请的结构体指针*/struct a *fla;int i,j,f;fla=&head;p3=(struct aim *)malloc(sizeof(struct aim)); f=sign(p->n);for(i=0;i<total;i++){fla=fla->next;copyit(p3,p);p3->s1-=fla->m*f;p3->m1-=fla->s*f;p3->s2+=fla->m*f;p3->m2+=fla->s*f;/*运算过程，即过河过程*/j=determ(p3);/*判断，j记录判断结果*/if(j==-1){if(i<total-1){continue;}else{freeit(p3);break;}}int count1=0;if(j==1){if(i<total-1){print(p3);count1++;continue;}else{print(p3);count1++;freeit(p3);break;}//cout<<count1<<endl;printf("%d",count1);printf("\n");}if(j==0)trans(p3);}return;}/*转移函数，即将人转移过河*//*n=0*/void main(){struct aim *p,*p1;int j,a,e,f;struct a *flag;/*flag是用与记录头指针*/ FILE*fpt;if((fpt=fopen("c:result.dat","w+"))==0){ printf("can′t creat it\n");exit(0);}fp=fpt;system("cls");printf("问题描述:三个商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳X人，由他们自己划船。