超定方程组最小二乘解
求超定方程组的最小二乘解
求超定方程组的最小二乘解最小二乘法是一种常用的数学方法，用于求解超定方程组的近似解。
超定方程组指方程的个数多于未知数的个数，因此无法直接求解精确解。
而最小二乘法通过将方程组中的每个方程的残差平方之和最小化，找到一个最接近解的估计值。
最小二乘法的应用非常广泛，尤其在数据拟合和回归分析中被广泛使用。
举个例子来说，假设我们有一组观测数据，表示了某个物理过程的实际情况。
而我们想要通过一个数学模型来描述这个物理过程。
但是由于观测误差等原因，我们无法通过这组数据直接得到精确的解。
这时，我们可以使用最小二乘法来逼近这个数学模型。
首先，我们假设这个数学模型是一个线性方程组。
然后，我们根据观测数据，使用最小二乘法来找到一个最接近的解。
具体的求解步骤如下：1. 假设我们的线性方程组可以表示为 Ax = b 的形式，其中 A是一个 m 行 n 列的系数矩阵，x 是一个 n 维列向量表示未知数，b是一个 m 维列向量表示观测数据。
2. 我们的目标是找到一个最小二乘解 x*，使得 ||Ax - b||^2 = min。
其中，||.|| 表示向量的模（即向量的长度的平方）。
3. 通过数学推导可以得到，最小二乘解可以通过求解正规方程组ATAx = ATb 得到。
其中，AT 是 A 的转置矩阵，A^T 表示 A 的伪逆矩阵。
4. 求解正规方程组的方法有多种，最常见的是使用矩阵的分解方法，如QR分解或奇异值分解等。
通过以上步骤，我们可以得到最小二乘解 x*，并使用它来逼近我们的数学模型。
最小二乘法的优点在于它能够处理带有误差的观测数据，提供一个最优的近似解。
它在实际应用中具有广泛的指导意义。
举个实际案例来说，假设我们要估计一辆汽车的燃油消耗量与其速度的关系。
我们首先收集了一组汽车在不同速度下的燃油消耗数据。
然后，我们可以使用最小二乘法来拟合一个线性模型，得到一个最优的近似解。
通过最小二乘法，我们可以得到一个线性关系的方程，表示速度与燃油消耗量之间的关系。
opencv 最小二乘求解超定方程组
opencv 最小二乘求解超定方程组最小二乘法是一种常用的数值优化方法，它可以用于求解超定方程组的最优解。
在计算机视觉领域中，最小二乘法在图像处理和计算机视觉算法中应用广泛。
OpenCV是一个开源的计算机视觉库，提供了丰富的函数和工具，可以用于最小二乘求解超定方程组。
超定方程组指的是方程的数量多于未知数的数量。
在超定方程组中，我们往往无法精确地求解满足所有方程的解。
最小二乘法的目标是找到一个尽可能接近满足所有方程的解的解。
在最小二乘法中，我们通过最小化残差的平方和来定义一个代价函数，然后通过优化这个代价函数来求解超定方程组的最优解。
在OpenCV中，可以使用cv::solve函数来求解超定方程组的最优解。
cv::solve函数可以接受一个包含多个方程的矩阵和一个包含右侧常数的矩阵作为输入，然后返回一个解向量。
求解超定方程组的最优解需要满足以下条件：1.方程组必须是线性的。
如果方程组包含非线性方程，则需要使用非线性最小二乘法来求解。
2.方程组必须是超定的，即方程的数量多于未知数的数量。
3.方程组必须是可解的，即方程组必须存在至少一个解。
4.方程组必须是稳定的，即求得的最优解不能对输入数据的微小变化过于敏感。
在应用最小二乘法求解超定方程组之前，我们需要将方程组转化为矩阵形式。
设超定方程组的矩阵为A，未知数的向量为x，右侧常数的向量为b，则超定方程组可以表示为Ax=b。
在求解最优解之前，我们首先需要判断矩阵A的秩是否满秩，即A的行向量是否线性无关。
如果矩阵A的秩不满秩，意味着方程组不满足可解的条件，无法求得最优解。
在OpenCV中，可以使用cv::rank函数来计算矩阵的秩。
cv::rank函数接受一个矩阵作为输入，并返回矩阵的秩。
通过判断矩阵的秩是否等于矩阵的列数，我们可以判断方程组是否满足可解的条件。
如果方程组满足可解的条件，我们可以使用最小二乘法来求解超定方程组的最优解。
在OpenCV中，可以使用cv::solve函数来求解最小二乘问题。
一种时变超定线性方程组的最小二乘解求解方法[发明专利]
![一种时变超定线性方程组的最小二乘解求解方法[发明专利]](https://img.taocdn.com/s3/m/39959af2a8114431b80dd884.png)
专利名称：一种时变超定线性方程组的最小二乘解求解方法专利类型：发明专利
发明人：张智军,邱泰儒,郑陆楠
申请号：CN201811196142.4
申请日：20181015
公开号：CN109543134A
公开日：
20190329
专利内容由知识产权出版社提供
摘要：本发明公开了一种时变超定线性方程组的最小二乘解求解方法，包括如下步骤：1)将时变超定线性方程组转化为时变矩阵方程；2)将步骤1)的时变矩阵方程转化为对应的正规方程组；3)给出步骤2)的正规方程组的误差监测函数，将求解正规方程组转化为求解最优化问题；4)根据神经动力学设计方法给出对应变参神经动力学设计；5)代入步骤3)的误差监测函数，将步骤4)所得的变参神经动力学设计转化为变参收敛微分神经网络求解器，并对步骤3)的最优化问题进行求解。
所述方法基于神经动力学对时变超定线性方程组进行求解，具有收敛速度更快、鲁棒性更强、收敛准确度更高、实用性更好的优点。
申请人：华南理工大学
地址：511458 广东省广州市南沙区环市大道南路25号华工大广州产研院
国籍：CN
代理机构：广州市华学知识产权代理有限公司
代理人：裴磊磊
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超定方程组的最小二乘解
第六章 第二节
学
MATH
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思维的体操 第六章 第二节 ——加里宁
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第六章 第二节
第二节 超定方程组的最小二乘解
设方程组Ax=b中, A=(aij)mn, b是m 维已知向量, x 是n 维解向量,当 m>n 即方程组中方程的个数 多于自变量的个数, 称此方程组为超定方程组.
????????????????????????????????????????????????????????????????763111254213221xx第六章第二节????????????????????????????????????????????????????????????????763111254213221xx正规方程组为上页下页返回正规方程组为????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????7631112542132125421321254213221xx第六章第二节即解得即解得????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????7631112542132125421321254213221xx上页下页返回?????????????????????485146331821xx??????????2418
ATA是正定矩阵，必有det(ATA)>0。故
AT Ax ATb
的解存在且唯一。可用平方根法或SOR法求解。
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例1 求超定方程组
超定方程组最优解（最小二乘解）推导
超定⽅程组最优解（最⼩⼆乘解）推导⼀、超定⽅程组##超定⽅程组即为有效⽅程个数⼤于未知数个数的⽅程组。
（这⾥只讨论多元⼀次的情况）超定⽅程组可以写成矩阵的形式：Ax=b其中A为m×n的矩阵，其与b组成的增⼴矩阵[A|b]的秩⼤于n。
x为n维列向量未知数。
⼆、超定⽅程组的最⼩⼆乘解##超定⽅程组是⽆解的，但是我们可以求得其最⼩⼆乘解，就是将等式左右两端乘上A的转置。
\begin{equation}\begin{split}A TAx=A Tb\end{split}\end{equation}该⽅程有增⼴矩阵[A T A|A T b]的秩等于n，即该⽅程的未知数的个数等于有效⽅程的个数，所以该⽅程有唯⼀解且为原⽅程的最⼩⼆乘解。
平时记住结论直接⽤就好三、推导过程##（记录，⼤家不要看：其实⼩⽣也是只知道结论不知道结论是怎么来的，不过有⼀天看斯坦福⼤学的机器学习公开课的第⼆节，看到了推导过程。
）1.前置结论###1. trAB=trBA2. trABC=trBCA=trCAB3. ∇A trAB=B T4. trA=trA T5. tra=a6)∇A trABA T C=CAB+C T AB Ttr代表矩阵的迹，⼤写字母为矩阵⼩写字母表⽰实数，∇表⽰求导。
2.公式推导###作差[]Ax−b=a T1x−b1⋮a T m−b m构建最⼩⼆乘\begin{equation}\begin{split}\frac{1}{2}(Ax-b)^T(Ax-b) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}m(a_i Tx-b_i)^2\end{split}\end{equation}对x求导\begin{equation}\begin{split}\nabla_x \frac{1}{2}(Ax-b)^T(Ax-b) = \nabla_x tr(x TA TAx-x TA Tb-b TAx+b Tb)\end{split}\end{equation}利⽤前置结论2)4)5)\begin{equation}\begin{split}\nabla_x \frac{1}{2}(Ax-b)^T(Ax-b) = \nabla_xtr[xx TA TA-\nabla_xb TAx-\nabla_xb TAx]\end{split}\end{equation}其中利⽤前置结论6)注：⼤括号下的A为前置结论中的A，⼤括号上的A为矩阵A。
超定方程组的最小二乘解原理
超定方程组，又称为过定方程组，是线性代数中的一个概念。
当方程组的未知数数量少于方程数量时，该方程组就被称为超定方程组。
由于超定方程组通常没有精确解，我们常常会寻求一个近似解，使得所有方程的残差平方和最小。
这就是最小二乘解的原理。
一、最小二乘解的基本概念最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
二、超定方程组的性质对于超定方程组，由于方程数量多于未知数数量，因此通常不存在一个解能够使得所有方程同时成立。
这种情况下，我们需要寻找一个近似解，即一个解，使得所有方程的残差（即方程的实际值与解代入方程后得到的计算值之间的差）的平方和最小。
三、最小二乘解的原理最小二乘解的原理就是基于上述思想，通过最小化残差平方和来寻找超定方程组的近似解。
具体步骤如下：构建残差平方和函数：首先，我们需要构建一个表示残差平方和的函数。
假设超定方程组有(m) 个方程，(n) 个未知数（(m > n)），未知数的向量记作(\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T)，方程组的系数矩阵记作(\mathbf{A} = (a_{ij})_{m \times n})，常数项向量记作(\mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_m)^T)。
那么，残差向量可以表示为(\mathbf{r} = \mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b})，残差平方和函数可以写为(S(\mathbf{x}) = \mathbf{r}^T\mathbf{r} = (\mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b})^T(\mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b}))。
62第二节 超定方程组的解
2x1 4x2 11.0478 3x1 5x2 2.9119
x1 2x2 5.5239
b1 b2 b3
解得最小二乘解为
x1 x2
3.0403 1.2418
2x1 x2 7.3224 b4
m
n
m
故误差平方和为 I r 2 2
数学学院 信息与计算科学系
nm
m
即有 ( aij aik )xk aij bi ( j 1,2,..., n)
k 1 i1
i 1
此线性方程组写成矩阵形式就是
AT Ax AT b
故x*是 ATAx=ATb 的解.
定理得证.
这里 ATAx=ATb 是关于x1,x2, …,xn的线性 方程组，称为正规方程组或法方程组.
数学学院 信息与计算科学系
解的存在唯一性
由于ATA是n 阶方阵，且是对称阵，当R(A)=n 时， 对任意 y≠0，有Ay≠0 ，所以
yT ( AT A) y ( Ay, Ay) Ay 2 0 2
可见ATA是正定矩阵，必有det(ATA)>0。故法方程
AT Ax AT b
的解存在且唯一.
2 2 yT AT (b Ax* )
2
Ay
2 2
b Ax*
2
Ay 2
b Ax*
2
2
2
2
所以x*是Ax=b 的最小二乘解.
数学学院 信息与计算科学系
必要性 误差向量r=b-Ax 的第 i 个分量为
n
ri bi aik xk (i 1,2,..., m),
超定方程用最小二乘法求解
超定方程用最小二乘法求解根据解的存在情况，线性方程可以分为:有唯一解的恰定方程组，解不存在的超定方程组，有无穷多解的欠定方程组。
对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。
则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。
线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。
对于超定方程，在MATLAB 中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。
左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；独立方程个数大于独立的未知参数的个数的方程，称为超定方程，在matlab里面有三种方法求解，一是用伪逆法求解，x=pinv(A)*b,二是用左除法求解，x=A\b,三是用最小二乘法求解,x=lsqnonneg(A,b)(3)矩阵求逆行数和列数相等的矩阵称为方阵，只有方阵有逆矩阵。
方阵的求逆函数为：B=inv(A)该函数返回方阵A的逆阵。
如果A不是方阵或接近奇异的，则会给出警告信息。
在实际应用中，很少显式的使用矩阵的逆。
在MATLAB中不是使用逆阵x=inv(A)*B来求线性方程组Ax=B的解，而是使用矩阵除法运算x=A\B来求解。
因为MATLAB设计求逆函数inv时，采用的是高斯消去法，而设计除法解线性方程组时，并不求逆，而是直接采用高斯消去法求解，有效的减小了残差，并提高了求解的速度。
因此，MATLAB推荐尽量使用除法运算，少用求逆运算。
(4)除法运算在线性代数中，只有矩阵的逆的定义，而没有矩阵除法的运算。
而在MATLAB 中，定义了矩阵的除法运算。
矩阵除法的运算在MATLAB中是一个十分有用的运算。
根据实际问题的需要，定义了两种除法命令：左除和右除。
矩阵左除：C=A\B或C=mldivide(A,B)矩阵右除；C=A/B或C=mrdivide(A,B)通常矩阵左除不等于右除，如果A是方阵，A\B等效于A的逆阵左乘矩阵B。
超定方程组的最小二乘解 mathematica
超定方程组的最小二乘解 mathematica 超定方程组是指方程数量大于未知数数量的方程组。
在实际问题中，经常会遇到这种情况。
最小二乘解是指对于超定方程组，求解出的使得方程组的误差最小的解。
本文介绍如何使用Mathematica求解超定方程组的最小二乘解。
首先，构造一个超定方程组。
假设有$m$个方程，$n$个未知数，其中$m>n$。
方程组可以写成$Ax=b$的形式，其中$A$是$mtimes n$的系数矩阵，$x$是$ntimes 1$的未知向量，$b$是$mtimes 1$的常数向量。
接下来，使用Mathematica中的“PseudoInverse”函数求解最小二乘解。
该函数可以求解在最小二乘意义下的伪逆矩阵。
伪逆矩阵满足$A^+Ax=A^+b$，其中$A^+$为$A$的伪逆矩阵。
因此，最小二乘解为$x=A^+b$。
下面给出一个具体的例子。
假设有以下超定方程组：$$begin{cases}2x_1+3x_2=7 4x_1+5x_2=11 6x_1+7x_2=15 8x_1+9x_2=19end{cases}$$其中有$4$个方程，$2$个未知数。
我们可以将其写成矩阵形式： $$begin{pmatrix}2 & 3 4 & 5 6 & 7 8 &9end{pmatrix}begin{pmatrix}x_1x_2end{pmatrix}=begin{pmatrix}7 11 15 19end{pmatrix}$$ 然后使用Mathematica求解最小二乘解：```mathematicaA = {{2, 3}, {4, 5}, {6, 7}, {8, 9}};b = {7, 11, 15, 19};x = PseudoInverse[A].b```运行结果为：```{0.4, 1.5}```因此，最小二乘解为$x_1=0.4$，$x_2=1.5$。
总结一下，使用Mathematica求解超定方程组的最小二乘解非常简单。
matlab 最小二乘 超定方程 举例
Matlab中的最小二乘法在解决超定方程组问题时起到了很大的作用。
下面我们将以实际的例子来说明Matlab如何使用最小二乘法解决超定方程组问题。
1. 我们需要明确什么是超定方程组。
超定方程组是指方程的数目大于未知数的数目，这样的方程组往往没有精确解。
在实际问题中，经常会遇到这样的情况，例如在数据拟合、信号处理、控制系统等领域。
2. 我们需要了解最小二乘法的原理。
最小二乘法是一种数学优化方法，通过最小化误差的平方和来求解未知参数。
在超定方程组中，最小二乘法可以用来寻找方程组的最佳拟合解，即使得方程组的误差最小化的解。
3. 接下来，我们以一个简单的线性拟合问题来演示Matlab中最小二乘法的应用。
假设我们有一组数据点(x,y)，其中x是自变量，y是因变量。
我们希望找到一条直线y=ax+b来最佳拟合这组数据点。
这意味着我们需要找到参数a和b使得数据点到直线的误差最小。
4. 在Matlab中，我们可以使用polyfit函数来进行最小二乘拟合。
该函数的调用方式为：``` matlabp = polyfit(x, y, 1);```其中x和y是数据点的坐标，1表示拟合的多项式次数，这里是一次直线拟合。
调用polyfit函数后，我们可以得到拟合出的直线的系数。
5. 为了验证拟合的效果，我们可以使用polyval函数来计算拟合出的直线在自变量x处的预测值。
该函数的调用方式为：``` matlaby_fit = polyval(p, x);```y_fit就是拟合出的直线在对应x处的预测值。
6. 我们可以将原始数据点和拟合出的直线一起绘制在同一张图上，以直观地看出拟合效果如何。
我们可以使用plot函数来绘制数据点和直线，使用legend函数来加上图例，方便对比。
通过以上步骤，我们可以在Matlab中使用最小二乘法来解决超定方程组问题，例如进行数据拟合、信号处理等。
这种方法可以帮助我们找到最佳拟合方程，从而更好地理解数据的特性，或者用于预测未知数据点的结果。
opencv 最小二乘求解超定方程组
opencv 最小二乘求解超定方程组摘要：一、最小二乘法简介1.最小二乘法的概念2.最小二乘法在求解超定方程组中的应用二、利用OpenCV实现最小二乘法求解超定方程组1.OpenCV简介2.使用OpenCV实现最小二乘法求解超定方程组的步骤三、实例演示1.准备数据2.实现最小二乘法求解超定方程组3.结果分析正文：一、最小二乘法简介最小二乘法是一种数学优化技术，用于通过最小化误差的平方和来寻找最佳拟合函数。
在线性代数中，最小二乘法被用于求解超定方程组。
超定方程组是指方程的数量大于未知数的数量，这种情况下，最小二乘法可以找到一组最优的解，使误差的平方和最小。
二、利用OpenCV实现最小二乘法求解超定方程组OpenCV（Open Source Computer Vision Library）是一个开源的计算机视觉库，它提供了丰富的图像处理和计算机视觉方面的功能。
在OpenCV中，可以通过矩阵操作实现最小二乘法求解超定方程组。
以下是使用OpenCV实现最小二乘法求解超定方程组的步骤：1.导入所需库：```pythonimport cv2import numpy as np```2.准备数据：```python# 生成随机数据A = np.random.rand(4, 5)b = np.random.rand(4)```3.实现最小二乘法求解超定方程组：```python# 计算雅可比行列式J = np.linalg.inv(A.T @ A)# 计算最小二乘解x_ls = np.dot(J, A.T @ b)```4.结果分析：```python# 计算原方程组的解x_true = np.linalg.inv(A) @ b# 计算误差平方和e_ls = np.linalg.norm(x_true - x_ls)**2print("最小二乘误差平方和：", e_ls)```三、实例演示我们通过一个具体的例子来演示如何使用OpenCV实现最小二乘法求解超定方程组。
最小二乘法求解超定方程组
最小二乘法求解超定方程组最小二乘法是一种常用的数学方法，用于求解超定方程组。
在实际问题中，我们经常会遇到方程个数大于未知数个数的情况，这时候就需要使用最小二乘法来找到一个最优解。
最小二乘法的基本思想是，通过最小化误差的平方和来确定未知数的值。
假设我们有一个超定方程组Ax=b，其中A是一个m×n的矩阵，m>n，x是一个n维向量，b是一个m维向量。
我们的目标是找到一个x，使得Ax尽可能接近b。
首先，我们可以将方程组写成矩阵形式：A^T Ax = A^T b，其中A^T表示A的转置。
这个方程被称为正规方程。
我们可以通过求解正规方程来得到最小二乘解。
为了求解正规方程，我们需要计算A^T A和A^T b的乘积。
首先计算A^T A，它是一个n×n的对称矩阵。
然后计算A^T b，它是一个n维向量。
最后，我们可以通过求解线性方程组(A^T A)x = A^T b来得到最小二乘解x。
然而，直接求解正规方程可能会遇到一些问题。
当A^T A的条件数很大时，求解过程可能会变得不稳定。
此外，当A的列向量之间存在线性相关性时，A^T A可能不可逆，导致无法求解。
为了解决这些问题，我们可以使用奇异值分解（SVD）来求解最小二乘问题。
SVD将矩阵A分解为UΣV^T的形式，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵。
通过SVD，我们可以得到A的伪逆A^+，它是VΣ^+U^T的形式，其中Σ^+是Σ的逆矩阵。
利用A^+，我们可以得到最小二乘解x = A^+ b。
这个解是使得Ax尽可能接近b的解。
通过SVD，我们可以避免求解不可逆的正规方程，同时也可以提高求解的稳定性。
最小二乘法在实际问题中有广泛的应用。
例如，在数据拟合问题中，我们可以使用最小二乘法来拟合一个函数曲线，使得拟合曲线与实际数据之间的误差最小。
在信号处理中，最小二乘法可以用于滤波和降噪。
在机器学习中，最小二乘法可以用于线性回归和参数估计。
总之，最小二乘法是一种重要的数学方法，用于求解超定方程组。
超定方程组最小二乘解
超定方程组最小二乘解最小二乘法广泛地应用于工程计算中,用最小二乘法消除（平滑）误差，用最小二乘法从有噪声的数据中提取信号，从海量数据中找出数据变化的趋势，……。
甚至利用简单函数计算复杂函数的近似值，我们并不期望它的近似值多么精确（事实上很多时候也不用很精确），尽管如此还是希望计算出的近似数据与原始数据之间有相似之处.如果从线性代数角度来理解最小二乘法,实际上是将一个高维空间的向量投影到低维子空间所涉及的工作.一、 超定方程组的最小二乘解当方程组GX=b 的方程数多于未知数个数时,对应的系数矩阵G 的行数大于列数，此时方程组被称为是超定方程组。
设G=(g iu ）m ×n ，当m>n 时即所谓的高矩阵,绝大多数情况下,超定方程组没有古典意义下的解。
超定方程组的最小二乘解是一种广义解，是指使残差r = b – GX 的2—范数达取极小值的解，即22*||||min ||||GX b GX b m RX -=-∈ 该问题是一个优化问题。
命题1：如果X *是正规方程组G T GX=G T b 的解，则X ＊是超定方程组GX=b 的最小二乘解 证 由题设可得，G T （b – GX ＊）=0。
对任意n 维向量Y ，显然有 （X ＊ – Y )T G T (b – GX *)=0考虑残差2—范数平方，由22**22||)()(||||||Y X G GX b GY b -+-=-上式右端利用内积，得22*22*22*22||||||)(||||||||||GX b Y X G GX b GY b -≥-+-=-从而有｜| b – GY ｜|2 ≥ ｜｜ b – GX *｜|2等式仅当Y =X *时成立。
所以X *是超定方程组GX=b 的最小二乘解。
命题2：如果X ＊是超定方程组GX=b 的最小二乘解,则X ＊满足正规方程组G T GX=G T b 证 由题设，22*||||min ||||GX b GX b m RX -=-∈,利用2—范数与内积关系，知X ＊是下面二次函数的极小值点ϕ（X ） = (GX ，GX ) – 2(GX ，b ) + (b ，b ）取任意n 维向量v ，对任意实数t ,构造一元函数g （t ) = ϕ（X * + t v ）显然, g (t ) 是关于变量t 的二次函数g （t ) = (G (X ＊ + t v )，G （X ＊ + t v )) – 2(G （X ＊ + t v ),b ) + (b ，b )= g （0) + 2t [（GX ＊,Gv ） – (Gv ，b ）]+ t 2 (Gv ，Gv )由题设t =0是g (t )的极小值点。
数值分析(在线作业)
数值分析（在线作业）单选：1、设是经过四舍五入后得到的近似值，则分别有几位有效数字？（A ）A、3，3B、2，4C、3，4D、4，32、计算球的体积时，为使其相对误差限为1%，测量半径R时，相对误差最大为（B ）A、1%B、0.33%C、3%D、9.9%3、超定方程组的最小二乘解为（A）A、B、C、D、4、已知则为（D）A、2B、6C、-6D、85、已知A=则为（D）A、0.367B、0C、-34D、396016、设方程组Ax=b，其中则A能进行Cholesky分解（即A=LLT，其中L为下三角矩阵）时，取值范围为（A ）A、B、C、D、7、设，则差商为（A ）A、1B、-1C、0D、28、设，则差商为（C）A、1B、-1C、0D、29、已知函数表为分别用Newton向前、向后插值公式计算f(1.5)，f(3.7)的近似值（B ）A、B、C、D、10、设，则的Newton迭代公式为（A ）A、B、C、D、11、设，则当的Newton迭代收敛时,的取值范围为（A）A、B、C、D、12、已知325413有6位有效数字，则绝对误差限为（B ）A、0.05B、0.5C、0.005D、513、已知，则下列哪个多项式为的二次最佳平方逼近（B）A、B、C、D、14、计算积分，若用复合Simpson公式进行近似计算，并且想误差不超过则至少要进行多少等分？（ C ）A、3B、6C、12D、2415、给定线性方程组,其中，，使用迭代公式，若迭代收敛，则的取值范围为（D）A、B、C、D、16、已知，则的谱半径为（C ）A、3B、1C、7D、817、已知，则的拉格朗日插值多项式为（A ）A、B、C、D、18、已知，则用梯形公式计算积分与精确值相比（A）A、偏大B、偏小C、相等D、不确定19、对于线性方程组，则雅克比迭代与高斯-赛德尔迭代的敛散性分别为（A ）A、收敛发散B、收敛收敛C、发散收敛D、发散发散20、已知函数值，则均差为（D ）A、B、6 C、10 D、2。
超定方程 最小二乘解
超定方程最小二乘解超定方程是指方程组的个数多于未知数个数的情况。
在实际问题中，往往会遇到这种情况，因为我们希望通过多个方程来求解一个未知数的值，以提高计算的准确性和可靠性。
而最小二乘解则是超定方程组的一种求解方法，可以找到最接近实际情况的近似解。
在生活中，经常会出现一些无法准确求解的问题。
例如，我们常常需要通过测量和观察来获得一些数据点，然后根据这些数据点推断出一些规律或者预测未来的趋势。
但是，由于种种原因，我们往往无法获得足够的数据点来确保我们所得到的方程唯一地解释这些数据。
这时候，超定方程就派上了用场。
举个例子来说明超定方程与最小二乘解的应用。
假设我们想要根据一个人的身高和体重来预测他的年龄。
我们可以做一个简单的假设，认为年龄与身高和体重存在一个线性关系：年龄=a*身高+b *体重+c+δ，其中a、b和c是待求解的系数，δ是误差项。
为了找到最佳的系数值，我们可以测量一组人群的身高、体重和年龄，然后通过最小二乘解来求解出a、b和c，使得方程组能够最好地拟合已知的数据。
在实际求解的过程中，最小二乘解的关键思想是最小化所有数据点与方程组的误差之和，即最小化残差平方和。
通常情况下，我们会使用最小二乘法求解超定方程组，因为该方法对异常值比较鲁棒，能够提供一个相对稳定和可靠的结果。
最小二乘解的求解方法主要有几种，包括矩阵方法、正交投影方法和最小二乘解的闭式解等。
其中，矩阵方法是最常用的方法之一。
通过构建矩阵和向量，我们可以将超定方程组转化为一个线性方程组，并通过解这个线性方程组来获得最小二乘解。
矩阵方法的优点是求解过程简单、直观，适用于一般的超定方程组。
最小二乘解在科学、工程和经济等领域有广泛的应用。
例如，它可以用于数据拟合、曲线拟合和回归分析等问题。
在物理学中，最小二乘解可以用于测量误差、准确度和精度的评估。
在金融学中，最小二乘解可以用于资产定价和风险管理。
在计算机视觉中，最小二乘解可以用于图像处理和模式识别。
超定方程组的最小二乘解
超定方程组的最小二乘解
超定方程组的最小二乘解是一种常用的数值求解方法，是求解非线性方程组的一种很重要的方法。
它可以用来求解复杂的非线性方程组，使得可以得到最优的解。
最小二乘解是计算机科学中最常用的数值求解方法之一，它通过对非线性方程组求解最小二乘估计量，可以达到最小化误差的目的，使得最小二乘解是有效的。
最小二乘解是一种从一组基本方程出发，根据最小二乘原理，推导出一组最优解的数学方法。
在有限个约束条件的情况下，通过构建一个最小二乘问题，求解超定方程组的最小二乘解，即将非线性方程组的所有约束条件表示出来，然后求解最小二乘估计量，使得所有约束条件都能满足，最后求得超定方程组的最小二乘解。
超定方程组的最小二乘解的求解步骤主要是四步：首先，确定解的形式，然后确定最小二乘函数；其次，根据最小二乘函数，对解进行最小二乘估计；再次，计算最小二乘估计量，确定最优解；最后，根据最小二乘估计量，根据拟合精度，确定最优解。
超定方程组的最小二乘解是一种应用广泛的数值求解方法，可以有效求解复杂的非线性方程组。
它的特点是在约束条件下，求解最小二乘估计量，使得所有约束条件都
能满足，并且能有效求得最优解。
它在工程、物理、计算机等领域中应用广泛，是一种重要的数值求解方法。
最小二乘法解超定方程组
1. 最小二乘法解超静定方程组（1.《数值分析》，闵涛，秦新强，赵凤群编，P68页，例3-5） （2.《无网格法》，张雄，刘岩著，P10~11页）1.1 理论知识如果配点数(方程数)r 大于试函数中的项n (未知量个数)，将导致超定方程组：Gu =P(1)其中系数矩阵G 为r ×n 阶矩阵，P 为r 阶列阵。
方法一：利用最小二乘法求解，即令(1)中每个方程的误差的平方和最小：[][]0∂--=∂T Gu P Gu P u (2)方法二：或Ku =f (3)其中T T K =G G,f =G P (4)1.2 算例例3.5 利用最小二乘法解下列超定方程组1231231231232312521352x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪+-=-⎪⎨++=⎪⎪-+=-⎩ (5)方法一：利用最小二乘法求解其中系数矩阵G 为4×3阶矩阵，P 为4阶列阵。
43111131252315⨯⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦G (6)[]412112T⨯=--P(7)31123[,,]T x x x ⨯=u(8)1231123212331234331414121112311311252125213523152x x x x x x x x x x x x x x x ⨯⨯⨯⨯++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-++--⎣⎦⎣⎦⎣⎦Gu P(9)[]1231231231231231231231232222123123123123[]]2312,3125213522521352(2)(31)(2521)(352)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =--++-⎡⎤⎢⎥+-+⎢⎥=++-+-+++--++⎢⎥++-⎢⎥-++⎣⎦=++-++-++++-+-++T I Gu P Gu P (10)[][]0,∂--=∂T Gu P Gu P u(11)由于123[,,]T x x x =u 即分别对x 1，x 2，x 3球偏导，得到12312311231231232(2)2(31)22(2521)23(352)2(1511193)Ix x x x x x x x x x x x x x x x ∂=++-++-+∂+⨯⨯+-+⨯⨯-++=+++(12)同理可得12322(113636)Ix x x x ∂=++-∂ (13)12332(193315)Ix x x x ∂=+++∂ (14)令偏导数等于零1231123212332(1511193)02(113636)02(193315)0Ix x x x Ix x x x Ix x x x ⎧∂=+++=⎪∂⎪⎪∂=++-=⎨∂⎪⎪∂=+++=⎪∂⎩ (15)法方程组为：1231511193113636193315x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦(16)解此方程组得最小二乘解:x 1= -1.5917 x 2= 0.5899 x 3=0.7572方法二：或3443331111123151119131135111363252112519331315⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎣⎦T K =G G(17)3441312112331135161112552⨯⨯⨯⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎣⎦T G P(18)法方程组为1231511193113636193315x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦(19)解得x 1= -1.5917 x 2= 0.5899 x 3=0.7572。
电路中的超定方程组求解
电路中的超定方程组求解超定方程组是指含有多于未知数个数的方程的方程组。
在电路中，超定方程组的求解是一种常见的问题，尤其是在电路参数求解或网络分析中。
解决电路中超定方程组的方法有很多种，我将在本文中介绍其中两种常见的方法：最小二乘法和广义逆法。
一、最小二乘法最小二乘法是一种求解超定方程组的经典方法。
它的基本思想是通过最小化残差平方和来寻找一组近似解，使得方程组的误差最小化。
设超定方程组为Ax=b，其中A为m×n的系数矩阵，b为m维列向量，m>n。
最小二乘法的目标是找到一个n维列向量x，使得 ||Ax-b||^2 最小。
最小二乘法的求解步骤如下：1. 计算系数矩阵A的伪逆矩阵A+；2. 计算伪逆解x=A+b；3. 得到最小二乘解。
最小二乘法在电路参数求解、数据拟合和信号处理等领域有广泛应用，其优点是稳定可靠。
二、广义逆法广义逆法是另一种求解超定方程组的常见方法。
它通过求解广义逆矩阵来获得一组最优解。
设超定方程组为Ax=b，其中A为m×n的系数矩阵，b为m维列向量，m>n。
广义逆法的目标是找到一个n维列向量x，使得 ||Ax-b|| 最小。
广义逆法的求解步骤如下：1. 计算系数矩阵A的广义逆矩阵A#；2. 计算解x=A#b；3. 得到广义逆解。
广义逆法在电路网络分析、图像处理和机器学习等领域有广泛应用，其优点是求解速度快。
总结：超定方程组求解在电路中具有重要的意义，可以帮助我们求解电路参数或者进行电路网络分析。
本文介绍了两种常见的求解方法：最小二乘法和广义逆法。
最小二乘法通过最小化残差平方和来求解近似解，而广义逆法则通过求解广义逆矩阵来获得一组最优解。
读者可以根据具体的问题选择合适的求解方法，以解决电路中的超定方程组求解问题。
总之，电路中的超定方程组求解是电路参数求解和网络分析中的重要问题，我们可以运用最小二乘法和广义逆法等方法来求解。
通过合理选择求解方法，我们能够有效地解决电路中的超定方程组求解问题，提高电路设计和分析的准确性和效率。
2-6超定方程组的最小二乘法
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
mn
Ax b
A (aij )mn , x R , b R
n
m
aij x j
j 1
n
的平方和最小，即求解问题： min F ( x) (bi aij x j ) b Ax
2 i 1 j 1 m n 2 2
此问题称为线性最小二乘问题，其解称为 超定线性方程组Ax b的最小二乘解。
2、用平方根法或LDLT 法求解方程组Mx f
x1 x 2 5 例10 求方程组 x1 2 x 2 4 2 x 3 x 10 2 1 的最小二乘解.
解
1 1 2 A A 1 2 3
T
1 -1 -1 2 6 9 2 -3
多元函数 F ( x)的偏导数
m n F 2 aik bi aij x j xk k 1 j 1
k 1,2, , n
令 得方程组
F 0 xk
k 1, 2, , n
m n ai1 aij x j i 1 j 1 n m ai 2 aij x j j 1 i 1 m n ain aij x j j 1 i 1
9 14
5 1 1 2 29 T A b 4 1 2 3 10 43
6 9 x1 29 正则方程组 9 14 x 2 43
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超定方程组最小二乘解课程设计最小二乘法广泛地应用于工程计算中，用最小二乘法消除（平滑）误差，用最小二乘法从有噪声的数据中提取信号，从海量数据中找出数据变化的趋势，……。
甚至利用简单函数计算复杂函数的近似值，我们并不期望它的近似值多么精确（事实上很多时候也不用很精确），尽管如此还是希望计算出的近似数据与原始数据之间有相似之处。
如果从线性代数角度来理解最小二乘法，实际上是将一个高维空间的向量投影到低维子空间所涉及的工作。
一、超定方程组的最小二乘解当方程组GX=b 的方程数多于未知数个数时，对应的系数矩阵G 的行数大于列数，此时方程组被称为是超定方程组。
设G=(g iu )m ×n ，当m>n 时即所谓的高矩阵，绝大多数情况下，超定方程组没有古典意义下的解。
超定方程组的最小二乘解是一种广义解，是指使残差r = b – GX 的2-范数达取极小值的解，即22*||||min ||||GX b GX b mRX -=-∈ 该问题是一个优化问题。
命题1：如果X *是正规方程组G T GX=G Tb 的解，则X *是超定方程组GX=b 的最小二乘解证 由题设可得，G T(b – GX *)=0。
对任意n 维向量Y ，显然有(X * – Y )T G T (b – GX *)=0考虑残差2-范数平方，由22**22||)()(||||||Y X G GX b GY b -+-=-上式右端利用内积，得22*22*22*22||||||)(||||||||||GX b Y X G GX b GY b -≥-+-=-从而有|| b – GY ||2 ≥ || b – GX *||2等式仅当Y =X *时成立。
所以X *是超定方程组GX=b 的最小二乘解。
命题2：如果X *是超定方程组GX=b 的最小二乘解，则X *满足正规方程组G T GX=G Tb证 由题设，22*||||min ||||GX b GX b mRX -=-∈，利用2-范数与内积关系，知X *是下面二次函数的极小值点ϕ(X ) = (GX ，GX ) – 2(GX ，b ) + (b ，b )取任意n 维向量v ，对任意实数t ，构造一元函数g (t ) = ϕ(X * + t v )显然， g (t ) 是关于变量t 的二次函数g (t ) = (G (X * + t v )，G (X * + t v )) – 2(G (X * + t v )，b ) + (b ，b )= g (0) + 2t [(GX *，Gv ) – (Gv ，b )]+ t 2 (Gv ，Gv )由题设t =0是g (t )的极小值点。
由极值必要条件，得0)0(='g 。
即(GX *，Gv ) – (Gv ，b )=0将左端整理化简，便得(Gv ，GX * – b ) =0利用内积性质，得( v ，G T (GX * – b ) )=0由v 的任意性，得G T(GX * – b ) =0二、最小二乘解的几何意义 首先考虑一个简单的超定方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-6311215342y x该方程组的右端向量是三维向量，系数矩阵的每一列也是三维向量，但待求的未知向量却是二维向量。
将系数矩阵按列分块，G =[α1，α2]，记右端向量为β。
则方程组求解问题可表示为求组合系数x 和y 使x α1 + y α2 = β的向量的线性组合问题。
由于两个向量α1，α2不构成三维空间的一组基，所以一般情况下这一问题无解。
而由向量α1，α2张成的子空间span{α1，α2}是一张平面，记为π。
则超定方程组的最小二乘解实际上是求X *，使GX * 恰好等于β 在平面π上的投影。
而最小二乘解所对应的残差向量则垂直于向量GX *。
事实上，由正规方程组G T GX=G T b得G T(b –GX *) = 0上式的几何意义可解释为：最小二乘解的残差向量与超定方程组的系数矩阵G 的所有列向量正交。
从而(X *)T G T (b –GX * ) = 0所以(GX *，b –GX * ) = 0三、最小二乘解的两种方法超定方程组的最小二乘解是指正规方程组G T GX=G T b的解。
如果系数矩阵(G TG )可逆，则正规方程组有唯一解。
此时，最小二乘解可以形式地写为如下形式X=(G T G )-1G T b两种常用的方法如下1．用对称矩阵的三角分解法解正规方程组G TGX = G Tb ；记A=G TG ，则A 是对称矩阵，由三角分解A = L D L T，其中L 是下三角矩阵，D 是对角矩阵。
将这一算法写过三个过程：①解下三角方程组：LY 1 = G Tb ； ②解对角方程组：DY 2 = Y 1 ；③解上三角方程组：L TY 3 = Y 22．用矩阵的QR 分解直接求解超定方程组由QR 分解（正交三角分解）G=QR ，其中Q 是正交矩阵，R 是上三角矩阵。
将QR 分解代入最小二乘解表达式中，得X=( R T Q T QR )-1(QR )T b = R -1Q T b由此可知，用分解方法求超定方程组的最小二乘解只需求解上三角方程组RX=Q T b四、GPS 定位解算原理如果不考虑GPS 接收机钟差，也不考虑信号传播过程的电离层延迟、对流层延迟和多径延迟误差，则GPS 定位模型为222)()()(j j j j z z y y x x -+-+-=ρ，( j = 1，2，…，N )其中，(x ，y ，z ) 为接收机坐标，(x j，y j，z j)为卫星P j 的坐标；j ρ是伪距（实际上可得到的距离观测量）。
当已知接收机的概略位置r 0 = (x 0，y 0，z 0)时，可以用牛顿迭代法结合最小二乘原理实现精确定位。
对模型右边应用Taylor 级数展开，并略去高次项，得到j j j j L b z n y m x l =+++δδδ其中，0x x x -=δ，0y y y -=δ，0z z z -=δ，j j j R x x l ~0-=，j j j R y y m ~0-=，j jj Rz z n ~0-=j j j R L ~-=ρ，202020)()()(~z z y y x x R j j j j -+-+-=设视界内的卫星数为N 。
将上述方程组写为矩阵形式，得到GX=L其中，T b z y xX ][δδδ=，L=[L 1，L 1，……，L N ]T 而⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=111222111NN Nn m l n m l n m l G 用最小二乘法求解超定方程组，得正规方程T T G GX G L =当为矩阵TG G 非奇异时，其解为1()T T X G G G L -=得定位解x x x δ+=01，y y y δ+=01，z z z δ+=01如果概略坐标（x 0，y 0，z 0）误差较大，则需要做迭代计算，以（x 1，y 1，z 1）代替（x 0，y 0，z 0）重复上面计算过程。
下面数据来自于Applied mathematics and computation 119(2001)21—34 文章题目：Alternative algorithms for the GPS static positioning solution作者：John B. LundbergMATLAB仿真程序（gps0.m）%卫星的坐标，伪距xyz=[16414028.668, 660383.618, 20932036.90716896800.648, -18784061.365, -7418318.8569339639.616, -14514964.658, 20305107.161-18335582.591, -11640868.305, 15028599.071-2077142.705, -20987755.987, -15879741.196-4957166.885, -23306741.039, 12039027.09617977519.820, -13089823.312, 14331151.0659682727.508, -24060519.485, 3985404.530];ro=[24658975.3174322964286.4122821338550.6453623606547.2935924263298.5040120758264.1082321847468.8168920352077.19349];P=[0;0;0]; %设定位数据初始值即概略坐标error=10;k=0;tic %程序运行计时开始while error>1e-8 %设置定位精度for j=1:8Dj=xyz(j,:)-P'; dj=norm(Dj); %计算接收机到第j颗卫星向量及其长度G(j,1:3)=Dj/dj;G(j,4)=-1; L(j,:)=dj-ro(j); %计算几何矩阵第j行及方程右端值endb=G\L; %解几何方程error=abs(b(1:3)); %计算位值修正量绝对值P=P+b(1:3);k=k+1; %修正定位数据endtoc %程序运行计时结束format long eX=[P;b(4)]' %显示满足精度的定位数据Format计算结果elapsed_time = 0.0160X =Columns 1 through 39.613338291042342e+005 -5.674076369901314e+006 2.740537661301808e+006 Column 4-3.600000000248986e+004数值实验问题1．一个测绘员要测量出在某个基准点上三个山头A、B、C的高度，首先从基准点处观测，测得山头高度分别为x1=1237(ft)、x2=1914(ft)、x3=2417(ft)为了进一步确认测量数据。
测绘员爬上第一个山头，测得第二个山头相对于第一个山头的高度为711(ft)，第三个山头相对于第一个山头的高度为1177(ft)。
最后它再爬上第二个山头测得第三个山头相对于第二个山头的高度为475(ft)。
用最小二乘法处理六个测量数据。
2．数据拟合的最小二乘方法源于天文学中对行星或慧星这类天体的轨道计算。
1795年，高斯在计算行星的椭圆轨道时提出并使用了这种方法，这一方法由勒让德于1805年首次公布。
由开普列的研究成果，行星在其轨道平面上的运行轨迹是一个椭圆，而椭圆方程a1x2 + 2a2 xy +a3y2 + a4x + a5y + 1=0需要由五个参数确定。
原则上只要对行星的位置作5次观测就足以确定它的整个轨迹方程。
但由于存在测量误差，由5次观测所确定的轨迹极不可靠，需要进行多次观测，用最小二乘法来消除误差，得到有关轨迹参数的更精确的值。