函数的极值与导数

• 1.理解极值的有关概念． • 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分 条件． • 3.会用导数求函数的极大值和极小值.
重点难点
重点:利用导数知识求函数的极值
难点:对极大、极小值概念的理解及求可导 函数的极值的步骤
观察图象中，点a和点b处的函数值与它们附 近点的函数值有什么的大小关系？
y
(A) 6
(B) 0
(C) 5
(D) 1
归纳小结
1、极值的定义。 2、判定极值的方法。 ３、求极值的步骤。
思想方法总结： 观察、转化、数形结合。
直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三 个公共点，则a的取值范围是________． 解析：令f′(x)＝3x2－3＝0， 得x＝±1， 可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2， 极小值为f(1)＝－2， 如图所示，－2<a<2时，恰有三个不同公共点． 答案：(－2,2 )
三．求函数极值的步骤
1 3 例1 求函数 f ( x) x 4 x 4的极值. 3
如何列表，列表中的基本元素有哪些？区间分配 依据是什么？ 各区间对应导数的符号如何判定
图像
求解函数极值的一般步骤 • (1)确定函数的定义域，求导数 f (x) • (2)求方程 f (x)=0的根 • (3)用方程 f (x)=0的根，顺次将函数的定义域 分成若干小开区间，并列成表格. • (4)检查 f (x) 在方程根左右的值的符号，如 果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大 值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取 得极小值。
2 例 2． 已知 f(x)＝x ＋ax ＋bx＋c 在 x＝1 与 x＝－ 时都 3
3 2
取得极值． (1)求 a，b 的值； 3 (2)若 f(－1)＝ ，求 f(x)的单调区间和极值． 2
检测提升
1．函数y＝1＋3x－x3有( )
A．极小值－2，极大值2 C．极小值－1，极大值1
B．极小值－2，极大值3 D．极小值－1，极大值3
y f x
a o b
x
一 极值的定义
• 点a叫做函数y=f(x)的极小值点，函数值f（a）称 为函数y=f(x)的极小值， • 点b叫做函数y=f(x)的极大值点，函数值f（b）称 为函数y=f(x)的极大值 。 • 极大值点极小值点统称为极值点，极大值和极小 值统称为极值
注：极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值。
1 2 求函f ( x) x 的极值 x
1 3 3．已知关于 x 的函数 f(x)＝－ x ＋bx2＋cx＋bc，如果 3 4 函数 f(x)在 x＝1 处取极值－ ， 则 b＝________， c＝________. 3
4、 已知f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6，那么a等于( )
观察函数y=f(x)的图像
y
y f x
C
d
e
o
f
g
h
x
探究
1、图中有哪些极值点？极值点唯一吗？ 2、极大值一定比极小值大么？
函数极值是在某一点附近的小区间内 定义的，是局部性质。因此一个函数在其 整个定义区间上可能有多个极大值或极小 值，并对同一个函数来说，在某一点的极 大值也可能小于另一点的极小值。
探究3：函数y=f(x)在极值点的导数值为多少? 在极值点两侧的导数符号有什么规律？
y
y f x
C
d
e
o
f
g
h
x
结论:极值点处导数值为0
演示
探究:极值点两侧导数符号有何规律?
y 极大值点两侧
yf(x)
f (x)>0 f (x)<0
f (x)<0 O x1
f (x)>0
a
百度文库
x2
b
x
极小值点两侧
练习：
下图是导函数 y
y f ( x) 的图象, 试找出函数 y f ( x) y f ( x)
x3 x x5
的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.
a x1 O
x2
x4
x6
b
探究4:导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
归纳
二 函数在某点取得极值的必要条件和充分 条件分别是什么？