角平分线的性质
角平分线的性质
ABCI1234A BCP1234300ABC E1234【三角形內角平分線性質】： 任一∆ABC ，若∠B 平分線與∠C 平分線相交於∆ABC 內的一點I ，則有∠BIC ＝900＋21∠A 。
【三角形外角平分線性質】：任一∆ABC ，若∠B 的外平分線與∠C 的外平分線相交於∆ABC 外的一點P ，則有∠BPC ＝900－21∠A 。
【證明】∠1＝∠2，∠3＝∠4(角平分線)∴∠A ＋（1800－2∠2）＋（1800－2∠3）＝1800(三角形內角和)⇒∠2＋∠3＝21800+∠A∴∠BPC ＝1800－（∠2＋∠3）＝900－21∠A 【三角形內、外角平分線性質】： 在∆ABC 中，內角∠B 的平分線與∠C 的外角平分線相交於一點E ， 則有∠BEC ＝21∠A 【證明】由外角定理知：∠3＋∠4 ＝（∠1＋∠2）＋∠A⇒∠4 －∠2＝21∠A由外角定理知： ∠4 ＝∠2＋∠BEC ∴∠BEC ＝∠4 －∠2＝21∠A由尺規作圖我們可得：1. SSS 全等性質（三個邊對應相等），2. SAS 全等性質（兩邊一夾角對應相等），3. ASA 全等性質（兩角一夾邊對應相等），AB C D4. AAS全等性質。
及SSA ( ASS) ，AAA 不全等。
平行四邊形平行四邊形的定義:兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形。
(由角來定義)如圖，若AB//CD且AD//BC，則ABCD稱為平行四邊形，以「□ABCD」表示。
平行四邊形的性質：從平行四邊形的性質來看，我們可以發現基本上都是由之前所學過的平行性質以及三角形的性質所構成，以下列出5點性質，我們將一一來證明。
【性質1】對角線將平行四邊形分為兩個全等三角形。
【性質2】平行四邊形之兩雙對邊分別相等。
【性質3】平行四邊形之兩雙對角分別相等。
【性質4】平行四邊形之兩對角線互相平分。
【性質5】平行四邊形之對邊平行且相等。
(定義+性質一)【性質1】對角線將平行四邊形分為兩個全等三角形。
角的平分线的性质
角的平分线的性质一. 根底知识1．角的平分线的性质(1)内容角的平分线上的点到角的两边的距离相等．(2)书写格式如下列图，∵点P在∠AOB的角平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE.2．角的平分线的判定(1)内容角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．(2)书写格式如下列图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴点P在∠AOB的角平分线上．3．运用角的平分线的性质解决实际问题运用角的平分线的性质的前提条件是角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离．在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可．运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法．4．运用角的平分线的判定解决实际问题在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型(角的平分线)．然后根据某点到角两边的距离相等，那么常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题．解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题能根据条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键．找到解决问题的切入点就是条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点．5．综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和判定的关系如下：对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质〞和“判定〞恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据．析规律构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等．同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可．6．运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题在实际问题中，确定位置(如建货物中转站、建集市、建水库等)的问题，常常用到角的平分线的性质来解决．尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上〞的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法．三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，其实只要作出其中两条角平分线的交点，第三条角平分线一定过此交点．三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到该三角形三边所在的直线距离相等．三角形外角平分线共有三条，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个．【例6】如以下列图所示，三条公路l1，l2，l3两两相交于A，B，C三点，现方案修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？解：三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等；∠ACB，∠ABC的外角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在∠CAB的平分线上，且到公路l1，l2，l3的距离相等；同理还有∠BAC，∠BCA的外角平分线的交点；∠BAC，∠CBA的外角平分线的交点，因此满足条件的点共有4个．作法：(1)如右图所示，作出△ABC两内角∠BAC，∠ABC的平分线的交点O1.(2)分别作出∠ACB，∠ABC的外角平分线的交点O2，∠BAC，∠BCA的外角平分线的交点O3，∠BAC，∠CBA的外角平分线的交点O4；故满足条件的修建点有四处，即点O1，O2，O3，O4处．课堂练习一、填空题1．：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分线交于点O，那么∠AOC的度数为.2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．3．∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5 cm，那么M到OB的距离为_________.4．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，那么∠DOC=_________. 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，那么BC=_____cm.第4题第5题第6题第7题6．如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，那么CF______FG，CE________CF.7．如图，AB、CD相交于点E，∠AEC及∠AED的平分线所在的直线为PQ与MN，那么直线MN与PQ的关系是_________.8．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等．9．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，那么∠BOC的度数为_____________．10．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，假设BC=32且BD∶CD=9∶7，那么D到AB的距离为.二、选择题11．三角形中到三边距离相等的点是〔 〕A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点12．如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，以下结论错误的选项是〔 〕A 、PD ＝PEB 、OD ＝OEC 、∠DPO ＝∠EPOD 、PD ＝OD13．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互穿插的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，那么可供选择的地址有〔 〕A 、1处B 、2处C 、3处D 、4处14．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，那么△DEB 的周长为〔 〕 A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝ D 、不能确定21DAPOEBl 2l 1l 3DCEB第12题第13题第14题15．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，那么以下结论中不正确的选项是〔 〕A 、TQ ＝PQB 、∠MQT ＝∠MQPC 、∠QTN ＝90°D 、∠NQT ＝∠MQTNTQPM第15题16．如图在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于( )EDCBAA ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm17．如图，AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，那么对于以下结论：①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③D 在∠BAC 的平分线上．其中正确的选项是〔〕A ．①B ．②C ．①和②D ．①②③EDC BAF18．如图，AB =AD ，CB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，那么以下结论正确的选项是〔〕A ．OA =OCB ．点O 到AB 、CD 的距离相等C ．∠BDA =∠BDCD ．点O 到CB 、CD 的距离相等19．△ABC 中，∠C =90°，点O 为△ABC 三条角平分线的交点，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，且AB =10cm ，BC =8cm ，AC =6cm ，那么点O 到三边AB 、AC 、BC 的距离为〔〕A ．2cm ，2cm ，2cm ；B ． 3cm ，3cm ，3cm ；C ． 4cm ，4cm ，4cm ；D ． 2cm ，3cm ，5cm20．两个三角形有两个角对应相等，正确说法是〔〕A ．两个三角形全等B ．如果还有一角相等，两三角形就全等C ．两个三角形一定不全等D ．如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等三、解答与证明21．如图，△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，求证：D 到AB 、AC 的距离相等.22．如图，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，假设BD =CD ．求证：AD 平分∠BAC .DCBAO 第18题23．如图，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且交BE 于E ．求证：AE 平分∠FAC .DF CBAE24．如图，AB =AC ，AD =AE ，DB 与CE 相交于O . (1)假设DB ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，试判断OE 与OD 的大小关系.并证明你的结论. (2)假设没有第〔1〕中的条件，是否有这样的结论"试说明理由.DCBAOE25．如图，∠B =∠C =90°M 是BC的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .重点题型讲解1.如图．在△ABC 中，∠A 、∠B 的角平分线交于点O ，过O 作OP ⊥BC 于P ，OQ ⊥AC 于Q ，OR ⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．〔1〕求BP、CQ、AR的长．〔2〕假设BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，假设∠A=60゜，求证：OE=OF．2.如图．AE、BD是△ABM的高．AE、BD交于点C，且AE=BE，BD平分∠ABM．〔1〕求证：BC=2AD；〔2〕求证：AB=AE+CE；〔3〕求证：DE平分∠MDB3.如图，点M〔2，2〕，将一个90°的角尺的直角顶点放在点M处，角尺的两边分别交x轴、y轴正半轴于A、B，AP平分∠OAB，交OM于点P，PN⊥x轴于N，把角尺绕点M旋转时：〔1〕求证：OM平分∠AOB；〔2〕求OA+OB的值4.如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH．〔1〕求证：△ACD≌△BCE；〔2〕求证：CH平分∠AHE；〔3〕求∠CHE的度数．〔用含α的式子表示〕家庭作业1角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．2、∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5 cm，那么M到OB的距离为_________.3、如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，那么∠DOC=_________.4、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，那么BC =_____cm .5、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等。
三角形中的角平分线和中线性质
三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。
（1）一个角有且只有一条角平分线。
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。
二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。
（1）一个三角形有且只有三条中线。
（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。
（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。
三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。
（1）三角形的心是三角形内部的一个点。
（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。
（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。
四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。
（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。
（2）利用中线求解三角形的边长。
三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。
掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。
习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。
答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。
又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。
2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。
答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。
根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。
又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。
3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。
角平分线的性质ppt课件
P D●
C●
O
A
34
知识拓展
如图，在△ABC中，
A
AC=BC，∠C=90°，
AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，垂足为E。
（1）已知CD=4cm，求 AC的长；
E
（2）求证：AB=AC+CD C
D
B
35
36
·D
何作图角度怎么画？
C·
7
试一试
由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法
已知:∠AOB.
求作:∠AOB的平分线.
A
作法:
⑴以O为圆心,任意长为半径作 弧,交OA于M,交OB于N. ⑵分别以M,N为圆心,大于 1 MN 的长为半径作弧,两弧在 2 ∠AOB的内部交于点C.
⑶作射线OC,
射线OC即为所求.
F
E
C
D
B
26
3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB， AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E。 求证：△DBE的周长等于AB。
C
D
A
EB
27
思考：
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意 一点,问PE=PD?为什么? O
EA PC
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等.
Ｍ Ｃ
Ｂ
Ｎ
0
温馨提示: 作角平分线是最基本的
尺规作图,大家一定要掌握噢! 8
探究2---做一做
• 将∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使 第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折 叠形成的三条折痕,你能得到什么结论? A
A
角平分线的性质
角平分线的性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将角分成两个相等的角的线段。
在几何学中，角平分线有着许多重要的性质和应用。
本文将详细介绍角平分线的性质，并通过实例来说明其应用。
一、角平分线的定义和性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将角分成两个相等的角的线段。
角平分线有以下几个重要的性质：1. 角平分线上的点到角两边的距离相等。
这是因为角平分线将角分成两个相等的角，所以从角平分线上的任意一点到角两边的距离都是相等的。
2. 角平分线与角的两边相交，将角分成两个相等的角。
这是角平分线的定义。
3. 一个角的两条平分线相交于角的顶点，并且将角分成四个相等的角。
这是因为一个角的两条平分线相交于角的顶点，将角分成两个相等的角，而每个相等的角又被另一条平分线分成两个相等的角，所以整个角被平分线分成四个相等的角。
4. 角平分线与角的另一条边垂直相交。
这是因为角平分线将角分成两个相等的角，而相等的角的边垂直相交，所以角平分线与角的另一条边垂直相交。
二、角平分线的应用角平分线在几何学中有着广泛的应用，下面将通过实例来说明角平分线的应用。
例1：已知角ABC的角平分线AD，角ACD=60°，求角ABC的度数。
解：根据角平分线的性质，角ACD=角BCD=60°，所以角ABC=180°-60°-60°=60°。
例2：已知角ABC的角平分线AD，角ACD=40°，角BAD=30°，求角ABC的度数。
解：根据角平分线的性质，角ACD=角BCD=40°，所以角ABC=角ACD+角BAD=40°+30°=70°。
例3：已知角ABC的角平分线AD，角BAD=40°，角BCD=60°，求角ABC的度数。
解：根据角平分线的性质，角ACD=角BCD=60°，所以角ABC=角ACD+角BAD=60°+40°=100°。
角平分线性质定理
角平分线性质定理定理说明在几何学中，角平分线性质定理是一个重要的几何定理。
它指出：如果一条直线将一个角分成两个相等的角（即平分该角），那么这条直线就被称为该角的角平分线。
根据这个定理，我们可以得出一些有趣的推论和性质。
角平分线的性质性质一：角平分线两侧的角相等若一条直线分割一个角，并且它分成的两个角相等，那么这条直线就是该角的平分线。
以角A为例，若BD为角A的角平分线，则∠ABD = ∠CBD。
性质二：角平分线在三角形中的应用在一个三角形中，如果一条角平分线平分了一个内角，那么它将三角形分成两个相似的三角形。
我们可以利用这个性质来求解三角形内部角的度数。
性质三：角平分线长度关系两内锐角平分线的长度之比等于与这两个角的正弦比值。
性质四：角平分线与外切圆关系若角BAC的角平分线交外接圆于点D，那么∠BDC = 90°。
性质五：角平分线的唯一性对于一个给定的角，其角平分线唯一且确定。
应用和分析角平分线性质定理在几何学中有着广泛的应用。
通过合理应用这些性质，我们可以有效地解决角平分线相关的问题，从而推理出更复杂的几何问题的解决方案。
同时，深入了解角平分线的性质也有助于提高我们的几何推理能力，培养我们的数学思维和逻辑推理能力。
结论角平分线性质定理是几何学中一个基础而重要的定理，它揭示了角平分线的一些重要性质和应用。
通过深入理解和应用这个定理，我们可以更好地解决几何学中有关角平分线的问题，并且提高自己的数学分析能力。
对于学习几何学的人来说，掌握角平分线性质定理是必不可少的，它将为我们的数学学习之路增添光彩。
角的平分线的性质(基础)知识讲解
角的平分线的性质（基础）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,PP P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1．（2015春•启东市校级月考）如图，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM⊥AD 于M ，PN⊥CD 于N ，求证：PM=PN ．2、如下图, △ABC 中, ∠C ＝ 90 , AC ＝ BC, AD 平分∠CAB, 交BC 于D, DE ⊥AB 于E, 且AB ＝6cm , 则△DEB 的周长为( )A. 4cmB. 6cmC.10cmD. 以上都不对举一反三：AB AC ABD与△ACD 【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:的面积之比为（）A．3：2 B C．2：3、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．类型二、角的平分线的判定4、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求证：AF为∠BAC的平分线.举一反三：【变式】（2014秋•肥东县期末）已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．。
角平分线的性质
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
追问3 角的平分线的性质的作用是什么？
主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方 法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
（×
B
）
A
D
求证：PD =PE．
O
A
D C
P
E
B
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 。已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上
，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。 求证：PD=PE 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
D
∠ PDO= ∠ PEO
能少了任何一个。
D
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
1
(角的平分线上的点到角的两边 O
2
的距离相等)
P
E
B
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
追问2 由角的平分线的性质的证明过程，你能概 括出证明几何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证
C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD
，(
在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等。
)
（×
A B
）
D
C
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
数学上册角的平分线的性质
计算角度
在已知三角形两个角的情况下，可以利用三角形内角和定理计算出第三个角的大小。
证明全等三角形
在证明两个三角形全等时，如果两个三角形有两组对应的角分别相等，并且其中一组等角的 对边相等，那么这两个三角形全等（AAS）。此时，可以通过作角的平分线来构造全等的条 件。
解决实际问题
在实际问题中，如测量、建筑等领域，经常需要利用三角形内角和定理和角的平分线性质 来解决相关问题。例如，在测量一个角度时，可以通过测量另外两个角度并利用三角形内 角和定理来计算出目标角度的大小。
04 角的平分线与三角形面积 关系
04 角的平分线与三角形面积 关系
三角形面积公式
三角形面积公式：S = 1/2 * b * h， 其中b为底边长度，h为高。
三角形面积公式是计算三角形面积的 基础，适用于任何类型的三角形。
三角形面积公式
三角形面积公式：S = 1/2 * b * h， 其中b为底边长度，h为高。
应用二
利用角的平分线性质解决与三角形面积相关的问题。例如， 在三角形中作一条角平分线，可以将原三角形划分为两个面 积相等的小三角形，从而简化问题或找到新的解题思路。
05 角的平分线在几何变换中 性质
05 角的平分线在几何变换中 性质
平移、旋转、对称变换下性质
01
02
03
平移不变性
角的平分线在平移变换下 保持其性质不变，即平移 后的角平分线仍然是原角 的平分线。
三角形内角和定理
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于180°。
证明方法
通过平行线的性质或外角定理等方式证明。
角的平分线与内角和关系
角的平分线定义
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平 分线。
角平分线的性质与应用
角平分线的性质与应用角平分线是指将一个角平分成两个相等的角的线段。
在几何学中，研究角平分线的性质与应用有助于解决各种角相关的问题。
本文将探讨角平分线的性质以及它们在几何学中的应用。
一、角平分线的性质1. 定理1：角平分线将角分成两个相等的角。
证明：设角AOB为已知角，AC是角AOB的平分线。
假设角CAC'和角C'AB是不等的，即角CAC'≠角C'AB。
因为角CAC'和角C'AB之和等于角AOB，即角CAC'+角C'AB=角AOB。
又因为角CAC'和角C'AB是不等的，所以它们的和必然小于角AOB，产生矛盾。
因此，角CAC'和角C'AB必然相等。
2. 定理2：如果一个角的两条平分线相交于一个点，则该点在角的内部，并且到角的各边距离相等。
证明：设角AOB为已知角，AC和BD是角AOB的两条平分线，交于点E。
我们分别证明点E在角AOB的内部以及到角的各边距离相等：a) 点E在角AOB的内部的证明：假设点E在角AOB的外部，我们取点F在射线EB上，使得EF = EC。
在△AFC中，角AFC =角AFC’ +角C’FA =角 ABD +角 BDA =90°。
另一方面，在△BFD中，角BFD=角BFD’+角DFB=角ABD’+角DBA=90°。
因此，角AFC和角BFD之和等于180°，即角AFCB为一直线，这与假设矛盾。
因此，点E在角AOB的内部。
b) 到角的各边距离相等的证明：由定理1可知，∠ACB =∠DCB。
又因为∠AEC和∠BEC分别是角ACB的两个相等的角，所以∠AEC=∠BEC。
由于∠AEB是锐角，所以点E到射线AB上的点的距离相等。
二、角平分线的应用角平分线在几何学中有广泛的应用，下面介绍几种常见的应用情况：1. 求角平分线的长度：已知一个角的两条边长以及夹角的大小，可以利用三角函数求出角平分线的长度。
角的平分线的性质
角的平分线的性质一. 基础知识1．角的平分线的性质(1)内容角的平分线上的点到角的两边的距离相等．(2)书写格式如图所示，∵点P在∠AOB的角平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE.2．角的平分线的判定(1)内容角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．(2)书写格式如图所示，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴点P在∠AOB的角平分线上．3．运用角的平分线的性质解决实际问题运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离．在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可．运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法．4．运用角的平分线的判定解决实际问题在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型(角的平分线)．然后根据已知某点到角两边的距离相等，则常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题．解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题能根据已知条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键．找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点．5．综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和判定的关系如下：对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据．析规律构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等．同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可．6．运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题在实际问题中，确定位置(如建货物中转站、建集市、建水库等)的问题，常常用到角的平分线的性质来解决．尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上”的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法．三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，其实只要作出其中两条角平分线的交点，第三条角平分线一定过此交点．三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到该三角形三边所在的直线距离相等．三角形外角平分线共有三条，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个．【例6】如下图所示，三条公路l1，l2，l3两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？解：三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等；∠ACB，∠ABC的外角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在∠CAB的平分线上，且到公路l1，l2，l3的距离相等；同理还有∠BAC，∠BCA的外角平分线的交点；∠BAC，∠CBA的外角平分线的交点，因此满足条件的点共有4个．作法：(1)如右图所示，作出△ABC两内角∠BAC，∠ABC的平分线的交点O1.(2)分别作出∠ACB，∠ABC的外角平分线的交点O2，∠BAC，∠BCA的外角平分线的交点O3，∠BAC，∠CBA的外角平分线的交点O4；故满足条件的修建点有四处，即点O1，O2，O3，O4处．课堂练习一、填空题1．已知：△ABC 中，∠B =90°， ∠A 、∠C 的平分线交于点O ，则∠AOC 的度数为 .2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．3．∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________.4．如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________. 5．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm .6．如图，CD 为Rt △ABC 斜边上的高，∠BAC 的平分线分别交CD 、CB 于点E 、F ，FG ⊥AB ，垂足为G ，则CF ______FG ，CE ________CF .7．如图，已知AB 、CD 相交于点E ，∠AEC 及∠AED 的平分线所在的直线为PQ 与MN ，则直线MN 与PQ 的关系是_________.8．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等． 9．点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________．10．在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为 .第4题第5题第6题第7题二、选择题11．三角形中到三边距离相等的点是（ ）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点 12．如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ）A 、PD ＝PEB 、OD ＝OEC 、∠DPO ＝∠EPOD 、PD ＝OD 13．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A 、1处B 、2处C 、3处D 、4处14．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ）A 、4㎝B 、6㎝C 、10㎝D 、不能确定21DAPOEBl 2l 1l 3DCEB第12题 第13题 第14题15．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，则下列结论中不正确的是（ ）A 、TQ ＝PQB 、∠MQT ＝∠MQPC 、∠QTN ＝90°D 、∠NQT ＝∠MQTNTQPM第15题16．如图在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于( )EDCBAA ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm17．如图，已知AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，则对于下列结论：①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③D 在∠BAC 的平分线上．其中正确的是（ ）A ．①B ．②C ．①和②D ．①②③EDC BAF18．如图，AB =AD ，CB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）A ．OA =OCB ．点O 到AB 、CD 的距离相等C ．∠BDA =∠BDCD ．点O 到CB 、CD 的距离相等19．△ABC 中，∠C =90°，点O 为△ABC 三条角平分线的交点，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，且AB =10cm ，BC =8cm ，AC =6cm ，则点O 到三边AB 、AC 、BC 的距离为（ ）A ．2cm ，2cm ，2cm ；B ． 3cm ，3cm ，3cm ；C ． 4cm ，4cm ，4cm ；D ． 2cm ，3cm ，5cm 20．两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（ ）A ．两个三角形全等B ．如果还有一角相等，两三角形就全等C ．两个三角形一定不全等D ．如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等 三、解答与证明21． 如图，已知△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，求证：D 到AB 、AC 的距离相等.DCAO 第18题22． 如图，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD =CD ．求证：AD 平分∠BAC .23． 如图，已知BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且交BE 于E ．求证：AE 平分∠FAC .F CAE24． 如图，已知AB =AC ，AD =AE ，DB 与CE 相交于O . (1)若DB ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，试判断OE 与OD 的大小关系.并证明你的结论. (2)若没有第（1）中的条件，是否有这样的结论?试说明理由.DCBAOE25．如图，∠B =∠C =90°M 是BC的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .重点题型讲解1.如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR ⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．2.如图．AE、BD是△ABM的高．AE、BD交于点C，且AE=BE，BD平分∠ABM．（1）求证：BC=2AD；（2）求证：AB=AE+CE；（3）求证：DE平分∠MDB3.如图，点M（2，2），将一个90°的角尺的直角顶点放在点M处，角尺的两边分别交x轴、y轴正半轴于A、B，AP平分∠OAB，交OM于点P，PN⊥x轴于N，把角尺绕点M旋转时：（1）求证：OM平分∠AOB；（2）求OA+OB的值4.如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）求证：CH平分∠AHE；（3）求∠CHE的度数．（用含α的式子表示）家庭作业1角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．2、∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________.3、如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________.4、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm .5、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等。
角的平分线的性质
角的平分线的性质汇报人:2023-12-08目录CONTENCT •角的平分线定义与性质•构造方法与证明技巧•在三角形中应用•在四边形和多边形中应用•拓展：关于角平分线其他知识点01角的平分线定义与性质定义及基本性质定义角的平分线指的是将一个角平分为两个相等的小角的射线。
基本性质平分线将对应的角平分为两个相等的小角，且平分线上的每一点到该角两边的距离相等。
存在性与唯一性定理存在性定理对于任何一个角，都存在一条射线将其平分为两个相等的小角，即存在一条角的平分线。
唯一性定理对于任何一个角，它的平分线是唯一的，即不存在两条不同的射线都可以将该角平分为两个相等的小角。
几何意义角的平分线在几何学中有着非常重要的意义，它可以用于构造等边三角形、等腰三角形等图形，并且是解决一些几何问题的关键。
应用场景在实际问题中，角的平分线常常被用于设计、建筑、工程等领域。
例如，在建筑工程中，可以利用角的平分线来确定某些结构的位置和方向；在机械设计中，可以利用角的平分线来设计齿轮、联轴器等零部件的位置和尺寸。
几何意义及应用场景02构造方法与证明技巧首先利用尺规作图作出给定角的平分线，再通过该平分线构造等腰三角形或利用其他相关性质进行证明。
尺规作图法利用了角的平分线性质，即平分线上的点到角两边距离相等，从而实现了对给定角的精确平分。
尺规作图法原理分析作图步骤三角形内心与外心相关性质三角形的内心到三角形三边的距离相等，且与三角形三顶点连线将三角形划分为三个面积相等的部分。
内心与三角形任意两顶点连线的夹角等于与该顶点相对的角的一半。
外心性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，且与三角形三边的中垂线交于一点。
外心与三角形任意两顶点连线的夹角等于与该顶点相对的角的外角的一半。
例题一思路梳理例题二思路梳理典型例题解析及思路梳理已知三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，求证：AB/AC=BD/CD。
利用角的平分线性质，构造等腰三角形或利用相似三角形进行证明。
角平分线的性质及应用
利用角平分线定理求角度
总结词
通过利用角平分线定理，我们可以求解一些与角度相关的几何问题。
详细描述
在几何问题中，有时候我们需要求解某个角度的大小。利用角平分线定理，我们可以将问题转化为求 解两个相等的线段之间的夹角。例如，如果一个角的平分线将相对边分为两段相等的线段，那么这个 角被平分线分为两个相等的部分，因此可以利用这个性质来求解角度。
总结词
角平分线定理是几何学中的重要定理之一，它可以用于证明 各种几何命题，如三角形中的角平分线性质、平行线性质等 。
详细描述
角平分线定理指出，角平分线将相对边分为两段相等的线段 。利用这个定理，我们可以证明一些与角平分线相关的几何 命题。例如，如果一个角的平分线与另一个角的两边相交， 那么这两个交点到角平分线的距离相等。
利用角平分线定理证明三角恒等式
总结词
通过构造角平分线，可以将复杂的三角恒等式证明问题转化为简单的几何问题，从而证 明三角恒等式。
详细描述
在证明三角恒等式时，我们可以根据题目的特点，构造角平分线，将问题转化为几何问 题。然后利用角平分线定理和三角形的性质，推导出恒等式。这种方法可以简化证明过
程，使证明更加直观和简单。
利用角平分线定理求距离
总结词
通过利用角平分线定理，我们可以求解 一些与距离相关的几何问题。
VS
详细描述
在几何问题中，有时候我们需要求解两个 点之间的距离。利用角平分线定理，我们 可以将问题转化为求解两个相等的线段之 间的距离。例如，如果一个角的平分线将 相对边分为两段相等的线段，那么这两个 相等的线段之间的距离就是所求的距离。 因此，可以利用这个性质来求解距离。
详细描述
这是角平分线的一个非常重要的性质。在几何学中，我们可以通过这个性质来证明一些与角平分线相关的命题。 例如，如果我们从一个固定点向一个角的两边画线，那么这些线中最短的一条必定是角的平分线。这个性质在解 决几何问题时非常有用，因为它可以帮助我们找到最短的路径或线段。
初中数学角平分线的性质知识点
初中数学角平分线的性质知识点
初中数学中，角平分线是一个重要的概念。
下面我们来探讨一下角平分线的性质。
一、角平分线的定义
角平分线是指把一个角平分为两个相等的角的线段。
二、角平分线的性质
1.角平分线与角的两边相交于角的顶点，并把角分为两个相等的角。
2.角平分线所在的平面上，与角的两边的延长线交于一点，这个点称为角的外心。
3.角平分线上的每一个点到角的两边的距离相等。
4.角平分线上的每一个点到角的外心的距离相等。
5.对于同一个角，高度相等的两条角平分线相交于角的外心。
6.角平分线将一个角分为两个相等的角，但是并不一定把一个平面分为两个相等的部分。
三、角平分线的性质应用
1.根据角平分线的定义和性质，可以帮助我们判断一个线段是否为角的平分线。
2.通过利用角平分线的性质，可以求解一些几何问题。
比如，已知一个角的两边和这个角的外心，可以求出这个角的平分线。
3.利用角平分线的性质，可以证明一些角的关系。
比如，可以利用角平分线的性质来证明角平分线是角的垂直平分线。
四、角平分线的相关定理
1.角平分线定理：如果一条直线与一个角的两边相交且把这个角平分为两个相等的角，则这条直线是这个角的平分线。
2.角平分线的外角性质：角平分线所在直径上的角是180度的外角。
五、角平分线的证明方法
1.角平分线的证明方法一般采用反证法或者直接证明。
比如，先假设直线不是角的平分线，然后利用假设得出矛盾，从而得到直线是角的平分线。
2.对于一些特殊的角，可以直接利用三角形的辅助线去证明角平分线的存在性和性质。
角的平分线的性质
角的平分线的性质角的平分线是指将一个角分为相等的两个角的直线。
在几何学中，角的平分线具有以下性质：1. 两个角的平分线相交于角的顶点，并且相交点与角的两边形成的四个角是相等的。
也就是说，如果有一个角ABC，其中CD是角ABC的平分线，那么角ACD与角BCD将是相等的。
2. 平分线将一个角分为两个相等的角度，这意味着平分线将角的总度数分成相等的两部分。
例如，对于一个直角（90度）来说，它的平分线将把它分成两个45度的角。
3. 如果两个角的平分线相等，那么这两个角也是相等的。
也就是说，如果AD和BD是角ABC的两个平分线，并且AD=BD，那么角ACD与角BCD将是相等的。
4. 在一个三角形中，如果一个边上的角被其对边的平分线分成两个相等的角，那么这个边一定是这个三角形的底边。
换句话说，如果在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，并且角DAB=角DAC，那么线段BC是三角形ABC的底边。
这些是角的平分线的一些主要性质。
角的平分线在几何学中具有重要的应用。
它们帮助我们研究和理解角度的关系，以及解决与角度相关的问题。
在证明几何定理和推导几何公式时，角的平分线也经常被使用。
除了以上性质外，角的平分线还有其他一些重要的应用和性质，例如，垂直平分线、角平分线与三角形的外接圆和内切圆的关联等。
这些性质和应用使得角的平分线成为几何学中一个重要的概念。
总结起来，角的平分线是将一个角分为相等的两个角的直线。
角的平分线具有多种性质，包括：相交于角的顶点，相交点与角的两边形成的四个角是相等的，平分线将角的总度数分成相等的两部分等等。
这些性质和应用使角的平分线在几何学中具有重要的地位。
角平分线的性质
D
A
E 整理课件
B
27
思考：
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意 一点,问PE=PD?为什么? O
EA PC
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离,所 以不一定相等.
整理课件
28
如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公 路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度 假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？
A
F N
B
整理课件
P E
G M
C
21
例3：在△OAB中，OE是∠ AOB的角平分线， 且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足 为C，D，求证：AC=BD。
B
整理课件
22
合作交流
［教学内容9］例题讲解
变题1 如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB于E，F 在AC上，且BD=DF，求证：CF=EB.
9
证一证
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.
A
D
P
O
B
E
整理课件
10
已知：∠AOC= ∠BOC ，点P在OC上，PD⊥OA于D， PE⊥OB于E
求证: PD=PE
证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO= ∠PEO= 90°
变题2 如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于E，BC=8，BD=5，求DE.
A
A
F
E
E
CD
B 整理课件C
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角平分线的性质 Corporation standardization office #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8
角平分线的性质
◆随堂检测
1．如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，则点D到BC的距离为________cm．
2．如图，在△ABC中，∠C＝900，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC∶DB＝3∶5，则点D到AB的距离是。
3．如图，已知BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D出发，作点D 到BC、AC和AB的垂线DE、DF和DG，垂足分别为E、F、G，则DE、DF、DG的关系是。
是△BAC的角平分线，自D向AB、AC两边作垂线，垂足为E、F，那么下列结论中错误的是
( )
A、DE=DF
B、AE=AF
C、BD=CD
D、∠ADE=∠ADF
5．如图，已知AB∥CD，O为∠A、∠C的角平分线的
交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则两平行线间AB、CD
的距离等于。
3题图
D
C B
A
6．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）
Ａ．三条中线的交点Ｂ．三条高的交点
Ｃ．三条边的垂直平分线的交点Ｄ．三条角平分线的交点
◆典例分析
例：如图所示，已知AD为等腰三角形ABC的底角的平分线，∠C＝90°，求
证：AB＝AC＋CD．
解析：一般地，证明不在同一条直线上的线段的和差问题可以采用截长补短法
证一（截长法）：如图1所示，过点D作DE⊥AB于
E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠DCA＝90°，∴DE=DC又
∵AD=AD，∴△ADE≌△ACD（HL），∴AE＝AC，CD
＝DE，∵∠DCA＝90°，AC=BC∴∠B＝45°，在△
DEB中，∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，∴△EBD是等
腰直角三角形．∴DE＝EB，∴CD＝EB．
∴AC＋CD＝AE＋EB，即AC＋CD＝AB．
证法二（补短法）：
如图2所示，在AC的延长线上截取CM＝CD，连结DM．
在△MCD中，∠MCD＝90°，CD＝CM
∴△MCD是等腰直角三角形．∴∠M＝45°
又∵在等腰直角三角形中，∠B＝45°
B
A
C
E
D
图1
B
D
∴∠M＝∠B＝45°又∵AD平分∠CAB
∴∠BAD=∠MAD，∵AD=AD
∴△MAD≌△BAD（AAS）∴MA＝AB，即AC＋CD＝AB
◆课下作业
●拓展提高
1.已知△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的角平分线交于O点，则∠
BOC= 。
2.如图，已知相交直线AB和CD，及另一直线EF。
如果要在EF上找出与AB、CD距离相等的点，方法是，这样的点至少有个，最多有个。
3.如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，
AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB
于点E，且AB=6 cm,则△DEB的周长为( )。
cm cm
cm D.不能确定
4．如图，已知AC∥BD、EA、EB分别平分∠CAB和△DBA，CD过点E，则AB与AC+BD•相等吗请说明理由．
●体验中考
1.（2009年河南）如图，AB
2．（2009年临沂市）如图，OP平分AOB
∠，
PA OA
⊥，PB OB
⊥，
垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）
A
P
D
C
A B
E
A．PA PB
= B．PO平分APB
∠
C．OA OB
= D．AB垂直平分OP
参考答案：
随堂检测：
1、2.解析：根据角平分线性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。
2、15.解析：先根据比例求出CD=15，再根据角平分线性质得出答案。
3、DE=DF=DG.解析：根据角平分线性质：角平分线上的点到角的两边距离相
等。
4、C.解析：根据角平分线性质和全等三角形的性质可得到A、B、D正确，因为点B、C位置不确定，故C不正确
5、4.解析：过点O作AB的垂线MN分别与AB、CD交于点M、N，由角平分线性质可得出OM=OE=ON，所以本题答案为4。
6、D.解析：根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
拓展提高：
1、130°.解析：利用角平分线分角成一半和三角形内角和定理或连接AO并延长，利用三角形的外角性质
2、作∠AOD（或∠COB）、∠AOC(或∠BOD)的平分线与EF的交点；1；2
3、C.解析：由角平分线性质可得DE=DC，所以△DEB的周长=BD+DC+BE，又
BD+DC=BC，BC=AC=AE，故△DEB的周长=AB=6cm,选C
4、相等．
34D
C
A
6
5
(1)
F
E
1
2
34
D
C
A B
6
5
(2)
E
F
1
2
证法一：如图（1）在AB上截取AF=AC，连结EF．
在△ACE 和△AFE 中， 12AC AF AE AE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ACE ≌△AFE （SAS ）
518056180C
AC BD C D ∴∠=∠⎫⎪
⇒∠+∠=︒⎬⎪∠+∠=︒⎭
⇒∠6=∠D
在△EFB 和△BDE 中，634D
BE BE ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△EFB ≌△EDB （AAS ） ∴FB=DB
∴AC+BD=AF+FB=AB
证法二：如图（2），延长BE ，与AC 的延长线相交于点F
434AC BD F ⇒∠=∠⎫
⎬∠=∠⎭
⇒∠F=∠3
在△AEF 和△AEB 中，312F AE AE ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AEF ≌△AEB （AAS ）∴AB=AF ，
BE=FE
在△BED 和△FEC 中，564BE FE F ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴△BED ≌△FEC （ASA ） ∴BD=FC
∴AB=AF=AC+CF=AC+BD ． 体验中考 1、500
2、D.解析：根据角平分线性质和全等三角形的性质可得到A 、B 、C 正确，还可证出OP 垂直平分AB ，而证不出AB 垂直平分OP 故选D。