角平分线的性质

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三角形角平分线定理

三角形角平分线定理三角形角平分线定理是指：三角形内一条角的角平分线把这条角分成两个相等角，并且这条角平分线所在的边与三角形外一边的两个对边的比等于被分角的两边的比。

三角形角平分线定理是一个重要且有用的几何定理，它可以帮助我们推导解决许多与三角形相关的问题。

本文将详细介绍三角形角平分线定理以及其应用。

一、三角形角平分线定理的定义与性质三角形角平分线定理可以描述为：设三角形ABC中，AD是角BAC的角平分线，则有以下两个性质成立：1. 角BAD与角DAC的度数相等，即∠BAD = ∠DAC。

2. AB/BC = BD/DC。

角平分线的定义是指一条线段或射线从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角。

根据角平分线的定义，我们可以得出性质1。

性质2则是说明了角平分线所在边与三角形外一边的两个对边的比例关系。

这个比例关系在解决一些三角形相关问题时非常有用，比如计算未知边长或角度大小等。

二、三角形角平分线定理的证明现在我们来证明三角形角平分线定理中的性质2。

首先，我们假设角BAD = α，角CAD = β，角DAC = α，角BDA = β。

根据正弦定理，我们可以得到以下两个等式：sinα/BD = sinβ/AB (1)sinα/DC = sinβ/AC (2)将(1)除以(2)，可以得到：(AB/BD)/(AC/DC) = sinα/sinα = 1由于左边等式的分数形式是BD/DC的比，因此我们可以得出：AB/BC = BD/DC这就证明了三角形角平分线定理中的性质2。

三、三角形角平分线定理的应用三角形角平分线定理有着广泛的应用，特别是在解决与三角形相关的题目时，可以通过应用该定理得到简洁而准确的答案。

以下是三个典型的应用案例：1. 求角平分线所分角的大小已知三角形ABC中，BD为角BAC的角平分线，要求角BAD的大小。

根据三角形角平分线定理的性质1，我们知道角BAD与角DAC的大小相等，即∠BAD = ∠DAC。

直角三角形角平分线的性质

直角三角形角平分线的性质直角三角形是指一个三角形中存在一个内角为90度的角。

直角三角形角平分线，顾名思义，就是将直角三角形的直角角平分为两个相等的角的线段。

下面将介绍直角三角形角平分线的性质。

1. 角平分线相等性：直角三角形的角平分线将直角角等分为两个相等的角。

这意味着，当一条直角三角形的角平分线与另一条角平分线相交时，它们所形成的两个角必然相等。

2. 角平分线与斜边的关系：直角三角形的角平分线与斜边的关系很特殊，它们具有以下性质：(a) 角平分线与斜边垂直：直角三角形的角平分线与斜边垂直相交。

这意味着，角平分线与斜边所形成的两个角互为互补角，它们的和为90度。

也就是说，两个角的度数加起来等于90度。

(b) 角平分线与斜边的比例关系：在直角三角形中，角平分线与斜边的长度之比等于直角三角形的两个直角角边对斜边的比值。

这一比例关系被称为角平分线定理，它表达为：AC / AB = BC / AB = AC / BC其中，AC和BC分别为直角角边，AB为斜边。

3. 角平分线与底边的比例关系：直角三角形的角平分线与底边的长度之比等于直角三角形的两个直角角边对底边的比值。

这一比例关系也被称为角平分线定理。

4. 角平分线的交点：直角三角形的角平分线两两相交于直角的外心，也就是直角的顶点所在的点。

这个点被称为直角三角形的外心。

5. 角平分线与直角角边的关系：直角三角形的角平分线与直角角边的交点，将直角角边分割成两个部分，其长度比等于斜边与整个直角角边的比值。

这一比例关系也被称为角平分线定理。

通过研究直角三角形角平分线的性质，我们可以应用这些性质去解决一些几何问题。

例如，可以利用角平分线与斜边的垂直关系来证明直角三角形的三个内角之和为180度；也可以利用角平分线与底边的比例关系来计算直角三角形的边长等等。

总之，直角三角形角平分线具有多种性质，包括相等性、垂直性、比例关系以及与直角的外心等特点。

这些性质为解决几何问题提供了有力的工具和方法。

八年级数学角平分线的性质

八年级数学角平分线的性质八年级数学-角平分线的性质角平分线的性质角平分线性质：角平分线上任意一点到角两边的距离相等。

到角两边距离相等的点在角的平分线上。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．角平分线的画法：．．．．．．．．例1已知O是三条角平分线的交点△ ABC和OD⊥ 如果外径=5且△ ABC等于20，面积△ ABC等于s△ ABC=例2如图所示，abd三边上AB、BC和Ca的长度分别为20、30和40，三个角的平分线将δabd分为三个三角形，然后s？阿宝：什么？bco:s？曹等于___1例3.如图：在△abc中,∠bac=90°,∠abd=∠abc,bc⊥df,垂足为f,af交bd于e。

2求证：ae=ef.例4如图所示：in△ ABC，相邻外角的平分线∠ B和∠ C与D点相交。

验证：D点位于∠ A.例5.如图所示，已知△abc中，ad平分∠bac，e、f分别在bd、ad上．de=cd，ef=ac．求证：ef∥ab.例6△ ABC，AB>AC，ad是∠ BAC。

P是ad上的任意点。

验证：ab AC>Pb PC1例7如图所示，∠ a+∠ d=1800，等分∠ 美国广播公司和行政长官意见相同∠ BCD，E点在广告上(1)探讨线段ab、cd和bc之间的等量关系;(2)探讨线段be与ce之间的位置关系．例8如图所示，已知△ ABC，ad是BC边缘的中线，e是ad上的点，延伸段be在F处与AC相交，AF=EF。

验证：AC=be课堂练习：1.如图所示△ ABC，P是高于BC，PR的点⊥ R中的AB，PS⊥ AC在s中，AQ=PQ，PR=PS，则以下三个结论的正确性为（）① as=AR；②pq∥应收账；③ △ BRP≌ △ CSPA。

① 和② B② 和③ C① 和③ D.所有配对2.如图，ab=ac，be⊥ac于e，cf⊥ab于f，be、cf交于点d，则①△abe≌△acf；②△bdf≌△cde；③点d在∠bac的平分线上，以上结论正确的是（）A.①②③B①②c.①③D②③3.在△abc和△a'b'c'中,①ab=a'b';②bc=b'c';③ac=a'c;④∠a=∠a';⑤∠b=∠b';⑥∠c=∠c';则下列哪组条件不保证△abc≌△a'b'c'．()A.①②③B①②⑤C①⑤⑥D①②④4.如图，已知点p到be、bd、ac的距离恰好相等，则点p的位置：①在∠b的平分线上；②在∠dac的平分线上；③在∠eac的平分线上；④恰是∠b，∠dac，∠eac三个角的平分线的交点。

角平分线用法

角平分线用法
角平分线是指从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角。

角平分线具有以下性质和用法：
1. 角平分线上的点到角的两边的距离相等。

2. 角平分线将角分成两个相等的角。

3. 如果一个角的内角平分线与外角平分线相交，那么它们所形成的角等于该角的一半。

角平分线的主要用法包括：
1. 求解角度或边长：利用角平分线的性质，可以通过已知角和角平分线上的点到角两边的距离，求解出未知的角度或边长。

2. 证明几何关系：通过角平分线的性质，可以证明两个角相等、两条线段相等或平行等几何关系。

3. 构建等腰三角形：如果从角平分线上的一点向角的两边作垂线，可以构建出两个等腰三角形。

4. 求解三角形问题：在三角形中，如果已知一个角的平分线和该角的对边，可以利用角平分线的性质求解出其他边长或角度。

角平分线在几何证明和计算中有着广泛的应用，通过灵活运用角平分线的性质和用法，可以解决许多几何问题。

三角形中的角平分线和中线性质

三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。

（1）一个角有且只有一条角平分线。

（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。

二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。

（1）一个三角形有且只有三条中线。

（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。

（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。

三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。

（1）三角形的心是三角形内部的一个点。

（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。

（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。

四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。

（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。

2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。

（2）利用中线求解三角形的边长。

三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。

掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。

习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。

答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。

又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。

2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。

答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。

根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。

又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。

3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。

角平分线的画法及性质

角平分线的画法及性质
角平分线的性质：1.角平分线可以得到两个相等的角。

2.角平分线上的点到角两边的间隔相等。

角平分线的性质：1.角平分线可以得到两个相等的角。

2.角平分线上的点到角两边的间隔相等。

角平分线怎么画材料：圆规、纸张、尺子、铅笔。

1、首先预备好下列图的工具，圆规和尺子是必不行少的。

2、在纸上任凭画一个角AOB。

3、用圆规以O为原点，任意间隔为半径，在纸上画弧，与角AOB相交于点C和点D。

4、先以点C为原点，CD为半径画圆弧；再以点D为原点，DC 为半径画圆弧，两圆弧相交于点E。

5、连接OE，OE就是叫AOB的角平分线了。

角平分线的性质1、角平分线可以得到两个相等的角。

2、角平分线上的点到角两边的间隔相等。

3、三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。

三角形的内心到三角形三边的间隔相等。

4、三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。

5.角的平分线的性质(基础)知识讲解

角的平分线的性质（基础）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1．如图，∠ACB ＝90°,BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE ⊥AB 于E ，ED 的延长线交BC 的延长线于F. 求证：AE ＝CF.【思路点拨】利用角平分线的性质可得DE ＝DC ，为证明三角形全等提供了条件.【答案与解析】证明：∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB,DC ⊥BF∴DE ＝DC （角的平分线上的点到角两边的距离相等）在△ADE 和△FDC 中DEA DCF DE DC ADE FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△FDC(ASA)∴AE ＝CF【总结升华】有角平分线的条件，又有到角两边的垂线段，要考虑角平分线的性质定理.2、如图, △ABC中, ∠C ＝ 90︒, AC ＝ BC, AD平分∠CAB, 交BC于D, DE⊥AB于E, 且AB＝6cm, 则△DEB的周长为( )A. 4cmB. 6cmC.10cmD. 以上都不对【答案】B；【解析】由角平分线的性质，DC＝DE，△DEB的周长＝BD ＋DE＋BE ＝BD＋DC＋BE＝AC＋BE ＝AE＋BE＝AB＝6.【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.举一反三：AB AC=ABD与△ACD 【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:的面积之比为（）A．3：2 B C．2：【答案】B；提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵AB AC=ABD与△ACD:3、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD＝PE，再根据“HL”定理证明△OPD≌△OPE，从而得到∠OPD ＝∠OPE ，∠DPF ＝∠EPF ．再证明△DPF ≌△EPF ，得到结论.【答案与解析】解：DF ＝EF ．理由如下：∵OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ， ∴PD ＝PE ，由HL 定理易证△OPD ≌△OPE ，∴∠OPD ＝∠OPE ，∴∠DPF ＝∠EPF ．在△DPF 与△EPF 中，PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DPF ≌△EPF ，∴DF ＝EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.类型二、角的平分线的判定4、已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B ＝∠C ，BF ＝CF.求证：AF 为∠BAC 的平分线.【答案与解析】证明： ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC （已知）∴∠CDF ＝∠BEF ＝90°∵∠DFC ＝∠BFE(对顶角相等)∵ BF ＝CF(已知)∴△DFC ≌△EFB(AAS)∴DF ＝EF(全等三角形对应边相等)∵FE ⊥AB ，FD ⊥AC （已知）∴点F 在∠BAC 的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上) 即AF 为∠BAC 的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，BE ＝CF ．求证：AD 是△ABC 的角平分线.【答案】证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴Rt △BDE 和Rt △CDF 是直角三角形．BD DC BE CF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ），∴DE ＝DF ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 是角平分线．。

角平分线性质定理

角平分线性质定理定理说明在几何学中，角平分线性质定理是一个重要的几何定理。

它指出：如果一条直线将一个角分成两个相等的角（即平分该角），那么这条直线就被称为该角的角平分线。

根据这个定理，我们可以得出一些有趣的推论和性质。

角平分线的性质性质一：角平分线两侧的角相等若一条直线分割一个角，并且它分成的两个角相等，那么这条直线就是该角的平分线。

以角A为例，若BD为角A的角平分线，则∠ABD = ∠CBD。

性质二：角平分线在三角形中的应用在一个三角形中，如果一条角平分线平分了一个内角，那么它将三角形分成两个相似的三角形。

我们可以利用这个性质来求解三角形内部角的度数。

性质三：角平分线长度关系两内锐角平分线的长度之比等于与这两个角的正弦比值。

性质四：角平分线与外切圆关系若角BAC的角平分线交外接圆于点D，那么∠BDC = 90°。

性质五：角平分线的唯一性对于一个给定的角，其角平分线唯一且确定。

应用和分析角平分线性质定理在几何学中有着广泛的应用。

通过合理应用这些性质，我们可以有效地解决角平分线相关的问题，从而推理出更复杂的几何问题的解决方案。

同时，深入了解角平分线的性质也有助于提高我们的几何推理能力，培养我们的数学思维和逻辑推理能力。

结论角平分线性质定理是几何学中一个基础而重要的定理，它揭示了角平分线的一些重要性质和应用。

通过深入理解和应用这个定理，我们可以更好地解决几何学中有关角平分线的问题，并且提高自己的数学分析能力。

对于学习几何学的人来说，掌握角平分线性质定理是必不可少的，它将为我们的数学学习之路增添光彩。

初二数学角平分线的性质知识点

初二数学角平分线的性质知识点
初二数学角平分线的性质知识点
一、本节指导
角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。

其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。

二、知识要点
1、角平分线的定义：从一个角的.顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。

如下图：OC平分∠AOB
∵OC平分∠AOB
∴∠AOC=∠BOC
2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

【重点】
如第一个图：
∵OC平分∠AOB(或∠1=∠2)，PE⊥OA,PD⊥OB
∴PD=PE,此时我们知道△OPE≌△OPD(直角三角形斜边是OP即公共边，直角边斜边)
3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

如第一个图：
∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE
∴OC平分∠AOB(或∠1=∠2)
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角的平分线的性质(基础)知识讲解

角的平分线的性质（基础）责编：杜少波【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】【高清课堂：388612 角平分线的性质，知识要点】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1．（2015春•启东市校级月考）如图，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM⊥AD 于M ，PN⊥CD 于N ，求证：PM=PN ．【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．【答案与解析】证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD 和△CBD 中，，∴△ABD≌△CBD（SAS ），∴∠ADB=∠CDB，∵点P 在BD 上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB 是解题的关键．2、（2016春•潜江校级期中）如图在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求△DEB的周长．【思路点拨】利用角平分线的性质求得CD=DE，然后利用线段中的等长来计算△DEB的周长．【答案与解析】解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE，∴△CAD≌△EAD(HL)∴AC=AE，∵AC=BC，∴∠B=45°，∴BE=DE，∴△DEB的周长=BE+DE+BD= BE+CD+BD = BE+BC =BE+AC=BE+AE =AB=6cm．【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.举一反三：AB AC=ABD与△ACD 【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:的面积之比为（）A．3：2 B C．2：【答案】B；提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵AB AC=ABD与△ACD:3、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD ＝PE ，再根据“HL ”定理证明△OPD ≌△OPE ，从而得到∠OPD ＝∠OPE ，∠DPF ＝∠EPF ．再证明△DPF ≌△EPF ，得到结论.【答案与解析】解：DF ＝EF ．理由如下：∵OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ， ∴PD ＝PE ，由HL 定理易证△OPD ≌△OPE ，∴∠OPD ＝∠OPE ，∴∠DPF ＝∠EPF ．在△DPF 与△EPF 中，PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DPF ≌△EPF ，∴DF ＝EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.类型二、角的平分线的判定【高清课堂：388612 角平分线的性质，例3】4、已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B ＝∠C ，BF ＝CF.求证：AF 为∠BAC 的平分线.【答案与解析】证明： ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC （已知）∴∠CDF ＝∠BEF ＝90°∵∠DFC ＝∠BFE(对顶角相等)∵ BF ＝CF(已知)∴△DFC≌△EFB(AAS)∴DF＝EF(全等三角形对应边相等)∵FE⊥AB，FD⊥AC（已知）∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF为∠BAC的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三：【变式】（2014秋•肥东县期末）已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．【答案】证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），∴PD=PE，∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分线．。

角的平分线(基础)知识讲解

角的平分线〔基础〕【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：假设CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的逆定理角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：假设PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图〔1〕以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.〔2〕分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.〔3〕画射线OC.射线OC即为所求.要点四、轨迹把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹.和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线.在一个角的内部〔包括顶点〕且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线. 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心，定长为半径的圆.【典型例题】类型一、角的平分线的性质【高清课堂：角平分线的性质，例2】1．如图，∠ACB ＝90°,BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE ⊥AB 于E ，ED 的延长线交BC 的延长线于F. 求证：AE ＝CF【答案与解析】证明：∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB,DC ⊥BF∴DE ＝DC 〔角的平分线上的点到角两边的距离相等〕在△ADE 和△FDC 中DEA DCF DE DC ADE FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△FDC(ASA)∴AE ＝CF【总结升华】利用角平分线的性质可得DE ＝DC ，为证明三角形全等提供了条件.2、如图, △ABC 中, ∠C ＝ 90︒, AC ＝ BC, AD 平分∠CAB, 交BC 于D, DE ⊥AB 于E, 且AB ＝6cm , 则△DEB 的周长为( )A. 4cmB. 6cm cm D. 以上都不对【答案】B ；【解析】由角平分线的性质，DC ＝DE ，△DEB 的周长＝BD ＋DE ＋BE ＝BD ＋DC ＋BE ＝AC ＋BE＝AE ＋BE ＝AB ＝6.【总结升华】将△DEB 的周长用相等的线段代换是关键.举一反三：【变式】已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，且:3:2AB AC =，则△ABD 与△ACD 的面积之比为〔〕A ．3：2B ．3:2C ．2：3 D.2:3【答案】B ；提示：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，又∵:3:2AB AC =，则△ABD 与△ACD 的面积之比为3:2．3、如图，OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ，F 是OC 上除点P 、O 外一点，连接DF 、EF ，则DF 与EF 的关系如何？证明你的结论．【答案与解析】：解：DF=EF ．理由如下：∵OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ， ∴PD=PE ，由HL 定理易证△OPD ≌△OPE ，∴∠OPD=∠OPE ，∴∠DPF=∠EPF ．在△DPF 与△EPF 中，PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DPF ≌△EPF ，∴DF=EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.类型二、角的平分线的判定【高清课堂：角平分线的性质，例3】4、已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B ＝∠C ，BF ＝CF.求证：AF 为∠BAC 的平分线.【答案与解析】证明： ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC 〔已知〕∴∠CDF ＝∠BEF ＝90°∵∠DFC ＝∠BFE(对顶角相等)∵ BF ＝CF(已知)∴△DFC ≌△EFB(AAS)∴DF ＝EF(全等三角形对应边相等)∵FE ⊥AB ，FD ⊥AC 〔已知〕∴点F 在∠BAC 的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上) 即AF 为∠BAC 的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，BE=CF ．求证：AD 是△ABC 的角平分线.【答案】证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴Rt △BDE 和Rt △CDF 是直角三角形．BD DC BE CF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF 〔HL 〕，∴DE=DF ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD是角平分线．类型三、点的轨迹5、过已知点A且半径为3厘米的圆的圆心的轨迹是________.【答案】以A为圆心，半径为3cm的圆．【解析】求圆心的轨迹实际上是求距A点三厘米能画一个什么图形．【总结升华】此题所求圆心的轨迹，就是到顶点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆．。

等腰三角形中的角平分线性质

等腰三角形中的角平分线性质引言等腰三角形是一种具有特殊性质的三角形，其中两条边长度相等，且两个对应的内角也相等。

在等腰三角形中，角平分线是指从顶点出发，将对顶角平分成两个相等的角的直线。

本文将探讨等腰三角形中角平分线的性质，包括角平分线的角度、性质以及相关的定理。

角平分线的性质在等腰三角形中，角平分线有以下性质：1.角平分线将等腰三角形的对顶角分成两个相等的角。

2.角平分线上的任意一点到等腰三角形两底边的距离相等。

3.角平分线是等腰三角形的对称轴。

角平分线的角度在等腰三角形中，角平分线的角度可以通过一些基本的几何知识求解。

设等腰三角形的两底边长度分别为a，顶角为A，则角平分线的角度为A/2。

这是由于在等腰三角形中，底角相等，且底角和对顶角之和为180度。

由此可以推导得到以下结论：A + A/2 + A/2 = 1802A + A = 3604A = 360A = 90所以角平分线的角度为45度。

因此，在等腰三角形中，角平分线的角度恒为45度。

角平分线的定理在等腰三角形中，角平分线有一些重要的定理。

下面将介绍其中的两个定理。

定理1：角平分线和底边垂直在等腰三角形中，角平分线和底边垂直。

证明：设等腰三角形的两底边分别为AB和AC，角平分线为AD。

我们需要证明AD与底边BC垂直。

由于角平分线将顶角A平分成两个相等的角，所以∠DAB = ∠DAC。

又因为等腰三角形中底角相等，所以∠ABC = ∠ACB。

由于∠ABC + ∠ACB = 180度，所以∠ABD + ∠ACD = 180度。

而且根据三角形内角和定理可知∠ABD + ∠DAC + ∠ACD = 180度，因此∠ABD + ∠DAC = ∠ABD + ∠ACD。

由于∠DAB = ∠DA C，所以∠ABD = ∠ACD。

因此∠ABD + ∠DAC = ∠ABD + ∠ABD =2∠ABD。

而∠ABD = ∠ACD，所以2∠ABD = 2∠ACD。

由此得出∠ABD + ∠DAC = 2∠ACD。

《角平分线的性质》

2023-11-06contents •角平分线的性质的基本概念•角平分线的性质的应用•角平分线的性质的证明方法•角平分线的性质的实践应用•总结与展望•参考文献目录01角平分线的性质的基本概念定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

记法$\overset{\frown}{AB}$表示角平分线，简记为“ABfrown”或“frownAB”。

角平分线的定义语言描述一般地，我们用“$\overset{\frown}{AB}$”表示从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线。

符号表示$\overset{\frown}{AB}$或简记为“ABfrown”或“frownAB”。

角平分线的表示方法•定理：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

角平分线的性质定理02角平分线的性质的应用利用角平分线的性质证明等腰三角形总结词角平分线性质是等腰三角形证明中的重要工具。

详细描述利用角平分线的性质，可以证明等腰三角形的两个底角相等，从而得出等腰三角形的性质。

这是因为在角平分线上，从顶角到两边分角线上的点到两边的距离相等，所以两边的三角形内角和相等，从而得出两个底角相等。

总结词角平分线性质也是证明平行四边形的重要工具。

要点一要点二详细描述在平行四边形ABCD中，AC和BD是对角线，O是AC的中点。

利用角平分线的性质，可以证明三角形ABO和三角形CBO全等，从而得出三角形ABO是等腰三角形。

因为等腰三角形的底边上的中线也是高，所以可以得出ABO是等腰三角形的高，从而得出AB和BC平行且相等，证明了平行四边形的性质。

利用角平分线的性质证明平行四边形•总结词：角平分线性质还可以用于证明三角形内角和定理。

•详细描述：在三角形ABC中，AD是角平分线。

利用角平分线的性质，可以证明三角形ABD和三角形ACD全等，从而得出三角形ABD和ACD的面积相等。

角平分线的性质是什么

角平分线的性质是什么
角平分线的性质
1.角平分线可以得到两个相等的角。

2.角平分线上的点到角两边的距离相等。

3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。

三角形的内心到三角形三边的距离相等。

4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。

扩展资料
基本结构
1、见角平分线上的一点向角的一边作的垂线，可过该点向另一边作垂线；
2、见角平分线上的一点向角平分线作的垂线，可延长该垂线段交于角的另一边；
3、在角平分线的两边截取等线段，构造全等。

三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。

三角形的'内心到三角形三边的距离相等。

三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。

定义
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。

由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。

由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。

三角形的角平分线交点一定在三角形内部。

角平分线的性质及应用

利用角平分线定理求角度
总结词
通过利用角平分线定理，我们可以求解一些与角度相关的几何问题。
详细描述
在几何问题中，有时候我们需要求解某个角度的大小。利用角平分线定理，我们可以将问题转化为求解两个相等的线段之间的夹角。例如，如果一个角的平分线将相对边分为两段相等的线段，那么这个角被平分线分为两个相等的部分，因此可以利用这个性质来求解角度。
总结词
角平分线定理是几何学中的重要定理之一，它可以用于证明各种几何命题，如三角形中的角平分线性质、平行线性质等。
详细描述
角平分线定理指出，角平分线将相对边分为两段相等的线段。利用这个定理，我们可以证明一些与角平分线相关的几何命题。例如，如果一个角的平分线与另一个角的两边相交，那么这两个交点到角平分线的距离相等。
利用角平分线定理证明三角恒等式
总结词
通过构造角平分线，可以将复杂的三角恒等式证明问题转化为简单的几何问题，从而证明三角恒等式。
详细描述
在证明三角恒等式时，我们可以根据题目的特点，构造角平分线，将问题转化为几何问题。然后利用角平分线定理和三角形的性质，推导出恒等式。这种方法可以简化证明过
程，使证明更加直观和简单。
利用角平分线定理求距离
总结词
通过利用角平分线定理，我们可以求解一些与距离相关的几何问题。
VS
详细描述
在几何问题中，有时候我们需要求解两个点之间的距离。利用角平分线定理，我们可以将问题转化为求解两个相等的线段之间的距离。例如，如果一个角的平分线将相对边分为两段相等的线段，那么这两个相等的线段之间的距离就是所求的距离。因此，可以利用这个性质来求解距离。
详细描述
这是角平分线的一个非常重要的性质。在几何学中，我们可以通过这个性质来证明一些与角平分线相关的命题。例如，如果我们从一个固定点向一个角的两边画线，那么这些线中最短的一条必定是角的平分线。这个性质在解决几何问题时非常有用，因为它可以帮助我们找到最短的路径或线段。

12.3 角的平分线的性质

距离与点 O 到 CD 的距离之和是．
第 3页（共 15页）
15．如图， ABC 中， DF 平分 BDE ， EF 平分 DEC ，求证： AF 平分 BAC ．
二、作图—尺规作图的定义
16．下列作图语句的叙述正确的是 ( )
A．以点 O 为圆心画弧 C．延长线段 BC 到点 D ，使 CD BC
第 1页（共 15页）
12.3 角的平分线的性质
一、角平分线的性质 1．（2020 春•扶风县期末）如图，在 ABC 中，AD 是角平分线，DE AB 于点 E ，ABC 的面积为 15，AB 6 ， DE 3 ，则 AC 的长是 ( )
第 1 题图
第 2 题图
第 3 题图
A．8
B．6
C．5
D．4
2．（2019 秋•长清区期末）如图，RtABC 中，C 90 ，AD 平分 BAC ，交 BC 于点 D ，AB 10 ，SABD 15 ，
则 CD 的长为 ( )
A．3
B．4
C．5
D．6
3．（2019 秋•博兴县期中）如图所示，在 ABC 中，AC BC ，AE 为 BAC 的平分线，DE AB ，AB 7cm ，
DC 2 ，则 ABD 的面积为．
11．（2019 秋•广丰区期末）平面上有三条直线两两相交且不共点，那么平面上到此三条直线距离相等的点
的个数是．
12．（2018 秋•黔南州期末）如图，已知 ABC 的周长是 21，OB ，OC 分别平分 ABC 和 ACB ，OD BC
于 D ，且 OD 4 ， ABC 的面积是
ABC 内角平分线的交点满足条件；
如图：点 P 是 ABC 两条外角平分线的交点，

角的平分线的性质(提高)知识讲解

角的平分线的性质（提高）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】【高清课堂：388612 角平分线的性质，知识要点】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质及判定（1）求证：PA 平分∠BAC 的外角∠CAM；（2）过点C 作CE⊥AP，E 是垂足，并延长CE 交BM 于点D ．求证：CE=ED ．【思路点拨】（1）过P 作PT⊥BC 于T ，PS⊥AC 于S ，PQ⊥BA 于Q ，根据角平分线性质求出PQ=PS=PT ，根据角平分线性质得出即可；（2）根据ASA 求出△AED≌△AEC 即可．【答案与解析】证明：（1）过P 作PT⊥BC 于T ，PS⊥AC 于S ，PQ⊥BA 于Q ，如图，∵在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角的平分线相交于点P ，∴PQ=PT，PS=PT ，∴PQ=PS，∴AP 平分∠DAC，即PA 平分∠BAC 的外角∠CAM；（2）∵PA平分∠BAC的外角∠CAM，∴∠DAE=∠CAE，∵CE⊥AP，∴∠AED=∠AEC=90°，在△AED和△AEC中∴△AED≌△AEC，∴CE=ED．【总结升华】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线并进一步求出PQ=PS和△AED≌△AEC，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．举一反三：【变式】如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.求证：BE＝CF.【答案】证明：∵DE⊥AE，DF⊥AC，AD是∠BAC的平分线，∴DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90°在Rt△BDE与Rt△CDF中，DB DC DE DF=⎧⎨=⎩，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）∴BE＝CF2、如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE ＝DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为：（）A.11B.5.5C.7D.3.5【答案】 B ；【解析】解：过D 点作DH ⊥AC 于H ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，DH ⊥AC∴DF ＝DH在Rt △EDF 和Rt △GDH 中DE ＝DG ，DF ＝DH∴Rt △EDF ≌Rt △GDH同理可证Rt △ADF 和Rt △ADH∴AED EDF ADG GDH S =S S S +-△△△△∴EDF ADG AED 2=S S S -△△△＝50－39＝11，∴△EDF 的面积为5.5【总结升华】本题求△EDF 的面积不方便找底和高，利用全等三角形可用已知△ADG 和△AED 的面积来表示△EDF 面积.【高清课堂：388612 角平分线的性质，例6】3、如图，AC=DB ，△PAC 与△PBD 的面积相等．求证：OP 平分∠AOB ．【思路点拨】观察已知条件中提到的三角形△PAC 与△PBD ，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得.【答案与解析】证明：作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N 12PAC S AC PM =△∵，12PBD S BD PN =△，且PAC S =△PBD S △∴ 12AC PM 12BD PN = 又∵AC＝BD∴PM ＝PN又∵PM ⊥OA ，PN ⊥OB∴OP 平分∠AOB【总结升华】跟三角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果. 类型二、角的平分线的性质综合应用4、如图，P 为△ABC 的外角平分线上任一点.求证：PB ＋PC ≥AB ＋AC.【思路点拨】在BA 的延长线上取AD ＝AC ，证△PAD ≌△PAC ，从而将四条线段转化到同一个△PBD 中，利用三角形两边之和大于第三边解决问题.【答案与解析】证明：①当点P 与点A 不重合时，在BA 延长线上取一点D ，使AD ＝AC ，连接PD.∵P 为△ABC 的外角平分线上一点，∴∠1＝∠2∵在△PAD 和△PAC 中12PA PA AD AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PAD ≌△PAC （SAS ），∴PD ＝PC∵在△PBD 中，PB ＋PD ＞BD ，BD ＝AB ＋AD∴PB ＋PC ＞AB ＋AC.②当点P 与点A 重合时，PB ＋PC ＝AB ＋AC.综上，PB ＋PC ≥AB ＋AC.【总结升华】利用角平分线的对称性，在角两边取相同的线段，通过（SAS ）构造全等三角形，从而把分散的线段集中到同一个三角形中.举一反三：（1）求证：OC 平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC ．【答案】证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，∴OB=OE，∵点O为BD的中点，∴OB=OD，∴OE=OD，∴OC平分∠ACD；（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，∴OA⊥OC；（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB=AE，同理可得CD=CE，∵AC=AE+CE，∴AB+CD=AC．。

数学角平分线的性质定理及其逆定理

∠1＝∠2 ∴__________
(_到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 ______________________________________________)
在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为点E、F，且DE=DF,求DE的长。
D O
′
求证:点P在∠AOB的平分线上. 分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可以先作出过点P 的射线OC,然后证明∠AOC=∠BOC.
E B
二.角平分线性质定理的逆定理
逆定理: 到一个角的两边距离相等的点, 在这个角的平分线上.
用符号语言表示为: ∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E, 且PD=PE O ∴点P在∠AOB的平分线上
A
C C′
B
三.尺规作图角平分线的作法
用尺规作角的平分线. 已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC 作法:
O B
A
1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. 2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为
半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C 3.作射线OC.
2：若已知超市P到道路OA 的距离为600 米，求P到道路OB的距离。
A
M
D
P
N O B
做一做
1
三角形内角的角平分线
剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线. 观察这三条角平分线, 你发现了什么? 结论:三角形三个角的平分线相交于一点. 你能证明这个命题吗? 老师期望: 你能写出规范的证明过程.
驶向胜利的彼岸
小结
拓展
回味无穷
一.定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 二.逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.