北航2014校物理竞赛试题

恒：
故重力对 O 的力矩可略，碰撞过程角动量守
mvR cos I 0 I
由(1)(2)(3)得
(2) (3)
0
1 MR 2 mR 2 2mR 2 2 2 gh
2R cos (4)
碰撞后，对 m+M+地球系统，只有重力矩做功， 故转动过程机械能守恒。令 P 点转到 x 轴时，系统重力势能为零。则：
其平衡位置将偏离竖直方向一个角度 θ=_________; 振动周期为________________。 5. 某人希望通过手握棒端，用棒猛击岩石而使棒折断，而握在手中的棒的一端在棒转动时 不会发生滑动。不计重力，棒长为 l, 如果此人希望当棒撞击岩石时手能避免受到很大的力 作用，则应该用距离手握棒端为__________的一点去撞击岩石； 6.距离真空中无限大均匀带电平面（电荷面密度为σ）为 r 的一点的电场强度大小 E=________;该点电势U=____________（若选r=0处电势为0）. 7.两个半径分别为 R1 和 R2（R2>R1）的薄金属同心球壳，分别带有电荷 q1 和 q2 ，二者 电势分别为 U1 和 U2,（设无穷远处为电势零点） ，现用导线将两球壳相连接。则内球壳带 电量 q1’=___________;内球壳的电势为 U=_________. 8. 设真空中均匀带电圆盘的电荷面密度为 σ，半径为 R，以匀角速度 绕垂直于盘面的中 心轴旋转。则其磁矩 pm=__________________, 圆心处的 B=_______________; 9.电量为 q 的试验电荷在电量为 Q 的静止点电荷周围电场中， 沿半径 R 的 3/4 的圆轨道由 A 点移动到 B 点的全过程中，电 B 场力做功为____________;从 B 再移动到无穷远的全过程中， 电场力做功为______________. q A
m
r
在半径为 r 的圆周上嵌着的 N 个带正电小球所受的总切向力为：
F ( t ) NqE ( t )
a 2 0 nNq di ( t ) 2r dt
它相对于转轴形成的力矩为：
M ( t ) F ( t )r
a 2 0 nNq di ( t ) 2 dt
由刚体的角动量定理，在电流从 I 减小到 0 的Δt 时间内，刚体所获得的全部冲量矩= 角动量的增量。而开始时圆盘静止，角动量为 0，故有：
如图所示，圆盘质量为 M,粘土块质量为 m,粘土块从图示位置落下，已知 求：碰撞后瞬间盘的转动角速度 0 ? M 2m , h , 60 0 ， 粘土块和盘一起转到 x 轴时盘的角速度和角加速度圆柱形电容器由半径为 a 的内芯导线与半径为 b 的外部导体薄壳所组成，其间 是介电常数为 ε 的电介质。求： （1）此电容器充电为 Q 时的电场； （2）电容器的电容； （3）把电容器接到电压为 V 的电池上，将电介质从中拉出一部分，维持电介质在此位置不 动，要多大的力？
) 0
ln
由于
b a
0 , F 0 , 为吸引力，方向指向电 容器外部
15. 解：设螺线管电流切断后，在Δt 时间内电流从 I 减为 0，在此过程中任意时刻电流表示 为 i(t)，则 t 时刻由 i(t)产生的磁场 B(t)为：
a I
B( t ) 0 n i ( t )
ln b a
考虑拉出的微小过程 x~x+dx， 拉力 F 所需做功=能量的变化：
1 Fdx UdQ U 2 dC 2
因为 U 不变，且 dQ=UdC, 所以上式即为：
7
Fdx
1 2 U dC 2
0U 2 ( 1
ln b a
)dx 0
0U 2 ( 1
即F
U
b E dr ln a 2 a Q L 2 L C b U U ln a

b
（3） 设拉出的长度为 x，其余为 L-x,则其总电容为：
C’
2 0 x 2 ( L x ) b b ln ln a a
2 0 [
L )x (1 0 0
0 0
4.
tg 1
2 l 3
a0 g
T 2
l
2 a0 g2
5.
6. 7.
E
2 0
；U
r 2 0
q1 0 q 2 U 2 或U 2 q1 q 2 4 0 R2
8.
pm
1 R 4 4
B0
9. 0
0
2
R
qQ 4 0 R
10.
t di ( t ) 1 1 M ( t )dt a 2 0 nNq dt a 2 0 nNqI 0 2 2 dt 1 2 因为圆盘绕轴的转动惯量为 J mr 2
J

t
0
代入上式的电流降为 0 时圆盘转动角速度为：

a 2 0 nNqI mr 2
8
16．解
0 I 2 R2 ln 4 R1 0 R2 ln 2 R1
4
二、计算题 11.
2 y2
F
2 y 2 gy 3 C 3

F
2 gy 3
5
12.
6
13. 解：m 下落过程，粘土、地球机械能守恒：
1 mv 2 v 2 gh ( 1 ) 2 碰撞时间极小，对 m +盘系统，冲力>>重力， mgh
一、填空题 1. 物体在介质中由静止下落， 介质对物体的阻力大小与物体速率平方成正比,比例系数 K(常 量)。则当 t=_______________时物体速度达到最大值，最大速度大小为______________。 2. 质量为 m 的质点拴在一条细绳上，绳子通过一个光滑的套管可以往下牵引，使 m 在水平 面内转动，当水平面上的绳长为 r0 时以速率 v0 转动，则使水平面内的绳子缩到 r 时需做的功 ___________;此时质点的速率___________. 3. 一最初质量为 m0 的火箭垂直向上发射。它每秒钟排出的气体质量恒为 Km0,火箭的喷气 速率 u(相对于火箭),忽略重力作用，则发射 t 秒后火箭的速度大小为__________________; 此时火箭所在的高度为________________。 4. 在沿水平作匀加速运动的车厢内观察单摆（车厢加速度 a0 ， 摆长 l ， 质量 m ） ，
2
15. 如图， 在一个半径为 r,质量为 m,可以无摩擦地自由转动的匀质绝缘圆盘中部装有一细长 螺线管，半径为 a,沿轴线方向单位长度上绕有 n 匝线圈，线圈中通以稳恒电流 I.在圆盘的边 缘上均匀的嵌着 N 个带正电荷 q 的小球。设开始时螺线管中的电流为 I，圆盘静止，然后将 电流切断。求圆盘转动的角速度。
a I m
r
16.如图所示
3
参考答案
一、填空题 1. ∞,
mg K
；
2. 3.
v
r0 v0 r
t t
A
r 1 2 mv 0 [( 0 ) 2 1 ] 2 r
u
v ( t ) u ln( 1 kt )
h
v( t )dt u ln( 1 kt )dt ut ut ln( 1 kt ) k ln( 1 kt )
方向沿轴向
B(t)将随 i(t)减小为 0。变化的 B(t)产生环状涡旋电场， 在 r 处的涡旋电场强度 E(t)应满足：
d m E ( t ) d l dt di ( t ) d E ( t ) 2r [ B( t )S ] a 2 0 n dt dt 2 a 0 n di ( t ) 即 E( t ) 2r dt di ( t ) 因为 i(t)随时间减小， 0 , E ( t ) 0 , 即涡旋电场 E(t)的方向与电流方向一致。 dt
9
mgR sin
由(3)(4)(5)解得：
1 2 1 2 I I 2 0 2
(5)

1 2R
g ( h 4 3R ) 2

M 力矩 mgR g 2 I 2mR 2R
14. 解： （1）由高斯定理，可得：
E
Q 2 r 2 r L
；方向沿径向
（2）内外导体的电位差为：
.
10.真空中无限长同轴电缆, 已知内外半径为 R1, R2, (R1<R2), 内外表面电流强度为 I, 则单位 长度的磁能=_________;单位长度的自感系数=___________.
1
二、计算题 11.一根匀质绳子，单位长度的质量为 λ，盘绕在光滑水平桌面上。设在 t=0 时 y=0,v=0, （1）今以一恒定加速度 a 竖直向上提绳，当提起的高度为 y 时，作用在绳端的力为多少？ （2）以一恒定速度 v 竖直向上提绳，当提起的高度为 y 时，作用在绳端的力又是多少？ （3）以一个恒定的力 F 竖直向上提绳，当提起的高度为 y 时，绳端的速度 v 是多少？ 12. 质量为 m，长为 l 的均匀细杆竖直地放置在光滑地面上，杆从静止倒下，求落到图中位 置时地面对杆的支持力和杆的转动角速度。