高中数学人教版习题《函数的单调性》

基础梳理

1．如果函数f(x)对区间D内的任意x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在D内是增函数；当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在D内是减函数．

例如：若f(x)＝2x－1，能证明出函数f(x)在R上为增函数吗？____.

2．函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1＜x2时，总有f(x1)＜f(x2)[或f(x1)＞f(x2)]．

例如：f(x)是R上的单调函数，若f(3)＞f(2)，则y＝f(x)是R上的单调____函数；若f(3)＞f(2)，则y＝f(x)是R上的单调增函数吗？____.

3．若函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间．

4．若函数y＝f(x)是R上的增函数，当a＞b时，则f(a)____f(b); 若函数y＝f(x)是R上的减函数，当a＞b时，则f(a)____f(b)．5．函数f(x)＝x2＋2x＋11的单调增区间是________,

基础梳理

1．能 2.递增不是 4.＞＜ 5.[－1，＋∞)

思考应用

1．如果f(x)在区间D上是单调函数，则函数f(x)是增函数(减函数)的说法正确吗？

1．解析：不正确．函数的单调性是函数的局部性质，所以必须说明函数在哪个区间上是增(减)函数．

2. 函数f(x)在区间D上是增(减)函数，对于任意x1，x2∈D，则有“若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]”，反之是否也成立呢？

2．解析：成立．即函数f(x)在D上是增(减)函数，对于∀x1，x2∈D，若f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]，则x1＜x2，这个性质从函数单调性的图形定义中能形象地体现出来．

自测自评

1．下列结论正确的是()

A ．函数y ＝－2x 在R 上为增函数

B ．函数y ＝x 2在R 上为增函数

C ．函数y ＝1x

在定义域内为减函数 D ．函数y ＝1x

在(－∞，0)上为减函数 2．函数y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是( )

A ．[0，＋∞)

B ．(－∞，0)

C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34

D.⎣⎢⎡⎭

⎪⎫34，＋∞ 3．若f (x )在R 上是增函数，且f (x 1)＞f (x 2)，则x 1，x 2的大小关系为________．

自测自评

1．解析：借助图象知D 正确．故选D.

答案：D

2．解析：借助图象得y ＝－2x 2

＋3x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，故选D.

答案：D

3．解析：∵f (x )在R 上是增函数，且f (x 1)＞f (x 2)，

∴x 1＞x 2.

答案：x 1＞x 2

►基础达标

1．使一次函数f (x )＝kx ＋b 为增函数的一个条件是( )

A ．k ＜0

B ．k ≤0

C ．k ＞0

D ．k ≥0

1．C

2．下列说法正确的是( )

A ．反比例函数y ＝k x

在区间(0，＋∞)上是减函数 B ．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上

C ．反比例函数y ＝2x

是R 上的减函数 D ．一次函数f (x )＝－2x ＋b 是R 上的减函数

2.D

3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是增函数，在区间(b，c)内也是增函数，则函数y＝f(x)在区间(a，b)∪(b，c)内()

A．必是增函数B．必是减函数

C．是增函数或减函数D．无法确定单调性

3.D

4．函数y＝

1

x＋2

的大致图象只能是()

4.B

5．函数f(x)图象如下图所示，函数的单调递减区间是____________．

5.[－5，－2]和[1，3]

6．下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是()

A．y＝|x| B．y＝3－x

C ．y ＝1x

D ．y ＝－x 2＋4 6．A

►巩固提高

7．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( )

A.f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2

>0 B ．(x 1－x 2) [f (x 1)－f (x 2)]>0

C ．f (a )

D.x 2－x 1f （x 2）－f （x 1）

>0 7．解析：由增函数的定义知x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，∴A ，B ，D 都正确，故选C.

答案：C

8．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5，8]上是单调函数，则k 的取值范围是( )

A ．(－∞，40]

B ．[40，64]

C ．(－∞，40]∪[64，＋∞)

D ．[64，＋∞)

8．解析：只需f (x )＝4x 2－kx －8的对称轴x ＝k 8的相应值k 8

在区间[5，8]外面，即k 8≤5或k 8

≥8， ∴k ≤40或k ≥64.

答案：C

9．已知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，判断f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫34的大小关系．

9．解析：∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫a －122＋34≥34，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫34. 10．设函数f (x )＝x ＋1x

，试讨论f (x )在(0，＋∞)上的单调性．