图论笔记
图论知识点
图论知识点摘要：图论是数学的一个分支，它研究图的性质和应用。
图由节点（或顶点）和连接这些节点的边组成。
本文将概述图论的基本概念、类型、算法以及在各种领域的应用。
1. 基本概念1.1 节点和边图由一组节点（V）和一组边（E）组成，每条边连接两个节点。
边可以是有向的（指向一个方向）或无向的（双向连接）。
1.2 路径和环路径是节点的序列，其中每对连续节点由边连接。
环是一条起点和终点相同的路径。
1.3 度数节点的度数是与该节点相连的边的数量。
对于有向图，分为入度和出度。
1.4 子图子图是原图的一部分，包含原图的一些节点和连接这些节点的边。
2. 图的类型2.1 无向图和有向图无向图的边没有方向，有向图的每条边都有一个方向。
2.2 简单图和多重图简单图是没有多重边或自环的图。
多重图中，可以有多条边连接同一对节点。
2.3 连通图和非连通图在无向图中，如果从任意节点都可以到达其他所有节点，则称该图为连通的。
有向图的连通性称为强连通性。
2.4 树树是一种特殊的连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径。
3. 图的算法3.1 最短路径算法如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，用于在加权图中找到从单个源点到所有其他节点的最短路径。
3.2 最大流最小割定理Ford-Fulkerson算法用于解决网络流中的最大流问题。
3.3 匹配问题如匈牙利算法，用于解决二分图中的匹配问题。
4. 应用4.1 网络科学图论在网络科学中有广泛应用，如社交网络分析、互联网结构研究等。
4.2 运筹学在运筹学中，图论用于解决物流、交通网络优化等问题。
4.3 生物信息学在生物信息学中，图论用于分析蛋白质相互作用网络、基因调控网络等。
5. 结论图论是数学中一个非常重要和广泛应用的领域。
它不仅在理论上有着深刻的内涵，而且在实际应用中也发挥着关键作用。
随着科技的发展，图论在新的领域中的应用将会不断涌现。
本文提供了图论的基础知识点，包括概念、图的类型、算法和应用。
图论基础知识点
基本知识点：一、图的基本定义：平凡图：只有一个顶点无边的图。
非平凡图：其他所有图。
空图：边集合为空的图。
简单图：既没有环也没有重边的图。
复合图：其他所有的图。
同构图：顶点集合之间存在双射（一一对应关系），对应边重数和端点对应相等。
标定图：给图的点和边标上符号。
非标定图：不标号。
非标定图代表一类相互同构的图。
完全图：每两个不同顶点之间都有一条边相连的简单图。
N 个顶点的完全图只有一个，记为n K 。
偶图（二部图）：具有二分类(,)X Y 的图，他的点集可以分解为两个（非空）子集X 和Y ，使得每条边的一个端点在X 中，另一个端点在Y 中。
完全偶图 ：指具有二分类(,)X Y 的简单偶图，其中X 的每个顶点与Y 的每个顶点相连。
若,X m Y n ==，则这样额完全偶图记为：,m n K 。
k —正则图：设(,)G V E =为简单图，如果对所有的结点v V ∈，有()d v k =，称G 为k —正则图。
完全图和完全偶图,n n K 均是正则图。
图划分：若一个n 阶简单图G 各点的度为i d ，则分正整数k 为n 个部分的划分i d ∑称为是图划分。
子图：边集合和点集合均是原图的子集，且待判定图中的边的重数不超过原图中对应的边的重数。
生成子图：点集合相等，边集合为原图子集的图。
导出子图：由顶点集为原图G 真子集的所有点，及两端点均在该集合中的边的全体组成的子图V ‘。
'[]G V 和G v -。
边导出子图：由原图G 边的真子集，该图中边的断点全体为顶点组成的子图E ‘。
'[]G E 和{}G e -。
图的运算：并，交，差，对称差，联图，积图，合成图，极图路与图的联通性：途径：迹：边互不相同的途径。
路：边和点都互不相同的途径。
连通的：两个顶点之间存在路。
连通图：每一对顶点之间都有一条路。
连通分支：将V 划分为一些等价类12,,...k V V V 。
两个顶点u 和v 是连通的当且仅当他们属于同一个子集i V ，称子图()i G V 为连通分支。
离散数学图论(图、树)常考考点知识点总结
离散数学图论（图、树）常考考点知识点总结图的定义和表示1.图：一个图是一个序偶＜V , E ＞，记为G =< V ，E >，其中：① V ={V1,V2,V3,…, Vn}是有限非空集合，Vi 称为结点，V 称为节点集② E 是有限集合，称为边集，E中的每个元素都有V中的结点对与之对应，称之为边③与边对应的结点对既可以是无序的，也可以是有序的表示方法集合表示法，邻接矩阵法2.邻接矩阵：零图的邻接矩阵全零图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点，两个端点相同的边称为环或者自回路3.零图：仅有孤立节点组成的图4.平凡图：仅含一个节点的零图无向图和有向图5.无向图：每条边都是无向边的图有向图：每条边都是有向边的图6.多重图：含有平行边的图(无向图中，两结点之间包括结点自身之间的几条边；有向图中同方向的边)7.线图：非多重图8.重数：平行边的条数9..简单图：无环的线图10.子图，真子图，导出子图，生成子图，补图子图：边和结点都是原图的子集，则称该图为原图的子图真子图（该图为原图的子图，但是不跟原图相等）11.生成子图：顶点集跟原图相等，边集是原图的子集12.导出子图：顶点集是原图的子集，边集是由顶点集在原图中构成的所有边构成的图完全图（任何两个节点之间都有边）13.完全图：完全图的邻接矩阵主对角线的元素全为0，其余元素都是114.补图：完全图简单图15.自补图：G与G的补图同构，则称自补图16.正则图：无向图G=<V,E>,如果每个顶点的度数都是k，则图G称作k-正则图17.结点的度数利用邻接矩阵求度数：18.握手定理：图中结点度数的总和等于边数的两倍推论：度数为奇数的结点个数为偶数有向图中，所有结点的入度=出度=边数19.图的度数序列：出度序列+入度序列20.图的同构：通俗来说就是两个图的顶点和边之间有双射关系，并且每条边对应的重数相同（也就是可任意挪动结点的位置，其他皆不变）21.图的连通性及判定条件可达性：对节点vi 和vj 之间存在通路，则称vi 和vj 之间是可达的22.无向图的连通性：图中每两个顶点之间都是互相可达的23..强连通图：有向图G 的任意两个顶点之间是相互可达的判定条件：G 中存在一条经过所有节点至少一次的回路24.单向连通图：有向图G 中任意两个顶点之间至少有一个节点到另一个节点之间是可达的判定条件：有向图G 中存在一条路经过所有节点25.弱连通图：有向图除去方向后的无向图是连通的判定条件：有向图邻接矩阵与转置矩阵的并是全一的矩阵26.点割：设无向图G=<V,E>为联通图，对任意的顶点w  V,若删除w及与w相关联的所有边后，无向图不再联通，则w称为割点；27.点割集：设无向图G=<V,E>为连通图，若存在点集 ，当删除 中所有顶点及与V1顶点相关联的所有边后，图G不再是联通的；而删除了V1的任何真子集 及与V2中顶点先关的所有边后，所得的子图仍是连通图，则称V1是G的一个点割集设无向图G=<V,E>为连通图，任意边e  E,若删除e后无向图不再联通，则称e 为割边，也成为桥28.边割集：欧拉图，哈密顿图，偶图（二分图），平面图29.欧拉通路（回路）：图G 是连通图，并且存在一条经过所有边一次且仅一次的通路（回路）称为拉通路（回路）30.欧拉图：存在欧拉通路和回路的图31.半欧拉图：有通路但没有欧拉回路32.欧拉通路判定：图G 是连通的，并且有且仅有零个或者两个奇度数的节点欧拉回路判定：图G 是连通的，并且所有节点的度数均为偶数有向欧拉图判定：图G 是连通的，并且所有节点的出度等于入度33.哈顿密图：图G 中存在一条回路，经过所有点一次且仅一次34..偶图：图G 中的顶点集被分成两部分子集V1,V2，其中V1nV2= o ,V1UV2= V ，并且图G 中任意一条边的两个端点都是一个在V1中，一个在V2中35.平面图：如果把无向图G 中的点和边画在平面上，不存在任何两条边有不在端点处的交叉点，则称图G 是平面图，否则是非平面图36.图的分类树无向树和有向树无向树：连通而不含回路的无向图称为无向树生成树：图G 的某个生成子图是树有向树：一个有向图，略去所有有向边的方向所得到的无向图是一棵树最小生成树最小生成树：设G -< V . E 是连通赋权图，T 是G 的一个生成树，T 的每个树枝所赋权值之和称为T 的权，记为W ( T . G 中具有最小权的生成树称为G 的最小生成树最优树（哈夫曼树）设有一棵二元树，若对所有的树叶赋以权值w1,w2… wn ，则称之为赋权二元树，若权为wi 的叶的层数为L ( wi )，则称W ( T )= EWixL ( wi ）为该赋权二元树的权，W ）最小的二元树称为最优树。
图论学习笔记
图论学习笔记⽬录图的概念简史欧拉与⼽尼斯堡七桥问题等价问题：“欧拉⼀笔画”\(\equiv\)与任⼀个顶点相关联的边必须是偶数条。
图的基本概念图⽆向图邻接与关联邻接与关联：\((p,q)\)图另⼀种表⽰⽅法：(p,q)图图相等与特殊的图图相等、特殊的图（平凡图、零图）有向图疑惑：⽆向图是集合反⾃反、对称的关系。
有向图中为保证反⾃反性，去掉了⾃⾝到⾃⾝的有向线段\(\{(v,v)|v \in V\}\)。
但是，图是不允许存在⾃⾝到⾃⾝的边吗？答案：是的。
图的表⽰图解法与邻接矩阵法图解法与邻接矩阵法：问题：关系的闭包在图中的意义是什么？图模型利⽤图建模现实问题，并⽤图的理论加以解决的能⼒。
例⼦：结婚问题、地图与导航⼦图⼦图概念⽣成⼦图特例：⽣成⼦图记号：去除顶点u，去除边{u,v}尤其地，注意去除边的记号不是去除u、v两个顶点。
导出⼦图（1）顶点导出⼦图：若V1⊆V(G)，则以V1为顶点集，以两个顶点均在V1中的边集组成的图，称为图G的顶点导出⼦图，记为G(V1)。
例如：求G(V1)，V1 ={1,3,5}则G(V1)为（2）边的导出⼦图：若E1⊆E(G),则以E1为边集，以E1中所有边的顶点为顶点集组成的图，称为图G的边的导出⼦图，记为G(E1)。
例如：求G(E1)，E1 = {13,24,35}则G(E1)为度度的概念定理1——握⼿定理【定理1】握⼿定理证明：每⼀条边对度数总和的贡献为2（每⼀条边对应两个顶点），由于共有q个边，故度数总和为2q。
推论1：握过奇数次数⼿的⼈为偶数个。
证明：将⼈分为两类，握奇数次⼿\(V_1\)和握偶数次⼿\(V_2\)，那么，\(V_1\)与\(V_2\)中顶点的度数总和为偶数（2q），同时，\(V_2\)的度数之和必然为偶数，那么，\(V_1\)的度数之和必然为偶数（偶数-偶数=偶数），同时，由于\(V_1\)中均是握奇数次⼿（\(V_1\)中各顶点度均为奇数），那么，\(V_1\)中顶点数必为偶数个（偶数个奇数之和=偶数）。
图论(Graph Theory)学习笔记4
图论学习笔记（4）基本概念并：若图G与图H不相交，则G与H的并G∪H是一个新的图，它的结点集V(G∪H) = V(G)∪V(H)，边集E(G∪H) = E(G)∪E(H)，因此，G∪H是由图G和图H的副本组成。
和：两个不相交的图G与H的和G+H是指在G∪H的基础上，增加图G的每个结点与图H 的每个结点相连接得到的边。
当n ≥3时，轮W1,n是指K1与Cn的和，即W1,n=K1+Cn。
对图G1,G2,G3,...,Gk的序列和（sequence join）G1+G2+G3+...+Gk是在每个图的副本基础上，再增加连接图Gi和Gi+1任意结点的边，其中1 ≤i ≤k-1。
边的删除：若要删除图中的边，仅删除边即可，不删除与之关联的结点。
若e是图G的一条边，则G-e是指从图G中删除e。
结点的删除：若v是图G的结点，则G-v是指从图G中删除结点v，并将所有与结点v相关联的边删除。
图G的补图满足V() = V(G)，并且当且仅当uv不属于E(G)时，uv∈E(G)。
当且仅当图G与其补图同构时，称图G为自补图。
超立方体Qn是递归定义的（即在定义了第一个之后，每一个超立方体是由它前一个构造得到的），定义如下：Q1=K2，Qn=K2×Qn-1。
注：|V(Qn)|=2n网格（grid）：n-网格M(a1,a2,...,an)是由阶数分别为a1,a2,...,an的路的笛卡尔积构成，即M(a1,a2,...,an)=Pa1Pa2,...,Pan。
对任意图G，线图L(G)的结点集是由图G的边组成。
边收缩：设uv是图G的一条边，将结点u,v去掉，并将于这两个结点相关联的边也去掉，然后增加一个结点uv*，uv*与原来和u,v两结点相邻接的结点邻接，如此得到新图G/uv。
基本定理定理4.1 非连通图的补图是连通图。
定理4.2 若图G为自补图，则它的阶n一定可以表示为4k或者4k+1的形式，其中k为非负整数，且图G有n(n-1)/4条边。
图论(Graph Theory)学习笔记2
图论学习笔记（2）基本概念设图G，u∈V(G)，v∈V(G)，u-v通道（u-v path）是指从结点u出发，经过一个交互的结点和边的序列，最后回到结点v的路径，其中连续的结点和边是关联的。
通道的长度（length）是指通道经过边的数量。
若一个通道中没有重复的边，则称该通道为迹（trace）。
（注：迹中的结点是可以重复的）若迹开始和结束于相同的结点，则称该迹是闭的（closed），称该迹为回路（loop）。
若一个通道中没有重复的节点，则称该通道为路（pathway）。
若u∈V(G)，v∈V(G)，则一个将u和v连接起来的路称为u-v路（u-v pathway）。
注：显然，如果结点不重复，则边必然不重复，所以，一个路也是迹，一个闭路称为圈（circle）。
若图中的任意两个结点间都存在路，则称此图为连通图（connected graph），否则，称之为非连通图（disconnected graph）。
在连通图中，各个分支称为连通分量，严格来说，图的连通分量指的是极大连通子图（[unknown]）。
若u∈V(G)，v∈V(G)，则节点u和v之间的测地线路是指长度最短的u-v路，简称测地线（geodesic）。
注：当你要在最短时间内从u到达v，测地线路是你的最佳选择。
途中可能存在多条测地线路。
测地线路也常被称为最短路。
图G的结点集V(G)，边集E(G)。
当图H满足结点集V(H)的子集，边集E(H)是E(G)的子集，边界对每一条边e=uv∈E(H)，其中u∈V(H)，v∈V(H)，则称图H是G的子图（subgraph），通常称图G为图H的超图（supergraph）。
定义结点都给以标号的图称为标记图（labeled graph），否则，称为非标记图（unlabeled graph）。
注：对标记图G，若S⊆V(G)，并且在标记图G中共有k条边连接了S中的所有结点，那么，G的以S为结点集的子图数为2k。
若V(H)=V(G)，则称子图H是图G的生成子图（spanning subgraph）。
图论常考知识点总结
图论常考知识点总结1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合构成的。
顶点之间的连接称为边，边可以有方向也可以没有方向。
若图的边没有方向，则称图为无向图；若图的边有方向，则称图为有向图。
图的表示方式：邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵适合存储稠密图，邻接表适合存储稀疏图。
2. 图的连通性连通图：如果图中任意两点之间都存在路径，则称该图是连通图。
强连通图：有向图中，任意两个顶点之间都存在方向相同的路径，称为强连通图。
弱连通图：有向图中，去掉每条边的方向之后，所得到的无向图是连通图，称为弱连通图。
3. 图的遍历深度优先搜索（DFS）：从起始顶点出发，沿着一条路往前走，走到不能走为止，然后退回到上一个分支点，再走下一条路，直到走遍图中所有的顶点。
广度优先搜索（BFS）：从起始顶点出发，先访问它的所有邻居顶点，再按这些邻居顶点的顺序依次访问它们的邻居顶点，依次类推。
4. 最短路径狄克斯特拉算法：用于计算图中一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
弗洛伊德算法：用于计算图中所有顶点之间的最短路径。
5. 最小生成树普里姆算法：用于计算无向图的最小生成树。
克鲁斯卡尔算法：用于计算无向图的最小生成树。
6. 拓扑排序拓扑排序用于有向无环图中对顶点进行排序，使得对每一条有向边(u,v)，满足排序后的顶点u在顶点v之前。
以上就是图论中一些常考的知识点，希望对大家的学习有所帮助。
当然，图论还有很多其他的知识点，比如欧拉图、哈密顿图、网络流等，这些内容都值得我们深入学习和探讨。
图论在实际应用中有着广泛的应用，掌握好图论知识对于提升计算机科学和工程学的技能水平有着重要的意义。
图论(Graph Theory)学习笔记3
图论学习笔记（3）基本概念图G中的结点u与v相邻接当且仅当它们在图H中的相应结点也邻接，则称图G与图H是同构的（isomorphic），记作G≈H，否则，称两者为非同构的（nonisomorphic）。
用函数描述同构：图G与图H同构，即存在一个一一映射函数 f : V(G) →V(H)，此时，图G中任何结点对u和v邻接当且仅当f(v)和f(u)在图H中邻接。
函数f 称作从G到H的同构函数（isomorphic function）。
相关推论：令函数 f : V(G) →V(H)为图G与图H的同构函数，那么，对任意结点u∈V(G),都有deg(u)=deg(v)，换句话说，如果两个图同构，则对应的结点有相同的度数。
设图G与H同构，同构函数为 f : V(G) →H(G)。
若在图G中，结点v1与v2间的测地线为v1,v2,v3,...,vk，则在图H中，f(v1),f(v2),f(v3),...,f(vk)是结点f(v1)与f(vk)间的测地线。
含n个结点的图G的度序列（degree sequence）是指按照节点度数排列的n-元非递增序列。
若一个非负整数的非递增序列S可以表示某个图的度序列，则称序列S是可绘的。
注：非递增序列可绘⇒图的结点度数之和是非负偶数。
相关算法：可绘图度序列的判定算法从序列S中删除第一个数k。
如果S的第一个数后的k个数都大于等于1，则将这k个数分别都减去1得到新序列S'；否则，停止，得出元序列不可绘图的结论。
若S'全是0，停止，得原序列为可绘图。
将步骤2得到的序列S'重新排序，得到非递增序列S*。
令S=S*，转不骤1。
图常量是指根据图的某个性质定义的函数，即同构图将具有相同的函数值。
注：如果f 是图常量，而f(G) ≠f(H)，则图G于图H不同构。
用来说明图是否同构的一些量：结点个数连通分量个数边数度序列具有给定唯一度数结点对间的测地线长度图中的最长路具有唯一度数结点的邻接点的度基本定理定理3.1 设S是由以上算法得到的序列，那么当且仅当S'是可绘图序列时，S是可绘图序列。
图论第一章笔记
1 图的基本概念 1.1 图论发展史 1.2 图论定义 1.2.1 图G设V(G)={v 1,v 2,…v p }是一个有限非空集合，E(G)={e 1,e 2,…e q }是与V(G)不相交的有限集合。
一个图G 是指一个有序三元组G=(V(G),E(G),ψG )，其中ψG 是关联函数。
p=|V|，称为图G 的点数(阶数) q=|E|，称为图G 的边数⎩⎨⎧相邻：点与点，边与边关联：点与边顶点：V(G)中的元素 边：E(G)中的元素 环：两个端点重合多重边：关联于同一对顶点的两条或两条以上的边 简单图：没有环和多重边有限图：顶点集V(G)和边集E(G)都是有限集 无限图：平凡图：只有一个顶点所构成的图 非平凡图：1.2.2 同构：设G 1=(V 1,E 1)与G 2=(V 2,E 2)是两个图，若存在一一对应φ1：V 1→V 2及一一对应φ2：E 1→E 2,使对每条边e,e=uv ∈E 1当且仅当φ2(e)=φ1(u)φ1(v)∈E 2，则称G 1和G 2是同构的，记为G 1≌G 21.2.4 有向图 D=(V(D),A(D),ψD )基础图： 定向图：1.3 顶点的度1.3.1 图G=(V,E)中，与顶点v 相关联的边数(每个环计算二次)，称为顶点v 的度，记为d G (v)或d(V)Δ(G)最大度:Δ(G)=max{d(v 1),d(v 2),…d(v p )} δ(G)最小度:δ(G)=min{d(v 1),d(v 2),…d(v p )} 度序列：(d(v 1),d(v 2),…d(v p ))邻域：设S 是V(G)的一个非空子集，v 是G 的任一顶点，N S (v)={u|u ∈S ，uv ∈E(G)} 1.3.2 正则图：图G 中所有点v i 的度d(v i )相同 定理 1.3.1 对每一个图G=(V ,E),均有)(2)(G q V dVv G=∑∈简记：度是边数的两倍 奇点：度为奇数的点 偶点：度为偶数的点推论：对每一个图G=(V ,E),奇点的个数为偶数证明：我们把图G 的顶点集划分为两部分V 1和V 2,其中，V 1是所有的奇点，V 2是所有的偶点，则V=V 1∪V 2，V 1∩V 2=∅，由定理 1.3.1 得∑∑∑∈∈∈+==21)()()()(2V v G V v G Vv G V d V d V d G q而∑∈2)(V v GV d是偶数，所以∑∈1)(V v G V d 也是一个偶数，即推得|V 1|是偶数推论 1.3.3 非负整数序列(d(v 1),d(v 2),…d(v p ))是某个图的度序列当且仅当∑=pi id1是偶数。
图论(Graph Theory)学习笔记5
图论学习笔记（5）
树
基本概念
若一个图的任何子图都不是圈，则称此图为无圈图。
连通无圈图称为树（tree）。
若一个连通图删除某便后变为非连通的，则被删除的边称为图的桥（bridge），故树的每一条边都是桥。
注：对于非连通图来说，如果删除某边会增加连通分量的数目，则此边也同样称为图的桥。
森林是指所有连通分量都为树的图。
若一棵有根数每个结点的至多有两个孩子，则称该树为二叉树（binary tree）。
若出叶子外的其他所有结点都有两个孩子，则称该二叉树为完全二叉树（complete binary tree）。
若一个图连通且含有一个圈，则称该图为单圈图。
基本性质
P5.1 每个非平凡树至少有两个端结点。
P5.2 删除树的任意一条边都会变为非连通图。
P5.3 对树的任意给定的两个结点x、y，树中存在唯一一条x-y路，故此路为测地线。
换句话说，在图中两结点中没有可供选择的其他路可走。
P5.4 若树有n个结点，q条边，则q = n - 1，故树是最小连通的。
基本定理
定理 5.1 设S为n个正整数组成的序列d1,d2,...,dn，其中d1≥d2≥...≥dn，并且d1+d2+...+dn=2(n-1)，其度序列为S。
定理5.2 对一非平凡树T，度为i的结点数记为ni。
n1=2+n3+2n4+3n5+...。
补充内容
判断树是否同构的方法是比较它们的度序列、最长路的长度和对给定的唯一度数相应结点间
最短的长度。
图论概念定理知识点梳理
图论概念定理知识点梳理图论基本知识点梳理第一部分（基本概念）1.G 连通的充分必要条件是1)(=G ω。
或若k G V 2|)(|=，且对)(G V v ∈?，有k v d ≥)(，则G 是连通图。
4.图G 为二分图当且仅当G 中无奇圈。
5.在仅两个奇次顶点的图中，此二奇次顶点连通。
6.设G 为简单图，若2)(≥G δ，则G 中有圈。
7. 设G 为简单图，若3)(≥G δ，则G 中有偶圈。
具体地，(1)单星妖怪中有偶圈。
(2)在-k 正则图G 中，若3≥k ，则G 中有偶圈。
8.简单图G 与其补图c G 不能都不连通。
9.在2的三角剖分中，正常三角形为奇数个。
10.以下等价(1) G 是树（无圈连通图）。
(2) G 中任两顶点间恰有一条轨。
(3) G 无圈，1-=νε。
(4) G 是连通图，1-=νε 。
(5) G 是连通图，且对G 的任意边e ，e G -不连通。
（树每边皆割边）(6) G 无圈，且对任一不在)(G E 的边e ，e G +恰含一个圈。
11. 若G 连通，则1)()(-≥G G νε。
G 的生成树是G 最小的连通生成子图。
12. G 是连通图的充分必要条件是G 有生成树。
13. 2≥ν的树T 至少有两个叶。
14.完全图n K 的生成树个数2)(-=n n n K τ。
15. 图G 可平面嵌入的充分必要条件是G 可以球面嵌入。
（染地球上各国等价于染地图上各国）16. （Euler 公式） G 是连通平面图, 则2=+-φεν.17. 证明：若G 是3≥ν的连通平面图，则63-≤νε。
18. 证明：平面图G 的最小顶点次数5≤δ。
19 3≥ν平面图G 是极大平面图的充要条件是G 的平面嵌入的每个面皆三角形。
3≥ν平面图G 是极大平面图的充要条件是63-=νε。
20 G 是平面图当且仅当G 中不含与5K 和3,3K 同胚的子图。
21M 是图G 的最大匹配当且仅当G 中无M 的可增广轨。
考研图论知识点精讲
考研图论知识点精讲图论是计算机科学和数学中的重要分支，研究图的性质以及与之相关的各种问题。
在考研中，图论是一个必备的知识点，掌握图论的基本概念和算法对于顺利通过考试至关重要。
本文将对考研图论知识点进行精讲，以帮助考生更好地准备考试。
1. 图的基本概念图是由节点和边组成的一种数据结构，可以用来描述现实生活中各种关系。
图论中的图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图中的边是有方向的，而无向图中的边没有方向。
2. 图的表示方法图可以使用邻接矩阵和邻接表两种方式进行表示。
邻接矩阵是一个二维数组，用于表示节点之间的连接关系。
邻接表是一种链表的数据结构，每个节点存储其相邻节点的信息。
3. 图的遍历图的遍历是指从图的某个节点出发，访问图中的所有节点。
常见的图的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
深度优先搜索是通过递归或者栈来实现的，而广度优先搜索则是通过队列来实现的。
4. 最小生成树最小生成树是指连接图中所有节点的一棵树，并且边的权值之和最小。
常用的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法是从一个节点开始，逐步扩展最小生成树的边，直到覆盖所有的节点。
Kruskal算法则是把所有的边按照权值排序，然后逐个添加到最小生成树中，直到覆盖所有的节点。
5. 最短路径最短路径是指连接图中两个节点之间的路径中，边的权值之和最小的路径。
常用的最短路径算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法是从一个节点开始，逐步找到到其他节点的最短路径。
Floyd-Warshall算法则是通过动态规划的方式来计算任意两个节点之间的最短路径。
6. 拓扑排序拓扑排序是指对有向无环图进行排序，使得所有的顶点按照依赖关系排列。
拓扑排序常用于解决任务调度、编译顺序等问题。
常用的拓扑排序算法有深度优先搜索和广度优先搜索。
7. 图的匹配图的匹配是指在一个二分图中找到一些边，使得每个节点都恰好与一条边相连。
图论知识点总结
图论知识点总结•对应简单图的度序列，在同构意义下可能不止一个•简单图的度序列最大度一定要小于等于n-1•只要和为偶数就是图的度序列•若图中两点u与v间存在途径，则u与v间存在路•若过点u存在闭迹，则过点u存在圈•一个图是偶图当且仅当它不包含奇圈•无向图的顶点之间的连通关系一定是等价关系•有向图的顶点之间的单向连通关系不是等价关系•一个简单图G的n个点的度不能互不相同•无向图的邻接矩阵的行和对应顶点的度数•无向图的邻接矩阵的所有元素之和等于边数的2倍•无向图的邻接矩阵的平方的对角线元素等于对应顶点的度数•无向图的邻接矩阵的平方的对角线元素之和等于边数的2倍•无向图的邻接矩阵的特征值的平方和等于边数的2倍•若G是非连通的，则邻接矩阵相似于某个对角矩阵•树一定是连通无圈图•树G无环且任意两点之间存在唯一的路•树无回路但任意添加一条边后有回路•回路是边不重的圈的并•如果一个闭迹不是一个圈，那么它一定是没有重边的圈的并集。
•n阶树T的形心由一个点或两个相邻点组成。
•若T只有一个形心，则形心的权小于n/2•若T有两个形心，则形心的权等于n/2•树T的对偶图全是环•G是极大平面图的充要条件各面的次数均为3且为连通图每个n方体都有完美匹配由n方体的构造知：n方体有2n个顶点，每个顶点可以用长度为n的二进制码来表示，两个顶点连线当且仅当代表两个顶点的二进制码只有一位坐标不同。
划分顶点，把坐标之和为偶数的顶点归入X，否则归入Y。
X中顶点互不邻接，Y中顶点也如此。
所以n方体是偶图。
很容易验证n方体的每个顶点度数为n，所以n方体是n正则偶图。
因此，n方体存在完美匹配。
树T有完美匹配当且仅当对所有顶点v∈T，o(T-v)=1必要性：树T有完美匹配，由Tutte定理知o(T-v)≤|{v}|=1显然T是偶数阶的图，o(T-v)≥1.因此o(T‒v)=1。
充分性：对于T的任意顶点v，假设Tv是T-v仅有的奇分支，且Tv与v之间的边为uv。
kc的算法笔记——图论篇
kc的算法笔记——图论篇拓扑排序根据所给的有向图给出⼀个按照特定顺序排序的序列，对于任意两个点如果在他们之间存在⼀条路径，则u必须在v的前⾯。
1. BFS2. DFSBFS求解step1.⾸先把所有⼊度为0的节点放⼊队列中step2.若队⾮空，则每⼀次取出⼀个节点放⼊到序列中step3.将该节点所有出度节点的⼊度-1（我们可以想象成把原来那个节点给删除了）step4.检查所有出度节点的⼊度是否为0，若为0，则放⼊队列中step5.返回第2步最后我们就得到了⼀个拓扑排序序列伪代码：DFS求解对于所给的有向⽆环图，我们对所有点进⾏DFS，并按照完成时间进⾏排序。
随后我们逆序输出该序列获得逻辑序列。
正确性证明：对于任意⼀条边<u,v>,其中u在v前⾯，我们要保证他们的完成时间f(u)和f(v)满⾜f(u)>f(v)。
此时我们按照所给形式进⾏从u到v进⾏搜索，有以下⼏种情况：1.v未被搜索，那么最后的完成时间⼀定是f(u)>f(v)2.v未被搜索，那么此时u未被完成，最后的完成时间满⾜f(u)>f(v)3。
v正在被处理，并不存在这种情况，否则存在⼀条环路，与题⽬要求不符综上所述，该⽅法可⾏。
下⾯给出伪代码强连通分量检测定义：1.强连通分量是顶点的⼦集2.强连通分量的内部相互可达3.额外增加任意⼀个顶点，不保证相互可达算法设计：第⼀步：将图上所有的边反转，获得反向图。
第⼆步：在上进⾏DFS，并按照完成时间获得序列L第三步：按照L相反的顺序进⾏DFS，得到强连通分量伪代码：正确性证明：我们令每⼀个强连通分量为⼀个点，则可以得到⼀个新的有向图该有向图性质如下：1.⾄少存在⼀个点满⾜出度为02.删除每个出度为0的点后，总存在新的出度为0的点证明：对于1，若不满⾜，则该有向图存在环。
则不符合强联通分量的最⼤性对于2，若不满⾜，则该有向图的⼦图存在环。
⽽对于第⼆次DFS⽽⾔，我们发现他的搜索循序按照出度为0的点的顺序搜索证明：先讨论第⼀次的DFS搜索，对于在反向图⾥⾯的强连通分量u和v，且存在⼀条从u到v的路径。
图论知识点总结笔记
图论知识点总结笔记一、图的基本概念1. 图的定义图是由节点（顶点）和连接节点的边构成的一种数据结构。
图可以用来表示各种关系和网络，在计算机科学、通信网络、社交网络等领域有着广泛的应用。
在图论中，通常将图记为G=(V, E)，其中V表示图中所有的节点的集合，E表示图中所有的边的集合。
2. 节点和边节点是图中的基本单位，通常用来表示实体或者对象。
边是节点之间的连接关系，用来表示节点之间的关联性。
根据边的方向，可以将图分为有向图和无向图，有向图的边是有方向的，而无向图的边是没有方向的。
3. 度度是图中节点的一个重要度量指标，表示与该节点相连的边的数量。
对于有向图来说，可以分为入度和出度，入度表示指向该节点的边的数量，出度表示由该节点指向其他节点的边的数量。
4. 路径路径是图中连接节点的顺序序列，根据路径的性质，可以将路径分为简单路径、环路等。
在图论中，一些问题的解决可以归结为寻找合适的路径，如最短路径问题、汉密尔顿路径问题等。
5. 连通性图的连通性是描述图中节点之间是否存在路径连接的一个重要特征。
若图中每一对节点都存在路径连接，则称图是连通的，否则称图是非连通的。
基于图的连通性，可以将图分为连通图和非连通图。
6. 子图子图是由图中一部分节点和边组成的图，通常用来描述图的某个特定属性。
子图可以是原图的结构副本，也可以是原图的子集。
二、图的表示1. 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图表示方法，通过矩阵来表示节点之间的连接关系。
对于无向图来说，邻接矩阵是对称的，而对于有向图来说，邻接矩阵则不一定对称。
2. 邻接表邻接表是另一种常用的图表示方法，它通过数组和链表的组合来表示图的节点和边。
对于每一个节点，都维护一个邻接点的链表，通过链表来表示节点之间的连接关系。
3. 关联矩阵关联矩阵是另一种图的表示方法，通过矩阵来表示节点和边的关联关系。
关联矩阵可以用来表示有向图和无向图，是一种比较灵活的表示方法。
三、常见的图算法1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种常见的图遍历算法，通过递归或者栈的方式来遍历图中所有的节点。
高中图论知识点总结
高中图论知识点总结图论是离散数学中的一个重要分支，是研究图与网络结构的数学理论。
图论的研究对象是图，图由顶点集合和边集合组成，通过顶点和边的连接关系描述了事物之间的关系。
图论在计算机科学、网络科学、社交网络分析等领域有着广泛的应用。
下面将对高中图论的知识点进行总结。
一、图的基本概念1.1 图的定义图（Graph）是由非空的顶点集和边集组成的一个数学模型。
无向图是边不带方向的图，有向图是边带有方向的图，边上有权值的图称为加权图。
1.2 图的表示图可以通过邻接矩阵和邻接表两种方式进行表示。
邻接矩阵是将图的边关系存储在一个二维数组中，邻接表是将每个顶点的邻接顶点列表存储在链表或数组中。
1.3 图的分类图可以根据边的性质分为简单图、多重图、完全图等不同类型。
二、图的遍历2.1 深度优先搜索深度优先搜索（DFS）是一种用于遍历图或树的算法，通过递归或栈的方式实现。
DFS从某一顶点出发，访问它的一个邻接点，然后再访问这个邻接点的一个邻接点，依次进行下去，直到不能继续为止。
DFS的应用包括路径查找、连通性判断、拓扑排序等。
2.2 广度优先搜索广度优先搜索（BFS）是一种用于遍历图或树的算法，通过队列的方式实现。
BFS从某一顶点出发，先访问它的所有邻接点，然后再依次访问这些邻接点的所有未被访问的邻接点，依次进行下去，直到不能继续为止。
BFS的应用包括最短路径查找、连通性判断等。
三、最短路径算法3.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径的算法，通过维护一个距离数组和一个已访问顶点集合来不断更新到达各顶点的最短路径。
Dijkstra算法适用于边权值非负的加权图。
3.2 Floyd算法Floyd算法是一种用于求解所有顶点对之间的最短路径的算法，通过动态规划的方式实现。
Floyd算法适用于有向图和无向图。
四、最小生成树算法4.1 Prim算法Prim算法是一种用于求解无向连通图的最小生成树的算法，通过维护一个顶点集合和一个边集合来逐步构建最小生成树。
图论引导笔记第八章匹配与分解
图论引导笔记第⼋章匹配与分解8.1 匹配定义：1、（边的集合）独⽴的：G.E的⼀个⼦集，且该集合中的任意两条边不相邻接。
称边独⽴集。
2、匹配（matching）：图G的⼀个独⽴集。
3、匹配（match）：⼆部图的两个部集的点集之间的⼀种映射关系，该映射关系满⾜于所连接的边是⼀个匹配（matching）*以下考虑的是⼆部图G，他的两个集部是U和W，且|U|≤|W|，X是U的⾮空⼦集4、（⾮空点集的）邻域：集合中所有顶点邻域的并。
设集合为X，记作N（X）5、（集部是）友好的：对于集部U，他的任意⾮空⼦集X，都有|N(X)|≥|X|。
（翻译⼀下就是说，在这个部⾥任意取⼀部分点都能形成匹配）6、互异代表元系：有⼀串⾮空有限集合{S1,S2,…,Sn}，存在n个不同的元素{x1,x2,…,xn}使得xi∈Si,则这串{xi}称为互异代表元系。
（⽽不是指；仅仅这个集合有别的集合没有。
显然，|∪{Si}|≥n）7、（⼆分图）交错路：⼀条属于匹配的边和⼀条不属于匹配的边交错构成的路。
8、（任意分图）最⼤匹配：具有最⼤基数的匹配, 对于n阶⼆分图，最⼤匹配数不会超过floor(n/2)9、完美匹配：（此处讨论⼆分图）G的阶数为偶数，匹配基数等于n/2，G中任意顶点均能通过M匹配到G中另⼀个顶点。
完美匹配也必定是最⼤匹配。
使⽤：完美匹配要求图的⼀个集部是友好的和边有关的加<'>,和点有关的不加。
11、边独⽴数：G 中边独⽴集的最⼤基数。
记作β'(G)。
阶为n的图存在完美匹配当且仅当n为偶数且β'(G)=n/2.12、覆盖：顶点与其关联边，互为彼此的覆盖。
13、边覆盖：覆盖G所有点的边的集合，称为是G的⼀个边覆盖。
14、边覆盖数：G中所有边覆盖最⼩的基数，记作α'(G)，当且仅当G不包含孤⽴点的时候有定义。
15、最⼩边覆盖：具有最⼩边覆盖基数的边覆盖。
边覆盖/独⽴有关的⼀些性质：对于整数n≥3，1≤r≤s，边覆盖数有：α'(Cn)=α'(Kn)=ceiling(n/2); α'(K_r,s)=s边独⽴数有：β'(Cn)=β'(Kn)=floor(n/2); β'(K_r,s)=r所以：α'(Cn)+β'(Cn)= α'(Kn)+β'(Kn)=n; α'(K_r,s)+ β'(K_r,s)=r =s+r以上性质很显然可以看出来。
图论(Graph Theory)学习笔记9
图论学习笔记（9）距离与连通性基本概念设u和v为图G中给定的两个结点，则两者间的距离是指G中任意u-v测地线中边的数目，记作d(u,v)。
图论中的距离函数满足如下公理（这三个公理称为三角不等式）：d(u,v) ≥0，当且仅当u = v 时，d(u,v) = 0。
对任意结点u、v都有d(u,v) = d(v,u)。
对任意结点u、v和w都有d(u,v) ≤d(u,v) + d(w,v)。
设v为图G的给定结点，v的偏心距是指v与和它相距最远的结点间的距离e(v)，用数学公式表示为：e(v) = d(u,v)。
相关结论：对图G的某个结点v若有e(v) = t，则：图G的任意其他结点与v间的距离都不大于t。
图G中至少存在一个结点与v间的距离为t。
若结点w满足d(v,w) = e(v)，则称w为偏心结点。
若两个结点中的任意一个都是另一个的偏心结点，则称它们是互为偏心的。
图G的所有结点中最小偏心距称为G的半径，记作rad(G)。
具有最小偏心距的结点组成的集合称为G的中心，记作C(G)。
图G的边界是指具有最大偏心距的结点组成的集合，记作P(G)。
图G中最大偏心距称为G的直径，记作diam(G)。
非平凡图的边界至少包含一对结点u、v，满足d(u,v) = diam(G)，此对结点称为相对结点对或者径向结点对，其中的一个结点为另一个结点的相对结点。
相对结点总是互为偏心的。
注：其逆命题不成立。
中心结点集中的某个结点与其偏心结点间的测地线称为半径路，其长度必然是rad(G)。
相对结点对间的测地线称为直径路，其长度必然是diam(G)。
图论(Graph Theory)学习笔记8
图论学习笔记（8）基本概念图的匹配M是有一些边组成的集合，其中的任何两个边都不关联。
注：设X，Y是二分图G中的两个部分，则图G一个匹配中的每一条边关联的两个结点满足：一个在X中，另一个在Y中。
事实上，图G的每条边也都满足。
若X中的每个结点都关联于匹配M中的一条边，则称M为从X到Y的一个完全匹配。
注：此时M未必是从Y到X的一个完全匹配。
若M是从X到Y的一个完全匹配也是从Y到X的一个完全匹配，则称M为一个完美匹配。
这要求|X| = |Y|，即图G是平衡的，从X到Y的一个完全匹配仅要求|X|≤|Y|。
若匹配M在图G的所有匹配中最大，则称M为最大匹配。
也就是说，若M'是图G的任意一个匹配，则|M'|≤|M|。
若不存在更大的匹配M'包含匹配M，则称M为一个极大匹配。
因此，极大匹配是指不能通过增加边而扩大的匹配。
设M是图G的一个匹配。
图G的M-交错路是由在M中的边和不再M中的边交替出现构成的。
若结点v与M中的某条边相关联，则称v为M-匹配的，否则，称v为M-不匹配的。
M-增广路是指连接两个M-不匹配结点的交错路。
注：M-增广路不必包含M的所有边。
M-增广路开始并终止于不在M中的边。
基本定理定理8.1 Berge匹配定理图G的匹配M是最大匹配当且仅当G中没有M-增广路。
预备：对于结点v，用n(v)表示所有与v邻接的结点集。
对于图G结点集的任意子集S，N(S)表示所有与S中的结点相邻接的结点集的并集，即N(S)=n(v)。
定理8.2 Hall匹配定理二分图G的两个部分为X、Y，若存在从X到Y的完全匹配当且仅当对任意S⊆X，都有|N(S)|≥|S|。
定理8.3 Hall婚配定理二分图G的两个部分X、Y满足|X| = |Y|时，图G存在完美匹配当且仅当对任意子集S⊆X，都有|N(S)| ≥|S|。
引理8.3.1 正则二分图G一定平衡，即G的两个部分X、Y一定有相同的结点数。
定理8.4 若二分图是正则图，则它一定存在完美匹配。
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基本概念
图（graph）是数学关系的表示，由非空节点集V和有限边集E组成。
不同节点组成的无序对称作边（edge）。
设图G，若令V={v1,v2,...,v n}是包含n个节点的集合，其m条边的集合E={e1,e2,...,e m}，其中，每一条边都是集合V的二元素子集{v i,v j}，简记为v i v j或v j v i。
集合V(G)中的基数n表示图的阶（rank）。
集合E(G)中的基数m表示图的规模（size）。
若v i∈V(G)，v j∈V(G)，且v i v j组成的节点对v i v j∈E(G)，或者说v i v j 是图G的边，则称v i和v j邻接（adjacency），否则，称v i和v j不邻接（unadjacency）。
结点的度（degree）是指与v邻接的节点数，记作deg(v)，若特指图G的结点v的度就写作deg G(v)。
边v i v j与v i和v j相关联（relevancy）。
度为零的点称作孤立点（isolated point）。
度为1的结点称为端结点（end point），若是一个很像树的图，度为1的结点又称为叶子（leaf）。
图G的最小度（min degree）是指所有结点中的最小度数，记作δ(G)。
图G的最大度（max degree）是指所有结点中的最大度数，记作Δ(G)。
若图G的所有结点有相同的度数，那么δ(G)=Δ(G)，图G称为正则图（regular graph）。
若图G的所有结点的度都是r，则图G称为r-正则图（r-regular graph）。
基本定理
欧拉定理在任何图中，结点度的总和等于边数的两倍。
推论在任何图中，结点度的总和是一个非负偶数。