翻硬币问题诀窍翻硬币问题诀窍

作者: 杨金珏翻硬币问题诀窍翻硬币问题诀窍

硬币问题是公务员考试出现的数学运算题型，属于逻辑类考题，这类问题变化复杂，对考生的推理能力要求高。博大弘仕杨金珏老师将在这里介绍翻硬币问题的快速解题技巧。

首先要明白什么是“翻硬币问题”，通常题面形式是这样的：

M个硬币全部正面朝上，现在要求每次必须同时翻转其中的N个硬币，至少翻转多少次才能使全部硬币反面朝上？

那么可能出现四种情况：

硬币总数（M）每次翻硬币数量（N）

奇奇

奇偶

偶奇

偶偶

上面四种情况中，只有当硬币总数是奇数个并且每次翻偶数个硬币时，不能完成要求，其他三种都可以完成翻转。

为什么不能完成这种情况呢？根据奇偶的基本性质可以推导出来，每个硬币必须翻转奇数次才能实现反面朝上，现在总数是奇数，那么所有硬币翻转总数就是奇数个奇数，其结果必定是个奇数。但是每次翻转偶数个硬币，那么硬币被翻动的总数为偶数乘以翻动次数，结果必定是偶数。所以这种情况下是不可能完成任务的。

翻硬币问题形式多样，这里总结出了一个基本的解题步骤。

第一步：判断总个数是否与每次翻的个数呈倍数关系。如果是倍数关系，翻动次数＝M÷N

第二步：如果没有倍数关系，考虑硬币总数的奇偶情况。

当总数为偶数

（1）每次翻的个数是总数减一

【例1】现有6个一元面值硬币正面朝上放在桌子上，你可以每次翻转5个硬币（必须要翻转5

A.5次

B.6次

C.7次

D.8次

【解析】本题属于归纳推理问题。一个硬币要翻面，需要翻奇数次，一共有6个硬币，每一次翻转5个，那么必须翻转偶数次才能保证每一枚硬币翻转奇数次，故排除A、C。因为每次翻五个，则有一个没被改变，或者说每次是在原来的基础上变一个，一共有6个硬币，每次变一个，那么需要6次才能全部变完。具体过程如下：

故需要6次，故正确答案为B。

这类问题的解答公式为：翻动次数＝M

翻动方法：只要按照第一次第一个不翻，第二次第二个不翻，按照此方法进行操作就可以成功。

（2）除了上述以外情况，要计算翻动次数，我们采用余数分析法。

首先用总数（M）÷每次翻的个数（N），表达式为：

M÷N＝a……b

上面式子中，a为商，b为余数。那么我们把余数分成三种情况：

①b＝1，翻动次数＝a+1

【例2】共有10个硬币正面朝上，每次翻动3个，总共翻动几次才能反面朝上？

A.3次

B.4次

C.5次

D.6次

【解析】利用公式：M÷N＝10÷3＝3……1。余数b＝1，翻动次数＝3+1＝4。

这个公式在怎么推导出来的呢？

此题计算为10÷3=3……1，余数为1，我们需要改写余数为10÷3=2……4，相当于翻了2次3个硬币，还剩下4个硬币没有翻过来。

OOOOOO OOOO

XXXXXX OOOO

那么我们将这4个硬币分成两组，每组两个。接下来翻其中的2个硬币和前面已经翻成反面的1个硬币。

XXXXXO XXOO

最后把剩下的两个正面硬币和刚才翻成正面的那个硬币一起翻过来。

XXXXXX XXXX

只要余数是偶数，都可以采用这样的方法翻转。

再回过头来看下最初计算式子，10÷3=3……1，我们改写余数为10÷3=2……4，商减少了1，余数变成了1+3=4，余数加除数。根据奇偶基本性质，这里变化的余数一定是个偶数，因为被除数是偶数，被除数=除数×商+1，要使余数为1，除数和商必定也是奇数。所以变化后的余数等于1+除数，结果必定为偶数。偶数就需要2步完成翻转，总体上在原来商的基础上只增加了1，所以余数b＝1时，翻动次数＝a+1。

②b＝偶数，翻动次数＝a+2

【例3】共有92个杯口朝上的杯子，每次翻动11个杯子，使其杯口朝下，总共翻动几次才能让所有杯子反面朝下？

A.9次

B.10次

C.11次

D.12次

【解析】利用公式：M÷N＝92÷11＝8……4。余数b＝偶数，翻动次数＝8+2＝10。

翻动方法和上一道例题相同，将最后剩下的4个杯子分成两组，先翻其中的2个和前面已经翻过的2个，然后刚好剩下4个杯口朝上的杯子。总共需要10次。翻动方法如图所示：

（第8次） XXX …… XXX XXX XXX OOOO

（第9次） XXX …… OOO OOO OOO XXOO

（第10次）XXX …… XXX XXX XXX XXXX

③b＝奇数，翻动次数＝a+3

【例4】有18个房间开着灯，如果每次同时拨动5个房间的开关，经过几次拨动，灯全部关上？

A.3次

B.4次

C.6次

D.几次也不能

【解析】利用公式：M÷N＝18÷5＝3……3。余数b＝奇数，翻动次数＝3+3＝6。

余数是奇数时，为什么要翻3次呢？是如何翻转的呢？下面我们用硬币翻转来代替灯的开关。

首先完成三次翻转，如图所示：

OOOOO OOOOO OOOOO OOO

XXXXX OOOOO OOOOO OOO

XXXXX XXXXX XXXXX OOO

接下来将剩下的3个全部翻转，并且把前面翻过来的2个再次翻转。

XXXXX XXXXX XXXOO XXX

现在就和前面讲的余数是偶数情况相同了。把剩下的分成两组，先翻其中的一组，不够的在前面翻过里面翻转。

OOOOX XXXXX XXXXO XXX

最后剩下的刚好翻完。

XXXXX XXXXX XXXXX XXX

前面我们讨论的是总数是偶数，总数是奇数时有两种情况：

（1）每次翻转的个数为奇数，那么按照上面讲的余数分析法解决。

M÷N＝a……b

①b＝1，翻动次数＝a+1

②b＝偶数，翻动次数＝a+2

③b＝奇数，翻动次数＝a+3