函数的定义域及概念
函数的概念与定义域
函数的概念与定义域一、函数的概念一、映射1．映射：设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有惟一元素和它对应，这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作：;2．象与原象：如果是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素对应的元素叫做象， 叫做原象;3.映射的性质：①方向性：集合A 到集合B 的映射与集合B 到集合A 的映射是不同的;②任意性：集合A 中的任意一个元素在集合B 中都要有象，但不要求B 中的每一个元素在A 中都要有原象;③惟一性：集合A 中元素的象是惟一的，即“一对一”、“多对一”是允许的，但“一对多”是不允许的.二、函数1．定义：设A 、B 是两个非空数集，是从A 到B 的一个映射，则映射就叫做A 到B 的函数，记作：;2．函数的三要素为:定义域、值域、对应法则，两个f B A f →:B A f →:a a B A f →:B A f →:()x f y =函数当且仅当定义域和对应法则分别相同时，二者才能称为同一函数;3．函数的表示法有：解析式、列表法、图像法.例1、（1）给出下列四个对应,是映射的是（ ）① ② ③ ④A.②④B.①②C. ②③D.①④(2)设在下图中,能表示从集合{}{}|02,|12,A xx B y y =≤≤=≤≤A.A .B .D .C(3)已知集合，，下列不表示从到的映射是： ∶ ∶ ∶例2、（1）已知在映射作用下的象是.①求在作用下的象② 若在作用下的象是，求它的原象（2）给定映射，点的原象是{}04P x x =≤≤{}02Q x x =≤≤P Q .A f x y x 21=→.B f xy x 31=→.C f x y x 32=→.D f xy x =→(),x y f (),x y xy +()2,3-f f ()2,3:(,)(2,)f x y x y xy →+()2,4（3）设集合和都是实数集，映射把集合中的元素映射到集合中的元素，则在映射下，象的原象组成的集合是( ) 二、区间的概念设是两个实数，而且，规定：（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为；（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为；（3）满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，表示为，．这里的实数与都叫做相应区间的端点。
函数的概念及定义域、值域基本知识点总结.doc
函数的概念及定义域.值域基本知识点总结函数概念1.映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/ ,对于集合4小的任意元素,在集合B 中都冇唯一确宦的元索与Z对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f :A^ B , f 表示对应法则注意：（1）A中元素必须都有彖J1唯一；（2）B中元素不一定都有原彖，但原彖不一定唯一。
2.函数的概念（1）函数的定义：设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则/,对于集合4屮的每个数兀, 在集合B中都冇唯一确怎的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常⑵函数的定义域、值域在函数y = f(x\xeA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y = f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做两数值，函数值的集合{/⑴卜e △}称为函数y = /(%)的值域。
(3)函数的三要素：定义域、值域和对丿应法则3.函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法(1).图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；(2).列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3).解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式來表示。
4.分段函数在H变量的不同变化范围屮，对应法则用不同式子來表示的函数称为分段函数。
(-)考点分析考点1：映射的概念例1. (1) A = R , B = {yly〉O}, f :x —> y =1 xI ；(2) A = {x\ x>2,x e N^}, B = {y\ y>O,y e N], / : x y = x2 - 2x + 2 ；(3) A = {xI x > 0}, = {>' I y e R}, / : x —> y = ±\[x .上述三个对应是A到B的映射.例2.若A = {1,2,3,4}, B = {aM，a,b,cwR,则A到B的映射有个,B到A的映射有个，A到B 的函数有个例3.设集合M ={-1,0,1}, 7V = {-2,-1,0,1,2},如果从M到N的映射/满足条件：对(4)8 个(3)12 个(C)16 个(0)18 个M中的每个元素兀与它在N中的象/(兀)的和都为奇数,则映射/的个数是()考点2：判断两函数是否为同一个函数例1.试判断以下各组函数是否表示同一函数?(1) /(X )= , g(x) = V?":⑶ /(x) = 2n ^X^ , g(X )= (2“V7)2"T (/7GN 4);(4) /(x) = Vx Jx + 1 , g(x) = Jx ，十 x ；(5) /(x) = x 2 -2x -1, g(t) = t 2 -2r -1 考点3：求函数解析式方法总结：(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则用待定系数法；(2) 若已知复合函数f[g(x)]的解析式，则可用换元法或配凑法；(3) 若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出/(%)题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例1.已知二次函数/(X )满足/(2X + 1) = 4X 2-6X + 5,求/U)(三种方法)| + V* | _ Y 2例2. (09湖北改编)已知/(-—)=—v ，则/(X )的解析式可取为 l-x 1 + JC题型2：求抽象函数解析式例1.已知函数/⑴满足/U) + 2/(-) = 3x,求/⑴函数的定义域题型1:求有解析式的函数的定义域(1) 方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的X 的取值范 围，实际操作时要注意：酚母不能为0；②对数的真数必须为正；酬次根式中被开方数应 为非负数；歿指数幕中，底数不等于0；矽分数指数幕中，底数应人于0；魁解析式由 儿个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦n 果涉及实际问题，还应使得实际 问题有意义，而11注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义 域不耍漏写。
函数的定义域及其求法(知识点)(教师版)
函数的定义域及其求法（知识点）一．定义域定义域、值域、对应法则合称为函数的三要素．本词条主要介绍函数定义域的概念及其求法.二．函数定义域的概念函数的定义域就是指自变量x 的取值范围，它是构成函数的重要组成部分．定义域必须是非空数集，且必须写成区间或集合的形式．例如：一次函数()(0)f x kx b k =+≠的定义域为(或写成(,)-∞+∞)．三．函数定义域的求法在处理函数的相关问题时，首先应明确函数的定义域是什么，求函数定义域主要包括具体函数的定义域、抽象函数的定义域以及实际问题中函数的定义域三种．四．具体函数的定义域对于已知解析式的具体函数，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使表达函数的式子各部分都有意义的所有实数x 的取值集合．常见情形如下：1. 若函数()f x 为整式，则其定义域为实数集． 例如，二次函数2()1f x x x =++的定义域为． 2. 若函数()f x 是分式，则其定义域是使分母不为零的全体实数的集合. 例如，函数1()1f x x =-的定义域为{1}x x ≠． 3. 若函数()f x 是偶次根式，则其定义域是使得根号内的式子大于或等于零的全体实数构成的集合.例如，函数()f x =[1,)-+∞.4. 若函数()f x 是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使是使各部分都有意义的实数的集合， 即交集.例如，函数1()1f x x =-[1,1)(1,)-+∞. 5. 若函数0()f x x =，则其定义域是{0}x x ∈≠． 注：除了上述情形，还应注意指数函数和对数函数均需满足底数大于零且不等于1，对数函数的真数必须大于零，以及三角函数的定义域，如正切函数的定义域为ππ,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭例：求下列函数的定义域：①y =2310x y x x --；③()f x =. 解：①由80,30,x x +⎧⎨-⎩≥≥得83x -≤≤．所以原函数的定义域为[]8,3-． ②由220,3100,x x x +⎧⎪⎨--≠⎪⎩≥解得()() 2250x x x -⎧⎪⎨+-≠⎪⎩≥所以2,2,5,x x x -⎧⎨≠-≠⎩≥即25x -<<或5x >．所以原函数的定义域为()()2,55,-+∞．③由函数的解析式有意义，得240,210,x x x +>⎧⎪⎨-->⎪⎩即()()4,2110,x x x >-⎧⎪⎨+->⎪⎩∴4,11,2x x x >-⎧⎪⎨<->⎪⎩或∴142x -<<-或1x >．∴所求函数的定义域为()14,1,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭．五．抽象函数的定义域求抽象函数的定义域时，应充分理解定义域的含义，即：函数()f x 的定义域是指x 的取值范围，具体如下：1. 若已知函数()f x 的定义域为[,]a b ，则其复合函数(())f g x 的定义域由()a g x b ≤≤求出．例如：已知函数()f x 的定义域为[1,2]，则函数(1)f x +的定义域为[0,1]．2. 若已知函数(())f g x 的定义域为[,]a b ，则()f x 的定义域为()g x 在[,]x a b ∈上的值域.例如：已知函数(1)f x +的定义域为[1,2]，则函数()f x 的定义域为[2,3]．六．实际问题中函数的定义域在实际问题中求函数()f x 的定义域，除了考虑解析式本身有意义外，还应该考虑自变量x 所代表的具体量的实际取值范围．例如：圆的面积S 与圆的半径r 之间的函数关系式为2πS r =，其定义域为{0}r r >．。
函数的概念及表示
函数的概念及表示知识点1：函数的概念1.函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A 中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B 的一个函数，通常记为：y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域.2.规律方法：(1)判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A 中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．(2)函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．考点1：函数的判定典型例题例1 判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±x；(2)A＝R，B＝N*，对于任意的x∈A，x→|x－2|；(3)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.例2 下列从集合A到集合B的对应关系中，不能构成从A到B的函数的是________．(只填序号)①集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝x2；②集合A＝{x|2≤x≤3}，B＝{y|4≤y≤7}，f：x→y＝3x－2；③集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤3}，f：x→y＝－x＋4；④集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝4－x2；⑤集合A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对任意(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y.知识点2：函数的图像1.概念：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．2.作函数图像的方法：（1）利用描点法作函数图象的基本步骤：求定义域→化简解析式→列表→描点→连线（2）在画定义域为某一区间的函数图象时，要注意端点值的画法，闭区间画实心点，开区间画空心圈．考点1：画函数的图象 典型例题例1 作下列函数的图象(1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)； (2)y ＝2x (－2≤x <1，且x ≠0)．(3)y ＝1＋x (x ∈Z)； (4)y ＝x 2－2x ，x ∈[0,3)．考点2：函数图象的识别例1 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是________．(填序号)例2 如图所示，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象可能是________(填序号)．考点3：函数图象的应用例1 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域；(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．例2 若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．考点4：函数图像在实际问题中的应用例1 某商场销售一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见表)：(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设销售此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？知识点3：函数的定义域1.概念：函数的定义域是指自变量x的范围2.函数定义域的求解方法：(1)若()x f为整式，则定义域为R.(2)若()x f是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合(3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合； (4)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合； (5)实际问题中，确定定义域要考虑实际问题. 考点1：具体函数定义域求解 例1 求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-考点2：抽象函数定义域求解例1 设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；例 2 若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 .例3 已知()x f 的定义域为[]1,0，求函数()⎪⎭⎫⎝⎛++=342x f x f y 的定义域.例4 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围.知识点4：函数的值域1.概念：函数的值域指因变量y 的范围2.函数值域的求解方法： （1）观察法 （2）判别式法 （3）配方法 （4）换元法 （5）不等式法 （6）图像法 （7）分离常数法 考点1：用观察法求值域 例1 求下列函数的值域：（1）2415+-=x x y （2）123422--+-=x x x x y考点2：用配方法求值域例1 求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域.考点3：用反解+判别式法求值域例1 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域考点4：用换元法求值域 例1 求函数12--=x x y 的值域考点5：用不等式法求值域例1 求函数()22415≥+-=x x x y 的值域考点6：用图像法求值域 例1 求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈例2 画出函数[]5,1,642∈+-=x x x y 的图像，并根据其图像写出该函数的值域。
函数的定义域和值域
函数的定义域和值域函数的定义域、值域⼀、知识回顾第⼀部分：函数的定义域1.函数的概念：设集合A 是⼀个⾮空的数集，对于A 中的任意⼀个数x ，按照确定的法则f ，都有唯⼀的确定的数y 与它对应，则这种关系叫做集合A 上的⼀个函数，记作()x f y =，(A x ∈)其中x 叫做⾃变量，⾃变量的取值范围（数集A ）叫做这个函数的定义域.如果⾃变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作)(a f y =或ax y=，所有的函数值所构成的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做这个函数的值域.2.定义域的理解：使得函数有意义的⾃变量取值范围，实际问题还需要结合实际意义在确定⾃变量的范围，注意:定义域是个集合，所以在解答时要⽤集合来表⽰. 3.区间表⽰法：设a ，R b ∈，且b a <.满⾜b x a ≤≤的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[]b a ,. 满⾜b x a <<的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作()b a ,.满⾜b x a ≤<或b x a <≤的全体实数x 的集合，都叫做半开半闭区间，记作(][)b a b a ,,或.b a 与叫做区间的端点，在数轴上表⽰时，包括端点时，⽤实⼼的点，不包括时⽤空⼼点表⽰.4.基本思想：使函数解析式有意义的x 的所有条件化为不等式，或不等式组的解集.5.定义域的确定⽅法：保证函数有意义，或者符合规定，或满⾜实际意义. （1）分式的分母不为零. （2）偶次⽅根式的⼤于等于零. （3）对数数函数的真数⼤于零.（4）指数函数与对数函数的底⼤于零且不等于1. （5）正切函数的⾓的终边不能在y 轴上. （6）零次幂的底数不能为零.（7）分段函数：①分段函数是⼀个函数.②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.（8）复合函数定义域的求法：①已知)(x f y =的定义域是A ，求()[]x f y ?=的定义域的⽅法为解不等式：A x ∈)(?，求出x 的取值范围.②已知()[]x f y ?=的定义域为A ，求)(x f y =的定义域的⽅法:A x ∈，求)(x ?的取值范围即可.第⼆部分：函数的值域函数值域的确定⽅法：（1）直接观察法对于⼀些⽐较简单的函数，其值域可通过观察得到. （2）分离常数法：分⼦、分母是⼀次函数得有理函数，形如,dcx bax y ++=，,,,,(d c b a 为常数，)0≠c 可⽤分离常数法，此类问题⼀般也可以利⽤反函数法.（3）换元法：运⽤代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另⼀函数，从⽽求得原函数的值域，如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数且0≠a ）的函数常⽤此法求解. （4）配⽅法：适⽤于⼆次函数值域的求值域. （5）判别式法：适⽤于⼆次函数型值域判定.（6）单调性法：利⽤单调性，端点的函数值确定值域的边界.（7）函数的有界性：在直接求函数值域困难的时候，可以利⽤已学过函数的有界性，反过来确定函数的值域.（8）不等式法：利⽤不等式的性质确定上下边界.（9）数形结合法：函数解析式具有明显的某种⼏何意义，如两点间的距离公式直线斜率等等，这类题⽬若运⽤数形结合法，往往会更加简单，⼀⽬了然，赏⼼悦⽬.⼆、精选例题第⼀部分：函数的定义域例1.函数x x y +-=1的定义域为（）A .{}1x x ≤B .{}0x x ≥ C.{}10x x x ≥≤或 D.{}01x x ≤≤【解析】由题意??≥≤≥≥-01001x x x x 即∈x {}10≤≤x x ，故选D. 例2.函数()()xx x x f -+=01的定义域是（）A .()0,+∞B .(),0-∞C.()(),11,0-∞--UD.()()(),11,00,-∞--+∞U U【解析】由?≠-≠+001x x x 得,01<-≠x x 故选C.例3.若函数()1+=x f y 的定义域是[],3,2-则()12-=x f y 的定义域是（）5.0,2A ??[]4,1.-B []5,5.-C []7,3.-D 【解析】Θ()1+=x f y 的定义域是[],3,2-,32≤≤-∴x[]4,11-∈+∴x ，即()x f 的定义域是[]4,1-.⼜由4121≤-≤-x 解得250≤≤x即()12-=x f y 的定义域是??25,0故选.A例4.设函数()x f y =的定义域是()1,0，则()2x f y =的定义域是什么？【解析】Θ函数()x f y =的定义域是()1,0.102<<∴x 即11<<-x故()2x f y =的定义域是()1,1-∈x 且0≠x .例5.已知函数(),11+=x x f 则函数()[]x f f 的定义域是（） {}1.-≠x x A {}2.-≠x x B {}21.-≠-≠x x x C 且{}21.-≠-≠x x x D 或【解析】：()11+=x x f 的定义域是101-≠?≠+x x 则()[]x f f 的定义域是111-≠+x 即21012-≠-≠?≠++x x x x 且故选.C 例6.已知()x f21-求函数??-xx f 213的定义域是?【解析】由()x f21-可知021≥-x 即0213≥-x x ()2100312≤≤?≤-?x x x故函数-x x f 213的定义域是??∈21,0x例7.若函数y =的定义域是R ，求实数k 的取值范围.【解析】当0=k 时，86+-=x y ，当34>x 时，⽆意义，∴0≠k ；当068y kx x k =-++为开⼝向下的⼆次函数，图像向下延伸，函数值总会出现⼩于零的情况，进⽽，0k 时，同时要求0≤?，即解得1≥k .例8.已知函数x x x f -+=11lg )(，求函数)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域. 【解析】由题意011>-+xx，即0)1)(1(<+-x x ，解得11<<-x 故函数xxx f -+=11lg )(的定义域为)1,1(-所以??≠+<+<-012111x x 解得02<<-x 且21-≠x .即12)1()(++=x x f x m 的定义域为)0,21()21,2(---Y⼜121<<-x，解得22<<-x ，即)2(x f 的定义域为)2,2(-)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域即为)(x m 和)2(x f 的定义域的交集，即)0,21()21,2(---Y )2,2(-I =)0,21()21,2(---Y故函数)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域为)0,21()21,2(---Y .例9.已知函数()23x x f x a b =?+?，其中常数,a b 满⾜0ab ≠. （1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性；（2）若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围. 【解析】（1）当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x xf x f x a b -=-+-∵121222,0(22)0x x x x a a <>?-<，121233,0(33)0x x x xb b <>?-<，∴12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数. 当0,0a b <<时，同理，函数()f x 在R 上是减函数. （2）(1)()2230x x f x f x a b +-=? +?>当0,0a b <>时，3()22x a b >-，则 1.5log ()2ax b >-；当0,0a b ><时，3()22x a b <-，则 1.5log ()2ax b<-.第⼆部分：函数的值域1.观察法：例1.求函数x y 1=的值域. 【解析】0≠x Θ01≠∴x0≠∴y ，即值域为：()()+∞∞-,00,Y2.分离常数法：分⼦、分母是⼀次函数得有理函数，形如)0,,,(,≠++=c d c b a dcx bax y 为常数，，可⽤分离常数法，此类问题⼀般也可以利⽤反函数法.通式解析：)(,)(cad b d cx c ad b c a d cx b c ad d cx c a d cx b ax y ≠+-+=++-+=++=故值域为?≠c a y y 例2.求函数125xy x -=+的值域. 【解析】因为177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++，所以72025x ≠+，所以12y ≠-，所以函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-.3.换元法：运⽤代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另⼀函数，从⽽求得原函数的值域，如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数且0≠a ）的函数常⽤此法求解.例3.(A 类)求函数2y x =.【解析】令x t 21-=（0t ≥），则212t x -=，所以22151()24y t t t =-++=--+因为当12t =，即38x =时，max 54y =，⽆最⼩值所以函数2y x =5(,]4-∞.4.三⾓换元：例4.求函数2)1(12+-++=x x y 的值域.【解析】0)1(12≥+-x Θ1)1(2≤+∴x ，令[]πββ,0,cos 1∈=+x1)4sin(21cos sin cos 11cos 2++=++=-++=∴πβββββy ，,0πβ≤≤Θ4544ππβπ≤+≤，1)4sin(22≤+≤-πβ， 121)4sin(20+≤++≤πβ故值域为：[]12,0+ 5.配⽅法：例5.求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域.【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+，因为[1,1]x ∈-，所以2[3,1]x -∈--，所以21(2)9x ≤-≤，所以23(2)65x -≤--+≤，即35y -≤≤，所以函数242y x x =-++在（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-.6.判别式法：例6.求函数2211xx x y +++=的值域. 【解析】原函数化为关于x 的⼀元⼆次⽅程，0)1()1(2=-+--y x x y （1）当1≠y 时，R x ∈，0)1(4)1(22≥---=?y .解得2321≤≤y ，当1=y 时，0=x ，⽽??∈23,211，故函数的值域为??23,21.7.单调性法：例7.求函数x x x f 4221)(-+-=的值域. 【解析】由042≥-x ，解得21≤x ，令x x g 21)(-=，x x m 42)(-=，在21≤x 上)(),(x m x g 均为单调递减函数，所以x x x m x g 4221)()(-+-=+在21≤x 上也是单调递减函数.故0)21()(min ==f x f ，值域为),0[+∞.8.有界性例8.求函数11+-=x x e e y 的值域.【解析】函数变形为11-+=y y e x，0>x e Θ011>-+∴y y ，解得11<<-y ，所以函数的值域为()1,1-.9.不等式法：例9.求函数xx y 4+=的值域；【解析】当0>x 时，4424=?≥+=xx x x y （当x =2时取等号）；所以当0>x 时，函数值域为),4[+∞. 当02)4(-=?-≤+-=xx x x y （当2-=x 时取等号）；所以当010.数形结合法函数解析式具有明显的某种⼏何意义，如两点间的距离公式直线斜率等等，这类题⽬若运⽤数形结合法，往往会更加简单，⼀⽬了然，赏⼼悦⽬. 例10. （1）求函数82++-=x x y 的值域.（2）求函数5413622++++-=x x x x y 的值域. （3）求函数5413622++-+-=x x x x y 的值域.【解析】（1）函数可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(-B 间的距离之和.由上图可知，当点P 在线段AB 上时，10min ==AB y 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，10>=AB y 故所求函数的值域为：),10[+∞ 此题也可以画函数图象来解.（2）原函数可变形为：2222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=可看成x 轴上的点)0,(x P 到两定点)1,2(),2,3(--的距离之和，由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，如图34)12()23(22min =+++==AB y ，故所求函数的值域为),34[+∞.（3）将函数变形为：2222)10()2()20()3(-++--+-=x x y可看成定点A ()3,2到点P )0,(x 的距离与定点B ()2,1-到点P )0,(x 的距离之差. 如图BP AP y -=由图可知：①当点P 在x 轴上且与A ，B 两点不供线时，如点'P ，则构成'ABP ?，()23()1,2--ABPxyBPA根据三⾓形两边之差⼩于第三边，有26)12()23(22=-++=<'-'AB P B P A所以2626<'-'<-P B P A即2626<<-y②当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有26=='-'AB P B P A .综上所述，函数的值域为：]26,26(-.三、课堂训练第⼀部分：函数定义域1.函数()x x x y +-=1的定义域为（）{}0.≥x x A{}1.≥x x B{}{}01.Y ≥x x C{}10.≤≤x x D解析：由题意得()≥≥-001x x x ≥≤≥?001x x x 或即[){}0,1Y +∞∈x ，故选.C 2.()xx f 11211++=的定义域为 .【解析】由分式函数分母不为0得：≠≠+≠++001101121x x x解得≠-≠≠-≠-≠010311x x x x x 或或()1,-∞-∈?x ??? ??-31,1Y ??? ??0,31Y ()+∞,0Y3.已知函数()x f 的定义域为[].2,2- ①求函数()x f 2的定义域；②求函数??-141x f 的定义域. 【解析】①Θ函数()x f 的定义域为[]2,2-222≤≤-∴x 即11≤≤-x 故函数()x f 2的定义域为[]1,1-∈x . ②Θ函数()x f 的定义域为[]2,2-21412≤-≤-∴x 即124≤≤-x 故函数??-141x f 的定义域为[]12,4-. 4.已知函数()42-x f的定义域[]5,3∈x ，则函数()x f 的定义域是？【解析】Θ函数()42-x f 的定义域[]5,3∈x 21452≤-≤∴x即函数()x f 的定义域是[]21,5∈x5.如果函数()()()x x x f -+=11的图像在x 轴上⽅，则()x f 的定义域为（）.{}1.x x B {}11.-≠x x x D 且【解析】对于()(),011>-+x x 当0≥x 时，有()()011<-+x x 11<<-?x 得;10<≤x当0>+x 1-≠?x 得.10-≠6.（1）已知1,,,,≠∈+a R z y x a ，设,,log 11log 11zya a ay ax --==⽤x a ,表⽰z .（2）设ABC ?的三边分别为c b a ,,，且⽅程01lg 2)lg(2222=+--+-a b c x x 有等根，判断ABC ?的形状. 【解析】（1）,,log 11log 11 zya a ay ax --==则,log 11log log ,log log log 11log 11zay ax a za a ya a a a -===--y ax a ya a a log 11log log log 11-==-zza a log 11log 1111-=--=所以xz a a log 11log -=，故xa a z log 11-=.（2）原⽅程可以转化为0)(10lg22222=-+-a b c x x ⼜因为⽅程有等根，则0)(10lg 4)2(2222=---=?ab c ，必然有1)(10lg 222=-a b c ，所以10)(10222=-ab c ，即222a b c +=. 故ABC ?为直⾓三⾓形.第⼆部分：函数的值域例1.求函数111++=x y 的值域.【解析】.111,01≥++∴≥+x x Θ∴11110≤++<x ，∴函数的值域为(]1,0.例2.求函数[]2,1,522-∈+-=x x x y 的值域. 【解析】将函数配⽅得：()412 +-=x y []2,1-∈x Θ由⼆次函数的性质可知：当1=x 时，,4min =y 当1-=x 时，8max =y故函数的值域是[]8,4例3.求函数1-+=x x y 的值域.【解析】令()01≥=-t t x ，则12+=t x 故.4321122+??? ??+=++=t t t y⼜,0≥t 由⼆次函数性质知，当0=t 时，;1min =y 当t 不断增⼤时，y 值趋于∞+，故函数的值域为[)+∞,1.例4.求函数2332+-+-=x x x y 的值域.【解析】定义域满⾜?≥+-≥-023032x x x 3≥?x . 令,31-=x y 任取,321≥>x x 由,03333212121>-+--=---x x x x x x1y ∴在[)+∞,3上单调递增.令,2322+-=x x y由,232+-=x x u 对称轴,23=x 开⼝向上，知2y 在[)+∞,3上也单调递增. 从⽽知()=x f 2332+-+-x x x 在定义域[)+∞,3上是单调递增.()∴=≥∴.23f y 值域为[)+∞,2.例5.求函数21+-=x x y 的值域【解析】由1231232≠+-=+-+=x x x y ，可得值域{}1≠y y例6.求13+--=x x y 的值域【解析】可化为 ??>-≤≤---<=3,431,221,4x x x x y 如图：观察得值域{}44≤≤-y y .例7.求函数x y -=3的值域. 【解析】0≥x Θ33,0≤-≤-∴x x 故函数的值域是：[]3,∞-例8.求函数51042+++=x x y 的值域.【解析】配⽅，得().5622+++=x y ().65,6622+≥∴≥++y x Θ∴函数的值域为).,65(+∞+例9.求函数1122+++-=x x x x y 的值域.【解析】Θ1122+++-=x x x x y ，R x ∈，去分母整理得()()01112=-+++-y x y x y.当1=y 时，,0=x 故y 可取1；①当1≠y 时，⽅程①在R 内有解，则()()(),011412≥---+=?y y y,031032≤+-∴y y 解得.331≤≤y ∴函数的值域为.3,31??例10.求函数11--+=x x y 的值域.【解析】原函数可化为：112-++=x x y令,1,121-=+=x y x y 显然21,y y 在[)+∞,1上为⽆上界的增函数所以21,y y y =在[)+∞,1上也为⽆上界的增函数所以当1=x 时，21y y y +=有最⼩值2，原函数有最⼤值22 2= 显然,0>y 故原函数的值域为(]2,0.例11.求函数133+=x xy 的值域【解析】设t x=+13 ，则()111131113113>-=+-=+-+=t ty xx x 101101<<∴<<∴>y tt Θ，()01原函数的值域为∴.例12.求函数53-++=x x y 的值域.【解析】53-++=x x y ??≥-<<--≤+-=)5(22)53(8)3(22x x x x x由图像可知函数53-++=x x y 的值域为[)+∞,8.四、课后作业【训练题A 类】1.函数()f x = ）.A . 1[,)2+∞B . 1(,)2+∞ C. 1(,]2-∞ D. 1(,)2-∞2.函数265x x y ---=的值域是（）525.≤≤y A5.≤y B 50.≤≤y C 5.≥y D 3.函数31---=x x y 在其定义域内有（）.A 最⼤值2，最⼩值2- .B 最⼤值3，最⼩值1- .C 最⼤值4，最⼩值0 .D 最⼤值1，最⼩值3-4.已知函数31++-=x x y 的最⼤值为M ，最⼩值为m ，则Mm的值为（） 41.A 21.B 22.C 23.D 5.函数()=x f 962+-x 的值域是 ( )A 、（－∞，6）B 、]3,(-∞C 、 (0，6)D 、 (0，3) 6.()421-=x x f 的定义域为_____ 7.函数x x y 21-+=的值域是 . 8.求()43 13512-++-=x x x x f 的定义域9.求2045222+-++-=x x x x y 的值域.10.求函数12-+=x x y 的值域.11.已知()x f 的值域为,94,83??试求()()x f x f y 21-+=的值域.【参考答案】1.【答案】C【解析】由根式知21021≤?≥-x x 故选.C 2.【答案】A【解析】425425216022≤+??+-=--≤x x x Θ， 25602≤--≤∴x x ，即525≤≤y3.【答案】A【解析】由题意得()()()??>≤<-≤-=3,231,421,2x x x x y []2,2-∈?y ，故选A4.【答案】C【解析】两边平⽅，即()()312312+-+++-=x x x x y ()41242++-+=x844max 2=+=y ，4min 2=y ，284max min ==y y 故选C . 5.【答案】B 【解析】∴≥+392x Θ3962≤+-x 故选.B6.【答案】()+∞,8 【解析】80421≥?≥-x x ，即()+∞,8 7.【答案】(],1-∞【解析】令x t 21-=则()0212≥-=t t x 即()()021212≥++-=t t t t f ()11212+--=t故1=t 时，取得最⼤值.即().1≤x f8.【解析】1212210431012>>≥>-≥-x x x x x ，即()+∞,129.【解析】()()1624122+-++-=x x y ()()()()2222402201-+-+++-=x x即可看成三点：()()()4,2,2,1,0,B A x P -，PB PA y +=在PAB ?中AB PB PA >+知点()2,1-A 点()4,2B 在数轴异侧时AB 最⼤. PB PA y +==AB 故()()3742212=--+-=≥AB y10.【解析】显然，函数的定义域为21≥x . 当21≥x 时，函数12,21-==x y x y 都是递增的所以在21=x 时，取得最⼩值.即??+∞∈,21y .11.【解析】()(),412191,9483≤-≤∴≤≤x f x f Θ即有(),212131≤-≤x f令(),21,31,21∈-=t x f t ()(),1212t t x f +-=()()t t t g y +-==∴2121()11212+--=t21,311Θ，∴函数()t g y =在区间21,31上单调递增，,9731min =??? ??=∴g y ∴=??? ??=.8721max g y 函数的值域为87,97.【训练题B 类】1.求()52+=x x f 的值域2.求函数xy --=111的值域3.求函数12--=x x y 的值域.4.已知()x f 43-的定义域为[],2,1-∈x 则函数()x f 的定义域是？5.求下列函数的值域：（1）;1342++=x x y （2）5438222+-+-=x x x x y6.对于每个函数x ，设()x f 是2,14+=+=x y x y 和42+-=x y 三个函数中的最⼩者，则()x f 的最⼤值是什么？7.已知??-x f 213的定义域为[]5,1∈x ，则函数()32+x f 的定义域是？8.求下列函数的值域：（1）[);5,1,642∈+-=x x x y（1）245x x y -+=.9.求函数13+--=x x y 的值域.10.函数232+-=kx x y 的值域为??+∞-? -∞-,3232,Y ，求k 的值.11.（1）已知函数?≥<=0,0,)(2x x x x x f ，求))((x f f .（2）求函数12)(2--+=x x x f 的最⼩值.12.若函数432--=x x y 的定义域为[],,0m 值域为,4,425??--求m 的取值范围.【参考答案】1.【解析】25052-≥?≥+x x ，即??+∞-,25 2.【解析】原式化为,11=--x y y ,011≥-=-∴yy x 即01<≥y y 或. 故()[)+∞∞-∈,10,Y y .3.【解析】函数的定义域是{}.,1R x x x ∈≥令()0,1≥=-t t x 则 ,12+=t x8154122222+??-=+-=∴t t t y ，⼜o t ≥，∴结合⼆次函数的图像知()815≥t y .故原函数的值域为?≥815y y . 4.【解析】Θ()x f 43-的定义域为[]2,1-∈x 7435≤-≤-∴x()x f ∴的定义域为[]7,5-∈x .5.【解析】（1）由1342++=x x y 可得,0342=-+-y x yx 当0=y 时，;43-=x 当0≠y 时，,R x ∈故()(),03442≥---=?y y解得,41≤≤-y 且0≠y .当2-=x 时，;1-=y 当21=x 时，.4=y∴所求函数的值域为[].4,1-（2）由5438222+-+-=x x x x y 可得()()0352422=-+---y x y x y ，当02≠-y 时，由,R x ∈得()()()035242162≥----=?y y y ，25≤≤-∴y .25<≤-∴y .经检验2=x 时，5-=y ，⽽2≠y .∴原函数的值域为[]2,5-.6.【解析】在同⼀直⾓坐标系中作出三个函数的图像，由图像可知，()x f 的最⼤值是2+=x y 和42+-=x y 交点的纵坐标，易得()3 8max =x f . 7.【解析】Θ??-x f 213的定义域为[]5,1∈x 2521321≤-≤∴x 即253221≤+≤x 4145-≤≤-∴x 故函数()32+x f 的定义域是??--∈41,45x 8.【解析】（1）配⽅，得().222+-=x y [),5,1∈x Θ∴函数的值域为{}.112<≤y y（2）对根号⾥配⽅得：()30922≤≤?+--=y x y 即[]3,0∈∴y .。
函数概念定义域
函数定义及定义域一：1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 2.函数的三要素：定义域，对应关系，值域。
3．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.4.相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)二.值域 :函数值的取值构成的集合（ 先考虑其定义域）。
(1)观察法 (2)配方法 (3)代换法三． 函数图象知识归纳1.定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x ∈A)中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P (x ，y)的集合C ，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C 上每一点的坐标(x ，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点(x ，y)，均在C 上 .2. 画法： A.描点法： B.图象变换法3.常用变换方法有三种 (1)平移变换 (2)伸缩变换 (3)对称变换 4．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间（3）区间的数轴表示． 5.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
第1讲 函数的定义域及值域(教师版)
第1讲 函数的定义域及值域【知识梳理】一．函数的基本概念 (1)函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 二．映射的概念设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 三．函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 四．常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R .(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R .(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .(6)函数f (x )＝x α的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}．【题型归纳全解】题型一 函数的概念例1. 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)－1 (x <0)表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②③解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)－1 (x <0)的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.题型二 求函数的解析式例2. (1)如果f (1x )＝x1－x，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x －1 (2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________.(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)·x －1，则f (x )＝________.答案 (1)B (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)令t ＝1x ，得x ＝1t ，∴f (t )＝1t 1－1t ＝1t －1，∴f (x )＝1x －1.(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.(3)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x －1，将f (1x )＝2f (x )x－1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.题型三 求函数的定义域 例3. (1)函数f (x )＝ln (2＋x －x 2)|x |－x 的定义域为( )A ．(－1,2)B ．(－1,0)∪(0,2)C ．(－1,0)D ．(0,2)(2)已知函数f (x )的定义域为[1,2]，则函数g (x )＝f (2x )(x －1)0的定义域为________．答案 (1)C (2)[12，1)解析 (1)f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x －x 2>0，|x |－x ≠0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，x <0，∴－1<x <0，∴f (x )的定义域为(－1,0)．(2)要使函数g (x )＝f (2x )(x －1)0有意义，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x ≤2x －1≠0，∴12≤x <1，故函数g (x )的定义域为[12，1)． 题型四 分段函数例4. (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)设函数y ＝f (x )在R 上有定义．对于给定的正数M ，定义函数f M (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤M ，M ，f (x )>M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)的值为 ( )A ．2B ．1 C. 2 D ．－ 2 答案 (1)A (2)B解析 (1)由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0.①当a >0时，f (a )＝2a,2a ＋2＝0无解；②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3. (2)由题设f (x )＝2－x 2≤1，得 当x ≤－1或x ≥1时， f M (x )＝2－x 2；当－1<x <1时，f M (x )＝1.∴f M (0)＝1.【课堂训练】1. 函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0ln (x ＋1)≠04－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2. (2012·江西)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15 B ．3 C.23 D.139 答案 D解析 由题意知f (3)＝23，f ⎝⎛⎭⎫23＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝⎛⎭⎫23＝139.3. 若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．4. 已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝log 2xB ．f (x )＝－log 2xC ．f (x )＝2－xD ．f (x )＝x －2答案 B解析 根据题意知x >0，所以f (1x )＝log 2x ，则f (x )＝log 21x＝－log 2x .5. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10]B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]答案 B解析 方法一 取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ； 若x ＝57，则y ＝6，排除A ，选B.方法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9，m ，α∈N )，当0≤α≤6时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x10]，当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x10]＋1，所以选B.6. 下表表示y答案 {2,3,4,5}解析 函数值只有四个数2、3、4、5，故值域为{2,3,4,5}． 7. 已知f (x －1x )＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________.答案 11解析 ∵f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x )2＋2，∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)，∴f (3)＝32＋2＝11.8. 若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 答案 [－1,0]解析 由题意知2x 2＋2ax －a －1≥0恒成立． ∴x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0.9. 已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .10. 某人开汽车沿一条直线以60 km /h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地．在B 地停留1 h后，再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车与A 地的距离x (km)表示为时间t (h)(从A 地出发开始)的函数，并画出函数的图象． 解x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t 0≤t ≤52150 52<t ≤72150－50(t －72) 72<t ≤132.图象如右图所示．【课下作业】1. 已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，f ：x →x表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析 由已知可得M ＝N ，故⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0，所以a ，b 是方程x 2－4x ＋2＝0的两根，故a ＋b ＝4.2. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋6，x ≤0－x ＋6，x >0，则不等式f (x )<f (－1)的解集是( )A ．(－3，－1)∪(3，＋∞)B ．(－3，－1)∪(2，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－1,3) 答案 A解析 f (－1)＝3，f (x )<3，当x ≤0时，x 2＋4x ＋6<3， 解得x ∈(－3，－1)；当x >0时，－x ＋6<3，解得x ∈(3，＋∞)，故不等式的解集为(－3，－1)∪(3，＋∞)，故选A.3. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0，－2x ，x <0，则关于x 的方程f (f (x ))＋k ＝0，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有1个实根； ②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．其中正确命题的序号是________．(把所有满足要求的命题序号都填上) 答案 ①②解析依题意，知函数f (x )>0， 又f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧ee x ，x ≥0，e －2x ，x <0，依据y ＝f (f (x ))的大致图象(如右图所示)，知存在实数k ，使得方程f (f (x ))＋k ＝0恰有1个实根或恰有2个不相等的实根；不存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根或恰有4个不相等的实根．4. 行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫 作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解 (1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．5. 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解 (1)行车所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×(2＋x2360)＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]．(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝1318x ，即x ＝1810时，上述不等式中等号成立．故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．。
函数定义域值域及表示
函数定义域值域及表示 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT函数定义域值域及表示(1)函数的概念设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)（2）区间的概念及表示法设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a xb <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()=可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程y f x2++=，则在()0a y xb y xc y()()()0a y≠时，由于,x y为实数，故必须有2()4()()0∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．b y a yc y④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．例题讲解[例1] 求下列函数的定义域：⑴y=⑵y=（3）x x x x f -+=0)1()( （4）g(x)=211+-++x x[例2] 求抽象函数求定义域记住两句话：地位相同范围相同，定义域是关于x 的。
2.1函数的定义域、值域、解析式
函数的定义域、值域、解析式一、知识点1、定义域的概念和求法2、值域的概念和求法3、映射、对应法则 区间概念设,a b R ∈且a b <（,a b 称为端点，在数轴上注意实心空心的区分） 满足a x b ≤≤的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[,]a b 满足a x b <<的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作(,)a b满足a x b ≤<或a x b <≤的全体实数x 的集合，叫做半开半闭区间，记作[,)a b 或(,]a b 分别满足,,,x a x a x a x a ≥>≤<的全体实数的集合分别记作[,),(,),(,],(,)a a a a +∞+∞-∞-∞一、定义域1、定义域的概念设集合A 是一个非空实数集，对A 内任意实数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的实数值y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记做(),y f x x A =∈。
x 叫做自变量，自变量取值的范围所组成的集合叫做函数的定义域。
函数的定义域和值域一定表示成集合或区间的形式。
（易错点）2、函数定义域的求法（方法对接）:（1）分式中的分母不为零； （2）偶次方根下的数（或式）大于或等于零； （3）a 的零次方没有意义； （后续课程会涉及的定义域：指数式的底数，对数式的底数和真数，正余切函数和反三角函数的定义域）例1、求下列函数的定义域（分母和偶次方根）1()1f x x =+ 221533x x y x --=+-练习、求下列函数的定义域：1()5f x x =- ()13f x x x =-++ ()f x x x =+- 262x y x -=+ 021(21)4111y x x x =+-+-+- 211()1x y x -=-+（选讲）复合函数的定义域：函数()f x 的定义域为(,)a b ,函数()g x 的定义域为(,)m n ,则函数[]()f g x 的定义域为()(,)(,)g x a b x m n ∈⎧⎨∈⎩，解不等式，最后结果才是。
数学中的函数定义域与值域
数学中的函数定义域与值域一、函数定义域的概念1.函数定义域是指函数中自变量可以取的所有可能值的集合。
2.函数定义域通常用区间表示，如实数集R、有理数集Q、整数集Z等。
3.函数定义域可以是无限的，如f(x) = x^2的定义域为实数集R。
4.函数定义域可以是有限的，如f(x) = sin(x)的定义域为[-1, 1]。
二、函数值域的概念1.函数值域是指函数中因变量可以取的所有可能值的集合。
2.函数值域通常用区间表示，如实数集R、有理数集Q、整数集Z等。
3.函数值域可以是无限的，如f(x) = x^2的值域为非负实数集[0, +∞)。
4.函数值域可以是有限的，如f(x) = sin(x)的值域为[-1, 1]。
三、函数定义域与值域的关系1.函数的定义域与值域不一定相同，它们可以是不同的集合。
2.函数的定义域是函数值域的子集，即函数的所有自变量取值都在值域中。
3.函数的值域可以小于、等于或大于定义域，这取决于函数的特性。
四、确定函数定义域的方法1.对于多项式函数，定义域通常为实数集R。
2.对于三角函数，定义域通常为实数集R。
3.对于指数函数和对数函数，定义域通常为正实数集(0, +∞)。
4.对于分式函数，定义域为除数不为零的所有实数。
5.对于绝对值函数，定义域为所有实数。
五、确定函数值域的方法1.对于多项式函数，值域通常为实数集R。
2.对于三角函数，值域通常为闭区间[-1, 1]。
3.对于指数函数，值域为正实数集(0, +∞)。
4.对于对数函数，值域为实数集R。
5.对于分式函数，值域为非零实数集。
6.对于绝对值函数，值域为非负实数集[0, +∞)。
六、函数定义域与值域的应用1.函数的定义域与值域是研究函数性质的基础，如单调性、奇偶性、周期性等。
2.函数的定义域与值域可以帮助我们理解和解决实际问题，如最值问题、方程问题等。
3.函数的定义域与值域可以用来判断函数的合理性和有效性。
4.函数定义域是指函数中自变量可以取的所有可能值的集合，函数值域是指函数中因变量可以取的所有可能值的集合。
函数的定义域、值域--高考数学【解析版】
专题06 函数的定义域、值域函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，函数的定义域问题也是高考的热点.函数的值域（最值）也是高考中的一个重要考点，并且值域（最值）问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.【重点知识回眸】1.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f (x )＝|x |，x ∈[0,2]与函数f (x )＝|x |，x ∈[－2,0]． 2．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 3.常见函数定义域的求法类型x 满足的条件2()nf x (n ∈N *) f (x )≥0 21()n f x (n ∈N *)f (x )有意义 1()f x 与[f (x )]0 f (x )≠0 log a f (x )(a ＞0且a ≠1) f (x )＞0 a f (x )(a ＞0且a ≠1)f (x )有意义 tan[f (x )]f (x )≠π2＋k π，k ∈Z四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义4.①若()y f x =的定义域为(),a b ，则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()y f g x =的定义域；②若()()y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域．5.常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域.（2）二次函数（2y ax bx c =++），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）.（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称（2）当,0x y →+∞→ ，当,0x y →-∞→. （4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的系数为1，再去确定a 的值 例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a =② 极值点：,x a x a ==③ 极值点坐标：(,2,,2a a a a --④ 定义域：()(),00,-∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎡-∞-+∞⎣（5）函数：()0ay x a x=-> 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-. 6.函数值域问题处理策略 （1）换元法：① ()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦：此类问题在求值域时可先确定()f x 的范围，再求出函数的范围.② ()()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===：此类函数可利用换元将解析式转为()y f t =的形式，然后求值域即可.③形如y ax b cx d =++（2）均值不等式法：特别注意“一正、二定、三相等”.（3）判别式法：若原函数的定义域不是实数集时，应结合函数的定义域，将扩大的部分剔除.（4）分离常数法:一般地， ① ax by cx d+=+：换元→分离常数→反比例函数模型② 2ax bx c y dx e ++=+：换元→分离常数→ay x x=±模型③ 2dx ey ax bx c+=++：同时除以分子：21y ax bx c dx e=+++→②的模型④ 22ax bx cy dx ex f++=++：分离常数→③的模型（5）单调性性质法：利用函数的单调性（6）导数法：利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域 （7）数形结合法【典型考题解析】热点一 已知函数解析式求定义域【典例1】（广东·高考真题（文））函数f (x )＝11x-＋lg(1＋x )的定义域是（ ）A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)【答案】C 【解析】根据函数解析式建立不等关系即可求出函数定义域. 【详解】 因为f (x )＝11x-＋lg(1＋x )， 所以需满足1010x x -≠⎧⎨+>⎩，解得1x >-且1x ≠，所以函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)， 故选：C【典例2】（山东·高考真题（文））函数21()4ln(1)f x x x =-+( )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]【答案】B 【解析】 【详解】x 满足2101140x x x +>⎧⎪+≠⎨⎪-≥⎩，即1022x x x >-⎧⎪≠⎨⎪-≤≤⎩. 解得－1<x <0或0<x ≤，选B.【典例3】（2019·江苏·高考真题）函数276y x x =+-_____. 【答案】[1,7]-. 【解析】 【分析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤ 解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-.【典例4】（2022·北京·高考真题）函数1()1f x x x=-_________． 【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】 解：因为()11f x x x =-100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠，故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃； 故答案为：()(],00,1-∞⋃ 【总结提升】已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 热点二 求抽象函数的定义域【典例5】（全国·高考真题（理））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)- B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：因为函数()f x 的定义域为(1,0)-，故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可，解得1-1-2x <<，选B ．【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31f x +的定义域为[]1,7，求函数()f x 的定义域． 【答案】[]4,22 【解析】 【分析】根据复合函数定义域的性质进行求解即可. 【详解】因为()31f x +的定义域为[]1,7，所以17x ≤≤，所以43122x ≤+≤．令31x t +=，则422t ≤≤．即()f t 中，[]4,22t ∈． 故()f x 的定义域为[]4,22．【典例7】（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（ ）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦，【答案】D 【解析】 【分析】根据(1)y f x +＝的定义域可知1122x ≤+≤，故21log 22x ≤≤，即可求出答案. 【详解】解：∵函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， ∴112x -≤≤，1122x ≤+≤∴函数2(log )y f x ＝中，21log 22x ≤≤ 24x ≤≤所以函数2(log )y f x ＝的定义域为2，]． 故选：D 【总结提升】(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 热点三 求函数的值域（最值）【典例8】（江西·高考真题（理））若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ） A ．1[,3]2B ．10[2,]3 C ．510[,]23D ．10[3,]3【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设()f x =t,则1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,从而()F x 的值域就是函数11,,32y t t t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的值域，由“勾函数”的图象可知，102()3F x ≤≤，故选B ．【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[]1,2，则下列四个函数①()21y f x =-；①()21y f x =-；①()12f x y -=；①()2log 11y f x =++，其中值域也为[]1,2的函数个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】B 【解析】 【分析】求出①②③④中各函数的值域，即可得出合适的选项. 【详解】对于①，因为()12f x ≤≤，则()[]211,3y f x =-∈，①不满足条件；对于②，对于函数()21y f x =-，21x -∈R ，则函数()21y f x =-的值域为[]1,2，②满足条件；对于③，因为()12f x ≤≤，则()[]1,221f x y -∈=，③满足条件； 对于④，因为()12f x ≤≤，()[]11,2f x +∈，则()[]2log 111,2y f x =++∈，④满足条件. 故选：B.【典例10】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】令1x t -=，()f x 转化为()21sin sin 1g t t t t t =+-+，令()21sin sin h t t t t t=+-，根据奇偶性的定义，可判断()h t 的奇偶性，根据奇偶性，可得()h t 在(][2,0)0,2-⋃最大值与最小值之和为0，分析即可得答案. 【详解】由21()[(1)1]sin(1)11f x x x x =---++- 令1x t -=，因为[1,1)(1,3]x ∈-⋃，所以(][2,0)0,2t ∈-⋃；那么()f x 转化为()21sin sin 1g t t t t t =+-+，(][2,0)0,2t ∈-⋃，令()21sin sin h t t t t t=+-，(][2,0)0,2t ∈-⋃，则()()()()()()2211sin sin sin sin h t t t t t t t h t t t ⎛⎫-=--+--=-+-=- ⎪-⎝⎭，所以()h t 是奇函数可得()h t 的最大值与最小值之和为0， 那么()g t 的最大值与最小值之和为2． 故选：B ．【典例11】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]1.32-=-，[]3.43=，已知()11313x f x =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______． 【答案】{}1,0- 【解析】 【分析】根据指数函数的性质分析()f x 的值域，进而得到()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域即可 【详解】 ∵()11313x f x =-+，()30,x∈+∞， ∴令30x t =>，则()()1112,1333f x g t t ⎛⎫==-∈- ⎪+⎝⎭故函数()()y f x g t ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的值域为{}1,0-， 故答案为：{}1,0-【典例12】（2023·全国·高三专题练习）函数()21f x x x =+-________；函数24y x x =-________．【答案】 2 22,2⎡⎤-⎣⎦【解析】 【分析】()f x 1x t -换元后化为二次函数可得最大值，函数24y x x =-2cos ([0,])x θθπ=∈，然后利用两角和的余弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，再由余弦函数的性质得取值范围． 【详解】(1)1x -t (t ≥0)，所以x =1－t 2.所以y =f (x )=x 1x -－t 2+2t =－t 2+2t +1=－(t －1)2+2.所以当t =1即x =0时，y max =f (x )max =2. (2)由4－x 2≥0，得－2≤x ≤2， 所以设x =2cos θ(θ∈[0，π])，则y =2cos θ244cos θ-θ－2sin θ2()4πθ+，因为5[,]444πππθ+∈， 所以cos ()4πθ+∈2⎡-⎢⎣⎦，所以y ∈[－22]．故答案为：2；[2,2]-．【典例13】（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知函数()211122f x x x =++． (1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程； (2)求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】(1) 7420x y --=； (2)[]2,3． 【解析】 【分析】对于第一小问，把点()()22f ,代入函数解析式，得切点坐标，通过函数求导，得到过切点的切线的斜率，根据直线的点斜式方程，求切线方程．对于第二小问，解不等式()0f x '>，得函数增区间，解不等式()0f x '<，得函数减区间，结合1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，确定函数单调性，求得最值，进而得值域．(1) 因为()211122f x x x =++，所以()21f x x x '=-，所以()23f =，()724f '=， 故所求切线方程为()7324y x -=-，即7420x y --=． (2)由（1）知()()()2322111x x x x f x x x -++-'==，1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦． 令()0f x '>，得12x <≤；令()0f x '<，得112x ≤<．所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,2上单调递增，所以()()min 12f x f ==． 又12128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()23f =，所以()23f x ≤≤，即()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,3．热点四 求参数的值或取值范围【典例14】（2023·全国·高三专题练习）设a R ∈，函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2 B ．[]1,3 C ．[]0,2 D ．[]2,3【答案】A 【解析】 【分析】当1x >时，结合不等式求得其最小值为123a -，当1x ≤时，()()229f x x a a =-+-，根据函数()f x 的最小值为()1f ，列出不等式组，即可求解. 【详解】 当1x >时，22231688883333123x a x a x a a x x x x x+-=++-≥⨯⨯=-， 当且仅当28x x=时，等号成立； 即当1x >时，函数()f x 的最小值为123a -，当1x ≤时，()()222299f x x ax x a a =-+=-+-，要使得函数()f x 的最小值为()1f ，则满足()11102123a f a a ≥⎧⎨=-≤-⎩，解得12a ≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,2. 故选：A.【典例15】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221f x ax x =++R ，则实数a 的取值范围是__． 【答案】[1，+∞） 【解析】 【分析】等价于ax 2+2x +1≥0恒成立，再对a 分类讨论得解. 【详解】解：函数()221f x ax x ++R ， 即为ax 2+2x +1≥0恒成立， 若a ＝0，则2x +1≥0不恒成立； 当a ＞0，∆＝4﹣4a ≤0， 解得a ≥1；当a ＜0，ax 2+2x +1≥0不恒成立． 综上可得，a 的取值范围是[1，+∞）． 故答案为：[1，+∞）．【典例16】（2016·北京·高考真题（理））设函数33,(){2,x x x af x x x a -≤=->. ①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________. 【答案】2 (,1)-∞- 【解析】 【分析】试题分析：如图，作出函数3()3g x x x =-与直线 2y x =-的图象，它们的交点是(1,2),(0,0),(1,2)A O B --，由 2'()33g x x =-，知1x =是函数 ()g x 的极小值点，①当0a =时， 33,0(){2,0x x x f x x x -≤=->，由图象可知()f x 的最大值是 (1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时， ()f x 有最大值(1)2f -=；只有当 1a <-时，332a a a -<-，()f x 无最大值，所以所求 a 的取值范围是(,1)-∞-．【精选精练】1．（2023·全国·高三专题练习）若集合-1|2M x y x ==⎧⎨⎩，{}2|N y y x -==，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M ＝N【答案】B 【解析】 【分析】利用集合间的基本关系来进行运算即可. 【详解】集合M 表示函数21y x =-2x －1>0，解得12x >.集合N 表示函数2y x 的值域，值域为()0,∞+，故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ） A ．y ＝x B ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y x【答案】D 【解析】 【分析】求出函数lg 10x y =的定义域和值域，对选项逐一判断即可. 【详解】因函数lg 10x y =的定义域和值域均为()0,∞+， 对于A ，y x =的定义域和值域均为R ，故A 错误；对于B ，lg y x =的定义域和值域分别为()0,,R +∞，故B 错误； 对于C ，2y x =的定义域和值域均为R ，故C 错误；对于D ，y x=定义域和值域均为()0,∞+，故D 正确； 故选：D ．3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()21f x ax ax =-+R ，则a 的范围是（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．(]0,4 D ．[]0,4【答案】D 【解析】 【分析】分0a =、0a >、0a <讨论即可求解. 【详解】若()f x 的定义域为R ，则当0a =时，()1f x =满足题意；当0a ≠时，20Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得：04a <≤； 当0a <时，无法满足定义域为R ． 综上所述：04a ≤≤，D 正确． 故选：D4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，值域为[]1,2，那么函数()2f x +的定义域和值域分别是（ ）A ．[]0,1，[]1,2B ．[]2,3，[]3,4C ．[]2,1--，[]1,2D ．[]1,2-，[]3,4【答案】C 【解析】 【分析】由[]20,1x +∈可求出函数的定义域，由于()2y f x =+的图象是由()y f x =的图象向左平移2个单位得到，所以其值域不变，从而可得答案 【详解】令[]20,1x +∈得[]2,1x ∈--，即为函数()2y f x =+的定义域， 而将函数()y f x =的图象向左平移2个单位即得()2y f x =+的图象， 故其值域不变． 故选：C ．5．（2022·江西·高三阶段练习（文））函数()s 2π2inxf x x =+在[0,1]上的值域为（ ） A ．[1,2] B ．[1,3] C ．[2,3] D ．[2,4]【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与正弦函数的单调性可得函数()f x 在上单调递增，从而可求()f x 的值域. 【详解】解：易知函数()s 2π2inxf x x =+在[0,1]上单调递增，且(0)1f =，(1)3f =， 所以()f x 在[0,1]上的值域为[1,3]． 故选:B ．6．（2022·全国·高三专题练习）已知(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(﹣∞，﹣1] B ．(﹣1，12)C ．[﹣1，12)D ．(0，1)【答案】C 【解析】 【分析】先求出ln ,1y x x =≥的值域，然后确定(12)3,1y a x a x =-+<的值域所包含的集合，利用一次函数性质可得． 【详解】当x ≥1时，f (x )=ln x ，其值域为[0，+∞)，那么当x <1时，f (x )=(1﹣2a )x +3a 的值域包括(﹣∞，0)， ∴1﹣2a >0，且f (1)=(1﹣2a )+3a ≥0， 解得：12a <，且a ≥﹣1. 故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）函数f （x 2sin 12x π- ）A ．54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) B ．154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )C ．54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) D ．154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得2sin 102x π-≥，然后利用正弦函数的性质求解即可【详解】 由题意，得2sin 102x π-≥，1sin22x π≥， 所以522,Z 626k x k k πππππ≤+≤≤+∈， 解得1544,Z 33k x k k +≤≤+∈，所以函数的定义域为()154,4Z 33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：B8．（2023·山西大同·高三阶段练习）函数6()e 1||1x mxf x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．3 B ．4C ．6D ．与m 值有关【答案】C 【解析】 【分析】利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解. 【详解】由题意可知，()3e 16()3e 1||1e 1||1x x x mx mxf x x x =+=--+++++， 设()()3e 1e 1||1x x mxg x x =--+++，则()g x 的定义域为(),-∞+∞， 所以()()()()()3e 13e 1e 1||1e 1||1x x xx m x mx g x g x x x --⎡⎤-⎢⎥-=-+=--+=-+-+++⎢⎥⎣⎦--， 所以()g x 为奇函数， 所以()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 336f x f x M N g x g x +=+=+++=, 故选：C.9．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()()()()5sin sin ,99f x x x g x f f x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的最大值为（ ）A 2B 3C ．32D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 记9t x π=+，()()33sin 2f x h t t t ==+，由三角函数的性质即可求出()g x 的最大值. 【详解】 记9t x π=+，则()()33sin sin sin 32f x h t t t t t π⎛⎫==++= ⎪⎝⎭， 所以()3sin 3,36h t t π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭， 33π>，所以()()f f x 3故选：B.10．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（ ） A ．1ππ B ．22ππC ．-1D ．0【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到()f x 为偶函数，由0x ≥时，()12cos f x x x x =+-，利用导数求得函数的的单调区间，进而求得函数的最小值. 【详解】由题意，函数()12cos f x x x x =+-的定义域为R ，关于原点对称，且满足()()()1122cos cos f x x x x x x x f x -=-+---=+-=，所以()f x 为偶函数，当0x ≥时，()12cos f x x x x =+-， 可得()1sin 11022f x x xx=≥'+>，()f x 在单调递增，又由()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0∞-单调递减，[)0,∞+单调递增， 所以()()min 01f x f ==-. 故选：C. 二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数122()log (2)log (4)f x x x =--+，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域是[4,2]-B ．函数(1)=-y f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[1,2)-上是减函数D ．函数()f x 的图象关于直线1x =-对称 【答案】BD 【解析】 【分析】求出函数定义域为(4,2)-，A 选项错误；利用定义证明函数(1)=-y f x 是偶函数，B 选项正确；函数()f x 在区间[)1,2-上是增函数，故C 选项错误；可以证明f (x )的图象关于直线1x =-对称，故D 选项正确. 【详解】解：函数()()()()()1222log 2log 4log 24f x x x x x ⎡⎤=--+=--+⎣⎦， 由20,40x x ->+>可得42x -<<，故函数定义域为(4,2)-，A 选项错误；()()()21log 33y f x x x ⎡⎤=-=--+⎣⎦的定义域为()3,3-，设()()()2log 33,g x x x ⎡⎤=--+⎣⎦所以()()()()2log 33,g x x x g x ⎡⎤-=-+-+=⎣⎦即()1y f x =-是偶函数，B 选项正确；()()()()222log 24log 28f x x x x x ⎡⎤=--+=---+⎣⎦()22log 19x ⎡⎤=--++⎣⎦()212log 19x ⎡⎤=-++⎣⎦，当[)1,2x ∈-时，()219t x =-++是减函数，外层12log y t =也是减函数，所以函数()f x 在区间[)1,2-上是增函数，故C 选项错误；由()()()()22log 42=f x x x f x ⎡⎤--=-+-⎣⎦，可得f (x )的图象关于直线1x =-对称，故D 选项正确. 故选：BD 三、双空题12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln ,1e 2,1xx b x f x x +>⎧=⎨-≤⎩,若(e)3(0)f f =-，则b =_____，函数()f x 的值域为____． 【答案】 2 (][)2,e 22,--+∞【解析】【分析】根据(e)3(0)f f =-可解得b 的值，代入分段函数，结合对数函数及指数函数的值域求解分段函数的值域即可. 【详解】由(e)3(0)f f =-得13(1)b +=-⨯-，即2b =，即函数()ln 2,1e 2,1xx x f x x +>⎧=⎨-≤⎩, 当1x >时，ln 22y x =+>；当1x ≤时，(]e 22,e 2xy =-∈--．故函数()f x 的值域为(][)2,e 22,--+∞．故答案为：2；(][)2,e 22,--+∞.13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()121x f x a =+-为奇函数，则实数a ＝__，函数f （x ）在[1，3]上的值域为__． 【答案】 1293,142⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由()f x 是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数可得f （﹣x ）＝﹣f （x ），代入可求出实数a ；再判断数f （x ）在[1，3]上单调性，即可求出答案. 【详解】解：∵f （x ）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是奇函数， ∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 即121x -+-a121x =---a ， 即212xx+-a 121x=---a ， 则2a 121221121212x x xx x x=--=-=----1， 则a 12=， 则f （x ）11212x =+-在[1，3]为减函数， 则f （3）≤f （x ）≤f （1）， 即914≤f （x ）32≤， 即函数的值域为[914，32]，故答案为：12；[914，32] 四、填空题14．（2022·全国·高三专题练习）函数()02lg 2112x y x x x -=++-的定义域是________．【答案】(3,1)(1,2)--⋃- 【解析】 【分析】要使该函数表达式有意义，只需20x ->，2120x x +->，10x +≠同时成立，解不等式即可求出结果． 【详解】 函数()02lg 2112x y x x x -=++-的解析式有意义，由22012010x x x x ->⎧⎪+->⎨⎪+≠⎩，即2341x x x <⎧⎪-<<⎨⎪≠-⎩，所以31x -<<-或12x -<<， 故该函数的定义域为(3,1)(1,2)--⋃-． 故答案为：(3,1)(1,2)--⋃-15．（2022·上海闵行·二模）已知函数()()41log 42x f x m x =+-的定义域为R ，且对任意实数a ，都满足()()f a f a ≥-，则实数m =___________；【答案】1 【解析】 【分析】根据条件得到()()f a f a =-，即()()41log 42xf x m x =+-为偶函数，根据()()f x f x -=列出方程，求出实数m 的值. 【详解】因为()()41log 42xf x m x =+-的定义域为R ，所以40x m +>恒成立， 故0m ≥，又因为对任意实数a ，都满足()()f a f a ≥-， 则对于实数a -，都满足()()f a f a -≥， 所以()()f a f a =-，所以()()41log 42x f x m x =+-为偶函数， 从而()()4411log 4log 422x x m x m x -++=+-， 化简得：()()4110x m --=，要想对任意x ，上式均成立，则10m -=，解得：1m =故答案为：116.（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，()1a f x x x=++．若函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，则实数a 的值为________．【答案】3【解析】【分析】根据已知条件及奇函数的定义求出当0x <时函数的解析式，再利用函数的单调性对a 进行分类讨论，确定单调性即可求解.【详解】由题意可知，因为0x >，所以0x -<， 所以()1a f x x x -=--+， 因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()1a f x f x x x=--=+-. 因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3当0a ≤时，由函数的性质知，函数()f x 在[)3,+∞上单调递增；当3x =时，()f x 取得最小值为(3)23a f =+， 因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，所以233a +=，解得3a =（舍）， 当09a <≤时，由函数的性质知，函数()f x 在[)3,+∞上单调递增；当3x =时，()f x 取得最小值为(3)23a f =+， 因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，所以233a +=，解得3a =， 当9a >时，由对勾函数的性质知，函数()f x 在),a ⎡+∞⎣上单调递增；在(a 上单调递减； 当x a =()f x 取得最小值为(11f a a a a ==，因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，所以213a =，解得1a =（舍）， 综上，实数a 的值为3.故答案为：3.17．（2022·北京·清华附中模拟预测）已知函数()()2ln ,1,1x a x f x x a x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，下列说法正确的是___________.①当0a ≥时，()f x 的值域为[0,)+∞；②a ∀∈R ，()f x 有最小值；③R a ∃∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增：④若方程1f x有唯一解，则a 的取值范围是(,2)-∞-.【答案】①②【解析】【分析】由分段函数解析式，讨论参数a ，结合二次函数、对数函数的性质研究()f x 的单调性、最值及对应值域，利用函数()f x 与1y =的交点情况判断参数范围.【详解】由2()y x a =+的对称轴x a =-，当1a >-时，则1x a =-<，且(,)a -∞-上递减，(,1)a -上递增，值域为[0,)+∞， 当1a =-时，则(,1)-∞上递减，值域为[0,)+∞，当1a <-时，则1x a =->，(,1)-∞上递减，值域为2((1),)a ++∞，对于ln y x a =+在[1,)+∞上递增，且值域为[,)a +∞，综上，0a ≥时()f x 的值域为[0,)+∞，①正确；当0a ≥时()f x 最小值为0，当0a <时()f x 最小值为a ，②正确；由211|(1)|ln1x x y a y a a ===+>=+=恒成立，故在(0,)+∞上不可能递增，③错误； 要使1f x 有唯一解，当1a <-时，在[1,)+∞上必有一个解，此时只需2(1)1a +≥，即2a ≤-；当1a =-时，在R 上有两个解，不合题设；当1a >-时，在(,)a -∞-上必有一个解，此时()211{1a a +≤>，无解.所以④错误.故答案为：①② 18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）()221mx m x m =--+-的值域是[0，+∞），则实数m 的取值范围是__． 【答案】230⎡⎢⎣⎦， 【解析】【分析】将m 分为000m m m =><，， 三种情况讨论：当0m =时，()210f x x - 满足条件；当0m <时，由二次函数知开口向下，不满足条件；当0m >时，只需二次函数的0∆≥即可，解出m 的取值范围，综上得m 的取值范围.【详解】解：当0m =时，()()22121f x mx m x m x =--+--[0，+∞），满足条件；令()()221g x mx m x m =--+- ，()()0g x ≥当m ＜0时，()g x 的图象开口向下，故f （x ）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；当m ＞0时，()g x 的图象开口向上，只需()2210mx m x m --+-=的0∆≥，即（m ﹣2）2﹣4m （m ﹣1）≥0， ∴2323m ≤≤，又0m > ，所以230m <≤ 综上，230m ≤≤∴实数m 的取值范围是：230⎡⎢⎣⎦，， 故答案为：230⎡⎢⎣⎦，.。
函数定义、表示、定义域、值域
一、函数概念及其定义域
函数的概念：设是 非空数集，如果按某个确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为集合 到集合 的函数，记作： 。其中 叫自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域；与 的值相对应的 的值叫做函数值.
注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
∴y＝ ，y∈（0，＋∞），∴此时x∈（1，＋∞），
∴log81x＝ ，x＝81 ＝3。
变式题：（2006山东文2）设 （）
A．0B．1C．2 D．3
解：选项为C。
例2．（2006安徽文理15）
（1）函数 对于任意实数 满足条件 ，若 则 __________；
（2）函数 对于任意实数 满足条件 ，若 则 __________。
⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域；
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
题型1：函数概念
例1．（1）设函数
（2）设函数f（x）＝ ，则满足f（x）= 的x值为。
解：（1）这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换，
函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等=
=
（2）当x∈（－∞，1 ，值域应为［ ，＋∞］，
当x∈（1，＋∞）时值域应为（0，＋∞），
解：（1）（配方法） ，
∴ 的值域为 。
改题：求函数 ， 的值域。
解：（利用函数的单调性）函数 在 上单调增，
∴当 时，原函数有最小值为 ；当 时，原函数有最大值为 。
关于定义域的知识点
关于定义域的知识点随着我们学习数学的深入，有关于定义域的知识点就会不可避免地出现在课程中。
定义域是什么？为什么它在数学中如此重要？在本文中，我将带你深入理解定义域的概念及其实际应用。
一、定义域的基本概念在数学中，函数是一种非常基础和重要的概念。
而定义域则是函数的一个部分，它告诉我们函数可以接受的输入值的范围。
简单来说，定义域是一个函数的“有效输入”的集合。
它表示所有可以传递到函数中的有效参数类型。
让我们来看一些例子。
1. 如果有一个函数 $f(x) = \frac{1}{x}$，那么定义域就是所有非零实数。
因为当 $x$ 为零时，函数没有意义。
2. 如果有一个函数 $g(x) = \sqrt{x-3}$，那么它的定义域是所有大于或等于3的实数，因为对于 $x$ 小于3的数，函数的值就没有定义。
所以说，定义域决定了一个函数的使用范围和有效性。
如果我们试图将超出定义域的数值输入到函数中，就会得到无法解释的结果或错误。
因此，在研究一个函数的性质时，定义域是必须要了解的。
二、为什么定义域那么重要虽然定义域在数学中显得十分基础，但它的实际应用却十分广泛。
在工程学、科学、经济学等领域，定义域都扮演着非常重要的角色。
让我们来看几个例子。
1. 在工程学中，一个重要的问题是对某些现象进行建模。
例如，工程师在设计一架飞机时，需要使用函数来描述飞机高度和速度之间的关系。
但函数的一个必要前提是，它必须定义在我们所感兴趣的范围内。
如果我们试图将负高度（地下）输入到函数中，我们将得到一个完全没有意义的结果。
2. 在经济学中，一个企业会使用收入和成本之间的函数来管理其运营。
这里定义域是业务模型的一个重要组成部分，它告诉我们生产成本不可能为负数。
通过了解定义域，企业可以更好地了解其经营状况，并制定更好的策略。
3. 在科学中，天文学家使用函数来描述天体之间的运动。
同样的，定义域是天体质量和距离之间的限制。
如果这些限制被突破了，就会导致科学研究的错误或失误。
函数的定义域、值域及解析式
§2.2 函数的定义域、值域及解析式知识点： 1． 函数的定义域(1)函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围． (2)求定义域的步骤①写出使函数式有意义的不等式(组)； ②解不等式组；③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) (3)常见基本初等函数的定义域 ①分式函数中分母不等于零．②偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③一次函数、二次函数的定义域为R .④y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R . ⑤y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .⑥函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}． 2． 函数的值域(1)在函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值相对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域．(2)基本初等函数的值域 ①y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .②y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎣⎡⎭⎫4ac －b24a ，＋∞；当a <0时，值域为⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a .③y ＝kx (k ≠0)的值域是{y |y ∈R 且y ≠0}．④y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . ⑥y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]． ⑦y ＝tan x 的值域是R . 3． 函数解析式的求法(1)换元法；(2)待定系数法；(3)消去法：若所给解析式中含有f (x )、f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (x )、f (－x )等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f (x )．(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式． [难点]1． 函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立定义域优先的意识．2． (1)如果函数f (x )的定义域为A ，则f (g (x ))的定义域是使函数g (x )∈A 的x 的取值范围．(2)如果f (g (x ))的定义域为A ，则函数f (x )的定义域是函数g (x )的值域． (3)f [g (x )]与f [h (x )]联系的纽带是g (x )与h (x )的值域相同． 自测：1． (2012·山东改编)函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为____________．答案 (－1,0)∪(0,2] 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0得－1<x ≤2，且x ≠0.2． 设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )＝________.答案 2x ＋7解析 由g (x )＝2x ＋3，知f (x )＝g (x ＋2)＝2(x ＋2)＋3＝2x ＋7.3． 若f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，则可写出满足条件的一个函数解析式f (x )＝2x .类比可以得到：若定义在R 上的函数g (x )，满足(1)g (x 1＋x 2)＝g (x 1)g (x 2)；(2)g (1)＝3；(3)∀x 1<x 2，g (x 1)<g (x 2)，则可以写出满足以上性质的一个函数解析式为__________． 答案 g (x )＝3x解析 由①知g (x )应该是指数函数模型，结合②③知g (x )＝3x .抽象离不开具体，对于一些常见的恒等式，其对应的函数模型应该熟悉．如：一、指数函数模型，对应的性质为：f (m ＋n )＝f (m )·f (n )或f (m －n )＝f (m )f (n )；二、对数函数型，对应的性质为：f (mn )＝f (m )＋f (n )或f (mn )＝f (m )－f (n )；三、正比例函数模型，对应的性质为：f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )；四、余弦函数型，对应的性质为：f (m ＋n )＋f (m －n )＝2f (m )f (n )． 4．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为___________________．答案 (0，＋∞)解析 由3x >0知3x ＋1>1.又f (x )在(0，＋∞)为增函数且f (1)＝0， ∴f (x )＝log 2(3x ＋1)>0.5． 已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1＋x21－x 2，则f (x )＝__________.答案 x 2＋1x 2－1(x ≠0)解析 令1x ＝t ，则x ＝1t 且t ≠0，∴f (t )＝1＋⎝⎛⎭⎫1t 21－⎝⎛⎭⎫1t 2＝t 2＋1t 2－1，即f (x )＝x 2＋1x 2－1(x ≠0).题型一 求函数的定义域 例1 (1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为______________．(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是____________．思维启迪：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；抽象函数的定义域要注意自变量的取值和各个字母的位置． 答案 (1)(－1,1) (2)[0,1)解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0－x 2－3x ＋4>0，得－1<x <1.(2)依已知有⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解之得0≤x <1，定义域为[0,1)．探究提高 (1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．(2)已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．(1)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________．答案 ⎣⎡⎭⎫0，34解析 f (x )的定义域为R ，即mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立． ①当m ＝0时，符合条件．②当m ≠0时，Δ＝(4m )2－4×m ×3<0， 即m (4m －3)<0，∴0<m <34.综上所述，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，34. (2)已知f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是__________． 答案 [1,3]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤4，0≤x －1≤4得1≤x ≤3.故f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[1,3]． 题型二 求函数的值域 例2 求下列函数的值域：(1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝x －3x ＋1；(3)y ＝x －1－2x ； (4)y ＝log 3x ＋log x 3－1.思维启迪：根据各个函数解析式的特点，考虑用不同的方法求解．(1)配方法；(2)分离常数法；(3)换元法或单调性法；(4)基本不等式法． 解 (1)(配方法) y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数，∴0≤y ≤15， 即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． (2)(分离常数法)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1. 因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1，即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}． (3)方法一 (换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12.方法二 (单调性法)容易判断函数y ＝f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以y ≤f ⎝⎛⎭⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12.(4)(基本不等式法)函数定义域为{x |x ∈R ，x >0，且x ≠1}． 当x >1时，log 3x >0， 于是y ＝log 3x ＋1log 3x－1≥2log 3x ·1log 3x－1＝1；当0<x <1时，log 3x <0，于是 y ＝log 3x ＋1log 3x －1＝－⎣⎡⎦⎤(－log 3x )＋⎝⎛⎭⎫1－log 3x －1 ≤－2－1＝－3.故函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．探究提高 (1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解．求下列函数的值域：(1)y ＝x 2－xx 2－x ＋1； (2)y ＝2x －1－13－4x .解 (1)方法一 (配方法) ∵y ＝1－1x 2－x ＋1，又x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34， ∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y <1.∴函数的值域为⎣⎡⎭⎫－13，1. 方法二 (判别式法) 由y ＝x 2－xx 2－x ＋1，x ∈R ，得(y －1)x 2＋(1－y )x ＋y ＝0. ∵y ＝1时，x ∈∅，∴y ≠1.又∵x ∈R ，∴Δ＝(1－y )2－4y (y －1)≥0， 解得－13≤y ≤1.综上得－13≤y <1.∴函数的值域为⎣⎡⎭⎫－13，1. (2)方法一 (换元法)设13－4x ＝t ，则t ≥0，x ＝13－t 24，于是f (x )＝g (t )＝2·13－t 24－1－t＝－12t 2－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6，显然函数g (t )在[0，＋∞)上是单调递减函数， 所以g (t )≤g (0)＝112，因此原函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，112. 方法二 (单调性法) 函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤134，当自变量x 增大时，2x －1增大，13－4x 减小， 所以2x －1－13－4x 增大，因此函数f (x )＝2x －1－13－4x 在其定义域上是一个单调递增函数， 所以当x ＝134时，函数取得最大值f ⎝⎛⎭⎫134＝112， 故原函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，112. 题型三 求函数的解析式例3 (1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式；(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式． 思维启迪：求函数的解析式，要在理解函数概念的基础上，寻求变量之间的关系． 解 (1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1. (3)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．探究提高 函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)消去法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．给出下列两个条件： (1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式． 解 (1)令t ＝x ＋1，∴t ≥1，x ＝(t －1)2. 则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1 (x ≥1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝c ＝3. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝44a ＋2b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋3.函数问题首先要考虑定义域典例：(14分)已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，试求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域．审题视角 (1)f (x )的定义域；(2)y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域与f (x )的定义域不同；(3)如何求y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域．规范解答解∵f(x)＝2＋log3x的定义域为[1,9]，要使[f(x)]2＋f(x2)有意义，必有1≤x≤9且1≤x2≤9，∴1≤x≤3，[4分]∴y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,3]．又y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝(log3x＋3)2－3.[8分]∵x∈[1,3]，∴log3x∈[0,1]，∴y max＝(1＋3)2－3＝13，y min＝(0＋3)2－3＝6.[12分]∴函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域为[6,13]．[14分]温馨提醒(1)本题考查了函数的定义域、值域的概念及求法，是函数的重点知识．(2)本题易错原因是忽略对定义域的研究，致使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的讨论范围扩大．(3)解答有关函数的问题要规范，研究函数问题，首先研究其定义域，这是解答的规范，也是思维的规范.方法与技巧1．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或不等式(组)；对于含有字母参数的函数定义域，应注意对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义．2．函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化范围．利用函数几何意义，数形结合可求某些函数的值域．3．函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数可借助函数的最值求值域，利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“＝”成立的条件．失误与防范1．求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．特别要重视实际问题中的最值的求法．2．对于定义域、值域的应用问题，首先要用“定义域优先”的原则，同时结合不等式的性质.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分) 1． 若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－12，0 解析 要使f (x )有意义，需log 12(2x ＋1)>0＝log 121，∴0<2x ＋1<1，∴－12<x <0.2． (2012·福建改编)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为________． 答案 0解析 根据题设条件，∵π是无理数，∴g (π)＝0， ∴f (g (π))＝f (0)＝0.3． 已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________.答案 6解析 由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋p ＋q ＝022＋2p ＋q ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3q ＝2，∴f (x )＝x 2－3x ＋2. ∴f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6.4． 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为____________． 答案 f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1)解析 令t ＝1－x 1＋x (t ≠－1)，由此得x ＝1－t 1＋t ，所以f (t )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t1＋t 2，从而f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1)． 5． 若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．答案 [－1,0]解析 由题意知2x 2＋2ax －a －1≥0恒成立． ∴x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0.6． 若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是__________．答案 ⎣⎡⎦⎤12，2解析 由－1≤log 2x ≤1得log 212≤log 2x ≤log 22，由y ＝log 2x 在(0，＋∞)上递增，得12≤x ≤2.7． 若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是__________．答案 [－5，－1]解析 ∵1≤f (x )≤3，∴1≤f (x ＋3)≤3， ∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2，∴－5≤F (x )≤－1. 二、解答题(共27分)8． (13分)记f (x )＝lg(2x －3)的定义域为集合M ，函数g (x )＝1－2x －1的定义域为集合N ，求：(1)集合M 、N ；(2)集合M ∩N ，M ∪N . 解 (1)M ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1－2x －1≥0＝{x |x ≥3或x <1}；(2)M ∩N ＝{x |x ≥3}，M ∪N ＝{x |x <1或x >32}．9． (14分)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x 2－2)的值域． 解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1.∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝12b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x . (2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2) ＝12(x 4－3x 2＋2)＝12⎝⎛⎭⎫x 2－322－18， 当x 2＝32时，y 取最小值－18. ∴函数y ＝f (x 2－2)的值域为⎣⎡⎭⎫－18，＋∞. B 组 专项能力提升(时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1． (2012·江苏)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．答案 (0，6]解析 要使函数f (x )＝1－2log 6x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－2log 6x ≥0. 解得0<x ≤ 6.2． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1，g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则g (x )的值域是____________．答案 [0，＋∞)解析 f (x )的图象如图．g (x )是二次函数，且f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，∴g (x )的值域是[0，＋∞)．3． 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x >2，x ＋a 2，x ≤2，若f (x )的值域为R ，则常数a 的取 值范围是______________．答案 a ≥2或a ≤－1解析 易知两段函数都是增函数，当x >2时，y >4＋a ；当x ≤2时，y ≤2＋a 2，要使f (x )的值域为R ，则4＋a ≤2＋a 2，解得a ≥2或a ≤－1.4． 已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________. 答案 11解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)＝32＋2＝11.5． 设函数g (x )＝x 2－2 (x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g (x )＋x ＋4，x <g (x )g (x )－x ， x ≥g (x )， 则f (x )的值域是________________．答案 ⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞) 解析 由x <g (x )可得x <－1或x >2，由x ≥g (x )可得－1≤x ≤2；∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2， x <－1或x >2，x 2－x －2， －1≤x ≤2. 由f (x )的图象可得：当x <－1或x >2时，f (x )>f (－1)＝2，当－1≤x ≤2时，f ⎝⎛⎭⎫12≤f (x )≤f (2)，即－94≤f (x )≤0，∴f (x )值域为⎣⎡⎭⎫－94，0∪(2，＋∞)． 6． 设x ≥2，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________． 答案 283解析 y ＝[(x ＋1)＋4][(x ＋1)＋1]x ＋1，设x ＋1＝t ，则t ≥3，那么y ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5，在 区间[2，＋∞)上此函数为增函数，所以t ＝3时，函数取得最小值即y min ＝283. 二、解答题(共28分)7． (14分)已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6 (a ∈R )．(1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数的值域为非负数，求函数g (a )＝2－a |a ＋3|的值域．解 (1)∵函数的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0，∴2a 2－a －3＝0，∴a ＝－1或a ＝32. (2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负，∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝8(2a 2－a －3)≤0.∴－1≤a ≤32.∴a ＋3>0， ∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174 ⎝⎛⎭⎫a ∈⎣⎡⎦⎤－1，32. ∵二次函数g (a )在⎣⎡⎦⎤－1，32上单调递减， ∴g ⎝⎛⎭⎫32≤g (a )≤g (－1)．即－194≤g (a )≤4. ∴g (a )的值域为⎣⎡⎦⎤－194，4. 8． (14分)已知定义在[0,6]上的连续函数f (x )，在[0,3]上为正比例函数，在[3,6]上为二次函数，并且当x ∈[3,6]时，f (x )≤f (5)＝3，f (6)＝2，求f (x )的解析式．解 由题意，当x ∈[3,6]时，可设f (x )＝a (x －5)2＋3 (a <0)．∵f (6)＝2，∴a (6－5)2＋3＝2，解得a ＝－1，∴f (x )＝－(x －5)2＋3＝－x 2＋10x －22.当x ∈[0,3]时，设f (x )＝kx (k ≠0)．∵x ＝3时，f (x )＝－(3－5)2＋3＝－1，∴－1＝3k ，k ＝－13，∴f (x )＝－13x . 故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －13x (0≤x <3)，－x 2＋10x －22 (3≤x ≤6).。
函数的概念(定义域,值域,解析式)
讲解新课：一．函数定义及函数三要素1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作：y=f(x)，x∈A。
其中，x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。
（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。
3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。
数学函数的定义域知识点题目答案
专题一 函数的定义域1．函数的概念一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A ．2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．3．复合函数一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))，其中y ＝f (u )叫做复合函数y ＝f (g (x ))的外层函数，u ＝g (x )叫做y ＝f (g (x ))的内层函数．考点一 求给定解析式的函数的定义域 【方法总结】常见函数定义域的类型【例题选讲】[例1] (1)函数y ＝ln(1－x )x ＋1＋1x的定义域是( )A ．[－1，0)∪(0，1)B ．[－1，0)∪(0，1]C ．(－1，0)∪(0，1]D ．(－1，0)∪(0，1) 答案 D 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1．所以原函数的定义域为(－1，0)∪(0，1)．(2) 函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg(x ＋1)的定义域为( )A ．(－1，3]B ．(－1，0)∪(0，3]C ．[－1，3]D ．[－1，0)∪(0，3]答案 B 解析 要使函数有意义，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]．(3) y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2，0)∪(1，2) B ．(－2，0]∪(1，2) C ．(－2，0)∪[1，2) D ．[－2，0]∪[1，2]答案 C 解析 要使函数有意义，必须⎩⎨⎧x －12x≥0，x ≠0，4－x 2>0，所以x ∈(－2，0)∪[1，2)．(4) 函数f (x )＝2－2x ＋1log 3x的定义域为( )A ．{x |x <1}B ．{x |0<x <1}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x >1}答案 B 解析 要使函数有意义，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ≥0，x >0，log 3x ≠0，∴0<x <1．(5) 函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．答案 (0，2] 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0，2]．【对点训练】 1．下列函数中，与函数y 的定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx1．答案D 解析 函数y 的定义域为{x |x ≠0}；y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z}；y ＝ln xx的定义 域为{x |x >0}；y ＝x e x 的定义域为R ；y ＝sin xx 的定义域为{x |x ≠0}．故选D ．2．函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是( )A ．(2，3)B ．(2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(2，3)∪(3，＋∞)2．答案 D 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －4>0，x －3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)． 3．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0，2) B ．(2，＋∞) C ．[0，2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)3．答案 C 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2．4．函数f (x )＝10＋9x －x 2lg(x －1)的定义域为( )A ．[1，10]B ．[1，2)∪(2，10]C ．(1，10]D ．(1，2)∪(2，10]4．答案 D解析 要使函数f (x )有意义，则x 须满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1>0，lg(x －1)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －10)≤0，x >1，x ≠2，解得1<x ≤10，且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1，2)∪(2，10]． 5．函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 5．答案 (0，1] 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1．所以该函数的定义域为(0，1]．考点二 求抽象函数的定义域 【方法总结】求抽象函数定义域的方法【例题选讲】[例2] (1) 已知函数f (x )的定义域为(－1，0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，1) B ．⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1，0) D ．⎝⎛⎭⎫12，1 答案 B 解析 令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1，0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0，得－1<x <－12．(2) 已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f (x －1)的定义域为( )A ．(－2，0)B ．(－2，2)C ．(0，2)D ．⎝⎛⎭⎫－12，0 答案 C 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2，∴0<x <2，∴函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f (x －1)的定义域为(0，2)．(3) 已知函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )＋8－2x 的定义域为( ) A ．[0，1] B ．[0，2] C ．[1，2] D ．[1，3]答案 A 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，8－2x≥0，解得0≤x ≤1．故选A ．(4) 已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．答案 [－1，2] 解析 因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3 ]，x 2－1∈[－1，2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．(5) 若函数y ＝f (2x )的定义域为⎣⎡⎦⎤12，2，则y ＝f (log 2x )的定义域为________．答案 16] 解析 由题意可得x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，则2x ∈[2，4]，log 2x ∈[2，4]，解得x ∈，16]，即y ＝f (log 2x )的定义域为16]．【对点训练】6．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，则函数f (3x －2)的定义域为( )A ．⎣⎡⎦⎤13，53B ．⎣⎡⎦⎤－1，53C ．[－3，1]D ．⎣⎡⎦⎤13，1 6．答案 A 解析 由－x 2＋2x ＋3≥0，解得－1≤x ≤3，即f (x )的定义域为[－1，3]．由－1≤3x －2≤3，解得13≤x ≤53，则函数f (3x －2)的定义域为⎣⎡⎦⎤13，53，故选A ． 7．设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( )A ．(－9，＋∞)B ．(－9，1)C ．[－9，＋∞)D ．[－9，1)7．答案 B 解析 f [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg[1－lg(1－x )]，其定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg(1－x )>0的解集，解得－9<x<1，所以f [f (x )]的定义域为(－9，1)．故选B ．8．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0，1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．[1，2]B ．(－1，1]C ．⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1，0) 8．答案 D 解析 由f (2x －1)的定义域是[0，1]，得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1，∴f (x )的定义域是[－1，1]，∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0．9．若函数f (x ＋1)的定义域为[0，1]，则f (2x －2)的定义域为( )A ．[0，1]B ．[log 23，2]C ．[1，log 23]D ．[1，2]9．答案 B 解析 ∵f (x ＋1)的定义域为[0，1]，即0≤x ≤1，∴1≤x ＋1≤2．∵f (x ＋1)与f (2x －2)是同一个对 应关系f ，∴2x －2与x ＋1的取值范围相同，即1≤2x －2≤2，也就是3≤2x ≤4，解得log 23≤x ≤2．∴函数f (2x －2)的定义域为[log 23，2]． 考点三 已知函数定义域求参数 【方法总结】解决已知定义域求参数问题的思路方法【例题选讲】[例3] (1) 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为_________． 答案 [－2，2] 解析 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[－2，2]．(2) 若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( ) A ．[0，4) B ．(0，4) C ．[4，＋∞) D ．[0，4]答案 D 解析 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立．当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4．综上可得：0≤m ≤4． (3) 若函数f (x )R ，则a 的取值范围为________．答案 [－1，0] 解析 因为函数f (x )的定义域为R ，所以22+2-x ax a－1≥0对x ∈R 恒成立，即22+2-x ax a≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0．(4) 若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤0，34B ．⎝⎛⎭⎫0，34C ．⎣⎡⎦⎤0，34D ．⎣⎡⎭⎫0，34 答案 D 解析 ∵函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，∴mx 2＋4mx ＋3≠0，∴m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝16m 2－12m <0，即m ＝0或0<m <34，∴实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，34． 【对点训练】10．函数y ＝ln(x 2－x －m )的定义域为R ，则m 的范围是________．10．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－14 解析 由条件知，x 2－x －m >0对x ∈R 恒成立，即Δ＝1＋4m <0，∴m <－14． 11．若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 11．答案 －92解析 函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝ba，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92．12．若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．12．答案 [0，3) 解析 因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数u ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点．当a ＝0时，函数u ＝3的图象与x 轴无交点；当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a ＜0，解得0＜a ＜3．综上所述，a 的取值范围是[0，3)．。
函数的定义域和概念的区别
函数的定义域和概念的区别函数的定义域和概念是数学中两个基本概念，它们在数学分析、微积分、代数等领域有着重要的应用和意义。
在理解这两个概念之前，我们先来了解一下函数的定义。
函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了两个集合之间的一种对应关系。
具体来说，如果有两个集合X和Y，那么一个从X到Y的函数f可以看作是一个规则或映射，它将X中的每一个元素x都映射到Y中唯一的一个元素y上，这个过程可以表示为f(x) = y。
在这里，x称为自变量，y称为因变量。
函数f将自变量x映射到因变量y的过程可以用图像、表格、公式等形式进行表示。
函数的定义域和值域是函数的两个重要特征，接下来我们来详细介绍一下函数的定义域和概念。
函数的定义域指的是自变量的取值范围，它是指函数中所有可能的自变量的取值所构成的集合。
在数学表示上，可以表示为D(f)={x x∈X}，其中f表示函数，D(f)表示函数的定义域，表示“属于”的意思，X表示自变量的集合。
换句话说，函数的定义域就是所有符合函数定义的自变量的取值所组成的集合，如果自变量超出了这个范围，函数就没有定义。
因此，函数的定义域是函数是否有意义的一个重要指标，它决定了函数能够接受的输入值范围。
函数的值域是函数中所有可能的因变量的取值所构成的集合，它表示了函数能够输出的所有可能的值。
在数学表示上，可以表示为R(f)={y y=f(x),x∈D(f)}，其中f表示函数，R(f)表示函数的值域，表示“属于”的意思，y表示因变量的取值，f(x)表示函数关于自变量的表达式，D(f)表示函数的定义域。
换句话说，函数的值域是函数中所有可能的因变量的取值所构成的集合，它反映了函数的输出范围。
函数的定义域和值域对于理解函数的性质、图像和应用都非常重要。
在实际问题中，通过分析函数的定义域和值域，我们可以得到函数的取值范围和输出范围，从而更好地理解函数的行为和特性。
例如，对于一些数学模型和实际问题，通过分析函数的定义域和值域，我们可以得到函数的最大值、最小值、增减性、单调性等性质，这对于问题的求解和优化有着重要的意义。
函数的概念及其定义域
2．1函数概念学习目标 1.理解函数的概念.2.了解构成函数的三要素.3.正确使用函数、区间符号．知识点一函数的概念思考初中时用运动变化的观点定义函数，用这种观点能否判断只有一个点(0,1)，算不算是函数图像？答案因为只有一个点，用运动变化的观点判断就显得牵强，因此有必要引入用集合和对应关系来定义函数的概念．梳理函数的概念：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B 中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝f(x)，x∈A.其中，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数．用函数的上述定义可以轻松判断：A＝{0}，B＝{1}，f：0→1，满足函数定义，其图像(0,1)自然是函数图像．知识点二函数三要素思考函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？答案两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系“平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．梳理一般地，函数有三个要素：定义域、对应关系与值域．其中，定义域和对应关系起决定作用，只要确定了一个函数的定义域和对应关系，这个函数也就确定，值域也随之确定．两点说明：(1)在没有标明函数定义域的情况下，定义域是使函数解析式有意义的x的取值范围．在实际问题中，除了要使函数式有意义，还要符合实际意义．(2)f(a)表示自变量x＝a时对应的函数值．知识点三区间1．区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：2.注意：(1)“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号．(2)区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大． 知识点三 复合函数及其定义域函数的形成过程就是从定义域中拿出一个元素，经过法则搅动一下．这相当于对于原材料，经过一个加工厂加工一下，得到一个产品，即函数值．但有些时候，一个产品需要经过不止一个加工厂，得到一个最终产品．如下：CBA把A C →叫做f 和g 的一个复合．()2f x x =+， 2()g x x =，x 先被f 作用，再被g 作用，记为2[()](2)g f x x =+．这样就可以拿一些简单的函数生成一些复杂的函数．注意[()]g f x 与[()]f g x 不是同一个函数，如上面例题中，2[()]2f g x x =+．再比如你爸爸的妈妈和妈妈的爸爸不可能是同一个人．但有时，[()]f g x 与[()]g f x 是相同的，如()1()2f x x g x x =+=+，． 梳理 复合函数的概念：如果y 是u 的函数，记作()y f u =，u 是x 的函数，记为()u g x =，且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数[()]y f g x =，这时y 叫做x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，()y f u =叫做外层函数，叫做内层函数．⑴ 只有当外层函数()f u 的定义域与内层函数()g x 的值域的交集非空时才能构成复合函数[()]f g x ．⑵ 理解函数符号()f x ，及[()]f g x 与[()]g f x 的区别．⑶ 复合函数的定义域是由外层函数的定义域、内层函数的值域与定义域共同决定的． 复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
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2．1映射、函数的概念及函数的定义域
【教学目标】了解映射的概念，掌握函数的概念、同一函数、函数解析式以及函数定义域的常
见求法。
【重、难点】映射、函数的概念、表示方法，函数定义域的常见求法。
【 考 点 】映射、函数的概念、表示方法，函数定义域的常见求法。
【知识回顾】：
1.映射：(1)映射的概念：设A 、B 是两个非空的集合，如果按照某一个确定对应关系f ，对于集合A 中的_____________，在集合B 中_______________与之对应，那么就称_________叫做从集合A 到集合B 的一个映射，记作:f A B →。
(2)象和原象，给定一个从集合A 到B 的映射，且,a A b B ∈∈，如果元素a 和元素b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素a 的______,元素a 叫做元素b 的_______.
2.函数:
（1）传统定义：如果在某变化过程中有两个变量x,y ，并且对于x 在某个范围内的每一个______的值，按照某个对应法则f,y 都有______的值和它对应，那么y 就是x 的函数，记为y=f(ｘ)．
（2）近代定义：函数是由一个_______到另一个__________的映射。
（3）函数的三要素：函数是由________、_________以及_________三部分组成的特殊的映射。
（4）函数的表示法_______、_______、__________
（5）同一函数：如果两个函数的 ，并且 。
（6）常见求解析式的方法有： 、 、 。
（7）函数的定义域是指____________________________________________.
（8）根据函数解析式求定义域的常用依据有
①_________________________________，②_____________________________________， ③_________________________________，④__________________________________。
（9）已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域，是指满足__________ ___;已知f[g(x)]的定义域是[a,b]，求f(x)的定义域,是指[,]x a b ∈的条件下，求g(x) 的值域。
（10）实际问题或是几何问题给出的函数的定义域:________________________________。
（11）分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同
的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
（12）求定义域的一般步骤：①________________________________________
②_________________________________________
③_________________________________________。