东北大学2014-2015-1高等代数(工)(一)试卷及答案

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5. 已知二次型的秩为，则 3 .
6. 当满足 时，二次型为负定二次型.
1. = ( D ).
A. ；
B.
C.
D. .
2. 齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是 （ B ）.
A. 的行向量组线性无关； B. 的列向量组线性无关；
C. 的行向量组线性相关； D. 的列向量组线性相关.
3. 设为级方阵，则矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵（ D ）. A. ； B. ； C. ； D. .
解：.秩为3.为一个极大线性无关组.，.2分 .
1. 求行列式 . 解： .
2. 求矩阵. 设. 解：
3. 判断向量组，，，的线性相关性，并求出秩. 解：，线性相关， 秩为3.
2. 在实数域用非退化线性替换化二次型为规范型，并写出所作的非退化 线性替换，并利用矩阵验算所得结果.
解：在变换下，
在变换下，. 在变换下，. 总之，在变换 令为矩阵可验证.
得分：
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取什么值时，线性方程组无解？有唯一解？有无穷多个解？并在有无穷 多个解时，求其通解. 解：， 当时，任意b都有唯一解； 当时， 当时，对任意b都无解.
3. （8分） 求证：线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的
秩. 证明：必要性. 由于线性方程组有解，所以能由矩阵的列向量组线性表出，因此矩阵
2. （7分） 求证：非退化线性替换下二次型的秩不变. 证明：首先，二次型矩阵的秩就是二次型的秩.
. 非退化线性替换下新旧二次型的矩阵满足合同关系，，由于矩阵 可逆，所以矩阵与矩阵的秩相同.
……………○……………密…………… ○……………封……………○…………
线………………………………
五. （10分）
总 一二三四五六 分
东北大学考试试卷 （A闭卷）
……………○……………密…………… ○……………封……………○…………
线……………………………… ……………○……………密…………… ○……………封……………○………… 线………………………………
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2014 — 2015 学年第 一 学期 课程名称：高等代数 （工）（一） ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄
……………○……………密…………… ○……………封……………○………… 线………………………………
四. （每题 8 分，共 16 分）
得分：
三. 计算题 （每题6分，共18分）
得分：
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1. 求矩阵的秩；列向量组的一个极大线性无关组并把其余列向量由其线 性表出；最后再求出该矩阵的一个最高级非零子式.
的列向量组与增广矩阵的列向量组互相线性表出，即等价，进而同 秩. 充分性. 由于系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，因此矩阵中列向量组的一个极 大线性无关组也是增广矩阵的列向量组的一个极大线性无关组，因 此能由矩阵的列向量组线性表出，即线性方程组有解.
六. 证明题 （共 20 分）
得分：
1. （5分） 设行列式，求证：，其中，表示元素的代数余子式. 证明：.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二. 填空题 （每题3分，共18分）
得分：
一. 单项选择题 （每题3分，共18分）
得分：
1. 已知行列式，则代数余子式 - 8 .
2. 线性相关，线性无关，则 能 (填“能”、“不能”、“不一定能”)由 线性表 出.
3. 设是3级非零实矩阵，为的代数余子式，若 ，则的行列式 - 1 .
4. 矩阵的等价标准形为
4. 设矩阵中存在一个3级子式不为零，所有4级子式全为零，则矩阵的秩
为（ C ）.
A. 5；
B. 8；
C. 3；
D. 4.
5. 设为级不可逆矩阵，，则有（ B ）.
A. 为正定矩阵； B. 为半正定矩阵； C. 为半负定矩阵； D. 为不定 的.
6. 与实对称矩阵合同的矩阵是 （ B ）. A. ； B. ； C. ； D. .