计量经济学第五章.
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7
由于数据和随机误差项性质的差异，一 般来说异方差问题在截面数据的线性回 归分析中更加常见，在时间序列数据中 则相对要少一些。 值得注意的是，当线性回归模型存在解 释变量缺落、函数形式不准和参数改变 等模型定式误差问题时也会表现出与异 方差相似的特征，容易与由误差项变动 幅度变化引起的真正异方差混淆。
19
二、戈德菲尔德-夸特检验
这种方法适合检验样本容量较大的线性 回归模型的递增或递减型异方差性。 我们以递增异方差为例说明戈-夸检验的 思路和方法。 模型存在递增异方差时会在回归残差序 列的分布中反映出来，表现为其发散程 度随某个解释变量的增大而不断增大。
20
如果将样本按 X i 排序，那么对应较小 X i 的回归残差，平均将明显小于对应较大 的 X i 的回归残差。 把按 X i 排序的观测样本分成数目相同的 两部分，并为了加强显著性起见，去掉 中间占样本总数大约1/4到1/3的部分样 本，同时注意使剩余样本数为偶数。
10
二、异方差的危害
异方差对以最小二乘估计为核心的线性 回归分析的作用和价值有严重影响。 异方差虽然不会影响最小二乘估计的无 偏性，但最小二乘估计量方差的估计和 最小方差性，都是以模型误差项同方差 假设为基础的。 当线性回归模型的误差项存在异方差问 题时，普通最小二乘估计不再是方差最 小的估计，某种形式的加权最小二乘估 计才是最小方差的有效估计。
11
最小二乘估计量方差确定的困难，则会 对以参数估计量的统计性质和分布特征 为基础的统计推断等分析，以及区间估 计和区间预测等造成严重影响，使这些 统计推断失去基础。
12
第二节 异方差的发现和判断
一、 残差序列图分析
二、 戈德菲尔德-夸特检验 三、 戈里瑟检验
13
一、残差序列分析
利用模型回归残差序列的分布形态进行分析， 是发现和判断异方差问题的基本方法。 以i 或 X k 为横轴，残差e为纵轴，作残差序列的 分布图形，那么模型不存在异方差问题时，回 归残差应该均匀地分布在横轴上下的一定范围 内，如图6.2（a）。 如果残差序列的分布形态如图6.2（b），ei的 分布有随着 X k 的增大而越分散的趋势，那么应 该怀疑存在异方差性，而且是递增异方差。
14
图6.2 异方差的发现和识别
(a) e
i
X k
(b) e
i
X k
15
Βιβλιοθήκη Baidu
如果残差序列分布形态如图6.2（c）或 （d），应该考虑递减异方差或复杂异方 差的可能性。 如果残差序列分布形态如图6.2（e）或 （f），应该考虑假性异方差，也就是参 数变化或函数设定偏差的可能性等。
16
图6.2 异方差的发现和识别
4
图6－1 两变量线性回归模型的异方差
Y
0
Xi
Xj
X
5
图6.1中对应线性回归模型误差项的方差 随着 X i 或i 的增大而增大，这种异方差称 为“递增异方差”，是异方差最常见的 类型。 但也有方差变化趋势与上述相反的“递 减异方差”，或者先增后减或先减后增 的其他复杂类型的异方差。
6
异方差的本质特征是误差项波动幅度的变化。 一般来说，随着经济变量数值的增大，波动幅 度往往也会相应的增大。 这一方面是因为随机因素的作用有随着经济变 量数值的增大而增大的可能，另一方面也可能 是随机性因素本身的变化规律作用的结果，此 外也可能是观测和统计误差随着经济变量数值 的增大而放大的结果。这些因素最终都可能导 致线性回归模型误差项异方差问题。
2 i
2
9
2 若记 A X i 0 0 1 X i 1X i ，则
Var( i) E i A X i 2 A2 X i
2
因此Var( i) 是 X i的函数，即模型表现出 异方差性。 这种异方差本质上与误差项波动变化的 异方差是不同的，是模型误差项均值非 零的系统偏差导致的，我们称这种异方 差为“假性的”。
2 e K 1 i2 2 F i2 nc 2 ei1 K 1 2 i1 2 e i2 2 e i1 i1 i2
(c)
e
i
X k
(d)
e
i
X k
17
图6.2 异方差的发现和识别
(e)
e
i
X k
(f)
e
i
X k
18
残差序列图分析虽然直观简便，但有时 无法作出明确的判断，特别是残差分布 形态不很典型时很难得出结论。 为此提出了一些更严密的判断方法，戈 德菲尔德-夸特（Goldfeld-Quandt）检验 和戈里瑟（Glejser）检验是其中比较常 见的两种。
21
对两个子样本分别进行回归，并计算这 两组样本各自的回归残差平方和，若这 两个残差平方和有明显差异或者它们之 比明显异于1，就表明存在递增异方差问 题。 可以利用F 检验确定上述残差平方和之 比是否异于1。
22
最小二乘估计的回归残差平方和服从卡 方分布，因此用上述两个残差平方和可 以构造统计量 n c
8
2 Y X 例如两个变量有真实关系 0 1 其中误差项满足线性回归模型的所有假 设。 但如果误以为Y 和X 之间的关系是：
并认为 E( i) 0 ，那么
2
1X Y 0
1 X 1X i Var ( i) E ( i ) E i 0 0
第五章
异方差
1
本章结构
第一节 异方差及其影响 第二节 异方差的发现和判断
第三节 异方差的克服和处理
2
第一节 异方差及其影响
一、异方差及其分类 二、异方差的危害
3
一、异方差及其分类
两变量和多元线性回归模型第三条假设 都要求误差项是同方差的，就是误差项 的方差是常数，即Var( ) 2不随i 变化。 i 如果这条假设不满足，这时候称线性回 归模型存在“异方差”或“异方差性” 。 异方差可以用图6.1中对应解释变量不同 观测值 X i 和 X j 的误差项，分布密度函数 形状不同加以反映。
由于数据和随机误差项性质的差异，一 般来说异方差问题在截面数据的线性回 归分析中更加常见，在时间序列数据中 则相对要少一些。 值得注意的是，当线性回归模型存在解 释变量缺落、函数形式不准和参数改变 等模型定式误差问题时也会表现出与异 方差相似的特征，容易与由误差项变动 幅度变化引起的真正异方差混淆。
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二、戈德菲尔德-夸特检验
这种方法适合检验样本容量较大的线性 回归模型的递增或递减型异方差性。 我们以递增异方差为例说明戈-夸检验的 思路和方法。 模型存在递增异方差时会在回归残差序 列的分布中反映出来，表现为其发散程 度随某个解释变量的增大而不断增大。
20
如果将样本按 X i 排序，那么对应较小 X i 的回归残差，平均将明显小于对应较大 的 X i 的回归残差。 把按 X i 排序的观测样本分成数目相同的 两部分，并为了加强显著性起见，去掉 中间占样本总数大约1/4到1/3的部分样 本，同时注意使剩余样本数为偶数。
10
二、异方差的危害
异方差对以最小二乘估计为核心的线性 回归分析的作用和价值有严重影响。 异方差虽然不会影响最小二乘估计的无 偏性，但最小二乘估计量方差的估计和 最小方差性，都是以模型误差项同方差 假设为基础的。 当线性回归模型的误差项存在异方差问 题时，普通最小二乘估计不再是方差最 小的估计，某种形式的加权最小二乘估 计才是最小方差的有效估计。
11
最小二乘估计量方差确定的困难，则会 对以参数估计量的统计性质和分布特征 为基础的统计推断等分析，以及区间估 计和区间预测等造成严重影响，使这些 统计推断失去基础。
12
第二节 异方差的发现和判断
一、 残差序列图分析
二、 戈德菲尔德-夸特检验 三、 戈里瑟检验
13
一、残差序列分析
利用模型回归残差序列的分布形态进行分析， 是发现和判断异方差问题的基本方法。 以i 或 X k 为横轴，残差e为纵轴，作残差序列的 分布图形，那么模型不存在异方差问题时，回 归残差应该均匀地分布在横轴上下的一定范围 内，如图6.2（a）。 如果残差序列的分布形态如图6.2（b），ei的 分布有随着 X k 的增大而越分散的趋势，那么应 该怀疑存在异方差性，而且是递增异方差。
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图6.2 异方差的发现和识别
(a) e
i
X k
(b) e
i
X k
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Βιβλιοθήκη Baidu
如果残差序列分布形态如图6.2（c）或 （d），应该考虑递减异方差或复杂异方 差的可能性。 如果残差序列分布形态如图6.2（e）或 （f），应该考虑假性异方差，也就是参 数变化或函数设定偏差的可能性等。
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图6.2 异方差的发现和识别
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图6－1 两变量线性回归模型的异方差
Y
0
Xi
Xj
X
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图6.1中对应线性回归模型误差项的方差 随着 X i 或i 的增大而增大，这种异方差称 为“递增异方差”，是异方差最常见的 类型。 但也有方差变化趋势与上述相反的“递 减异方差”，或者先增后减或先减后增 的其他复杂类型的异方差。
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异方差的本质特征是误差项波动幅度的变化。 一般来说，随着经济变量数值的增大，波动幅 度往往也会相应的增大。 这一方面是因为随机因素的作用有随着经济变 量数值的增大而增大的可能，另一方面也可能 是随机性因素本身的变化规律作用的结果，此 外也可能是观测和统计误差随着经济变量数值 的增大而放大的结果。这些因素最终都可能导 致线性回归模型误差项异方差问题。
2 i
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2 若记 A X i 0 0 1 X i 1X i ，则
Var( i) E i A X i 2 A2 X i
2
因此Var( i) 是 X i的函数，即模型表现出 异方差性。 这种异方差本质上与误差项波动变化的 异方差是不同的，是模型误差项均值非 零的系统偏差导致的，我们称这种异方 差为“假性的”。
2 e K 1 i2 2 F i2 nc 2 ei1 K 1 2 i1 2 e i2 2 e i1 i1 i2
(c)
e
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X k
(d)
e
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X k
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图6.2 异方差的发现和识别
(e)
e
i
X k
(f)
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i
X k
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残差序列图分析虽然直观简便，但有时 无法作出明确的判断，特别是残差分布 形态不很典型时很难得出结论。 为此提出了一些更严密的判断方法，戈 德菲尔德-夸特（Goldfeld-Quandt）检验 和戈里瑟（Glejser）检验是其中比较常 见的两种。
21
对两个子样本分别进行回归，并计算这 两组样本各自的回归残差平方和，若这 两个残差平方和有明显差异或者它们之 比明显异于1，就表明存在递增异方差问 题。 可以利用F 检验确定上述残差平方和之 比是否异于1。
22
最小二乘估计的回归残差平方和服从卡 方分布，因此用上述两个残差平方和可 以构造统计量 n c
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2 Y X 例如两个变量有真实关系 0 1 其中误差项满足线性回归模型的所有假 设。 但如果误以为Y 和X 之间的关系是：
并认为 E( i) 0 ，那么
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1X Y 0
1 X 1X i Var ( i) E ( i ) E i 0 0
第五章
异方差
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本章结构
第一节 异方差及其影响 第二节 异方差的发现和判断
第三节 异方差的克服和处理
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第一节 异方差及其影响
一、异方差及其分类 二、异方差的危害
3
一、异方差及其分类
两变量和多元线性回归模型第三条假设 都要求误差项是同方差的，就是误差项 的方差是常数，即Var( ) 2不随i 变化。 i 如果这条假设不满足，这时候称线性回 归模型存在“异方差”或“异方差性” 。 异方差可以用图6.1中对应解释变量不同 观测值 X i 和 X j 的误差项，分布密度函数 形状不同加以反映。