原子的量子理论123402
原子物理学第2章原子的量子态全解
的温度升高时,单色辐射能量密度
最大值向短波方向移动.
0 1 2 3 4 λ(µm) 绝对黑体辐射能量密度按波长分布(实验)曲线
第二章 原子的量子态：玻尔模型
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物体辐射总能量按波长分布决定于温度.
800K
1000K
1200K
固体在温度升高时颜色的变化
矛盾二:经典的光强和时间决定光电流大小;而光电效应中只有 在光的频率大于红限时才会发生光电效应.
矛盾三:经典的驰豫时间（or:响应时间）较长 (若光强很小,电 子需较长时间吸收足够能量才能逸出),而光电效应不超过10-9s.
实验表明:光强为1μW/m2的光照射到钠靶上即有光电流产生, 这相当于500W的光源照在6.3km处的钠靶.
第二章 原子的量子态：玻尔模型
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“在目前业已基本建成的科学大厦中,物理学家似乎只要 做一些零碎的修补工作就行了;然而在物理学晴朗天空的 远处,还飘着两朵令人不安的愁云.”
——《19世纪笼罩在热和光的动力论上的阴影》 1900年4月27日于不列颠皇家科学院
1）光电流与入射光强度的关系
光电子
单色光
I
e
Is
A
V
遏止电压
光强较强 光强较弱
第二章 原子的量子态：玻尔模型
Ua o
U
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第二章 原子的量子态：玻尔模型
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2）光电子初动能与入射光频率呈线性关系,而与入射光强度
大学物理-量子物理第十二章波尔的原子量子理论
对后世的影响
促进了量子力学的发展
对现代科技的影响
波尔的理论为量子力学的发展奠定了 基础，提供了重要的启示和指导。
波尔的理论为现代科技的和磁共振成像等。
对化学和材料科学的影响
波尔的理论解释了原子结构和化学键 的本质，对化学和材料科学的发展产 生了深远的影响。
原子中的电子在固定的轨道上 运动，且不发生辐射。
波尔的原子模型
原子中的电子在固定的轨道上运动，且不发生辐 射。
当电子从高能级轨道向低能级轨道跃迁时，会释 放出一定频率的光子。
电子只能在一些特定的轨道上运动，在这些轨道 上运动的电子不辐射能量。
原子吸收光子时，电子从低能级轨道向高能级轨 道跃迁。
波尔的量子化条件
THANK YOU
感谢聆听
波尔引入了量子化的概念，将电子在原子中的运动描述为 不连续的轨道，解决了经典物理无法解释的原子结构和光 谱问题。
对量子力学的推动
波尔的理论为后续的量子力学发展奠定了基础，提供了重 要的启示和方向。
对化学和材料科学的贡献
波尔模型对于理解化学键的本质和材料性质有深远影响， 推动了化学和材料科学的进步。
对未来研究的启示
05
波尔原子理论的局限性
定性解释的局限性
波尔理论主要依赖于定性的解释和假设，缺乏严格的数学基础和 理论推导。
定性解释的局限性导致波尔理论在描述原子结构和行为时存在一 定的模糊性和不确定性。
与现代物理理论的兼容性问题
01
波尔理论虽然在一定程度上解释 了原子的某些行为，但与现代量 子力学理论存在不兼容的矛盾。
电子在稳定的轨道上运动时不 辐射能量，即稳定的轨道满足
量子化条件。
电子在不同轨道之间跃迁时， 释放或吸收光子的频率满足量
原子的量子理论
ν = E/ h,λ = h/ p
•对于一个能量为 ，质量为 ，动量为 的粒子 对于一个能量为E，质量为m，动量为p的粒子 对于一个能量为 波函数应遵从 p2 v E= +V(r) 线性方程 2m •若Ψ1是方程的解，则CΨ1也是它的解；若波函数 1与Ψ2是某 也是它的解；若波函数Ψ 若 是方程的解， 粒子的可能态， 也是该粒子的可能态。 粒子的可能态，则C1Ψ1+C2Ψ2也是该粒子的可能态。
+∞
−∞
ΨΨ ∗ dV = 1 ∫
对波函数的这个要求，称为波函数的归一化条件。归一 对波函数的这个要求，称为波函数的归一化条件。 波函数的归一化条件 化条件要求波函数平方可积。 化条件要求波函数平方可积。 归一化因子：若某波函数 归一化因子：若某波函数ΨA未归一化
+∞
归一化因子
−∞
∫ ΨAΨ dV = A
4、波函数满足的条件
标准条件：波函数应该是单值、有限、连续函数。 标准条件：波函数应该是单值、有限、连续函数。 单值 函数 归一化条件：在任何时刻，某粒子必然出现在整个空间内， 归一化条件：在任何时刻，某粒子必然出现在整个空间内， 它不是在这里就是在那里，所以总的概率为1， 它不是在这里就是在那里，所以总的概率为 ，即
* A
+∞ −∞
∫
1 ΨA dV = 1 A
2
5、态叠加原理
如果Ψ 如果Ψ1 ， Ψ2 ， Ψ3 …， Ψn ,…等都是体系的可 ， 等都是体系的可 能状态， 能状态，那么它们的线性叠加
ψ = c1ψ1 + c2ψ2 + ...+ cnψn + ...
是复数） （c1 , c2,…，cn ,…是复数） ， 是复数 也是这个体系的一个可能状态
原子的量子力学模型
原子的量子力学模型引言：原子是构成物质的基本单位，其内部结构的研究对于理解物质的性质和相互作用至关重要。
量子力学模型是描述原子内部结构的一种理论框架，它基于量子力学的原理和方程，揭示了原子中电子的能级分布、轨道形状以及电子的运动规律。
本文将介绍原子的量子力学模型，探讨其基本原理和主要特征。
一、波粒二象性量子力学模型的基础是波粒二象性，即微观粒子既具有粒子的特征，又具有波动的特征。
在原子中，电子也具备波粒二象性，既可以看作是粒子，又可以看作是波动。
二、不确定性原理量子力学模型还依赖于不确定性原理，即海森堡不确定性原理和薛定谔不确定性原理。
海森堡不确定性原理表明，无法同时准确测量粒子的位置和动量，精确测量其中一个属性会导致另一个属性的不确定。
薛定谔不确定性原理则指出，无法同时准确测量粒子的能量和时间，精确测量其中一个属性会导致另一个属性的不确定。
三、薛定谔方程薛定谔方程是量子力学模型的核心方程，描述了原子中电子的运动规律。
薛定谔方程是一个波动方程，通过解方程可以得到电子的波函数，该波函数包含了电子的位置和能量信息。
四、能级和轨道量子力学模型提出了能级和轨道的概念，描述了电子在原子中的分布方式。
能级是电子的能量状态，每个能级对应一个特定的能量值。
轨道则是电子在原子中的运动路径，每个轨道有特定的形状和能量。
五、量子数量子力学模型引入了一系列量子数来描述电子的状态。
主量子数描述能级的大小，角量子数描述轨道的形状，磁量子数描述轨道在空间中的方向，自旋量子数描述电子的自旋方向。
六、波函数和概率密度波函数是量子力学模型中的核心概念，它描述了电子的波动性质。
波函数的平方值给出了电子出现在某个位置的概率密度，即电子在空间中的分布情况。
七、电子云模型电子云模型是量子力学模型中对电子分布的一种直观描述。
电子云表示电子在原子中的可能位置，云的密度越高，表示电子在该位置的概率越大。
八、能级跃迁和光谱原子的能级分布决定了原子的光谱特征。
大学物理--量子物理 第十二章 波尔的原子量子理论
氢原子能级图
12
6.夫兰克—赫兹实验——验证原子系统定态能级存在 栅极 阴极 J.Franck—G.Hertz 板极 实验装置: 汞 蒸 G P A 电压 U K极 K 气 G极 加反向电压 V G极 P极 实验结果:
300
200
100 0 5 10
U , Ek , I , （1）改变U， 到达P极的电子增加。 I , （2）U=4.9V后， 为 什 形成一峰值 么？ （3）每隔U=4.9V， 就有一峰值出现。 13 15 （ V）
既然具有波动特性的光同时还具有粒子的性质， 那么在习惯上被当作经典微粒处理的实物粒子，如 电子、质子等等静止质量不为零的粒子，是否同时 也具有波动的性质？
德布罗意假设
18
一、物质波的提出
波动性：、
h 微粒性： 、p、m
h m h
ph
c2 1924 年，德布罗意在光的波粒二象性的启示下，基于自 然界的具有对称性考虑，提出了德布罗意假设: 实物粒子 （电子、质子、中子、分子、介子、 …… ）也具有波粒 二象性，其波长、频率分别由动量和能量确定。 1. 德布罗意物质波假设 能量E 动量p 质量 m 自由粒子具有： 波长 速度 V 频率 E h h 它们之间的关系是： 德布罗意关系 p 19
3）电子运动的速度 mV 2 e2 由： r 4 0 r 2 帕邢线系 e2 1 n 1,2, n1 (Paschen) Vn 4 0 n 2 3 n、速度Vn V 1 1 4 在r1的轨道上 : c 137 V1 106 m s 1 5 10
5.氢原子光谱的理论解释 1）里德伯常数的理论值
氢原子可见光光谱的经验公式
1 1 1 ~ 赖曼系(Lyman)： R( 2 2 ) n 2,3,4, 紫外区 1 n 1 1 1 ~ 帕邢系(Paschen)： R ( 2 2 ) n 4 , 5 ,6 , 3 n 布喇开系： ~ 1 R( 1 1 ) n 5,6,7, 红外区 42 n2 ~ 1 R ( 1 1 ) n 6 ,7 ,8 , 普芳德系： 52 n2 3. 广义的巴尔末公式：（氢原子光谱的其它线系）
122原子结构玻尔理论
122原子结构玻尔理论玻尔理论是向量量子力学的第一个独立建立的基本理论，它对氢原子的谱线结构作了第一个解释。
原子是一个由带电粒子构成的微观系统，它的基本结构可以通过多种理论进行描述。
在玻尔理论中，原子被认为是由电子和质子组成的。
质子位于原子核中，具有正电荷，质量较大；电子绕着原子核运动，具有负电荷，质量较小。
玻尔在1913年提出的原子结构模型是基于下面几个假设：1)电子在绕原子核旋转时会发生辐射，失去能量，最终坠入原子核；2)只有当电子的能量量子化为离散的值时，它才能保持在稳定的轨道上运动。
基于这些假设，玻尔得出了一系列重要的结果。
根据玻尔理论，电子在绕核运动时，只能占据特定能量的轨道，称为能级。
能级分为基态和激发态，基态对应最低的能量，激发态对应较高的能量。
每个轨道可以容纳一定数量的电子，但是每个轨道内的电子必须具有不同的量子数。
为了描述轨道内电子具体状态，玻尔引入了量子数。
主量子数（n）表示电子所处的能级，角量子数（l）表示电子所处的轨道形状，磁量子数（m）表示电子运动的方向。
玻尔理论还给出了氢原子的能级公式。
根据该公式，氢原子的能级E和主量子数n有关，能级越高，对应的n值越大。
能级之间的差值是离散的，而且当n增大时，能级之间的差值也会变得越来越小。
除了能级和能级间的能量差异，玻尔理论还解释了氢原子谱线的出现。
根据玻尔理论，当氢原子由激发态回到基态时，电子会释放出一定的能量。
这些能量以光的形式辐射出来，对应特定的波长和频率。
根据玻尔的公式，可以计算出氢原子谱线对应的波长或频率。
尽管玻尔理论成功解释了氢原子的谱线结构，但是对其他多电子原子体系的解释效果较差。
这是因为玻尔理论忽略了电子之间的相互作用。
为了解释多电子原子的结构和性质，后来发展出来了更精确的量子力学理论。
总结来说，玻尔理论是原子结构的一个重要里程碑。
它通过引入能级和量子数的概念，成功解释了氢原子的能级结构和谱线现象。
同时，玻尔理论也为后来的量子力学提供了重要的启示，促进了对原子结构的更深入研究。
原子的量子理论
dV 1 有限且 满足归一化条件.
* V
(2)
( x , y , z)
为单值函数.
(3)
及 x , y , z 连续.
几率性结果
即使是同样的电子，我们也无法准确的
确定其位置
〝上帝是不擲骰子的！〞 ～Einstein 〝上帝不僅擲骰子，而且是用左手擲的〞 ～Lee & Young
1 2 mv eU 2
P mv
代入
P 2meU
h h 2meU P
6.63 10 34 2 9.1 10 31 1.6 10 19 15000
1 10 11 m
例2 质量为m=0.01kg，并以速度V=300m/s飞行的子弹
,求其德布罗意波长
2、约恩逊（1960）
电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验图象
单缝衍射
双缝衍射
三缝衍射
四缝衍射
3、量子围栏中的驻波 1993年克罗米(M· Corrie)等人用扫描电子显微镜技 F· 术,把铜(111)表面上的铁原子排列成半径为7.13nm的圆 环性量子围栏,并观测量到了围栏内的同心圆柱状驻波, 直接证实了物质波的存在.
动量位置不确定量关系式
海森伯于 1927 年提出不确定原理 对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的 动量来描述 . 不确定关系 物理意义
xpx h yp y h zpz h
1） 微观粒子同一方向上的坐标与动量不可同 时准确测量,它们的精度存在一个终极的不可逾越的 限制 . 2） 不确定的根源是“波粒二象性”这是自然界 的根本属性 .
sin 1 0 P sin a 1
1为一级暗纹的衍射角 a
原子物理量子理论知识点总结
原子物理量子理论知识点总结量子理论是研究微观世界的基础理论之一，涉及到原子、分子及它们之间的相互作用。
本文将对原子物理量子理论的知识点进行总结，以帮助读者更好地理解这一领域的基本概念和原理。
一、量子力学的基本假设和原理1. 波粒二象性：粒子既具有粒子性又具有波动性，即光既可以看作粒子（光子），也可以看作波动（电磁波）。
2. 不确定性原理：海森堡不确定性原理指出，无法同时准确测量粒子的动量和位置，其原理是基于波粒二象性的。
3. 波函数：波函数是量子力学描述微观粒子状态的数学表示，通过波函数的平方可以获得粒子的概率分布。
二、原子结构和波尔模型1. 波尔模型：波尔模型是描述氢原子电子结构的经典模型，其中电子绕核运动在离散的能级上。
2. 能级和轨道：原子中的电子存在不同能级，每个能级分为不同的轨道，轨道上的电子具有不同的能量和角动量。
3. 能级跃迁和光谱：当电子从一个能级跃迁到另一个能级时，会产生特定波长的光，可用于研究原子结构和能级跃迁过程。
三、量子力学的基本方程和运算符1. 薛定谔方程：薛定谔方程是描述量子系统中波函数演化的基本方程，通过它可以得到波函数随时间的变化。
2. 算符和测量：算符是量子力学中用于计算物理量的数学工具，测量物理量时需要对波函数进行运算符的作用。
3. 标量积和观测：标量积是量子力学中用于计算态矢之间的相对关系的数学工具，观测时将其作用于态矢得到观测结果。
四、波函数解和量子力学基本原理1. 定态和叠加态：波函数可以分为定态和叠加态，定态表示处于某一确定能级的状态，叠加态表示处于多种状态的叠加。
2. 简并和势阱：简并表示多个不同的波函数对应相同能量，势阱是用于描述电子在有限空间内的运动的模型。
3. 量子隧穿和谐振子：量子力学中存在一种现象叫做量子隧穿，即粒子能够穿越势垒。
谐振子是量子力学中常见的模型，用于描述原子核和电子之间的振动。
五、量子力学与其他学科的关系1. 量子力学与经典力学：量子力学是对经典力学进行修正和扩展的理论，经典力学可以看作是量子力学在大尺度上的一种近似。
原子物理讲义 第二章 原子的量子态
第二章 原子的量子态：玻尔模型（YCS ）§2-1背景知识普朗克于1900年提出量子假说，但人们并不很理解它，他曾试图将量子假说纳入经典理论中。
在爱因斯坦发表狭义相对论后还认为爱因斯坦“迷失了方向”。
但当时年仅28岁的玻尔（丹麦）却将量子概念用于卢瑟福原子模型，成功地解释了近30年的光谱之谜。
一、 量子假说的根据之一：黑体辐射物体都有热辐射，这其实是发射一定频率的电磁波。
从理论上分析，黑体腔壁可认为是由大量作谐振动的谐振子(作谐振动的电偶极矩)组成，振动的固有频率可从(∞→0)连续分布，谐振子通过发射与吸收电磁波，与腔中辐射场不断交换能量。
1859年，基尔霍夫证明：黑体辐射达平衡时，辐射能量密度νE 随频率的变化曲线只与黑体的绝对温度T 有关，而与空腔的形状及组成材料无关。
1893年，维恩发现黑体辐射的位移律：辐射能量密度最大值所对应的频率m ν与平衡时黑体的绝对温度T 成正比，即c.Tm28980=ν。
由此得维恩位移律公式：K.cm .Tm 28980=λ（m λ为最大波长，mmcλν=)辐射本领)T ,(R ν：在单位时间内黑体单位面积在单位频率内(频率ν附近)辐射的能量。
(即能量随ν的变化规律) 设黑体内腔达热平衡时的辐射场的能量密度为νE ，则其辐射本领),(4),(T E cT R νν=。
黑体总的辐射本领为ννλλd )T ,(E c d )T ,(R )T(R ⎰⎰∞∞==004由此可得等式：ννλλd )T ,(E c d )T ,(R 4=。
即),(),(2T R cT R νλλ=维恩经验公式：频率在),(νννd +间的辐射密度为TC eC E ννν231-=，此公式在高频部分与实验相符，但在低频部分与实验有显著偏差。
瑞利-金斯经验公式：238νπνkT cE =，于1899年据经典电动力学和统计物理学导出，当∞→ν时, ∞→νE ,即在高频时是发散的，这就是当时有名的“紫外灾难”。
波尔的原子量子理论
把
En E1 12.5eV代入上式得
.6 n2 13.13 6 12.5 12.36
n 3.5 所以 因为n只能取整数,所以氢原子最高能激发 到 n=3的能级,当然也能激发到n=2的能级.于是 能产生3条谱线。
从n 3n1
~ R( 1 1 ) 8 R 1 9 1 3
2 2
9 1 89R 81.096776 m 102 . 6 nm 10
7
从n 3n 2
~ R( 1 1 ) 2 2 3
2 2
5 36
R
36 2 536 m 656 . 3 nm R 51.09677610
§1 玻尔的原子量子理论
4861.3
4340.5
6562.8
1. 氢原子光谱的规律性
红
蓝
紫
原子光谱是反映原子结构特点的特征谱。 氢原子谱线的波长可以用下列经验公式表示：
1 1 k 1,2,3, ~ R( 2 2 ) k n n k 1, k 2, k 3, 1 ~
13.6 En 2 , n 1,2,3, n
n
n4
n3
n2
E1 13.6eV
E1 E2 2 3.4eV 2 E1 E3 2 1.51eV 3
E 0
布拉开系 帕邢系 巴尔末系
0.85eV 1.51eV
3.40 eV
E1 0.85eV E4 2 4
4
玻尔于1922年12 月10日诺贝尔诞生 100周年之际，获诺 贝尔物理学奖。
4. 玻尔理论的缺陷
原子的量子理论
理解描述物质波动性、粒 2
子性的物理量之间的关系。
了解德布罗意的物质波假 3
设及电子衍射实验，理解 光和实物粒子的波粒二象 性。
理解氢原子光谱的实验规 4
律及玻尔氢原子理论,了 解此理论的意义及其局限 性。
1911年卢瑟福在 散射实验的基础上提出了原子的核模型，根 据原子的核模型，可以很好地解释大角散射。
（1） 粒子的动量不可能确定。 （2） 粒子的坐标不可能确定。 （3） 粒子的动量和坐标不可能同时准确确定。 （4） 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它
粒子。 其中正确的是： （A）（1），（2） （B）（2），（4）
（C）√（3），（4） （D）（4），（1）
例题21-1 设电子在原子中运动的速度为106m/s，原子半径约为
类似于驻波的振幅。
dd2x2 8h22mEk0 dd22x8h22m(EU)0
d2d(2xx)i2hp2Ai2hepx4h22p2(x)
上式为自由粒子的薛定谔方程 在有势力场中运动的粒子（非自由粒子）除有动能 Ek外，还有势能U，令 则（21-33）可推广到非自由粒子情形，即 （21-33）
推广到三维空间：
10-10m，电子位置的不确定量至少为10-11m，即△x=10-11m，
由不确定关系得：
vm h x9 .1 6 .1 6 3 1 0 1 3 1 04 1 01 7 .3 17m 0 /s
速度的不确定量在数量级上大于速度本身，在原子尺度上， 电子不再有确定的速度，也就不能用经典力学求解。
§ 21-4 不确定关系
一、不确定关系
由于微观粒子具有波粒二象性，所以它具有和经典力学中质点不 相同的性质，按照经典物理，每一时刻质点占有一定位置，并具有一 定动量，位置和动量可以同时准确测量。而微观粒子的波动性对确定 粒子的坐标和动量带来了某种限制。
第二十一章 原子的量子理论
第二十一章 原子的量子理论1897年，J.J.汤姆孙发现电子(1906奖)并确认电子是原子的组成部分 1913年,玻尔提出氢原子结构及量子理论(1922奖) 1914,夫兰克-赫兹实验证实(1925奖1924年，德布洛义提出了实物粒子的波粒二象性（1929奖） 1925,海森堡建立矩阵力学(1932奖) 1926,薛定谔建立波动力学(1933奖)1927,戴维孙和G.P. 汤姆孙,电子衍射实验证实粒子的波动性(1937奖)§21－1 玻尔的氢原子模型一．玻尔理论的实验基础1． 原子的有核模型原子是中性的，稳定的；核外电子绕核作圆周运动；2． 氢原子光谱的实验规律 ① 综合经验公式： ⋅⋅⋅++=-=,m ,m n ,)nm (R ~211122ν17100967761-⨯=m .R1=m ，赖曼系；2=m ，巴尔末系；3=m ，帕邢系；4=m ，布喇格系；5=m ，普芳德系；② 里兹并合原理)n (T )m (T ~-=ν式中：)n (T ),m (T 称为光谱项氢原子光谱：谱线是分裂的，线状的；原子光谱线的波数，由光谱项之差确定。
二． 经典电磁理论遇到的困难卢瑟福原子模型＋经典的电磁理论，必将导出： 1． 光谱连续2． 原子不可能是稳定的系统； 与事实不符！三． 玻尔理论 1． 基本思想：① 承认卢瑟福的原子天文模型 ② 放弃一些经典的电磁辐射理论 ③ 把量子的概念用于原子系统中2． 玻尔的三条假设① 原子系统只能处于一系列不连续的稳定态（电子绕核加速运动，但不发射电磁波的能量状态，简称能态）② 处于稳定态中，电子绕核运动的角动量满足角动量量子化条件,,,n ,nh hn L 3212==⋅=π③ 频率条件：当原子从一个定态跃迁到另一个定态时，放出或吸收单色辐射的频率满足m n E E h -=ν3． 讨论：① 轨道量子化,稳定轨道半径公式,,,n ,mZe n h r n 3212220==πε对氢原子，Z ＝1,,,n ,men h r n 3212220==πε nm .r ,n 0529011==)nm (n .r n r n 21205290==② 能量量子化－能级（原子系统的总能量公式）,,,n ,nh me E n 3211822204=⋅-=ε eV .E ,n 61311-==eV n.n E E n 221613-==能级：量子化的能量状态（数值）③ 氢原子光谱hE E mn -=ν④ 当n 很大时，量子化特征消失，玻尔结果与经典结果同0211221==--=-=∞→-n)n (n E E E E E n n n n nn∆例（P241，例题21－1） 四． 玻尔理论的局限性 1． 成功之处① 能较好地解释氢原子光谱和类氢原子光谱； ② 定态能级假设； ③ 能级间跃迁的频率条件。
第二十一章 原子的量子理论
（1）玻尔的三个假设 电子在原子中， 假设一 电子在原子中，可以在一些特定的轨道上 运动而不辐射电磁波，这时原子处于稳定状态（定态）， 运动而不辐射电磁波，这时原子处于稳定状态（定态）， 并具有一定的能量. 并具有一定的能量. 假设二 电子以速度 v 在半径为 的圆周上绕核运 动时， 动时，只有电子的角动量 L等于 h 2π 的整数倍的那些 轨道是稳定的 .
跃 迁 系
1
ν
4
n =1
E
例
试由玻尔氢原子理论计算出巴尔末系第一条谱 线的波长。 线的波长。
13.6 由玻尔的氢原子能级公式： 解：由玻尔的氢原子能级公式： En = − 2 (eV ) n
知：当电子由n=3→ k=2时，发出光子的频率为： 当电子由 时 发出光子的频率为：
hν = En
13.6 13.6 − Ek = − 2 − 2 3 2
r
h 量子化条件 L = m v r = n 2π
n = 1, 2 ,3, L
量子数
假设三 当原子从高能量 Ei 的定态跃迁到低能量 Ef 的定态时，要发射频率为 的光子. 的定态时， 的光子. 频率条件
hν = Ei − E f
ν
（2）氢原子轨道半径的计算 ） 由玻尔假设及牛顿定律： 由玻尔假设及牛顿定律： h mvr = n 角动量量子化 2π
(n = 1,2,3L )
能量是量子化的
基态能量： 基态能量： n = 1 时, E1 = −13 ⋅ 6eV 对于其它激发态： 对于其它激发态：
En =
E1
n
2
玻尔理论对氢原子光谱的解释 me4 1 hν En = − ⋅ 2 2 2 8ε 0 h n
= Ei − E f
量子论与原子模型知识点总结
量子论与原子模型知识点总结在物理学的奇妙世界中，量子论和原子模型无疑是两颗璀璨的明珠。
它们的出现不仅改变了我们对微观世界的理解，也为现代科学技术的发展奠定了坚实的基础。
接下来，让我们一起深入探索量子论与原子模型的相关知识点。
一、量子论的诞生量子论的诞生源于对黑体辐射问题的研究。
在经典物理学中，无法很好地解释黑体辐射的实验现象。
普朗克提出了能量量子化的假设，认为能量不是连续的，而是一份一份的，最小的能量单位称为“量子”。
这一革命性的观点打破了经典物理学中能量连续的观念。
普朗克的能量量子化公式为：＄E ＝ h\nu$，其中$E$表示能量，＄h$为普朗克常量，＄＼nu$为频率。
二、爱因斯坦的光量子假说爱因斯坦进一步发展了量子论，提出了光量子假说。
他认为光不仅具有波动性，还具有粒子性，光的能量也是一份一份的，称为光子。
光子的能量同样遵循$E ＝ h\nu$。
这一假说成功解释了光电效应现象。
在光电效应中，光的频率低于某一阈值时，无论光强多大，都不会产生光电流；而当频率高于阈值时，即使光强很弱，也能产生光电流。
三、玻尔的原子模型为了解释原子的稳定性和线状光谱，玻尔提出了原子的量子化模型。
玻尔模型的基本假设包括：1、电子只能在一些特定的轨道上运动，这些轨道的能量是量子化的。
2、电子在不同轨道上运动时，原子处于不同的定态，不辐射或吸收能量。
3、当电子从一个定态跃迁到另一个定态时，会辐射或吸收一定频率的光子，光子的能量等于两个定态的能量差。
根据玻尔模型，可以很好地解释氢原子的线状光谱。
四、量子力学的发展随着科学的发展，量子力学逐渐建立起来。
海森堡提出了不确定性原理，表明粒子的位置和动量不能同时被精确测量。
薛定谔提出了薛定谔方程，用于描述微观粒子的状态。
量子力学的建立使得我们对微观世界的认识更加深入和准确。
五、原子模型的进一步发展在量子力学的基础上，原子模型得到了进一步的发展。
现代原子模型认为，电子在原子核外的空间中以概率云的形式存在，而不是像玻尔模型中那样在确定的轨道上运动。
第19章_原子的量子理论
第十九章 原子的量子理论§19-1 玻尔的氢原子理论自1897年发现电子并确定是原子的组成粒子以后，物理学的中心问题之一就是探索原子内部的奥秘。
人们逐步弄清了原子的结构及其运动变化的规律，认识了微观粒子的波粒二向性，建立了描述分子、原子等微观系统运动规律的理论体系量子力学。
量子力学是近代物理学中一大支柱，有力地推动了一些学科（如化学、生物、…）和技术（如半导体、核动力、激光、…）的发展。
本章介绍量子理论的一些基本概念。
一、原子光谱的实验规律光谱分为下面三类：线光谱：谱线是分明、清楚的，表示波长的数值有一定间隔。
（所有物质的气态原子（而不是分子）都辐射线光谱，因此这种原子之间基本无相互作用。
）带状光谱：谱线是分段密集的，每段中相邻波长差别很小，如果摄谱仪分辨本领不高，密集的谱线看起来并在一起，整个光谱好象是许多段连续的带组成。
（ 它是由没有相互作用的或相互作用极弱的分子辐射的。
）连续光谱：谱线的波长具有各种值，而且相邻波长相差很小，或者说是连续变化的。
（如：太阳光是连续光谱。
实验表明，连续光谱是由于固态或液态的物体发射的，而气体不能发射连续光谱。
液体、固体与气体的主要区别在于它们的原子间相互非常强烈。
）1．氢原子光谱19世纪后半期，许多科学家测量了许多元素线光谱的波长，大家都企图通过对线光谱的分析来了解原子的特性，以及探索原子结构。
人们对氢原子光谱做了大量研究，它的可见光谱如下图。
其中从光波向短波方向 数的前4个谱线分别叫做αH 、βH 、γH 、δH ，实验测得它们对应的波长分别为：A =H 6563α、 A =H 4861β、A =H 4340γ、A =H 4102δ。
在1885年从某些星体的光谱中观察到的氢光谱谱线已达14条。
这年，H H 6563 A4861 A 4340 A 4102 A oooo图 19-1瑞士数学家巴尔末(J.J.Balmer)，发现氢原子光谱在可见光部分的谱线，可归结于下式：，，，54321122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=n n R λ 式中λ为波长，1710097.1-⨯=m R 称为里德伯常数。
一原子的四个量子数
一 原子的四个量子数 主量子数 n=1，2，3，4…… 角量子数 0,1,2,3,(1)l n =- 磁量子数 ,0,m l l =+-自旋量子数 11,22s m =+-1 主量子数n主量子数在确定电子运动的能量时期着头等的作用。
在氢原子中电子的能量则完全由n 决定：213.6()e V E n=-1234n 可取，，，，等值当主量子数增加时，电子的能量随着增加，其电子出现离核的平均距离也相应增大。
在一个原子内，具有相同主量子数的电子，近乎在同样的空间范围运动，故称主量子数。
N 相同的电子为一个电子层。
常用电子层的符号如下当 n=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7电子层符号 K ， L ， M ， N ， O ， P ， Q 2角量子数角量子数确定原子轨道的形状并在多电子原子中和主量子数一起决定电子的能级。
电子绕核转动时不仅具有一定的能量，而且也有一定的角动量M ，它的大小同原子轨道的形状有密切的关系。
如M=0时，即l =0时说明原子中的电子运动的情况同角度无关。
即原子轨道的形状是球形对称的。
如l =1时，其原子轨道呈哑铃形分布；l =2时，则成花瓣形分布。
对于给定的n 值，l 只能取小于n 的正整数。
0,1,2,3,(1)l n =- 相应能级符号：s ，p ，d ，f ，g 3 磁量子数m磁量子数决定原子轨道在空间的取向。
磁量子数可以取值：0，±1，±2…±l 22n 共有2l +1个值。
磁量子数与角量子数的关系及他们确定的空间空间运动状态数如下： 4 自旋量子数s ms m 只有两种取值，11.22+-。
描述的是电子自旋的方向。
四个量子数才可以全面确定电子的一种运动状态。
而三个量子数n ，l ，m 可以确定一个空间运动状态，一个原子轨道。
每种类型原子轨道的数目则等于磁量子数的数目，也就是2l +1个。
n ，l 相同，m 不同时的轨道，能量相同，称为简并轨道或等价轨道。
原子极化率的量子理论
nm +γ nm ) t
∫
t
−∞
i ˆ ˆ (1) ]nm e ( iωnm +γ nm ) t′ dt ′ [ H int , ρ
(14)
式中
(1) (1) ˆ int , ρ ˆ (1) ]nm = − ∑ ( µ nk ρ km [H − ρ nk µ km ) ⋅ E (t )
( eq ) ρ nn =
g n − En / kT e , Z
Z = ∑ g n e − En / kT
n
(17)
ρ
( eq ) nm
= 0 (n ≠ m)
gn 是能级 En 的简并度, Z 是配分函数.所以密度矩阵的起始条件很易给定. 密度矩阵的另一个好处是可以引入唯象参数来描写系统内的各种弛豫过程.原则上,可 在系统的哈密顿量中引入系统与外界各种随机的弱的相互作用
2
(14)
2
(15)
(s) (s) (s) 是系统 Ψ 处于能量是 En 的态的几率,由于 Ψ 是按一定几率分布的,所以ρnm 是系 an
统处于能态 En 的几率的系综平均值.一般说,它与填充数这一可测的量直接有关. 密度矩阵 的非对角元可表示成
( s ) ( s )∗ (s) ( s ) i (φ ρ nm = ∑ Ws a n a m = ∑ Ws a n am e s s
ˆ) ˆF F = tr ( ρ
(13)
ˆ 仍满足方程(8),(9). 下面讨论密度矩阵的意义.选择能量表象 ,并且令无外场时原子 注意, ρ
哈密顿量为 Ho, 本征函数为 u n , 满足
H 0 un = E n un
密度矩阵的对角元
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第二十一章 原子的量子理论
1913年,玻尔提出氢原子结构及量子理论(1922奖) 1914,夫兰克-赫兹实验证实(1925奖
1924年，德布洛义提出了实物粒子的波粒二象性（1929奖） 1925,海森堡建立矩阵力学(1932奖) 1926,薛定谔建立波动力学(1933奖)
1927,戴维孙和G.P. 汤姆孙,电子衍射实验证实粒子的波动性(1937奖)
§21－1 玻尔的氢原子模型
一．
玻尔理论的实验基础
1． 原子的有核模型
原子是中性的，稳定的；核外电子绕核作圆周运动；
2． 氢原子光谱的实验规律 ① 综合经验公式： 1=m ，赖曼系；2=m ，巴尔末系；3=m ，帕邢系；4=m ，布喇格系；5=m ，普芳德系；
② 里兹并合原理
式中：)n (T ),m (T 称为光谱项
氢原子光谱：谱线是分裂的，线状的；原子光谱线的波数，由光谱项之差确定。
二． 经典电磁理论遇到的困难
卢瑟福原子模型＋经典的电磁理论，必将导出： 1． 光谱连续
2． 原子不可能是稳定的系统； 与事实不符！ 三． 玻尔理论 1． 基本思想：
① 承认卢瑟福的原子天文模型 ② 放弃一些经典的电磁辐射理论 ③ 把量子的概念用于原子系统中 2． 玻尔的三条假设
① 原子系统只能处于一系列不连续的稳定态（电子绕核加速运动，但不发射电磁波的能量状态，简
称能态）
② 处于稳定态中，电子绕核运动的角动量满足角动量量子化条件
③ 频率条件：当原子从一个定态跃迁到另一个定态时，放出或吸收单色辐射的频率满足 3． 讨论：
① 轨道量子化,稳定轨道半径公式
对氢原子，Z ＝1
② 能量量子化－能级（原子系统的总能量公式） 能级：量子化的能量状态（数值）
③ ④ 当n 很大时，量子化特征消失，玻尔结果与经典结果同 例（P241，例题21－1） 四． 玻尔理论的局限性 1． 成功之处
① 能较好地解释氢原子光谱和类氢原子光谱； ② 定态能级假设； ③ 能级间跃迁的频率条件。
2． 局限性
① 以经典理论为依据，推出电子有运动轨道、确定的空间坐标和速度 ② 人为引进量子条件，限制电子运动
③ 不能自洽。
对稍微复杂些的系统，如氦和碱土金属的光谱（谱线的强度、宽度、偏振）等均无法解
释
例1．动能为2eV 的电子，从无穷远处向着静止质子运动，最后被俘获形成基态氢原子，求： 1. 在此过程中发射光波的波长？ 2. 电子绕质子运动的动能是多少？ 3. 势能？角动量？动量？角速度？速度？＊ 例2． 用13.0eV 的电子轰击基态的氢原子， 1） 试确定氢原子所能达到的最高能态；
2） 氢原子由上述最高能态跃迁到基态发出的光子可能的波长为多少？ 3） 欲使处于基态的氢原子电离至少用多大能量的电子轰击氢原子？
§21－2 实物粒子的波粒二象性
一． 光的波粒二象性 波动性：干涉、衍射、偏振 粒子性：热辐射,光电效应,散射等 同时具有，不同时显现 二． 德布罗意假设
1． 假设：质量为m 的粒子，以速度v 运动时，不但具有粒子的性质，也具有波动的性质； 粒子性：可用E 、P 描述
νh mc E ==2, λ
h
mv P =
=
波动性：可用νλ,描述
22021β
ν-==h c m h mc ,v m h mv h
021βλ-==------－德布罗意公式
2． 电子的德布罗意波长
加速电势差为U ，则：
20221m eU
v ,eU v m == 如：nm .,V U 10150==λ（与x 射线的波长相当）
* )
c m eU (eU hc
2
02+=
λ
三．
电子的衍射实验－德布罗意假设的实验验证
1． 戴维森－革末实验(1937年奖) 实验条件：
nm .d 0910=,
︒=65ϕ,V U 100=
2． GP 汤姆逊电子衍射实验（1937年奖）,（JJ 汤姆逊发现电子）
P246电子衍射与X 射线衍射照片 * 历史附注：…
* 西欧中心的正负电子对撞机LEP 高速电子的能量可达50GeV 例1．
求波长都等于0.2nm 的光子与电子的总能量和动量
例2． 电子通过单缝的实验中，加速电压V U 100=，垂直穿过nm a 2=的单缝，求： ① 加速后的速率； ② 电子相应的波长； ③ 中央明纹的半角宽度ϕ 解：
① s /m .m
eU
v 610952⨯== ② nm .U
.12250225
1==
λ ③ o .)a
arcsin(
5123==λ
ϕ
§21－3 测不准关系
一． 描述物体的运动状态
1． 宏观：)P (v ,r
，两者可同时准确测量；
2． 微观粒子：)P (v ,r
不能同时准确测量，原因是微观粒子具有波、粒二象性，有测不准关系：
即：粒子有某方向的坐标测不准量与该方向上的动量分量的测不准量的积，必不小于普朗克常数；位置测得越准，动量测得越不准！ 现代量子力学证明：
二．测不准关系的推证（1927年，海森堡）
理想实验：一束平行电子射线垂直地射到宽度为a 的狭缝上，衍射
三．讨论
1． 不确定关系式表示电子的坐标及相应的动量不能同时准确测量
2． 不确定关系取决于电子本身的固有特性－波粒二象性，即精度、方法等都无济于事 3． 对宏观物体讲不受此限制 四．其它表示：
能量、时间：h t E ≥⋅∆∆ 角动量、角位移：h L ≥⋅ϕ∆∆ϕ
例1．已知一个光子沿x 方向传播，其波长nm 500=λ，对波长的测量是相当准确的，nm 4
105-⨯=λ∆，
求该光子x 坐标的不确定度；)m .x (50≥∆
例2．质量为m 的粒子位置的不确定量等于粒子的德布罗意波长λ，求x v ∆的最小值。
)v v (x ≥∆ 例3．氢原子中基态电子的速度大约是s /m 6
10，电子位置的不确定度可按原子大小估算cm x 8
10-=∆，求
电子速度的不确定度。
⇒⨯≥)s /m .v (x 61037∆轨道概念在量子力学中无意义！
§21－4 波函数 薛定格方程
一． 波函数
1．
自由粒子的波函数 平面简谐波的波动方程 指数形式：
)
x
t (i Ae
y λ
νπ--=2 （1）
由此方程知：频率ν，波长λ，沿x 正方向传播
设想：动量一定的自由粒子，沿x 正向传播，有波动性, 则：
h E =
ν，P
h =λ 令(1)式中
)t ,x ()t ,x (y ψ−→−；0ψ−→−A
则：
式中，)t ,x (ψ：自由粒子的波函数
0ψ：波函数的振幅
三维运动： 2． 波函数的物理意义 与光波类比：
① 对光波，0=x 处（中央极大处）
2E N ∝:光子数与振幅平方成正比
②
对比： 光强−→←
物质波强度 光子数−→←
粒子数 ③
对物质波：
★结论：某时粒子在某处出现的概率，与该时该处波函数的模的平方成正比；即：
2
ψ∝W −−←
波函数的物理意义
物质波(德布罗意波)−→−
概率波 3． 概率密度（几率密度）ρ
某点处单位体积元内粒子出现的概率；
dV dW 2
ψ=，dxdydz dV =
4． ★
波函数的性质（标准条件）
① 单值性：某时某处概率唯一； ② 有限性：1<W ；
③ 连续性：W 的分布是连续的。
波函数的归一化条件：
5． 德布罗意波与经典波的区别
① 微观粒子运动的统计描述，不是某量周期性变化的传播；
② 德布罗意波，有归一化条件，ψ与ψC 同。
经典波的I C 'I 2
=
二．
薛定格方程（c v <<）
1． 自由粒子的薛定格方程
x 方向运动：)
Px Et (i
e --=
ψψ r
方向运动：)r P Et (i
e
⋅--=0ψψ ① 对z ,y ,x 求二级偏导，得：
ψψ22
2
P -=∇ （1）
② 对t 求一级偏导，得：
ψψψm
P E t i 22==∂∂ （2） 将（1）式代入得：
t
i m ∂∂=∇-ψ
ψ 222−→−自由粒子的含时薛定格方程 2．
非自由粒子的薛定格方程
t
i U m H ˆ∂∂=+∇-=ψψψψ 222−→−一般形式的含时薛定格方程 3．
定态薛定格方程
设：)t (f )z ,y ,x ()t ,z ,y ,x (⋅=Φψ 定态波函数：
定态势场中运动粒子的薛定格方程
例：求一维势井中粒子的能量、波函数及概率密度
一维势井： 解之得： ① 本征能量：
0812
2
1≠==ma
h E ,n (零点能
)
②本征波函数：
③概率密度：
讨论：
1.对无限深势井来说，粒子只能在U＝0的区域内运动，称为束缚态，所得到的定态方程的解，只能取一
些驻波的形式
2.粒子在势井内各处出现的概率密度随量子数改变
3.相邻两能级间的距离:。