第二十一章 原子的量子理论

第二十一章 原子的量子理论1897年，J.J.汤姆孙发现电子(1906奖)并确认电子是原子的组成部分 1913年,玻尔提出氢原子结构及量子理论(1922奖) 1914,夫兰克-赫兹实验证实(1925奖1924年，德布洛义提出了实物粒子的波粒二象性（1929奖） 1925,海森堡建立矩阵力学(1932奖) 1926,薛定谔建立波动力学(1933奖)1927,戴维孙和G.P. 汤姆孙,电子衍射实验证实粒子的波动性(1937奖)§21－1 玻尔的氢原子模型一．玻尔理论的实验基础1． 原子的有核模型原子是中性的，稳定的；核外电子绕核作圆周运动；2． 氢原子光谱的实验规律 ① 综合经验公式： ⋅⋅⋅++=-=,m ,m n ,)nm (R ~211122ν17100967761-⨯=m .R1=m ，赖曼系；2=m ，巴尔末系；3=m ，帕邢系；4=m ，布喇格系；5=m ，普芳德系；② 里兹并合原理)n (T )m (T ~-=ν式中：)n (T ),m (T 称为光谱项氢原子光谱：谱线是分裂的，线状的；原子光谱线的波数，由光谱项之差确定。

二． 经典电磁理论遇到的困难卢瑟福原子模型＋经典的电磁理论，必将导出： 1． 光谱连续2． 原子不可能是稳定的系统； 与事实不符！三． 玻尔理论 1． 基本思想：① 承认卢瑟福的原子天文模型 ② 放弃一些经典的电磁辐射理论 ③ 把量子的概念用于原子系统中2． 玻尔的三条假设① 原子系统只能处于一系列不连续的稳定态（电子绕核加速运动，但不发射电磁波的能量状态，简称能态）② 处于稳定态中，电子绕核运动的角动量满足角动量量子化条件,,,n ,nh hn L 3212==⋅=π③ 频率条件：当原子从一个定态跃迁到另一个定态时，放出或吸收单色辐射的频率满足m n E E h -=ν3． 讨论：① 轨道量子化,稳定轨道半径公式,,,n ,mZe n h r n 3212220==πε对氢原子，Z ＝1,,,n ,men h r n 3212220==πε nm .r ,n 0529011==)nm (n .r n r n 21205290==② 能量量子化－能级（原子系统的总能量公式）,,,n ,nh me E n 3211822204=⋅-=ε eV .E ,n 61311-==eV n.n E E n 221613-==能级：量子化的能量状态（数值）③ 氢原子光谱hE E mn -=ν④ 当n 很大时，量子化特征消失，玻尔结果与经典结果同0211221==--=-=∞→-n)n (n E E E E E n n n n nn∆例（P241，例题21－1） 四． 玻尔理论的局限性 1． 成功之处① 能较好地解释氢原子光谱和类氢原子光谱； ② 定态能级假设； ③ 能级间跃迁的频率条件。

2． 局限性① 以经典理论为依据，推出电子有运动轨道、确定的空间坐标和速度 ② 人为引进量子条件，限制电子运动③ 不能自洽。

对稍微复杂些的系统，如氦和碱土金属的光谱（谱线的强度、宽度、偏振）等均无法解释例1．动能为2eV 的电子，从无穷远处向着静止质子运动，最后被俘获形成基态氢原子，求： 1. 在此过程中发射光波的波长？ 2. 电子绕质子运动的动能是多少？ 3. 势能？角动量？动量？角速度？速度？＊例2． 用13.0eV 的电子轰击基态的氢原子， 1） 试确定氢原子所能达到的最高能态；2） 氢原子由上述最高能态跃迁到基态发出的光子可能的波长为多少？ 3） 欲使处于基态的氢原子电离至少用多大能量的电子轰击氢原子？§21－2 实物粒子的波粒二象性一． 光的波粒二象性 波动性：干涉、衍射、偏振 粒子性：热辐射,光电效应,散射等 同时具有，不同时显现 二． 德布罗意假设1． 假设：质量为m 的粒子，以速度v 运动时，不但具有粒子的性质，也具有波动的性质； 粒子性：可用E 、P 描述νh mc E ==2, λhmv P ==波动性：可用νλ,描述22021βν-==h c m h mc ,v m h mv h021βλ-==------－德布罗意公式2． 电子的德布罗意波长加速电势差为U ，则：020221m eU v ,eU v m == Uem h eUm h v m h 122000⋅===λnm U.2251=λ 如：nm .,V U 10150==λ（与x 射线的波长相当）* )c m eU (eU hc 202+=λnm U .E E k 22510=⇒>>λ kk E hc E E =⇒>>λ0三． 电子的衍射实验－德布罗意假设的实验验证1． 戴维森－革末实验(1937年奖) 实验条件：nm .d 0910=,︒=65ϕ,V U 100=nm .sin d 16502==ϕλ nm .U.16702251==λ2． GP 汤姆逊电子衍射实验（1937年奖）,（JJ 汤姆逊发现电子）P246电子衍射与X 射线衍射照片* 历史附注：…* 西欧中心的正负电子对撞机LEP 高速电子的能量可达50GeV 例1． 求波长都等于0.2nm 的光子与电子的总能量和动量例2． 电子通过单缝的实验中，加速电压V U 100=，垂直穿过nm a 2=的单缝，求： ① 加速后的速率； ② 电子相应的波长； ③ 中央明纹的半角宽度ϕ 解：① s /m .meUv 610952⨯== ② nm .U.122502251==λ ③ o .)aarcsin(5123==λϕ§21－3 测不准关系一． 描述物体的运动状态1． 宏观：)P (v ,r ，两者可同时准确测量；2． 微观粒子：)P (v ,r不能同时准确测量，原因是微观粒子具有波、粒二象性，有测不准关系：C P r ≥⨯∆∆ h P x x ≥⋅∆∆即：粒子有某方向的坐标测不准量与该方向上的动量分量的测不准量的积，必不小于普朗克常数；位置测得越准，动量测得越不准！ 现代量子力学证明：π∆∆4h P x x ≥⋅二．测不准关系的推证（1927年，海森堡）理想实验：一束平行电子射线垂直地射到宽度为a 的狭缝上，衍射 三．讨论1． 不确定关系式表示电子的坐标及相应的动量不能同时准确测量2． 不确定关系取决于电子本身的固有特性－波粒二象性，即精度、方法等都无济于事 3． 对宏观物体讲不受此限制四．其它表示：能量、时间：h t E ≥⋅∆∆ 角动量、角位移：h L ≥⋅ϕ∆∆ϕ例1．已知一个光子沿x 方向传播，其波长nm 500=λ，对波长的测量是相当准确的，nm 4105-⨯=λ∆，求该光子x 坐标的不确定度；)m .x (50≥∆例2．质量为m 的粒子位置的不确定量等于粒子的德布罗意波长λ，求x v ∆的最小值。

)v v (x ≥∆例3．氢原子中基态电子的速度大约是s /m 610，电子位置的不确定度可按原子大小估算cm x 810-=∆，求电子速度的不确定度。

⇒⨯≥)s /m .v (x 61037∆轨道概念在量子力学中无意义！§21－4 波函数 薛定格方程一． 波函数1．自由粒子的波函数 平面简谐波的波动方程)xt (cos A y λνπ-=2指数形式：)xt (i Aey λνπ--=2 （1）由此方程知：频率ν，波长λ，沿x 正方向传播设想：动量一定的自由粒子，沿x 正向传播，有波动性, 则：hE =ν，P h =λ令(1)式中)t ,x ()t ,x (y ψ−→−；0ψ−→−A则：)Px Et (ie )t ,x (--=ψψ 式中，)t ,x (ψ：自由粒子的波函数0ψ：波函数的振幅三维运动：)r P Et (ie )t ,r (⋅--=0ψψ 2． 波函数的物理意义 与光波类比：① 对光波，0=x 处（中央极大处）2E N ∝:光子数与振幅平方成正比②对比： 光强−→←物质波强度 2E −→←20ψ 光子数−→←粒子数 ③ 对物质波：★结论：某时粒子在某处出现的概率，与该时该处波函数的模的平方成正比；即：2ψ∝W −−←波函数的物理意义 物质波(德布罗意波)−→−概率波3． 概率密度（几率密度）ρ某点处单位体积元内粒子出现的概率；dV dW 2ψ=，dxdydz dV =2ψρ==dVdW4． ★波函数的性质（标准条件）①单值性：某时某处概率唯一；② 有限性：1<W ；③连续性：W 的分布是连续的。

波函数的归一化条件：12=⎰⎰⎰VdV ψ5． 德布罗意波与经典波的区别① 微观粒子运动的统计描述，不是某量周期性变化的传播；② 德布罗意波，有归一化条件，ψ与ψC 同。

经典波的I C 'I 2=二．薛定格方程（c v <<）1． 自由粒子的薛定格方程x 方向运动：)Px Et (ie --=ψψ r方向运动：)r P Et (ie⋅--=0ψψ ① 对z ,y ,x 求二级偏导，得：ψψ222P -=∇ （1）② 对t 求一级偏导，得：ψψψmP E t i 22==∂∂ （2） 将（1）式代入得：ti m ∂∂=∇-ψψ 222−→−自由粒子的含时薛定格方程2．非自由粒子的薛定格方程ti U m H ˆ∂∂=+∇-=ψψψψ 222−→−一般形式的含时薛定格方程3．定态薛定格方程设：)t (f )z ,y ,x ()t ,z ,y ,x (⋅=Φψ 定态波函数：iEte)z ,y ,x ()t ,z ,y ,x (-⋅=Φψ定态势场中运动粒子的薛定格方程ΦΦΦE U m=+∇-222例：求一维势井中粒子的能量、波函数及概率密度一维势井：)a x ,x ()a x ({U ≥≤∞<<=000解之得： ① 本征能量：2228n mah E n ⋅= 081221≠==ma h E ,n (零点能)② 本征波函数：x an sin a )x (n πΦ⋅=2③ 概率密度：)axn (sin a )x (n n πψρ222⋅== 讨论：1. 对无限深势井来说，粒子只能在U ＝0的区域内运动，称为束缚态，所得到的定态方程的解，只能取一些驻波的形式2. 粒子在势井内各处出现的概率密度随量子数改变3. 相邻两能级间的距离:)n (mah E 12822+=∆ρ。