单纯形法及应用举例

100
120
Ⅱ
7.5
120
150
Ⅲ
5.0
合计
150
150
11
370
420
第4节 应用举例
例6 已知有三个产地给四个销地供应某种产品，产销地之间的 供需量和单位运价见表5-8。有关部门在研究调运方案时依次 考虑以下七项目标，并规定其相应的优先等级：
P1——B4是重点保证单位，必须全部满足其需要；
P2——A3向B1提供的产量不少于100；
c j z j akj Pk j 1,2, ,n; k 1,2, , K
因为 P1>>P2>>…>>PK
故从每个检验数的整体来看，检验数的正、负首先决定于P1的系数 α1j的正、负；若α1j=0，则此检验数的正、负就决定于P2的系数α2j的 正、负；下面依此类推。
1
第3节 解目标规划的单纯形法
x12+x22+x32+d2− − d2+=100
x13+x23+x33+d3− − d3+=450
x14+x24+x34+d4− − d4+=250
❖ A3向B1提供的产品量不少于100
x31+d5−− d5+=100
15
第4节 应用举例
❖ 每个销地的供应量不小于其需要量的80%
x11+x21+x31+d6−−d6+=200×0.8 x12+x22+x32+d7− − d7+=100×0.8 x13+x23+x33+d8− − d8+=450×0.8 x14+x24+x34+d9− − d9+=250×0.8 ❖ 调运方案的总运费不超过最小运费调运方案的10%
❖ 解目标规划问题的单纯形法的计算步骤：
(1) 建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子个数分别列成 K行，置k=1。
(2) 检查该行中是否存在负数，且对应的前k−1行的系数是零。若有 负数取其中最小者对应的变量为换入变量，转到(3)；若无负数，则 转到(5)。
(3) 按最小比值规则确定换出变量。当存在两个和两个以上相同的最 小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换出变量。
cj CB XB b
P1 P2 P3 P4 x1 x2 xs d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+ θ
xs 1 d3+ 4
1 -1 1 -1 1 2 -2 6 -6 -1 1
x2 10/3
1
-1/3 1/3 1/3 -1/3
x1 10/3 1
2/3 -2/3 1/3 -1/3
P1
1
cj-zj
34
cij xij d10 d10 2950(110%)
i1 j1
16
第4节 应用举例
❖ 因路段的问题，尽量避免安排将A2的产品运往B4
x24+d11−−d11+=0
❖ 给B1和B3的供应率要相同
(x11+x21+x31)−(200/450)(x13+x23+x33)+d12−− d12+=0
的变量x2为换入变量，转入(3)。 ⑤ 在表4-1上计算最小比值
θ=min(11/1，0，10/2，56/10)=10/2 它对应的变量d2-为换出变量，转入(4)。 ⑥ 进行基变换运算，计算结果见表4-2。返回到(2)。依此类推，
直至得到最终表为止。见表4-3。
5
第3节 解目标规划的单纯形法
表4-2
x1- 2 1
-5/3 5/3 1/3 -1/3
P1
1
cj-zj
P2
11
P3
1
7
第3节 解目标规划的单纯形法
❖ 表4-3所示的解x1*=2，x2*=4为例1的满意解，此解相当 于图4-1的G点。
8
第3节 解目标规划的单纯形法
❖ 检查表4-3的检验数行，发现非基变量d3+的检验数为0， 表示存在多重解。在表4-3中，以非基变量d3+为换入 变量，d1−为换出变量，经迭代得到表4-4。
❖ 力求总运费最省
34
cij xij d13 d13 2950
i1 j1
❖ 目标函数为：
min z P1d 4 P2d 5 P3(d6 d 7 d 8 d 9)

P4d
10

P5
d
11
P6 (d
12
d
12)

P7d
13
17
第4节 应用举例
21
第4节 应用举例
变量
x1 x2 x3 d-
1
d2
d3
d4
d+ 5
d+ 6
含义 晋升到Ⅰ级的人数 晋升到Ⅱ级的人数 新招收Ⅲ级的人数 工资总额的结余额 Ⅰ级缺编人数 Ⅱ级缺编人数 Ⅲ级缺编人数 Ⅱ级超编人数 Ⅲ级超编人数
解1 解2 解3 解4
2.4 2.4 3
3
3
3
3
5
0
3
3
5
6300 3300 3000 0
5
2
6
7
300
A2
3
5
4
6
200
A3
4
5
2
3
400
销量
200 100 450 250 900/1000
13
第4节 应用举例
❖ 解 表上作业法求得最小运费的调运方案见表5-9。 这时得最小运费为2950元，再根据提出的各项目 标的要求建立目标规划的模型。
表5-9
销 地 B1
B2
B3
B4
产量
产地
A1 A2 A3 虚设点
cj
P1 P2 P3 P4
CB XB b
x1 x2 xs d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+
θ
xs 6 3/2
1
-1/2 1/2
4
d1- 5 3/2
1 -1 1/2 -1/2
10/3
x2- 5 1/2 1
1/2 -1/2
10
P3 d3- 6 [3]
-5 5 1 -1 6/3
P1
1
cj-zj
θ
11/1
1 -1
/
1 -1
10/2
1 -1 56/10
1
2
1
4
第3节 解目标规划的单纯形法
② 取k=1，检查检验数的P1行，因该行无负检验数，故转(5)。 ③ 因k(=2)＜K(=3)，置k=k+1=3，返回到(2)。 ④ 查出检验数P2行中有−1、 − 2；取min(− 1, − 2)= − 2。它对应
P2
11
P3
1
9
第3节 解目标规划的单纯形法
❖ 由表4-4得到解x1*=10/3，x2*=10/3，此解相当于图4-1 的D点，G、D两点的凸线性组合都是例1的满意解。
10
第4节 应用举例
例5 某研究所领导在考虑本单位职工的升级调资方案时，依次遵守 以下优先级顺序规定：
(1) 不超过年工资总额3000万元；
❖ ① 取xs，d1−，d2− ，d3−为初始基变量，列初始单纯形表，见 表4-1。
cj
CB XB b x1
xs 11 2
d1- 0 1
P2 d2- 10 1
P3 d3- 56 8
P1
cj-zj
P2 -1
P3 -8
x2 xs 11 -1 [2] 10
-2 -10
P1 P2 P3 P4
d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+
(4) 按单纯形法进行基变换运算，建立新的计算表，返回(2)。 (5) 当k=K时，计算结束，表中的解即为满意解。否则，置k=k+1，返
回到(2)。
2
第3节 解目标规划的单纯形法
❖ 例4 试用单纯形法来求解例2。 解：将例2的数学模型化为标准型：
目标函数： min z P1d1 P2 (d2 d2 ) P3d3
(2) 提级时，每级的人数不超过定编规定的人数；
(3) Ⅱ，Ⅲ级的升级面尽可能达到现有人数的20%，且无越级提升； 此外，Ⅲ级不足编制的人数可录用新职工，又Ⅰ级的职工中有10% 要退休。
有关资料汇总于表5-6中，问该领导应如何拟订一个满意的方案。
等级 工资额(万元/年) 现有人数 编制人数
Ⅰ
10.0
3360元
总运费为3360元
18
第4节 应用举例
练习:某单位领导在考虑本单位职工的升级调资方案时，依次遵守 以下规定： (1) 不超过年工资总额60000元； (2) 每级的人数不超过定编规定的人数； (3) Ⅱ，Ⅲ级的升级面尽可能达到现有人数的20%，且无越级提升； (4) Ⅲ级不足编制的人数可录用新职工，又Ⅰ级的职工中有10%要 退休。
有关资料汇总于下表中，问该领导应如何拟订一个满意的方案。
等级 工资额(元/年) 现有人数 编制人数
Ⅰ
2000
10
12
Ⅱ
1500
12
15
Ⅲ
1000
15
15
19
合计
37
42
第4节 应用举例
❖ 解：设x1、x2、x3分别表示提升到Ⅰ、Ⅱ级和录用到Ⅲ级的新 职工人数。对各目标确定的优先因子为： P1——不超过年工资总额60000元； P2——每级的人数不超过定编规定的人数； P3——Ⅱ、Ⅲ级的升级面尽可能达到现有人数的20%。
❖ 计算结果，得到满意调运方案见表5-10。
销地 B1
产地
B2
B3
B4 产量
A1
100
200 300
A2
90
110
200
A3
100
250 50 400
虚设点 10
90
100
销量
200 100 450 250 1000
C 3 90 4 100 2 100 4 110 2 250 7 200 3 50
200 100
300
200
200
250 150 400
100 100
销量
200 100 450 250 1000/1000 14
第4节 应用举例
❖ 供应约束
x11+x12+x13+x14≤300 x21+x22+x23+x24≤200 x31+x32+x33+x34≤400 ❖ 需求约束：
Biblioteka Baidu
x11+x21+x31+d1−− d1+=200
P2
11
P3 -3
5 -5
1
6
第3节 解目标规划的单纯形法
表4-3
cj CB XB b
x1 x2
P1 P2 P3 P4 xs d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+ θ
xs 3
1
2 -2 -1/2 1/2 6
d1- 2
1 -1 3 -3 -1/2 1/2 4
x2- 4
1
4/3 -4/3 -1/6 1/6 24
2x1 x2 xs
11

x1
x2 d1 d1 0
满足约束条件：

x1 2x2 d2 d2 10
8x1 10x2 d3 d3 56
x1, x2, xs , di, di 0, i 1,2,3
3
第3节 解目标规划的单纯形法
P3——每个销地的供应量不小于其需要量的80%；
P4——所定调运方案的总运费不超过最小运费调运方案的10%；
P5——因路段的问题，尽量避免安排将A2的产品往B4；
P6——给B1和B3的供应率要相同；
P7——力求总运费最省。试求满意的调运方案。
12
第4节 应用举例
销 地 B1
B2
B3
B4
产量
产地
A1
第3节 解目标规划的单纯形法
❖ 目标规划的数学模型结构与线性规划的数学模型结构形式上 没有本质的区别，所以可用单纯形法求解。但要根据目标规 划的特点，作以下规定：
(1) 因目标规划问题的目标函数都是求最小化，所以以cj−zj≥0， j=1,2,…，n作为最优性判别准则。
(2) 因非基变量的检验数中含有不同等级的优先因子，即
0.6 0.6 0
0
2.4 2.4 3
1
3
0
0.6 0
0
0
0
0.6
0
0
0
2
22
❖ 先分别建立各目标约束。 年工资总额不超过60000元 2000(10−10×0.1+x1)+1500(12−x1+x2)+1000(15−x2+x3)+ d1−d1+ =60000
20
第4节 应用举例
每级的人数不超过定编规定的人数： 对Ⅰ级有 10(1− 0.1)+x1+d2−−d2+=12 对Ⅱ级有 12 − x1+x2+d3−−d3+=15 对Ⅲ级有 15 − x2+x3+d4− −d4+=15 Ⅱ，Ⅲ级的升级面不大于现有人数的20%，但尽可能多提： 对Ⅱ级有 x1+d5− −d5+=12×0.2 对Ⅲ级有 x2+d6− −d6+=15×0.2 目标函数：min z=P1d1++P2(d2++d3++d4+)+P3(d5−+d6−) ❖ 以上目标规划可用单纯形法求解，得到多重解。将这些解汇 总于下表，单位领导再按具体情况，从表中选出执行方案。