高中数学专题：概率共55页

合集下载

新人教版高中数学必修第二册概率全套PPT课件

[变式训练]
1．[变设问]若本例条件不变，问题改为用集合表示事件：P＝“x ＋y 是偶数”．解：“x＋y 是偶数”包括两种情况，①x，y 都是奇数；②x， y 都是偶数，故“x＋y 是偶数”这一事件包含以下 8 个样本点： (1,1)，(1,3)，(3,1)，(3,3)，(2,2)，(2,4)，(4,2)，(4,4)．所以 P＝{(1,1)，(1,3)，(3,1)，(3,3)，(2,2)，(2,4)，(4,2)，(4,4)}．
大于事件 A.其中正确命题的个数为
()
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③对，①错；对
于④A⊆A∪B，即 A 与 B 的和事件包含事件 A，但两个事件
不能比较大小，故④错．答案：C
5．从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球观察颜色．设事件 A 为“所取两个球至少有一个白球”，事件 B 为“所取两个恰有一个红球”，则 A∩B 表示的事件为________．解析：因为从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球，这一随机试验的样本空间 Ω＝{(白、白)，(白、红)，(红、红)}，且 A＝{(白、红)，(白、白)}，B＝{(白，红)}．所以 A∩B＝ {(白、红)}．故 A∩B 表示的事件为恰有一个红球．
D．13 人中至少有 2 人生日在同一个月解析：一年有 12 个月，因此无论 10、11、12 个人都有不
在同一月生日的可能，只有 13 个人肯定至少有 2 人在同
一月生日．本题属“三种事件”的概念理解与应用，解决
这类题型要很好地吃透必然事件的概念，明确它必定要发
生的特征，不可因偶尔巧合就下结论，故选 D. 答案：D

高中数学概率知识点全面解析PPT

乘法公式和全概率公式
乘法公式的应用乘法公式在概率论中的应用广泛，例如计算两个事件同时发生的概率，其计算公式为P(A并B)=P(A)*P(B)。根据统计数据，这种方法的准确率高达90%以上。全概率公式的价值全概率公式可以解决复杂问题中的概率计算问题，如在多个互斥事件中寻找某个事件发生的原因。根据一项研究，使用全概率公式解决问题的效率比传统方法提高了约30%。
连续型随机变量
连续型随机变量定义连续型随机变量是一个可能取无限多个值的随机变量。概率密度函数连续型随机变量的概率密度函数用于描述该随机变量在某一区间内取值的概率。期望与方差连续型随机变量的期望和方差是其重要特性，它们描述了该随机变量的平均水平和离散程度。实际应用连续型随机变量广泛应用于金融、工程等实际问题中，如期权定价模型。
Comprehensive Analysis of Probability Knowledge Points in High School Mathematics
高中数学概率知识点全面解析
2023.11.03
目录
Content
01 概率的基本概念 02 条件概率与独立性 03 随机变量及其分布 04 多维随机变量及其联合分布 05 大数定律与中心极限定理
THANK YOU
2023.11.03
中心极限定理的内容和应用
中心极限定理概念中心极限定理是概率论中的一个重要定理，描述了大量随机变量和的分布趋近于正态分布的现象大数定律与中心极限定理大数定律揭示了样本数量增加时，样本平均值趋近于期望值，而中心极限定理则描述了这一过程的概率分布正态分布在实际应用中的重要性由于中心极限定理的作用，许多实际问题中的随机变量都可以近似为正态分布，方便进行统计分析中心极限定理在高中数学教学中的地位作为概率论的核心内容之一，中心极限定理对于培养学生的数学思维、解决实际问题具有重要意义

高中数学专题：概率共55页文档

26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
Байду номын сангаас
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
55
高中数学专题：概率
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处罚才能使犯罪得到偿还。— —达雷尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护。—— 威·厄尔
▪

高中数学第三章概率本章整合课件北师大版必修3

16 , ��(��2) 45 28 . 45
=
1 , 45
所以 P(B)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=
方法二:设“至少有一个二级品”为事件 B, 则��指抽出的2 个产品中没有二级品,由(1)知,A= ��. 所以 P(B)=1-P(�� )=1-P(A)=1−
专题一
专题二
专题三
专题四
应用设点(p,q)在|p|≤3,|q|≤3所表示的区域D中均匀分布,试求关于x的方程x2+2px-q2+1=0的两根都是实数的概率. 提示:根据一元二次方程有实数根的条件找出p,q满足的条件,进而确定相应的区域. 解:所有基本事件构成的区域D的度量为正方形的面积,即D的度量值为S正方形=6×6=36.
事件��包含的可能结果数试验的所有可能结果数事件��构成的区域范围总的区域范围
事件
概率概率模型几何概型
定义:结果为无限个且等可能发生的概率模型计算:��(��) =
区别:古典概型的结果有有限个,几何概型的结果有无限个联系:所出现的结果都是等可能的求法:随机模拟法和公式法随机模拟→应用→估计概率、求图形面积等
所以点 P 落在圆 x +y =36
2
2
22 内的概率为 36
=
11 . 18
专题一
专题二
专题三
专题四
专题三几何概型高考中涉及的几何概型的概率求解问题,难度不会太大,题型可能较灵活,涉及面可能较广.几何概型的三种常见类型为长度型、面积型和体积型,在解题时要准确把握,要把实际问题做合理的转化;要注意古典概型和几何概型的区别(基本事件的个数的有限性与无限性),正确选用几何概型解题.

《高二数学概率》课件

介绍指数分布的定义和用途，以及与泊松分布之间的关系。
概率应用
探索概率在不同领域中的应用，如金融、医学、科学等。
金融市场
了解概率在金融市场中的应用，如股票价格预测和投资决策。
医学研究
介绍概率在医学研究中的应用，如药物疗效评估和疾病风险预测。
科学实验
探索概率在科学实验中的应用，如概率分布模型和实验设计。
通过抛硬币的实验，帮助学生理解概率的两种可能性：事件发生和不发生。
抽扑克牌的概率
通过从一副牌中抽牌的实例，引出概率计算的原则和公式。
概率实例
通过真实世界的例子，帮助学生将概率理论应用到实际问题中。
天气预报的准确率
通过分析天气预报的准确率，让学生了解事件的发生概率与预测的可靠性之间的关系。
3
乘法定理
了解乘法定理的应用，计算多个事件同时发生的概率。
概率分布
介绍常见的概率分布，如二项分布、正态分布等，并讲解其特点和应用。
1 二项分布
探索二项分布的特点和在实际问题中的应用。
2 正态分布
通过正态分布的例子，帮助学生理解连续型概率分布。
3 泊松分布
4 指数分布
讲解泊松分布的概念及其在随机事件发生次数的分布中的应用。
《高二数学概率》PPT课件
这份《高二数学概率》PPT课件将带领你深入了解概率的概念，并学习如何应用概率计算和分析，让你在数学领域更胜一筹。
导入概率的概念
通过生动的例子和图表，让学生了解概率的基本概念以及它在日常生活中的应用。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
投掷骰子的概率
通过投掷骰子的实例，展示概率的基本定义和计算。
抛硬币的概率
总结和回顾

新人教版高中数学必修第二册概率全套PPT课件

【内化·悟】计算频率与概率的关键是什么？
提示：分析题干数据，准确找到相关事件与总体基本事件。
【类题·通】 1.解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率。 2.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小。通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数（概率），因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值。
D.甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
【解析】选B。对于A，C，D，甲胜、乙胜的概率都
是 1 ，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7和点数
2
之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲
胜的概率小，游戏不公平。
10.3.2 随机模拟
1.产生随机数的方法（1）利用计算器或计算机软件产生随机数。（2）构建模拟试验产生随机数。 2.蒙特卡洛方法利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法。
【思维·引】根据频率的定义计算频率，并利用频率估计概率。
【解析】（1）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2。由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为
60＋50 =0.55，故P（A）的估计值为0.55。
200
（2）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小
于4。由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4 的频率为 30＋30 =0.3，故P（B）的估计值为0.3。
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数
60 50 30 30 20 10
（1）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P（A）的估计值。（2）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”。求P（B）的估计值。（3）求续保人本年度平均保费的估计值。

高中数学概率

(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝)()(I card A card ＝n m ; (2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B );特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1.(3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B );例1．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，求：（1）剩下两个数字都是奇数的概率．（2）恰好有一个是奇数的概率。

（3）有奇数的概率。

例2．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为．例3从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g 之间的概率约为__________．例4.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为__________.（精确到0.01）例5．右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（A ）454 （B ）361 （C ）154 （D ）158 例6．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A ．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．例7．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是（结果用分数表示）．[考查目的] 本题主要考查运用排列和概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.例8．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球.由甲，乙两袋中各任取2个球.若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；例9.某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．例11．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为54、53、52、51，且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率. （注：本小题结果可用分数表示）例12．厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率；（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ,并求出该商家拒收这批产品的概率.例13．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52,且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望. （注：本小题结果可用分数表示）。

《高三数学概率》课件

古典概型和几何概型
深入了解古典概型和几何概型，掌握如何应用它们来计算概率。
独立事件和加法原理
探索独立事件和加法原理，以及如何应用它们解决实际问题。
第二部分：随机变量与概率分布
随机变量的概念与分类
理解随机变量的定义和分类，以及它们在概率分布中的作用。
离散型随机变量及其概率分布
学习离散型随机变量的特征和常见的概率分布，如二项分布和泊松分布。
《高三数学概率》PPT课件
通过这个PPT课件，你将在《高三数学概率》领域掌握一系列基础概念、重要原理和实际应用。准备好投入这个令人兴奋的数学领域吧！
第一部分：概率基础
什么是概率？
探索概率的定义，从数学和实际生活中的角度来理解概率的概念。
条件概率和乘法原理
学习条件概率和乘法原理的基本概念和计算方法。
第五部分：概率模型的应用
1
概率模型在生活中的应用
探索概率模型在风险评估、市场营销、
风险与收益的权衡
2
医学研究等实际应用中的重要性。
了解如何根据概率模型来评估风险和收
益，并做出明智的决策。
3
数据加密与社会安全
学习如何使用概率模型来加密数据，保
机器学习与人工智能的基础
4
护个人隐私和社会安全。
通过学习概率模型，了解机器学习和人工智能的基本原理和应用。
第四部分：统计推断和假设检验
点估计和区间估计
学习如何使用统计推断进行点估计和区间估计，以便从间的概念，以评估估计结果的可靠性。
假设检验的概念和步骤
探索假设检验的基本概念和步骤，并学习如何做出正确的推断。
类型I和类型II错误
了解类型I和类型II错误的定义和影响，以及如何最小化它们的发生。

高中数学概率专题

一.名词解释：1. 基本事件：必然事件——在一定条件下，必须发生的事件，P （A ）=1不可能事件——在一定条件下，不可能发生的事件，P(A)=0随机事件——在一定的条件下，可能发生，也可能不发生的事件，0<P(A)<1。

随机事件的概率;一般的，在大量的重复进行同一个试验时，事件A 发生的频率nm 总数接近某个常数，而这个常数叫做事件A 的概率。

其中m 是发生的次数，n 是总数。

2. 等可能事件：如果一次试验，有n 个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件发生的概率都是1/n ；如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么nm A P =)( （比如骰子游戏）3. 互斥事件：在一个试验中，不可能同时发生的事件，叫互斥事件如果事件A 和B 互斥，那事件A 和B 都要发生的概率：P(A+B)=P(A)+P(B) 加法公式4. 对立事件：如果事件A 表示发生，A 表示不发生，那么A 和A 是一对对立事件，关系：对立事件的两个的概率之和等于1，一个表示发生，一个表示不发生说明：对立事件和互斥事件是不同的定义，一般来讲，对立事件一定是互斥，但是互斥事件不一定对立。

5. 相互独立事件：事件A 和事件B 彼此发生，互不影响，这样的两个事件叫做相互独立事件考点：求两个事件同时发生的概率：P(A*B)=P(A)*P(B)，两个的乘积。

6. 独立重复试验：若n 次重复进行一次试验，每次出现的结果互不影响，且概率都为p ，就叫n 次重复试验。

考点：在n 次试验中，求发生k 次的概率P k n k k n p p C --=)1(，说明，这里的n 是一共进行的试验次数，k是发生的次数，P 是发生一次的概率，1-p 是不发生的概率。

1.在n 次同类产品中有10件正品，2件次品，从中任意抽出3件的必然事件是（）A. 3件都是正品B. 3件都是次品C. 至少有一件是次品D. 至少有一件是正品2.一个口袋中，有5个白球，和3个白球，从中任意取一个球。

高中数学概率专题

高中数学概率专题随机事件的概率一、知识点1.随机事件的概念事件是指在一定条件下所出现的某种结果。

随机事件指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，必然事件指在一定条件下必然要发生的事件，不可能事件指在一定条件下不可能发生的事件。

2.随机事件的概率事件A的概率指在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。

由定义可知0 ≤ P（A）≤ 1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.3.概率与频率的关系概率是固定的，频率是不固定的，随着试验次数的增加，频率接近于概率。

4.事件间的关系互斥事件是指不能同时发生的两个事件，对立事件是指不能同时发生，但必有一个发生的两个事件，包含是指事件A 发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B（或事件B 包含事件A）。

5.事件间的运算并事件（和事件）是指若某事件的发生是事件A发生或事件B发生，则此事件称为事件A与事件B的并事件。

交事件（积事件）是指若某事件的发生是事件A发生和事件B同时发生，则此事件称为事件A与事件B的交事件。

二、题型讲解题型一：随机事件概率1.下面事件：①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；②掷一枚硬币，出现反面；③实数的绝对值不小于零。

是不可能事件的有（）A。

②；B。

①；C。

①②；D。

③答案：D2.某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示年降水量（单位：mm）［100，150）［150，200）［200，250）［250，300）概率0.12 0.25 0.16 0.14则年降水量在［150，300］（mm）范围内的概率为（）答案：0.553.下列叙述错误的是（）B．若随机事件A发生的概率为p(A)，则0≤p(A)≤1C．互斥事件一定是对立事件，但是对立事件不一定是互斥事件D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同改写：B选项中的符号错误，应该是0≤p(A)≤1；C选项中的顺序错误，应该是对立事件不一定是互斥事件，但互斥事件一定是对立事件；D选项中的表述错误，应该是乙与甲抽到有奖奖券的概率相等。

高中数学《概率事件》课件

事件的性质
01
02
03
互斥性
两个事件不能同时发生，即两个事件不能同时发生。
对立性
两个互斥事件中必有一个发生，且只发生一个。
完备性
样本空间中任意一个子集都是一个事件。
事件的关系
01
02
03
04
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，即A的发生包含B的
发生。
并集关系
两个事件A和B同时发生，则它们并集的发生。
高中数学《概率事件》课件
汇报人： 202X-12-20
目录
• 概率事件的定义 • 概率的计算 • 事件的独立性 • 事件的互斥性 • 事件的包含性 • 事件的概率分布
01 概率事件的定义
事件的分类
必然事件
在一定条件下一定会发生的事件。
不可能事件
在一定条件下不可能发生的事件。
随机事件
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
互斥事件的性质
互斥事件的和事件等于全集
在互斥事件的概率加法公式中，和事件的总概率等于1。
互斥事件的概率加法公式
如果事件A与事件B是互斥事件，那么它们的和事件的概率等于它们各自的概率之和。
互斥事件的判断
判断两个事件是否互斥
如果两个事件不包括共同的事件，则称这两个事件是互斥的。
如何判断互斥事件
常见判断方法
通过列举法、排除法等方法来判断。例如，掷一枚骰子，出现点数1和出现点数2是两个独立事件，因为它们的发生不受彼此的影响。
04 事件的互斥性
互斥事件的定义
互斥事件定义
如果事件A与事件B，在每次试验中，两者不能同时发生，则称事件A与事件B是互斥事件。

精品高中数学专题：概率

第二讲概率1．基本事件的定义一次试验中可能出现的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件．基本事件的特点：(1)任何两个基本事件是互斥的； (2)任何事件都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型(1)古典概型我们把具有：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等，以上两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (2)古典概率模型的概率求法如果一次试验中基本事件共有n 个，那么每一个基本事件发生的概率都是1n ，如果某个事件A 包含了其中的m 个基本事件，那么事件A 发生的概率为P (A )＝mn .3．几何概型(1)几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． (2)几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).4．互斥事件与对立事件的关系(1)对立是互斥，互斥未必对立；(2)如果事件A ，B 互斥，那么事件A ＋B 发生(即A ，B 中有一个发生)的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．这个公式称为互斥事件的概率加法公式．(3)在一次试验中，对立事件A 和A 不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P (A )＝1－P (A )．1． (2013·安徽)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910答案 D解析由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P ＝910.2． (2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.78 答案 C解析设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x 、y ，x 、y 相互独立，由题意可知⎩⎨⎧0≤X ≤40≤y ≤4|x －y |≤2，如图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S △ABC S 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34.3． (2013·福建)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1<0”发生的概率为________．答案 13解析由3a －1<0得a <13.由几何概型概率公式得P ＝13.4． (2012·广东改编)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是________．答案 19解析个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类．(1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数． (2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P ＝545＝19.5． (2012·安徽改编)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从球中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率是________．答案 25解析设袋中红球用a 表示，2个白球分别用b 1，b 2表示，3个黑球分别用c 1，c 2，c 3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15个．两球颜色为一白一黑的基本事件有(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，共6个．∴其概率为615＝25.题型一古典概型例1 (1)(2013·江苏)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．(2)设集合P ＝{a 1，a 2，a 3，…，a 10}，则从集合P 的全部子集中任取一个，取出含有3个元素的子集的概率是( )A.310B.112C.4564D.15128审题破题 (1)利用古典概型概率的计算公式求解；(2)利用集合知识求出P 的全部子集个数和含3个元素的子集个数．答案 (1)2063(2)D解析 (1)P ＝4×57×9＝2063.(2)集合P 的全部子集个数为210＝1 024，含三个元素的子集个数为10×9×86.∴P ＝10×9×86×210＝15128.反思归纳古典概型是最基本的概率问题，可以直接利用公式P (A )＝mn 求出事件的概率，解题关键是求基本事件总数和事件A 所包含的基本事件个数．变式训练1 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解 (1)甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E 、F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种．从中选出的2名教师性别相同的结果为：(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种．所以选出的2名教师性别相同的概率为49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．从中选出的2名教师来自同一学校的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种．所以选出的2名教师来自同一学校的概率为615＝25.题型二几何概型例2 (1)在区间[－1,1]上随机取一个数x ，cosπx 2的值介于0到12之间的概率为 ( )A.13B.2π C.12 D.23(2)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ( )A.π4B.π－22C.π6 D.4－π4审题破题 (1)将cos π2x 的条件转化为x 的条件；(2)D 为正方形区域，点满足的条件为D内的一个圆外．答案 (1)A (2)D解析 (1)在区间[－1,1]上随机取一个实数x ，cosπx 2的值位于[0,1]区间，若使cos πx 2的值位于⎣⎡⎦⎤0，12区间，取到的实数x 应在区间⎣⎡⎦⎤－1，－23∪⎣⎡⎦⎤23，1内，根据几何概型的计算公式，可知P ＝2×132＝13.(2)如图，不等式⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的区域D 为正方形OABC .以O 为圆心，以2为半径作圆弧AMC ，则阴影部分内的点到原点O 的距离大于2，∴P ＝S 阴影S 正方形＝2×2－14·π·222×2＝4－π4.反思归纳几何概型中基本事件总数是无限的，计算几何概型要抓住问题的测度(长度、面积、体积)，利用公式计算．变式训练2 (1)如图，在单位圆O 的某一直径上随机的取一点Q ，过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率为______．答案 1－32解析弦长不超过1，即|OQ |≥32，而Q 点在直径AB 上是随机的，事件A ＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P (A )＝32×22＝32.∴弦长不超过1的概率为1－P (A )＝1－32.(2)在体积为V 的三棱锥S —ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S —APC 的体积大于V3的概率为________．答案 23解析 ∵V S —ABC V S —APC ＝S △ABC S △APC ＝ABAP ，∴V S —APC ＝AP AB ·V >V 3，AP >13AB ，所以所求概率为23.题型三互斥事件、对立事件的概率例3 班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率； (2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率．审题破题 “不全是男生”包括“二个女生”，“一男一女”两种情况，将所求事件分解为两个互斥事件的和．解 (1)利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如图所示)．由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，所以这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A 1表示事件“连续抽取2人是一男一女”，A 2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A 1与A 2互斥，并且A 1∪A 2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A 1的结果有12种，A 2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1220＋220＝710＝0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出.试验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A 表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A 的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率P (A )＝525＝15＝0.2.反思归纳运用互斥事件的概率公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥，然后分别求出各事件发生的概率，再求和．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解．变式训练3 一盒中装有大小和质地均相同的12个小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求 (1)取出的小球是红球或黑球的概率； (2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率．解方法一 (1)从12个球中任取1球是红球有5种取法，是黑球有4种取法，是红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，而任取1球共有12种取法．∴任取1球是红球或黑球的概率为P 1＝912＝34.(2)从12个球中任取1球是红球有5种取法，是黑球有4种取法，是白球有2种取法， ∴任取1球是红球或黑球或白球的概率P 2＝5＋4＋212＝1112.方法二记事件A ＝{任取1球为红球}， B ＝{任取1球为黑球}，C ＝{任取1球为白球}， D ＝{任取1球为绿球}，则P (A )＝512，P (B )＝13，P (C )＝16，P (D )＝112.(1)取出1球为红球或黑球的概率为P 1＝P (A )＋P (B )＝512＋13＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P 2＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝512＋13＋16＝1112.(或P 2＝1－P (D )＝1－112＝1112)．典例 (12分)(2012·湖南)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率) 规范解答解 (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.[2分]该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．[6分](2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2，A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P (A 1)＝15100＝320，P (A 2)＝30100＝310，P (A 3)＝25100＝14.[9分]因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件，所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3) ＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3) ＝320＋310＋14＝710. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[12分]评分细则 (1)x ，y 计算正确得2分；若只有x ，y 的值而无计算过程得1分；(2)将事件A 正确拆分得1分；P (A 1)、P (A 2)、P (A 3)少一个扣0.5分；(3)没有指明A 1、A 2、A 3互斥扣1分．阅卷老师提醒 (1)对复杂事件概率的计算要对事件进行拆分，转化为几个互斥事件的和；(2)事件拆分要不重不漏，否则易造成失分；(3)求概率时步骤要完备，每个小事件的概率要计算出来．1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34 答案 A解析甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3种．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13.2．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e >32的概率是( )A.118B.536C.16D.13答案 C 解析 e ＝ 1－b 2a 2>32⇒b a <12⇒a >2b ，符合a >2b 的情况有：当b ＝1时，有a ＝3,4,5,6四种情况：当b ＝2时，有a ＝5,6两种情况，总共有6种情况．所以概率为66×6＝16.3．盒子内装有红球、白球、黑球三种，其数量分别为3、2、1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为 ( )A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球D ．至少有一个白球；红、黑球各一个答案 D解析红、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球；红、黑球各一个”为互斥事件，又任取两球还包含其他事件，所以不对立．4．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．答案 35解析红色球分别用A 1，A 2，A 3表示，黄色球分别用B 1，B 2表示．从中随机取出2个球：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，(A 1，A 2)，(A 2，A 3)，(A 1，A 3)共10种取法.2个球颜色不同共6种，故所求概率为610＝35.5．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．答案 1316解析 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×⎝⎛⎭⎫122π×12＝34，去打篮球的概率P 2＝π×⎝⎛⎭⎫142π×12＝116，∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.6．在集合A ＝{m |关于x 的方程x 2＋mx ＋34m ＋1＝0无实根}中随机地取一元素x ，恰使式子lg x 有意义的概率为________．答案 45解析由于Δ＝m 2－4⎝⎛⎭⎫34m ＋1<0，得－1<m <4，若使lg x 有意义，必须使x >0. 在数轴上表示为，故所求概率为45.专题限时规范训练一、选择题1．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为 ( )A ．0.5B ．0.3C ．0.6D ．0.9答案 A解析依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5. 2．从数字1,2,3,4,5中随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率是( )A.13B.16125C.18125D.19125答案 D解析个位数字依次为1,2,3,4,5时，前两位数字之和依次为8,7,6,5,4，且依次有3,4,5,4,3种结果，故组成的三位数各位数字之和等于9的概率P (A )＝3＋4＋5＋4＋3125＝19125.3．一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( )A.9100B.350C.3100D.29 答案 A解析任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为(0，i )(i ＝0,1,2，…，9)；(1，i )(i ＝0,1,2，…，9)；(2，i )(i ＝0,1,2，…，9)；…；(9，i )(i ＝0,1,2，…9)．故共有100种结果．两个数字都是3的倍数的结果有(3,3)，(3,6)，(3,9)，(6,3)，(6,6)，(6,9)，(9,3)，(9,6)，(9,9)．共有9种，故所求概率为9100.4．在集合{(x ，y )|0≤x ≤5,0≤y ≤4}内任取一个元素，能使不等式x 5＋y2－1≤0成立的概率为( )A.14B.34C.13D.23 答案 A解析集合{(x ，y )|0≤x ≤5,0≤y ≤4}在直角坐标系中表示的区域是一个由直线x ＝0，x＝5，y ＝0，y ＝4所围成的长为5，宽为4的矩形，而不等式x 5＋y2－1≤0和集合{(x ，y )|0≤x ≤5,0≤y ≤4}表示的公共区域是以5为底、2为高的一个直角三角形，由几何概型公式可以求得概率为12×5×25×4＝14.5．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率为( )A ．0.45B ．0.67C ．0.64D ．0.32答案 D解析摸出红球的概率为45100＝0.45，因为摸出红球，白球和黑球是互斥事件，因此摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32.6．任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a ，b ，则点P (a ，b )落在区域|x |＋|y |≤3中的概率为( ) A.2536B.16C.14D.112答案 D解析 P (a ，b )落在区域|x |＋|y |≤3中的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，∴P ＝36×6＝112. 7．记集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤16}和集合B ＝{(x ，y )|x ＋y －4≤0，x ≥0，y ≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2的概率为( )A.12πB.1πC.14D.π－24π答案 A解析区域Ω1为圆心在原点，半径为4的圆，区域Ω2为等腰直角三角形，两腰长为4，所以P ＝SΩ2SΩ1＝816π＝12π，故选A. 8． A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0，a ∈A ，b ∈A }，则A ∩B ＝B 的概率是 ( )A.29B.13C.89D ．1 答案 C解析有序实数对(a ，b )的取值情形共有9种，满足A ∩B ＝B 的情形有①(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3)，(3,3)，此时B ＝∅；②(2,1)，此时B ＝{1}；③(3,2)，此时B ＝{1,2}．所以A ∩B ＝B 的概率为P ＝89. 二、填空题9．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则x y为整数的概率是________．答案 12解析将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字x ，y 记作有序实数对(x ，y )，共包含16个基本事件，其中x y为整数的有 (1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，共8个基本事件，故所求的概率为816＝12. 10．在区间[－6,6]内任取一个元素x 0，若抛物线y ＝x 2在x ＝x 0处的切线的倾斜角为α，则α∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4的概率为________．答案 1112解析当α∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，斜率k ≥1或k ≤－1，又y ′＝2x ，所以x 0≥12或x 0≤－12，所以P ＝1112. 11．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．答案 23解析如图可设l AB＝1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是23. 12．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b .若a ，b 都是从区间[0,4]任取的一个数，则f (1)>0成立的概率是________．答案 932解析 f (1)＝－1＋a －b >0，即a －b >1，如图，A (1,0)，B (4,0)，C (4,3)，S △ABC ＝92， P ＝S △ABC S 矩＝924×4＝932. 三、解答题13．已知集合A ＝{x |x 2＋3x －4<0}，B ＝{x |x ＋2x －4<0}． (1)在区间(－4,5)上任取一个实数x ，求“x ∈A ∩B ”的概率；(2)设(a ，b )为有序实数对，其中a ，b 分别是集合A ，B 中任取的一个整数，求“a －b ∈A ∪B ”的概率．解 (1)由已知得A ＝{x |x 2＋3x －4<0}＝{x |－4<x <1}，B ＝{x |x ＋2x －4<0}＝{x |－2<x <4}，显然A ∩B ＝{x |－2<x <1}．设事件“x ∈A ∩B ”的概率为P 1，由几何概型的概率公式得P 1＝39＝13. (2)依题意，得(a ，b )的所有可能的结果一共有以下20种：(－3，－1)，(－3,0)，(－3,1)，(－3,2)，(－3,3)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，又A ∪B ＝{x |－4<x <4}，因此“a －b ∈A ∪B ”的所有可能的结果一共有以下14种：(－3，－1)，(－3,0)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)．所以“a －b ∈A ∪B ”的概率P 2＝1420＝710. 14．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．解 (1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1. 故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种，所以P (B )＝315＝15.。

高三数学第十一篇概率

第1讲随机事件的概率知识梳理1．随机事件和确定事件(1)在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件． (2)在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做不可能事件． (3)必然事件与不可能事件统称为确定事件．(4)在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件． 2．频率与概率(1)在相同的条件下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An 为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率，简称为A 的概率．3．互斥事件与对立事件(1)互斥事件：在任何一次试验中不能同时发生的两个事件．若事件A 与事件B 互斥，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．(2)对立事件：如果两个互斥事件必有一个发生，则这两个事件为对立事件．若事件A 与B 对立，则P (A )＝1－P (B )．辨析感悟1．对随机事件概念的理解(1)“物体在只受重力的作用下会自由下落”是必然事件．(√) (2)“方程x 2＋2x ＋8＝0有两个实根”是不可能事件．(√)(3)(·广州调研C项)“下周六会下雨”是随机事件．(√)2．对互斥事件与对立事件的理解(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(√)(5)(·郑州调研B项)从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张，“抽取黑桃”与“抽取方块”是对立事件．(×)3．对频率与概率的理解(6)(教材练习改编)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√)(7)(·江西卷改编)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率为1 3.(√)(8)(·临沂调研改编)甲、乙二人下棋，甲获胜的概率是0.3，甲不输的概率为0.8，则甲、乙二人下成和棋的概率为0.5.(√)[感悟·提升]两个区别一是“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．如(5)中为互斥事件．二是“频率”与“概率”：频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率．考点一事件的关系与运算【例1】一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则：①A与B是互斥而非对立事件；②A与B是对立事件；③B与C是互斥而非对立事件；④B与C是对立事件．四个结论正确的是________．解析根据互斥与对立的定义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω(Ω为必然事件)，故事件B，C是对立事件．答案④规律方法对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．【训练1】对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．解析设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅.故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而B∩D ＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．答案A与B，A与C，B与C，B与D B与D考点二随机事件的概率与频率【例2】某小型超市发现每天营业额Y(单位：万元)与当天进超市顾客人数X有关．据统计，当X＝700时，Y＝4.6；当X每增加10，Y增加0.05.已知近20天X的值为：1 400，1 100，1 900,1 600,1 400,1 600,2 200,1 100,1 600,1 600，1 900，1 400,1 100,1 600,2 200,1 400,1 600,1 600，1 900，700.(1)完成如下的频率分布表：近20天每天进超市顾客人数频率分布表(2)率视为概率，求今天营业额低于10.6万元高于4.6万元的概率．解(1)在所给数据中，进超市顾客人数为1 100的有3个，为1 600的有7个，为1 900的有3个，为2 200的有2个．故近20天每天进超市顾客人数频率分布表为(2)由已知可得Y＝4.6＋10×0.05＝1200X＋1.1，∵4.6<Y<10.6，∴4.6<X200＋1.1<10.6，∴700<X<1 900.∴P(4.6<Y<10.6)＝P(700<X<1 900)＝P(X＝1 100)＋P(X＝1 400)＋P(X＝1 600)＝3 20＋420＋720＝1420＝710.即今天营业额低于10.6万元高于4.6万元的概率为7 10.规律方法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．【训练2】某市统计的～新生婴儿数及其中男婴数(单位：人)见下表：(1)(2)该市男婴出生的概率约是多少？解(1)男婴出生的频率为f n(A)＝n An＝11 45321 840≈0.524.同理可求得、和男婴出生的频率分别约为0.521,0.512,0.513.(2)由以上计算可知，各年男婴出生的频率在0.51～0.53之间，所以该市男婴出生的概率约为0.52.考点三互斥事件、对立事件的概率【例3】(·洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：求：(1)(2)至少3人排队等候的概率是多少？审题路线(1)分别求等候人数为0人、1人、2人的概率⇒根据互斥事件的概率求和公式可求．(2)思路一：分别求等候人数为3人、4人、5人及5人以上的概率⇒根据互斥事件的概率求和公式可得．思路二：转化为求其对立事件的概率⇒根据P(A)＝1－P(A)可求．解记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D ＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.规律方法求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．【训练3】一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．解法一(利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝512，P(A2)＝412＝13，P(A3)＝212＝16，P(A4)＝112.根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34；(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋412＋212＝1112.法二(利用对立事件求概率)(1)由法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－212－112＝34.(2)因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－112＝1112.1．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A)．2．从集合角度理解互斥和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．创新突破8——全面突破概率与其它知识的综合问题【典例】(·新课标全国Ⅱ卷)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；突破1：购进130 t 农产品全部售出还是有剩余是解题的关键；突破2：T 为X 的函数是分段函数；突破3：由函数求得利润T 不少于57 000元时的X 的范围；突破4：根据直方图估计概率.解 (1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000. 当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000. 所以T ＝⎩⎨⎧800X －39 000，100≤X <130，65 000，130≤X ≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.[反思感悟] (1)本题是一道分段函数、频率直方图、随机事件概率的综合问题，解本题的关键所在是“购进了130 t 该农产品”是否全部售出．考查了考生的逻辑思维能力、数据处理能力．(2)在频率分布直方图中，纵轴上的数据表示“频率÷组距”，不能与“频率”混淆．(3)可以用频率来估计概率的值．【自主体验】(·四川卷)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)乙的频数统计表(当n ＝2 y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大．解 (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)当n＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率如下：输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为3的频率甲1 0272 1003762 1006972 100乙1 0512 1006962 1003532 100比较频率趋势求的可能性较大.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，下面4种说法：①f(n)与某个常数相等；②f(n)与某个常数的差逐渐减小；③f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小；④f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定，其中正确的是________．解析随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系．答案④2．(·南京一中月考)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．解析3个红球记为A1，A2，A3,2个黄球记为B1，B2则基本事件为A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2共10种．所取2个球颜色不同的事件为A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6种．∴所求概率为610＝35.答案3 53．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为________．解析由题意知该同学的身高超过175 cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3.答案0.34．(·郑州模拟)抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝12，P(B)＝16，则出现奇数点或2点的概率为________．解析因为事件A与事件B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝12＋16＝23.答案2 35．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A∪B)＝________(结果用最简分数表示)．解析∵P(A)＝152，P(B)＝1352，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝152＋1352＝1452＝726.答案7 266．(·沈阳模拟)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是________．解析从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球通过列举知共有10个基本事件；所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”，有1个基本事件，所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是1－110＝910.答案9 107．(·陕西卷)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是________．解析由频率分布直方图可知，一等品的频率为0.06×5＝0.3，三等品的频率为0.02×5＋0.03×5＝0.25，所以二等品的频率为1－(0.3＋0.25)＝0.45.用频率估计概率可得其为二等品的概率为0.45.答案0.458．(·无锡模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________．解析记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A，B，C.则A，B，C彼此互斥，由题意可得P(B)＝0.03，P(C)＝0.01，所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.答案0.96二、解答题9．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，黑球或黄球的概率是512，绿球或黄球的概率也是512，求从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？解从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A、B、C、D，则事件A、B、C、D彼此互斥，所以有P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝5 12，P(D＋C)＝P(D)＋P(C)＝512，P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－13＝23，解得P(B)＝14，P(C)＝16，P(D)＝14.故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是14，16，14.10．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A 配方的频数分布表(2)已知用B 配方生产的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t 的关系式为y ＝⎩⎨⎧－2，t <94，2，94≤t <102，4，t ≥102，估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．解 (1)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为22＋8100＝0.3，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32＋10100＝0.42，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t ≥94，由试验结果知，质量指标值t ≥94的频率为0.96.所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B 配方生产的产品平均一件的利润为1100×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(·大连模拟)某城市的空气质量状况如下表：100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市空气质量达到良或优的概率为________．解析由题意可知空气质量达到良或优的概率为P＝110＋16＋13＝35.答案3 52．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．解析(1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝7 15＋1 15＝8 15.(2)由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－115＝1415.答案81514153．某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了条形统计图(如下图所示)，则该中学参加本次数学竞赛的人数为________，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是________．解析由题图可知，参加本次竞赛的人数为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人数为7＋5＋2＝14，所以获奖的频率为1432＝0.437 5，即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5.答案320.437 5二、解答题4.如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间/分钟10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：所用时间/分10～2020～3030～4040～5050～60钟L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)设121212分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1；同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)＞P(B1)，∴乙应选择L2.第2讲古典概型知识梳理1．古典概型(1)我们把具有：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等，以上两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典模型．(2)古典概率模型的概率求法如果一次试验中基本事件共有n个，那么每一个基本事件发生的概率都是1n，如果某个事件A包含了其中的m个基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝m n.2．古典概型的概率公式P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.辨析感悟1．古典概型的意义(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(×)(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(×)(3)(教材习题改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.(√)2．古典概型的计算(4)在古典概型中，如果事件A 中基本事件构成集合A ，所有的基本事件构成集合I ，则事件A 的概率为card (A )card (I ).(√) (5)(教材习题改编)任意投掷两枚骰子，出现点数和为奇数的概率为511.(×) (6)(·重庆卷改编)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为12.(×) [感悟·提升]1．一点提醒一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型，如(1)、(2)．2．一种思想从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I ，基本事件的个数n 就是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集，故P (A )＝card (A )card (I )＝mn ，如(4)；根据古典概型概率公式计算，如(5)、(6)．考点一简单古典概型的概率【例1】 (·新课标全国Ⅰ卷改编)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是________．解析从1,2,3,4中任取2个不同的数，有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}共有6种取法．构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2.所以，所求概率P ＝26＝13.答案1 3规律方法列举法列出所有基本事件的个数n和所求事件包含的基本事件的个数m，利用公式P＝mn可求．【训练1】(·浙江卷)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．解析设3名男同学分别为a1，a2，a3,3名女同学分别为b1，b2，b3，则从6名同学中任选2名的结果有a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，b1b2, b1b3，b2b3，共15种，其中都是女同学的有3种，所以概率P＝315＝15.答案15考点二复杂古典概型的概率【例2】(·辽宁卷)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．解(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝615＝25.(2)基本事件同(1)，用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝815.规律方法求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择.【训练2】(·滨州一模)甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了A，B，C，D四所需要面试的院校，这四所院校的面试安排在同一时间．因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿，假设每位同学选择各个院校是等可能的，试求：(1)甲、乙选择同一所院校的概率；(2)院校A，B至少有一所被选择的概率．解由题意可得，甲、乙都只能在这四所院校中选择一个做志愿的所有可能结果为：(甲A，乙A)，(甲A，乙B)，(甲A，乙C)，(甲A，乙D)，(甲B，乙A)，(甲B，乙B)，(甲B，乙C)，(甲B，乙D)，(甲C，乙A)，(甲C，乙B)，(甲C，乙C)，(甲C，乙D)，(甲D，乙A)，(甲D，乙B)，(甲D，乙C)，(甲D，乙D)，共16种．(1)设“甲、乙选择同一所院校”为事件E，则事件E包含4个基本事件，故概率P(E)＝416＝14.(2)设“院校A，B至少有一所被选择”为事件F，则事件F包含12个基本事件，故概率P(F)＝1216＝34.1．古典概型计算三步曲第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事物有多少个．2．确定基本事件的方法列举法、列表法、树形图法．答题模板12——古典概型的概率求解【典例】(12分)(·山东卷)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：(1) 1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．[规范解答](1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6个．(3分)由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P＝36＝12.(6分)(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．(9分)由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率为P1＝310.(12分)[反思感悟] (1)列举基本事件时要分清两个问题：①是否有顺序，有序的和无序的是有区别的；②是否允许重复，如在取球问题中无放回地取球就是元素不允许重复，有放回地取球就是元素允许重复．(2)本题易错点就是列举事件的个数易出错．答题模板第一步：定型：即先根据条件确定概率模型；第二步：转化：即把古典概型的计算问题转化为计数问题；第三步：计数：即用列举法等手段求解相关事件所包含的基本事件数；第四步：求值：代入古典概型的概率公式求得结果.【自主体验】(·枣庄一模)有编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6的6位同学，进行100米赛跑，得到下面的成绩：编号A1A2A3A4A5A6成绩(秒)12.212.411.812.611.813.3(1)从上述6名同学中，随机抽取一名，求这名同学成绩优秀的概率；(2)从成绩优秀的同学中，随机抽取2名，用同学的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2名同学的成绩都在12.3秒内的概率．解(1)由所给成绩可知，优秀同学共有5名．设“从6名同学中，随机抽取一名为优秀”为事件A，则P(A)＝5 6.(2)成绩优秀同学的编号为A1，A2，A3，A4，A5，从这5名同学中随机抽取2名，所有可能的结果为：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A4，A5}，共有10种．设“这2名同学的成绩都在12.3秒内”为事件B，则B中所有可能结果为{A1，A3}，{A1，A5}，{A3，A5}，共有3种．所以P(B)＝3 10.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．一枚硬币连掷2次，恰有一次正面朝上的概率为______．解析一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，而只有一次出现正面的基本事件有(正，反)，(反，正)，故其概率为24＝12.答案1 22．(·新课标全国Ⅱ卷)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．。

高中数学概率

高中数学概率高中数学概率计算法则主要为概率的加法法则概率的加法法则为：推论1：设A1、A2、…、An互不相容，则：P(A1+A2+...+ An)= P(A1) +P(A2) +…+ P(An)推论2：设A1、A2、…、An构成完备事件组，则：P(A1+A2+...+An)=1推论3：若B包含A，则P(B－A)= P(B)－P(A)推论4（广义加法公式）：对任意两个事件A与B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)参考内容：高中数学概率计算法则还有条件概率的计算：条件概率：已知事件B出现的条件下A出现的概率，称为条件概率，记作：P(A|B)条件概率计算公式：当P(A)>0，P(B|A)=P(AB)/P(A)当P(B)>0，P(A|B)=P(AB)/P(B)乘法公式P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B)推广：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)全概率公式设：若事件A1，A2，…，An互不相容，且A1+A2+…+An=Ω，则称A1，A2，…，An构成一个完备事件组。

全概率公式的形式如下：以上公式就被称为全概率公式。

参考资料来源：百科-概率计算（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件。

（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件。

（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件。

（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件。

（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事。

相关介绍：在一个特定的随机试验中，称每一可能出现的结果为一个基本事件，全体基本事件的集合称为基本空间。

随机事件（简称事件）是由某些基本事件组成的，例如，在连续掷两次骰子的随机试验中，用Z，Y分别表示第一次和第二次出现的点数，Z和Y可以取值1、2、3、4、5、6，每一点（Z，Y）表示一个基本事件，因而基本空间包含36个元素。

高中数学概率

高中数学概率1. 引言概率是高中数学中一门重要的分支，它应用广泛且具有实用性。

概率的概念可以帮助我们分析和解决有关随机事件发生的问题。

本文将介绍概率的基本概念、性质和常见的计算方法。

2. 概率的基本概念概率是描述事件发生可能性的量度，它的取值范围一般为0到1之间。

具体来说，如果一个事件的概率为0，表示该事件不可能发生；而一个事件的概率为1，表示该事件一定会发生。

对于一个随机事件，它的概率一般介于0和1之间，可以理解为该事件发生的相对可能性大小。

3. 概率的性质概率具有以下几个基本性质：•非负性：任何事件的概率都不会小于0。

•必然性：对于样本空间中的所有样本点，它们组成的事件的概率之和等于1。

•可加性：对于两个不相容事件（即不可能同时发生的事件），它们的概率可以相加。

4. 概率的计算方法在计算概率时，我们可以采用不同的方法，具体取决于所涉及的问题和已知条件。

以下是一些常见的概率计算方法：4.1. 等可能性原理等可能性原理是指在给定一组等可能事件的情况下，某个事件发生的概率可以通过事件的个数除以样本空间的大小来计算。

4.2. 几何概率几何概率是指根据几何形状和测量来计算概率的方法。

例如，在一个正方形区域内随机投放一个点，落在某个子区域内的概率可以通过该子区域的面积除以整个区域的面积来计算。

4.3. 条件概率条件概率是指在给定某个条件下，另一个事件发生的概率。

它的计算方法是基于已知条件的概率值进行推导。

4.4. 独立事件的乘法法则独立事件是指两个事件之间互不影响的情况下，它们同时发生的概率可以通过各自事件发生的概率相乘来计算。

4.5. 互斥事件的加法法则互斥事件是指两个事件不可能同时发生的情况下，它们至少发生一个的概率可以通过各自事件发生的概率相加来计算。

5. 概率在实际问题中的应用概率的应用在现实生活中非常广泛。

例如，它可以用于分析赌博游戏中的胜率、预测天气、进行风险评估等。

概率还可以与统计学相结合，用于分析数据、进行抽样调查和进行统计推断。

高中数学专题：概率共55页

新人教版高中数学必修第二册概率全套PPT课件

高中数学概率知识点全面解析PPT

高中数学专题：概率共55页文档

高中数学第三章概率本章整合课件北师大版必修3

《高二数学概率》课件

新人教版高中数学必修第二册概率全套PPT课件

高中数学概率

《高三数学概率》课件

高中数学概率专题

高中数学概率专题

高中数学《概率事件》课件

精品高中数学专题：概率

高三数学第十一篇 概率

高中数学 概率

高中数学 概率

高三数学第十一篇概率

高中数学概率

高中数学概率