1-1随机事件的关系与运算
随机事件的关系与运算
A B C AB C A BC A B C AB C A BC A B C
A B C.
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5) 差事件
A B A AB AB
A B
A
S B S
A B
A A B
A B
发生当且仅当 A 发生 B 不发生.
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
6) 互不相容（互斥）
7) 对立事件 （逆事件）
A B
A B A B S
A
A
B
S
S
BA
请注意互不相容与对立事件的区别！
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
例如，在S4 中
事件 A={t|t1000} 表示 “产品是次品” 事件 B={t|t 1000} 表示 “产品是合格品” 事件 C={t|t1500} 表示“产品是一级品” 则 A与B是互为对立事件；
A B A B,
可推广 Ak Ak ,
k k
AB A B
A A .
k k k k
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
例1：设 A, B, C 为三个随机事件，用A, B, C 的运 算关系表示下列各事件. （1）A 发生.
A A A
A B B A, A B B A
A B C A B A C De Morgan（德摩根）定律:
第02讲 随机事件的关系与运算
概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第2讲随机事件的关系与运算1第2讲随机事件的关系与运算四川大学四川大学第2讲随机事件的关系与运算3在上一讲第1 讲随机试验样本空间随机事件我们介绍了样本空间、样本点和事件的概念这一讲我们来讲事件的运算四川大学第2讲随机事件的关系与运算4§1.2样本空间随机事件四川大学第2讲随机事件的关系与运算5（三）随机事件的关系与运算四川大学第2讲随机事件的关系与运算6回忆事件的概念随机试验E 的样本空间S的子集A 称为E 的随机事件，简称事件。
当A 中某一个样本点出现时，就说事件A 发生了。
由一个样本点e 组成的单点集{e} 称为基本事件。
一般的事件是由基本事件复合而成的，而基本事件是不能再分解的事件。
四川大学第2讲随机事件的关系与运算7一个事件A 是样本空间S的一个子集，因此事件之间的关系以及事件的运算可以用集合之间的关系和集合运算来处理。
设试验E的样本空间为S，而A, B,（k=1, 2,…）是S的子集。
Ak四川大学第2讲随机事件的关系与运算8事件间的关系四川大学第2讲随机事件的关系与运算10第2讲随机事件的关系与运算12四川大学2. 事件的相等如果事件A 包含事件B ( )，事件B 也包含事件A ( ) ，即A 与B 有相同的样本点，则称事件A 与事件B 相等，记作A B=即A B =⇔and A B B A⊂⊂A B ⊃A B ⊂第2讲随机事件的关系与运算13四川大学例如，记A =“考试及格”，B =“考试成绩为90分”记C =“至少有50人排队”，D =“至少有30人排队”抛两颗骰子，两颗骰子出现的点数分别记为x 和y .记E =“x +y 为奇数”，F =“两次的骰子点数奇偶性不同”{|60100}A x x =≤≤C D ⇒⊂E F⇒=A B ⇒⊃{90}B ={50,51,...}C ={30,31,...}D =事件的运算四川大学第2讲随机事件的关系与运算14第2讲随机事件的关系与运算16四川大学1kk A ∞=∑1k k A ∞= 12...n A A A n 个事件A 1, A 2, …, A n 中至少有一个发生的事件称为这些事件的和事件，1nkk A == 12...n A A A +++1nkk A ==∑或可列个事件A 1, A 2, …A n , …中至少有一个发生的事件称为这些事件的和事件，或事件的并(和)可以推广到有限或可列个事件。
概率论与数据统计1-1 随机试验
事件 A={掷出奇数点}
事件B = {掷出点数为1,3,5｝
显然 A=B
B A
A B
S
3、两事件A与B的和
“事件A、B中至少有一个发生”是一事件
把这一事件称为A与B的和，
记作 A B, 或A B
A或 B
S
A B A+B
即 A U B A、B中至少有一个发生
问如何用 Bi 表示A和 A ？ A= B1B2
A B1B2 B1B2 B1B2 B1 B2
( B1B2 B1B2 ) ( B1B2 B1B2 )
例2 设A、B、C为三个事件，用A、B、 C的运算关系表示下列各事件.
1. A发生, B与C不发生
AB C
或
A B C
些随机事件。 1、包含关系
若果事件A的发生必然导致事件B发生，
则称事件A包含于B，或称B包含A
记作A B, 或B A
对任一事件A有：
B
A A B
S
φ A S
2、两事件A与B相等
若A B且B A 同时成立， 则称A 与B相等 记作A B,
试验E：掷一颗骰子，观察出现的点数
事件A、B对立(互逆）
AB 且A+B S
事件A、B互不相容（互斥）
c
两事件A、B互逆或互为对立事件: 除要求A、B互斥即AB= 外，还要求 A+B=S
6. “A、B都发生”与“A、B不都发生”是 对立事件. 正确 7. “A、B都发生”与“A、B都不发生”是 对立事件. 错误
因为A、B都发生是 A、B都不发生是
AB的对立事件是
AB
AB
概率论与数理统计笔记(重要公式)
r = A 中样本点数 / Ω 中样本点总数 n
= A 所包含的基本事件数 / 基本事件总数 条件概率:
对偶律： A B = A B , P ( AB ) 设 A, B 是两个事件， 且 P(B)>0， 称 P(A|B)= 为 贝叶斯公式: P( B) 在事件 B 发生条件下事件 A 发生的条件概率。显然， 当 P(A)>0 时，P(B|A)=
二项分布 X ~ B(n, p)： 指数分布 X ~ E(λ) 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1, …, n, 而 X 的分布律为 e x x 0 若随机变量 X 的概率密度为 f ( x) k k nk pk =P {X= xk }= Cn p q , k=0, 1, 2, …, n, x0 0
设 X 为离散型随机变量， 可能取值为 x1, x2, …, xk, … 且 P 概率密度的性质： (1) f(x)≥0 {X= xk }= pk, k=1, 2, …, 则称{pk}为 X 的分布律 表格形式: f ( x)dx =1 (2) X x1, x2, …, xk, … b P p1, p2, …, pk, … (3) P{a<X≤b}= F(b)-F(a)= f ( x)dx , a≤b a {pk}性质： (4) 设 x 为 f(x)的连续点，则 F’(x)存在，且 （1） pk≥0, k=1, 2, … F’(x)= f(x) （2） pk =1 均匀分布 X ~ U (a, b) k 1 若随机变量 X 的概率密度为 在求离散型随机变量的分布律时，首先要找出其所有可能 1 , a≤x≤b 的取值，然后再求出每个值相应的概率 ba f(x) = 在实际应用中，有时还要求“X 满足某一条件”这样事件的 概率， 求法就是把满足条件的 xk 所对应的概率 pk 相加可得 0, 其他 则称 X 服从区间[a,b]上的均匀分布，其分布函数为 其分布函数 F(x) = pk xk x 0, x≤a 0-1 分布： xa F(x) = , a<x<b 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1，且 ba P {X=1}=p, P{X=0}=q 1, x≥b 其中 0<p<1, q=1-p, 则称 X 服从 0-1 分布. X 的分布律为 设 X ~ U (a, b), a≤c<d≤b，即[a,b] [c,d]，则 X 0 1 d c P{c≤X≤d}= P q p ba
1随机事件与事件间的关系与运算介绍
1随机事件与事件间的关系与运算介绍事件是指在一个试验或观察中，可能发生的一系列结果的集合。
随机事件是指在试验过程中，其结果是由一定的概率决定的事件。
事件间的关系与运算是指通过不同的操作来描述和处理事件之间的关系。
事件间的关系包括并、交、差、互斥、包含和互余等。
1.并：指两个事件A和B同时发生的情况，用符号A∪B表示。
A∪B 的结果是包含了A和B两个事件的所有可能结果。
比如，A表示一枚硬币正面朝上，B表示一颗骰子掷出的结果是偶数，那么A∪B表示硬币正面朝上或者骰子掷出的结果是偶数。
2.交：指两个事件A和B同时发生的情况，用符号A∩B表示。
A∩B 的结果是A和B共同的可能结果。
比如，A表示一枚硬币正面朝上，B表示一颗骰子掷出的结果是偶数，那么A∩B表示硬币正面朝上并且骰子掷出的结果是偶数。
3.差：指事件A发生而事件B不发生的情况，用符号A-B表示。
A-B 的结果是事件A中除了事件B包含的结果之外剩余的可能结果。
比如，A 表示一枚硬币正面朝上，B表示一颗骰子掷出的结果是偶数，那么A-B表示硬币正面朝上但骰子掷出的结果不是偶数。
4.互斥：指两个事件A和B不可能同时发生的情况，用符号A∩B=∅表示。
如果A和B互斥，则它们的交集为空集。
比如，A表示一枚硬币正面朝上，B表示一枚硬币反面朝上，两个事件是互斥的，即硬币不可能同时正面和反面朝上。
事件间的运算包括概率加法和概率乘法。
1.概率加法：对于两个互斥事件A和B，其并的概率等于各自概率的和，即P(A∪B)=P(A)+P(B)。
这个运算用于计算两个互斥事件中至少发生一个的概率。
2.概率乘法：对于两个独立事件A和B，其交的概率等于各自概率的乘积，即P(A∩B)=P(A)×P(B)。
这个运算用于计算两个独立事件同时发生的概率。
需要注意的是，概率加法和概率乘法只适用于互斥事件和独立事件。
此外，事件间的包含和互余关系也常用于描述事件的关系。
1.包含：若事件A包含事件B，表示事件B发生必然导致事件A发生，用符号A包含B表示。
概率论-1-2随机事件间的关系及运算
若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现, B 出现也必然导致 A不出现,则称事件 A与B互不相
容, 即
A B AB .
实例 抛掷一枚硬币, “出现正面” 与 “出现反面” 是互不相容的两个事件.
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 . “骰子出现1点”互斥 “骰子出现2点”
图示 A 与 B 互斥.
四、小结
1. 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验
样本空间 子集 随机事件
基本事件，复合事件，必然事件， 不可能事件都是随机事件
学习了事件的运算及运算律，运算的 目的是什么？
用简单事件表示复合事件（复合事件分解 成简单事件）
(*)2. 概率论与集合
S 样本空间，必然事件
互为对立事件
二、随机事件间的关系及运算
事件是集合，就可以用集合间的关系和运 算来处理,我们结合 p4 图来学习：
设试验 E 的样本空间为S, 而 A, B, Ak (k 1,2,)是 S 的子集.
二、随机事件间的关系及运算（续）
1. 包含关系 子事件 A B.
实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合格” 所以B=“产品不合格”包含A=“长度不合格”. 图示 B 包含 A.
(2) 三个事件都出现;
(3)三个事件至少有一个出现;
(4) 不多于一个事件出现; (5) A, B 至少有一个出现, C 不出现; (6) A, B, C 中恰好有两个出现.
解(1) ABC; (2) ABC; (3) A B C;
(4) ABC ABC ABC ABC;
(5) ( A B) C; (6) ABC ABC ABC.
复合事件—由若干个基本事件组合而成的事件.
.1-1随机试验与随机事件
将不确定性数量化，来尝试回答这 些问题，是直到20世纪初叶才开始的. 还不能说这个努力已经十分成功了，但 就是那些已得到的成果，已经给人类活 动的一切领域带来了一场革命. 这场革命为研究新的设想，发展自 然科学知识，繁荣人类生活，开拓了道 路. 而且也改变了我们的思维方法，使 我们能大胆探索自然的奥秘.
i 1
Ai Ai Ai Ai
i 1
n
n
n
n
i 1
i 1
例1 袋中有10个球，分别编号为1～10，从中任取 一球，设 A＝{取出的球号码为偶数}
B＝{取出的球号码为奇数} C＝{取出的球号码小于5} 则事件 （ 1） A B （ 2） A B
s
为必然事件 为不可能事件
5. A B 称事件A 与事件B 的差事件
A B 发生 事件 A 发生， 但事件 B 不发生
A1 , A2 ,, An ,的积事件记 A1 A2 An Ai
i 1
i 1
A
B
S
A B
6. AB 称事件A与事件B
互斥(互不相容)
s
A
A、B不可能同时发生
或，事件A 是事件B的子事件。 B A 事件A发生时事件B必发生 2. A B 称A事件与B相等 A B 且 B A S 称事件 A 与事件 B 3. A B A 的和（并）事件 A B B A B 发生 事件A与事件B 至少有一个发生 n A1 , A2 ,, An 的和事件记 A1 A2 An Ai
(H,T)： (T,H): (T,T)：
H H T T H T H T
义上提供了一个理想试 验的模型：
在每次试验中必有 一个样本点出现且仅有 一个样本点出现 .
1随机事件与事件间的关系与运算介绍
四
事件间的运算法则
1）幂等律: A A A,
AA A
2）交换律: A B B A, A B B A 3）结合律: 4）分配律:
A B C A B C A B C A B C
( A B) C A C B C; C ( A B) C A C B
2
A3
( 2 ) A1 A
2
A3 A 1 A2 A3 A 1 A2 A3
(3 ) A 1 A 2 A3
(4) A1 A2 A3
(5) (3) (2)
例2：已知A表示事件“全班学生英语成绩都及格”，则
A 表示什么含义？
§1
随机事件的概率
练习：设 A, B, C 为三个随机事件，用A, B, C 的运 算关系表示下列各事件. (1) A 发生，B 与 C 都不发生.
AB C .
(2) A ,B , C 都发生.
ABC .
(3) A ，B , C 至少有一个发生.
A B C.
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(5) A ，B , C 都不发生.
ABC .
(6) A ，B , C 不多于一个发生.
ABC
AB C A BC A B C.
(7) A ，B , C 不多于两个发生.
A B A B , 且 B A.
例：若A=“不大于7的整数”，B=“小于或者等于7 的整数”，则A=B。
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3) 和（并）事件 ：“事件A与B至少有一个发生”，称 为A与B的和事件，记为 例：某产品分为一，二，三，四 等品，其中一、二等品为合格品， 三、四等品为不合格品。若 Ai=“i 等品” (i=1，2，3 ,4）; B=“合格品”，C=“不合格品”， B A 则: B= A1+ A2 ， C= A3+ A4
随机事件的关系与运算
随机事件的关系与运算随机事件是指在一定条件下具有随机性质的事件，其发生与否是由随机因素决定的。
在随机事件中，我们需要对其进行运算，以便得到更加准确的结果。
本文将从随机事件的关系与运算角度，对随机事件的基本概念、性质、运算规则等进行探讨。
一、随机事件的基本概念与性质随机事件是指在一定条件下具有随机性质的事件，其发生与否是由随机因素决定的。
随机事件的基本概念包括：样本空间、随机事件、必然事件和不可能事件。
样本空间是指一个试验中所有可能的结果构成的集合，记作S。
随机事件是指样本空间S中的一个子集，即一个具有一定概率的事件。
必然事件是指在样本空间中所有结果都属于该事件的事件，记作Ω。
不可能事件是指在样本空间中没有任何结果属于该事件的事件，记作∅。
随机事件具有以下性质：1. 互斥性：若两个事件A和B之间没有公共结果，则称它们互斥。
2. 相对补集：若事件A的发生导致事件B的不发生，则称事件A是事件B的补事件，记作A的补集，即A^c。
3. 包含关系：若事件A的发生导致事件B的发生，则称事件A包含事件B，记作A⊇B。
二、随机事件的运算规则在随机事件的运算中，我们需要对事件之间的关系进行分析和计算。
随机事件的运算包括并、交、差和补四种运算。
1. 并运算并运算是指将两个事件A、B的结果集合并为一个结果集的操作，用符号“∪”表示。
即：A∪B={x|x∈A或x∈B}。
并运算的性质：（1）交换律：A∪B=B∪A。
（2）结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
（3）分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
2. 交运算交运算是指将两个事件A、B的公共结果构成一个新的事件的操作，用符号“∩”表示。
即：A∩B={x|x∈A且x∈B}。
交运算的性质：（1）交换律：A∩B=B∩A。
（2）结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
（3）分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
3. 差运算差运算是指事件A中除去事件B的结果所构成的新事件，用符号“-”表示。
事件的关系和运算-高一数学同步教学课件(人教A版2019必修第二册)
解：(1) 用x1，x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可用(x1，x2)
表示这个电路的状态．用1表示元件正常，用0表示元件失效，
则样本空间为： Ω={(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)}．
例5 如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能
ഥ ={(0，0)，(1，0)}．
ഥ ∩
ഥ ={(0，0)}
(3) A∪B ={(1，0)，(0，1)，(1，1)}，
ഥ ∩
ഥ 表示电路工作不正常．
A∪B表示电路工作正常，
ഥ ∩
ഥ 互为对立事件．
A∪B和
例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标
号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸
10.1.2事件的关系和运算
一、复习回顾
样本点：随机试验E的每个可能的基本结果．
样本空间：全体样本点的集合．
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的
样本空间的子集来表示．
随机事件（事件）：样本空间Ω的子集．
基本事件：只包含一个样本点的事件．
事件A发生在每次试验中，A中某个样本点出现．
从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定
的集合是全集中由事件A所包含的结果组成的集合的补集。
事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下：
事件的关系或运算
含义
符合表示
包含
A发生导致B发生
A⊆B或B⊇A
并事件(和事件)
A与B至少一个发生
A∪B或A＋B
交事件(积事件)
A与B同时发生
A∩B或AB
第一节 随机事件的运算及关系
二、随机事件的关系及运算 它和集合的关系及运算是完全相互类比的， 摆在我们面前的问题是如何把集合论的语 言准确的换成概率论的语言。
下面我们用集合的关系与运算类比的讲述事件的
四种关系
和
三种运算
1、事件A包含于事件B:若事件A发生必有事件B发生，
集合A包含于集 合B：若对 A, 总有B， 则称集合A包含 于集合B，记成 AB。
4、称最大的子集（样本空间本身）为必然事件，
称最小的子集（空集）为不可能事件。
5、 事件可以用子集表示，也可以用准确无误的语言来表示。
也可以用数集来表示
定义：用来表示随机现象结果的变量称为随机变量， 用大写字母 X，Y，Z……表示
掷骰子
例 1 .6 任 投 一 枚 骰 子 ， 出 现 的 点 数 是 一 个 随 机 变 量 X。
事件A与B的差： 若事件C发生当且 仅当事件A发生且 事件B不发生,则 称事件C为事件A 与B的差,记成 A-B。
6、A与B互斥
事件A与B不能同时发生。
(或互不相容事件),
7、 A和 B对 立
A和 B当 且 仅 当 之 一 发 生 A B= AB=
AB=Ø
请同学思考互斥和对立
的区别与联系？
例 1 .2 一 战 士 连 续 向 以 目 标 射 击 ， 直 到 打 中 为 止 ， 令 i i= 射 击 次 数 ，
则
U 1 ，，， 2 3 ...........
例 1 .3 测 量 某 电 子 元 件 的 寿 命 ， U = x | 0 x <
例 1 .4 在 0 ， 上 任 取 一 数 ， 1
第一章
第一节
随机事件与概率
随机事件及其运算
有关随机事件关系和运算的例析
有关随机事件关系和运算的例析随机事件是概率论中的基础概念，是指在某一实验中可能发生的事件。
在实际应用中，我们常常需要对多个随机事件进行关系和运算，以求得更为准确的结果。
下面，我们将通过一些例子，来深入探究随机事件的关系和运算。
一、事件的关系1. 包含关系当事件A包含事件B时，我们可以表示为 AB。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数是2。
显然，事件B包含在事件A中，即 AB。
2. 相等关系当事件A和事件B所包含的样本点完全相同时，我们可以表示为A=B。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数不是偶数。
显然，事件A和事件B所包含的样本点完全相同，即 A=B。
3. 互斥关系当事件A和事件B所包含的样本点没有交集时，我们可以表示为A∩B=。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数是奇数。
显然，事件A和事件B所包含的样本点没有交集，即 A∩B=。
4. 独立关系当事件A和事件B的发生与否互不影响时，我们可以表示为P(A|B)=P(A) 或 P(B|A)=P(B)。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数大于3。
显然，事件A和事件B的发生与否互不影响，即 P(A|B)=P(A) 或 P(B|A)=P(B)。
二、事件的运算1. 并集运算当事件A和事件B中至少有一个发生时，我们可以表示为 A∪B。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数是3。
显然，事件A和事件B中至少有一个发生，即 A∪B。
2. 交集运算当事件A和事件B同时发生时，我们可以表示为 A∩B。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数是4。
显然，事件A和事件B同时发生，即 A∩B。
3. 补集运算当事件A不发生时，我们可以表示为 A'。
事件的关系与运算(教学设计)
一、内容和内容解析内容：事件的关系、事件的运算．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第十章第1节第2课时的内容．事件的关系与运算是继随机事件的后续部分,本节课提出了事件的关系、事件的运算两部分内容.学生将通过新旧知识的对比学习来进行自主学习，同时通过共同探讨来理解和掌握新知识的实际含义．由于事件的抽象性，所以教学时将大量采用“韦恩图”帮助学生理解事件的关系，同时强调区分事件关系、运算与集合的关系、运算的区别与联系.为概率的学习打好基础。
并加深对概率思想方法的理解。
从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养．二、目标和目标解析目标：（1）理解并掌握事件的关系和运算．（2）通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念．（3）能够将事件的运算关系知识灵活运用到实际事件中．目标解析：（1）概率研究的一个重要方法是建立一些运算法则，用简单事件的概率推算复杂事件的概率．（2）类比集合之间的关系与集合的并、交运算，认识事件的关系与运算，然后由特殊到一般，给出事件之间的包含、互斥、对立的含义，以及事件的并、交运算的含义．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在本节课的教学中，从特殊到一般的运算定义是进行数学抽象教学的很好机会；同时在实际情境中理解事件的关系与运算，也是进行数学建模教学的好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：了解随机事件的并、交与互斥的含义，会进行简单的随机事件的运算．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：理解一个事件发生的意义是本节课的第一个教学问题．解决方案：明确事件是样本空间的子集，事件A发生当且仅当A中的某个样本点出现．2．教学问题二：怎样用符号语言表示是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：类比集合之间的关系与集合的并、交运算，认识事件的关系与运算，先用文字语言描述，再转为符号语言．基于上述情况，本节课的教学难点定为：判断事件的关系、进行事件的运算．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳理解事件的关系与运算，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中结合具体实例进行讲解．可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视事件的关系与运算的理解，让学生体会事件的关系与运算，同时，结合具体实例解决问题的过程其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计B学生10：学生课后进行思考，并完成课后练习．【答案】1.B 2.B 3.D 4.事件A，B，C至少有一个发生。
1.1_2随机事件的关系和运算法则
B .
⑻事件的运算法则
①交换律 A B B A, A B B A;
②结合律 A B C A B C , A B C A B C;
③分配律 A B C A C B C , A B C A C B C;
④对偶律
A B A B, A B A B.
性质①②④可推广到任意 n个事件的情形.
事件A B 表示“灯泡寿命超过200小时而小于300小时”
⑹互不相容事件
如果A B , 则称事件A与事件B是互不相容事件, 或 称事件A与事件B互斥.
事件A表示“灯泡寿命不超过200小时” 事件B表示“灯泡寿命至少300小时”
如果一组事件中的任意两个事件都互不相容, 那么称 该事件组是两两互不相容事件组.
来表示“城市正常供水”和“城市断水”这两个事件.
水源甲
1
3
城市
水源乙
2
水源甲 水源乙
1
3
2
城市
解 供水正常:
A1 A2 A3
城市断水:
A1 A2 A3 A1A2 A3
谢谢
随机事件之间 的关系与运算
⑴事件的包含
若事件A的发生必然导致事件B的发生, 则称事件A包含
在事件B中, 记作 A B .
事件A表示“灯泡寿命不超过200小时”
事件B表示“灯泡寿命不超过300小时” B A
⑵事件的相等
若事件A包含事件B, 而事件B也包含事件 A, 那么就称 事件A与事件B相等, 记作 A B .
试用事件之间的相互关系表示下图所描述的元件系统能
正常工作这一事件.
1
3
2
4
解: {系统能正常工作} A1 A2 A3 A4.
例3 设A, B,C为任意三个事件, 用事件的相互关系表示
1-1 随机事件
推广：
Ak A1 A2 An
k 1
n
A AB
B
A
k 1
S
k
A1 A2 An
1.1 随机事件
例 在直角坐标系圆心在原点的单位圆内任取一点，记录
其坐标，令
1 An ( x , y ) | x 2 y 2 2 ,B表示取到(0,0)点，则 n
发 , 观察弹落点的情况.
结果: 弹落点会各不相同. 实例3 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数. 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
第一章 随机事件与概率
实例4 从一批含有正品 和次品的产品中任意抽取
其结果可能为:
正品 、次品.
一个产品. 实例5 过马路交叉口时,
可能遇上各种颜色的交通
D= A1 A2 A3
推广： 有限个事件的和
可列个事件的和
A A A A
k 1 2 k 1
n
n
A
k 1
k
A1 A2 An
第一章 随机事件与概率
3. 积 (或交）事件 称事件“事件A与事件B都发 生”为A与B的积事件，记为：A∩B或AB，用 集合表示为：AB={e|e∈A且e∈B}。
3. 设事件 A = “甲种产品畅销，乙种产品滞销” ， 则 A 的对立事件为（ ） ① 甲种产品滞销，乙种产品畅销； ② 甲、乙两种产品均畅销； ③ 甲种产品滞销； ④ 甲种产品滞销或者乙种产品畅销. 4. 设 x 表示一个沿数轴做随机运动的质点位置， 试说明下列各对事件间的关系 ① A ={|xa|＜σ}，B ={x a＜σ} ② A ={x＞20}， B ={x≤22} ③ A ={x＞22}， B ={x＜19}
概率之1-1 概率论发展简史及随机事件(专衔本)
许多内容大不相同的实际问题. 例如 只包含两个样本点的样本空间：
S {H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模 型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的 模型等.
பைடு நூலகம்
Ch1-1-30
所以在具体问题的研究
中 , 描述随机现象的第一步
就是建立样本空间.
Ch1-1-7
三、应用：
在最近几十年中，概率论的应用几乎遍及所有的 科学领域，物理、生物、化学、经济、工农业、军事 和科学技术等方方面面。 例如：(1)预测和滤波应用于空间技术和自动控制； (2)时间序列分析应用于石油勘探和经济管理；
(3)马尔可夫过程，点过程应用于地震预报和气象预报； (4)在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、 分辨率等等.
样本空间为 : S 1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 .
B发生当且仅当
B中的样本点1,
3,5中的某一个
事件 B={掷出奇数点} 1, 3,5
出现.
Ch1-1-35
(3) 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验 样本空间 子集 随机事件
基本事件(单点集,不可再分) 随 机 复合事件 事 必然事件 件 不可能事件
Ch1-1-10
“函数在间断点处不存在导数” 等. 确定性现象的特征 条件完全决定结果
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象
称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
Ch1-1-11
实例2
抛掷一枚骰子,观 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
ch1-1随机事件_事件的关系与运算
(1) 交换律
A U B = B U A, AB = BA.
( 2) 结合律 ( A U B ) U C = A U ( B U C ),
( AB )C = A( BC ).
( 3) 分配律 ( A U B ) I C = ( A I C ) U ( B I C ) = AC U BC ,
三、事件的关系与运算
事件间的关系及运算
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A, B , Ak ( k = 1,2,L) 是 S 的子集 .
出现, (1)子事件 (1)子事件 若事件 A 出现 必然导致 B 出现 , 也称A 则称事件 B 包含事件 A, 也称 是B的 子事件 的 子事件.
记为 B ⊃ A 或 A ⊂ B.
积事件也可记作
A ⋅ B 或 AB .
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,设Ｃ＝“产品合格” 与直径是否合格所决定 设Ｃ＝“产品合格” ， Ａ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格” Ａ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格”．
则 C = A I B = AB
图示事件A与 的积事件 事件. 图示事件 与B 的积事件
续）从一批产品中任取两件，观察合格 从一批产品中任取两件， 品的情况. 两件产品都是合格品}， 品的情况 记 A={两件产品都是合格品 ， 两件产品都是合格品 两件产品中至少有一个是不合格品} 两件产品中至少有一个是不合格品 A={两件产品中至少有一个是不合格品 若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品 ，i=1,2 取出的第 件是合格品}， 表示A和 问如何用 Bi 表示 和 A ？ A=B1B2
两件产品中至少有一个是不合格品} 两件产品中至少有一个是不合格品 A={两件产品中至少有一个是不合格品 它又可写为两个互斥事件之和
事件的关系和运算
(5) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
(6) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 .
事件 A 的对立（互逆）事件 设 A 表示“事件 A 出现”, 则“事件 A 不出现”
称为事件 A 的对立事件或逆事件. 记作 A. 实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”
图示 A 与 B 的对立. A
B A
若 A 与 B 互逆,则有 A B 且 AB .
注. 1º互斥与互逆的关系
练习1 设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件 用A,B,C 表示出来.
(1) A 出现 , B, C 不出现; (2) A, B都出现, C 不出现; (3) 三个事件都出现; (4) 三个事件至少有一个出现; (5) 三个事件都不出现;
(6) 不多于一个事件出现; (7) 不多于两个事件出现;
AB A B
(2) A BA A BA ( A B)( A A) ( A B) A B
AB AB AB A(B B) AB A BA
A BA A B
例2 下列命题是否正确？
(1) AB AB
AB 事件A与B的积事件 A集合与B集合的交集
A B 事件A与事件B的差 A与B两集合的差集
AB
事件A与B互不相容
A与B 两集合中没有 相同的元素
1.1 随机事件及其运算
例如，在E1中
{1, 2, 3,4,5,6} 表示必然事件 ；
A {1, 3,5} B {1, 2, 3}
表示出现奇数点的事件；
表示出现点数小于 4 的事件；
C {2, 4, 6} 表示出现偶数点的事件 ； D {4,6}
表示出现大于2 的偶点事件 。
{出现7点}
表示不可能事件。
A
B A B ; A B A B. 和之逆即逆之积 ; 积之逆即逆之和
例1 电路如图所示。用A表示事件“信号灯点 亮”，用B，C，D 依次表示“继电器Ⅰ闭合” ， “继电器Ⅱ闭合”，“继电器Ⅲ闭合” 。试给出 用 B，C，D 间的运算关系表示事件 A 的关系式。
AB
(C
D)
A BC
BD
ABC
ABC
6）A、B、C 中只有一个发生； ABC 8）A、B、C 中恰有两个发生. ABC
ABC ABC
ABC ABC
7）A、B、C 中不多于两个发生； ABC
ABC
集合的运算
一、补集与全集
定义: 一般地，设S是一个集合，A是S的一个 子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合， 叫做S中子集A的补集，记作
概率论与数理统计
数学教研室
贺 丽 娟
一、概率论的诞生及应用
概率论与数理统计 是研究和揭
示随机现象统计规律性的数学学科。
1. 概率论的诞生——分赌本问题
甲、乙二人赌博，各出赌注30元，共60 元，每局甲、乙胜的机会均等，都是 1/2。约定：谁先胜满3局则他赢得全部 赌注60元，现已赌完3局，甲2胜1负，而 因故中断赌情，问这60元赌注该如何分 给2人，才算公平? 点
Ω
Ω
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E6: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；
S6 : {HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH, TTT } ， ， ，
E7: 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;
S7 : { 0, 1, 2, 3 }
B= A
请注意互不相容与对立事件的区别！ 请注意互不相容与对立事件的区别！
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件Biblioteka 概率例如， 例如，在S4 中 产品是次品” 事件 A={t|t<1000} 表示 “产品是次品” < 产品是合格品” 事件 B={t|t ≥ 1000} 表示 “产品是合格品” 事件 C={t|t≥1500} 表示“产品是一级品” ≥ 表示“产品是一级品” 则 A与 B 是互为对立事件； 与 是互为对立事件； A与 C 是互不相容事件； 与 是互不相容事件；
经济、科技、教育、 概率论与数理统计 在经济、科技、教育、管理和 军事等方面已得到广泛应用。 军事等方面已得到广泛应用。 在生活当中，经常会接触到一 现象： 在生活当中，经常会接触到一些现象： 确定性现象：在一定条件下必然发生的现象。 确定性现象：在一定条件下必然发生的现象。 随机现象：在个别实验中其结果呈现出不确定性 随机现象：在个别实验中其结果呈现出不确定性； 不确定性； 在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。 在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。 统计规律性的现象 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律 性的一门学科，是重要的一个数学分支。 性的一门学科，是重要的一个数学分支。
8. 生物学中研究 群体的增长问题时， 群体的增长问题时， 提出了生灭型《随机模型》 提出了生灭型《随机模型》，传染病流行问 题要用到多变量非线性《生灭过程》 题要用到多变量非线性《生灭过程》； 9. 许多服务系统，如电话通信、船舶 许多服务系统，如电话通信、 装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、 装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、 水库调度、购物排队、红绿灯转换等， 水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都
数理统计Ⅱ 数理统计Ⅱ
教材： 概率论与数理统计》 教材：《概率论与数理统计》 第三版 浙江大学 盛骤等 编 高等教育出版社 教 师： 杨晓霞 办公室: 办公室: 理学院 203 电 话: 62338357
e-mail: yxx77@
概率(或然率或几率 概率 或然率或几率) —— 随机事件出现 或然率或几率 其起源与博弈问题有关. 的可能性的量度—— 其起源与博弈问题有关 的可能性的量度 概率论是一门研究客观世界随机现象数量 概率论是一门研究客观世界随机现象数量 数学分支学科. 规律的 数学分支学科 16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 中的一些问题； 世纪中叶 法国数学家B. 世纪中叶， 中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家 帕 斯卡、荷兰数学家C. 斯卡、荷兰数学家 惠更斯 基于排列组合的方 的赌博问题， 解决了“ 法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理 分配赌注问题” 分配赌注问题” ( 即得分问题 ).
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E1：抛一枚硬币，观察正面 （Heads）、反面 抛一枚硬币，观察正面H（ ）、反面 ）、反面T （Tails）出现的情况。 ）出现的情况。 S1 : { H , T } E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。 抛一颗骰子，观察出现的点数。 E4：观察某一电子元件的寿命。 观察某一电子元件的寿命。
本学科的应用
概率统计理论与方法的应用几乎遍及 所有科学技术领域、 所有科学技术领域、工农业生产和国民经 济的各个部门中. 济的各个部门中 例如 1. 气象、水文、地震预报、人口控制 气象、水文、地震预报、 及预测都与《概率论》紧密相关； 及预测都与《概率论》紧密相关； 2. 产品的抽样验收，新研制的药品能 产品的抽样验收， 否在临床中应用，均要用到《假设检验》 否在临床中应用，均要用到《假设检验》；
第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
这些试验具有以下特点： 这些试验具有以下特点： 1. 可以在相同的条件下重复进行； 可以在相同的条件下重复进行； 2. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现； 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现； 3. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确 每次试验的可能结果不止一个， 试验的所有可能结果。 试验的所有可能结果。 称具备上面三个特点的试验为随机试验。 称具备上面三个特点的试验为随机试验。
3. 寻求最佳生产方案要进行《实验设计》 寻求最佳生产方案要进行《实验设计》 数据处理》 和《数据处理》； 4. 电子系统的设计 火箭卫星的研制及其 电子系统的设计, 发射都离不开《可靠性估计》; 发射都离不开《可靠性估计》 5. 处理通信问题, 需要研究《信息论》； 处理通信问题 需要研究《信息论》 6. 探讨太阳黑子的变化规律时 《时间 探讨太阳黑子的变化规律时,《 序列分析》方法非常有用; 序列分析》方法非常有用 7. 研究化学反应的时变率，要以《马尔 研究化学反应的时变率，要以《 可夫过程》 来描述; 可夫过程》 来描述
第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
3) 随 机 事 件
随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件， 等等； 随机事件，记作 A, B, C 等等； 由一个样本点组成的单点集； 基本事件 : 由一个样本点组成的单点集； 本身； 必然事件 : 样本空间 S 本身； 空集 不可能事件 : 空集。 我们称一个随机事件发生当且仅当它所包 我们称一个随机事件发生当且仅当它所包 随机事件发生当且仅当 含的一个样本点在试验中出现。 在试验中出现 含的一个样本点在试验中出现。
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第一章
概率论的基本概念
§1 随机事件的概率 §2 等可能概型 §3 条件概率 §4 独立性
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第一章 概率论的基本概念
§1 随 机 事 件 的 概率
一 随机试验
二 事件间的关系与运算
三 频率与概率
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第一章 概率论的基本概念
事件 A U B
α
发生当且仅当 A, B 至少发生一个 .
U Aα 表示 Aα 中至少发生一个 α
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.
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
4) 积（交）事件 A I B = AB
事件 A I B 发生当且仅当 A , B 同时发生 同时发生.
A
B S
I Aα 表示所有 Aα 同时发生 . α
S2 : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } S E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。 3 : {0,1,2,3……} 观察某一时间段通过某一路口的车辆数。 S4 : { t | t ≥ 0 }
E5：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。 观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。
S5 : { ( x , y ) | T 0≤ x ≤ y ≤ T1 }
α
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
考察下列事件间的包含关系： 考察下列事件间的包含关系：
AB
AB AB
A
B
AU B
B B
A A U B A U
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
5) 差事件
A B = A AB = AB
E1：抛一枚硬币，观察正面 （Heads）、反面 抛一枚硬币，观察正面H（ ）、反面 ）、反面T （Tails）出现的情况。 ）出现的情况。 E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。 抛一颗骰子，观察出现的点数。 E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。 观察某一时间段通过某一路口的车辆数。 E4：观察某一电子元件的寿命。 观察某一电子元件的寿命。 E5：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。 观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。 E6: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E7: 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;
二 、 事件间的关系与运算
1) 包含关系
A B
A B S
如果A发生必导致 发生，则 如果 发生必导致B发生 发生必导致 发生，
A B
2）相等关系 ）
A = B A B , 且 B A.
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
3) 和（并）事件
AU B
A
B S
§1 随机事件的概率
一、 随 机 试验 1) 随机试验 随机试验（Experiment ）
这里试验的含义十分广泛， 这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样 的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。 的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。 其典型的例子有： 其典型的例子有：
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对客观世界中随机现象的分析产生了概率 论；使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠 基人是瑞士数学家J.伯努利 伯努利； 基人是瑞士数学家 伯努利；而概率论的飞速 发展则在17世纪微积分学说建立以后 世纪微积分学说建立以后. 发展则在 世纪微积分学说建立以后 第二次世界大战军事上的需要以及大工业 与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、 与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息 控制论与数理统计学等学科. 论、控制论与数理统计学等学科 数理统计学是一门研究怎样去有效地收集 研究怎样去有效地收集、 数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据， 整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的 问题作出推断或预测， 问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策 数学分支学科. 和行动提供依据和建议的 数学分支学科