1-1随机事件的关系与运算
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第一章
概率论的基本概念
§1 随机事件的概率 §2 等可能概型 §3 条件概率 §4 独立性
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第一章 概率论的基本概念
§1 随 机 事 件 的 概率
一 随机试验
二 事件间的关系与运算
三 频率ห้องสมุดไป่ตู้概率
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第一章 概率论的基本概念
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E1：抛一枚硬币，观察正面 （Heads）、反面 抛一枚硬币，观察正面H（ ）、反面 ）、反面T （Tails）出现的情况。 ）出现的情况。 S1 : { H , T } E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。 抛一颗骰子，观察出现的点数。 E4：观察某一电子元件的寿命。 观察某一电子元件的寿命。
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
2) 样本空间 样本空间(Space)
定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合 样本空间， 称为 E 的样本空间， 记为 S 。样本空间的 元素， 的每个结果，称为样本点 样本点。 元素，即 E 的每个结果，称为样本点。 要求：会写出随机试验的 样本空间。 要求： 样本空间。
本学科的应用
概率统计理论与方法的应用几乎遍及 所有科学技术领域、 所有科学技术领域、工农业生产和国民经 济的各个部门中. 济的各个部门中 例如 1. 气象、水文、地震预报、人口控制 气象、水文、地震预报、 及预测都与《概率论》紧密相关； 及预测都与《概率论》紧密相关； 2. 产品的抽样验收，新研制的药品能 产品的抽样验收， 否在临床中应用，均要用到《假设检验》 否在临床中应用，均要用到《假设检验》；
B= A
请注意互不相容与对立事件的区别！ 请注意互不相容与对立事件的区别！
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
例如， 例如，在S4 中 产品是次品” 事件 A={t|t<1000} 表示 “产品是次品” < 产品是合格品” 事件 B={t|t ≥ 1000} 表示 “产品是合格品” 事件 C={t|t≥1500} 表示“产品是一级品” ≥ 表示“产品是一级品” 则 A与 B 是互为对立事件； 与 是互为对立事件； A与 C 是互不相容事件； 与 是互不相容事件；
第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
3) 随 机 事 件
随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件， 等等； 随机事件，记作 A, B, C 等等； 由一个样本点组成的单点集； 基本事件 : 由一个样本点组成的单点集； 本身； 必然事件 : 样本空间 S 本身； 空集 不可能事件 : 空集。 我们称一个随机事件发生当且仅当它所包 我们称一个随机事件发生当且仅当它所包 随机事件发生当且仅当 含的一个样本点在试验中出现。 在试验中出现 含的一个样本点在试验中出现。
二 、 事件间的关系与运算
1) 包含关系
A B
A B S
如果A发生必导致 发生，则 如果 发生必导致B发生 发生必导致 发生，
A B
2）相等关系 ）
A = B A B , 且 B A.
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
3) 和（并）事件
AU B
A
B S
A B
A S B S
A B
A A B
不发生. A B 发生当且仅当 A 发生 B 不发生
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
6) 互不相容（互斥） 互不相容（互斥）
7) 对立事件 （逆事件） 逆事件）
A I B =
A I B = A U B =S
A
A B S S
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
例如： 例如：S2 中 出现偶数点” 事件 A={2,4,6} 表示 “出现偶数点”; 出现的点数不超过4”. 事件 B={1,2,3,4} 表示 “出现的点数不超过
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
E6: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；
S6 : {HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH, TTT } ， ， ，
E7: 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;
S7 : { 0, 1, 2, 3 }
经济、科技、教育、 概率论与数理统计 在经济、科技、教育、管理和 军事等方面已得到广泛应用。 军事等方面已得到广泛应用。 在生活当中，经常会接触到一 现象： 在生活当中，经常会接触到一些现象： 确定性现象：在一定条件下必然发生的现象。 确定性现象：在一定条件下必然发生的现象。 随机现象：在个别实验中其结果呈现出不确定性 随机现象：在个别实验中其结果呈现出不确定性； 不确定性； 在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。 在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。 统计规律性的现象 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律 性的一门学科，是重要的一个数学分支。 性的一门学科，是重要的一个数学分支。
可用一类概率模型来描述， 可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知
排队论》 识就是 《排队论》.
目前, 目前 概率统计理论进入其他自然科学 领域的趋势还在不断发展. 领域的趋势还在不断发展 在社会科学领 领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经 都大量采用《 济的稳定增长等问题 , 都大量采用《概率 统计方法》 法国数学家拉普拉斯(Laplace) 统计方法》. 法国数学家拉普拉斯 说: “ 生活中最重要的问题 , 其中绝大 多数在实质上只是概率的问题.” 多数在实质上只是概率的问题
8. 生物学中研究 群体的增长问题时， 群体的增长问题时， 提出了生灭型《随机模型》 提出了生灭型《随机模型》，传染病流行问 题要用到多变量非线性《生灭过程》 题要用到多变量非线性《生灭过程》； 9. 许多服务系统，如电话通信、船舶 许多服务系统，如电话通信、 装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、 装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、 水库调度、购物排队、红绿灯转换等， 水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都
事件 A U B
α
发生当且仅当 A, B 至少发生一个 .
U Aα 表示 Aα 中至少发生一个 α
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.
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
4) 积（交）事件 A I B = AB
事件 A I B 发生当且仅当 A , B 同时发生 同时发生.
A
B S
I Aα 表示所有 Aα 同时发生 . α
α
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
考察下列事件间的包含关系： 考察下列事件间的包含关系：
AB
AB AB
A
B
AU B
B B
A A U B A U
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
5) 差事件
A B = A AB = AB
E1：抛一枚硬币，观察正面 （Heads）、反面 抛一枚硬币，观察正面H（ ）、反面 ）、反面T （Tails）出现的情况。 ）出现的情况。 E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。 抛一颗骰子，观察出现的点数。 E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。 观察某一时间段通过某一路口的车辆数。 E4：观察某一电子元件的寿命。 观察某一电子元件的寿命。 E5：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。 观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。 E6: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E7: 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;
3. 寻求最佳生产方案要进行《实验设计》 寻求最佳生产方案要进行《实验设计》 数据处理》 和《数据处理》； 4. 电子系统的设计 火箭卫星的研制及其 电子系统的设计, 发射都离不开《可靠性估计》; 发射都离不开《可靠性估计》 5. 处理通信问题, 需要研究《信息论》； 处理通信问题 需要研究《信息论》 6. 探讨太阳黑子的变化规律时 《时间 探讨太阳黑子的变化规律时,《 序列分析》方法非常有用; 序列分析》方法非常有用 7. 研究化学反应的时变率，要以《马尔 研究化学反应的时变率，要以《 可夫过程》 来描述; 可夫过程》 来描述
对客观世界中随机现象的分析产生了概率 论；使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠 基人是瑞士数学家J.伯努利 伯努利； 基人是瑞士数学家 伯努利；而概率论的飞速 发展则在17世纪微积分学说建立以后 世纪微积分学说建立以后. 发展则在 世纪微积分学说建立以后 第二次世界大战军事上的需要以及大工业 与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、 与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息 控制论与数理统计学等学科. 论、控制论与数理统计学等学科 数理统计学是一门研究怎样去有效地收集 研究怎样去有效地收集、 数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据， 整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的 问题作出推断或预测， 问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策 数学分支学科. 和行动提供依据和建议的 数学分支学科
数理统计Ⅱ 数理统计Ⅱ
教材： 概率论与数理统计》 教材：《概率论与数理统计》 第三版 浙江大学 盛骤等 编 高等教育出版社 教 师： 杨晓霞 办公室: 办公室: 理学院 203 电 话: 62338357
e-mail: yxx77@bjfu.edu.cn
概率(或然率或几率 概率 或然率或几率) —— 随机事件出现 或然率或几率 其起源与博弈问题有关. 的可能性的量度—— 其起源与博弈问题有关 的可能性的量度 概率论是一门研究客观世界随机现象数量 概率论是一门研究客观世界随机现象数量 数学分支学科. 规律的 数学分支学科 16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 中的一些问题； 世纪中叶 法国数学家B. 世纪中叶， 中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家 帕 斯卡、荷兰数学家C. 斯卡、荷兰数学家 惠更斯 基于排列组合的方 的赌博问题， 解决了“ 法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理 分配赌注问题” 分配赌注问题” ( 即得分问题 ).
第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
这些试验具有以下特点： 这些试验具有以下特点： 1. 可以在相同的条件下重复进行； 可以在相同的条件下重复进行； 2. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现； 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现； 3. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确 每次试验的可能结果不止一个， 试验的所有可能结果。 试验的所有可能结果。 称具备上面三个特点的试验为随机试验。 称具备上面三个特点的试验为随机试验。
统计方法的数学理论要用到很多近代数学 知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、 知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数 学等等，但关系最密切的是概率论， 学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这 样说：概率论是数理统计学的基础， 样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计 学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列 学是概率论的一种应用 的数学分支学科，并无从属关系. 的数学分支学科，并无从属关系
§1 随机事件的概率
一、 随 机 试验 1) 随机试验 随机试验（Experiment ）
这里试验的含义十分广泛， 这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样 的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。 的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。 其典型的例子有： 其典型的例子有：
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S2 : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } S E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。 3 : {0,1,2,3……} 观察某一时间段通过某一路口的车辆数。 S4 : { t | t ≥ 0 }
E5：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。 观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。
S5 : { ( x , y ) | T 0≤ x ≤ y ≤ T1 }
第一章
概率论的基本概念
§1 随机事件的概率 §2 等可能概型 §3 条件概率 §4 独立性
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一 随机试验
二 事件间的关系与运算
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E1：抛一枚硬币，观察正面 （Heads）、反面 抛一枚硬币，观察正面H（ ）、反面 ）、反面T （Tails）出现的情况。 ）出现的情况。 S1 : { H , T } E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。 抛一颗骰子，观察出现的点数。 E4：观察某一电子元件的寿命。 观察某一电子元件的寿命。
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
2) 样本空间 样本空间(Space)
定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合 样本空间， 称为 E 的样本空间， 记为 S 。样本空间的 元素， 的每个结果，称为样本点 样本点。 元素，即 E 的每个结果，称为样本点。 要求：会写出随机试验的 样本空间。 要求： 样本空间。
本学科的应用
概率统计理论与方法的应用几乎遍及 所有科学技术领域、 所有科学技术领域、工农业生产和国民经 济的各个部门中. 济的各个部门中 例如 1. 气象、水文、地震预报、人口控制 气象、水文、地震预报、 及预测都与《概率论》紧密相关； 及预测都与《概率论》紧密相关； 2. 产品的抽样验收，新研制的药品能 产品的抽样验收， 否在临床中应用，均要用到《假设检验》 否在临床中应用，均要用到《假设检验》；
B= A
请注意互不相容与对立事件的区别！ 请注意互不相容与对立事件的区别！
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
例如， 例如，在S4 中 产品是次品” 事件 A={t|t<1000} 表示 “产品是次品” < 产品是合格品” 事件 B={t|t ≥ 1000} 表示 “产品是合格品” 事件 C={t|t≥1500} 表示“产品是一级品” ≥ 表示“产品是一级品” 则 A与 B 是互为对立事件； 与 是互为对立事件； A与 C 是互不相容事件； 与 是互不相容事件；
第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
3) 随 机 事 件
随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件， 等等； 随机事件，记作 A, B, C 等等； 由一个样本点组成的单点集； 基本事件 : 由一个样本点组成的单点集； 本身； 必然事件 : 样本空间 S 本身； 空集 不可能事件 : 空集。 我们称一个随机事件发生当且仅当它所包 我们称一个随机事件发生当且仅当它所包 随机事件发生当且仅当 含的一个样本点在试验中出现。 在试验中出现 含的一个样本点在试验中出现。
二 、 事件间的关系与运算
1) 包含关系
A B
A B S
如果A发生必导致 发生，则 如果 发生必导致B发生 发生必导致 发生，
A B
2）相等关系 ）
A = B A B , 且 B A.
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§1 随机事件的概率
3) 和（并）事件
AU B
A
B S
A B
A S B S
A B
A A B
不发生. A B 发生当且仅当 A 发生 B 不发生
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§1 随机事件的概率
6) 互不相容（互斥） 互不相容（互斥）
7) 对立事件 （逆事件） 逆事件）
A I B =
A I B = A U B =S
A
A B S S
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§1 随机事件的概率
例如： 例如：S2 中 出现偶数点” 事件 A={2,4,6} 表示 “出现偶数点”; 出现的点数不超过4”. 事件 B={1,2,3,4} 表示 “出现的点数不超过
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§1 随机事件的概率
E6: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；
S6 : {HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH, TTT } ， ， ，
E7: 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;
S7 : { 0, 1, 2, 3 }
经济、科技、教育、 概率论与数理统计 在经济、科技、教育、管理和 军事等方面已得到广泛应用。 军事等方面已得到广泛应用。 在生活当中，经常会接触到一 现象： 在生活当中，经常会接触到一些现象： 确定性现象：在一定条件下必然发生的现象。 确定性现象：在一定条件下必然发生的现象。 随机现象：在个别实验中其结果呈现出不确定性 随机现象：在个别实验中其结果呈现出不确定性； 不确定性； 在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。 在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。 统计规律性的现象 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律 性的一门学科，是重要的一个数学分支。 性的一门学科，是重要的一个数学分支。
可用一类概率模型来描述， 可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知
排队论》 识就是 《排队论》.
目前, 目前 概率统计理论进入其他自然科学 领域的趋势还在不断发展. 领域的趋势还在不断发展 在社会科学领 领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经 都大量采用《 济的稳定增长等问题 , 都大量采用《概率 统计方法》 法国数学家拉普拉斯(Laplace) 统计方法》. 法国数学家拉普拉斯 说: “ 生活中最重要的问题 , 其中绝大 多数在实质上只是概率的问题.” 多数在实质上只是概率的问题
8. 生物学中研究 群体的增长问题时， 群体的增长问题时， 提出了生灭型《随机模型》 提出了生灭型《随机模型》，传染病流行问 题要用到多变量非线性《生灭过程》 题要用到多变量非线性《生灭过程》； 9. 许多服务系统，如电话通信、船舶 许多服务系统，如电话通信、 装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、 装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、 水库调度、购物排队、红绿灯转换等， 水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都
事件 A U B
α
发生当且仅当 A, B 至少发生一个 .
U Aα 表示 Aα 中至少发生一个 α
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§1 随机事件的概率
4) 积（交）事件 A I B = AB
事件 A I B 发生当且仅当 A , B 同时发生 同时发生.
A
B S
I Aα 表示所有 Aα 同时发生 . α
α
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§1 随机事件的概率
考察下列事件间的包含关系： 考察下列事件间的包含关系：
AB
AB AB
A
B
AU B
B B
A A U B A U
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§1 随机事件的概率
5) 差事件
A B = A AB = AB
E1：抛一枚硬币，观察正面 （Heads）、反面 抛一枚硬币，观察正面H（ ）、反面 ）、反面T （Tails）出现的情况。 ）出现的情况。 E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。 抛一颗骰子，观察出现的点数。 E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。 观察某一时间段通过某一路口的车辆数。 E4：观察某一电子元件的寿命。 观察某一电子元件的寿命。 E5：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。 观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。 E6: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E7: 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;
3. 寻求最佳生产方案要进行《实验设计》 寻求最佳生产方案要进行《实验设计》 数据处理》 和《数据处理》； 4. 电子系统的设计 火箭卫星的研制及其 电子系统的设计, 发射都离不开《可靠性估计》; 发射都离不开《可靠性估计》 5. 处理通信问题, 需要研究《信息论》； 处理通信问题 需要研究《信息论》 6. 探讨太阳黑子的变化规律时 《时间 探讨太阳黑子的变化规律时,《 序列分析》方法非常有用; 序列分析》方法非常有用 7. 研究化学反应的时变率，要以《马尔 研究化学反应的时变率，要以《 可夫过程》 来描述; 可夫过程》 来描述
对客观世界中随机现象的分析产生了概率 论；使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠 基人是瑞士数学家J.伯努利 伯努利； 基人是瑞士数学家 伯努利；而概率论的飞速 发展则在17世纪微积分学说建立以后 世纪微积分学说建立以后. 发展则在 世纪微积分学说建立以后 第二次世界大战军事上的需要以及大工业 与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、 与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息 控制论与数理统计学等学科. 论、控制论与数理统计学等学科 数理统计学是一门研究怎样去有效地收集 研究怎样去有效地收集、 数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据， 整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的 问题作出推断或预测， 问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策 数学分支学科. 和行动提供依据和建议的 数学分支学科
数理统计Ⅱ 数理统计Ⅱ
教材： 概率论与数理统计》 教材：《概率论与数理统计》 第三版 浙江大学 盛骤等 编 高等教育出版社 教 师： 杨晓霞 办公室: 办公室: 理学院 203 电 话: 62338357
e-mail: yxx77@bjfu.edu.cn
概率(或然率或几率 概率 或然率或几率) —— 随机事件出现 或然率或几率 其起源与博弈问题有关. 的可能性的量度—— 其起源与博弈问题有关 的可能性的量度 概率论是一门研究客观世界随机现象数量 概率论是一门研究客观世界随机现象数量 数学分支学科. 规律的 数学分支学科 16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 中的一些问题； 世纪中叶 法国数学家B. 世纪中叶， 中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家 帕 斯卡、荷兰数学家C. 斯卡、荷兰数学家 惠更斯 基于排列组合的方 的赌博问题， 解决了“ 法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理 分配赌注问题” 分配赌注问题” ( 即得分问题 ).
第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
这些试验具有以下特点： 这些试验具有以下特点： 1. 可以在相同的条件下重复进行； 可以在相同的条件下重复进行； 2. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现； 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现； 3. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确 每次试验的可能结果不止一个， 试验的所有可能结果。 试验的所有可能结果。 称具备上面三个特点的试验为随机试验。 称具备上面三个特点的试验为随机试验。
统计方法的数学理论要用到很多近代数学 知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、 知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数 学等等，但关系最密切的是概率论， 学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这 样说：概率论是数理统计学的基础， 样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计 学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列 学是概率论的一种应用 的数学分支学科，并无从属关系. 的数学分支学科，并无从属关系
§1 随机事件的概率
一、 随 机 试验 1) 随机试验 随机试验（Experiment ）
这里试验的含义十分广泛， 这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样 的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。 的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。 其典型的例子有： 其典型的例子有：
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S2 : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } S E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。 3 : {0,1,2,3……} 观察某一时间段通过某一路口的车辆数。 S4 : { t | t ≥ 0 }
E5：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。 观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。
S5 : { ( x , y ) | T 0≤ x ≤ y ≤ T1 }