2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题以及参考答案

2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2016年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=︒。将

OAB △沿直线AB 折叠得CAB △，则点C 的坐标为（ ）

A

．(1 B

．3) C

．(3 D

．1)

2．若实数a ，b 满足232a a +=，232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=（ ） A ．18 B ．12 C ．9 D ．6

3．若关于x 的方程22240224

x x x a

x x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ）

A ．6-

B ．30-

C ．32-

D ．38-

4．如图，在ABC △中，6AB =，3BC =，7CA =，I 为ABC △的内心，连接CI 并延长交AB 于点D 。记CAI △的面积为m ， DAI △的面积为n ，则

m

n

=（ ） A ．32 B ．43 C ．53 D ．74

5．已知x ，y 为实数，且满足2244x xy y -+=，记224u x xy y =++的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ）

A ．403

B ．64

15

C ．13615

D ．315

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．在平面直角坐标系内有两点(11)A ，

，(23)B ，，若一次函数2y kx =+的图像与线段AB 有公共点，则k 的取值范围为 。

A

B

C D

I

7．如图，在ABC △中，D 为BC 边上一点，E 为线段AD 上一点，延长BE 交AC 于点F 。若

25BD BC =，12AE AD =，则AF

AC

= 。

8．设1x ，2x ，3x ，…，n x 是n 个互不相同的正整数，且1232017n x x x x ++++=，则n

的最大值是 。

9．如图，AB 是O ⊙的直径，AC 是O ⊙的切线，BC 交O ⊙于E

点，若

OA

CE

=，则AE

AB

= 。

10．若正整数x ，y ，z 满足方程组333237()

x y z xyz

x y z ⎧--=⎪⎨=+⎪⎩，则xyz 的最大值为 。

三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）

11．若关于x 的方程2(3)20x a x a --+-=有两个不相等的整数根，求a 的值。

E

O

A B

C

F B

C

A

D

E

12．如图，H 为ABC △的垂心，圆O 为ABC △的外接圆。点E 、F 为以C 为圆心、CH 长为半径的圆与圆O 的交点，D 为线段EF 的垂直平分线与圆O 的交点。

求证：（1）AC 垂直平分线段HE ；

（2）DE AB 。

F D

E

H

O

B

C A

13．对于整数3n ≥，用()n ϕ表示所有小于n 的素数的乘积。求满足条件()2232n n ϕ=-的所有正整数n 。

14．在一个m n ⨯（m 行，n 列，1m >）的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得： （1）每一列所填的数都是1，2，3，…，m 的一个排列；（即在每一列中，1，2，3，…，

m 这m 个数出现且仅出现1次）

（2）每一行n 个的数和都是34。

当上述的填数方式存在时，求()m n ，的所有可能取值。

2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2016年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=︒。将

OAB △沿直线AB 折叠得CAB △，则点C 的坐标为（ ）

A ．(13)，

B ．(33)，

C ．(33)，

D ．(31)， 【答案】 B

【解答】如图，设CD x ⊥轴于点D 。

依题意，23CA OA ==，260CAO BAO ∠=∠=︒。 所以，3CD =，3AD =，3OD =。

因此，点C 的坐标为(33)，

。 2．若实数a ，b 满足232a a +=，232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=（ ） A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 【答案】 A

【解答】依题意，a ，b 为方程2320x x +-=的两个不同实根。 因此，由韦达定理得，3a b +=-，2ab =-。

[]22(1)(1)(123)(123)9(1)(1)91()9(132)18a b a b a b a b ab ++=+-+-=--=-++=+-=。 或解：222222222(1)(1)11()2194418a b a b a b a b ab a b ++=+++=++-+=+++=。 3．若关于x 的方程22240224

x x x a

x x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ）

A ．6-

B ．30-

C ．32-

D ．38- 【答案】 D 【解答】方程

22240224

x x x a

x x x +-+++=-+-化为22480x x a +++= ……………… ① 若方程①有两个相等实根，则168(8)0a =-+=△，6a =-。

6a =-时，方程①的根121x x ==-，符合要求。

若2x =是方程①的根，则8880a +++=，24a =-，此时，方程①的另一个根为4x =-，符合要求。

若2x =-是方程①的根，则8880a -++=，8a =-，此时，方程①的另一个根为0x =，符合要求。