圆锥曲线-双曲线
解读数学中的圆锥曲线与双曲线
解读数学中的圆锥曲线与双曲线圆锥曲线和双曲线是数学中重要的概念和研究对象。
它们在几何学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将对圆锥曲线和双曲线进行解读，并介绍它们的定义、性质以及应用。
一、圆锥曲线的定义与性质圆锥曲线是由一个平面与一个圆锥相交所得到的曲线。
根据平面与圆锥的位置关系，圆锥曲线分为三种类型：椭圆、抛物线和双曲线。
1. 椭圆：当平面与圆锥的切线小于圆锥的斜边时，所得到的曲线称为椭圆。
椭圆具有以下性质：a. 椭圆的离心率小于1，且离心率越小，椭圆越接近于圆形；b. 椭圆的焦点是椭圆的特殊点，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是常数；c. 椭圆的长轴、短轴及焦点之间存在一定的关系，可以通过这些参数来确定椭圆的形状和大小。
2. 抛物线：当平面与圆锥的切线等于圆锥的斜边时，所得到的曲线称为抛物线。
抛物线具有以下性质：a. 抛物线具有对称性，焦点是抛物线的特殊点，抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离；b. 抛物线的形状由焦点和准线的位置决定，焦点越靠近准线，抛物线越扁平。
3. 双曲线：当平面与圆锥的切线大于圆锥的斜边时，所得到的曲线称为双曲线。
双曲线具有以下性质：a. 双曲线的离心率大于1，且离心率越大，双曲线的形状越扁平；b. 双曲线的焦点是双曲线的特殊点，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差是常数；c. 双曲线的长轴、短轴及焦点之间存在一定的关系，可以通过这些参数来确定双曲线的形状和大小。
二、双曲线的应用双曲线在数学和物理学中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 光学：双曲线是抛物面镜和双曲面镜的截面曲线，这些曲线具有聚焦和发散光线的特性，被广泛应用于光学系统中，如望远镜、显微镜等。
2. 电磁场：在电磁学中，双曲线是电场和磁场的等势线，它们的分布和形状对电磁场的性质和行为有着重要的影响。
3. 天体力学：在天体力学中，双曲线被用来描述天体的轨道形状，如彗星的轨道就是一个双曲线。
掌握数学中的圆锥曲线与双曲线
掌握数学中的圆锥曲线与双曲线圆锥曲线与双曲线是数学中重要的概念，它们在几何学、物理学、工程学以及其他应用领域中都有广泛的应用。
掌握圆锥曲线与双曲线的性质和特征对于解决实际问题、推导数学公式以及拓展数学知识都非常重要。
本文将详细介绍圆锥曲线与双曲线的定义、性质以及一些重要的应用。
1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是在平面上由一个动点P和一个固定点F（焦点）确定的几何图形。
当动点P满足定点到动点的距离和定点到直线的距离之比为定值（离心率）时，所生成的曲线就是圆锥曲线。
根据离心率的不同取值，圆锥曲线可以分为四种：椭圆、双曲线、抛物线和直线。
2. 圆锥曲线的性质（1）椭圆：椭圆是圆锥曲线中离心率小于1的情况。
椭圆具有两个焦点，并且动点P到两个焦点的距离之和是一个定值。
（2）双曲线：双曲线是圆锥曲线中离心率大于1的情况。
双曲线同样具有两个焦点，但动点P到两个焦点的距离之差是一个定值。
（3）抛物线：抛物线是圆锥曲线中离心率等于1的情况。
抛物线具有一个焦点，并且动点P到焦点的距离等于焦点到直线的距离。
（4）直线：当离心率趋于无穷大时，圆锥曲线变成一条直线。
3. 双曲线的定义双曲线是一个平面上的点P到两个不相交的固定点F1和F2的距离之差等于一个常量的轨迹。
双曲线的形状可以用以下方程表示：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别表示双曲线的横轴和纵轴的长度。
4. 双曲线的性质（1）双曲线具有两条渐近线，与双曲线趋近于无穷远处且永不相交。
（2）双曲线的对称轴是横轴和纵轴的平分线，同时也是双曲线的渐近线。
（3）双曲线的顶点是在横轴和纵轴的交点处，顶点之间的距离等于2a。
（4）双曲线有两个分支，分别位于两个焦点的两侧。
5. 圆锥曲线与双曲线的应用（1）在物理学中，圆锥曲线和双曲线广泛用于描述物体的运动轨迹，如行星绕太阳的轨道等。
（2）在工程学中，圆锥曲线和双曲线可以用于设计道路、桥梁和建筑物等的弧度和曲线形状。
圆锥曲线专题二：双曲线(含详细答案)
基础知识：一 双曲线的定义：在平面内，到两个定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数a 2（a 大于0且212F F a <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点21F F 、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数a 2应当满足的约束条件：21212F F a PF PF <=-，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：21212F F a PF PF <=-)0(>a ，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支；若21122F F a PF PF <=-（)0(>a ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支；3. 若常数满足约束条件：21212F F a PF PF ==-，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：21212F F a PF PF >=-，则动点轨迹不存在； 5．若常数0=a ，则动点轨迹为线段21F F 的垂直平分线。
二 双曲线的标准方程：1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：)0,0(12222>>=-b a b y a x ，其中222b a c +=；2．当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程：)0,0(12222>>=-b a bx a y ，其中222b a c +=；3.共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x ；如果双曲线的渐近线为0=±b ya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x ；4. 共焦点的双曲线系方程12222=--+k b y k a x 或 12222=--+kb x k a y三 双曲线的几何性质：双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的几何性质1.对称性：对于双曲线标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x ，把x 换成―x ，或把y 换成―y ，或把x 、y 同时换成―x 、―y ，方程都不变，所以双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
探索初中数学解题中的圆锥曲线与双曲线
探索初中数学解题中的圆锥曲线与双曲线在初中数学中，圆锥曲线和双曲线是两个重要的概念。
它们在解题中起到了重要的作用，帮助我们更好地理解几何形态和数学规律。
本文将探索初中数学解题中的圆锥曲线与双曲线，深入了解它们的性质、特点以及应用。
一、圆锥曲线圆锥曲线是指在三维空间中以直角锥体和平面截面为基础形成的一类曲线。
其中最常见的三种圆锥曲线是圆、椭圆和双曲线。
在初中数学中，我们主要关注椭圆和双曲线，它们具有许多有趣的性质和应用。
1. 椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种，具有以下性质：任意一点到椭圆上两个焦点的距离之和等于常数。
这个性质被称为焦距定理，它能帮助我们解决许多与椭圆相关的问题。
例如，在求解行星运动轨迹、天体运动等问题时，可以运用椭圆的性质进行模拟和计算。
2. 双曲线双曲线是另一种圆锥曲线，它与椭圆有一些相似之处，但也存在一些明显的不同。
在双曲线上，任意一点到两个焦点的距离之差等于常数。
这个性质被称为差距定理。
双曲线的特点使得它在物理学和工程学中有着广泛的应用。
例如，在无线电通信中，频率和天线之间的关系可以用双曲线模型来描述。
二、圆锥曲线与解题圆锥曲线在初中数学的解题过程中起到了重要的作用。
它们不仅可以帮助我们理解几何形态，还可以用于解决各种实际问题。
1. 几何问题的解决在解决几何问题时，我们常常需要考虑到圆锥曲线的性质和特点。
以椭圆为例，当我们需要确定一个点到两个给定点的距离之和为常数时，可以联想到椭圆的定义。
通过构造适当的椭圆，我们可以准确地找到满足条件的解。
2. 实际问题的模拟与计算除了几何问题，圆锥曲线还可以应用于实际问题的模拟与计算。
以双曲线为例，当我们需要描述无线电通信中频率和天线之间的关系时，可以利用双曲线的性质来建立数学模型。
通过对模型进行计算和分析，我们可以更好地理解频率和天线之间的关系，并做出相应的优化和调整。
三、数学解题的思考与拓展圆锥曲线与双曲线是初中数学中的重要知识点，但它们的应用不仅仅局限于课本中的解题。
高中数学圆锥曲线复习(二)——双曲线
圆锥曲线复习（二)---—双曲线一.双曲线的定义第一定义:平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。
第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。
2双曲线的标准方程及几何性质标准方程 )0,0(12222>>=-b a b y a x )0,0(12222>>=-b a b x a y图形性质 焦点F 1（-)0,c ，F 2()0,c F 1（),0c -，F 2（),c o焦距 ｜ F 1F 2|=2c222c b a =+范围R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称 关于x 轴，y 轴和原点对称 顶点 (-a ，0）。
（a ，0） （0，—a ）（0，a ） 轴 实轴长2a ，虚轴长2b 离心率)1(>=e ac e 准线 c a x 2±=ca y 2±= 渐近线0=±bya x 0=±ayb x 到焦点的,c a =-最近距最远距无b Rt ∆焦渐距，第二个二、常见的结论：（1）与双曲线22221x y a b -=共同的焦点的双曲线22221x y a k b k-=-+(2）与双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0),有共同渐近线的双曲线系方程为λ=-2222by a x (a 〉0，b>0，λ≠0）, 当 λ>0 时，所求双曲线的焦点与已知的在同一坐标轴上 当 λ〈0 时,所求双曲线的焦点与已知的在同一坐标轴上 (3）等轴双曲线的性质：离心率为2，渐近线方程为y=±x 等轴双曲线可以设为x 2-y 2=λ≠0（4）双曲线形状与e 的关系：b k a ===，e 越大,即渐开阔，即双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。
三、求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或定义法(强调取一支还是两支）。
高三 圆锥曲线——双曲线(定义,性质及其应用)11
圆锥曲线——双曲线（定义，性质及其应用）重要知识点讲解1.双曲线的第一定义；双曲线的标准方程;双曲线相关概念（顶点，焦点，实轴，虚轴，离心率，通径） 双曲线有关性质。
考点1 双曲线的定义及标准方程题型1：运用双曲线的定义1.设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为（ ） A ．36 B ．12 C ．312 D ．24题型2 求双曲线的标准方程2.已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．3.已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；4.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为_________.5.点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 的轨迹方程 A ．221(1)8y x x -=<- B ．221(1)8y x x -=> C ．1822=+y x （x > 0） D ．221(1)10y x x -=>考点2 双曲线的几何性质题型1 求离心率或离心率的范围1. 已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．2.已知双曲线221x y m n -=的一条渐近线方程为43y x =，则该双曲线的离心率e 为 ．3. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为E ，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A 、B 两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e 是（ ）A ．215+B ．2C ．215+或2D ．不存在题型2 与渐近线有关的问题4.若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）A.2 B.3 C.5 D.25.焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）A ．1241222=-y x B ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．1122422=-y x考点3 双曲线与直线位置关系（韦达定理，设而不求等方法）1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为).（Ⅰ）求C 的方程（Ⅱ）若直线:=+l y kx A 和B 且2•>OA OB （其中O 为原点），求k 的范围2.已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，点P 是双曲线C 上的一点，021=⋅PF PF ，=． （1）求双曲线的离心率e ；（2）过点P 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于21,P P 两点，若12274OP OP ⋅=-，1220PP PP +=，求双曲线C 的方程．3. 已知双曲线C 的中心在原点，抛物线x y 82=的焦点是双曲线C 的一个焦点，且双曲线C 过点)3,2(。
圆锥曲线的平面几何性质-双曲线
③2OA ON OM =⋅，即OA 是OM 、ON 的等比中项.二、双曲线1.双曲线的定义式如图，P 是双曲线上一点，1F 、2F 是焦点，AB 是实轴，则12PF PF AB -=，即双曲线定义.2.双曲线的直径与共轭直径如图，双曲线的平行弦CD 、EF 、GH 的中点M 、N 、P 在同一条直线l 上，当l 与双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的交点为A 、B 时，这条线段AB 叫做抛物线的直径.双曲线的直径有若干条，它们都过双曲线的中心O .设平行弦斜率为k ，则直径方程为220b x a ky -=，其中双曲线为22221(,0)x y a b a b-=>.平行于直径AB 的弦11C D 、11E F 、11G H 的中点1M 、1N 、1P 也在同一条直线1l 上，当1l 与双曲线22221(,0)x y a b a b -=>的共轭双曲线22221(,0)x y a b a b-=->的交点为1A 、1B 时，线段11A B 叫做直径AB 的共轭直径.397（1）双曲线直径与共轭直径的关系：直径与共轭直径的斜率之积为定值，即1122AB A B b k k a=，其中双曲线方程为22221(,0)x y a b a b-=>.（2）双曲线的任意一条直径平分平行于其共轭直径的弦.（3）如图，设双曲线22221(,0)x y a b a b-=>两共轭直径的长2AB m =、2CD n =，O 是双曲线的中心，两共轭直径与长轴的夹角（锐角）为2DOF α∠=、2BOF β∠=，且βα<，则sin()abmnαβ-=且2222m n a b -=-（定值）.（4）双曲线上任意一点P 的焦半径之积等于其对应的半共轭直径的平方.（5）如图，AB 、CD 是共轭直径，作EFGH 使其四边过共轭直径端点且与共轭直径平行，则4EFGH S ab = .3.双曲线中的弧与弓形如图A 是双曲线上的右顶点，右支上有点(,)M x y -和(,)N x y ，则398弧AN 的长度为2201x Archal ae ch tdt =+⎰；弓形MAN 的面积为ln()x y S xy ab a b=-+弓形MAN .4.双曲线的切线（1）如图，O 是双曲线的中心，M 是弦CD 的中点，AB 是直径，P 是线段AB 上一点，若AM APBM BP =，则PC 、PD 是双曲线的切线.反之，若PC 、PD 是双曲线的切线，则AM APBM BP=.（2）如图，M 是弦CD 的中点，AB 是直径，若BK CD ，则BK 是双曲线的切线.反之，若BK 是双曲线的切线，则BK CD .（3）如图，直线AB 切双曲线于点T ，交双曲线的渐近线于A 、B ，则TA TB =.且双曲线上动点的切线与渐近线形成的三角形的面积为定值OAB S ab ∆=.399更进一步，如图，直线交双曲线及其渐近线，则有AC BD =、EG FH =；以及OAC OBD S S ∆∆=、OEG OFH S S ∆∆=.（4）如图，O A 、OB 是渐近线，AB 、CD 是切线，则AD BC ，且OA OB OC OD⋅=⋅即OA OB ⋅为定值；（5）如图，两共轭双曲线中，TM 、TN 是切线，AB TM GH 、CD TN EF ，AB 、CD 交于P ，EF 、GH 交于双曲线的中心O ，则22TM OG OH TN OE OF ⋅=⋅；PA PB OG OHPC PD OE OF⋅⋅=⋅⋅.400（6）如图，AB 、AC 是焦点弦，则A 、B 处切线的交点I 在准线GH 上，即1AF B ∆的内心I 在准线上；A 、C 处切线的交点a I 在准线EF 上，即2AF C ∆的外心a I 在准线上.（7）如图，CE 、CF 是双曲线的定切线，动切线AB 交CE 、CF 于A 、B ，则2AF B ∠为定值.（8）如图，A B 是双曲线的实轴，CD 切双曲线于T ，且AC AB ⊥、BD AB ⊥，则①以CD 为直径的圆过焦点1F 、2F .②反之，以CD 为直径的圆过焦点1F 、2F ，则AC AB ⊥、BD AB ⊥.③若2CF 、1DF 交于H ，则以CH 为直径的圆过1F 、T ，以DH 为直径的圆过2F 、T .④若1F M 、2F N 垂直于切线CD ，则以AB 为直径的圆过M 、N .⑤1FT ON 、2F T OM .401⑥若11CF DF ⊥（110CF DF ⋅= ），则CD 是双曲线的切线或渐近线.另外，110CF DF ⋅<则CD 与双曲线相离；110CF DF ⋅>则CD 与双曲线相交.5.双曲线的特征三角形如图，双曲线方程为22221(,0)x y a b a b -=>，M 是准线2a x c =与渐近线by x a=的交点，A 是实轴右端点，B 是虚轴上端点，1F 、2F 是左右焦点，则（1）特征三角形2Rt AOB Rt OAN Rt OMF ∆≅∆≅∆；渐近线by x a=、直线x a =、直线y b =、圆222x y c +=四线共点N .（2）过焦点向渐近线作垂线，则垂足在准线上；反之，过准线与渐近线的交点作这条渐近线的垂线，则垂线过焦点；焦点到渐近线的距离2MF AN OB b ===.（3）以实轴、虚轴分别为长、宽的矩形DEHN 与以双曲线的中心为圆心、半焦距长为半径的圆相内接.（4）以双曲线的中心为圆心，实半轴长为半径的圆过准线与渐近线的交点，即OM OA a ==.（5）本图提供了双曲线草图的准确画法。
高考数学 圆锥曲线-双曲线题型总结
二、双曲线1、（21）（本小题满分14分）08某某已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是()0,31-F ，一条渐近线的方程是025=-y x . （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）若以()0≠k k 为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281，求k 的取值X 围. （21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．（Ⅰ）解：设双曲线C 的方程为22221x y a b-=（0,0a b >>）．由题设得2295a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2245a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为22145x y -=． 的方程为y kx m =+（0k ≠）．点11(,)M x y ，22(,)N x y 的坐标满足方程组（Ⅱ）解：设直线l22145y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ 将①式代入②式，得22()145x kx m +-=，整理得222(54)84200k x kmx m ----=． 此方程有两个一等实根，于是2504k -≠，且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>．整理得22540m k +->． ③由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00(,)x y 满足12024254x x km x k +==-，002554my kx m k =+=-． 从而线段MN 的垂直平分线方程为22514()5454m kmy x k k k-=----． 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29(,0)54km k -，29(0,)54mk -．由题设可得2219981||||254542km m k k ⋅=--．整理得222(54)||k m k -=，0k ≠． 将上式代入③式得222(54)540||k k k -+->，整理得22(45)(4||5)0k k k --->，0k ≠．解得0||k <<或5||4k >．所以k 的取值X 围是5555,)(,0)(0,)(,)4224(∞-+--∞ 2、（2008某某理18）已知双曲线22: 14x C y -=，P 为C 上的任意点。
圆锥曲线---双曲线
1 1 1 1 cos 2 cos 2 r12 r2 2 a 2 sec2 b 2 tan 2 a 2 sec 2 b 2 tan 2 a 2 b 2 sin 2 a 2 b 2 sin 2 a 2 cos 2 b 2 sin 2 cos 2 a 2 cos 2 b 2 sin 2 cos 2 a 4 b 4 sin 2 sin 2 a 2b 2 sin 2 sin 2 a 2 a 2 sin 2 b 2 sin 2 1 sin 2 a 2 a 2 sin 2 b 2 sin 2 1 sin 2 2a 4 a 2b 2 sin 2 sin 2 2a 2 b 2 a 2 sin 2 sin 2 2b 2 sin 2 sin 2 2a 4 a 2b 2 sin 2 sin 2 2a 2 b 2 a 2 b 2 b 2 a 2 sin 2 sin 2 2a 4b 2 a 2b 4 sin 2 sin 2
5.不妨设 P 在第一象限。作 F2 关于切线 PT 的对称点 M，由 4 可知 M 在 PF1 上，则
F1M PF1 PF2 2a ，垂足 H 为 F2M 的中点，则 OH=
射影 H 的轨迹是以实轴为直径的圆除去两端点。
F1M a ，同理可证其它情况。 2
6. 设 P，Q 两点到与焦点对应的准线的距离分别为 d1 , d 2 ，以 PQ 中点到准线的距离为 d ，
T 与 A2 重合，故内切圆与 x 轴切于右顶点，同理可证 P 在其他位置情况。
9. 设 P 1 a sec, b tan , P 2 a sec, b tan ，则
圆锥曲线知识点归纳汇总 - 双曲线
双曲线1．双曲线定义定义1（教材定义）：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (1)当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在． 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．定义2（补充定义）：平面内到定点F 的距离与到对应定直线l 的距离之比为定值e (e>1)的点的轨迹叫做双曲线．这个定点叫做双曲线的焦点，对应的定直线叫做双曲线的准线，定值e 叫做离心率 集合S ＝）（12>=e e PQPF ， 其中直线l 1、l 2叫做对应准线，F 1，F 2叫做对应的焦点。
2．双曲线的标准方程和几何性质(教材定义)标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0) 学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线 y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2 (c >a >0，c >b >0)3．双曲线的标准方程和几何性质（含补充）以焦点在x 轴为例：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)1）渐近线：y ＝±ba x2）准线：ca x l c a x l 2221=-=：，右准线：左准线3）通径：（过焦点的所有弦长中通径最短为ab 22MN =）4）焦点到渐近线距离为b PF =25）一般弦长公式：直线l ：y =kx +m 与双曲线C 交于A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）则弦长AB 的计算公式为()212212212411x x x x k x x k AB -++=-+=或者()21221221241111y y y y ky y k AB -++=-+=4．双曲线的重要二级结论（补充）1）焦点三角形周长如图一所示：过其中一个焦点F 2构成的弦长PQ 与另外一个焦点F 1围成的三角形的周长为：L △PQF 1=4a+2PQ 当PQ=通径时取最小值 推导：由PF 1-PF 2=2a ,QF 1-QF 2=2a 可知 PF 1+QF 1-PF 2-QF 2=PF 1+QF 1-PQ =4a所以L △PQF 1=PF 1+QF 1+PQ =PF 1+QF 1-PQ +2PQ =4a +2PQ2）焦点三角形面积如图二所示：双曲线上一动点P 与左右焦点F 1、F 2围成的三角形的面积为：），（其中212221PF F θθtanb S F PF ∠==∆推导：设PF 1=m ，PF 2=n 则PF 1-PF 2=m -n =2a ①在三角形PF 1F 2由余弦定理可知：212122212212PF F PF PF PF PF F F ∠-+=cos所以：mncos θn m c 24222-+= ②①2化为mn n m a 24222-+= ③②-③=()2412b cos θmn =- 即22412212b θsin mn =⎪⎭⎫⎝⎛-+从而得出222b θsin mn = ④又因为222222121221θtanθsin mn θcos θsin mn mnsin θS F PF ⋅=⋅==∆，代入④式可得2221θtanb SF PF =∆3）过双曲线上异于左右顶点A 1、A 2两点的任意一点P ，直线P A 1与直线P A 2的斜率之积为定值。
圆锥曲线之----双曲线专题(附答案)
圆锥曲线之----双曲线专题1. 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得∠F 1PF 2=60°，|OP|=3b(O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率为( )A. 43B. 2√33C. 76D. √426【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的定义与余弦定理的应用，得到a 2与c 2的关系是关键，也是难点，考查分析问题，解决问题的能力，属于中档题．利用双曲线的定义与余弦定理可得到a 2与c 2的关系，从而可求得该双曲线的离心率． 【解答】解：设该双曲线的离心率为e ，依题意，||PF 1|−|PF 2||=2a ， ∴|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|⋅|PF 2|=4a 2，不妨设|PF 1|2+|PF 2|2=x ，|PF 1|⋅|PF 2|=y ， 上式为：x −2y =4a 2，① ∵∠F 1PF 2=60°， ∴在△F 1PF 2中，由余弦定理得，|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|⋅|PF 2|⋅cos60°=4c 2，② 即x −y =4c 2，②又|OP|=3b ，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos60°=4|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=36b2， 即|PF 1|2+|PF 2|2+|PF 1|⋅|PF 2|=36b 2，即x +y =36b 2，③由②+③得：2x =4c 2+36b 2， ①+③×2得：3x =4a 2+72b 2， 于是有12c 2+108b 2=8a 2+144b 2， ∴c 2a =76， ∴e =ca =√426． 故选D ．2. 过双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线于点P ，O 为坐标原点，若OE ⃗⃗⃗⃗⃗=12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则双曲线的离心率为( )A. 1+√52B. √52C. √5D. 1+√32【答案】C【解析】【分析】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查双曲线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．设F′为双曲线的右焦点，由题设知|EF|=b ，|PF|=2b ，|PF′|=2a ，再由|PF|−|PF′|=2a ，知b =2a ，由此能求出双曲线的离心率． 【解答】解：∵|OF|=c ，|OE|=a ，OE ⊥EF ，∴|EF|=b ， 设F′为双曲线的右焦点，∵OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则E 为PF 的中点，OE 为△FPF′的中位线，∴|PF|=2b ，|PF′|=2a ，∵|PF|−|PF′|=2a ，∴b =2a ， ∴e =√1+(ba )2=√5， 故选：C3. 已知F 1，F 2分别是双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a,b >0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( ) A. (1,2) B. (2,+∞) C. (1,√2) D. (√2,+∞) 【答案】A【解析】解：如图1，不妨设F 1(0,c)，F 2(0,−c)，则过F 1与渐近线y =ab x 平行的直线为y =ab x +c ， 联立{y =a b x +cy =−a b x 解得{x =−bc2a y =c 2即M(−bc 2a ,c2) 因M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2+y 2=c 2内， 故(−bc 2a )2+(c2)2<c 2，化简得b 2<3a 2，即c 2−a 2<3a 2，解得c a <2，又双曲线离心率e =ca >1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选：A ．不妨设F 1(0,c)，F 2(0,−c)，则过F 1与渐近线y =a b x 平行的直线为y =ab x +c ，联立直线组成方程组，求出M 坐标，利用点与圆的位置关系，列出不等式然后求解离心率即可． 本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质的应用，考查数形结合以及计算能力．4. 若双曲线E ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点为F(3,0)，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A ，B 两点，且AB 的中点为P(−3,−6)，则E 的方程为( )A. x 25−y 24=1B. x 24−y 25=1C. x 26−y 23=1D. x 23−y 26=1【答案】D【解析】解：由题意可得直线l 的斜率为k =k PF =0+63+3=1， 可得直线l 的方程为y =x −3， 代入双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1可得(b 2−a 2)x 2+6a 2x −9a 2−a 2b 2=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=6a2a2−b2，由AB的中点为P，可得6a2a2−b2=−6，即有b2=2a2，又a2+b2=c2=9，解得a=√3，b=√6，则双曲线的方程为x23−y26=1．故选：D．求出直线l的斜率和方程，代入双曲线的方程，化简可得x的二次方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点坐标，可得a，b的方程组，解得a，b，进而得到双曲线的方程．本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的焦点和联立方程组，运用韦达定理、中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．5.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2=45°，则双曲线的离心率为()A. √3B. 2C. √2D. √5【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题．设切点为N，连接ON，作F2作F2A⊥MN，垂足为A，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a，b的关系，则c=√a2+b2=√3a，进而得到离心率．【解答】解：设切点为N，连接ON，作F2作F2A⊥MN，垂足为A，由|ON|=a，且ON为△F1F2A的中位线，可得|F2A|=2a，|F1N|=√c2−a2=b，即有|F1A|=2b，在直角三角形MF2A中，可得|MF2|=2√2a，即有|MF1|=2b+2a，由双曲线的定义可得|MF1|−|MF2|=2b+2a−2√2a=2a，可得b=√2a，∴c=√a2+b2=√3a，∴e=ca=√3．故选：A ．6. 已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ，若∠F 1MF 2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是( ) A. (1,√2) B. (√2,+∞) C. (1,2) D. (2,+∞) 【答案】D【解析】【分析】可得M ，F 1，F 2的坐标，进而可得MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0，结合abc 的关系可得关于ac 的不等式，结合离心率的定义可得范围．本题考查双曲线的离心率，考查学生解方程组的能力，属中档题． 【解答】解：联立{x 2a 2−y 2b2=1y =b a(x −c)，解得{x =c 2y =−bc 2a，∴M(c 2,−bc2a )，F 1(−c,0)，F 2(c,0)， ∴MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3c 2,bc 2a)，MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c 2,bc2a )， 由题意可得MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0，即b 2c 24a 2−3c24>0，化简可得b 2>3a 2，即c 2−a 2>3a 2， 故可得c 2>4a 2，c >2a ，可得e =ca >2 故选D ．7. 设双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线左右两支于点M ，N ，连结MF 2，NF 2，若MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则双曲线C 的离心率为( )A. √2B. √3C. √5D. √6【答案】B【解析】解：若MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得△MNF 2为等腰直角三角形，设|MF 2|=|NF 2|=m ，则|MN|=√2m ， 由|MF 2|−|MF 1|=2a ，|NF 1|−|NF 2|=2a ，两式相加可得|NF 1|−|MF 1|=|MN|=4a ，即有m =2√2a ，在直角三角形HF 1F 2中可得4c 2=4a 2+(2a +2√2a −2a)2， 化为c 2=3a 2，即e=ca=√3．故选：B．由题意可得△MNF2为等腰直角三角形，设|MF2|=|NF2|=m，则|MN|=√2m，运用双曲线的定义，求得|MN|=4a，可得m，再由勾股定理可得a，c的关系，即可得到所求离心率．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用等腰直角三角形的性质和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．8.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若△AF1F2的内切圆半径为(√3−1)a，则其离心率为()A. √3B. 2C. √3+1D. 2√3【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和三角形的等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．由题意可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用等积法和勾股定理，可得r=c−a，结合条件和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：如图：由点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用面积相等可得S△AF1F2=12|AF2|⋅|F1F2|=12r(|AF1|+|AF2|+|F1F2|)，由勾股定理可得|AF2|2+|F1F2|2=|AF1|2，解得r=|AF2|+|F1F2|−|AF1|2=2c−2a2=c−a=(√3−1)a，从而可以得出c=√3a，则离心率e=ca=√3，故选A．9.已知O为坐标原点，双曲线x2−y2b2=1(b>0)上有一点P，过点P作两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形PAOB的面积为1，则双曲线的离心率为()A. √17B. √15C. √5D. √3【答案】C【解析】解：由双曲线方程可得渐近线方程bx±y=0，设P(m,n)是双曲线上任一点，设过P平行于bx+y=0的直线为l，则l的方程为：bx+y−bm−n=0，l与渐近线bx−y=0交点为A，则A(bm+n2b ,bm+n2)，|OA|=|bm+n2b|√1+b2，P点到OA的距离是：d=√b2+1，∵|OA|⋅d=1，∴|bm+n2b |√1+b2⋅bm−n√b2+1=1，∴b=2，∴c=√5，∴e=√5故选：C．求得双曲线的渐近线方程，设P(m,n)是双曲线上任一点，设过P平行于bx+y=0的直线为l，求得l的方程，联立另一条渐近线可得交点A，|OA|，求得P到OA的距离，由平行四边形的面积公式，化简整理，解方程可得b，求得c，进而得到所求双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和两直线平行的条件：斜率相等，联立方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10.倾斜角为30°的直线l经过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F1，交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线过右焦点F2，则此双曲线的渐近线方程为()A. y=±xB. y=±12x C. y=±√32x D. y=±√52x【答案】A【解析】解：如图MF2为△ABF2的垂直平分线，可得AF2=BF2，且∠MF1F2=30°，可得MF2=2c⋅sin30°=c，MF1=2c⋅cos30°=√3c，由双曲线的定义可得BF1−BF2═2a，AF2−AF1=2a，即有AB=BF1−AF1=BF2+2a−(AF2−2a)=4a，即有MA=2a，AF2=√MA2+MF22=√4a2+c2，AF1=MF1−MA=√3c−2a，由AF2−AF1=2a，可得√4a2+c2−(√3c−2a)=2a，可得4a2+c2=3c2，即c=√2a，b=√c2−a2=a，则渐近线方程为y=±x．故选：A．由垂直平分线性质定理可得AF2=BF2，运用解直角三角形和双曲线的定义，求得AB= 4a，结合勾股定理，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查垂直平分线的性质和解直角三角形，注意运用双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．11. 已知双曲线x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则该双曲线的离心率为( )A. √62B. √52C. 2√33D. √3【答案】B【解析】解：如图，不妨设直线l 的斜率为−ab ，∴直线l 的方程为y =−ab (x −c)，联立{y =−a b (x −c)x 2a2−y 2b 2=1，得(b 2−a 2)c 2y 2−2ab 3cy +a 2b 4=0． ∴y =ab 3±a 2b 2(b 2−a 2)c．由题意，方程得(b 2−a 2)c 2y 2−2ab 3cy +a 2b 4=0的两根异号， 则a >b ，此时y A =ab 3+a 2b 2(b 2−a 2)c<0，y B =ab 3−a 2b 2(b 2−a 2)c>0．则ab 3+a 2b 2(a 2−b 2)c =3ab 3−a 2b 2(b 2−a 2)c，即a =2b ．∴a 2=4b 2=4(c 2−a 2)，∴4c 2=5a 2，即e =ca=√52． 故选：B ．不妨设直线l 的斜率为−a b ，∴直线l 的方程为y =−ab (x −c)，联立直线方程与双曲线方程，化为关于y 的一元二次方程，求出两交点纵坐标，由题意列等式求解． 本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．12. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=45°，则双曲线的渐近线方程为( )A. y =±√2xB. y =±√3xC. y =±xD. y =±2x 【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题．设切点为N ，连接ON ，作F 2作F 2A ⊥MN ，垂足为A ，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a ，b 的关系，进而得到所求渐近线方程． 【解答】解：设切点为N ，连接ON ，作F 2作F 2A ⊥MN ，垂足为A ， 由|ON|=a ，且ON 为△F 1F 2A 的中位线，可得 |F 2A|=2a ，|F 1N|=√c 2−a 2=b ， 即有|F 1A|=2b ， 因为∠F 1MF 2=45°，所以在等腰直角三角形MF 2A 中，可得|MF 2|=2√2a ， 即有|MF 1|=2b +2a ，由双曲线的定义可得|MF 1|−|MF 2|=2b +2a −2√2a =2a ， 可得b =√2a ，则双曲线的渐近线方程为y =±√2x. 故选A ．13. 已知点F 为双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线x =a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A ，若AF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A. √5B. 1+√2C. 1+√5D. −1+√5【答案】D【解析】解：设双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1的右焦点F(c,0)，双曲线的渐近线方程为y =ba x ， 由x =a 代入渐近线方程可得y =b ， 则A(a,b)，可得AF 的中点为(a+c 2,12b)，代入双曲线的方程可得(a+c)24a 2−14=1，可得4a 2−2ac −c 2=0， 由e =ca ，可得e 2+2e −4=0，解得e =√5−1(−1−√5舍去)， 故选：D ．设出双曲线的右焦点和渐近线方程，可得将交点A 的坐标，运用中点坐标公式，可得中点坐标，代入双曲线的方程，结合离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，考查渐近线方程的运用，以及中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．14. 已知双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)，过左焦点F 的直线切圆x 2+y 2=a 2于点P ，交双曲线C 右支于点Q ，若FP⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A. y =±x B. y =±2xC. y =±12xD. y =±√32x 【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的定义和渐近线方程，属于中档题． 由已知可得|OP |=a ，设双曲线的右焦点为F′，由P 为线段FQ 的中点，知|QF′|=2a ，|QF|=2b ，由双曲线的定义知：2b −2a =2a ，由此能求出双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的渐近线方程．【解答】解：∵过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，左焦点F 引圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为P ，∴|OP |=a ，设双曲线的右焦点为F′， 由FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得，P 为线段FQ 的中点， ∴|QF′|=2|OP |=2a,|QF |=2|PF |=2b,，由双曲线的定义知：|QF |−|QF′|=2b −2a =2a ， ∴b =2a ． ∴双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±ba x =±2x ， 故选B ．15. 已知F 为双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点.过点F 向C 的一条渐近线引垂线.垂足为A.交另一条渐近线于点B.若|OF|=|FB|，则C 的离心率是( )A. √62B. 2√33C. √2D. 2【答案】B【解析】【分析】 本题考查双曲线的简单几何性质，考查求双曲线性质的常用方程，考查数形结合思想，属于中档题．方法一：由双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求得|AF|，分别求得|OB|，|根据勾股定理|OB|2=|OA|2+|AB|2，求得a 和b的关系，即可求得双曲线的离心率； 方法二：利用余弦定理求得：|OB|2=|OF|2+|FB|2−2|OF||FB|cos∠OFB =2c 2+2bc ，即可求得求得a 和b 的关系，即可求得双曲线的离心率；方法三：根据三角形的面积相等及渐近线方程求得A 点坐标，利用直角三角形的性质，即可求得a和b的关系，即可求得双曲线的离心率；方法四：求得双曲线的渐近线及AB的方程，联立即可求得A和B点坐标，根据等腰三角形的性质，即可求得a和b的值，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：方法一：过F向另一条渐近线引垂线．垂足为D，双曲线的渐近线方程为y=±bax，则F(c,0)到渐近线的距离d=√a2+b2=b，即|FA|=|FD|=b，则|OA|=|OD|=a，|AB|=b+c，由△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，∴|OB|=2a，|OB|2=OA|2+|AB|2=a2+ (b+c)2．∴4a2=a2+(b+c)2，整理得：c2−bc−2b2=0，解得：c=2b，由a2=c2−b2，则2a=√3c，e=ca =2√33，故选B．方法二：过F向另一条渐近线引垂线．垂足为D，双曲线的渐近线方程为y=±bax，则F(c,0)到渐近线的距离d=√a2+b2=b，即|FA|=|FD|=b，则|OA|=|OD|=a，由△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，∴|OB|=2a由∠OFB=π−∠OFA，cos∠OFB=cos(π−∠OFA)=−cos∠OFA=−bc，由余弦定理可知：|OB|2=|OF|2+|FB|2−2|OF||FB|cos∠OFB=2c2+2bc，∴2c2+2bc=4a2，整理得：c2−bc−2b2=0，解得：c=2b，由a2=c2−b2，则2a=√3c，e=ca =2√33故选B．方法三：过F向另一条渐近线引垂线．垂足为D，双曲线的渐近线方程为y=±bax，则F(c,0)到渐近线的距离d=√a2+b2=b，即|FA|=|FD|=b，则|OA|=|OD|=a，由△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，∴|OB|=2a，根据三角形的面积相等，则A(a2c ,abc)，∴在Rt△OAB中，2a=2×2×abc ，即c=2b，由a2=c2−b2，则2a=√3c，e=ca=2√33故选B．方法四：双曲线的一条渐近线方程为y=ba x，直线AB的方程为：y=−ab(x−2)，{y=baxy=−ab(x−c)，解得：{x=a2cy=abc，则A(a2c,abc)，{y=−baxy=−ab(x−c)，解得：{x=a2ca2−b2y=−abca2−b2，则B(a2ca2−b2,abca2−b2)，由△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点，则2×abc =abca2−b2，整理得：a2=3b2，∴e=c a=√1+b 2a =2√33， 故选：B ．16. 已知双曲线x 2(m+1)2−y 2m 2=1(m >0)的离心率为√52，P 是该双曲线上的点，P 在该双曲线两渐近线上的射影分别是A ，B ，则|PA|⋅|PB|的值为( )A. 45B. 35C. 43D. 34【答案】A【解析】解：双曲线x 2(m+1)2−y 2m 2=1(m >0)的离心率为√52，可得e 2=c 2a 2=(m+1)2+m 2(m+1)2=54， 解得m =1，即双曲线的方程为x 24−y 2=1，渐近线方程为x ±2y =0， 设P(s,t)，可得s 2−4t 2=4， 由题意可得|PA|⋅|PB|=√1+4⋅√1+4=|s 2−4t 2|5=45．故选：A ．运用离心率公式，解方程可得m =1，求得渐近线方程，设P(s,t)，可得s 2−4t 2=4，运用点到直线的距离公式，化简整理，即可得到所求值． 本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查点到直线的距离公式，化简整理的运算能力，属于中档题．17. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 作圆x 2+y 2=a 29的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若FP⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( ) A. √173B. √176C. √105D. √102【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相切的性质，以及双曲线的定义和中位线定理，勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．由FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，知E 为PF 的中点，令右焦点为F′，则O 为FF′的中点，则|PF′|=2|OE|=23a ，运用双曲线的定义可得|PF|=|PF′|+2a =83a ，在Rt △PFF′中，|PF|2+|PF′|2=|FF′|2，由此能求出离心率． 【解答】解：由若FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得E 为PF 的中点， 令右焦点为F′，O 为FF′的中点， 则|PF′|=2|OE|=23a ，由E 为切点，可得OE ⊥PF ， 即有PF′⊥PF ，由双曲线的定义可得|PF|−|PF′|=2a ， 即|PF|=|PF′|+2a =83a ，在Rt △PFF′中，|PF|2+|PF′|2=|FF′|2，即649a 2+49a 2=4c 2，即c =√173a ，则离心率e =c a =√173．故选A ．18. 已知双曲线M ：x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，|F 1F 2|=2c.若双曲线M 的右支上存在点P ，使a sin∠PF 1F 2=3csin∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A. (1,2+√73) B. (1,2+√73] C. (1,2) D. (1,2]【答案】A【解析】解：由a sin∠PF 1F 2=3csin∠PF 2F 1，在△PF 1F 2中，由正弦定理可得PF 2sin∠PF 1F 2=PF1sin∠PF 2F1， 可得3c ⋅PF 2=a ⋅PF 1，且PF 1−PF 2=2a联立可得PF 2=2a 23c−a >0，即得3c −a >0，即e =ca >13，…①又PF 2>c −a(由P 在双曲线右支上运动且异于顶点)， ∴PF 2=2a 23c−a >c −a ，化简可得3c 2−4ac −a 2<0， 即3e 2−4e −1<0，得2−√73<e <2+√73…②又e >1，③由①②③可得，e 的范围是(1,2+√73).故选：A ．利用正弦定理及双曲线的定义，可得a ，c 的不等式，结合PF 2>c −a ，即可求出双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的离心率的取值范围，考查正弦定理及双曲线的定义，考查化简整理的圆能力，属于中档题．19. 设F 1，F 2是双曲线x 24−y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值等于( )A. 2B. 2√2C. 4D. 8【答案】A【解析】解：由已知F 1(−√5,0),F 2(√5,0)，则|F 1F 2|=2√5．即{|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=20||PF 1|−|PF 2|=4， 得|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2． 故选A ．先由已知F 1(−√5,0),F 2(√5,0)，得出|F 1F 2|=2√5.再由向量的数量积为0得出直角三角形PF 1F 2，最后在此直角三角形中利用勾股定理及双曲线的定义列出关于的方程，即可解得|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值．本题主要考查了双曲线的应用及向量垂直的条件．考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握．20. 已知双曲线y 2a 2−x2b 2=1(a >0,b >0)的上、下焦点分别为F 2，F 1，过F 1且倾斜角为锐角的直线1与圆x 2+y 2=a 2相切，与双曲线的上支交于点M.若线段MF 1的垂直平分线过点F 2，则该双曲线的渐近线的方程为( )A. y =±43xB. y =±34xC. y =±53xD. y =±35x【答案】B【解析】解：设MF 1与圆相切于点E ，因为|MF 2|=|F 1F 2|=2c ，所以△MF 1F 2为等腰三角形， N 为MF 1的中点， 所以|F 1E|=14|MF 1|，又因为在直角△F 1EO 中，|F 1E|2=|F 1O|2−a 2=c 2−a 2， 所以|F 1E|=b =14|MF 1|①又|MF 1|=|MF 2|+2a =2c +2a ②， c 2=a 2+b 2 ③ 由①②③可得c 2−a 2=(c+a 2)2， 即为4(c −a)=c +a ，即3c =5a ， b =√c 2−a 2=√259a 2−a 2=43a ， 则双曲线的渐近线方程为y =±ab x ， 即为y =±34x.故选：B ．先设MF 1与圆相切于点E ，利用|MF 2|=|F 1F 2|，及直线MF 1与圆x 2+y 2=a 2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的渐近线方程．本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．21. 已知双曲线x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过F 作双曲线渐近线的垂线，垂足为A ，直线AF 交双曲线右支于点B ，且B 为线段AF 的中点，则该双曲线的离心率是( )A. 2B. √62C. 2√105D. √2【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出FA 的中点B 的坐标是解题的关键．设渐近线方程为y =b a x ，则FA 的方程为y −0=−ab (x −c)，代入渐近线方程求得A 的坐标，由中点公式求得中点B 的坐标，再把点B 的坐标代入双曲线求得离心率． 【解答】解：由题意设渐近线方程为y =ba x ， 则FA 的方程为y −0=−ab (x −c)， 代入渐近线方程y =b a x 可得A 的坐标为(a 2c ,abc)，B 是线段AF 2的中点(c+a 2c2,ab2c )，根据中点B 在双曲线C 上， ∴(a 2c +c)24a 2−a 2b 24b 2c 2=1，∴c 2a 2=2， 故e =ca =√2， 故选：D ．22. 已知F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ，若|FM|=2a ，记该双曲线的离心率为e ，则e 2=( )A. 1+√172B. 1+√174C. 2+√52D. 2+√54【答案】A【解析】解：由题意可设F(c,0)，一条渐近线方程为y =ba x ， 可得M(c,bca )， 即有2a =bc a ，即bc =2a 2，即b 2c 2=4a 4，即(c 2−a 2)c 2−4a 4=0，由e=c可得e4−e2−4=0，a(负的舍去)，解得e2=1+√172故选：A．设出F的坐标和一条渐近线方程，求得M的坐标和|FM|，由a，b，c的关系和离心率公式，解方程可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。
圆锥曲线双曲线的定义和方程
圆锥曲线之双曲线双曲线的定义和性质一：知识要点知能点1：双曲线的定义平面内与两定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F 且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
特别提醒：1、在此定义中“常数要大于0且小于12F F ”这一限制条件非常重要，不可去掉。
2、如果定义中的常数改为等于12F F ，此时动点的轨迹是以1F 、2F 为端点的两条射线（含端点）。
3、如果定义中的常数为零，此时动点的轨迹为线段12F F 的垂直平分线。
4、如果定义中的常数改为大于12F F ，此时动点的轨迹不存在。
5、若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话，点的轨迹成为双曲线的一支。
6、设(),M x y 为双曲线上的任意一点，若M 点在双曲线右支上，则()1220MF MF a a -=>；若M 点在双曲线左支上，则()1220MF MF a a -=->。
知能点2：双曲线的标准方程（1）()222210,0x y a b a b-=>>，焦点在x 轴上，焦点为(),0F c ±，焦距122F F c =； （2）()222210,0y x a b a b-=>>，焦点在y 轴上，焦点为()0,F c ±，焦距122F F c = 特别提醒：1、上述方程中，222c a b =+2、标准方程中，若2x 项的系数为正⇔双曲线的焦点在x 轴上；若2y 项的系数为正⇔双曲线的焦点在y 轴上。
知能点3：双曲线的一般方程我们把()2210Ax By A B +=<称为双曲线的一般方程。
二：经典例题例1.一动圆与圆C 1：()1122=-+y x 和圆C 2：()4122=++y x 都外切；则动圆的轨迹为例2． 根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1） 过点P （4,0），Q （0，5）焦点在坐标轴上；（2）c=6，经过点（-5，2），焦点在x 轴上；例3．求与双曲线141622=-y x 有公共焦点，且过点（32，2）的双曲线方程.三：当堂练习A 级试题1．已知点12(4,0),(4,0)F F -，曲线上的动点P 到F 1的距离与到点F 2的距离之差为6，则曲线方程为（ ） Ａ．221(0)97x y x -=>； Ｂ．22197x y -= Ｃ．221(0)97y x y -=> Ｄ．22197y x -= 2．在双曲线的标准方程中，6,8a b ==，则其方程为 。
【高中数学】圆锥曲线之双曲线
1. 双曲线标准方程的求解步骤.2. 双曲线的几何问题.3. 双曲线的第二定义及其应用.4. 双曲线的总结.2.2.1 双曲线的定义及其标准方程定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹，叫作双曲线.双曲线焦点：两个定点F 1、F 2焦距：两焦点之间的距离 |F 1F 2|1212|MF MF F F |＜MF 1 F 2动点M 的轨迹：以F 1、F 2 为端点的两条射线.动点M 的轨迹：不存在.MF 1 F 2当时：1212|MF MF |F F -=当时：1212MF MF F F -＞用定义判断下列动点M的轨迹是否为双曲线.(1) 到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之差为3的点的轨迹.(2) 到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之差为4的点的轨迹.(3) 到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之差为3的点的轨迹.是不是不是xyO222c =a +b22221x y a b-=MF 1 F 2焦距2c22221y x a b-=y xOMF 1F 2 222c =a +b焦点在哪个轴上，哪个系数为正.22221x ya b-=22221y xa b-=双曲线标准方程的两种形式焦点在 x 轴上：焦点在 y 轴上：221916x y -=在 x 轴上 (－5,0)和(5,0）在 x 轴上 (0,－13)和(0,13）22222144y x m m m()-=- ＜在 y 轴上 (0,－2)和(0,2)例1 判定下列双曲线的焦点在 哪个轴上，并指明a 2、b 2，写出焦点坐标.22114425x y-=求双曲线标准方程的步骤：双曲线方程可以设成 Ax 2+By 2=1（AB ＜0）的形式，方程可变形为：22111x y A B+= 若A ＞0，表示焦点在 x 轴上的双曲线；若B ＞0，表示焦点在 y 轴上的双曲线.例2 写出适合下列条件的双曲线标准方程.(1) a = 4 , b = 1, 焦点在 x 轴上.(2) a = 4 , c = 5, 焦点在 y 轴上.22116x y -=221169y x -=223b c a =-=经过点Q(－3,0) ，求它的标准方程.第一步：确定双曲线方程的类型焦点在x 轴上，因此设双曲线的方程为：22 221x y a b-=第二步：求参数a 、b由题意可知 c =5，因此有 52 = a 2 + b 2因为椭圆经过点Q ，因此有2222301a b--=() a = 3b = 4经过点 Q (－3,0) ，求它的标准方程.第三步：写出双曲线方程a = 3b = 422221 34x y-=经过点Q(－3,0) ，求它的标准方程.练习1 已知双曲线 的焦点在 y 轴上，且焦距为8，则m 等于 .22111x y+m m =-+8解：由题意得，c = 422211416a b m m ()()+=++-==8m =双曲线的方程可化为22111y xm m -=+-练习2 过点 ，且与椭圆有相同的焦点的双曲线的标准方程为21,()214y +=A. D. C. B. 2214x y -=22133x y -=2212yx -=2212x y -=B两边平方，化简解得解法一：由题意得，焦点为由双曲线的定义可知，22222231231a |()()|=++--+22a =因此有2221b c a =-=2212x y -=练习2 过点 ，且与椭圆有相同的焦点的双曲线的标准方程为21,()214y +=3030(,)(,)-、解法二：设所求双曲线的方程为由题意可得，22a =因此有21b =22221x ya b-=223a b +=2222211a b-=练习2 过点 ，且与椭圆有相同的焦点的双曲线的标准方程为21,()214y +=2212x y -=焦点在哪个轴上，哪个系数为正. 22221x ya b-=22221y xa b-=2.2.2 双曲线的几何性质双曲线的标准方程22 221x y a b-=22221y xa b-= 222c=a+bxy O MF1 F2yxOMF1F2双曲线的图像范围|x |a,y R≥∈xy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb |y |a,x R≥∈双曲线的渐近线b y xa=±a y xb=±xy O F 1 F 2y xO F 1F 2 aa b bxy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb F 1(-c,0) F 2(c,0)F 1(0,-c) F 2(0,c)xy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb A 1(-a ,0) A 2(a ,0)A 1(0,-a ) A 2(0,a )双曲线的对称性xy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb 对称轴：x 轴、y 轴对称中心：原点双曲线的轴xy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb 实轴：线段|A 1A 2| = 2a 虚轴：线段|B 1B 2| = 2b当a =b ，等轴双曲线双曲线的焦距xy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb 焦距：线段|F 1F 2| = 2cxy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb 离心率：221c be a a==+221c b e a a==+1e ＞a c0＜＜xy O F 1 F 2ab椭圆的离心率 e 反映了双曲线的开口程度.当e 越趋于1时，双曲线开口越小；当e 越趋于+∞时，双曲线开口越大.xy O F 1 F 2ab 221c b e a a==+例1 已知双曲线E 经过点A (4 , 3)，对称轴为坐标轴，焦点在x 轴上，离心率e =3/2，求双曲线E 的方程.解：设椭圆的方程为22221x ya b-=由题意得2222431a b-=2232c a b e a a +===2244511a b ==22514411x y-=练习1 设中心在原点双曲线与椭圆有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程 .11 2e=221 2x y+=解：椭圆的焦点在x 轴上，且焦点为(－1,0)、(1,0)椭圆的离心率为22e=双曲线焦点为(－1,0)、(1,0)，离心率为双曲线的参数：22 122c a b===、、22221x y-=双曲线的方程：练习2 求椭圆 9y 2 － 16x 2 = 144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解：把已知方程化成标准方程2222143y x -=这里22435a b c a b===+=,,答案参见(理科课本P58例3 / 文科课本P51例3)双曲线的几何问题1. 双曲线定义的集合语言：P = { M | ||MF 1|－|MF 2|| =2a ，2a ＜|F 1F 2| }， |F 1F 2| =2c ，其中c ＞a ，且a 、c 为常数.xyOF 1 F 2例2 已知F 是双曲线 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的一点，则|PF |+|PA |的最小值为 .221412x y-=9xy OF F 2P A|PF |+|PA | = |PF 2|+2a +|PA |= 2a +( |PF 2|+|PA | )思路：找到一个替代点，使两定点在曲线的两侧最小值 = 4+5 = 9练习 设双曲线的两个焦点为F 1、F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|:|PF 2|=3:4，则△PF 1F 2的面积等于 .2218y x -=85xyOF 1 F 2P|PF 1|:|PF 2|=3:4|PF 2 |－|PF 1|=2a =2|PF 1|=6|PF 2|=8△PF 1F 2是一个等腰三角形221864852S =⨯⨯-=双曲线的几何问题2. 双曲线的渐近线xy O F 1 F 2ab 求渐近线的方法：令等式右边等于022221x y a b-=22220x y a b -=令b y xa=±得2. 双曲线的渐近线求渐近线的方法：令等式右边等于022220y x a b -=令a y xb=±得y xO F 1F 2 a b 22221y x a b-=2. 双曲线的渐近线若已知渐近线，求双曲线的方程.一定注意分焦点在x 轴、y 轴上两种情况分析.y xO F 1F 2 a b 22221y x a b-=例3 已知双曲线的渐近线方程为，且经过点(2,－3)，则双曲线的标准方程为12y x =±A.D. C. B.221832x y -=224177x y-=224177x y-=221832y x -=通过渐近线，排除了A 、C ；通过点(2,－3)排除了D.练习 (2015安徽, 文) 下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）2y x =± A. D. C. B. 2214yx -=2212y x -=2212x y -=2214x y -=练习 (2015安徽, 理) 下列双曲线中，焦点在 y 轴上，且渐近线方程为的是（ ）2y x =±A. D. C. B. 2214yx -=2214y x -=2214x y -=2214x y -=练习 (2014天津, 理) 下列双曲线 的一条渐近线方程平行于直线 l ：，且双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程是（ ）210y x =+A.D.C.B.221520x y-=2233125100x y-=2233110025x y-=221205x y -=22221x ya b-=渐近线：y =±2x(－5,0)练习 (2013全国I) 下列双曲线 (a ＞0，b ＞0)的离心率为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. D. C.B. 14y x=±22221x ya b-=522y x=±12y x=±4y x =±by xa=±渐近线双曲线的几何问题3. 双曲线的离心率求离心率或其范围的方法：(1)求a 、b 、c ，直接求出 e .(2)列出a 、b 、c 的方程，借助b 2=c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.y xO F 1F 2 a b 22221y x a b-=过点(4,－2)，则双曲线的离心率为 A. 6B. 5C.62D.5222221x ya b-=22220x ya b -=令b y xa =±得渐近线方程焦点在 x 轴上，因此方程设为12b a =225514222c a +b b =+==a a a =过点(4,－2)，则双曲线的离心率为A. 6B. 5C.62D.5222221x ya b-=22220x ya b-=令b y xa =±得渐近线方程焦点在 x 轴上，因此方程设为12b a =52c a =。
圆锥曲线（双曲线）
圆锥曲线（双曲线）圆锥曲线（双曲线）一．双曲线的定义（第一定义）平面内与两定点F1、F2距离之差的绝对值等于定长2a注意：⑴当2a＜|21FF|时动点P的轨迹表双曲线的轨迹表双曲线若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
⑵当2a=|21FF|时动点P的轨迹表以F1、F2为端点的两条射线为端点的两条射线⑶当2a＞|21FF|时点P不存在不存在二．双曲线的标准方程及几何性质222bac+=标准方程标准方程22221(0,0)x ya ba b-=>>22221(0,0)y xa ba b-=>>图像图像焦点坐标焦点坐标 )0,(),0,(21cFcF-)0,(),0,(21cFcF-顶点坐标顶点坐标 )0,(),0,(21aAaA-),0(),,0(21aBaB-取值范围取值范围|x|≥a，RyÎ|y|≥a，RxÎ对称轴对称轴 x轴，y轴实轴为a2、虚轴为b2准线方程准线方程cax2±=cay2±=渐近线渐近线xaby±=xaby±=离心率离心率 )1(>=eace（离心率越大，开口越大）（离心率越大，开口越大）通径通径ab22三、双曲线常规题型1．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：⑴经过两点（⑴经过两点（227,3,3））、（-7-7，，-62） ⑵双曲线经过点（⑵双曲线经过点（3,93,92），离心率为310⑶双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(⑷与双曲线x 2－2y 2＝2有共同的渐近线，且经过点（2，－2） ⑸过点P （2，－1），渐近线方程是y ＝±3x. 2．双曲线221102x y -=的焦距为（的焦距为（） A ．32B ．42C ．33D ．433．动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF -=，则点P 的轨迹方程为的轨迹方程为（（ ） A ．221916x y -= B ．221169x y -+= C ．221(3)169x y y -+=≥ D ．221(3)169x y y -+=-≤4．到两定点(3,0))0,3(21F F 、-的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是（的轨迹是（ ） A ．椭圆．椭圆 B ．线段．线段 C ．双曲线．双曲线 D ．两条射线．两条射线5．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为的值为( ( )A ．－14B B．－．－．－4C 4 C 4 C．．4 D.146．设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为的值为 ．7．双曲线19422=-y x 的渐近线方程是（的渐近线方程是（ ） A ．x y32±=B ．x y94±=C ．x y23±= D ．x y 49±=8．已知双曲线的方程为1222=-2b y a x，点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点2F ，m AB =||，1F 为另一焦点，则1ABF D 的周长为（的周长为（ ） A ． m a 22+ B ． m a 24+ C ．m a + D ． m a 42+9．已知双曲线4422=-y x上一点P 到双曲线的一个焦点的距离等于6，那么P 点到另一焦点的距离等于（一焦点的距离等于（ ） A ．10 B ．10或2 C ．526+D ．526±10．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（的取值范围是（ ） A ．1-＜k ＜1 B ．k ＞0 C ．k ≥0 D ．k ＞1或k ＜1-11．双曲线14122222=--+my m x 的焦距是（的焦距是（ ） A ．4 B ．22C ．8 D ．与m 有关有关12．过双曲线191622=-y x 左焦点1F 的弦AB 长为6，则2ABFD （F 2为右焦点）为右焦点） 的周长是（的周长是（ ）A ．28 B ．22 C ．14 D ．12 13．已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15， 则m =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 14．已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15， 则m =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 15．与曲线1492422=+yx 共焦点，而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为（共渐近线的双曲线方程为（）A ．191622=-x y B ．191622=-y x C ．116922=-x y D ．116922=-y x16．方程151022=-+-ky k x 表示双曲线，则Îk （ ） A ．（5，10） B ．（5,¥-） C ．（10，¥+） D ．),10()5,(+¥È-¥17．双曲线112422=-y x 上点P 到左焦点的距离为6，则这样的点P 的个数为（的个数为（） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 1818．双曲线．双曲线)0,1(,x 122222222¹¹=-=-l l l by a b y a x 与双曲线有相同的（有相同的（ ）） A ．焦点．焦点 B ．准线．准线C ．离心率．离心率D ．渐近线．渐近线19．“a b<0”是“方程ax 2+b y 2 =c 表示双曲线”的（表示双曲线”的（ ）A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件．充分不必要条件C ．充要条件．充要条件D ．非充分非必要条件．非充分非必要条件20．一动圆与两圆：x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x +12=0都外切，则动圆心的轨迹为（都外切，则动圆心的轨迹为（ ）A ．抛物线．抛物线B ．圆．圆C ．双曲线的一支 D ．椭圆．椭圆21．方程22142x y t t +=--所表示的曲线为C ，有下列命题：，有下列命题： ①若曲线C 为椭圆，则24t <<；②若曲线C 为双曲线，则4t >或2t <； ③曲线C 不可能为圆；不可能为圆； ④若曲线C 表示焦点在y 上的双曲线，则4t >。
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结教学提纲
双曲线知识点一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+kb y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：已知双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。
三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2 直线与双曲线：（代数法）设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点； 若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a -<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2020b x k a y >（00y ≠）或2020b x b k a a y << （00y ≠）或bk a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点； 当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时： 当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a ≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。
平面几何中的圆锥曲线与双曲线性质
平面几何中的圆锥曲线与双曲线性质在平面几何中，圆锥曲线与双曲线是两种重要的曲线类型，它们具有许多独特的性质和特点。
本文将详细介绍圆锥曲线和双曲线的性质，并对其在几何学中的应用进行探讨。
一、圆锥曲线的性质圆锥曲线是由一个动点P和一个定点F（焦点）以及一条定直线（准线）L构成的。
圆锥曲线分为三种类型：椭圆、抛物线和双曲线。
1. 椭圆椭圆是圆锥曲线的一种，其性质有：- 椭圆是一个闭合曲线，其形状类似于椭圆形。
- 椭圆的焦点到准线的距离之和是恒定的，这个值称为椭圆的长轴。
- 椭圆的焦点之间的距离是恒定的，这个值称为椭圆的短轴。
- 椭圆的离心率小于1，且离心率越小，椭圆形状越接近于一个圆。
2. 抛物线抛物线是圆锥曲线的一种，其性质有：- 抛物线是一个开口向上或向下的曲线。
- 抛物线的焦点在曲线的顶点上。
- 抛物线的准线与曲线对称，准线被曲线上的任意点对称分割。
- 抛物线的切线与准线垂直。
3. 双曲线双曲线是圆锥曲线的一种，其性质有：- 双曲线是一个开口向外的曲线。
- 双曲线的焦点在曲线的中心上。
- 双曲线的准线与曲线对称，准线被曲线上的任意点对称分割。
- 双曲线的离心率大于1，且离心率越大，曲线的形状越细长。
二、双曲线的性质除了圆锥曲线中的双曲线外，双曲线还有其他形式的表示方式，如双曲函数、双曲正弦等。
双曲线在数学和物理学中具有广泛的应用。
1. 双曲函数双曲函数是一类与双曲线相关的特殊函数，其中包括双曲正弦、双曲余弦和双曲正切等函数。
这些函数在数学分析、微积分、概率论等领域中有着重要的应用。
2. 双曲线的应用双曲线在物理学和工程学中有广泛的应用，以下是其中一些典型应用：- 光学中的双曲线反射定律：当光线通过介质边界时，遵循双曲线反射定律。
- 电子学中的双曲线函数：双曲线函数在电子电路和信号处理中有广泛应用。
- 弹性力学中的双曲线方程：双曲线方程常用于描述材料的力学性质和应力分布。
三、结论圆锥曲线和双曲线是平面几何中重要的曲线类型，它们具有独特的性质和特点。
空间中的圆锥曲线与双曲线
空间中的圆锥曲线与双曲线圆锥曲线与双曲线是空间解析几何中的重要概念，具有广泛的应用价值。
本文将全面介绍圆锥曲线与双曲线的概念、性质及应用。
一、圆锥曲线的概念与性质圆锥曲线是一个平面上的点对到一个点（称为焦点）和一条直线（称为直母线）的距离之差等于一个定值（称为离心率）的集合。
圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线三种类型，具体如下：1. 椭圆：离心率小于1的圆锥曲线。
椭圆的离心率等于长轴和短轴之差与长轴之和的比值。
椭圆的中心在长轴的中点处，长轴与短轴相交于椭圆的中心，有两个焦点和两条直径。
椭圆在平面上的一般方程为x²/a² + y²/b² = 1。
2. 抛物线：离心率等于1的圆锥曲线。
抛物线的焦点在抛物线的顶点上方或下方，直母线与抛物线的轴垂直，有一个顶点和两个对称的分支。
抛物线在平面上的一般方程为y² = 2px。
3. 双曲线：离心率大于1的圆锥曲线。
双曲线的中心和两个焦点在同一直线上，直母线与双曲线的轴交于双曲线的中心，有两个焦点和两个对称的分支。
双曲线在平面上的一般方程为x²/a² - y²/b² = 1。
二、双曲线的应用双曲线在工程学、物理学、天文学等领域都有广泛的应用。
以下分别介绍双曲线在这些领域中的应用：1. 工程学：在桥梁、抛物线拱和布满电线的高压输电线路的设计中，双曲线都是最理想的形状，可以得到最好的应力分布和支撑能力。
2. 物理学：双曲线可以用来描述大质量物体的运动轨迹，如行星围绕太阳的轨道。
3. 天文学：许多天体的光谱线呈现出双曲线形状，这是因为双曲线可以描述抛物线和双星系统中物体的轨道。
三、圆锥曲线的应用圆锥曲线也有许多应用。
以下分别介绍圆锥曲线在代数几何、天文学和物理学中的应用：1. 代数几何：圆锥曲线可以用来描述各种平面图形，如圆、椭圆、双曲线和抛物线。
在代数几何中，圆锥曲线是研究的重要对象之一。
圆锥曲线双曲线
圆锥曲线------双曲线一 基础热身1.已知两个定点1(4,0)F -,2(4,0)F ,(1)若动点P 到12,F F 的距离的差的绝对值等于6,则点P 的轨迹方程是 ;(2)若动点P 到12,F F 的距离的差的绝对值等于8,则点P 的轨迹方程是 ;(3)动点P 到12,F F 的距离的差的绝对值等于10, 则点P 的轨迹方程是 ;2.双曲线22916144x y -=的实轴长与虚半轴长的和等于 , 离心率等于 ,焦点的坐标是 ,顶点的坐标是 ,准线方程是 ,渐近线的方程 ,两渐近线的夹角等于 ___,右支上一点P 到左焦点的距离等于10,则它到右准线的距离等于 ____通径等于___________. 3.已知曲线C 的方程是22121x y m m -=++,(1)若曲线C 是圆,则m 的取值范围是 ;(2)若曲线C 是椭圆, 则m 的取值范围是 ;(3)若曲线C 是双曲线, 则m 的取值范围是 .4.经过点)2,21(且与双曲线1422=-y x 仅交于一点的直线条数是________.二 典例回放1.求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1) 焦点为12(5F F a b +=（2）渐近线的方程是23y x =±,经过点9(,1)2M -.2.双曲线()0222>=-a a y x 的两个焦点分别为21,F F ，P 为双曲线上任意一点，求证：21PF PO PF 、、成等比数列（O 为坐标原点）．3.已知直线l 过定点（0，1），与双曲线122=-y x 的左支交于不同的两点A 、B ，过线段AB 的中点M 与定点)0,2(-P 的直线交y 轴于),0(b Q ，求b 的取值范围。
三 水平测试1.已知动点P 到)0,5(1F 的距离与它到2F (-5,0)的距离的差等于6，则P 的轨迹方程为（ ）A ．116922=-y xB ．116922=-x yC ．116922=-y x )3(-≤xD ．116922=-y x )3(≥x 2.双曲线12222=-by a x 的焦点到它的渐近线的距离等于( ) A. 22b a b + B.b C. a D. 22b a a +3.方程122=+y x 和mx +（4.双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为（ ）A ．23B ．3C ．34D ． 35.设ABC ∆的顶点)0,4(-A ，)0,4(B ，且C B A sin 21sin sin =-，则第三个顶点C 的轨迹方程是 6.过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线1422=-y x 的弦所在直线方程为 ． 7.斜率为1的直线与双曲线1222=-y x 相交于A 、B 两点，又AB 中点的横坐标为1，（1）求直线的方程 （2）求线段AB 的长A ．B ．C ．D ．8.（山东2006）双曲线C 与椭圆14y 8x 22=+有相同的焦点，直线y=3x 为C 的一条渐近线，（1）求双曲线C 的方程；（2）过点P （0，4）的直线L ，交双曲线于A 、B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合），当38,2121-=+==λλλλ且时，求Q 的坐标。
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圆锥曲线-双曲线一、双曲线的定义，标准方程 1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。
2双曲线的标准方程： （1）焦点在x 轴上的：x a y ba b 2222100-=>>()，（2）焦点在y 轴上的：y a x ba b 2222100-=>>()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。
注：c 2＝a 2＋b 23.双曲线的几何性质：（）焦点在轴上的双曲线，的几何性质：11002222x x a y ba b -=>>()1x a x a <>≤-≥范围：，或<2>对称性：图形关于x 轴、y 轴，原点都对称。
<3>顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0） 线段A 1A 2叫双曲线的实轴，且|A 1A 2|＝2a ； 线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。
<>=>41离心率：e ca e () e 越大，双曲线的开口就越开阔。
<>±5渐近线：y b ax = <>=±62准线方程：x a c5．若双曲线的渐近线方程为：x ab y ±= 则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：)0(2222≠=-λλby a x1 22121x y m m m -=++若方程表示双曲线，则的取值范围是（）A mB m m ..-<<-<->-2121或C m mD m R ..≠-≠-∈21且2. 220ab ax by c <+=时，方程表示双曲线的是（） A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 22sin sin cos x y αααα-=设是第二象限角，方程表示的曲线是（） A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在y 轴上的双曲线D. 焦点在x 轴上的双曲线4.曲线3sin 2x 2+θ+2sin y 2-θ=1所表示的图形是（ ）。
（A ）焦点在x 轴上的椭圆 （B ）焦点在y 轴上的双曲线 （C ）焦点在x 轴上的双曲线 （D ）焦点在y 轴上的椭圆5.平面内有两个定点F 1(－5，0)和F 2(5，0)，动点P 满足条件|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是（ ）。
（A ）16x 2－9y 2＝1 (x ≤－4) （B ）9x 2－16y 2＝1(x ≤－3)（C ）16x 2－9y 2＝1 (x>≥4) （D ）9x 2－16y 2＝1 (x ≥3)6若双曲线与椭圆x 2＋4y 2=64共焦点，它的一条渐近线方程是x ＋3y=0，则此双曲线的标准方程只能是（ ）。
（A ）36x 2－12y 2=1 （B ）36y 2－12x 2=1 （C ）36x 2－12y 2=±1 （D ）36y 2－12x 2=±17.. 双曲线的两准线之间的距离是532，实轴长是8，则此双曲线的标准方程只能是（ ）。
（A ）16x 2－9y 2=1 （B ）9x 2－16y 2=1与9y 2－16x 2=1（C ）16y 2－9x 2=1 （D ）16x 2－9y 2=1与16y 2－9x 2=18.以F(2, 0)为一个焦点，渐近线是y=±3x 的双曲线方程是（ ）。
（A ）x 2－3y 2=1 （B ）3x 2－y 2=1 （C ）2x 2－3y 2=1 （D ）3x 2－2y 2=19、中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(1, 3)的等轴双曲线的方程是 。
10、中心在原点，焦点在x 轴上，实轴长为8，两条准线间的距离为532的双曲线方程是 。
11、若方程2m y 5m x 22---=1表示双曲线，则实数m 的取值范围是（ ）。
（A ）m<－2或2<m<5 （B ）－2<m<2 （C ）－2<m<2或m>5 （D ）m>512、 已知双曲线的两个焦点是椭圆10x 2＋32y 52=1的两个顶点，双曲线的两条准线分别通过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是（ ）。
（A ）6x 2－4y 2=1 （B ）4x 2－6y 2=1 （C ）5x 2－3y 2=1 （D ）3x 2－5y 2=1二、双曲线的几何性质（离心率，渐近线等） （1）渐近线1、双曲线36x 2－49y 2＝1的渐近线方程是 ( )（A ）36x ±49y ＝0 （B ）36y ±49x＝0 （C ）6x ±7y ＝0 （D ）7x ±6y ＝02、双曲线5x 2－4y 2＝1与5x 2－4y 2＝k 始终有相同的（ ）（A ）焦点 （B ）准线 （C ）渐近线 （D ）离心率3、双曲线4x 2－9y 2=1的渐近线方程是（ ）。
（A ）y=±32x （B ）y=±61x （C ）y=±23x （D ）y=±6x4、双曲线方程为2x 2－3y 2=1 ，则双曲线的渐近线方程为 。
（2）焦点坐标5、双曲线x 2－ay 2＝1的焦点坐标是（ ）（A ）(a +1, 0) , (－a +1, 0) （B ）(a -1, 0), (－a -1, 0) （C ）（－a a 1+, 0）,（a a 1+, 0） （D ）(－a a 1-, 0), (aa 1-, 0)6、双曲线－5x 2＋2y 2=1 的焦点坐标为 。
7、双曲线221102x y -=的焦距为 A. 32B. 42C. 33D. 438、双曲线2212x y m m -=与椭圆221530x y +=有共同的焦点，则m = ．9、椭圆222212x y m n +=与双曲线222212x y m n-=有公共焦点，则椭圆的离心率是 A 22B 153C64 D 306（3）离心率10、双曲线9x 2－7y 2＝1的离心率是 。
11、双曲线的两准线间的距离是它的焦距的31，则它的离心率为12、双曲线的两个顶点三等分两个焦点间的线段，则离心率e= 。
13、若双曲线的两条准线间的距离等于它的半焦距，则双曲线的离心率为（ ）。
（A ）2 （B ）2 （C ）1 （D ）2214、设双曲线1by a x 2222=-(b>a>0)的半焦距为c ，直线l 过(a, 0)、(0, b)两点，已知原点到直线l 的距离是43c ，则双曲线的离心率是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）33215、双曲线2214x y k-=的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是 A .(0, 6) B . (3, 12) C . (1, 3) D . (0, 12)16、.椭圆222212x y m n +=与双曲线222212x y m n-=有公共焦点，则椭圆的离心率是 A 22B 153C64 D 30617、双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PE 2|，则双曲线离心率的取值范围为A.（1，3）B.（1，3）C.（3，+∞）D. [3，+∞]18、设e 1, e 2分别是双曲线1b y a x 2222=-和1ay b x 2222=-的离心率，则e 12+e 22与e 12²e 22的大小关系是 。
三．其他几何性质1、设F 1和F 2是双曲线 4x 2－y 2=1 的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是（ ）。
（A ）1 （B ）25（C ）2 （D ）52、直线y ＝x ＋3与曲线的交点的个数是（ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个3、若双曲线x 2－y 2=1右支上一点P(a, b)到直线y=x 的距离是2，则a ＋b 的值为（ ）。
（A ）－21 （B ）21 （C ）－21或21 （D ）2或－24、双曲线mx 2－2my 2=4的一条准线是y=1,则m 的值是（ ）。
（A ）23 （B ）－23 （C ）32 （D ）－325、双曲线方程为1by a x 2222=-，它的焦点到与此焦点较近的准线的距离是（ ）。
（A ）c a 22 （B ）c b 22 （C ）ca 2 （D ）cb 26、若双曲线64x 2－36y 2=1上一点P 到它的右焦点的距离是8，则点P 到双曲线的右准线的距离是（ ）。
（A ）10 （B ）7732 （C ）27 （D ）5327、曲线实轴长为2a ，过F 1的动弦AB 长为b ，F 2为另一焦点，则△AB F 2的周长为（ ）。
（A ）4a ＋b （B ）4a ＋2b （C ）4a －b （D ）4a －2b8、双曲线的实轴长为2a ，F 1, F 2是它的两个焦点，弦AB 经过点F 1，且|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等差数列，则|AB|＝ 。
9、若双曲线2222k4y k 9x -=1与圆x 2＋y 2=1没有公共点，则实数k 的取值范围是 。
10、双曲线的轴在坐标轴上，虚半轴的长为1，离心率为25，求经过点(0, 3)且与双曲线相切的直线方程。
双曲线基础练习题一、选择题（每题5分）1．已知a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，则双曲线的标准程是（ ）A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 1916.22=-y x D2．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116922=-y x3．.双曲线191622=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 184．.双曲线191622=-y x 的焦点坐标是 （ ）A. （5，0）、（-5，0）B. （0，5）、（0，-5）C. （0，5）、（5，0）D.（0，-5）、（-5，0）5、方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 6．已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是（ ）A ．.116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和191622=+-y x C.191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和1251622=+-y x 7．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（ ）A ．1222=-y xB ．122=+-y xC ．122=-y x D. 1222=+-y x8．P 为双曲线191622=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，则三角形PAB 的面积为（ ） A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 369．双曲线191622=-y x 的顶点坐标是 （ ）A ．（4，0）、（-4，0）B ．（0，-4）、（0，4）C ．（0，3）、（0，-3）D ．（3，0）、（-3，0）10．已知双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（ ） A ．1222=-y x B ．122=-y x C ．122=+-y x D. 1222=+-y x11．双曲线191622=-y x 的的渐近线方程是（ ）A ． 034=±y xB ．043=±y xC ．0169=±y xD ．0916=±y x 12．已知双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，则双曲线标准方程是（ ）A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x二、填空题（每题5分共20分） 13．已知双曲线虚轴长10，焦距是16，则双曲线的标准方程是________________. 14．已知双曲线焦距是12，离心率等于2，则双曲线的标准方程是___________________.15．已知16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是___________.16.椭圆C 以双曲线122=-y x 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，则椭圆的标准方程是___________________三、解答题17．（本小题（10分）已知双曲线C ：191622=+-y x ，写出双曲线的实轴顶点坐标，虚轴顶点坐标，焦点坐标，准线方程，渐近线方程。