2013高考数学(理)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(二)A(浙江省专用)
2013高考数学(理)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(二)B(浙江省专用)
专题限时集训(二)B[第2讲 函数、基本初等函数Ⅰ的图象与性质](时间：30分钟)1．函数y ＝log 13(2x2－3x ＋1)的递减区间为( ) A ．(1，＋∞)B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，12 2．已知函数y ＝sinax ＋b(a>0)的图象如图2－5所示，则函数y ＝loga(x ＋b)的图象可能是( )图2－5图2－63．为了得到函数y ＝log2x －1的图象，可将函数y ＝log2x 的图象上所有的点的( )A ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 B ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向左平移1个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度4．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2x ≥0 ，x2x <0，则f[f(x)]≥1的充要条件是( )A ．x ∈(－∞，－2)B ．x ∈[42，＋∞)C ．x ∈(－∞，－1]∪[42，＋∞)D ．x ∈(－∞，－2]∪[4，＋∞)5．已知函数f(x)＝log2|x|，g(x)＝－x2＋2，则f(x)·g(x)的图象只能是( )图2－7A ．①B ．②C ．③D ．④6．定义在R 上的函数y ＝f(x)，在(－∞，a)上是增函数，且函数y ＝f(x ＋a)是偶函数，当x1<a ，x2>a ，且|x1－a|<|x2－a|时，有( )A ．f(x1)>f(x2)B ．f(x1)≥f(x2)C ．f(x1)<f(x2)D ．f(x1)≤f(x2)7．函数y ＝x sinx，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是图2－8中的( )图2－88．设函数y ＝f(x)的定义域为D ，若对于任意x1，x2∈D 且x1＋x2＝2a ，恒有f(x1)＋f(x2)＝2b ，则称点(a ，b)为函数y ＝f(x)图象的对称中心．研究并利用函数f(x)＝x3－3x2－sinπx的对称中心，可得f ⎝⎛⎭⎫12 012＋f ⎝⎛⎭⎫22 012＋…＋f ⎝⎛⎭⎫4 0222 012＋f ⎝⎛⎭⎫4 0232 012＝( ) A ．4 023 B ．－4 023 C ．8 046 D ．－8 0469．设函数f1(x)＝x 12，f2(x)＝x －1，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2 013)))＝________. 10．设a ，b ∈R ，且a≠2，若定义在区间(－b ，b)内的函数f(x)＝lg 1＋ax 1＋2x是奇函数，则a ＋b 的取值范围为________________________________________________________________________．11．函数y ＝x2－2ax ，若x ∈[2,4]，则其最小值g(a)的表达式g(a)＝________________.12．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x2＋ax x ≤1 ，a2x －7a ＋14x >1，若存在x1，x2∈R ，且x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)，则实数a 的取值范围是________.专题限时集训(二)B【基础演练】1．A [解析] 必须是满足2x2－3x ＋1>0的函数y ＝2x2－3x ＋1的单调递增区间，即(1，＋∞)．2．C [解析] 由图象可知，b>0，因为T>2π，∴a<1，因此，答案为C.3．A [解析] y ＝log2x －1＝12log2(x －1)，因此只要把函数y ＝log2x 纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位长度即可．4．D [解析] 当x≥0时，f[f(x)]＝x 4≥1，所以x≥4；当x<0时，f[f(x)]＝x22≥1，所以x2≥2，x≥2(舍)或x≤－ 2.所以x ∈(－∞，－2]∪[4，＋∞)．故选D.【提升训练】5．C [解析] 由f(x)·g(x)为偶函数排除①④，当x→＋∞时，f(x)·g(x)→－∞，排除②，故为③.6．A [解析] 由于函数y ＝f(x ＋a)是偶函数，其图象关于y 轴对称，把这个函数图象平移|a|个单位(a<0左移、a>0右移)可得函数y ＝f(x)的图象，因此可得函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝a 对称，此时函数在(a ，＋∞)上是减函数，由于x1<a ，x2>a 且|x1－a|<|x2－a|，说明x1离对称轴的距离比x2离对称轴的距离小，故f(x1)>f(x2)．7．C [解析] 函数是偶函数，而且函数值为正值，在x→0时，x sinx →1，当x→π时，x sinx→＋∞，综合这些信息得只能是选项C 中的图象．8．D [解析] 如果x1＋x2＝2，则f(x1)＋f(x2)＝x31－3x21－sinπx1＋x32－3x22－sinπx2 ＝x31－3x21－sinπx1＋(2－x1)3－3(2－x1)2－sinπ(2－x1)＝－4.所以S ＝f ⎝⎛⎭⎫12 012＋f ⎝⎛⎭⎫22 012＋…＋f ⎝⎛⎭⎫4 0232 012， 又S ＝f ⎝⎛⎭⎫4 0232 012＋f ⎝⎛⎭⎫4 0222 012＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 012， 两式相加得2S ＝－4×4 023，所以S ＝－8 046.9.12 013 [解析] f1(f2(f3(2 013)))＝f1(f2(2 0132))＝f1((2 0132)－1)＝((2 0132)－1)12＝2 013－1.10.⎝⎛⎦⎤－2，－32 [解析] f(－x)＋f(x)＝lg 1－ax 1－2x ＋lg 1＋ax 1＋2x ＝lg 1－a2x21－4x2＝0，∴1－a2x21－4x2＝1， ∴(a2－4)x2＝0，∵x2不恒为0，∴a2＝4，又a≠2，故a ＝－2，∴f(x)＝lg1－2x 1＋2x ， 由1－2x 1＋2x>0，得：－12<x<12，由题意：(－b ，b)⊆⎝⎛⎭⎫－12，12，∴0<b≤12，故－2<a ＋b≤－32. 11.⎩⎪⎨⎪⎧ 4－4a a <2，－a2 2≤a≤4 ，16－8a a >4 [解析] ∵函数y ＝x2－2ax ＝(x －a)2－a2开口方向向上，对称轴为动直线x ＝a ，由对称轴与区间的位置关系，分三种情况讨论：当a<2时，函数在[2,4]上单调递增，则当x ＝2时，g(a)＝ymin ＝4－4a.当2≤a≤4时，函数在[2，a]上单调递减；在[a,4]上单调递增，则当x ＝a 时，g(a)＝ymin ＝－a2.当a>4时，函数在[2,4]上单调递减，则当x ＝4时，g(a)＝ymin ＝16－8a.综上所述，有g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4－4a a <2，－a2 2≤a≤4 ，16－8a a >4.12．(－∞，2)∪(3,5) [解析] ∃x1，x2∈R ，且x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)等价于函数f(x)不能在整个定义域上单调递增，显然当a 2<1，即a<2时满足要求，此时a ＝0也符合要求．当a 2≥1时，函数f(x)在x ＝1时，两端的端点值分别为－1＋a 和a2－7a ＋14，只要a2－7a ＋14<－1＋a 即可，即a2－8a ＋15<0，解得3<a<5.故a ∈(－∞，2)∪(3,5)．。
2013高考数学(理)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(二十)A(课程标准卷地区专用)
专题限时集训(二十)A[第20讲 复数、算法与推理证明](时间：30分钟)1．在复平面内，复数i －1i的共轭复数的对应点在( ) A ．第二象限 B ．第一象限C ．第三象限D ．第四象限2．设a ，b 为实数，若复数1＋2i a ＋bi＝1＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝3 B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝32，b ＝123．给出如图20－1所示的程序框图，那么输出的数是( )A ．2 450B ．2 550C ．5 150D ．4 900图20－14．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数5．复数1＋i 1－i 2的共轭复数为( ) A ．－12＋12i B ．－12－12i C.12－12i D.12＋12i6．如图20－2是一算法的程序框图，若输出结果为S ＝720，则在判断框中应填入的条件是( )图20－2A ．k ≤6?B ．k ≤7?C ．k ≤8?D ．k ≤9?7．如图20－3是一个程序框图，则输出结果为( )图20－3A ．22－1B ．2 C.10－1 D.11－1图20－48．阅读如图20－4所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．0B ．1＋2C ．1＋22D.2－19．观察数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则数26将出现在此数列的第( ) A ．21项 B ．22项 C ．23项 D ．24项10．设i 为虚数单位，则1－i ＋i2－i3＋i4－…＋i20＝________.11．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr2，三维测度(体积)V ＝43πr3，观察发现V ′＝S.则四维空间中“超球”的三维测度为V ＝8πr3，猜想其四维测度W ＝________.。
2013高考数学(理)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(一)A(江西省专用)
专题限时集训(一)A[第1讲 集合与常用逻辑用语](时间：30分钟)1．已知集合P ＝{－1，m}，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x<34，若P∩Q≠∅，则整数m 的值为( ) A ．0 B ．1C ．2D ．42．设全集U ＝{x ∈Z|－1≤x≤3}，A ＝{x ∈Z|－1<x<3}，B ＝{x ∈Z|x2－x －2≤0}，则(∁UA )∩B ＝( )A ．{－1}B ．{－1，2}C ．{x|－1<x<2}D ．{x|－1≤x≤2}3．对于函数f(x)＝3sinx ＋c osx ，下列命题中正确的是( )A ．任意x ∈R ，f(x)＝2B ．存在x ∈R ，f(x)＝2C ．任意x ∈R ，f(x)>2D ．存在x ∈R ，f(x)>24．命题p ：若a·b>0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p 或q”是真命题B ．“p 或q”是假命题C ．綈p 为假命题D ．綈q 为假命题5．命题“存在x ∈Z ，x2＋2x ＋m≤0”的否定是( )A ．存在x ∈Z ，x2＋2x ＋m>0B ．不存在x ∈Z ，x2＋2x ＋m>0C ．对任意x ∈Z ，x2＋2x ＋m≤0D ．对任意x ∈Z ，x2＋2x ＋m>06．已知集合A ＝{x|y ＝log2(x2－1)}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1，则A∩B 等于( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x<1 B ．{x|1<x<2} C ．{x|x>0} D ．{x|x>1}7．命题“存在x ∈R ，使x2＋ax －4a<0”为假命题是命题“－16≤a≤0”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，则λ<－4是向量m ＝λa ＋b 与向量n ＝(3，－1)的夹角为钝角的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．给出下列说法：①命题“若α＝π6，则sin α＝12”的否命题是假命题； ②p ：存在x ∈R ，使sinx>1，则綈p ：对任意x ∈R ，sinx ≤1；③“φ＝π2＋2k π(k ∈Z)”是“函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件； ④命题p ：“存在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使sinx ＋cosx ＝12”，命题q ：“在△ABC 中，若sinA>sinB ，则A>B”，那么命题綈p 且q 为真命题．其中正确的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．110．用含有逻辑联结词的命题表示命题“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的否定是________________________________________________________________________．11．已知A ，B 均为集合U ＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且A∩B ＝{3}，(∁UB )∩A ＝{1}，(∁UA )∩(∁UB)＝{2，4}，则B ∩(∁UA)＝________．12．若“对任意x ∈R ，ax2＋2ax ＋1>0”为真命题，则实数a 的取值范围是________．。
2013年高考真题理科数学(浙江卷)解析版含答案
解析：
22、已知 ，函数
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求 的最大值.
解析：
C.当 时， 在 处取得极小值
D.当 时， 在 处取得极大值
答案：C
解析：
考点定位：此题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性函数的极值；
9、如图， 是椭圆 与双曲线 的公共焦点， 分别是 ， 在第二、四象限的公共点。若四边形 为矩形，则 的离心率是
A. B. C. D.
答案：D
解析：由已知得： 由椭圆及双曲线的定义和已知得到：
15、设 为抛物线 的焦点，过点 的直线 交抛物线 于两点 ，点 为线段 的中点，若 ，则直线的斜率等于________。
答案：
解析：由
考点定位：
16、 中， , 是 的中点，若 ，则 ________。
答案：
解析：
解析：此题考查同角三角函数平方关系、余弦定理和锐角的三角函数的定义，考查学生的运算求解能力。
考点定位：此题考查椭圆和双曲线的定义、性质的应用；
10、在空间中，过点 作平面 的垂线，垂足为 ，记 。设 是两个不同的平面，对空间任意一点 ， ,恒有 ，则
A.平面 与平面 垂直B.平面 与平面 所成的（锐）二面角为
C.平面 与平面 平行D.平面 与平面 所成的（锐）二面角为
答案：A
解析：
考点定位：此题是信息类题目，考查线面垂直和面面垂直的知识点，考查学生的自学能力和运用所学知识解决问题的能力；
7、设 是边 上一定点，满足 ，且对于边 上任一点 ，恒有 。则
A. B. C. D.
答案：D
解析：利用特殊值法可以解决，如CP=AB或PB=PA即可求出答案，所以选D；
(浙江专用)2013高考数学二轮复习专题限时集训(八)配套作业理(解析版)
专题限时集训(八)[第8讲 平面向量及向量的应用](时间：45分钟)1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直2．已知e 1，e 2是两夹角为120°的单位向量，a ＝3e 1＋2e 2，则|a |等于( ) A ．4 B.11 C ．3 D.73．△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA →＋AB →＋AC →＝0，|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →的值是( )A ．3B ．2C ．1D ．04．已知P 是边长为2的正方形ABCD 及其内部一动点，若△PAB ，△PBC 面积均不大于1，则AP →·BP →的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，32 B ．(－1,2) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．[－1,1]5．定义：|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－6，则|a×b |等于( )A ．－8B ．8C ．－8或8D ．66．已知两点A (1,0)，B (1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝120°，设OC →＝－2OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ等于( )A ．－1B ．2C ．1D ．－27．两个非零向量OA →，OB →不共线，且OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →(m ，n >0)，直线PQ 过△OAB 的重心，则m ，n 满足( )A ．m ＋n ＝32B ．m ＝1，n ＝12C.1m ＋1n＝3 D ．以上全不对8．设|AB →|＝1，若|CA →|＝2|CB →|，则CA →·CB →的最大值为( ) A.13B ．4＋3 2C.8＋529 D ．3 9．已知a ＝(－2,1)，b ＝(0,2)，若向量a ＋λb 与2a ＋b 垂直，则实数λ的值为________． 10．设i ，j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________．11．向量a ，b ，c ，d 满足：|a|＝1，|b |＝2，b 在a 上的投影为12，(a －c )·(b －c )＝0，|d －c |＝1，则|c|＋|d |的最大值是________．12．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0，π]，向量b ＝(3，－1)． (1)若a ⊥b ，求θ的值；(2)若|2a －b |<m 恒成立，求实数m 的取值范围．13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量p ＝1－sin A ，127，q ＝(cos2A,2sin A )，且p ∥q .(1)求sin A 的值；(2)若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a .14．设向量m ＝(cos x ，sin x )，x ∈(0，π)，n ＝(1，3)． (1)若|m －n |＝5，求x 的值；(2)设f (x )＝(m ＋n )·n ，求函数f (x )的值域．专题限时集训(八)【基础演练】1．D [解析] ||a ＝1，||b ＝22，A 不正确；a ·b ＝12，B 不正确；a ＝λb 时可得1＝12λ且0＝12λ，此方程组无解，C 不正确；(a －b )·b ＝12，－12·12，12＝0，D 正确．2．D [解析] ||a ＝9＋4＋2×3×2cos120°＝7.3．A [解析] 由2OA →＋AB →＋AC →＝0，易得△ABC 为直角三角形，且A 为直角，又|OA →|＝|AB →|，故C ＝30°.由此|AC |＝3，|BC |＝2，CA →·CB →＝|CA |·|CB |·cos30°＝3. 4.D [解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，由于△PAB ，△PBC 面积均不大于1，故点P 在图中的区域EFGB 的边界及其内部，设P (x ，y )，则AP →·BP →＝(x ，y )·(x －2，y )＝x 2＋y 2－2x ＝(x －1)2＋y 2－1，其中(x －1)2＋y 2表示区域内的点到点(1,0)距离的平方，显然范围是[0,2]，故AP →·BP →的取值范围是[－1,1]．【提升训练】5．B [解析] 由|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－6，得cos θ＝－35，sin θ＝45，所以|a×b |＝|a|·|b |·sin θ＝2×5×45＝8.6．C [解析] OC →＝－2OA →＋λOB →＝－2(1,0)＋λ(1，3)＝(－2＋λ，3λ)．因为∠AOC ＝120°，所以由tan120°＝3λ－2＋λ＝－3，解得λ＝1.7．C [解析] 设重心为点G ，且PG →＝tPQ →， 所以OG →＝OP →＋PG →＝mOA →＋tPQ →＝mOA →＋t ()nOB →－mOA → ＝m (1－t )OA →＋ntOB →.设OG 与AB 交于点D ，则点D 为AB 的中点．所以OG →＝23OD →＝13(OA →＋OB →)．故⎩⎪⎨⎪⎧m －t＝13，nt ＝13，消去t 得1m ＋1n＝3.故选C.8.B [解析] 如图建系(以AB 中点O 为原点)，则：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， 设C (x ，y )，由|CA →|＝2|CB →|得：⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2，化简得：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2，显然C 的几何图形为以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为圆心，2为半径的圆， 观察易得：当C 在D 点时，CA →·CB →最大，且为4＋3 2.9．－32[解析] 由题可得，(a ＋λb )·(2a ＋b )＝2a 2＋(2λ＋1)a ·b ＋λb 2＝0.又a 2＝5，b 2＝4，a·b ＝2，则10＋2(2λ＋1)＋4λ＝0，解得λ＝－32.10．5 [解析] 由题可知|OA →|＝5，|OB →|＝5，OA →·OB →＝－5，所以cos 〈OA →，OB →〉＝－555＝－15，sin 〈OA →，OB →〉＝25，所求面积为S ＝12×5×5×25＝5.11．3＋ 2 [解析] 不妨设向量a ，b ，c ，d 有相同的起点O ，终点分别为A ，B ，C ，D ，由b 在a 上的投影为12知a·b ＝12，由(a －c )·(b －c )＝0知：C 在以AB 为直径的圆上．故当向量c 过AB 中点时，其模最大，此时|c |＝12(|a ＋b|＋|a －b |)＝1＋22，由|d －c |＝1知，D 在以C 为圆心，1为半径的圆上，故当C ，D 共线时|d |最大，故(|c|＋|d|)max ＝2|c |max ＋1＝3＋ 2.12．解：(1)∵a ⊥b ，∴3cos θ－sin θ＝0，得tan θ＝ 3. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π3.(2)∵2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)， ∴|2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ－32cos θ＝8＋8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.又θ∈[0，π]，∴θ－π3∈－π3，2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3∈－32，1，∴|2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4. 又|2a －b |<m 恒成立，∴m >4.13．解：(1)∵p ∥q ，∴127cos2A ＝(1－sin A )·2sin A ，∴6(1－2sin 2A )＝7sin A (1－sin A )，5sin 2A ＋7sin A －6＝0， ∴sin A ＝35(sin A ＝－2舍)．(2)由S △ABC ＝12bc sin A ＝3，b ＝2，得c ＝5，又cos A ＝±1－sin 2A ＝±45，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋25－2×2×5cos A ＝29－20cos A ， 当cos A ＝45时，a 2＝13，a ＝13；当cos A ＝－45时，a 2＝45，a ＝3 5.14．解：(1)∵m －n ＝(cos x －1，sin x －3)，由|m －n |＝5得cos 2x －2cos x ＋1＋sin 2x －23sin x ＋3＝5， 整理得cos x ＝－3sin x ，显然cos x ≠0，∴tan x ＝－33. ∵x ∈(0，π)，∴x ＝5π6.(2)∵m ＋n ＝(cos x ＋1，sin x ＋3)，∴f (x )＝(m ＋n )·n ＝(cos x ＋1，sin x ＋3)·(1，3) ＝cos x ＋1＋3sin x ＋3 ＝232sin x ＋12cos x ＋4 ＝2sin x ＋π6＋4.∵0<x <π，∴π6<x ＋π6<7π6.∴－12<sin x ＋π6≤1⇒－1<2sin x ＋π6≤2，∴3<2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋4≤6，即函数f (x )的值域为(3,6]．。
2013高考数学(理)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(二十四)(湖北省专用)
专题限时集训(二十四)[第24讲 坐标系与参数方程](时间：30分钟)1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋at ，y ＝－1＋4t(t 为参数)过定点________． 2．P 为曲线C1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上一点，则它到直线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2t ，y ＝2t (t 为参数)距离的最小值为________．3．在极坐标系中，曲线ρ＝4cos θ与ρcos θ＝4的交点为A ，点M 坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，则线段AM 的长为________．4．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则曲线C 上的点到直线2x －y ＋2＝0的距离的最大值为________．5．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1＋t (t 为参数)，则直线l 被曲线C 截得的弦长为________．6．直线3x －4y －1＝0被曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)所截得的弦长为________．7．在极坐标系中，两点A ⎝⎛⎭⎫3，π3，B ⎝⎛⎭⎫4，2π3间的距离是________． 8．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)与曲线ρ2－2ρcos θ＝0的交点个数为________． 9．在极坐标系中，点(1，0)到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距离为________．10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)与直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－t (t 为参数)________(有/没有)公共点．11．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ，则C 上的点到l 的距离的最小值为________12．在极坐标中，已知点P 为方程ρ(cos θ＋sin θ)＝1所表示的曲线上一动点，Q ⎝⎛⎭⎫2，π3，则|PQ|的最小值为________．13．已知直线l1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t(t 为参数)与直线l2：2x －4y ＝5相交于点B ，又点A(1，2)，则|AB|＝________．14．直线⎩⎨⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)被圆x2＋y2＝4截得的弦长为________．专题限时集训(二十四)【基础演练】1．(3，－1) [解析]y ＋1x －3＝4a，－(y ＋1)a ＋4x －12＝0对于任何a 都成立， 则x ＝3，且y ＝－1. 2.2－1 [解析] C1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)化为普通方程为(x －1)2＋y2＝1， 直线C2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2t ，y ＝2t (t 为参数)化为普通方程为：x －y ＋1＝0， 则圆心(1，0)到直线x －y ＋1＝0的距离为d ＝|1－0＋1|12＋（－1）2＝ 2. P 到直线C2距离的最小值为2－1.3．23 [解析] 曲线ρ＝4cos θ的普通方程为(x －2)2＋y2＝4，ρcos θ＝4的普通方程为x＝4，则可解出交点A(4，0)，点M ⎝⎛⎭⎫2，π3化为直角坐标为(1，3)，则线段AM 的长为（4－1）2＋（0－3）2＝2 3.4.45＋55 [解析] 将曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ 5.化为直角坐标方程得(x －1)2＋y2＝1，易得所求最大距离为45＋1＝45＋55. 【提升训练】 5．4 [解析] 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ化为直角坐标形式得(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，其圆心为(2，－1)，半径为3.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1＋t 化为直角坐标形式得x －2y ＋1＝0，圆心到直线的距离为|2＋2＋1|5＝5，所以直线被圆截得的弦长为29－（5）2＝4. 6．23 [解析] 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ化为直角坐标形式得x2＋(y －1)2＝4，其圆心为(0，1)，半径为2，圆心到直线3x －4y －1＝0的距离为1，所以直线被圆截得的弦长为2 3.7.13 [解析] 用余弦定理可得d ＝32＋42－2×3×4cos π3＝13. 8．2 [解析] 将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α化为直角坐标形式得x2＋(y －1)2＝1，其圆心为(0，1)，曲线ρ2－2ρcos θ＝0化为直角坐标形式得(x －1)2＋y2＝1，两圆的圆心距为2小于两圆半径的和，故两圆相交，有2个交点．9.22 [解析] 直角坐标方程x ＋y －2＝0，d ＝|1＋0－2|2＝22.10．没有 [解析] 方法1：直线l 的普通方程为x ＋2y －3＝0. 曲线C 的普通方程为x2＋4y2＝4.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x2＋4y2＝4得8y2－12y ＋5＝0， 因为Δ＝－16<0无解，所以曲线C 与直线l 没有公共点． 方法2：直线l 的普通方程为x ＋2y －3＝0.把曲线C 的参数方程代入l 的方程x ＋2y －3＝0，得2cos θ＋2sin θ－3＝0，即2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝32. 因为2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4∈[－2，2]，而32∉[－2，2]， 所以方程2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝32无解．即曲线C 与直线l 没有公共点． 11．22－2 [解析] 圆方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4，∴d ＝|1－1＋4|12＋12＝22， ∴C 上的点到l 距离的最小值为22－2.12.62 [解析] ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为普通方程为x ＋y ＝1，极坐标Q ⎝⎛⎭⎫2，π3化成直角坐标为Q(1，3)，|PQ|的最小值为d ＝|1＋3－1|1＋1＝62. 13.52 [解析] 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t 代入2x －4y ＝5得t ＝12，则B ⎝⎛⎭⎫52，0，而A(1，2)， 得|AB|＝52.14.。
2013高考数学(文)二轮复习配套作业(解析版)：作业手册详答(浙江省专用)
2013高考数学（文）二轮复习配套作业（解析版）：作业手册详答（浙江省专用）专题限时集训(一)A【基础演练】1．A [解析] 依题意得P ＝{x ∈Z|x2<2}＝{－1，0，1}，故∁UP ＝{2}． 2．D [解析] 依题意得A ＝{－1，0，1}，因此集合A 的子集个数是23＝8.3．C [解析] 用数形结合的思想，函数y ＝2x 和y ＝x ＋2的图象可，有两个交点．故M∩N 有两个元素，子集的个数为4.4．B [解析] 因为当a·b>0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，所以命题p 是假命题；又命题q 是假命题，例如f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x≤0，－x ＋2，x>0.综上可知，“p 或q”是假命题．【提升训练】5．B [解析] 由x －2x ＋3<0得－3<x<2，即M ＝{x|－3<x<2}；由|x －1|≤2得－1≤x≤3，即N ＝{x|－1≤x≤3}．所以M∩N ＝[－1，2)．6．A [解析] f(x)＝log2(ax2＋ax ＋1)的定义域为R ，当a≠0时，a>0，Δ<0，则a2－4a<0，∴0<a<4；则当a ＝0时，也成立．故定义域为R 时，a ∈[0，4)，所以0<a<4是充分不必要条件．7．B [解析] 当c ＝－1时，由函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x≥1，x －1，x<1的图象可以得出其是增函数；反之，不一定成立，如取c ＝－2.所以“c ＝－1”是“f(x)在R 上单调递增”的充分不必要条件． 8．A [解析] 由“lgy 为lgx ，lgz 的等差中项”得2lgy ＝lgx ＋lgz ，则有y2＝xz(x>0，y>0，z>0)，y 是x ，z 的等比中项；反过来，由“y 是x ，z 的等比中项”不能得到“lgy 为lgx ，lgz 的等差中项”，例如y ＝1，x ＝z ＝－1.于是，“lgy 为lgx ，lgz 的等差中项”是“y 是x ，z 的等比中项”的充分不必要条件．9．C [解析] 命题p 等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a<－12；若p 假q 真，则－4<a<4.故实数a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．10．b ≤－4或b≥4 [解析] 因为值域为R ，所以真数的范围为(0，＋∞)，故Δ＝b2－16≥0，故b≤－4或b≥4.11．{5，6} [解析] 依题意作出满足条件的韦恩图，可得B ∩(∁UA)＝{5，6}．12．③ [解析] 对于①，注意到sin π6－2x ＝cos2x ＋π3，因此函数y ＝sin2x ＋π3sin π6－2x ＝sin2x ＋π3²cos2x ＋π3＝12sin4x ＋2π3，其最小正周期为2π4＝π2，所以①不正确；对于②，注意到命题“函数f(x)在x ＝x0处有极值，则f ′(x0)＝0”的否命题是“若函数f(x)在x ＝x0处无极值，则f ′(x0)≠0”，容易知该命题不正确，如取f(x)＝x3，f(x)无极值但当x0＝0时，f′(x0)＝0，故②不正确；对于③，依题意知，当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－2－x ，所以③正确．综上所述，其中正确的说法是③.专题限时集训(一)B【基础演练】1．C [解析] 依题意得∁RA ＝{x|－1≤x≤1}，B ＝{y|y≥0}，所以(∁R A)∩B ＝{x|0≤x≤1}． 2．A [解析] 依题意得M ＝{x|x≥－a}，N ＝{x|1<x<3}， 则∁UN ＝{x|x≤1，或x≥3}．又M∩(∁UN)＝{x|x ＝1，或x≥3}， 所以－a ＝1，求得a ＝－1.3．C [解析] 因为a2－a ＋1＝a －122＋34≥34>0，所以由a －1a2－a ＋1<0得a<1，不能得到|a|<1；反过来，由|a|<1得－1<a<1，所以a －1a2－a ＋1<0.因此“a －1a2－a ＋1<0”是“|a|<1”成立的必要不充分条件．4．A [解析] 1a >1b ⇔b －aab >0⇔ab(b －a)>0，而“a<b<0”只是满足这个等价条件的一种情况，故是充分不必要条件．【提升训练】5．A [解析] 依题意得A ＝{x|－5<x<6}．由cos πx 3＝12得πx 3＝2k π±π3，即x ＝6k±1，k ∈Z.令－5<6k ＋1<6得－1<k<56.又k ∈Z ，则k ＝0，故x ＝1；令－5<6k －1<6得－23<k<76，又k∈Z ，则k ＝0或k ＝1，故x ＝－1或x ＝5.于是，A∩B ＝{－1，1，5}．6．D [解析] 因为对任意x ∈R ，2x2＋2x ＋12＝2x ＋122≥0，所以p 为假命题；当x ＝3π4时，sin3π4－cos 3π4＝22＋22＝2，所以q 为真命题，则綈q 是假命题． 7．C [解析] 依题意得f(x)＝a2x2＋2(a·b)x ＋b2，由函数f(x)是偶函数，得a·b ＝0，又a ，b 为非零向量，所以a ⊥b ；反过来，由a ⊥b 得a·b ＝0，f(x)＝a2x2＋b2，函数f(x)是偶函数．综上所述，“函数f(x)＝(ax ＋b)2为偶函数”是“a ⊥b”的充要条件．8．B [解析] 注意到⊙O1与⊙O4无公共点，⊙O2与⊙O3无公共点，则满足题意的“有序集合对”(A ，B)的个数是4.9．C [解析] 依题意得f(4＋x)＝f(x)＝f(－x)，即函数f(x)是以4为周期的函数．因此，当f(0)<0时，不能得到函数f(x)在区间[0，6]上有3个零点；反过来，当函数f(x)在区间[0，6]上有3个零点时，结合该函数的性质分析其图象可知，此时f(0)<0.综上所述，f(0)<0是函数f(x)在区间[0，6]上有3个零点的必要不充分条件．10．ab ＝a2＋b2 [解析] 由A∩B 只有一个元素知，圆x2＋y2＝1与直线x a －yb ＝1相切，则1＝aba2＋b2，即ab ＝a2＋b2.11．必要不充分 [解析] 设向量a ，b 的夹角为θ，则由题意知，当a·b ＝|a|·|b|cos θ>0时，θ∈⎣⎡⎭⎫0，π2；若a 与b 的夹角为锐角，即θ∈0，π2.因为⎝⎛⎭⎫0，π2 ⎣⎡⎭⎫0，π2，所以p 是q 成立的必要不充分条件．12．(－∞，－1]∪[0，＋∞) [解析] 若对于任意实数x ，都有x2＋ax －4a>0，则Δ＝a2＋16a<0，即－16<a<0；若对于任意实数x ，都有x2－2ax ＋1>0，则Δ＝4a2－4<0，即－1<a<1.于是命题“对于任意实数x ，都有x2＋ax －4a>0且x2－2ax ＋1>0”是真命题时有a ∈(－1，0)，则命题“对于任意实数x ，都有x2＋ax －4a>0且x2－2ax ＋1>0”是假命题时a 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)． 专题限时集训(二)A 【基础演练】1．D [解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x>0，log3x ≠0，解得x>0且x≠1，故函数定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．2．C [解析] 函数是偶函数，只能是选项C 中的图象．3．C [解析] 依题意，因为5≥4，4≥4，所以f(5)＝f(5－1)＝f(4)＝f(4－1)＝f(3)，而3<4，所以f(3)＝23＝8.4．B [解析] 因为3a ＝5b ＝A ，所以a ＝log3A ，b ＝log5A ，且A>0，于是1a ＋1b ＝logA3＋logA5＝logA15＝2，所以A ＝15. 【提升训练】5．B [解析] 由loga2<0得0<a<1，f(x)＝loga(x ＋1)的图象是由函数y ＝logax 的图象向左平移1个单位得到的，故为选项B 中的图象．6．A [解析] 由条件知，0<a<1，b<－1，结合选项，函数g(x)＝ax ＋b 只有A 符合要求． 7．D [解析] 依题意得，方程f(x2－2x －1)＝f(x ＋1)等价于方程x2－2x －1＝x ＋1或x2－2x －1＝－x －1，即x2－3x －2＝0或x2－x ＝0，因此所有解之和为3＋1＝4. 8．A [解析] 依题意，f(27)＝11＋2713＝11＋3＝14，则f(f(27))＝f 14＝⎪⎪⎪⎪log414－1－2＝|－1－1|－2＝0.9．C [解析] 当x>0时，－x<0，f(－x)＋f(x)＝(2－x －1)＋(1－2－x)＝0；当x<0时，－x>0，f(－x)＋f(x)＝(1－2x)＋(2x －1)＝0；当x ＝0时，f(0)＝0.因此，对任意x ∈R ，均有f(－x)＋f(x)＝0，即函数f(x)是奇函数．当x>0，函数f(x)是增函数，因此函数f(x)单调递增． 10．D [解析] 作函数F(x)的图象，由方程f(x)＝g(x)得x ＝a ＋b －12，即交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b －12，⎝⎛⎭⎫b －a －122－a ，又函数F(x)＋x ＋a －b 有三个零点，即函数F(x)的图象与直线l ：y ＝－x ＋b －a 有三个不同的交点，由图象知P 在l 上，⎝⎛⎭⎫b －a －122－a ＝－a ＋b －12＋b －a ，即⎝⎛⎭⎫b －a －122＝b －a －12＋1，所以b －a ＝2±5，又b>a ，故b －a ＝2＋ 5.11．－12 [解析] 依题意，f(m)＝12，即em －1em ＋1＝12.所以f(－m)＝e －m －1e －m ＋1＝1－em 1＋em ＝－em －1em ＋1＝－12.12.⎣⎡⎭⎫32，3 [解析] 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3－a>0，a>1，（3－a ）·1－a≤loga1， 即⎩⎪⎨⎪⎧a<3，a>1，a≥32，解得32≤a<3.13．②③④ [解析] 根据单函数的定义可知命题②、④是真命题，①是假命题；根据一个命题与其逆否命题等价可知，命题③是真命题． 专题限时集训(二)B 【基础演练】1．C [解析] 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，1－lg （x ＋2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x ＋2≤10，解得－2<x≤8，故函数定义域为(－2，8]．2．B [解析] y ＝－1x 是奇函数，A 错误；y ＝e|x|是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，B 正确；y ＝－x2＋3是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，C 错误；y ＝cosx 是偶函数且在(0，＋∞)上有时递增，有时递减，D 错误．3．C [解析] 依题意，由f(2－x)＝f(x)得f(1－x)＝f(1＋x)， 即函数f(x)的对称轴为直线x ＝1，结合图形可知f 12<f 13<f(0)＝f(2)．4．C [解析] 由f(x)·g(x)为偶函数排除①④，当x→＋∞时，f(x)·g(x)→－∞，排除②，故为③. 【提升训练】5．C [解析] 将函数f(x)＝x|x|－2x 去掉绝对值，得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x ，x≥0，－x2－2x ，x<0，画出函数f(x)的图象，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．6．D [解析] 依题意得f(3)＝f(2)－f(1)＝[f(1)－f(0)]－f(1)＝－f(0)＝－log28＝－3.7．B [解析] 依题意，f(x)为定义在R 上的奇函数，则f(0)＝0，即30－2×0＋a ＝0，求得a ＝－1.又当x<0，－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－(3－x ＋2x ＋a)＝－3－x －2x ＋1，于是f(－2)＝－32－2×(－2)＋1＝－4.8．C [解析] 函数是偶函数，而且函数值为正值，在x→0时，x sinx 1，当x→π时，xsinx →＋∞，综合这些信息得只能是选项C 中的图象．9．D [解析] 依题意得，f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x≤0，－x ＋1，0<x<2，x －3，x≥2，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f(x －1)和y ＝t(|t|<1)的图象(如图)，由图象知方程f(x －1)＝t(|t|<1)所有根的和s 的取值范围是(2，4)．10．8 [解析] 依题意，若a>0，则f(a)＝log2a ＝3，求得a ＝8；若a≤0，则f(a)＝－2a ＝3，此时无解．于是a ＝8.11．－14 [解析] 由对任意t ∈R ，都有f(t)＝f(1－t)，可得f(－t)＝f(1＋t)，即f(t ＋1)＝－f(t)，进而得到f(t ＋2)＝－f(t ＋1)＝－[－f(t)]＝f(t)，即函数y ＝f(x)的一个周期为2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f －32＝f 12＝－14.所以f(3)＋f －32＝0＋－14＝－14.12．①②④ [解析] 依题意，令x ＝－2得f(2)＝f(－2)＋f(2)，又函数f(x)是偶函数，故f(2)＝0，所以①正确；根据①可得f(x ＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f(x)图象的一条对称轴，所以②正确；根据函数的周期性可知，函数f(x)在[8，10]上单调递减，所以③不正确；由于函数f(x)的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f(x)＝m 在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8，所以④正确． 13．②④ [解析] 对于①，结合函数f(x)的图象分析可知，不存在函数g(x)，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)不存在承托函数；对于②，注意到f(x)＝2－x>0，因此存在函数g(x)＝0，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)存在承托函数；对于③，结合函数f(x)的图象分析可知，不存在函数g(x)，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)不存在承托函数；对于④，注意到f(x)＝x ＋sinx ≥x －1，因此存在函数g(x)＝x －1，使得f(x)≥g(x)对一切实数x 都成立，即f(x)存在承托函数．综上所述，存在承托函数的f(x)的序号为②④. 专题限时集训(三) 【基础演练】1．B [解析] 依题意，因为f(1)＝log21－1＝－1<0，f(2)＝log22－121－12＝12>0，所以函数f(x)的零点x0∈(1，2)．2．B [解析] 依题意，由所给出的函数图象可求得函数解析式为h ＝20－5t(0≤t≤4)，对照选项可知图象应为B.故选B.3．C [解析] 将表中的数据代入各选项中的函数解析式验证，可知只有v ＝t2－12满足．故选C.4．B [解析] 在同一坐标系内画出函数y ＝3cos π2x 和y ＝log2x ＋12的图象，可得交点个数为3.【提升训练】5．B [解析] 当x≤0时，令x2＋2x －3＝0，解得x ＝－3；当x ＞0时，令－2＋lnx ＝0，解得x ＝e2，所以已知函数有2个零点，选B.6．B [解析] 记F(x)＝x3－12x －2，则F(0)＝0－12－2＝－4<0，F(1)＝1－12－1＝－1<0，F(2)＝8－120＝7>0，所以x0所在的区间是(1，2)．故选B.7．C [解析] 设CD ＝x ，依题意，得S ＝x(16－x)(4<x<16－a)，所以Smax ＝f(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧64（0<a≤8），a （16－a ）（8<a<12），对照图象知，C 符合函数模型对应的图象．故选C. 8．C [解析] 由已知f(2)＝2a ＋b ＝0，可得b ＝－2a ，则g(x)＝－2ax2－ax ，令g(x)＝0得x ＝0或x ＝－12，所以g(x)的零点是0或－12，故选C.9．D [解析] 由对任意的x ∈R 都有f(x ＋1)＝f(x －1)知f(x)＝f(x ＋2)，即函数y ＝f(x)的周期为2，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f(x)(x ∈[－1，3])和y ＝m(x ＋1)的图象(如图)，要使函数g(x)＝f(x)－mx －m 恰有四个不同零点，则0<m≤14.10．B [解析] ex 和sinx 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2上都是增函数，则f(x)在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2上也是增函数，x0是函数y ＝f(x)的零点，所以f(x0)＝0，当x0<t<0时，f(t)>0.11．3 [解析] 由题意知，f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4－2<0，所以该函数的零点在区间(3，4)内，由此可得k ＝3.故填3.12．(0，1) [解析] 画出函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x>0，－x2－2x ，x≤0的图象(如图)，由函数g(x)＝f(x)－m 有3个零点，结合图象得0<m<1.故填(0，1)．13．解：(1)条件说明抛物线f(x)＝x2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m<－12，m ∈R ，m<－12，m>－56.∴－56<m<－12.(2)抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m2－4（2m ＋1）≥0，f （0）＝2m ＋1>0，f （1）＝4m ＋2>0，0<－m<1，得－12<m≤1－2.(这里0<－m<1是因为对称轴x ＝－m 对应的－m 应在区间(0，1)内过) 14．解：(1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x≤24时，x ＋1x ≥2(当x ＝1时取等号)，∴t ＝x x2＋1＝1x ＋1x∈⎝⎛⎦⎤0，12，即t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. (2)当a ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，记g(t)＝|t －a|＋2a ＋23，则g(t)＝⎩⎨⎧－t ＋3a ＋23，0≤t≤a ，t ＋a ＋23，a<t≤12.∵g(t)在[0，a]上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a ，12上单调递增，且g(0)＝3a ＋23，g ⎝⎛⎭⎫12＝a ＋76，g(0)－g⎝⎛⎭⎫12＝2⎝⎛⎭⎫a －14.故M(a)＝⎩⎨⎧g ⎝⎛⎭⎫12，0≤a≤14g （0），14<a≤12，即M(a)＝⎩⎨⎧a ＋76，0≤a≤14，3a ＋23，14<a≤12.∴当且仅当a≤49M(a)≤2.故当0≤a≤49时不超标，当49<a ≤12时超标．15．解：(1)当m ＝2，x ∈[1，2]时， f(x)＝x·(x －1)＋2＝x2－x ＋2＝x －122＋74.∵函数y ＝f(x)在[1，2]上单调递增，∴f(x)max ＝f(2)＝4，即f(x)在[1，2]上的最大值为4.(2)函数p(x)的定义域为(0，＋∞)，函数p(x)有零点，即方程f(x)－g(x)＝x|x －1|－lnx ＋m ＝0有解，即m ＝lnx －x|x －1|有解，令h(x)＝lnx －x|x －1|. 当x ∈(0，1]时，h(x)＝x2－x ＋lnx.∵h ′(x)＝2x ＋1x －1≥22－1>0当且仅当2x ＝1x 时取“＝”，∴函数h(x)在(0，1]上是增函数，∴h(x)≤h(1)＝0.当x ∈(1，＋∞)时，h(x)＝－x2＋x ＋lnx.∵h ′(x)＝－2x ＋1x ＋1＝－2x2＋x ＋1x ＝－（x －1）（2x ＋1）x <0，∴函数h(x)在(1，＋∞)上是减函数，∴h(x)<h(1)＝0，∴方程m ＝lnx －x|x －1|有解时，m≤0，即函数p(x)有零点时，m 的取值范围为(－∞，0]． 专题限时集训(四)A 【基础演练】1．B [解析] 对于B ，由a3>b3知a>b ，而ab>0，由不等式的倒数法则知1a <1b .故选B.2．D [解析] 由1x <12，得1x －12<0，即2－x 2x <0，于是不等式转化为x(x －2)>0，解得x<0或x>2.故选D.3．B [解析] a·b ＝4x －4＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2，9x ＋3y ≥29x ²3y ＝232x ＋y ＝232＝6(当2x ＝y ＝1时取等号)．4．B [解析] 作出满足题设条件的可行域(如图)，则当直线y ＝－2x ＋z 经过点A(－2，2)时，截距z 取得最小值，即zmin ＝2³(－2)＋2＝－2.【提升训练】5．A [解析] 依题意，由a ＋d ＝b ＋c 得a2＋2ad ＋d2＝b2＋2bc ＋c2；由|a －d|<|b －c|得a2－2ad ＋d2<b2－2bc ＋c2.于是得bc<ad.故选A.6．C [解析] 依题意，当x>0时，不等式为lnx ≤1，解得0<x≤e ；当x≤0时，不等式为ex ≤1，解得x≤0.所以不等式的解集为(－∞，e]．故选C.7．A [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域，则此平面区域为△ABC ，且A(2，0)，B(0，1)，C(2，1)，于是，S ＝12³2³1＝1.故选A.8．B [解析] 由a>0，b>0且直线x －y ＝－1与2x －y ＝2的交点为(3，4)，得当x ＝3，y ＝4时，z 取得大值，3a ＋4b ＝7，所以3a ＋4b ＝3a ＋4b ²3a ＋4b 7＝97＋167＋127b a ＋a b ≥257＋127³2b a ²a b ＝257＋247＝7.9.12[解析] 不等式组表示的可行域为三角形ABC 的内部，x2＋y2表示原点到可行域的距离的平方，显然到直线AC ：x －y －1＝0距离d ＝|－1|1＋1＝22最小，故x2＋y2的最小值为12. 10．(1，＋∞) [解析] 依题意，当a ＝0时，不成立；当a≠0时，要使不等式ax2＋2x ＋a>0的解集为R ，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝4－4a2<0，解得a>1.故填(1，＋∞)．11．8 [解析] 依题意，设货车从A 市到B 市的时间为t ，则t ＝400v ＋16×v202v ＝400v ＋16v400≥2400v ²16v400＝216＝8.故填8. 12．8 [解析] 依题意，函数y ＝a2x －4＋1(a>0且a≠0)过定点A(2，2)，又A 在直线x m ＋y n ＝1，所以2m ＋2n ＝1.于是m ＋n＝2m ＋2n (m ＋n)＝4＋2n m ＋2mn≥4＋22n m ²2mn＝8. 13.⎣⎡⎦⎤34，43 [解析] 根据指数函数的性质，可知函数f(x)＝mx ＋1＋1(m>0，m≠1)恒过定点(－1，2)．将点(－1，2)代入2ax －by ＋14＝0，可得a ＋b ＝7.由于(－1，2)始终落在所给圆的内部或圆上，所以a2＋b2≤25.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝7，a2＋b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.这说明点(a ，b)在以A(3，4)和B(4，3)为端点的线段上运动，所以b a 的取值范围是34，43.专题限时集训(四)B【基础演练】1．D [解析] ∵y>x>0，且x ＋y ＝1，取特殊值：x ＝14，y ＝34，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x<2xy<x ＋y 2<y.故选D.2．D [解析] ∵am ＋bn ＋c<0，b<0，∴n>－a b m －cb ∴点P 所在的平面区域满足不等式y>－a b x －cb，a>0，b<0.∴－ab >0.故点P 在该直线的上侧，综上知，点P 在该直线的左上方．3．D [解析] 依题意，得a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，于是（a ＋b ）2cd ＝（x ＋y ）2xy ＝x2＋y2＋2xyxy≥2xy ＋2xyxy＝4.故选D. 4．D [解析] 依题意，不等式f(x0)>1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x0≤0，12x0>1或⎩⎨⎧x0>0，x0>1，解得x0<0或x0>1.故选D.【提升训练】5．C [解析] 因为0<x<1，所以1＋x>2x ＝4x>2x ，所以只需比较1＋x 与11－x的大小．因为1＋x －11－x ＝1－x2－11－x ＝x2x －1<0，所以1＋x<11－x.故选C. 6．B [解析] 依题意知，－12和13是一元二次方程ax2＋bx ＋2＝0的两根，且a<0，则⎩⎨⎧－12＋13＝－b a ，－12×13＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.于是，不等式2x2＋bx ＋a<0即是2x2－2x －12<0，解得－2<x<3.故选B.7．C [解析] 依题意，函数f(x)＝x ＋ax －2(x>2)的图象过点A(3，7)，则a ＝4.于是，f(x)＝x ＋4x －2＝(x －2)＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6.故选C. 8．A [解析] 作出满足条件的可行域，由图可知，当z ＝x ＋ay ，取得最大值的最优解有无数个时，－1a ＝－2，解得a ＝12.于是目标函数z ＝x ＋12y 经过点(1，2)时，z 得最小值为2.故选A.9．2π [解析] 在同一直角坐标系中作出可行域⎩⎨⎧（x ＋3y ）（3x －y ）≤0，x2＋y2≤4.由图形知，不等式组表示的平面区域的面积是二分之一的半径为2的圆面积，即S ＝12³π³22＝2π.10．k ≤2 [解析] 依题意，不等式x2－kx ＋k －1>0对x ∈(1，2)恒成立，则x2－1>k(x －1)对x ∈(1，2)恒成立，所以k<x ＋1对x ∈(1，2)恒成立，即k≤1＋1＝2.11．2 [解析] d ＝1＝|ab|a2＋b2，ab ＝a2＋b2≥2ab ，所以ab ≥2，即ab≥2.12．2＋22 [解析] 画出不等式组表示的平面区域，当t 最小时，所表示的区域为第一象限的一个等腰直角三角形．依题意，它有一个半径为1的内切圆，不妨设斜边|OB|＝t ，则两直角边长|AB|＝|OA|＝22t ，所以22t ＋22t －t2＝1，求得t ＝22－1＝22＋2，即 tmin ＝2＋2 2.专题限时集训(五)【基础演练】1．C [解析] 将点(2，3)分别代入曲线y ＝x3＋ax ＋1和直线y ＝kx ＋b ，得a ＝－3，2k ＋b＝3.又k ＝y′|x ＝2＝(3x2－3)|x ＝2＝9，所以b ＝3－2k ＝3－18＝－15.故选C.2．C [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝3x2＋2x ＋m ，因为f(x)是R 上的单调函数，二次项系数a ＝3>0，所以Δ＝4－12m≤0，解得m≥13.3．C [解析] 对f(x)求导得f ′(x)＝3x2－6x ＝3x(x －2)，则f(x)在区间[－1，0]上递增，在区间[0，1]上递减，因此函数f(x)的最大值为f(0)＝2.故选C. 4．A [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝x2＋c ＋(x －2)·2x.又因为f′(2)＝0，所以4＋c ＋(2－2)×4＝0，所以c ＝－4.于是f′(1)＝1－4＋(1－2)×2＝－5.故选A. 【提升训练】5．D [解析] ∵s(t)＝t2＋3t ，∴s′(t)＝2t －3t2，则机器人在t ＝2时的瞬时速度为s ′(2)＝2×2－322＝134(m/s)．故选D. 6．B [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝2ax ，因为f(x)在区间(－∞，0)内是减函数，则f ′(x)<0，求得a>0，且此时b ∈R.故选B.7．A [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝3x2－3≥－3， ∴f(x)上任意一点P 处的切线的斜率k≥－3，即tan α≥－3，∴0≤α<π2或2π3≤α<π.8．D [解析] 由于AB 的长度为定值，只要考虑点C 到直线AB 的距离的变化趋势即可．当x在区间[0，a]变化时，点C 到直线AB 的距离先是递增，然后递减，再递增，再递减，S′(x)的图象先是在x 轴上方，再到x 轴下方，再回到x 轴上方，再到x 轴下方，并且函数在直线AB 与函数图象的交点处间断，在这个间断点函数性质发生突然变化，所以选项D 中的图象符合要求．9．C [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝3mx2＋2nx.依题意⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝－m ＋n ＝2，①f′（－1）＝3m －2n ＝－3，②解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，所以f′(x)＝3x2＋6x ＝3x(x ＋2)．由此可知f(x)在[－2，0]上递减，又已知f(x)在[t ，t ＋1]上递减，所以[－2，0]⊇[t ，t ＋1]，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≥－2，t ＋1≤0，解得－2≤t≤－1.故选C.10．(1，e) [解析] 设切点坐标为(x0，y0)，对f(x)＝ex 求导，得f ′(x)＝ex ，所以f′(x 0)＝ex0＝e ，即x0＝1.又y0＝f(x0)＝ex0＝e ，所以切点坐标为(1，e)．11．－13 [解析] 对f(x)求导，得f ′(x)＝－3x2＋2ax ，由函数在x ＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a ＝3.于是f(x)＝－x3＋3x2－4，f ′(x)＝－3x2＋6x ，由此可得f(x)在[－1，0)上单调递减，在(0，1]上单调递增，∴当m ∈[－1，1]时，f(m)min ＝f(0)＝－4.又∵f ′(x)＝－3x2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1，1]时，f′(n)min ＝f(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.12．－2，23[解析] ∵f ′(x)＝3x2＋1>0恒成立，∴f(x)是R 上的增函数．又f(－x)＝－f(x)，∴y ＝f(x)是奇函数．由f(mx －2)＋f(x)<0得f(mx －2)<－f(x)＝f(－x)，∴mx －2<－x ，即mx－2＋x<0在m ∈[－2，2]上恒成立．记g(m)＝xm －2＋x ，则⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）<0，g （2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2＋x<0，2x －2＋x<0，求得－2<x<2313．解：(1)f′(x)＝1k (x2－k2)e xk>0，当k>0时，f(x)的增区间为(－∞，－k)和(k ，＋∞)，f(x)的减区间为(－k ，k)，当k<0时，f(x)的增区间为(k ，－k)，f(x)的减区间为(－∞，k)和(－k ，＋∞)． (2)当k>0时，f(k ＋1)＝e k ＋1k >1e ，所以不会有∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e .当k<0时，由(1)有f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝4k2e ，所以∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e f(－k)＝4k2e ≤1e⇒－12≤k<0.综上，k 的范围为－12，0.14．解：(1)令f ′(x)＝1x －ax2＝0，得x ＝a.当a≥e 时，函数f(x)在区间(0，e]是减函数，f(x)min ＝ae；当0<a<e 时，函数f(x)在区间(0，a]是减函数，[a ，e]是增函数f(x)min ＝lna. 综上所述，当0<a<e 时，f(x)min ＝lna ；当a≥e 时，f(x)min ＝ae .(2)由(1)可知，a ＝1时，函数f(x)在x1∈(0，e)的最小值为0， 所以g(x)＝(x －b)2＋4－b2.当b≤1时，g(1)＝5－2b<0不成立； 当b≥3时，g(3)＝13－6b<0恒成立；当1<b<3时，g(b)＝4－b2<0，此时2<b<3.综上可知，满足条件的实数b 的取值范围为{b|b>2}． 15．解：(1)∵f(x)＝a x ＋lnx(a>0)，∴f′(x)＝－a x2＋1x ＝x －ax2.若0<a<e ，当x ∈(0，a)时f′(x)<0，函数f(x)在(0，a]上单调递减，当x ∈(a ，e]时f′(x)>0，函数f(x)在(a ，e]上单调递增， 若a≥e ，则f′(x)<0，函数f(x)在(0，e]上单调递减．(2)g(x)＝x3－a 2x2＋x2f ′(x)＝x3－a2x2＋x －a ，g′(x)＝3x2－ax ＋1.方法一：函数g(x)＝x3－a 2x2＋x2f ′(x)在区间⎝⎛⎭⎫12，3上存在极值，等价为关于x 的方程3x2－ax ＋1＝0在⎝⎛⎭⎫12，3上有变号实根，∵a ＝3x2＋1x，又a ＝3x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，33上单调递减，在⎝⎛⎭⎫333上单调递增，∴23≤a<283，当a ＝23时，g′(x)＝(3－1)2≥0，不存在极值， ∴23<a<283.专题限时集训(六)A 【基础演练】1．B [解析] 方法1：sin15°＋cos165°＝sin15°－cos15°＝2sin15°²cos45°－cos15°sin45°＝2sin(－30°)＝－22. 方法2：显然sin15°－cos15°<0，(sin15°－cos15°)2＝1－sin30°＝12，故sin15°－cos15°＝－22. 2．C [解析] 因为1－sin2x ＝（sinx －cosx ）2＝|sinx －cosx|，又1－sin2x ＝sinx －cosx ，所以|sinx －cosx|＝sinx －cosx ，则sinx －cosx ≥0，即sinx ≥cosx.又0≤x<2π，所以π4≤x ≤5π4. 3．D [解析] 由cos(x ＋y)sinx －sin(x ＋y)cosx ＝1213得sin[x －(x ＋y)]＝－siny ＝1213，所以siny ＝－1213.又y 是第四象限的角，所以cosy ＝513，于是tan y 2＝1－cosy siny ＝1－513－1213＝－23.故选D.4．－π6[解析] 由正弦函数的性质知，正弦函数图象的对称中心是其与x 轴的交点，∴y ＝2sin2x0＋π3＝0，又x0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴x0＝－π6.故填－π6. 【提升训练】5．A [解析] 由sin θ＋cos θ＝2，得θ＝2k π＋π4，所以tan θ＋π3＝tan π4＋π3＝1＋31－3＝－2－ 3.故选A.6．C [解析] 周期T ＝2πω＝5π6－－π6＝π，解得ω＝2，令2×－π6＋φ＝0，得φ＝π3.故选C.7．C [解析] f(x)＝sinx ²⎝⎛⎭⎫12sinx －32cosx ＝12－32sinxcosx ＝1－cos2x 4－3sin2x 4 ＝14－12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，最小正周期为π. 8．B [解析] 依题意得f(x)＝sinx ＋3cosx ＝2sinx ＋π3f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π6上单调递增，所以f π7<f π6，而c ＝f π3＝2sin 2π3＝2sin π3f(0)<f π7，所以c<a<b.9．B [解析] 因为f(x)＝sinx ＋acosx 的图象的一条对称轴直线是x ＝5π3，所以⎪⎪⎪⎪sin 5π3＋acos 5π3＝1＋a2，所以⎪⎪⎪⎪－32＋12＝1＋a2，即34a2＋32a ＋14＝0，求得a ＝－33.于是g(x)max ＝1＋a2＝1＋13＝233.故选B.10.13 [解析] 依题意由sin(x ＋y)＝1得x ＋y ＝2k π＋π2(k ∈Z)，所以y ＝2k π＋π2－x(k ∈Z)．于是sin(2y ＋x)＝sin ⎣⎡⎦⎤2k π＋π2＋y ＝sin π2＋y ＝cosy ＝cos2k π＋π2－x ＝cos π2－x ＝sinx ＝13.故填13.11.74[解析] 依题意，将函数y ＝sin ωx ＋5π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是y ＝sin ωx ＋5π6－π3ω(ω>0)，它的图象与函数y ＝sin ωx ＋π4的图象重合，所以5π6－π3ω＝π4＋2k π(k ∈Z)，解得ω＝74－6k(k ∈Z)，因为ω>0，所以ωmin ＝74.故填74.12．③④ [解析] 对f(x)＝cosxsinx ＝12sin2x ，画出函数的图象，分析知③④是正确的．故填③④.13．解：(1)因为f(x)＝32sin2x －12cos2x ＝sin2x －π6， 故f(x)的最小正周期为π. (2)当x ∈0，π2时，2x －π6∈－π6，5π6，所以f(x)∈－12，1，于是函数f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为－12，1.14．解：(1)依题意，得f(x)＝2sinxcos π6＋cosx ＋a ＝3sinx ＋cosx ＋a ＝2sinx ＋π6＋a. 所以函数f(x)的最小正周期T ＝2π. (2)因为x ∈－π2，π2，所以－π3≤x ＋π6≤2π3. 所以当x ＋π6＝－π3，即x ＝－π2时，f(x)min ＝f －π2＝－3＋a ； 当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，f(x)max ＝f π3＝2＋a. 由题意，有(－3＋a)＋(2＋a)＝3，解得a ＝3－1.15．解：(1)∵函数f(x)的最小正周期T ＝2πω＝π(ω>0)，∴ω＝2.∵fπ4＝cos2³π4＋φ＝cos π2φ＝－sin φ＝32，且－π2<φ<0，∴φ＝－π3. (2)由(1)知f(x)＝cos2x －π3，列表如下：(3)∵f(x)>22，即cos2x －π3>22， 得2k π－π4<2x －π3<2k π＋π4，k ∈Z ，即2k π＋π12<2x<2k π＋712π，k ∈Z ，即k π＋π24<x<k π＋724π，k ∈Z. ∴所求x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π24<x<k π＋724π，k ∈Z . 专题限时集训(六)B 【基础演练】1．B [解析] 因为sin α＝35α是第二象限的角，所以tan α＝－34.又因为tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，所以－34＋tan β1＋34β＝1，求得tan β＝7.故选B.2．D [解析] 因为y ＝sinx －cosx ＝2sinx －π4，令－π2≤x －π4≤π2，得－π4≤x ≤3π4，满足题意，所以f(x)可以是－cosx.3．B [解析] 依题意得点P 到坐标原点的距离为sin240°＋（1＋cos40°）2＝2＋2cos40°＝2＋2（2cos220°－1）＝2cos20°.由三角函数的定义可得cos α＝sin40°2cos20°＝2sin20°cos20°2cos20°＝sin20°＝cos70°，因为点P 在第一象限，且角α为锐角，所以α＝70°.故选B.4．B [解析] 由已知得y ＝cos2x －π4＝cos π2－2x ＝sin2x ，因此函数y ＝1－2sin2x －π4是最小正周期为π的奇函数．故选B. 【提升训练】5．A [解析] 依题意得cos θ＝±35.又因为sin θ－cos θ>1，所以cos θ＝－35，于是sin2θ＝2sin θcos θ＝2×45³－35＝－2425.6．D [解析] 平移后得到的函数图象的解析式是f(x)＝Acosx ²sin ωx ＋π6ω＋π6，这个函数是奇函数，由于y ＝cosx 是偶函数，故只要使得函数y ＝sin ωx ＋π6ω＋π6是奇函数即可，根据诱导公式和正弦函数性质，则只要π6ω＋π6k π(k ∈Z)即可，即ω＝6k －1(k ∈Z)，所以ω的可能值为5.7．B [解析] 设(x ，y)为g(x)的图象上任意一点，则其关于点π4，0对称的点为π2－x ，－y ，由题意知该点必在f(x)的图象上，所以－y ＝sin π2－x ，即g(x)＝－sin π2－x ＝－cosx.依题意得sinx ≤－cosx ，即sinx ＋cosx ＝2sinx ＋π4≤0.又x ∈[0，2π]，解得3π4≤x ≤7π4.故选B. 8．A [解析] 依题意，得f(x)＝sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＝2sin ωx ＋φ＋π4，由T ＝2πω＝π(ω>0)，得ω＝2.又f(－x)＝f(x)，所以φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π4(k ∈Z)．又|φ|<π2，所以φ＝π4.于是f(x)＝2cos2x ，它在0，π2上单调递减． 9．A [解析] 作出点P 在x 轴上的投影C ，因为函数周期为T ＝2ππ＝2，则|AC|＝14T ＝12，|PC|＝1.在Rt △APC 中，tan ∠APC ＝|AC||PC|＝12，同理tan ∠BPC ＝|BC||PC|＝32，所以tan ∠APB ＝tan(∠APC ＋∠BPC)＝12＋321－12×32＝8.故选A.10.13 [解析] 因为cos θ＝－35，且θ是第三象限角，所以sin θ＝－45.于是cos θsin θ－1＝－35－45－1＝13.故填13.11.36565 [解析] 由已知sin (α－β)＝513，cos (α＋β)＝－45，所以sin2α＝sin [(α＋β)＋(α－β)]＝sin (α＋β)cos(α－β)＋cos (α＋β)·sin (α－β)＝－35³1213＋－45³513＝－5665.则(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α＝1－5665＝965，当π2<α<3π4时，sin α＋cos α>0，即sin α＋cos α＝36565.12．①②③⑤ [解析] 由题意得f(x)＝m2＋n2sin(x ＋φ)其中tan φ＝nm .因为f π4是它的最大值，所以π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，φ＝2k π＋π4(k ∈Z)．所以f(x)＝m2＋n2sinx ＋2k π＋π4＝m2＋n2sinx ＋π4，且tan φ＝n m ＝tan2k π＋π4＝1，即nm ＝1，故f(x)＝2|m|sinx ＋π4. ①fx ＋π4＝2|m|sinx ＋π4＋π4＝2|m|cosx 为偶函数，所以①正确； ②当x ＝7π4时，f 7π4＝2|m|sin 7π4＋π4＝2|m|sin2π＝0，所以函数f(x)的图象关于点7π4，0对称，②正确；③f －3π4＝2|m|sin π4－3π4＝－2|m|sin π2＝－2|m|，f(x)取得最小值，所以③正确；④根据f(x)＝2|m|sinx ＋π4可得其最小正周期为2π，由题意可得P2与P4相差一个周期2π，即|P2P4|＝2π，所以④错误； ⑤由n m ＝1知，mn ＝1成立，所以⑤正确．故填①②③⑤.13．解：(1)∵f(x)＝2cosxcosx ＋sin2x －cos2x ＝sin2x ＋1， ∴f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin π4＋1＝22＋1. (2)f(ωx)＝sin2ωx ＋1，由2k π－π2≤2ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k πω－π4ω≤x ≤k πω＋π4ω，k ∈Z ， ∵y ＝f(ωx)在⎣⎡⎦⎤－π3，π4上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω≤－π3，π4ω≥π4，得⎩⎪⎨⎪⎧ω≤34，ω≤1，又ω>0，故0<ω≤34.14．解：(1)f(x)＝2sin2⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＋2cos2ωx ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π2＋1＋cos2ωx＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2， ∵函数f(x)的图象上两个相邻的最低点之间的距离为2π3，∴f(x)的最小正周期为2π3，∴2π2ω＝2π3(ω>0)，∴ω的值为32，∴函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＋2， ∴函数f(x)的最大值为2＋2，此时3x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝2k π3＋π12(k ∈Z)． (2)y ＝f(x)的图象向右平移π8个单位长度得h(x)＝2sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π8＋π4＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π8＋2，再沿y 轴对称后得到g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－3x －π8＋2＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π8＋2，函数g(x)的单调减区间，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π8单调递增区间． 由2k π－π2≤3x ＋π8≤2k π＋π2，解得23k π－5π24≤x ≤23k π＋π8(k ∈Z)．故y ＝g(x)的单调减区间为⎣⎡⎦⎤23π＋5π24，23k π＋π8(k ∈Z)．15．解：(1)f(x)＝2sinx ＋π3cosx ＋π3－23cos2x ＋π3＝sin2x ＋2π3－3⎣⎡⎦⎤cos2x ＋2π3＋1＝sin2x ＋2π3－3cos2x ＋2π3－ 3 ＝2sin2x ＋π3－ 3. ∵－1≤sin2x ＋π3≤1， ∴－2－3≤2sin2x ＋π3－3≤2－3， 又T ＝2π2＝π，即f(x)的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，23π，∴sin2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤32，1， 此时f(x)＋3＝2sin2x ＋π3∈[3，2]．由m[f(x)＋3]＋2＝0知，m≠0，且f(x)＋3＝－2m，∴3≤－2m ≤2，即⎩⎨⎧2m ＋3≤0，2m ＋2≥0，解得－233≤m ≤－1.即实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－233，－1.专题限时集训(七) 【基础演练】 1．A [解析] ∵a2＋c2－b22ac ＝cosB ＝32，又0<B<π，∴B ＝π6.2．A [解析] 根据正弦定理得，2sin45°＝2sinC，所以sinC ＝12，因为C ∈(0，π)，所以C ＝30°或150°.又因为A ＝45°，且AB<BC ，所以C ＝30°.3．D [解析] 根据三角形面积公式和正弦定理S ＝12absinC ＝122RsinA ²2RsinB ²sinC ＝2R2sinAsinBsinC ，将R ＝1和S ＝1代入得，sinAsinBsinC ＝12.4．D [解析] 设电视塔的高度为x ，则BC ＝x ，BD ＝3x.在△BCD 中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40xcos120°，即x2－20x －800＝0，解得x ＝－20(舍去)，或者x ＝40.故电视塔的高度为40 m. 【提升训练】5．D [解析] 根据余弦定理得b ＝32＋82－2×3×8cos60°＝7，根据正弦定理3sinA＝7sin60°，解得sinA ＝3314.6．C [解析] 由正弦定理得AB sinC ＝BCsinA，所以a ＝2sinA.而C ＝60°，所以0°<∠CAB<120°.又因为△ABC 有两个，所以asin60°<3<a ，即3<a<2. 7．B [解析] 由题意得b2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理得cosB ＝a2＋c2－b22ac ＝a2＋4a2－a×2a2a×2a＝34. 8．B [解析] b －12c ＝acosC ＝a a2＋b2－c22ab ＝a2＋b2－c22b ⇒b2＋c2－a2＝bc ，则cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝12，A ＝π3.9．－14 [解析] 由正弦定理a sinA ＝b sinB ＝c sinC a ∶b ∶c ＝sinA ∶sinB ∶sinC ＝2∶3∶4，由此设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k(k>0)．由余弦定理可得，cosC ＝a2＋b2－c22ab＝（2k ）2＋（3k ）2－（4k ）22³2k ³3k＝－14.10.6－1 [解析] 由题意可得，∠ACB ＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设BC ＝x ，则由余弦定理可得，AB2＝BC2＋AC2－2BC×ACcos120°，即32＝x2＋22－2×2xcos120°，整理得x2＋2x ＝5，解得x ＝6－1或x ＝－6－1(舍去)．故填6－1.11.233 [解析] 由△BCD 的面积为1，可得12³CD ³BC ³sin ∠DCB ＝1，即sin ∠DCB ＝55，所以cos ∠DCB ＝255.在△BCD 中，由余弦定理可知，cos ∠DCB ＝CD2＋BC2－BD22CD ³BC＝255，解得BD ＝2，所以cos ∠DBC ＝BD2＋BC2－CD22BD ³BC＝31010.由在△BCD 中，∠DBC 对应的边长最短，所以∠DBC 为锐角，所以sin ∠DBC ＝1010.在△ABC 中，由正弦定理BC sinA ＝AC sinB可得，AC ＝BC ²sinB sinA＝10³101032＝233. 12．解：(1)依题意，由正弦定理得sinCsinA ＝sinAcosC ， 在△ABC 中，因为sinA ≠0，所以sinC ＝cosC ，得C ＝π4(2)3sinA －cosB ＋π4＝3sinA －cos ⎣⎡π－（A ＋C ）＋π4＝3sinA －cos(π－A)＝3sinA ＋cosA ＝2sinA ＋π6. 因为A ∈0，3π4，所以A ＋π6∈π6，11π12， 于是，当sinA ＋π6＝1，A ＋π6＝π2，A ＝π3时， 3sinA －cosB ＋π4取得最大值2，此时B ＝5π12. 13．解：(1)∵(2b －3c)cosA ＝3acosC ，∴(2sinB －3sinC)cosA ＝3sinAcosC ， 即2sinBcosA ＝3sinAcosC ＋3sinCcosA ， ∴2sinBcosA ＝3sinB. ∵sinB ≠0，∴cosA ＝32， ∵0<A<π，∴A ＝π6. (2)由(1)知A ＝B ＝π6，所以AC ＝BC ，C ＝2π3，设AC ＝x ，则MC ＝12x.又AM ＝7，在△AMC 中，由余弦定理得 AC2＋MC2－2AC·MCcosC ＝AM2，即x2＋x 22－2x·x2²cos120°＝(7)2，解得x ＝2，故S △ABC ＝12x2sin 2π3＝ 3.14．解：(1)由已知点F(0，1)是线段MD 的中点．知A ＝2. S △DMN ＝12S △CDM ＝12MN ²A ＝T ²A 4＝π3，∴T ＝2π3，ω＝3. ∴f(x)＝2sin(3x ＋φ)．又由已知得点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－π12，0. ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－φ＝0，0<φ<π2，∴φ＝π4，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(2)证明：法一：在△CDM 中，由已知得tan α＝3tan β.即sin αcos β＝3cos αsin β，在△DMC 中，由正弦定理DM sinC ＝DCsin ∠DMC ，∴sinC ＝DM ²sin ∠DMC DC ＝12sin ∠DMC ，∴sinC ＝12sin ∠DMC ＝12sin (α＋β)＝12sin αcos β＋12cos αsin β＝2cos αsin β，∴sinC ＝2cos αsin β.法二：由题意，在△MNC 中，由正弦定理得MN sinC ＝NCsin β， 即sinC ＝MNNCsin β， 在△MND 中，cos α＝12MN MD ，也就是MNNC ＝2cos α，∴sinC ＝2cos αsin β.专题限时集训(八)【基础演练】1．C [解析] 依题意，由a ⊥b 得a·b ＝0，即3x ＋3＝0，解得x ＝－1.故选C. 2．B [解析] 依题意，得a·b ＝|a||b|cos30°＝2sin75°²4cos75°³32＝23sin150°＝ 3.故选B.3．A [解析] 由a ∥b 得2x ＝－4，∴x ＝－2，于是a·b ＝(1，2)·(－2，－4)＝－10.故选A. 4．D [解析] 由a·(a ＋b)＝0得a·a ＋a·b ＝0，即|a|2＋|a|·|b|cos 〈a ，b 〉＝0，将已知数据代入解得，cos 〈a ，b 〉＝－12，所以〈a ，b 〉＝120°.故选D.【提升训练】5．C [解析] 依题意a 在b 方向上的投影为|a|cos 〈a ，b 〉＝2cosπ3＝22.故选C. 6．C [解析] 因为∠C ＝60°，CA ＝2，CB ＝1，所以∠B ＝90°，以B 为原点，BC 为x 轴建立直角坐标系，C(1，0)，A(0，3)，M(0，23)，CM →²CA →＝(－1，23)·(－1，3)＝7.7．A [解析] 由题设知p·q ＝sinAsinB －cosAcosB ＝－cos(A ＋B)＝cosC.又△ABC 是锐角三角形，所以cosC>0，即p·q>0，所以p 与q 的夹角为锐角．故选A.8．C [解析] 取BC 边中点M ，由2OA →＋AB →＋AC →＝0，可得2AO →＝AB →＋AC →＝2AM →，则点M 与点O 重合．又由|OB →|＝|OC →|＝|OA →|＝|AB →|＝1，可得|AC|＝|BC|sin60°＝2×32＝3，则CA →²CB →＝|CA →|²|CB →|cosC ＝|CA →|2＝3.9．B [解析] 因为点G 是△ABC 的重心，所以AG →＝23³12(AB →＋AC →)＝13AB →＋13AC →.当点P 在线段BC 上运动时，λ＋μ＝1；当点P 在线段GB 、GC 上运动时，λ＋μ的最小值为23.又因为点P 是△GBC 内一点，所以23λ＋μ<1.故选B.10.324 [解析] 因为a ∥b ，所以12³1＝sinx ²cosx ，即sin2x ＝1.又因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＝π2，即x ＝π4.于是a·b ＝12sinx ＋cosx ＝12sin π4＋cos π4＝12³22＋22＝324. 11．8 [解析] 依题意得OA →2＝OB →2＝OC →2，由于AC →2＝(OC →－OA →)2＝OC →2＋OA →2－2OC →²OA →，所以OC →²OA →＝12(OC →2＋OA →2－AC →2)，同理OA →²OB →＝12(OA →2＋OB →2－AB →2)，所以AO →²BC →＝－OA →²(OC →－OB →)＝－OA →²OC →＋OA →²OB →＝－12(OA →2＋OC →2－AC →2)＋12(OA →2＋OB →2－AB →2)＝12(AC →2－AB →2)＝12(52－32)＝8. 12．1 [解析] 依题意，得|a|＝1，又△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则OA →⊥OB →，|OA →|＝|OB →|，则(a －b)·(a ＋b)＝|a|2－|b|2＝0，即|a|＝|b|.又|OA →|＝|OB →|，故|a －b|＝|a ＋b|，得a·b ＝0，则|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，所以|OA →|＝|OB →|＝ 2.于是S △AOB ＝12³2³2＝1.13．解：(1)由a·b ＝0得(sinB ＋cosB)sinC ＋cosC(sinB －cosB)＝0， 化简得sin(B ＋C)－cos(B ＋C)＝0， 即sinA ＋cosA ＝0，∴tanA ＝－1. 而A ∈(0，π)，∴A ＝34π.(2)∵a·b ＝－15，即sin(B ＋C)－cos(B ＋C)＝－15，sinA ＋cosA ＝－15.①对①平方得2sinAcosA ＝－2425∵－2425<0，∴A ∈π2，π，∴sinA －cosA ＝1－2sinAcosA ＝75.② 联立①②得sinA ＝35，cosA ＝－45，∴tanA ＝－34，于是，tan2A ＝2tanA 1－tan2A＝2³－341－－342＝－247.14．解：(1)∵f(x)＝32sin πx ＋12cos πx ＝sin πx ＋π6∵x ∈R ，∴－1≤sin πx ＋π6≤1， ∴函数f(x)的最大值和最小值分别为1，－1.(2)解法1：令f(x)＝sin πx ＋π6＝0得πx ＋π6＝k π，k ∈Z ，∵x ∈[－1，1]，∴x ＝－16或x ＝56，∴M －16，0，N 56，0，由sin πx ＋π6＝1，且x ∈[－1，1]得x ＝13，∴P 13，1， ∴PM →＝－12，－1，PN →＝12，－1，∴cos 〈PM →，PN →〉＝PM →²PN →|PM →|²|PN →|＝35.解法2：过点P 作PA ⊥x 轴于A ，则|PA|＝1， 由三角函数的性质知|MN|＝12T ＝1，|PM|＝|PN|＝12＋122＝52，由余弦定理得cos 〈PM →，PN →〉＝|PM|2＋|PN|2－|MN|22|PM|²|PN|＝54×2－12×54＝35.解法3：过点P 作PA ⊥x 轴于A ，则|PA|＝1， 由三角函数的性质知|MN|＝12T ＝1，|PM|＝|PN|＝12＋122＝52，在Rt △PAM 中，cos ∠MPA ＝|PA||PM|＝152＝255. ∵PA 平分∠MPN ，∴cos ∠MPN ＝cos2∠MPA ＝2cos2∠MPA －1＝2×2552－1＝35.。
2013高考数学(理)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(二十五)A(湖南省专用)
专题限时集训(二十五)A[第25讲 坐标系与参数方程、不等式选讲](时间：30分钟)1．直线l1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)与直线l2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋scos α，y ＝ssin α(s 为参数)平行，则直线l2的斜率为________．2．已知x ＋2y ＋3z ＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为________．3．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是________．4．若不等式|x －2|＋|x ＋1|≥a 对于任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为________．5．以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，Ox 轴的正半轴为极轴，则直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4sin α(α为参数)截得的弦长为________．6．设函数f(x)＝lg(|x ＋3|－|x －7|)，若不等式f(x)>m 有解，则m 的取值范围是________．7．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝0.则圆C 截直线l 所得的弦长为________．8．函数f(x)＝3x ＋3（1－x ）的最大值为________．9．在极坐标系中，圆C1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋acos θ，y ＝－1＋asin θ(θ为参数)，若圆C1与圆C2外切，则实数a ＝________．专题限时集训(二十五)A【基础演练】1.12[解析] 将直线l1的参数方程化为直角坐标方程为x －2y ＋3＝0，直线l2的参数方程化为直角坐标方程为y ＝tan α(x －2)，因l1，l2平行，故k2＝k1＝12. 2.114[解析] 由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋33)≥(x ＋2y ＋3z)2，即x2＋y2＋z2≥114. 3.3－34 [解析] 由题，三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通直角坐标方程为y ＝0，y ＝3x ，x ＋y －1＝0，可得交点坐标分别为(0，0)，(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1，33＋1，画出图象可知围成的三角形面积为S ＝12×1×33＋1＝3－34. 4．a ≤3 [解析] 因|x －2|＋|x ＋1|≥|x －2－x －1|＝3，即(|x －2|＋|x ＋1|)min ＝3，所以a≤3.【提升训练】5．43 [解析] ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2得直线方程为x ＋y ＝22， 又圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4sin α(α为参数)的方程为x2＋y2＝16， 则圆心(0，0)到直线x ＋y ＝22的距离d ＝222＝2，从而弦长l ＝242－22＝43，故填4 3.6．(－∞，1) [解析] 不等式f(x)>m 有解⇔f(x)max>m ，由0<|x ＋3|－|x －7|≤|(x ＋3)－(x －7)|＝10，得f(x)max ＝1，所以m<1.7．42 [解析] 由题，圆C ：⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)可化为(x －3)2＋(y －1)2＝9，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝0可化为3x －y ＝0，则圆心到直线的距离为d ＝|3×3－1|2＝1，故圆C 截直线l 所得的弦长为232－1＝4 2.8.6 [解析] 3x ＋3（1－x ）＝3x ＋3－3x ，由柯西不等式得：(3x ＋3－3x)2≤(12＋12)[(3x)2＋(3－3x)2]＝6，∴3x ＋3－3x ≤ 6.9．±2 [解析] 圆C1的方程化为x2＋y2－4x －4y ＝0，其圆心C1(2，2)，半径r1＝22，圆C2的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a2，其圆心C2(－1，－1)，半径r2＝|a|，因为两圆外切，所以|a|＋22＝|C1C2|＝32，所以a ＝±2.。
2013届高考数学(浙江专用)冲刺必备：第二部分 专题二 第二讲 冲刺直击高考含答案
限时：50分钟 满分:78分一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分）1．(2012·广州模拟）已知sin 2α＝－错误!，α∈错误!,则sin α＋cos α＝( )A ．－错误! B.错误! C ．－错误! D 。
错误! 解析：选B ∵α∈⎝ ⎛）－π40，∴cos α〉0〉sin α且cos α〉｜sin α｜，则sin α＋cos α＝错误!＝ 错误!＝错误!。
2．若sin 错误!＝错误!，则cos 错误!等于( ）A.错误! B ．－错误! C.错误! D ．－错误!解析:选D 据已知可得cos 错误!＝sin 2α＝－cos 2错误!＝－错误!＝－错误!。
3．(2012·福州模拟)在△ABC 中，角A ，B ,C 所对的边分别为a ,b ，c ,若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C 等于( )A 。
错误! B.错误! C.错误! D.错误!解析：选B 依题意得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝5，又错误!＝错误!，所以sin C ＝错误!＝错误!＝错误!。
4．已知tan θ>1，且sin θ＋cos θ〈0，则cos θ的取值范围是（) A。
错误! B.错误!C.错误!D。
错误!解析：选A 依题意，结合三角函数图像进行分析可知，2kπ＋错误!〈θ<2kπ＋错误!，k∈Z，因此－错误!〈cos θ<0。
5．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,若错误!<cos A，则△ABC为( ）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形解析：选A 依题意得错误!〈cos A，sin C<sin B cos A，所以sin(A ＋B)<sin B cos A,即sin B cos A＋cos B sin A－sin B cos A〈0，所以cos B sin A<0.又sin A>0,于是有cos B〈0，B为钝角,△ABC是钝角三角形．6．若α∈错误!，且sin2α＋cos 2α＝错误!，则tan α的值等于( )A.错误!B。
2013高考数学(理)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(十)(浙江省专用)
专题限时集训(十)[第10讲 数列求和及数列的简单应用](时间：45分钟)1．设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，a2，a4是方程x2－x －2＝0的两个根，S5＝( ) A.52B ．5C ．－52D ．－52．已知数列{an}为等差数列，Sn 是它的前n 项和．若a1＝2，S3＝12，则S4＝( ) A ．10 B ．16 C ．20 D ．243．等差数列{an}中，若a7a5＝913，则S13S9＝( ) A.913 B.139C ．1D ．2 4．数列{an}的前n 项和为Sn ，若an ＝1n n ＋2，则S10等于( )A.1112B.1124C.173132D.1752645．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若OA →＝a1OB →＋a2010OC →且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O)，则S2010＝( ) A ．1 005 B ．1 006 C ．2 010 D ．2 0116．在等差数列{an}中，a9＝12a12＋6，则数列{an}的前11项和S11等于( )A ．24B ．48C ．66D ．1327．某钢厂的年产量由1993年的40万吨增加到2003年的50万吨，如果按照这样的年增长率计算，则该钢厂2013年的年产量约为( ) A ．60万吨 B ．61万吨 C ．63万吨 D ．64万吨8．甲、乙两间工厂的月产值在2012年元月份时相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2012年11月份发现两间工厂的月产值又相同．比较甲、乙两间工厂2012年6月份的月产值大小，则有( ) A ．甲的产值小于乙的产值 B ．甲的产值等于乙的产值 C ．甲的产值大于乙的产值D ．不能确定 9．已知数列{an}的通项公式为an ＝|n －13|，那么满足ak ＋ak ＋1＋…＋ak ＋19＝102的整数k( )A ．有3个B ．有2个C ．有1个D ．不存在10．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an ＋2＝⎝⎛⎭⎫1＋cos2n π2an ＋sin2n π2，则该数列的前20项的和为________．11．已知数列{an}满足a1＝23，且对任意的正整数m ，n 都有am ＋n ＝am·an ，若数列{an}的前n 项和为Sn ，则Sn ＝________.12．等差数列{an}的各项为正，其前n 项和为Sn ，且S3＝9，又a1＋2，a2＋3，a3＋7成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：当n ≥2时，1a21＋1a22＋…＋1a2n <54.13．已知数列{an}满足：Sn ＝1－an(n ∈N*)，其中Sn 为数列{an}的前n 项和． (1)试求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn ＝nan (n ∈N*)，求{bn}的前n 项和Tn.14．已知数列{an}，{bn}满足：a1＝92，2an ＋1－an ＝6·2n ，bn ＝an －2n ＋1(n ∈N*)． (1)求证：数列{bn}为等比数列，并求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记数列{an}，{bn}的前n 项和分别为Sn ，Tn ，若对任意的n ∈N*都有Sn Tn ≤mbn ，求实数m 的最小值．专题限时集训(十) 【基础演练】1．A [解析] a2，a4是方程x2－x －2＝0的两个根，a2＋a4＝1，S5＝a 1＋a5×52＝a 2＋a4×52＝52. 2．C [解析] 设公差为d ，则3a1＋3d ＝12，解得d ＝2.所以S4＝4×2＋4×32×2＝20. 3．C [解析] S13S9＝13a 1＋a1329a 1＋a92＝139×a7a5＝139×913＝1.4．D [解析] an ＝1n n ＋2＝121n －1n ＋2， 所以S10＝a1＋a2＋…＋a10＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋…＋110－112＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－111－112＝175264，选D. 【提升训练】5．A [解析] 根据平面向量知识，a1＋a2 010＝1，所以S2 010＝2 010a 1＋a2 0102＝1 005.6．D [解析] 设公差为d ，则a1＋8d ＝12a1＋112d ＋6，即a1＋5d ＝12，即a6＝12，所以S11＝11a6＝132.7．C [解析] 10年为一段，则1993,2003,2013年的年产量成等比数列，故2013年的年产量为50×5040＝62.5≈63.8．C [解析] 设甲各个月份的产值为数列{an}，乙各个月份的产值为数列{bn}，则数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，且a1＝b1，a11＝b11，故a6＝a1＋a112≥a1a11＝b1b11＝b26＝b6，由于在等差数列{an}中的公差不等于0，故a1≠a11，上面的等号不能成立，故a6>b6.9．B [解析] 如果k ≥13，则ak ＋ak ＋1＋…＋ak ＋19≥0＋1＋…＋19＝190>102，故k<13.设k ＋i ＝13,0<i<20，则ak ＋ak ＋1＋…＋ak ＋19＝i ＋(i －1)＋…＋2＋1＋0＋1＋2＋…＋(19－i)＝i i ＋12＋19－i 20－i 2＝102，即i2－19i ＋88＝0，解得i ＝8或i ＝11，此时k ＝5或k ＝2，即只有两个整数k 满足等式ak ＋ak ＋1＋…＋ak ＋19＝102.10．2 101 [解析] 当n 为奇数时，an ＋2＝an ＋1，故奇数项是首项为1，公差为1的等差数列，其前10项之和等于1×10＋10×92＝55；当n 为偶数时，an ＋2＝2an ，故偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，其前10项之和为21－2101－2＝211－2＝2 046. 所以，数列{an}的前20项之和为55＋2 046＝2 101.11．2－2n ＋13n [解析] 对m ＝1等式am ＋n ＝am·an 也成立，即an ＋1＝23an ，所以数列{an}是首项为23，公比为23的等比数列，所以Sn ＝231－23n 1－23＝2－2n ＋13n .12．解：(1)设等差数列{an}的公差为d ， ∵S3＝9，∴a2＝3，∴a1＋2＝3－d ＋2＝5－d ，a2＋3＝6，a3＋7＝3＋d ＋7＝10＋d. ∵a1＋2，a2＋3，a3＋7成等比数列， ∴(5－d)(10＋d)＝36，解得d ＝2或d ＝－7(舍去)． ∴an ＝3＋(n －2)×2＝2n －1.(2)证明：因为1a2n ＝12n －12＝14n2－4n ＋1<14n2－4n ＝14n n －1＝141n －1－1n .所以当n ≥2时，1a21＋1a22＋…＋1a2n <1＋141－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1＋141－1n <1＋14＝54.13．解：(1)∵Sn ＝1－an ，① ∴Sn ＋1＝1－an ＋1，②②－①得an ＋1＝－an ＋1＋an ， ∴an ＋1＝12an(n ∈N*)．又n ＝1时，a1＝1－a1，∴a1＝12，∴an ＝12·12n －1＝12n(n ∈N*)． (2)bn ＝nan＝n·2n(n ∈N*)， ∴Tn ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n ，③∴2Tn ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n ＋1，④ ③－④得－Tn ＝2＋22＋23＋…＋2n －n×2n ＋1 ＝21－2n 1－2－n×2n ＋1. 整理得：Tn ＝(n －1)2n ＋1＋2，n ∈N*.14．解：(1)证明：由已知得：2(an ＋1－2n ＋2)＝an －2n ＋1，即bn ＋1＝12bn ，因为b1＝12≠0，所以数列{bn}为等比数列，且bn ＝12n ，因此，an ＝bn ＋2n ＋1＝2n ＋1＋12n.(2)SnTn ＝22＋23＋…＋2n ＋1＋12＋122＋…＋12n 12＋122＋…＋12n ＝2n ＋2－41－12n ＋1＝4·2n ＋1， 则m ≥(4·2n ＋1)12n ＝4＋12n 对任意的n ∈N*恒成立，又因为数列4＋12n 单调递减，所以4＋12n max ＝92，因此m ≥92.。
2013高考数学(理)二轮复习配套作业(解析版)：专题限时集训(二十三)(江西省专用)
专题限时集训(二十三)[第23讲 坐标系与参数方程](时间：30分钟)1．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．2．圆C ：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)的极坐标方程为________． 3．在极坐标系中，圆ρ＝2的圆心到直线ρcos θ＋ρsin θ＝2的距离为________．[来源:学§科§网]4．在极坐标系中，曲线ρ＝2cos θ与曲线θ＝π6的交点的极坐标为________．5．已知圆ρ＝3cos θ，则圆截直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)所得的弦长为________． 6．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．7．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ＝2sin θ，过点P ⎝⎛⎭⎫22，π4作曲线的切线，则切线长为________．8．曲线C1：y ＝|x|，C2：x ＝0，C3的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1－t(t 为参数)，那么C1，C2，C3围成的图形的面积为________．9．将圆M ：x2＋y2＝a(a>0)的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的13，正好与直线x －y －1＝0相切．若以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，则圆M 的极坐标方程为________．10．直线l ：ρ＝a －2cos θ＋2sin θ(极轴与x 轴的正半轴重合，且单位长度相同)， 圆C ：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)．若直线l 被圆C 截得的弦长为655，则a 的值为________． 11．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B分别在曲线C1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C2：ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4上，则|AB|的最小值为________．12．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)和曲线ρ＝12上，则|AB|的取值范围是________． 13．已知抛物线C1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t2，y ＝8t (t 为参数)，圆C2的极坐标方程为ρ＝r(r>0)，若斜率为1的直线经过抛物线C1的焦点，且与圆C2相切，则r ＝________．14．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，经过点D ⎝⎛⎭⎫2，π3的圆，且曲线C1经过曲线C2的圆心．若点A(ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π2在曲线C1上，则1ρ21＋1ρ2的值为________．。
(浙江专用)2013高考数学二轮复习专题限时集训(十三)理(解析版)
专题限时集训(十三)[第13讲 空间向量与立体几何](时间：45分钟)1．若两点的坐标是A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB →|的取值范围是( )A ．[0,5]B ．[1,5]C ．(1,5)D ．[1,25]2．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则x ＝2，y ＝－3，z ＝2是P ，A ，B ，C 四点共面的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．如图13－1，三棱锥A －BCD 的棱长全相等，E 为AD 的中点，则直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )图13－1A.36B.32C.336 D.124．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝AC →·AD →＝AB →·AD →＝0，则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形5．a ，b 是两个非零向量，α，β是两个平面，下列命题正确的是( ) A ．a ∥b 的必要条件是a ，b 是共面向量 B ．a ，b 是共面向量，则a ∥b C ．a ∥α，b ∥β，则α∥βD ．a ∥α，b β，则a ，b 不是共面向量6．若a ⊥b ，a ⊥c ，l ＝αb ＋β c (α，β∈R )，m ∥a ，则m 与l 一定( ) A ．共线 B ．相交 C ．垂直 D ．不共面7．已知平面ABC ，点M 是空间任意一点，点M 满足条件OM →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则直线AM ( )A ．与平面ABC 平行B ．是平面ABC 的斜线 C ．是平面ABC 的垂线D ．在平面ABC 内8．已知四边形ABCD 满足，AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．平面四边形D ．梯形9．设a 1＝2i －j ＋k ，a 2＝i ＋3j －2k ，a 3＝－2i ＋j －3k ，a 4＝3i ＋2j ＋5k (其中i ，j ，k 是两两垂直的单位向量)．若a 4＝λa 1＋μa 2＋νa 3，则实数组(λ，μ，ν)＝________.10．已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →＝________.11．如图13－2，在空间直角坐标系中有棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点M 是线段DC 1上的动点，则点M 到直线AD 1距离的最小值是________．图13－212．如图13－3，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD ＝AD ＝a ，点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0<λ≤1)．(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC ⊥BE ；(2)若二面角C －AE －D 的大小为60°，求λ的值．图13－313．如图13－4所示的七面体是由三棱台ABC —A 1B 1C 1和四棱锥D －AA 1C 1C 对接而成，四边形ABCD 是边长为2的正方形，BB 1⊥平面ABCD ，BB 1＝2A 1B 1＝2.(1)求证：平面AA 1C 1C ⊥平面BB 1D ； (2)求二面角A －A 1D －C 1的余弦值．图13－414．如图13－5，四边形ABCD 中(图13－5(1))，E 是BC 的中点，DB ＝2，DC ＝1，BC ＝5，AB ＝AD ＝ 2.将△ABD 沿直线BD 折起，使二面角A －BD －C 为60°(如图13－5(2))．(1)求证：AE ⊥平面BDC ；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； (3)求点B 到平面ACD 的距离．图13－5专题限时集训(十三)【基础演练】1．B [解析] AB →＝(2cos θ－3cos α，2sin θ－3sin α，0)，所以|AB →|＝13－θ－α，正确选项为B.2．B [解析] 当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时， 即OP →＝2OA →－3OB →＋2OC →，则AP →－AO →＝2OA →－3(AB →－AO →)＋2(AC →－AO →)，即AP →＝－3AB →＋2AC →，根据共面向量定理，P ，A ，B ，C 四点共面；反之当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理AP →＝mAB →＋nAC →，即OP →－OA →＝m (OB →－OA →)＋n (OC →－OA →)，即OP →＝(1－m －n )OA →＋mOB →＋nOC →， 即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3,2.故选B.3．A [解析] 设棱长为a ，则CE →·BD →＝12(CA →＋CD →)(BC →＋CD →)＝a24，所以cos θ＝a 24|CE →||BD →|＝a 2432a ·a ＝36，所以正确选项为A. 4．C [解析] BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →)＝|AB →|2>0，故B 为锐角，同理其余两个角也是锐角．【提升训练】5．A [解析] 选项B 中，a ，b 共面不一定平行；选项C 中更不可能；选项D ，a ，b 可能共面．6．C [解析] m ∥a ，故m ＝λa ，m ·l ＝λa ·(αb ＋β c )＝λαa ·b ＋λ β a ·c ＝0，故m ⊥l .7．D [解析] 根据共面向量定理的推论，点M 在平面ABC 内，故直线AM 在平面ABC 内． 8．B [解析] 假设四边形ABCD 为平面四边形，根据已知条件四个内角都是钝角，其和大于360°，矛盾．9．(－2,1，－3) [解析] a 4＝λa 1＋μa 2＋νa 3成立， ∵a 1＝(2，－1,1)，a 2＝(1,3，－2)，a 3＝(－2,1，－3)，a 4＝(3,2,5)，∴(2λ＋μ－2ν，－λ＋3μ＋ν，λ－2μ－3ν)＝(3,2,5)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋μ－2ν＝3，－λ＋3μ＋ν＝2，λ－2μ－3ν＝5，解得这样的λ，μ，ν存在，且⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝1，ν＝－3.10.43，43，83 [解析] 设Q 点坐标为(λ，λ，2λ)，其中λ为实参数，则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6λ－432－23，即当且仅当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值－23，此时OQ →＝43，43，83. 11.33a [解析] 设M (0，m ，m )(0≤m ≤a )，AD 1→＝(－a,0，a )，直线AD 1的一个单位方向向量s 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，22，由MD 1→＝(0，－m ，a －m )，故点M 到直线AD 1的距离 d ＝|MD 1→|2－|MD 1→·s 0|2＝m 2＋a －m2－12a －m 2＝32m 2－am ＋12a 2，根式内的二次函数当m ＝－－a 2×32＝a 3时取最小值32⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－a ×a 3＋12a 2＝13a 2，故d 的最小值为33a .12．解：(1)证明：如图建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，D (0,0,0)，E (0,0，λa )．∵AC →＝(－a ，a,0)，BE →＝(－a ，－a ，λa )， ∴AC →·BE →＝0对任意λ∈(0,1]都成立， 即AC ⊥BE 恒成立．(2)显然n 1＝(0,1,0)是平面ADE 的一个法向量 ，设平面ACE 的一个法向量n 2＝(x ，y ，z )， ∵AC →＝(－a ，a,0)，AE →＝(－a,0，λa )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AC →＝0，n 2·AE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x －λz ＝0.取z ＝1，则x ＝y ＝λ，n 2＝(λ，λ，1)，∵二面角C －AE －D 的大小为60°，∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝λ1＋2λ2＝12，λ∈(0,1]⇒λ＝22， ∴λ＝22为所求．13．解：因为BB 1⊥平面ABCD ，且ABCD 是边长为2的正方形，所以以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ，则有A (2,0,0)，B (0,0,0)，C (0,2,0)，D (2,2,0)，A 1(1,0,2)，B 1(0,0,2)，C 1(0,1,2)．(1)证明：∵BB 1→·AC →＝(0,0,2)·(－2,2,0)＝0， BD →·AC →＝(2,2,0)·(－2,2,0)＝0，∴BB 1→⊥AC →，BD →⊥AC →. ∵BB 1与DB 是平面BB 1D 内的两条相交直线， ∴AC ⊥平面BB 1D .又AC ⊂平面AA 1C 1C ， ∴平面AA 1C 1C ⊥平面BB 1D .(2)AA 1→＝(－1,0,2)，AD →＝(0,2,0)，A 1C 1→＝(－1,1,0)，A 1D →＝(1,2，－2)，设n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面A 1AD 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AA 1→＝－x 1＋2z 1＝0，n ·AD →＝2y 1＝0.于是y 1＝0，取z 1＝1，则x 1＝2，n ＝(2,0,1)． 设m ＝(x 2，y 2，z 2)为平面A 1C 1D 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1C 1→＝－x 2＋y 2＝0，m ·A 1D →＝x 2＋2y 2－2z 2＝0，可得3y 2＝2z 2，取z 2＝3，则x 2＝y 2＝2，m ＝(2,2,3)．∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝75×17＝78585，由图知二面角A －A 1D －C 1为钝角，所以其余弦值为－78585.14．解：(1)证明：因为DB ＝2，DC ＝1，BC ＝5满足：DB 2＋DC 2＝BC 2，所以BD ⊥DC ， 如图，以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，建立空间直角坐标系，则由条件可知D (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,1,0)，E 1，12，0，A (a ，b ，c )(由图知a >0，b >0，c >0)．由AB ＝AD ＝ 2.得a 2＋b 2＋c 2＝(a －2)2＋b 2＋c 2＝(2)2⇒a ＝1，b 2＋c 2＝1，平面BCD 的法向量可取n 1＝(0,0,1)，因为DA →＝(1，b ，c )，DB →＝(2,0,0)，所以平面ABD 的一个法向量为n 1＝(0，c ，－b )， 则锐二面角A －BD －C 的余弦值|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝b b 2＋c 2＝cos60°，从而有b ＝12，c ＝32，故A 1，12，32，EA →＝0,0，32，DC →＝(0,1,0)，EA →·DC →＝0，EA →·DB →＝0⇔EA ⊥DC ，EA ⊥DB ， 又DC ∩BD ＝D ，所以AE ⊥平面BDC .(2)由(1)得A 1，12，32，D (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,1,0)，AB →＝1，－12，－32，CD →＝(0，－1,0)． 设异面直线AB 与CD 所成角为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →·CD →|AB→|·|CD →|＝122×1＝24. (3)∵AD →＝－1，－12，－32，CD →＝(0，－1,0)，设平面ACD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·AD →＝－x －y2－3z2＝0，n ·CD →＝－y ＝0，取x ＝3，则n ＝(3，0，－2)．故平面ACD 的法向量n ＝(3，0，－2)．记点B 到平面ACD 的距离d ，则AB →在法向量n 方向上的投影的绝对值为d ，则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →·n |n |，所以d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋0＋332＋0＋－2＝2217.。
浙江省2013届高三高考模拟冲刺数学理试卷(二)
选择题部分（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． 复数911⎪⎭⎫⎝⎛+-i i 的值等于 （ ）（A ）22（B ）2 （C ）i （D ）－i 2．若1既是2a 与2b 的等比中项，又是a 1与b 1的等差中项，则22ba ba ++的值是 （ ）（A ）1或21 （B ）1或21- （C ）1或31 （D ）1或31-3.若某程序框图如图所示，如果该程序运行后输出的p 是3，则输入的n 是（ ） （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）24．集合=P {x ，1}，=Q {y ，1，2}，其中∈y x ，{1， 2，…，9}，则满足条件Q P ⊂的事件的概率为 （ ） （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）155．直线l 过点(2,1)P 与曲线1422=-y x 恰有一个公共点，则满足条件的直线l 的条数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46．设实数y x ，满足10<<xy 且xy y x +<+<10，那么y x ，的取值范围是 （ ） （A ）1>x 且1>y （B ）10<<x 且1<y （C ）10<<x 且10<<y （D ）1>x 且10<<y7．已知函数qx px x x f ++=23)(与x 轴切于)0(00≠x x 点,且极小值为4-,则p q +=（ ）（A ）12 （B ）13 （C ）15 （D ）16 8．已知,[,],,44x y a R ππ∈-∈且有33sin 20,4sin cos 0x x a y y y a +-=++=，则22sin(4)x y -=（ ）（A ）1- （B ）1 （C ）12（D ）0 9．单位正方体在一个平面内的投影面积的最大值和最小值分别为 （ ）（A （B （C ）,13 （D ）,1210．已知圆M ：()()22234x y -+-=，过x 轴上的点(),0P a 存在圆M 的割线PBA ，使得PA AB =，则点P 的横坐标a 的取值范围是（ ）A ．[-B .[- C.[22-+ D [22-+ 非选择题部分 (共100分)二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。
2013年浙江高考理科数学试卷解析版
2013年浙江高考理科数学试卷解析版绝密★考试结束前2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式如果事件,A B互斥，那么P A B P A P B+=+()()()如果事件,A B相互独立，那么•=•P A B P A P B()()()如果事件A在一次试验中发生的概率为P,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率()(1)(0,1,2,...,)k kn k n n P k C p p k n -=-=台体的体积公式121()3V h S S = 其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h表示锥体的高 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π= 其中R 表示球的半径 选择题部分（共50分）一、选择题：每小题5分，共50分． 1．已知i 是虚数单位，则(−1+i)(2−i)=A ．−3+iB ．−1+3iC ．−3+3iD ．−1+i【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题【答案解析】B2．设集合S ={x |x >−2}，T ={x |x 2+3x −4≤0}，则( R S )∪T =A ．(−2，1]B ．(−∞，−4]C ．(−∞，1]D ．[1，+∞) 【命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题【答案解析】C 因为( R S )={x |x ≤−2}，T ={x |−4≤x ≤1}，所以( R S )∪T =(−∞，1]. 3．已知x ，y 为正实数，则A ．2lg x +lg y =2lg x +2lg yB ．2lg(x +y )=2lg x ∙ 2lg yC ．2lg x ∙ lg y =2lg x +2lg yD ．2lg(xy )=2lg x ∙ 2lg y【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质，属于容易题 【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项D 正确4．已知函数f (x )=A cos(ωx +φ)(A >0，ω>0，φ∈R)，则“f (x )是奇函数”是“φ=π2”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题【答案解析】B 由f (x )是奇函数可知f (0)=0，即cos φ=0，解出φ=π2+k π，k ∈Z ，所以选项B 正确5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则A ．a =4B ．a =5C ．a =6D ．a =7【命题意图】本题考查算法程序框图，属于容易题【答案解析】A 6．已知α∈R ，sin α+2cos α=102，则tan2α= A ．43B ．34C ．−34D ．−43【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样，属于中档题【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=⎝⎛⎭⎫1022可得sin 2α+4cos 2α+4sin αcos α sin 2α+cos 2α=104，进一步整理可得3tan 2α−8tanα−3=0，解得tan α=3或tan α=−13，于是tan2α=2tan α1−tan 2α=−34.7．设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于AB 上任一点P ，恒有→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C ，则A ．∠ABC =90︒B ．∠BAC =90︒ C ．AB =ACD ．AC =BC 【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题【答案解析】D 由题意，设|→AB |=4，则|→P 0B |=1，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设HP 0=a ，则由数量积的几何意义可得，→PB ∙→PC =|→PH ||→PB |=(|→PB | −(a +1))|→PB |，→P 0B ∙→P 0C =−|→P 0H ||→P 0B |=−a ，于是→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C 恒成立，相当于(|→PB |−(a +1))|→PB|≥−a 恒成立，整理得|→PB |2−(a +1)|→PB |+a ≥0恒成立，只需∆=(a +1)2−4a =(a −1)2≤0即可，于是a =1，因此我们得到HB =2，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC =BC 8．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )=(e x −1)(x −1)k (k =1，2)，则 A ．当k =1时，f (x )在x =1处取到极小值 B ．当k =1时，f (x )在x =1处取到极大值C ．当k =2时，f (x )在x =1处取到极小值D ．当k =2时，f (x )在x =1处取到极大值 【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题【答案解析】C 当k =1时，方程f (x )=0有两个解，x 1=0，x 2=1，由标根法可得f (x )的大致图象，于是选项A ，B 错误；当k =2时，方程f (x )=0有三个解，x 1=0，x 2=x 3=1，其中1是二重根，由标根法可得f (x )的大致图象，易知选项C 正确。
2013届高考数学(浙江专用)冲刺必备：第二部分 专题二 第四讲 冲刺直击高考含答案(1)
限时：60分钟满分：84分1．（满分14分）设f（x)＝错误!cos 2x＋a sin x－错误!0≤x≤错误!。
(1)用a表示f（x）的最大值M（a)．（2）在（1）中的条件下,当M(a）＝2时，求a的值．解：（1）f(x）＝12(1－2sin2x)＋a sin x－错误!，即f（x）＝－sin2x＋a sin x＋错误!－错误!，所以f(x）＝－错误!2＋错误!－错误!＋错误!.∵0≤x≤错误!，∴0≤sin x≤1。
∴当错误!≥1时即a≥2时，M(a)＝f错误!＝错误!－错误!;当0<错误!〈1即0〈a〈2时，M(a)＝错误!－错误!＋错误!；当错误!≤0即a≤0时，M(a)＝f（0)＝错误!－错误!.∴M(a)＝错误!（2）当M(a)＝2时，则当a≥2时，3a4－错误!＝2⇒a＝错误!，当0<a〈2时,错误!－错误!＋错误!＝2⇒a＝3（舍）或a＝－2(舍），当a≤0时，错误!－错误!＝2⇒a＝－6。
∴a＝错误!或a＝－6.2．（满分14分)（2012·银川模拟)已知函数f（x ）＝A sin(ωx ＋φ）A 〉0，ω〉0，|φ|〈错误!的部分图像如图所示．(1）求函数f (x ）的解析式；（2)若f 错误!＝错误!,0<α〈错误!，求cos α的值．解：(1)由图像知A ＝1，f （x ）的最小正周期T ＝4×错误!＝π，故ω＝错误!＝2，将点错误!代入f (x )的解析式得sin 错误!＝1,又∵|φ｜〈错误!，∴φ＝错误!。
故函数f （x ）的解析式为f (x ）＝sin 错误!。
（2)f 错误!＝错误!，即sin 错误!＝错误!，又0<α〈错误!，则错误!<α＋错误!<错误!，所以cos 错误!＝错误!。
又cos α＝cos 错误!＝cos ⎝ ⎛）α＋π6cos 错误!＋sin 错误!sin 错误!＝错误!。
3．(满分14分）(2012·杭州模拟）把函数f (x ）＝2cos （ωx ＋φ)(ω>0，0<φ〈π）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移错误!个单位后得到一个最小正周期为2π的奇函数g （x ）．(1)求ω和φ的值；(2）求函数h(x）＝f(x)－g2（x），x∈错误!的最大值与最小值．解：（1）f1（x)＝2cos错误!→g(x)＝2cos错误!。
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专题限时集训(二)A
[第2讲 函数、基本初等函数Ⅰ的图象与性质]
(时间：30分钟)
1．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ，x ≤0，log2x ，x>0，
若f(a)＝1
2，则实数a 的值是( )
A ．－2 B. 2
C ．－1或1
2 D ．－1或 2
2．函数f(x)＝1
1＋|x|
的图象是( )
图2－1
3．若loga2<0(a>0，且a ≠1)，则函数f(x)＝loga (x ＋1)的图象大致是( )
图2－2 4．定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋1)＝－f(x)，且当x ∈[0,2)时，f(x)＝log2(x ＋1)，则f(2 012)－f(2 011)＝( )
A ．－1
B ．－2
C ．1
D ．2
5．定义运算a*b ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
b a ≤b ，a a >b ，则函数f(x)＝e －x*ex 的图象是( )
图2－3
6．函数y ＝ln ex －e －x
ex ＋e －x
的图象大致为( )
图2－4
7．设偶函数f(x)对任意x ∈R ，都有f(x ＋3)＝－1
f x ，且当x ∈[－3，－2]时，f(x)＝4x ，则f(107.5)＝( ) A ．10 B.110
C ．－10
D ．－1
10
8．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝f(x)的图象与y ＝ex 的图象关于直线y ＝x 对称．而函数y ＝f (x)的图象与y ＝g(x)的图象关于y 轴对称，若g(m)＝－1，则m 的值是( ) A ．e B.1
e C ．－e D ．－1
e
9．设y ＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义fK(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
f x ，f x ≤K ，
K ，f x >K ，给出函数
f(x)＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则( )
A ．K 的最大值为0
B ．K 的最小值为0
C ．K 的最大值为1
D ．K 的最小值为1
10．设函数f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)＝2x ＋2x ＋b(b 为常数)，则f(－1)＝________.
11．若函数y ＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f 2x x －1
的定义域是________．
12．定义在R 上的函数f(x )满足f(x)＋f(x ＋2)＝8，且当x ∈(－1,1]时，f(x)＝x2＋2x ，则当x ∈(3,5]时，f(x)的解析式为________________．
专题限时集训(二)A 【基础演练】
1．D [解析] 当a ≤0时，f(a)＝2a ＝12，解得a ＝－1；当a>0时，f(a)＝log2a ＝1
2，解得a ＝21
2
＝ 2. 2．C [解析] 函数是偶函数，只能是选项C 中的图象． 3．B [解析] 由loga2<0得0<a<1，f(x)＝loga(x ＋1)的图象是由函数y ＝logax 的图象向左平移一个单位得到的，故为选项B 中的图象．
4．A [解析] 由f(x ＋1)＝－f(x)，得f(x ＋2)＝－f(x ＋1)＝f(x)，2是函数f(x)的一个周期，故f(2 012)－f(2 011)＝f(0)－f(1)＝0－1＝－1.
【提升训练】
5．D [解析] 根据定义，f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
e －x ，x ≤0.
ex ，x>0，故为选项D 中的图象．
6．C [解析] 需满足ex －e －x
ex ＋e －x >0，即ex －e －x>0，所以x>0，即函数的定义域是(0，＋∞)，
排除选项A ，B 中的图象，由于ex －e －x ex ＋e －x ＝e2x －1e2x ＋1<1，所以ln ex －e －x
ex ＋e －x <0，故只能是选项C
中的图象．
7．B [解析] 由f(x ＋3)＝－1f x ，得f(x ＋6)＝－1
f x ＋3＝f(x)，知6为该函数的一个周期， 所以f(107.5)＝⎝⎛⎭⎫6×18－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－1f ⎝⎛⎭⎫52＝－1f ⎝⎛⎭
⎫－52＝－1－10＝1
10. 8．D [解析] 根据指数函数与对数函数互为反函数，故f(x)＝lnx ，由于函数y ＝f(x)，y ＝g(x)
图象关于y 轴对称，可得g(x)＝f(－x)＝ln(－x)，g(m)＝－1，即ln(－m)＝－1，解得m ＝－e －1＝－1
e .
9．D [解析] 根据给出的定义，fK(x)的含义是在函数y ＝f(x)，y ＝K 中取小．若对任意的x ∈(－∞，1]恒有fK(x)＝f(x)，等价于对任意的x ∈(－∞，1]恒有f(x)≤K ，即函数f(x)在(－∞，1]上的最大值小于或者等于K.令t ＝2x ∈(0,2]，则函数f(x)＝2x ＋1－4x ，即为函数φ(t)＝－t2＋2t ＝－(t －1)2＋1≤1，
故函数f(x)在(－∞，1]上的最大值为1，即K ≥1.所以K 有最小值1.
10．－3 [解析] 因为函数f(x)为定义在R 上的奇函数，所以f(0)＝0，即20＋b ＝0，所以b ＝－1，所以函数f(x)＝2x ＋2x －1，(x ≥0)，所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2－1)＝－3.
11．[0,1) [解析] 因为f(x)的定义域为[0,2]，所以对g(x)，0≤2x ≤2但x ≠1，故x ∈[0,1)． 12．f(x)＝x2－6x ＋8 [解析] 根据f (x)＋f(x ＋2)＝8，可得f(x ＋2)＋f(x ＋4)＝8，消掉f(x ＋2)得f(x)＝f(x ＋4)，即函数f(x)是以4为周期的函数．当x ∈(3,5]时，(x －4)∈(－1,1]，所以f(x)＝f(x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x2－6x ＋8.。