从感性到理性、从具体到抽象

从感性到理性、从具体到抽象————谈谈有限与无限思想导语：有限与无限思想揭示了变量与常量，有限与无限的对立统一的关系.借助有限与无限思想，人们可以从有限认识无限，从不变认识变，从量变认识质变，从近似认识精确.在初等微积分的学习中应抓住基本概念，突出内在的联系，贯穿基本思想方法.具体说来，以数列极限为基础，突出微分、积分及其内在联系.极限、微分、积分概念、极限方法、运动辩证思想和数学观念的培养，贯穿了微积分的全部内容.从进入高二阶段学习的学生的认知水平上来看，已开始摆脱具体事物的形式，进入抽象、概括、分析、综合、演绎、归纳等一般化理论思维阶段，开始向更高级的思维——辩证思维形式发展. 其本质问题是对无限的认识，让学生从感性材料中去感受和体验。

提炼和概括，逐步上升到理性认识，感受抽象思维的过程和辩证思维的体现.《新课标》倡导数学课程“强调本质，注意适度形式化”.高中数学课程的讲授应注意数学概念、法则、结论的发展过程和本质，由于极限概念本身牵涉到“无穷大”、“任意小”、“无限逼近”等数学术语，这些词语都比较抽象.因此在极限的概念教学过程中，我们应该注意从实际问题引入将抽象具体化从而使学生更好地理解极限.内容：微积分的很多方法在中学数学的很多问题上能够以简驭繁，尤其在证明不等式、恒等式及恒等变形；求极值；研究函数的变化上，可以使解法简化，并能使问题的研究更为深入全面.以下重点阐述不等式的证明中有限与无限思想：在研究变化过程变量之间相互制约关系时，更多的是对不等式的研究，从某种意义上来说，不等式的证明方法多种多样，没有较为统一的方法，初等数学中经常通过恒等变形、数学归纳法、二次型等方法解决，或运用已有的基本不等式来证明，往往需要恒等变形，而运用微积分的知识和方法，如函数单调性、极值判定法，可以简化不等式的证明过程，降低技巧性. 例题已知函数1()ln1xf x x+=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+；（Ⅲ）设实数k 使得3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立，求k 的最大值．分析：本题主要考查对数函数的性质和导数公式，复合函数的求导法则，考查导数的几何意义，导数的正负和函数单调性的关系.也考查了转化与化归及分类讨论的思想方法.本题背景是将函数1()ln1xf x x+=-在0x =附近用多项式近似的问题，题目中涉及到线性近似、3次近似和最佳下界估计的问题.题目叙述简洁，设问由易到难、层次清晰、阶梯合理，为不同水平的考生提供了展示的平台.第（Ⅰ）问通过学生熟悉的切线方程问题考查导数的运算和导数的几何意义，考查运算求解能力. 在这一问中在先求导函数时有两类办法，一是利用对数运算将已知函数转为两个函数的差再来求导函数，二是利用复合函数的求导公式求导函数第（Ⅱ）问中的函数不等式问题考查导数正负与函数单调性的关系，考查转化与化归的思想方法和分析问题解决问题的能力.（Ⅱ）问在讨论构造的新函数的单调性上是有三类办法，一是通过整理导数式说明，二是利用二阶导数来说明，三是利用均值定理来说明第（Ⅲ）问中的最大值问题在第（Ⅱ）问的基础上进一步考查转化与化归的思想方法，考查推理论证的能力.（Ⅲ）问在新构造函数的导函数的讨论上有两类办法，一是利用第二问的结论分成两类和，二是利用最高次项的系数分成和：k>2;或k>0解：（Ⅰ）因为()ln(1)ln(1)f x x x =+--，所以11()11f x x x'=++-，(0)2f '=． 又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =．（Ⅱ）解法1：令3()()2()3x g x f x x =-+，则4222()()2(1)1x g x f x x x''=-+=-． 因为()0g x '>(01)x <<，所以()g x 在区间(0,1)上单调递增． 所以()(0)0g x g >=，(0,1)x ∈，即当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+．解法2：令3()()2()3x g x f x x =-+，则2222()()2(1)=2(1)41g x f x x x x''=-++--- 而2222(1)41x x+-≥-，01x <<. 则()0g x '>，01x <<. 所以()(0)0g x g >=，(0,1)x ∈.即当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+．解法3：令3()()2()3x g x f x x =-+，则2222()()2(1)=2(1)1g x f x x x x''=-+-+-. 因为222241()4=410(1)(1)xg x x x x x ⎡⎤''=-->⎢⎥--⎣⎦，01x <<. 所以()g x '在区间()0,1上单调递增，(0)0g '=.所以()(0)0g x g ''>=，01x <<.所以()g x 在区间()0,1上单调递增. 所以()(0)0g x g >=，(0,1)x ∈.即当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+．解法4：设3()2()3x g x x =+.因为22()01f x x '=>-，2()2(1)0g x x '=+>，(0,1)x ∈. 所以函数()f x 与函数()g x 在(0,1)上单调递增.又422()()01x f x g x x ''-=>-， 则()f x '>()g x '，(0,1)x ∈.所以()f x 比()g x 在(0,1)上增长得快. 又因为(0)(0)0f g ==，即当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当2k ≤时，3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立．当2k >时，令3()()()3x h x f x k x =-+，则422(2)()()(1)1kx k h x f x k x x --''=-+=-．所以当0x <()0h x '<，因此()h x 在区间(0,上单调递减．当0x <()(0)0h x h <=，即3()()3x f x k x <+．所以当2k >时，3()()3x f x k x >+ 并非对(0,1)x ∈恒成立．综上可知，k 的最大值为2．小结：本题学生常见的错误有:(1)表述不准确，如(0,1)x ∈时，()(0)0g x g >=. (2)逻辑推断错误，如：因为(0)0h =，所以()0h x >，(0,1)x ∈等价于()0h x '>，(0,1)x ∈；()()f x g x >，(0,1)x ∈等价于min ()f x >()g x ，(0,1)x ∈； ()()f x g x >，(0,1)x ∈等价于min max ()()f x g x >.(3)论证不充分，如因为()0h x >，(0,1)x ∈且(0)0h =，所以(0)0h '≥. 通过本题的学习，提醒教学中需注意的问题：（1） 强调对数学本质的认识.要把微积分作为一种重要的思想、方法来学习.如经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念，加强对导数几何意义的认识和理解. （2） 强调导数在研究事物变化快慢中的一般性和有效性这是对导数本质认识的一个具体体现，也是优于初等方法的体现.以往的教学中更多的要求学生会按步骤求极大（小）值，最大（小）值，而忽视了导数作为一种通法的意义和作用.为了使学生真切地感受导数在研究函数性质中的意义和作用，尤其是作为通法的一般性和有效性，以及导数在处理和解决客观世界变化率问题，最优问题的广泛应用，可以通过较丰富的实际问题和优化问题举例，感受和体验导数在研究事物的变化率、变化快慢以及研究函数基本性质和优化问题的广泛应用.(3)强调几何直观在导数学习中的作用在教学中要反复通过图形去认识和感受导数的几何意义，以及用导数的几何意义去解决问题，通过图形去认识和感受导数在研究函数性质中的作用.一是加深对导数本质的认识和理解，二是体现数学中几何直观这一重要数学思想方法对于数学学习的意义和作用. 练习题1.证明以下不等式：求证：e 1xx >+和2e 12xx x >++.(0)x > 设()e 1x f x x =--，则()e 10xf x x >'=->，0，所以函数()f x 递增，又(0)0f =，所以()e 10xf x x =-->，即e 1x x >+.设2()e 12xx y x x =---，则()e 1xy x x '=--，由上面已证得的结果，可得()0y x '>.所以函数()y x 递增，又(0)0y =，则()0y x >，即2e 12xx x >++. 2.已知函数()cos sin f x x x x =-，π[0,]2x ∈．（Ⅰ）求证：()0f x ≤；（Ⅱ）若sin x a b x <<对π(0,)2x ∈恒成立，求a 的最大值与b 的最小值． 解：（Ⅰ）由()cos sin f x x x x =-得 ()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-．因为在区间π(0,)2上()sin 0f x x x '=-<，所以()f x 在区间π[0,]2上单调递减．从而()(0)0f x f =≤．（Ⅱ）当0x >时，“sin x a x >”等价于“sin 0x ax ->”；“sin xb x<”等价于“sin 0x bx -<”．令()sin g x x cx =-，则()cos g x x c '=-．当0c ≤时，()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立．当1c ≥时，因为对任意π(0,)2x ∈，()cos 0g x x c '=-<，所以()g x 在区间π[0,]2上单调递减．从而()(0)0g x g <=对任意π(0,)2x ∈恒成立．当01c <<时，存在唯一的0π(0,)2x ∈使得00()cos 0g x x c '=-=．()g x 与()g x '在区间π(0,)2上的情况如下：因为()g x 00“()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立”当且仅当ππ()1022g c =-≥，即20πc <≤．综上所述，当且仅当2πc ≤时，()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立；当且仅当1c ≥时，()0g x <对任意π(0,)2x ∈恒成立．所以，若sin x a b x <<对任意π(0,)2x ∈恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1．3.设函数2()ln 2x f x k x =-，0k >.（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,上仅有一个零点．解：（Ⅰ）由2()ln 2(0)x f x k x k >=-得2()k x kf x x x x-'=-=．由()0f x '=解得x =()f x 与()f x '在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；()f x 在x =(1ln )2k k f -=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=． 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而e k ≥．当e k =时，()f x 在区间上单调递减，且0f =，所以x =()f x 在区间(1,上的唯一零点．当e k >时，()f x 在区间(0,上单调递减，且1(1)02f =>，e02kf -=<，所以()f x 在区间上仅有一个零点．综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,上仅有一个零点．4.设L 为曲线ln :xC y x=在点(1,0)处的切线． （Ⅰ）求L 的方程；（Ⅱ）证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方．解：（Ⅰ）设ln ()x f x x =，则21ln ()xf x x -'=． 所以(1)1f '=．所以L 的方程为1y x =-．（Ⅱ）令()1()g x x f x =--，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于()0g x >（0x ∀>，1x ≠）． ()g x 满足(1)0g =，且221ln ()1()x xg x f x x -+''=-=． 当0<<1x 时，21<0x -，ln <0x ，所以()<0g x '，故()g x 单调递减； 当>1x 时，21>0x -，ln >0x ，所以()>0g x '，故()g x 单调递增． 所以，()(1)0g x g >=（0x ∀>，1x ≠）． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．。