二次三项式公式法

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二次三项式的因式分解(用公式法)及一元二次方程的应用人教版

二次三项式的因式分解（用公式法）及一元二次方程的应用一. 本周教学内容：二次三项式的因式分解（用公式法）及一元二次方程的应用［学习目标］1. 熟练掌握二次三项式的意义；了解二次三项式的因式分解与解一元二次方程的关系；运用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式。

2. 学会用列一元二次方程的方法解实际应用题。

3. 通过二次三项式的因式分解的学习，提高分析问题，解决问题的能力；进一步了解认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般。

4. 通过一元二次方程的应用的学习，提高化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力，培养用数学的意识；深刻体会转化，方程，数形结合等初等数学的思想方法。

二. 重点、难点：1. 教学重点：①应用公式法将二次三项式因式分解；会用列一元二次方程的方法解决实际应用的问题。

②在列一元二次方程的方法解应用题时，分析题意找出表示全部含义的相等关系，是能否列出方程的前提和保证。

2. 教学难点：①一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系；一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件。

②在列一元二次方程的方法解应用题时，分析题意找等量关系是难点；注意求解后，检验根是否符合实际意义。

【典型例题】例1. 分解因式①x x 264-+②32312x x -+ ③24322x xy y +-④-+-x x 2525 ⑤()x x 221+- 分析：前四个均为二次三项式ax bx c a 20++()≠或二元二次三项式Ax Bxy Cy 22++的因式分解，直接用公式进行分解。

ax bx c a x x x x 212++=--()()其中x x 12，为方程ax bx c a 200++=()≠的两根。

Ax Bxy Cy A x x x x 2212++=--()()，其中x x 12，为关于x 的方程Ax Bxy Cy A 2200++=()≠的两根。

第五个用平方差公式，再用公式法分解二次三项式。

初三数学教案-初三数学二次三项式的因式分解

初三数学二次三项式的因式分解教学优化设计【概念与规律】1.若方程ax2+bx+c=0(aM0)的两实根为xl,x2,则二次三项式ax2+bx+c在实数范围内可因式分解成ax2+bx+c=a(x—x1)(x—x2).2.用公式法分解二次三项式时要注意：(1)右边不能遗漏二次项系数a.(2)若xl,x2的分母的积恰好是a的约数时，则将a分解成两个适当的数的积，分别乘入两个括号中，约去分母；若xl,x2的分母的积不是a的约数时，则a仍保留在括号外.(3)当4V0时，则二次三项式在实数范围内不能分解因式.【讲解设计】•重点与难点例1在实数范围内分解因式：分析直接运用公式可进行因式分解.例2在实数范围内分解因式：(1)2x2－8xy＋5y2；(2)3x2y2－5xy－1.分析(1)将它看成关于x的二次三项式，运用公式法分解因式；(2)将它看成关于(xy)的二次三项式，运用公式法分解因式.例3在实数范围内分解因式：(1)4x2＋8xy－y2；(2)x4－2x2－3.分析(1)将它看成关于x的二次三项式运用公式法分解因式；(2)先用十字相乘法，再在实数范围内运用平方差公式进行因式分解.例4在实数范围内分解因式：(2)(x2＋1)(x2＋2)－73.分析(1)将它看成关于x的二次三项式，但要注意根式运算的准确性；(2)展开后转化为双二次型的因式分解.(2)(x2＋1)(x2＋2)－73=x4＋3x2－70=(x2＋10)(x2－7)=(x2＋【讲解设计】•思路与方法例5若2x2—3x+m+1可以在实数范围内分解因式，求m的取值范围.提示二次三项式在实数范围内能分解因式的条件是对应的二次方程根的判别式△三0.例6分别在有理数范围内和实数范围内分解因式：(x2—5x+4)(x2+9x+18)+180.提示原式=(x—1)(x—4)(x+3)(x+6)+180=(x2+2x—3)(x2+2x—24)+180,转化为(x2+2x)的二次三项式.但要注意两种不同的分解范围.【练习设计】•识记与理解1.填空题：(1)若x1,x2是ax2+bx+c=0(aM0)的两个根，则二次三项式ax2+bx+c分解因式的结果为.(2)分解因式x2—2xy—3y2=.(3)在实数范围内分解因式x2—x—1=.(4)若2x2—3x+m—1是一个完全平方式，则m=；若它能在实数范围内分解因式，则m的取值范围是.2．选择题：(1)在实数范围内分解x4—16为[]A．(x2＋4)(x2－4)B．(x2＋4)(x＋2)(x—2)(2)二次三项式2x2—5x+1在实数范围内分解因式，其结果为[]3．在有理数范围内分解因式：(1)x＋2—x2；(2)—12z2—xyz＋x2y2；(3)(x2＋xy＋y2)(x2＋xy＋2y2)—12y4；(4)(x2＋x)2—2(7x2—12＋7x)．4．在实数范围内分解因式：(1)4x—4x2＋1；(3)(x＋1)(x＋3)(x＋5)(x＋7)＋15；(4)(x2—7x＋6)(x2—x—6)＋56．【练习设计】•巩固与掌握在实数范围内因式分解的结果是什么？6.设x2—2kx+k=0有相等的两正根，试将二次三项式x2—(k+3)x+k在实数范围内分解因式．7.将x4—4在实数范围内分解因式，其结果共有几个含有x的代数式的因式(因式1除外)？这几个因式中，对任何实数x,哪个的值最小？8.若二次三项式x2+mx+n(nM0)可因式分解成(x—m)(x—n)，求m与n的值.9.已知：a，b分别是等腰三角形的一腰和底边的长.求证：关于x的二次三项式x2—4ax+b2一定能在实数范围内分解因式.10.在实数范围内分解因式：x2—px+q=(x—2)(x—3)，请写11.若多项式xmyn+x2y2+xy—1是一个五次四项式(m,n都是大于1的正整数)，试将二次三项式x2+(m+n)x+(—mn)分解因式.12.求证：对任何有理数a,x2+2ax+a2—2在有理数范围内总不能因式分解，而在实数范围内总能因式分解.13.已知a2+b2—2a—2b+2=0,m，n是方程y2—3y+2=0的两个根(m>n)，试将xa+b+mx+n 在实数范围内分解因式.【练习设计】•拓展与迁移14.已知在RtAABC中，ZC=90°,ZB=60°,a、b、c分别是ZA、ZB、ZC的对边.试判断二次三项式ax2+bx+c能否在实数范围内分解因式，如果能，请写出分解的结果；如果不能，请说明理由.15.设m为正整数，x2—4x+m能在有理数范围内分解因式，(1)求出m的值；(2)对于所有可能的m值，写出这些多项式；(3)将写出的所有多项式相加，试问：相加后得到的多项式还能在有理数范围内分解吗？答案2.(1)B(2)D3.(1)—(x—2)(x+1)(2)(xy+3z)(xy—4z)(3)(x2+xy+5y2)(x—y)(x+2y)(4)(x－1)(x＋2)(x－3)(x＋4)6.提示：先求k值，kl=l,k2=0(舍去)，再分解，x2—(k+8.m=l,n=—29.△=4(2a+b)(2a—b)，而2a+b,2a—b均大于011.(x＋6)(x—1)12.(1)A=8不是完全平方数(2)A=8>013.a=b=1，m=2，n=1，xa+b＋mx＋n=(x＋1)215.(1)m=3，m=4(2)x2—4x+3，x2—4x+4(3)2x2—8x+7,不能。

17.4二次三项式的因式分解--求根公式法

5
5
当m为何值时，二次三项式2x2 + 6x – m （默8）
（1）在实数范围内能分解；（2）不能分解；（3）能分解成两个相同的因式
B组
（1）在实数范围内分解因式 3x2 4xy y2为
（ 3 x 2 7 y)( x 2 7 y)
3
3
破题思路
由△= [(2k 1)]2 41 (k 2 5) 4k 19 0
该方程的实数根是
x1

3 4
17
3 17 x2 4
=
2 (x 3
4
17 )(x 3 4
17 )
例题1 分解因式：
（2）
小试牛刀
(1)解: 对于方程 4x2 8x 1 0 b2 4ac 82 4 41 80 0
该方程的实数根是
x1
2. 选择题
k 19 4
K的值为（ B ）
A、 19 4
B、19
C、2
4
D、 2
小结
1. 对于不易用以前学过的方法：x2 (a b)x ab (x a)( x b)
分解二次三项式 ax2 bx c 宜用一元二次方程的
（2）第二步：求出方程①的两个根x1, x2;
（3）因式分解 ax2 bx c a(x x1)( x x2 )
课堂练习
A组
1. 填空题
（1）若方程ax2 bx c 0的两根为 x1, x2,则ax2 bx c分解为
a(x x1)( x x2 )
（2）分解因式： x2 20x 96 = (x 8)(x 12)

2

二次三项式

课题二次三项式的因式分解课型新授备课人徐中亮教学目标1.使学生理解二次三项式的意义，了解二次三项式的因式分解与解方程的关系。

2.使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式。

3.结合教学对学生进行辩证唯物主义观点的教育。

教学重点用求根公式法将二次三项式因式分解。

教学难点方程的同解变形与多项式的恒等变形的区别。

教学用具幻灯片.教学方法引导发现和归纳推理.教学过程内容教师调控学生活动一、复习1.形如 ax2＋bx＋c（a≠0）的多项式叫做x的二次三项式，形如ax2+bx＋c=0（a≠0）的方程叫做x 的一元二次方程，回忆二次三项式因式分解的方法，回忆一元二次方程的解法。

2.将下列列各式分解因式：（1）x2-3x+2；（2）6x2-x-15；（3）4x2＋3x-1.老师指出：有些多项式在有理数范围内可以分解因式，有些多项式在实数范围内才能分解因式，因此只会初一学过的十字相乘法分解二次三项式是不够的。

二次三项式的因式分解结果与一元二次方程的根有密切联系。

如分解因式：让学生总结因式分解的方法学生做练习教学过程内容教师调控学生活动3.解下列方程：（1）2x2-6x＋4=0；（2）4x2+8x-1=0.二、新课1.利用根与系数关系证明：ax2＋bx＋c＝a（x-x1）（x-x2）（a≠0）我们可以利用一元二次方程的两根分解相应的二次三项式。

如果我们用求根公式求得一元二次方程：ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两根x1和x2，那么由根与系数关系可知：2.例题例1 把4x2-5分解因式。

解：∵方程4x2-5=0的两根是：而方程4x2＋8x-1=0的两根分别是：同学们可以发现，两个一次因式中x减去的分别是相应一元二次方程的二个根，我们能不能利用一元二次方程的根去分解相应的二次三项式呢？师：这就是说，在分解二次三项式ax2＋bx＋c的因式时可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两根x1，x2，然后写成ax2＋bx+c＝a（x-x1）（x-x2）. 这种方法叫求根法。

二次三项式的因式分解(5种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)

二次三项式的因式分解【知识梳理】二次三项式的因式分解（1）形如()2ax bx c a b c ++，，都不为零的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x , 那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．,【考点剖析】题型一：两根与二次三项式因式分解关系例1．若方程24210y y −−=的两个根是1y =，2y =，则在实数范围内分解因式2421y y −−=____________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−4514514y y ．【解析】如果一元二次方程20ax c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x，那么二次三项式2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【变式1】若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3−++−−x x ，则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________．【答案】2211+=x ，2122−=x ．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．【总结】本题主要考查二次三项式的因式分解与相对应的一元二次方程的根的关系．题型二：不能在实数范围内因式分解的二次三项式例2.下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,） A.2615x x +−；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B.,2373y y ++；,,,,,,,,, C.2224x x −−；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D.2245y y −+. 【答案】D ；【解析】解：A 、因为24146153610b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为244424360b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为2416425240b ac −=−⨯⨯=−< 故此二次三项式在实数范围内不能因式分解.故答案选D.【变式1】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,）A.1562−+x x ,,,,,B.3732++y y ,,,,,C.422−−x x ,,,,,D.22542y xy x +−【答案】D ；【解析】,解：A 、因为24146153610b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac −=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y −=−⨯⨯=− 又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴−<，故此二次三项式在实数范围内不能因式分解. 故答案选D.【变式2】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,）A.2411x x +−；,,B.,2373y y ++;,,,,C.,224x x −−;,,,D.,22245x xy y −+.【答案】D ；【解析】解：A 、因为24144111770b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac −=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y −=−⨯⨯=− 又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴−<，故此二次三项式在实数范围内不以因式分解. 故答案选D.【变式3】如果关于x 的二次三项式24x x m −+在实数范围内不能因式分解，那么m 的值可以是_________.（填出符合条件的一个值）【答案】5；【解析】解：当241640b ac m −=−<即4m >时，关于x 的二次三项式24x x m −+在实数范围内不能因式分解，如m 取5等等.题型三：二次项系数为1的实数范围内二次三项式因式分解例3.在实数范围内分解因式:241x x −−=______________【答案】(22x x −+−；【解析】解：原式=2445x x −+−=()222x −−=(22x x −−−.【变式1】在实数范围内分解因式：232x x −−＝,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.【答案】x x ⎛−− ⎝⎭⎝⎭；【解析】解：因为方程2320x x −−=的两根为x =，故232x x −−=x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭. 【变式2】在实数范围内分解因式：243x x −−=,____________________．【答案】(22x x −−；【解析】解：解方程x2-x-3=0，得x=2±则：x2-4x-3=(22x x −−+.【变式3】在实数范围内分解因式：（1）224x x −−；（2）223x xy y −−.【答案】（1）(11x x −−,,,,（2）3322x y x y ⎛⎫⎛⎫−−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）前两项先配成完全平方公式，然后根据平方差公式，可得答案；（2）先解方程2230x xy y −−=，然后分解因式即可．【详解】（1）原式=（x2﹣2x+1）﹣5=（x ﹣1）22=（x ﹣1（x ﹣1；（2）∵2230x xy y −−=的解是x y =，∴原式=x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查了因式分解，利用乘法公式和求根公式是解答本题的关键．题型四：二次项系数不为1的实数范围内二次三项式因式分解例4.二次三项式2x 2-8x+5在实数范围内因式分解为（,,,,）A.,B.,C.,2(x+)(x-)22D.,2(x-)(x-)22【答案】D ；【解析】解：令2x2-8x+5=0，解得：x1=，x2=，则2x2-8x+5=2(x x ．故选D ．【变式1】在实数范围内因式分解：222x x −−=__________________.【答案】2(x x ；【解析】解：2220x x −−=的解是1x =，214x =，所以222x x −−=2(x x【变式2】在实数范围内因式分解：2221x x −−=______.【答案】2⎛ ⎝⎭⎝⎭x x ；【解析】解：22122122x x x x ⎛⎫−−=−− ⎪⎝⎭=21111222442x x ⎛⎫−⋅+−− ⎪⎝⎭=213224x ⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=221222x ⎡⎤⎫⎛⎫⎢⎥−−⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=11222x x ⎛−− ⎝⎭⎝⎭=2x x ⎛⎝⎭⎝⎭.【变式3】在实数范围内分解因式：2225x x −−=____．【答案】112()2222x x −−−+；【解析】解：2225x x −−=21112()42x x −+−=21112()22x −−=21112()24x ⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦11=2(22x x −−，故答案为：112()()2222x x −−−+．【变式4】分解因式：2235a ab b −−.【答案】3a a ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭; 【解析】解：因为222=2543()370b b b ∆−⨯⨯−=≥，故方程22350a ab b −−=的两根为a ==，故22353a ab b a a ⎛⎫⎛⎫−−= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 题型五：实数范围内二次三项式因式分解的应用例5.如果二次三项式px 2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解，求p 的取值范围．【答案】p≥﹣1且p≠0；【解析】解：∵二次三项式px2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解， ∴px2+2x ﹣1＝0有实数解， ∴△＝4+4p≥0，且p≠0，解得：p≥﹣1且p≠0．【变式1】二次三项式2342x x k −+，当k 取何值时，（1）在实数范围内能分解；（2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？【答案】（1）32≤k ；（2）32>k ；（3）32=k ，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛−x ．【解析】（1）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内能分解，则方程23420x x k −+=要有实数根，则需要满足()021242≥⋅−−=∆k ，解得：32≤k ；（2）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内不能分解，则方程23420x x k −+=没有实数根，则需要满足()021242<⋅−−=∆k ，解得：32>k ；（3）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内能分解成一个完全平方式，则方程23420x x k −+=有两个相等实数根，则需要满足()021242=⋅−−=∆k ，解得：32=k ．此时，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛−x ．【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．【变式2】阅读题：分解因式：223x x −−. 解：原式22113x x =++−−,,,,,,,,()2214x x =++−,,,,,,,,()214x =+− ,,,,,,,,()()1212x x =+++− ,,,,,,,,()()31x x =+−.此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法.此题为用配方法分解因式.请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：2441a a +−.【答案】(2121a a ++.【分析】先配方，再根据平方差公式分解即可．【详解】()(224412122121a a a a a +−=+−=+++【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键.,此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．,【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（）【答案】C【分析】利用完全平方公式把A 分解，利用十字乘法把B 分解，再分别令229=0,y y −+21=0,y −再计算根的判别式，从而可判断C ，D ，从而可得答案. 【详解】解：()22442,x x x −+=−故A 不符合题意；()()22352=32,x xy y x y x y −−+−故B 不符合题意；令229=0,y y −+则4419320,=−⨯⨯=−<,所以229y y −+在实数范围内不能分解，故C 符合题意；令21=0,y −则()2=4241160,b ac −=−⨯⨯−=>,y ∴=,12y y ∴==,21=,y y y ⎛∴− ⎝⎭⎝⎭故D 不符合题意；故选：C【点睛】本题考查的是因式分解，一元二次方程的解法，根的判别式，掌握利用公式法解一元二次方程，进而分解因式是解题的关键.2．（2023·上海·八年级假期作业）下列关于x 的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（） A ．21x x −+ B ．21x mx −+ C ．21x mx −− D ．22x xy y −+【答案】C【分析】根据一定能在实数范围内因式分解可知必须满足240b ac ∆=−≥，分别进行判断即可；【详解】21x x −+的241430b ac −=−=−<，故A 错误；21x mx −+的2244b ac m −=−，可能大于0，也可能小于0，故B 错误； 21x mx −−的22440b ac m −=+>，故C 正确；22x xy y −+的22224430b ac y y y −=−=−≤，故D 错误；故选C ．【点睛】本题主要考查了能在实数范围内分解因式的条件，根据题意判断出判别式的符号，认真计算，熟练掌握任何数的平方都是非负数是解题的关键．3．（2021秋·上海宝山·八年级校考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（） A ．x 2﹣3x +2 B ．2x 2﹣2x +1C ．2x 2﹣xy ﹣y 2D ．x 2+3xy +y 2【答案】B【分析】利用十字乘法把选项A ，C 分解因式，可判断A ，C ，利用一元二次方程根的判别式计算的值，从而可判断B ，D ，从而可得答案. 【详解】解：()()23212,x x x x -+=--Q ,故A 不符合题意；令22210,x x -+=,()2=242140,\--´´=-<V ,所以2221x x −+在实数范围内不能够因式分解，故B 符合题意；()()2222,x xy y x y x y --=+-Q ,故C 不符合题意；令2230,x xy y ++=,()22234150,y y y \=-´´=³V ,所以223x xy y ++在实数范围内能够因式分解，故D 不符合题意；故选B【点睛】本题考查的是利用十字乘法分解因式，一元二次方程的根的判别式的应用，掌握“利用一元二次方程根的判别式判断二次三项式在实数范围内能否分解因式”是解本题的关键.【答案】C【分析】从题中可以看出多项式非一般方法可以解出，可以将式子变成关于x 的一元二次方程进行求解，之后再代入因式分解的形式中即可．【详解】解：令22230x xy y −−=，解得1x y =，2x y =，所以22232()()x xy y x y x y −−=，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是利用特殊方法进行因式分解，掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． 5．（2022秋·上海嘉定·八年级统考期中）在实数范围内不能分解因式的是（）【答案】C【分析】二次三项式可分解因式的前提是方程有实数根，根据方程根的判别式24b ac ∆=−与0的大小关系判断方程是否有实数根，即是否可分解因式．【详解】A 、()()24421240∆=−−⨯⨯−=>，B 、(()2416360∆=−−⨯⨯−=>，C 、()2245112160∆=−−⨯⨯=−<，D 、()()22442360∆=−−⨯⨯−=>，只有C 选项∆小于0,，即C 选项不能分解因式，故选：C ．【点睛】本题考查了二次三项式是否可因式分解，熟练运用根的判别式是解题的关键．【答案】B【分析】二次三项式能不能在实数范围内分解因式，关键是看判别式的范围．0∆≥，能分解因式；Δ0<，不能分解因式．【详解】解：A ：24b ac ∆=−，()21413=−−⨯⨯，112=−,，110=−<．23x x −+不能在实数范围内分解因式．故A 错．B ：24b ac ∆=−()21412m ⎛⎫=−−⨯⨯− ⎪⎝⎭220m =+＞． 212x mx −−能在实数范围内分解因式．故B 正确．C ：24b ac ∆=−，()2243−−=,，40−，223x −+不能在实数范围内分解因式．故C 错．D ：24b ac ∆=−，()()21412m =−−⨯⨯−，18m =+，m 的值不定，18m +的符号不确定，故不能判断22x x m −−能否在实数范围内分解因式．故D 不一定．故答案为：B ．【点睛】本题考查是在实数范围内分解因式，解题的关键是判别式的应用．二、填空题7．（2022秋·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2331x x +−=__________．【答案】3x x ⎛ ⎭⎝⎝⎭ 【分析】求得方程23310x x +−=的两个根，即可求解．【详解】解：23310x x +−=3a =，3b =，1c =−，()249431210b ac ∆=−=−⨯⨯−=>，x =，136x −=，236x −=23333666633133x x x x x x ⎛⎛+−=−=+ −+− ⎝⎭⎝−+⎝⎭⎭⎝⎭，故答案为：3x x ⎛ ⎭⎝⎝⎭ 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了公式法求解一元二次方程，解题的关键是正确求得一元二次方程的两个根．8．（2022秋·上海松江·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x xy y ++=________．【答案】)【分析】先把原式变形为()222522x xy y x +−+，可得到()2225x y x +−，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解．【详解】解：223105x xy y ++22251205x xy y x +−=+()222252x xy y x +−=+()2252x y x +−=))22x y ⎤⎦−+=)=．故答案为：)【点睛】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键．9．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）在实数范围内分解因式：233x x−−=_____．【答案】322x x⎛−−⎝⎭⎝⎭【分析】令2330x x−−=，解得1x=，2x，把233x x−−写成因式分解的形式即可．【详解】解：令2330x x−−=，则1,3,3a b c==−=−，∵()()224341321b ac−=−−⨯⨯−=，∴x=，即1x=，2x=，则233xx x x⎛−−⎛⎝⎝=⎭⎭．故答案为：322x x⎛−−⎝⎭⎝⎭．【点睛】此题考考查了实数范围内的因式分解，正确求解一元二次方程是解题的关键．10．（2022秋·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期中）在实数范围内分解因式：231−−=xx_________________．【答案】3x x⎛⎝⎭⎝⎭【分析】先解方程2310x x−−=，求得方程的两个根，即可求解．【详解】解：2310x x−−=，∵3,,1,1a b c ==−=−，∴2411213b ac ∆=−=+=，∴x ，∴12x x =， ∴231−−=xx 3x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭．故答案为：3x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解，正确的求得方程的两根是解题的关键．11．（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）在实数范围内分解因式237x x −−=_______．【答案】x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】将237x x −−化成一个完全平方式与另一个数的差，再运用平方差公式分解因式．【详解】解：237x x −−22337324x x ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭ 233724x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭3322x x ⎛=−− ⎝⎭⎝⎭x x ⎛= ⎝⎭⎝⎭．故答案为：x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题主要考查实数范围内分解因式，其中涉及完全平方公式和平方差公式的运用． 12．（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）若二次三项式234ax x ++在实数范围内能因式分解，则a 的最大整数解为______．【答案】1−【分析】由二次三项式234ax x ++在实数范围内可以因式分解，可得2340ax x ++=是一元二次方程且在实数范围内有解，再根据一元二次方程根的判别式列不等式即可得到答案．【详解】解：∵,二次三项式234ax x ++在实数范围内可以因式分解，∴2340ax x ++=是一元二次方程且在实数范围内有解，∴0a ≠，23440a ∆=−⨯⨯≥，解得,916a ≤且0a ≠，所以a 的最大整数解为1−．故答案为：1−．【点睛】本题主要考查了二次三项式在实数范围内分解因式，一元二次方程根的判别式，掌握“二次三项式在实数范围内可以因式分解的含义”是解本题的关键． 13．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++=______．【答案】3xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】令t xy =，则式子可化为3105t t ++，令231050t t ++=，求解即可．【详解】解：令t xy =，则式子可化为23105t t ++，令231050t t ++=，3a =，10b =，5c =t ==即1t=，2t=∴22310533x y xy xy xy xy xy ⎛⎛++== ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：3xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭【点睛】此题考查了因式分解，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得一元二次方程的两个根． 14．（2022秋·上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考期中）在实数范围内因式分解：22231xy xy −−=__________【答案】2xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】令t xy =，则式子可化为2231t t −−，令22310t t −=−，求解即可．【详解】解：令t xy =，则式子可化为2231t t −−，令22310t t −=−则2a =，3b =−，1c =−t===则1t =，2t =222312x y xy xy xy ⎛−−=⎝⎭⎝⎭故答案为：xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了换元法和一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得方程的根．15．（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：2231x x +−=_____．【答案】2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭【分析】结合题意，当231022x x +−=时，通过求解一元二次方程，得 231022x x x x ⎛+−==⎝⎭⎝⎭，结合22312x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭，即可得到答案．【详解】解：2231231222x x x x ⎛⎫+−=+− ⎪⎝⎭，当231022x x +−=时，得x ==，∴231022x x x x ⎛+−== ⎝⎭⎝⎭，∴23122x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭，∴22312x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭．故答案为：2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查了因式分解和一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．16．（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）在实数范围内分解因式：224x x −−=__．【答案】(11x x −−【详解】解:原式,()2215x x =−+−22(1)x =−−(11x x =−−故答案为：(11x x −+−【点睛】本题考查了因式分解，利用完全平方公式得出平方差公式是解题关键．17．（2022秋·上海·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2243x x −−___________．【答案】2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】根据公式法解22430x x −−=，得出22x =，再根据因式分解即可得出答案．【详解】解：由22430x x −−=，得：22x =，原式232222x x x x ⎛⎛⎫=−−= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2226x xy y −−=_____________.【答案】2x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】先提取2，再将括号里面的式子配方，最后用平方差公式因式分解即可．【详解】解：2226x xy y −−221232x xy y ⎛⎫ ⎪⎝=−⎭− 222291923424x xy y y y ⎛⎫− ⎪⎝=−−⎭+ 22311224x y y ⎡⎤⎛⎫−⎢=⎥ ⎪⎝⎭⎢−⎥⎣⎦22322x y y ⎫=−⎪⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦33222x y y x y y ⎛⎫⎛⎫=−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2x y x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：2x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查了利用公式法因式分解以及实数的概念，主要涉及完全平方公式以及平方差公式，熟记完全平方公式以及平方差公式是解题关键．三、解答题19．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内分解因式：(1)422772x x +−；(2)4241036y y −−+．【答案】(1)())2833x +−+ (2)()(2229y y y −+【分析】（1）先利用十字相乘法分解，然后利用平方差公式法分解因式求解即可；（2）先提公因式，然后利用十字相乘法分解，然后利用平方差公式法分解因式求解即可．（1）原式()()22829x x =+−())2833x =+−+（2）原式为()4222518y y =−+−()()222292y y =−+−()(2=22+9y y y −−【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．20．（2021秋·上海·八年级校考阶段练习）在实数范围内因式分解：22327x xy y −−【答案】3x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】先提公因式，再进行配方，运用平方差公式进行因式分解．【详解】解：22327x xy y −−22273()33x xy y =−− 222221173()3993x xy y y y =−+−−221223[()]33x y y =−−113()()33x y y x y y =−−3()()x y x y =．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．21．（2022秋·八年级统考期中）在实数范围内因式分解：22236x xy y −−+【答案】2x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】求出关于x 的一元二次方程222360x xy y −−+=的解即可得出答案．【详解】解：解关于x 的一元二次方程222360x xy y −−+=，得：x ==， ∴1x y=，2x y=，∴222362x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫−−+=− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查实数范围内分解因式，掌握“()200ax bx c a ++=≠的两个根分别为1x 、2x ，则()()212++=−−ax bx c a x x x x ”是正确解答的关键．22．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：22323x xy y−−．【答案】3x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【详解】解：22323x xy y −−＝2223()3x xy y −−＝22221103()399x xy y y −+−221103()39x y y ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦11333x y y x y ⎛⎫⎛⎫=−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3x y x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握用配方法进行因式分解是解决本题的关键．23．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++．【答案】xy xy ⎡⎡⎣⎣．【分析】把223x y 化为222252x y x y −，则利用完全平方公式得到原式()222512xy x y =+−，然后利用平方差公式分解因式．【详解】解：原式222251052x y xy x y =++− ()22225212x y xy x y =++−()222512xy x y =+−))11xy xy ⎤⎤=++⎦⎦xy xy ⎡⎡=⎣⎣故答案为：xy xy ⎡⎡⎣⎣ 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键． 24．（2022秋·上海·八年级上海市黄浦大同初级中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2222x xy y −++【答案】24x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】列出关于x 的一元二次方程，求得方程的根，再根据方程的根写出因式分解的结果即可【详解】解：∵关于x 的一元二次方程为：22022x xy y ++=−，∵()22224422170b ac y y y ∆=−=−⨯−⨯=≥，∴x y ==， ∴1x y =，2x y=，∴22222x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫=− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝+⎭−+【点睛】本题考查了实数范围内因式分解，掌握“若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根为1x ，2x ，则()()212++=−−ax bx c a x x x x ”是解决问题的关键. 25．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内因式分解（1）2442y y +−；（2）2235x xy y −−．【答案】（1）(2121y y ++；（2）3x x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）先拆项，再根据完全平方公式变形，最后根据平方差公式分解即可；（2）首先解方程得出方程的根进而分解因式．【详解】解：（1）2442y y +−=24413y y ++−=()2213y +−=(2121y y ++；（2）令2235x xy y −−=0， ()()22254337y y y =−−⨯⨯−=△，∴x =，∴x 或x =，∴2235x xy y −−=3x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．。

二次三项式因式分解用公式法

二次三项式因式分解用公式法二次三项式因式分解是指将一个二次三项式表达式分解为两个一次因式的乘积。

对于给定的二次三项式 $ax^2 + bx + c$，其中$a \neq 0$，我们可以使用公式法来进行因式分解。

公式法主要分为两个步骤，先求解二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根，然后根据根的性质进一步分解。

首先，根据求根公式，二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根可以分为两种情况：实根和共轭复根。

1. 实根的情况：如果二次方程的判别式 $b^2 - 4ac \geq 0$，则方程有两个实根。

此时，我们可以使用根与系数的关系来进行因式分解。

设方程的两个实根分别为 $x_1$ 和 $x_2$，则可以得到以下关系：\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\]\[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]根据上述关系，我们可以将二次三项式因式分解为：\[ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\]2. 共轭复根的情况：如果二次方程的判别式 $b^2 - 4ac < 0$，则方程有两个共轭复根。

此时，我们需要使用复数的知识来进行因式分解。

设方程的两个共轭复根分别为 $x_1$ 和 $x_2$，则可以得到以下关系：\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\]\[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]根据上述关系，我们可以将二次三项式因式分解为：\[ax^2 + bx + c = (x - x_1)(x - x_2)\]其中，$x_1$ 和 $x_2$是共轭复数，可以表示为 $x_1 = p + qi$ 和$x_2 = p - qi$。

总结一下，二次三项式因式分解的公式法主要分为以下几个步骤：1. 求解二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根。

2.根据根的性质将二次三项式因式分解为两个一次因式的乘积。

二次三项式的因式分解

已知关于x的方程mx2 – 2（m + 2）x + （m + 5）在实数范围内不能分解因式，判定关于x的方程（m – 5）x2 – 2（m + 2）x + m =0的实数根的情况
其他类式子的因式分解：
（） 1 x x y 72 y
4 2 2 2 2
4
2 2
( x 2 2 y)( x 2 2 y)( x 9 y )
2
2 2 11 2 2 11 5 x 4 x 8 5( x )( x ) 5 5
2
注意符号的变化
把2x 8xy 5 y 分解因式
2 2
将本题看作是关于x的二次三项式，所以应把y看作常数
解：关于x的方程2x2 – 8xy + 5y2 = 0的根是
x= 8y ?
2 7 2 7 （ 3 x y )( x y) 3 3
在实数范围内分解因式 - m2 - 2 2m + 3
- （m + 2+ 5)(m + 25)
在实数范围内分解因式
(2 x + 3a)( x - 3a) + 12ax
9 + 3 17 9 - 3 17 2（x + a)( x + a) 4 4
x 6 x 7 ( x 3) 2 ( x 3 2)( x 3 2)
2 (2 x 2) 3 4 x 8x 1 (2x 2 3)(2x 2 3)
2
2.
求根公式法
2
在分解二次三项式 ax bx c(abc 0)
可先用求根公式求出方程 ax bx c 0
1.二次三项式常见的分解方法

代数运算公式大全

代数运算公式大全一、整式运算公式。

1. 幂的运算公式。

- 同底数幂相乘：a^m· a^n=a^m + n（m，n为整数）- 同底数幂相除：a^m÷ a^n=a^m - n（a≠0，m，n为整数，m>n）- 幂的乘方：(a^m)^n=a^mn（m，n为整数）- 积的乘方：(ab)^n=a^nb^n（n为整数）- 商的乘方：((a)/(b))^n=frac{a^n}{b^n}（b≠0，n为整数）2. 整式乘法公式。

- 单项式乘单项式：ac· bd = abcd（a、b、c、d为系数或字母）- 单项式乘多项式：a(b + c)=ab+ac- 多项式乘多项式：(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd3. 乘法公式（特殊的多项式乘法）- 平方差公式：(a + b)(a - b)=a^2-b^2- 完全平方公式：(a± b)^2=a^2±2ab + b^2二、分式运算公式。

1. 分式的基本性质。

- (A)/(B)=(A× M)/(B× M)，(A)/(B)=(A÷ M)/(B÷ M)（M≠0，A、B、M为整式）2. 分式的乘除法。

- 分式乘法：(a)/(b)·(c)/(d)=(ac)/(bd)（b≠0，d≠0）- 分式除法：(a)/(b)÷(c)/(d)=(a)/(b)·(d)/(c)=(ad)/(bc)（b≠0，c≠0，d≠0）3. 分式的加减法。

- 同分母分式加减法：(a)/(c)+(b)/(c)=(a + b)/(c)（c≠0）- 异分母分式加减法：(a)/(b)+(c)/(d)=(ad+bc)/(bd)（b≠0，d≠0）三、二次根式运算公式。

1. 二次根式的性质。

- (√(a))^2=a（a≥slant0）- √(a^2)=| a|=a(a≥slant0) -a(a<0)2. 二次根式的乘除法。

初中数学如何因式分解二次三项式

初中数学如何因式分解二次三项式在初中数学中，我们经常会遇到需要因式分解二次三项式的问题。

因式分解是将一个多项式表示为两个或多个因式的乘积的过程。

对于二次三项式，我们可以使用以下几种方法进行因式分解：公式法、配方法和完全平方式。

下面我将为您详细介绍这些方法的步骤和示例。

一、公式法因式分解二次三项式的步骤公式法是一种快速因式分解二次三项式的方法，适用于特定的形式。

对于形如ax^2 + bx + c 的二次三项式，我们使用以下步骤进行因式分解：1. 计算二次项系数a，一次项系数b和常数项c的值。

2. 使用二次三项式的因式分解公式：ax^2 + bx + c = (mx + p)(nx + q)，其中m、n、p和q是待确定的数。

3. 根据公式，展开右边的乘积：(mx + p)(nx + q) = mnx^2 + (mq + np)x + pq。

4. 将展开得到的多项式与原二次三项式进行比较，确定m、n、p和q的值。

5. 将得到的因式分解形式写出来。

二、配方法因式分解二次三项式的步骤配方法是一种常用的因式分解二次三项式的方法，适用于一些特殊的情况。

对于形如ax^2 + bx + c的二次三项式，我们使用以下步骤进行因式分解：1. 将二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值确定下来。

2. 将二次项系数a乘以常数项c，得到ac。

3. 找到两个数的乘积等于ac，同时它们的和等于一次项系数b。

这两个数可以用于分解一次项。

4. 将一次项拆分为这两个数的和的形式。

5. 将二次三项式进行拆分和合并，得到因式分解的形式。

三、完全平方式因式分解二次三项式的步骤完全平方式是一种适用于特定情况下的因式分解二次三项式的方法。

对于形如ax^2 + bx + c 的二次三项式，我们使用以下步骤进行因式分解：1. 将二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值确定下来。

2. 将一次项系数b的绝对值拆分为两个数的乘积，这两个数的乘积等于二次项系数a和常数项c的乘积。

二次三项式的因式分解(公式法)

二次三项式的因式分解（用公式法）（一）一、教学目标（一）知识教学点：1．使学生理解二次三项式的意义；了解二次三项式的因式分解与解一元二次方程的关系．2．使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式．（二）能力训练点：通过本节课的教学，提高学生研究问题的能力．（三）德育渗透点：结合教材对学生进行辩证唯物主义观点的教育，进一步渗透认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般．二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点：用公式法将二次三项式因式分解．2．教学难点：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系．3．教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件．三、教学步骤（一）明确目标二次三项式的因式分解常用的方法是公式法、十字相乘法等．但对有些二次三项式，用这两种方法比较困难，如将二次三项式4x2+8x-1因式分解．在学习了一元二次方程的解法后，我们知道，任何一个有实根的一元二次方程，用求根公式都可以求出．那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根与二次三项式ax2+bx+c的因式分解有无关系呢？这就是我们本节课研究的问题，也就是研究和探索二次三项式因式分解的又一种方法——用公式法．（二）整体感知一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），观察方程的特点：左边是一个二次三项式，曾经借助于将左边二次三项式因式分解来解一元二次方程．反之，我们还可以利用方程的根，来将二次三项式因式分解．即在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a （x-x1）（x-x2）．通过知识之间的相互联系、相互作用和相互促进，对学生进行辩证唯物主义思想教育．公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出的依据是根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系为公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出奠定了基础．通过因式分解新方法的导出，不仅使学生学习了一个新方法，还能进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力．（三）重点、难点的学习与目标完成过程1．复习提问（1）写出关于x的二次三项式？（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解．①x2-2x+1；②x2-5x+6；③6x2+x-2；④4x2+8x-1．由④感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题．2．①引入：观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系．①x2-2x+1=0；解：原式变形为（x-1）（x-1）=0．∴ x1=x2=1，②x2-5x+6=0；解原方程可变为（x-2）（x-3）=0∴ x1=2，x2=3．③6x2+x-2=0解：原方程可变为（2x-1）（3x+2）=0．观察以上各例，可以看出，1，2是方程x2-3x+2=0的两个根，而x2-3x+2=（x-1）（x-2），……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式．②推导出公式=a（x-x1）（x-x2）．这就是说，在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊．③公式的应用例1 把4x2+8x-1分解因式解：∵方程4x2+8x-1=0的根是教师板书，学生回答．由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的．目的是化简①．练习：将下列各式在实数范围因式分解．（1）x2+20x+96；（2）x2-5x+3学生板书、笔答，评价．解2 用两种方程把4x2-5分解因式．方法二，解：∵ 4x2-5=0，方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法．练习：将下列各式因式分解．（1）4x2-8x+1；（2）27x2-4x-8；（3）25x2+20x+1；（4）2x2-6x+4；（5）2x2-5x-3．学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：（1）要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程2x2-6x-4=0，可变形为x2-3x-2=0；但将二次三项式分解因式时，就不能将3x2-6x-12变形为x2-2x-4．（2）还要注意符号方面的错误，比如上面的例子如果写成2x2-5x-（3）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）当△≥0时，方程有两个实根．当△＜0时，方程无实根．这就决定了：当b2-4ac≥0时，二次三项式ax1+bx+c在实数范围内可以分解；当b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．（四）总结与扩展（1）用公式法将二次三项式ax2+bx+c因式分解的步骤是先求出方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，再将ax2+bx+c写成a（x-x1）（x-x2）形式．（2）二次三项式ax2+bx+c因式分解的条件是：当b2-4ac≥0，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内可以分解；b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．（3）通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律．四、布置作业五、板书设计12.5 二次三项式的因式分解（一）结论：在分解二次三项式例1．把4x2+8x-1分解因式ax2+bx+c的因式时解：………可先用公式求出方程：……ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成练习：………ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）。

利用求根公式对二次三项式的因式分解

= (x 8)(x 12)
(3x 7 y)(2x y)
(3)在实数范围内分解因式 x2 5x 3
(x 5 13 )( x 5 13 )
2
2
(4)已知方程 2x2 8x 5a 0 有一个根是
4 6 , 2
则 2x2 8x 5a 分解因式为 2(x 4 6 )( x 12 6 )
2
2
分析：由根系关系可求出另一个根 12 6
2
然后代入公式即可
2. 选择题
（1）已知方程
2x2 ax 3 0的两根为3和 1 , 2
则2x2 ax 3分解因式的结果为（D ）
A、(x 3)(x 1) 2
C、2(x 3)(x 1) 2
B、2(x 3)(x 1) 2
答案：
(1)原式= (x+1)(x-2) (2)原式=- (x-1)(x-2) (3)原式=(2x+1)2 (4)？？？？
十字相乘十字相乘完全平方公式
开启智慧二次三项式 ax2+bx+c（a≠0) 的因式分解
x2 + 6x + 9 = 0的解是x_1_=_x_2_=__- _3 分解因式x2 + 6x + 9 = __(_x_+__3_)2___
我们把 ax2 + bx + c(a 构0,b 0, c ? 0) 叫做关于x的二次三项式这个式子的x的最高次项是2，并有一次项和常数项，共有三项。
将下列二次三项式因式分解
(1)x2 x 2
(2) - x2 + 3x - 2 (3)4x2 + 4x + 1

上学期二次三项式的因式分解(1-2)

注意：1、因式分解是恒等变形，所以分解因式后的式子中的 a 千万不能忽略。 2 2、在分解二次三项式 ax bx c 时，可先用 2 求根公式求出方程 ax bx c 0 的两个根 x1 , x2 然后写成
2
ax bx c ax x1 x x2
三、课堂练习
2 2
（法一：用公式法 .
法二、双十字法）
练习、因式分解
x² - 5xy + 6y² - x + y -2
例2、如果a>0 且b2-4ac=0, 求证：二次三项式 ax2+bx+c 是完全平方式.
例3、已知 x 的二次三项式
2 x 4 3x m m
2 2
是一个完全平方式，求 m 的值。例4、化简分式
一、复习
1、用十字相乘法分解下列各式：
（1）（2）（3）
x x2
2
2 x 3x 2
2
x 2x 2
2
说明：其中（3）用十字相乘法就不容易了。
2、对于用十字相乘法分解因式较困难的题目，促使我们寻求其他方法。如同我们在解二次方程时，用直接开平方法不易解决时，人们发明了配方法。把原方程变形为
四、小结 1.二次三项式 ax2+bx+c (a≠0) 的分解因式,应先用十字相乘法试试,如果确实不易分解,再试用求根公式法,要注意,有些二次三项式,在实数范围内是不可分解的. 2.二次三项式 ax2+bx+c (a>0) 可以成为完全平方的条件是 b2-4ac=0. 3.当△<0时，二次三项式在实数范围内不能分解因式。五、作业：
2
ax2 bx ca 0

初三数学二次三项式的因式分解(用公式法) 知识全析人教义务版

数学二次三项式的因式分解（用公式法）【学习目标】1．了解二次三项式的因式分解与解方程的关系．2．会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式．【主体知识归纳】分解二次三项式ax 2＋bx ＋c 时，先用公式法求出方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根x 1、x 2，然后写成ax 2＋bx ＋c ＝a （x －x 1）（x －x 2）．【基础知识讲解】1．在利用一元二次方程的求根公式将一般的二次三项式分解因式时，有两点要特别注意：(1)要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程3x 2－6x －12＝0，可变形为x 2－2x －4＝0，但在分解因式时，就绝不能写为3x 2－6x －12＝x 2－2x －4．（2）当二次项系数不等于1时，不要漏写系数，例如分解因式2x 2－6x ＋4，先求出方程2x 2－6x ＋4＝0的两根x 1＝1，x 2＝2，所以2x 2－6x ＋4＝2（x －1）(x －2)，若漏写系数写为2x 2－6x ＋4＝（x －1）(x －2)就错了．2．二次三项式的因式分解均可采用公式法，但比较麻烦．因此，在进行二次三项式的因式分解时，应尽量采用“十字相乘法”，若行不通再用公式法．另外，还应注意因式分解的范围．如5x 2－5x ＋1在有理数范围内不可分解，而在实数范围内能分解．3．二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2－4ac ≥0时，在实数范围内能分解因式；当Δ＜0时，在实数范围内不能分解因式．特别地，当a ＞0，Δ＝0时，ax 2＋bx ＋c 是一个完全平方式．【例题精讲】例1：把6x 2－11x －7分解因式．解法一：∵方程6x 2－11x －7＝0的根是x ＝121711122891162)7(64)11()11(2±=±=⨯-⨯⨯-±-- 即x 1＝37，x 2＝－21． ∴6x 2－11x －7＝6（x －37（x ＋21）＝（3x －7）（2x ＋1）．解法二：6x 2－11x －7＝(3x －7)(2x ＋1)．例2：把6x 2＋12xy ＋5y 2分解因式．剖析：本题可看作是关于x (或y )的二次三项式．先求出关于x (或y )的方程6x 2＋12xy ＋5y 2＝0的根，再借助于二次三项式的分解法进行分解．解：∵关于x 的方程6x 2＋12xy ＋5y 2＝0的根是x ＝y y y y y y 66612621262564)12(122±-=±-=⨯⨯⨯-±-2， ∴6x 2＋12xy ＋5y 2＝6（x －666+-y ）（x －666--y ）＝6（x ＋666-y ）（x ＋666+y ）例3:在实数范围内分解因式(2x 2＋3x )2－3(2x 2＋3x )＋2．剖析：此多项式若去括号化成一般形式，一是运算量大，二是增加了分解因式的难度（因为出现了四次式），通过观察分析，所给的多项式可看作是关于(2x 2＋3x )的二次三项式，故考查用公式法或十字相乘法分解．解：(2x 2＋3x )2－3(2x 2＋3x )＋2＝(2x 2＋3x －2)(2x 2＋3x －1)＝(2x －1)(x ＋2)·2(x －4173+-)(x －4173--) ＝2(2x －1)(x ＋2)(x ＋4173-)(x ＋4173+) 说明：在进行二次三项式分解因式时，要注意两种方法的灵活选择，一般来说，十字相乘法比较快捷，但适用的范围较窄，而公式法适用于一般的二次三项式，是通法．例4:关于x 的二次三项式3x 2－5x ＋2m －1，问m 取何值时：（1）在实数范围内能分解因式；（2）在实数范围内不能分解因式．剖析：用公式法给出了一种分解二次三项式的一般方法，即通过解所对应的一元二次方程，得出根后才能分解．但方程有没有实数根需经过根的判别式判定．解：令3x 2－5x ＋2m －1＝0，∴Δ＝(－5)2－4×3×(2m －1)＝37－24m ． (1)当37－24m ≥0时，即m ≤2437时，二次三项式3x 2－5x ＋2m －1能在实数范围内分解因式． (2)当37－24m ＜0时，即m >2437时，二次三项式3x 2－5x ＋2m －1不能在实数范围内分解因式．说明：一个二次三项式在实数范围内能不能因式分解，关键是其所对应的一元二次方程有没有实数解．【思路拓展题】及时复习深化巩固孔子说过：“温故而知新”，讲述的就是要及时复习这样一个道理。

二次三项式的因式分解用公式法

二次三项式的因式分解用公式法二次三项式的因式分解是一个常见的数学问题。

在解答这类问题时，有时可以使用“公式法”来分解二次三项式。

这个方法利用了二次三项式的特定公式，即二次三项式的通项公式和二次三项式的因式分解公式。

本文将详细讨论二次三项式的因式分解，并说明如何使用公式法来进行因式分解。

首先，让我们回顾一下二次三项式的通项公式。

二次三项式的通项公式为：$y=ax^2+bx+c$，其中$a, b, c$为实数，且$a\neq 0$。

要注意的是，这个公式只适用于二次三项式，不适用于其他类型的多项式。

接下来，我们来说明二次三项式的因式分解公式。

对于任意二次三项式$y=ax^2+bx+c$，其中$a, b, c$为实数，且$a\neq 0$，它的因式分解形式为：$y=a(x-r_1)(x-r_2)$，其中$r_1$和$r_2$是二次三项式的两个实根。

根据这个因式分解公式，我们可以使用公式法来分解二次三项式。

下面，我们将具体介绍如何进行这个过程。

步骤一：将二次三项式的系数代入通项公式中，得到二次三项式的一般形式$y=ax^2+bx+c$。

步骤二：计算二次三项式的判别式$\Delta=b^2-4ac$。

根据判别式的值，我们可以判断二次三项式的根的情况。

- 如果判别式$\Delta>0$，则二次三项式有两个不同的实根。

这意味着二次三项式可以进行因式分解。

- 如果判别式$\Delta=0$，则二次三项式有两个相同的实根。

这意味着二次三项式可以进行因式分解，且其中一个因式是二次三项式的平方。

- 如果判别式$\Delta<0$，则二次三项式没有实根。

这意味着二次三项式不能进行因式分解。

步骤三：根据判别式的值，进行不同的因式分解。

- 如果判别式$\Delta>0$，则根据二次三项式根的公式，可以计算出两个实根$r_1$和$r_2$。

- 如果判别式$\Delta=0$，则根据二次三项式根的公式，可以计算出一个实根$r$。

二次三项式,分解因式的技巧、窍门

二次三项式，分解因式的技巧、窍门二次三项式，ax" + bx + c ( a > 0 )，构成了中学数学的重点，一元二次方程ax" + bx + c = 0 和二次函数y = ax" + bx + c 。

解一元二次方程，通常也都是使用因式分解法。

二次三项式，分解因式通常使用【十字相乘法】，可是有些式子，使用十字相乘法，或许不知从何下手，我们看得不知所措，怎么办呢？我根据自己的经验，来讲讲自己“新一代”的方式方法，希望我们共同掌握技巧、窍门。

让我们一同探索奥秘，一同拿起新武器吧！工具/原料∙拆项分组分解因式，或者这样做草稿，分解因式就会感到方便轻松。

∙例题（1），x" ±10x ±24 ；∙例题（2），8x" ±52x ±60 ；∙配方法分解因式，解一元二次方程，对付复杂的式子，也是使用配方法。

①拆项分组分解法(1)，x" ±10x ±24正如x" + (a+b)x + ab = ( x + a )( x + b )，先把单项式mx = (a+b)x 一分为二，变成ax + bx ，就能够分组，提公因式，进行分解了。

关键是看常数项的正负，决定一次项怎样一分为二：【】如果常数项是正数，一次项拆开两个项的绝对值，就都比原来小；【】如果常数项是负数，一次项的绝对值，就是拆开两个项的相差数。

2②一次项怎样一分为二，为什么要根据常数项的正负呢？我们看看 x" ±10x ±24 这个二次三项式。

它相当特别，一次项、常数项，都有正负两种情况。

一次项、常数项的绝对值不变，整个式子就有四种情况，具体的四个式子都能做因式分解。

只要把具体的四个式子都做一遍，我们就会发现：【】常数项不变，只是一次项变成相反数，一次项一分为二的绝对值就不变；【】一次项不变，只要常数项变成相反数，一次项就要改变一分为二的方式。

二次三项式的因式分解用公式法

3 17 3 17 x1 , x2 （2）解这个方程，得方程的根 __________ _______; 4 4 2
2 x 3x 1 ___; 0 方程 __________
2
ax bx c __________ a( x x1 )(x ____; x2 ) （3）代入公式 __________
准备练习 1.下列多项式能否用 x2+(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)分解 =(x-1)(x-2) ( x x1 )(x x2 ) (1)x2-3x+2 (2)2x2 –10x +12 =2(x-2)(x-3) 2( x x1 )(x x2 ) (3)x2+x-1 ( x 1 5 )(x 1 5 ) ( x x1 )(x x2 ) 2 2 2求下列方程的根： (1)x2-3x+2 =0
2
b c x1 x 2 , x1 x 2 a a b c 即： ( x1 x 2 ), x1 x 2 a a
b c ax bx c a( x ) a a 2 a x ( x1 x2 ) x x1 x2
2 2

a( x x1 )(x x2 ) 2 在分解二次三项式 ax bx c的
(x1=1,x2=2) (x1=2,x2=3)
(2)2x2 –10x +12=0
(3)x2+x-1 =0
1 5 1 5 x1 , x2 2 2
探索:二次三项式ax2+bx+c 的因式分解与一元二次方程 ax2+bx+c=0的根有什么联系？
设ax bx c （ 0 a 0)的两个根为x 1 , x 2 , 则

二次三项式的因式分解(用公式法)

二次三项式的因式分解（用公式法）引言在代数学中，因式分解是一个重要的概念和技巧。

它可以将一个多项式表达式分解为较简单的乘积形式。

在本文中，我们将重点讨论二次三项式的因式分解，并介绍一种常用的方法——公式法。

二次三项式的定义二次三项式是指具有以下形式的多项式表达式：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b和c是实数且a ≠ 0。

公式法的基本原理公式法是一种通过使用特定的公式来分解二次三项式的方法。

具体来说，我们可以使用下面的公式来完成因式分解：f(x) = a(x - x1)(x - x2)其中，x1和x2为f(x)的根（也就是函数图像与x轴的交点）。

公式法的步骤下面是使用公式法进行二次三项式因式分解的一般步骤：1.计算二次三项式的判别式Δ。

判别式Δ的计算公式为Δ = b^2 - 4ac。

根据Δ的值可以判断二次三项式的根的情况。

–当Δ > 0时，二次三项式有两个不相等的实根。

–当Δ = 0时，二次三项式有两个相等的实根。

–当Δ < 0时，二次三项式没有实根，但可以分解为两个共轭复根。

2.根据根的情况计算x1和x2。

–当Δ > 0时，根据求根公式：x1 = (-b + √Δ) / 2ax2 = (-b - √Δ) / 2a–当Δ = 0时，二次三项式只有一个实根，即 x = -b / 2a。

–当Δ < 0时，二次三项式的根可以表示为复数形式：x1 = (-b + i√(-Δ)) / 2a和 x2 = (-b - i√(-Δ)) / 2a。

3.代入公式进行因式分解。

将计算得到的x1和x2代入公式f(x) = a(x -x1)(x - x2)，即可得到该二次三项式的因式分解形式。

示例为了更好地理解公式法的使用，我们来看一个例子：假设我们有一个二次三项式：f(x) = x^2 + 5x + 6。

首先，计算判别式Δ：Δ = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1由于Δ > 0，说明该二次三项式有两个不相等的实根。

二次三项式公式法

梯形（一）教学目标：知识与技能：1．探索并掌握梯形的概念2．探索并掌握等腰梯形的性质过程与方法：在日常生活中提炼出梯形及等腰梯形概念，形成感性认识，进而掌握等腰梯形的性质。

情感态度价值观：经历探索梯形的有关概念和性质，在简单的操作活动中发展学生的说理意识和主动探究的习惯，初步体会平移，轴对称的有关知识在研究梯形性质中的应用。

教学重点、难点：重点：掌握梯形和等腰梯形的有关概念，以及等腰梯形的性质。

难点：运用等腰梯形的性质解决相关的问题。

教学过程：一、创设情境，导入新课：在生活中，我们看到了哪些物体是梯形的形状？注意观察它们的边、角、对角线，想一想，它们有什么性质？二、合作交流、解读探究。

1．梯形及其分类通过观察具有梯形实例的图片而引入梯形的定义及相关概念，如图。

一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

其中互相平等的边称为梯形的底边，较长的底叫做下底，较短的底边称为上底，不平行的两边称为腰，腰与底边的夹角称为底角。

注意：梯形上底与下底的区分是根据长度，而不是根据位置，梯形同一腰上的两个底角互补。

试一试：如图（1）四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB 与CD 不平行，且CD ⊥BC 。

图（2）四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB 与CD 不平行，且AB=CD ，1）图（2）等腰梯形两腰相等的梯形称为等腰梯形。

梯形的分类：梯形一般梯形特殊梯形等腰梯形直角梯形 2．等腰梯形的性质做一做在一张有平行线条的纸上作一个等腰梯形，连接两条对角线（如P104图4-23所示），图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角？这个图形是轴对称图形吗？设法验证你的猜想。

解析：让学生利用平行线条的平行性来画梯形，然后截取相等的腰使其成为等腰梯形，再通过观察，探讨交流来研究等腰梯形的有关性质。

答案略。

等腰梯形的性质：（1）关于边：两底平行，两腰相等。

（2）关于角：同一底上的两个底角相等，同一腰上的两个底角互补。

一元二次方程二次三项式

一元二次方程二次三项式哎呀，今天咱们聊聊一元二次方程这个小家伙。

听到这个词，可能很多人脑海里就冒出一堆公式，哎呀，感觉像回到了那个让人心烦的数学课。

可是，别急，让我们轻松一下，把这些数学知识捋顺捋顺。

你知道吗？一元二次方程其实就是像个小魔法，咱们用它可以解决很多问题，比如说，求解一个未知数，真是神奇的事情呢。

一元二次方程的标准形式是这样的：( ax^2 + bx + c = 0 )。

哎，这里的 ( a )、( b )、( c ) 就是那些常数，而 ( x ) 则是我们要找的未知数。

哦，别被公式吓到了，想象一下，( a )、( b )、( c ) 就像是做菜的材料，有了它们，才能做出美味的菜肴。

就像做饭一样，得有主料、配料和调味料。

比如说， ( a ) 可以是你家里常用的面粉，( b ) 是盐，而 ( c ) 是你喜爱的酱油。

缺了哪个，菜的味道都不好！说到这里，大家可能会问，方程到底有什么用呢？这就好比你在生活中遇到的各种麻烦。

比如说，你的车速和时间，想知道多久能到达目的地，就得用到这个方程。

就像走路一样，如果你知道步伐和时间，那就能算出距离。

更妙的是，解这个方程后，你会发现有时候会有两个解，这就像人生的选择，有时候路口岔道，左转还是右转，全看你自己！这就让人想起成语“岔路口”，真是个形象的说法。

解这个方程，有一种特别简单的方法，就是用公式法。

公式是这样的：( x = frac{{b pm sqrt{{b^2 4ac{2a )。

哎呀，听上去像是在读古文，其实也不难。

这里的 ( pm ) 是说可能有两个解。

就像你看电影，有时结局是一对恋人终成眷属，有时却是悲剧收场，真是让人揪心。

不过，这个 ( b^2 4ac ) 叫做判别式，决定了方程的解有几个。

有时候它是个正数，表示有两个不同的解；如果是零，哎，那就说明你只有一个解；如果是负数，哦，那就没戏了，方程没解。

生活中总是有这样的选择，不是吗？再说说这个解法，虽然听上去有点复杂，但其实每一步都有它的道理。

17.4二次三项式的因式分解求根公式法.课件

3x2
7x
4
0的解是
4
_x1____3_,_x2____1
分解因式3x2 7x 4 __(3_x___4_)_(_x___1)___ 3(x
4)(x 1) 3
二次三项式 ax2+bx+c（a≠0)的因式分解若ax2+bx+c=0 (a≠0)的解是 x1、x2
分解因式 ax2+bx+c （a≠0) ＝ a(x x1)(x x2 ) 该结论怎样证明？
二次三项式 ax2+bx+c（a≠0)的因式分解
x2 7x 6 0的解是_x_1 __1_,_x_2 _ 6分解因式x2
4x2 12x 9 0的解是 _x1____x_2___32__
分解因式4x2 12x 9 _(_2_x__3_)_2 _
7x 6 (x___1_)(_x___6_)
4(x 3)2 2
注意：因式分解是恒等变形，所以公式
ax2 bx c a(x x1)( x x2 )
a 中的因式
千万不能忽略。
在实数范围内分解因式
3x2 4xy y2
（ 3 x 2 7 y)( x 2 7 y)
3
3
5m2 2mn 2n2 5 (m 1 11 n)(m 1 11 n)
5
5
当m为何值时，二次三项式2x2 + 6x – m （默8）
D、2(x 3)(x 1) 2
（2）下列二次三项式在实数范围内不能分解因式的是（ D）
A、6x2 x 15
B、3y2 7 y 3
C、x2 2xy 4 y2 D、2x2 4xy 5 y2
x2+px+q= x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

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