2011概率论与数理统计试题及答案 3

)0.9

B=

πλ,且则λ=

()

2

Nσ

~(2,

Eλ,X

()

2

(,

Nμσ

的置信区间为

分）设一仓库中有

(0,1)

U,

袋中装有标号为1,2,2的

分别表示第一、第二次取到的球上的号码数。求

陕西理工学院教务处

试题标准答案及评分标准用纸

课程名称 概率论与数理统计 （ A 卷） 一、填空题（每空3分,共30分） 1.

58 2.0.1 3.16 4. 13 5.2 6.0.3 7.12 8.20092010 9. 1

X

10.22

(X u X u α

α-+ 二、解：{}B =取的产品是正品, 1{}A =取的是甲厂的产品, 2{}A =取的是乙厂的产品, 3{}A =取的是丙厂的产品,易见123,,A A A Ω是的一个划分。

123()0.5,()0.3()0

.2P A P A P A ===，

123(|)0.9,(|)0.8(|)0.7

P B A P B A P B A ===， 由全概率公式,得3

1

()()(|)0.83i i i P B P A P B A ===∑

从而 1111()(|)()0.50.945

(|)

0.542()()0.8383

P A B P B A P A P A B P B P B ⨯====

≈ 三、解： ①2

2

()cos 21f x dx a xdx a π

π+∞-∞

-===⎰

⎰,故a =0.5

②100

244

12(

100)()cos 424P X f x dx xdx π

πππ

<<===⎰⎰ ③()()F x P X x =≤。当2

x π

<-时,()0F x =;

当2

2

x π

π

-

≤≤

时,2

11

()()cos (sin 1)22x

x

F x f t dt tdt x π-∞

-===+⎰

⎰

； 当2

x π

>

时,()1F x =。

故0,21

()(sin 1),2

221,2x F x x x x ππππ⎧

<⎪⎪

⎪=+-≤≤⎨⎪⎪

>⎪⎩

四、解：因为(0,1)X

U ，所以X 的密度函数为

1,(0,1)

()0,.

x f x ∈⎧=⎨

⎩其他 先求Y 的分布函数

()()()3ln ln 3Y y F y Y y X y X ⎛

⎫=P ≤=P -≤=P ≥- ⎪⎝⎭3y X e -⎛⎫=P ≥ ⎪⎝⎭

当0y ≤时，()0Y F y =；当0y >时，3313

()()11y y y

Y X e

e

F y f x dx dx e ---

+∞===-⎰⎰；

再求Y 的密度函数

()()3

1,

03

0,

y

Y Y dF y e y f y dy y -⎧>⎪==⎨⎪≤⎩

五、解：(,)X Y 联合分布律和边缘分布律见下表：

X 和Y 不相互独立。

5()()3E X E Y ==，8()3E XY =，1

(,)()()()09

COV X Y E XY E X E Y =-=-≠

从而X 和Y 不是不相关。

六、解：用X 表示10000粒种子中良种的粒数，则~(10000,0.2)X B 。 于是2000,

(1)1600EX np DX np p ===-=

由中心极限定理,得~(2000,1600)X N （近似）

(

0.20.005)(19502050)10000

2000

( 1.25 1.25)40

2(1.25)1X

P P X P X P -<=<<=<<-=-<

<=Φ- 查表(1.25)0.8944Φ=，所以(0.20.005)2(1.25)10.788810000

X

P -<=Φ-= 七、解：解：似然函数 222122

1

121

2

2221212()()()()

=1

=

(...)n n i i n x x x n

x n n

L f x f x f x x x x e

e

e

x x x e

θ

θ

θ

θ

θθ

θ

θ

θ

=-

-

-

-=∑

2

121

1

ln ()ln ln( (2)

n i

i L n x x x x

θθθ==-+-

∑

22

1

ln ()1

02n

i

i d L n x

d θθθθ

==-+=∑

21

1ˆ2n i i x n θ==∑ 八、解：要检验假设70:,70:10≠=μμH H ，

)1(~--=

n t n

S X t μ

，故拒绝域为)35(2

αt t ≥. 05.0=α，36=n ，0301.2)35(025.0=t ，5.66=x ，15=S ，

由于4.136

/15705.66=-=

t ,所以0301.2)35(2

=<αt t ，

故接受0H ，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.