椭圆型偏微分方程1
数学专业的椭圆偏微分方程
数学专业的椭圆偏微分方程椭圆偏微分方程作为数学中的重要分支之一，广泛应用于科学、工程和经济等领域。
本文将对数学专业的椭圆偏微分方程进行详细的探讨，介绍其基本概念、求解方法以及在实际应用中的一些典型案例。
一、椭圆偏微分方程的基本概念椭圆偏微分方程是指形如：$$Au_{xx}+Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_x+Eu_y+Fu = G $$的二阶偏微分方程，其中A、B、C、D、E、F、G都是已知的函数。
椭圆偏微分方程的主要特点是其二阶导数的系数满足某些条件，使得方程的解具有良好的性质。
二、椭圆偏微分方程的求解方法1. 分离变量法分离变量法是求解椭圆偏微分方程常用的方法之一。
通过假设解具有形如$u(x,y)=X(x)Y(y)$的形式，将变量分离后代入方程，得到两个关于X(x)和Y(y)的常微分方程。
进一步求解这些常微分方程，得到原方程的解。
2. 特征线法对于一类特殊的椭圆偏微分方程，可以通过特征线法求解。
特征线法的关键是通过变换将原方程转化为关于新坐标系的常微分方程，然后通过求解常微分方程得到原方程的解。
3. 数值方法对于一些复杂的椭圆偏微分方程，往往很难得到解析解。
此时，可以借助数值方法求解，如有限差分法、有限元法等。
这些数值方法通过将偏微分方程转化为差分或代数方程，然后运用数值计算方法得到近似解。
三、椭圆偏微分方程的应用椭圆偏微分方程在科学、工程和经济等领域有着广泛的应用。
以下是一些椭圆偏微分方程应用的典型案例：1. 热传导方程热传导方程描述了物体内部的温度分布随时间的变化。
通过求解热传导方程，可以模拟材料的热传导行为，对热传导问题进行分析和优化设计。
2. 电场方程电场方程描述了电荷在空间中的分布情况以及电场随时间的变化。
通过求解电场方程，可以研究电场的分布规律，解决电场问题，如电磁场的辐射问题、导体中的电磁场分布等。
3. 流体力学方程流体力学方程描述了流体在空间中的运动规律。
通过求解椭圆型流体力学方程，可以研究流体的运动行为，如空气动力学、水动力学、血液流动等问题。
椭圆型偏微分方程的解法
椭圆型偏微分方程的解法椭圆型偏微分方程是数学中经典的研究对象之一，它是指满足拉普拉斯方程或泊松方程的微分方程。
在实际应用中，椭圆型偏微分方程广泛存在于物理学、工程学、地球物理学、生命科学等领域，并且在工程设计和物理过程研究中具有重要的意义。
解决椭圆型偏微分方程的方法有多种，包括有限元法、有限差分法、谱方法等。
下面将分别介绍这些方法及其适用范围和优缺点。
有限元法是求解椭圆型偏微分方程的一种常用方法。
它适用于解决几何形状复杂的问题，如非规则物体的流动问题、地形表面运动等。
该方法将问题的解域分成若干个小的单元，然后对每个单元进行数值逼近，采用加权残差法对方程进行离散化处理，最终得到问题的解。
该方法的好处在于可以处理非线性问题，并且具有良好的处理误差和收敛性质，但其缺点是计算量大，在处理大规模问题时易出现计算瓶颈。
有限差分法是一种常见的数值计算方法，适用于处理较为简单的几何形状，如规则的网格结构。
该方法通过使用中心差分或者差分间断法来近似微分算子，在对区域进行离散化处理之后，使用代数方程组求解工具来求解问题的解。
该方法的好处在于计算量较小，易于理解和实现，并且在解决一些经典问题时表现较为优秀。
但是，有限差分法也存在着较为明显的限制，例如难以处理非线性问题，处理复杂的几何形状时计算误差较大等。
谱方法是一种高精度的数值计算方法，适用于解决各种类型的偏微分方程。
该方法通过对问题的解进行快速傅里叶变换或者切比雪夫变换等运算，来利用谱方法在空间上进行采样，然后将问题转化为代数方程组，通过求解代数方程组来求解问题的解。
谱方法的好处在于其计算精度极高，可用于处理包括复杂几何形状在内的各种问题。
同时，谱方法也具有快速收敛的特点，适用于对数值精度要求较高的问题。
但其缺点在于需要高效的算法实现，并且不适用于噪声多、非光滑或者有光滑界面和不连续性的问题。
总之，每种方法都有其适用的领域和优势。
在实际应用中，我们需要根据问题的特点来选择最为适合的解法。
椭圆型偏微分方程的求解及其应用[文献综述]
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毕业论文文献综述信息与计算科学椭圆型偏微分方程的求解及其应用一、 前言部分微积分产生以后，人们就开始把力学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究。
早在18世纪初，人们已经将弦线振动的问题归结为弦振动方程，并开始探讨了它的解法。
随后，人们又陆续了解了流体的运动、弹性体的平衡和振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解答，从而能通过实践，验证这些基本规律的正确性，显示了数学物理方程对于认识自然界基本规律的重要性。
有了基本规律，人们还要利用这些基本规律来研究复杂的自然现象和解决复杂的工程技术问题，这就需要求出数学物理方程中的许多特定问题的解答。
随着电子计算机的出现及计算技术的发展，即使是相当复杂的问题，也有可能计算出解得足够精确的数值来，这对于预测自然现象的变化（如天气预报）和进行各种工程设计（如机械强度的计算）都有着很重要的作用[1]。
许多复杂的自然现象，其运动规律、过程和状态都是通过微分方程这种数学形式来描述的。
当我们研究只有一个自变量的运动过程时出现的微分方程称为常微分方程。
当一个微分方程除了含有几个自变量和未知数外，还含有未知数的偏导数时，称为偏微分方程[2]-[6]。
在偏微分方程中，偏导数自然是不可缺少的。
例如： ()(),,u ua x y f x y x y∂∂+=∂∂ （1.1.1） 拉普拉斯方程22232220u u uu x y z∂∂∂∆=++=∂∂∂（1.1.2） 热传导方程()222,,u u a f x t u t x ∂∂=+∂∂（1.1.3） 波动方程()2222,,u a u f t x y t∂=∆+∂（1.1.4）等都是偏微分方程。
其中，u 为未知数，a 为常数，(),a x y 、f 为已知函数。
偏微分方程的一般形式为()112,,,,,,,,0n n x x F x x x u u u ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= （1.1.5） 其中：F 为已知函数；12,,,n x x x ⋅⋅⋅为自变量；u 是关于这些自变量的未知数。
椭圆型偏微分方程
椭圆型偏微分方程是一类非常重要的数学方程，它们是由一系列多元函数满足的偏微分方程的总称。
这类方程的名字来源于它们的解的形式，即椭圆型函数。
椭圆型偏微分方程的一般形式为：$$a_1\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+2a_2\frac{\partial^2u}{\partial x\partialy}+a_3\frac{\partial^2u}{\partialy^2}+b_1\frac{\partialu}{\partia l x}+b_2\frac{\partial u}{\partial y}+cu=f(x,y)$$其中，$u(x,y)$ 为未知函数，$a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,c$ 为常数。
如果所有的常数$a_1,a_2,a_3$ 都大于0，则称该方程为椭圆型偏微分方程。
Laplace 方程是最常见的椭圆型偏微分方程之一，它的形式为：$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$$ Laplace 方程可以用来描述许多物理现象，例如电场、热传导、流体动力学等。
Poisson 方程也是一种常见的椭圆型偏微分方程，它的形式为：$$\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=f(x,y)$$ Poisson 方程可以用来描述电场、热传导、流体动力学等现象。
Helmholtz 方程是另一种常见的椭圆型偏微分方程，它的形式为：$$\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+\frac{\partial^2u}{\partialy^2}+k^2u=f( x,y)$$其中，$k$ 是一个常数。
Helmholtz 方程可以用来描述许多物理现象，例如电磁场、声学现象等。
椭圆型偏微分方程
椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程是数学中重要的一类偏微分方程，它在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。
本文将对椭圆型偏微分方程的定义、性质及求解方法进行探讨。
一、椭圆型偏微分方程的定义及性质椭圆型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的一类，其主要特点是其二阶导数的符号确定，即二阶导数的符号一致。
一个一般的椭圆型偏微分方程可以表示为：\[Lu = \sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)\frac{{\partial^2u}}{{\partialx_i\partial x_j}} + \sum_{i=1}^{n}b_i(x)\frac{{\partial u}}{{\partial x_i}} + c(x)u = f(x)\]其中，\(L\)是椭圆算子，\(\frac{{\partial^2u}}{{\partial x_i\partialx_j}}\)是二阶偏导数，\(a_{ij}(x)\)、\(b_i(x)\)、\(c(x)\)是给定函数，\(f(x)\)是已知的源项函数。
对于椭圆型偏微分方程，有以下一些性质：1. 解的正则性：解的导数有界，满足一定的光滑性条件。
2. 最大值原理：在定义域上的解在边界上取得其最大（或最小）值时，只能在边界上取得。
3. 边值问题的唯一性：给定边界条件，边值问题有唯一解。
二、椭圆型偏微分方程的求解方法椭圆型偏微分方程的求解可以使用多种方法，下面介绍其中的两种常见方法：有限差分法和变分法。
1. 有限差分法有限差分法是将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程，通过对离散方程的求解得到近似解。
该方法将解域进行网格划分，利用差分代替导数，将方程离散化。
通过求解离散方程组，得到近似解。
有限差分法简单易实现，但对于复杂的几何形状或边界条件的问题可能需要较高的计算资源。
2. 变分法变分法通过泛函的极值问题来求解椭圆型偏微分方程。
将方程转化为泛函的极值问题后，通过极值问题的变分推导和变分运算得到数学模型的解。
数学中的椭圆型偏微分方程
数学中的椭圆型偏微分方程在数学领域中，椭圆型偏微分方程是一类重要的方程类型。
它在物理学、工程学和计算机科学等各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍椭圆型偏微分方程的定义、性质和求解方法，从而帮助读者更好地理解和应用这一方程类型。
一、椭圆型偏微分方程的定义椭圆型偏微分方程是指具有标准形式的二阶偏微分方程，其中二次项系数的行列式不为零。
一般而言，椭圆型偏微分方程可以表示为：∑[i,j=1 to n] {aij(x) ∂²u/∂xi ∂xj} + ∑[i=1 to n] bi(x) ∂u/∂xi + cu = f其中，a_ij、b_i、c、f是相关系数或函数；u是未知函数，表示问题的解；x_1，x_2，…，x_n是自变量。
二、椭圆型偏微分方程的性质1. 正定性：椭圆型偏微分方程的二次项系数矩阵是正定矩阵。
这意味着椭圆型方程的解在定义域上满足一定的正定性条件。
2. 内部渐进性：椭圆型方程的解在区域的内部是光滑且渐进的。
3. 边界条件：椭圆型方程需要通过边界条件来获得唯一解。
常见的边界条件包括：泊松方程中的迪里切特边界条件和诺依曼边界条件。
三、椭圆型偏微分方程的求解方法1. 分离变量法：分离变量法是椭圆型偏微分方程求解的一种常见方法。
通过假设解可以表示为各个自变量分量的乘积形式，然后将未知函数与其各个自变量的分量进行分离，最终得到一个由各自变量分量的常微分方程组成的代数方程。
2. 特征线法：特征线法适用于一类特殊的椭圆型偏微分方程。
通过求解特征方程，我们可以找到解的参数化表示，从而将原方程化为一个更简单的常微分方程。
3. 有限差分法：有限差分法是一种通过在空间和时间上离散化方程来数值求解椭圆型偏微分方程的方法。
通过将偏微分方程转化为差分方程，可以用迭代方法求解离散问题。
四、椭圆型偏微分方程的应用1. 热传导方程：热传导方程可以描述物体内部温度分布随时间变化的情况。
通过求解热传导方程，我们可以研究热量在不同材料中的传导行为。
模拟物理-09 第七章 椭圆型偏微分方程
双曲型方程
• 双曲型方程含有符号相反的二阶微商。例如描述 一根绷紧的弦的波动方程。
• 本章讨论适用于椭圆型方程的一些数值方法。
• 第七章讨论抛物型方程。 • 双曲型方程常常可以用相似的方法处理。
• 在本章我们将讨论适用于椭圆型方程的一
些数值方法。
• 为了讨论具体起见，我们将考虑关于二维 空间(x,y)内的场ϕ的椭圆型方程边值问题
• 在(i, N − 1)点上离散化的方程，可以改写为
• 偏微分方程的上述离散化近似等价于关于区域的 内点上的未知量ϕ值的一个线性方程组。 • 用矩阵记号，它可以写为
• ϕ是用所有内点排列成的列向量。 M是出现在方
程组中的矩阵，S包含了离散化方程右边的两项。
例子
• 对于一个单位正方形，每条边分成4等份。格点编 号是0,1,2,3,4 • 内点是：(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) • 把内点代入方程：
椭圆型偏微分方程
偏微分方程
• 任何一种物理现象，若其物理量随空间变化或者 同时随着空间和时间变化，那么对这种现象的描 述中一定包含有偏微分方程。
• 这些现象时多种多样的，比如扩散、电磁场的分
布、电磁波、流体力学和量子力学（Schrödinger
波）。
• 除了最简单的情形之外，这些方程是不能用解析 方法求解的，必须用数值方法才能得到定量的结 果。 • 在典型的数值处理方法中，我们选取自变量（即 空间和时间）的许多离散的点，计算其上的因变 量（例如电位，温度等）。通过适当的离散化， 偏微分方程就转化为一大组差分方程。
• 把已知量（边界）移动到等号右边
• 写成矩阵
椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究
椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究1. 引言在数学和科学领域，偏微分方程是一个重要的研究课题。
而在偏微分方程中，椭圆型偏微分方程又是一个重要的分支。
它在描述流体力学、热传导以及弹性力学等领域中起着重要作用。
由于椭圆型偏微分方程的特殊性质，传统的数值求解方法可能面临困难。
弱有限元方法成为了研究人员关注的焦点之一。
2. 椭圆型偏微分方程概述椭圆型偏微分方程在数学上具有一定的性质，其形式通常为：[ (u) + f = 0 ]其中，[ ] 是定义在区域[ ] 上的正定函数，[ u ] 是待求解的函数，[ f ] 是已知函数。
椭圆型偏微分方程的特点是在解域上具有强耐磨性和吸引性。
对于这种类型的方程，传统的有限元方法可能会受到局部奇异性和数值振荡的影响。
3. 弱有限元方法的基本思想弱有限元方法是针对椭圆型偏微分方程而提出的一种数值解法。
其基本思想是在方程解域上引入一个试探函数空间[V_h]，将原方程右乘试探函数[v]并在方程解域上进行积分。
通过将试探函数空间离散化，得到离散格式的方程，最终通过代数方法求解得到数值解。
4. 椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究进展近年来，针对椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究取得了一些进展。
研究人员提出了多种基于弱有限元方法的数值求解算法，包括稳定的混合有限元方法、最小二乘有限元方法等。
这些方法在处理椭圆型偏微分方程的数值求解过程中取得了一定的效果。
5. 个人观点和理解从我的观点来看，椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究是一个具有挑战性和重要性的课题。
这种方法在处理椭圆型偏微分方程时可以有效克服传统方法的局限性，为实际问题的数值求解提供了新的思路和方法。
然而，弱有限元方法也面临着稳定性、收敛性等问题，这些都需要进一步深入研究和改进。
6. 总结椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究是一个复杂而重要的课题。
通过对该方法的深入研究和应用，可以更好地解决椭圆型偏微分方程在实际问题中的数值求解困难。
matlab有限差分法求解椭圆型偏微分方程
matlab有限差分法求解椭圆型偏微分方程
有限差分法是一种求解偏微分方程的经典数值方法，它将连续的
偏微分方程转化为离散的代数方程，从而能够使用计算机进行计算。
在 MATLAB 中，我们可以使用有限差分法来求解椭圆型偏微分方程。
椭圆型偏微分方程通常用来描述有稳态的空间分布的物理现象，
如稳态的温度分布。
其通用的数学形式为：
∇·(a(x,y)∇u(x,y)) + f(x,y) = 0
其中，u(x,y) 是要求解的函数，a(x,y) 是定义在区域Ω上的
函数，它代表了该区域内各点的材料特性，f(x,y) 是特定的源项函数。
有限差分法将区域Ω划分为离散的点集，然后通过对这些点之
间的差分运算进行逐点计算，得到离散式。
例如，可以使用中心差分
法对 u(x,y) 在某个点(x0,y0) 的二阶偏导数进行离散化，得到：(u(x0+Δx,y0) - 2u(x0,y0) + u(x0-Δx,y0)) / Δx^2
同样，对于 a(x,y)在点(x0,y0)的取值，我们也可以使用中心差
分法进行离散化：
(a(x0+Δx,y0) + a(x0,y0)) / 2
经过离散化后，我们可以将偏微分方程变为一个线性代数方程组，使用 MATLAB 的矩阵运算功能进行求解。
需要注意的是，在实际计算中，由于矩阵求逆时存在数值不稳定的问题，因此需要对矩阵进行一
定的处理，如使用迭代法或预处理技术等。
总之，有限差分法是一种常用的求解偏微分方程的数值方法，在MATLAB 中也有相应的实现。
通过离散化连续的偏微分方程，我们能够
在计算机上高效地求解椭圆型偏微分方程，提高计算效率，解决实际
问题。
数学中的椭圆偏微分方程
数学中的椭圆偏微分方程椭圆偏微分方程是数学中一类重要的偏微分方程，其在物理、工程和其他领域中具有广泛的应用。
本文将介绍椭圆偏微分方程的基本概念、特征和求解方法。
椭圆偏微分方程的基本概念椭圆偏微分方程是指具有二阶导数的偏微分方程，其特征方程的判别式大于零。
具体而言，考虑形式如下的二阶椭圆偏微分方程：\[Lu = - \sum_{i,j=1}^{n} \dfrac{\partial}{\partial x_i} (a_{ij}(x)\dfrac{\partial u}{\partial x_j}) + \sum_{i=1}^{n} b_i(x) \dfrac{\partialu}{\partial x_i} + c(x)u = 0,\]其中\(a_{ij}(x)\)、\(b_i(x)\)和\(c(x)\)是给定函数，且满足一定的正则性条件。
椭圆偏微分方程的特征与其他类型的偏微分方程相比，椭圆偏微分方程具有许多特殊性质。
首先，椭圆偏微分方程的解在定义域上具有连续的性质，因此可以适用于描述平衡态和稳定性的问题。
此外，椭圆偏微分方程的解通常具有光滑的性质，在数学和物理领域中都具有重要的意义。
椭圆偏微分方程的求解方法对于一般的椭圆偏微分方程，求解方法主要有两种：直接方法和变分法。
直接方法是通过对方程进行直接求解，例如使用分离变量法或特征线法。
这些方法可以将椭圆偏微分方程化为一系列常微分方程或更简单的偏微分方程，从而求得解析解或数值解。
变分法是一种使用变分原理求解偏微分方程的方法。
通过定义适当的泛函和变分空间，可以通过极小化泛函的方法得到偏微分方程的解。
变分法适用于更一般的椭圆偏微分方程，并且可以通过适当选择变分空间和泛函来处理不同的边界条件和约束条件。
在实际应用中，通常会根据具体问题的特点和求解的要求选择适当的方法。
有时候，精确的解析解可能无法得到，此时可以使用数值方法来近似求解椭圆偏微分方程。
常见的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
椭圆型偏微分方程
(1.7)
由(1.7)可以看出,方程(1.6)的球对称解是满足以 r 为自变量的 常微分方程
1 2 u ( r ) 0 2 r r r
7
其通解可写为
u
c1 c2 r
这里c 1 , c 2 是任意常数. 从而推得
所以函数u
1 r
是一个球对称特解,
1 1 2 2 2 r ( x x ) ( y y ) ( z z ) 0 0 0
1 2 n
A ,使当点P 与坐标原点的距离r A 时, 总有
u(P)
按照这个定义,有时我们把Laplace方程(1.6)也称作调和方程.
调和方程的基本解
我们仅考虑三维空间和二维空间的情形.
6
首先我们考虑三维的情形. 用( x y z )表示三维空间中的点(x1 x2 x3 )改写三维空间的调和方程 为球坐标形式. 设球坐标变换为
分别是函数u 和 un 在 球面 上的平均值.于是(1.10)
1 1 1 u u u d u ( ) d S 4 u () . 3 ‚ K r n rr n n
(1.1)
其中 cos(n xi ) 表示曲面 的外单位法向n 与 x i轴的方向余弦, d S 是 上的面积元素.
3
Green公式的推导：
(1 x x ) (1 x x ) 设函数 ux 和vx 在 内有连续的二阶 2 n 2 n
偏导数. 在公式(1.1)中令
得到
n v v u d x d x u c o s ( n x ) d S 1 n i x x i 1x i 1 i i i n
高等数学中的椭圆型偏微分方程
椭圆型偏微分方程是高等数学中的重要内容之一。
它是描述物理现象中平衡状态的方程，并广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域中。
在数学上，椭圆型偏微分方程是一类具有判别式小于零的二阶偏微分方程。
它们的解具有良好的性质和稳定的行为，给出了物理过程中的稳定平衡情况。
椭圆型偏微分方程的最常见的例子是拉普拉斯方程。
它可以用于描述许多物理过程，例如热传导、电荷分布、静电平衡等。
拉普拉斯方程的一般形式为Δu= 0，其中Δ是拉普拉斯算子，u是未知函数。
在常见的二维情况下，拉普拉斯算子可以写为∂²u/∂x²+∂²u/∂y²。
这个方程描述了一个没有外力作用下，无时变的平衡状态。
椭圆型偏微分方程具有很多重要性质。
首先，它们的解在给定区域上是光滑的。
这意味着它们可以通过无限次的求导，以任意高的精度来逼近解。
这一性质在工程学中非常重要，因为它保证了解在物理仿真和工程设计中的连续性和稳定性。
其次，椭圆型偏微分方程的解在有界区域上满足最大值原理。
这意味着解的最大值和最小值在边界上取到，而不在区域内部。
这个性质对于物理现象的实际解释具有重要意义。
椭圆型偏微分方程的求解方法通常采用分离变量法或变换法。
分离变量法将未知函数表示为单变量的乘积形式，然后将其代入偏微分方程中，通过选择特定的系数，使得最终方程变为可以分离变量的形式。
变换法则通过适当的变量替换，将原偏微分方程转化成为一个更简单的形式，从而求得解。
这些方法在实际问题中具有广泛的应用，例如求解曲面上的稳定温度分布、电场分布等问题。
椭圆型偏微分方程在实际应用中具有重要的意义。
它们被广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域中。
例如，热传导方程可以用于描述材料的温度分布，静电平衡方程可以用于分析电荷分布和电场强度，其中无论是静电平衡还是热传导过程都可以使用椭圆型偏微分方程来描述。
总之，高等数学中的椭圆型偏微分方程是一类非常重要的方程。
它们广泛应用于描述物理过程中的平衡状态，并具有光滑性和稳定性的性质。
刘宪高 椭圆型偏微分方程
刘宪高椭圆型偏微分方程刘宪高是中国著名的数学家，也是世界上最早研究和解决椭圆型偏微分方程的数学家之一。
他对椭圆型偏微分方程进行了深入的研究，提出了一些重要的理论和方法，为这一领域的发展做出了重要贡献。
在这篇文章中，我们将介绍刘宪高对椭圆型偏微分方程的研究及其影响。
首先，我们来了解一下什么是椭圆型偏微分方程。
椭圆型偏微分方程是一类重要的数学方程，其一般形式为：Lu = f其中，L是一个二阶椭圆型偏微分算子，u是未知函数，f是已知函数。
这类方程在数学和物理问题中都有广泛应用，如热传导方程、泊松方程、拉普拉斯方程等。
刘宪高对椭圆型偏微分方程的研究主要从两个方面展开，一是对方程的解的存在性和唯一性进行研究，二是对解的性质和行为进行讨论。
在解的存在性和唯一性方面，刘宪高主要利用偏微分方程的逼近和凸性理论进行研究。
他首先证明了当方程满足一定的凸性条件时，存在解的唯一性。
之后，他进一步研究了方程的正则性问题，得到了解的光滑性和边界椭圆性的重要结果。
这些结果为后来研究者提供了重要的理论基础。
在解的性质和行为方面，刘宪高提出了一些重要的方法和技巧。
他首先引入了极其关于方程的极值原理，通过对极值原理的研究，他证明了具有非负弗罗贝尼乌斯指标的方程解必然是凸函数。
他还提出了一些关于解的增长性和衰减性的估计方法，这些方法为研究解的解析性质提供了重要的手段。
刘宪高的研究不仅对椭圆型偏微分方程的理论发展有着重要的推动作用，也对实际问题的应用有着深远的影响。
他的研究成果在数学物理、工程学和金融学等领域都有广泛的应用。
例如，他的理论成果被应用于求解流体力学中的各种流动问题，如不可压缩流体的流动、边界层理论等。
总结一下，刘宪高是中国著名的数学家，他对椭圆型偏微分方程进行了深入的研究。
他提出了一些重要的理论和方法，包括解的存在性和唯一性、解的性质和行为等方面。
他的研究成果不仅在数学领域有着重要的影响，也对实际问题的应用有着深远的影响。
椭圆型偏微分方程的求解及其应用[含论文、综述、开题-可编辑]
![椭圆型偏微分方程的求解及其应用[含论文、综述、开题-可编辑]](https://img.taocdn.com/s3/m/8669e8a5a21614791611280a.png)
设计（20 届）椭圆型偏微分方程的求解及其应用所在学院专业班级信息与计算科学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月摘要：本文叙述了椭圆型偏微分方程的历史背景，阐述了相关概念，如什么是偏微分方程，椭圆型偏微分方程以及几种定解问题的概念。
弹性力学中的平衡问题，位势场问题，热传导中的温度分布等实际应用问题都可用椭圆型方程的定解问题来描述。
本文还讨论了求解椭圆型偏微分方程的定解问题的几种基本方法，如分离变量法、积分变换法、差分法，最后综述了这三种方法的适用性和特点。
关键字：偏微分方程；椭圆型；分离变量法；积分变换法；差分法Solution of Elliptic Partial Differential Equation and ItsApplicationAbstract: This thesis describes the historical background of elliptic partial differential equation and the related concepts, such as what partial differential equation and elliptic partial differential equation are and several concepts of the solution of problems. The balance of elasticity, the potential field problems and the temperature distribution of heat conduction in the practical application are available to the solution of elliptic equation to describe the practical problems. This thesis also discusses several basic ways to solve the solution of problems of the elliptic partial differential equation, for instance, the method of separation of variables, integral transformation method and difference method. And at the end of this thesis, it summarizes the applicability and features of the three methods above.Key Words: partial differential equation; elliptic; the method of separation of variables; integral transformation method; difference method目录1 引言 (1)2 基本概念的介绍 (2)2.1 偏微分方程的基本概念 (2)2.1.2 定解条件和定解问题 (3)2.2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与化简 (3)2.3 典型方程 (5)3 椭圆型偏微分定解问题的几种基本解法 (6)3.1 分离变量法 (6)3.1.1 预备知识 (6)3.1.2 分离变量法求解定解问题的具体步骤 (7)3.1.3 具体应用（用分离变量法求解） (7)3.2 积分变换法 (9)3.2.1 傅里叶积分变换 (9)3.2.2 具体应用（用积分变换法求解） (11)3.3 差分法 (13)3.3.1 化微分方程为差分方程 (13)3.3.2 边值问题的差分逼近 (16)3.3.3 差分解的存在、唯一性和收敛性 (18)3.3.4 椭圆型差分方程的求解——逐次超松弛法 (19)3.4 总结 (21)4 致谢 (22)参考文献 (23)1 引言数学物理方程主要指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程（有时也包括积分方程、微分积分方程等），它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系[1]。
五点差分法(matlab)解椭圆型偏微分方程(1)精选全文
精选全文完整版（可编辑修改）用差分法解椭圆型偏微分方程-（Ｕxx+Ｕyｙ）＝(pｉ*pi-1)ｅ＾xｓｉn（pi*ｙ)0＜x<２; 0<y<１U(0，ｙ）=sin(pｉ*y）,Ｕ(２,y)=ｅ^2ｓiｎ（pi＊y); ０=<y＜＝１U(x,0）=0, U(x,１)=0；0=<x＜=2先自己去看一下关于五点差分法的理论书籍Ｍatｌab程序:ｕncｔｉoｎ［p e u x y k]=wuｄiａnchafｅｎfa(h,ｍ,n，ｋｍａx，ep）％ g－s迭代法解五点差分法问题%ｋmax为最大迭代次数%ｍ，n为x,ｙ方向的网格数,例如(2－0）/０．01=2０0;%e为误差,ｐ为精确解ｓymｓtemp;ｕ=ｚeｒｏs(n＋1,m+1）;x＝0+（０:m)*h;y=0+(0:n)*h;foｒ(i=1:n+１)u(i，1)=sｉｎ（pｉ*y(i));u(i,ｍ＋1)＝exp(1)*ｅｘp(1)*sｉn(pi*y(i）);enｄfor(ｉ=1:n)fｏr（j=１:m)f（i,ｊ)=(pi*pi-1）*exｐ(ｘ(j))*sｉn(ｐi*y(ｉ));ｅndendｔ=zｅros(n-1,m-1);for(k=1:kmax)for(ｉ＝2：n)for(j＝2:m）ｔemｐ=h*h*ｆ(i，j)/4+(ｕ(i，j＋1）+ｕ(ｉ,j-１)+u(ｉ＋1,j)+u （i-１,j))/4；t(i,ｊ)＝（temｐ-u(i,j))*（teｍp-u(i,ｊ));u(ｉ，j)=tｅmp;ｅndeｎｄt（ｉ,j)＝sｑrt（t（i,ｊ))；ｉf(k>ｋmax)brｅaｋ;endif(max(max(t）)＜eｐ）ｂreak;eｎdendfor（i=1:ｎ＋1)for(j＝1：ｍ+1)ｐ（i，j)=ｅｘp（x(ｊ)）＊siｎ(pｉ*y(i)）;e(i,j)＝ａbs（u(i,ｊ)-exｐ（x(j))*ｓin(pi*ｙ（i)))；eｎｄＥnd在命令窗口中输入：[p e u ｘｙｋ]=wudiａｎchafｅnｆa(0.1,20，10,１0０00,1e-6) k=1４７ｓurｆ(ｘ,y，u) ;xｌａbｅl（‘x’);yｌaｂel（‘y’)；ｚlａbel(‘u’）;Titｌe（‘五点差分法解椭圆型偏微分方程例１’)就可以得到下图surｆ(ｘ,y,p)suｒf（ｘ，y,ｅ）[p e uｘy k]=wudｉanchafeｎfa(0.05,40,20，10０00，1ｅ－6)[ｐe u x y k]=wuｄｉanchafenｆａ(0.０2５，８0,40,10000，1ｅ－6）为什么分得越小,误差会变大呢？我们试试运行：[ｐe u x ｙk］=wudiａｎchaｆeｎfa(0.025,80，40,10００0，1e-8)Ｋ=２16４surf(x,y,ｅ）误差变小了吧还可以试试[p e ｕx y k]=wudｉａnchafenfa(０.０2５，8０,40，10０00,1ｅ-１0) K=33５５误差又大了一点再试试[ｐｅu x y k]=wｕｄiａｎchaｆeｎｆａ(0.025,80，４0,10000，1e-11)k=3952 误差趋于稳定总结:最终的误差曲面与网格数有关，也与设定的迭代前后两次差值(ep，看程序)有关；固定网格数,随着设定的迭代前后两次差值变小，误差由大比变小，中间有一个最小值，随着又增大一点,最后趋于稳定。
椭圆型偏微分方程的求解及其应用[文献综述]
毕业论文文献综述信息与计算科学椭圆型偏微分方程的求解及其应用一、 前言部分微积分产生以后，人们就开始把力学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究。
早在18世纪初，人们已经将弦线振动的问题归结为弦振动方程，并开始探讨了它的解法。
随后，人们又陆续了解了流体的运动、弹性体的平衡和振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解答，从而能通过实践，验证这些基本规律的正确性，显示了数学物理方程对于认识自然界基本规律的重要性。
有了基本规律，人们还要利用这些基本规律来研究复杂的自然现象和解决复杂的工程技术问题，这就需要求出数学物理方程中的许多特定问题的解答。
随着电子计算机的出现及计算技术的发展，即使是相当复杂的问题，也有可能计算出解得足够精确的数值来，这对于预测自然现象的变化（如天气预报）和进行各种工程设计（如机械强度的计算）都有着很重要的作用[1]。
许多复杂的自然现象，其运动规律、过程和状态都是通过微分方程这种数学形式来描述的。
当我们研究只有一个自变量的运动过程时出现的微分方程称为常微分方程。
当一个微分方程除了含有几个自变量和未知数外，还含有未知数的偏导数时，称为偏微分方程[2]-[6]。
在偏微分方程中，偏导数自然是不可缺少的。
例如： ()(),,u ua x y f x y x y∂∂+=∂∂ （1.1.1） 拉普拉斯方程22232220u u uu x y z∂∂∂∆=++=∂∂∂（1.1.2） 热传导方程()222,,u u a f x t u t x ∂∂=+∂∂（1.1.3） 波动方程()2222,,u a u f t x y t∂=∆+∂（1.1.4）等都是偏微分方程。
其中，u 为未知数，a 为常数，(),a x y 、f 为已知函数。
偏微分方程的一般形式为()112,,,,,,,,0n n x x F x x x u u u ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= （1.1.5） 其中：F 为已知函数；12,,,n x x x ⋅⋅⋅为自变量；u 是关于这些自变量的未知数。
椭圆型偏微方程1
i 1, j i , j 1 4 i , j i , j 1 i 1, j h2 S i , j
图 6.1 区域的等间隔剖分
二、泛函极值方程的差分离散格式
1 2 2 2 ( x ) ( y ) S dxdy J min D | L f 0
i 1, j i , j 1 4 i , j i , j 1 i 1, j h2 S i , j
ห้องสมุดไป่ตู้
三、泛函极值方程的线性插值离散格式
对其中任一小区域 e，其 4 个结点用局部编号 1、2、3、 4 表示。 矩形小区域内任一点的电势用二元一次线性插值公 式表示成
§6.1椭圆型偏微分方程对应的泛函极值方程 §6.2泛函方程的有限元离散方法 §6.3用有限元法求无限长金属槽中的电势分布 §6.4感应测井的有限元解法 **§6.5任意边界三角形剖分下的有限元解法 有限元法的优点和缺点： 有限元法公式的精度远高于差分法公式。且对边 界的适应性很强，边界可以是任意的形状。由于 第二、三类边界条件已被包含在有限元法所使用 的积分方程中，所以不必单独处理这类边界条件。 对网格可任意剖分，以便提高计算的速度和精度。
由于有限元法这种方法并不限于边界是矩形， 网格的剖 分也不限于方形而可以是三角形或四边形，对函数的微 分和积分可以使用更高阶的近似（例如对 作线性插值 处理，或高次插值处理） ，从而得到更精确的结果。
它的精度比差分法高，适用性更强。因为它适用于 任何形状的边界；作单元划分时，可对有的区域划 分密一些，有的区域划分疏一些；且对第二、三类 边界条件不必单独处理。 若要进一步提高计算精度，可用高阶插值公式代替 (6.16)式。
椭圆型偏微分方程知乎
椭圆型偏微分方程知乎
椭圆型偏微分方程是指二阶偏微分方程中系数满足某种条件的
方程，它在数学和物理学中都有广泛的应用。
比如，在地震波传播、热传导、电场分布、流体力学等领域都有重要应用。
在数学中，椭圆型偏微分方程的研究涉及到许多经典的数学问题，如调和函数、Poisson方程、Laplace方程、Dirichlet问题、Neumann 问题等。
这些问题的解法深刻影响了现代数学的发展，也为很多实际问题的求解提供了重要的数学工具。
在物理学中，椭圆型偏微分方程的研究涉及到许多重要的物理现象，如地震波的传播、热传导的过程、电场的分布、流体力学中的粘性流体等。
这些问题的研究对于解决实际问题和推动科学技术的发展具有重要意义。
在知乎上，有很多数学和物理学领域的专家和爱好者分享了自己的经验和见解，提供了大量关于椭圆型偏微分方程的知识和应用。
他们的回答从基础概念、求解方法、数值模拟等方面入手，让我们更深入地了解这个重要的数学和物理学领域。
总之，椭圆型偏微分方程是一个非常重要的数学和物理学领域，在知乎上也有许多专业人士分享了自己的知识和见解，为我们提供了更深入、更广泛的了解和认识。
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函数 且无穷次可微.
其次, 考虑二维Laplace方程 2u uxx uyy 0 在极坐标变换
x x0 rcos y y0 rsin
下它可化为
1 u 1 2u (r ) 2 2 0 2u r r r r
1
(1.8)
(1.14)
其中是平面上有界区域 的边界. 性质 6.3 (平均值定理) 设 u( x y z)是区域 内的调和函数,
P0 ( x0 y0 z0 ) 是 内的任一点以, P0 为心 R 为半径作球 K R只要球 K R
连同其边界 包含在 内,则有公式
R
u ( P0 )
uM
, 于是在 SR 上成立不等式
1 4 R 2
SR
udS
1 4 R 2
SR
MdS M
但由平均值公式(1.15),有
1 udS u ( P0 ) M 2 S 4 R R
这就发生了矛盾. 所以在球面 SR 上,必须有 u M
1 1 1 ( ) ( ) R R 2 n r r r R
所以有
u( P 0) 1 4 R 2
R
udS
我们把调和函数的这一性质称为平均值定理, 公式(1.15)
15
称为平均值公式, 即调和函数在球心处的值等于它在球面上的
i 1
n
u
v dS n
(1.3)
4
若将(1.3)中的u和 v互相对换,又得
ห้องสมุดไป่ตู้
vnud
v u
i 1
n
xi xi
d
u v n dS
(1.4)
我们把(1.3)与(1.4)都称作第一Green公式. 若将(1.3)与(1.4)相减,则得
5
nu ux1x1 ux2 x2
则称 u在区域 内是调和函数.
uxn xn 0
(1.6)
如果nu 0( 0) , 则称u在区域 内是下调和(上调和)函数. 如果 是无界区域,则除上面的要求外,还应要求当点P( x x x ) 趋于无穷远时, 函数u 一致趋于零.即对于任意小的正数 ,存在正数
因为u及 在上连续，所以 关于 一致有界, 且当 0时,有
u n
u n
u u ( P 0)
,
u n
0 ‚ K
11
于是由上式即得
u ( P0 ) 1 4 1 1 1 u u ( ) dS r n n r 4 1 r 3 ud
上达到, 那么它必在 内的某一点 P0 ( x0 y0 z0 )达到, 记 u(P0 ) M
当然 M 也是u在上的最大值.
16
以 P 为心 R 为半径作球 K R 使K R完全包含于内, 记 K R 的球面为
0
S R,可以证明,在S R上有
u M
事实上,若函数 u 在SR上某一点的值小于 M , 则由连续性知, 在球面 SR 上必可找到此 点的一个充分小的邻域, 在此邻域内有
(u n v v n u )d
v u u v dS n n
(1.5)
我们把(1.5)称为第二Green公式. 1.2. 调和函数与基本解 n R 的有 u ( x x x ) 定义 6.1 对于函数 1 2 n ,如果它在 n 维空间 界区域内有直到二阶的连续偏导数,且在 内满足Laplace方程：
(1.10)
1 ( 在区域 ‚ K 内是调和函数, 所以有 3 ) 0 另外边界 r 上任一点的外法线方向实际上是从该点沿着半径指向球心P0
的方向, 所以在 上有
10
1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 n r r r r
从而得到在 上的积分为
1 1 u u ( ) dS r n n r 1 1 u 2 udS dS n u 4 u 4 ( ) n
n
(1.1)
其中 cos(n xi ) 表示曲面 的外单位法向n与 x轴的方向余弦 , dS i 是 上的面积元素.
3
Green公式的推导：
设函数 u( x1 x2
xn ) 和v( x1 x2
P i u v i 1 2 xi
n
xn )在内有连续的二阶
n
3
u d r
(1.9)
其中 r
是边界曲面 的外单位法向, dS是曲面 上的面积单元,d 是体积单元.
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 n
证
以P0为中心 为半径作球 K 使 K 表示该球的球面,
‚ K 上,函数
二维Laplace方程的基本解 ln r 定理 6.1 设函数 u( x y z )在有界区域 内二阶连续可微, 在
上连续且有连续的一阶偏导数,
则当点 P ( x y z ) 时, 有
0 0 0 0
9
u ( P0 )
1 4
1 1 1 u u ( ) dS n r 4 r n
其中u 和 可写成
u n
u 分别是函数u 和 n 在 球面上的平均值.于是(1.10)
‚ K
1 u 1 1 u ( ) u ( ) . 3 ud u dS 4 r n r r n n
0 0 0 0
13
u ( P0 )
1 4
1 1 u u dS r n n ( r )
(1.13)
证 利用基本积分公式(1.9)即得. 类似地,对于二维空间的情形,我们可以利用(1.11)得到
u ( P0 ) 1 2 1 1 u ln u (ln ) dl n r r n
(1.7)
为自变量的 由(1.7)可以看出,方程(1.6)的球对称解是满足以 r 常微分方程
1 2 u (r ) 0 2 r r r
7
其通解可写为
u
c1 c2 r
这里c1 , c 2 是任意常数. 从而推得
所以函数u
1 r
是一个球对称特解,
1 1 r ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2
1 4 R 2
R
udS
(1.15)
14
证 将公式(1.13)应用于球面 R 上,得到
u ( P0 ) 1 4 1 1 u u dS R r n n ( r )
这里 r R ,故由性质6.1知上式右端第一项的积分值为零, 又因为 在球面上的外法线方向与半径的方向一致,于是
3 u 0 ( x y z ) u . n
有解的必要条件是函数 满足
dS 0.
性质 6.2 设 u( x y z)是有界区域 内的调和函数,且在闭区域
上有连续的一阶偏导数,则在
内的任一点P ( x y z ) 处有
于是在区域
u
和v
1 r 都满足第二Green公式的条件,
代入公式(1.5)得
1 因为 r
‚
1 1 1 1 u u ( ) u d 3 3 u ( ) dS , K r r . n r r n
平均值. 注1 对区域 内的下调和(上调和)函数u, 我们有
u ( P0 ) 1 4 R 2 1 udS u ( P ) 0 R 4 R 2 udS R
(1.17)
性质 6.4 (强极值原理) 假设不恒为常数的函数 u ( x y z ), 在有界区域 内调和且在 上连续, 则它在 上的最大 值和最小值只能在 的边界 上达到. 证 用反证法. 假设调和函数 u( x y z )在 上的最大值不在
在任一不包含点 P0 ( x0 y0 z0 )的区域内是调和的, 它在点 P0 处有奇性. 称函数 1 1 r ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 为三维Laplace方程(1.6)的基本解
8
注 基本解在 ( x y z) ( x y z ) 时关于( x y z) 或( x0 y0 z0 ) 都是调和
1 2 n
A ,使当点P 与坐标原点的距离r A 时, 总有
u ( P)
按照这个定义,有时我们把Laplace方程(1.6)也称作调和方程.
调和方程的基本解
我们仅考虑三维空间和二维空间的情形.
6
首先我们考虑三维的情形. 用( x y z)表示三维空间中的点( x1 x2 x3 )改写三维空间的调和方程 为球坐标形式. 设球坐标变换为
ln
(1.11)
其中dl表示 上的线元素,d 是 上的面积元素. 1.3. 调和函数的基本性质
性质 6.1 设 u( x y z )是有界区域 内的调和函数, 且在 上有连续的一阶偏导数,则
12
u n dS 0.
(1.12)
证 利用第二Green公式,在(1.5)中取 v 1 ,取 u为所给的调和 函数, 就可得到(1.12).由此性质可得出, Laplace方程的第二边 值问题
偏导数. 在公式(1.1)中令
得到