欧式与美式期权二叉树定价及程序实现.doc

姓名：卢众专业：数学与应用数学学号： 08101116指导老师：许志军2011 年 6 月 3 日目录一、期权二叉树定价简介 (3)二、假设 (3)三、符号说明 (3)四、欧式二叉树模型 (4)1、一步二叉树模型 (4)2、风险中性定价原理 (5)3、两步二叉树模型 (6)4、多步二叉树模型 (6)五、美式二叉树模型 (7)1、单步二叉树 (7)2、多步二叉树 (8)六、对于其他标的资产的期权的定价 (9)1、支付连续股息收益率股票期权的定价 (9)2、股指期权期权的定价 (10)3、货币期权 (10)4、期货期权 (10)七、实例解析 (10)八、程序 (11)一、期权二叉树定价简介期权定价领域中一个有用并常见的工具是所谓的二叉树方法，这里的二叉树是指代表在期权期限内可能会出现的股票价格变动路径的图形，这里股票价格被假定为服从随机漫步，在树形的每一步，股票价格具有一定的概率会向上移动一定的比率，同时股票价格也具有一定的概率会向下移动一定的比率。

在极限状况，即步长足够小时，二叉树中的股票价格趋于对数正态分布，而对数正态分布正式布莱克-斯科尔斯模型关于股票价格的假设。

二、假设1、市场上无套利机会存在；2、所有的数据来源可靠；三、符号说明编号 符号 意义1 r 无风险利率2 u 股票上涨比率3 d 股票下跌比率4 0S股票初始价格 5 Λ,,,d u f f f 期权价值 6 t 时间步长 7 ∆ 股票数量8 p 股票上涨的概率 9 δ 股票的波动大小 10 1H 股票在初始时刻价格 112H期权的执行价格四、欧式二叉树模型100.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.20.30.40.50.60.70.80.91生的分枝一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step ）二叉树。

这是最简单的二叉树模型。

一般地，假设一只股票的当前价格是0S ，基于该股票的欧式期权价格为f 。

经过一个时间步（至到期日t ）后该股票价格有可能上升到0uS )1(>u 相应的期权价格为u f ；也有可能下降到0dS )1(<d 相应的期权价格为d f . 这种过程可通过一步（one-step ）二叉树表示出来，如图8.2所示。

我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。

为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage ）假设，即市场上无套利机会存在。

构造一个该股票和期权的组合（portfolio ），组合中有∆股的多头股票和1股空头期权。

如果该股票价格上升到0uS ，则该组合在期权到期日的价值为u f uS -∆0；如果该股票价格下降到0dS ，则该组合在期权到期日的价值为d f dS -∆0。

根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有d u f dS f uS -∆=-∆00 （1） 由此可得)(0d u S f f du --=∆ （2）上式意味着∆是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。

在这种情况下，该组合是无风险的。

以 r 表示无风险利率，则该组合的现值（the presentvalue ）为rtu e f uS --∆)(0 ,又注意到该组合的当前价值是f S -∆0，故有：rtu e f uS f S --∆=-∆)(00 （3）则：rtu e f uS S f --∆-∆=)(00 （4）将(2)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为：])1([d u rtf p pf e f -+=- （5）其中du d e p rt --=（6）需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage ）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足：u e d rT <<，亦即有：10<<p 2、风险中性定价原理上述期权定价公式(5)似乎与股价上升或下降的概率无关，实际上，在我们推导期权价值时它已经隐含在股票价格中了。

不妨令股价上升的概率为p ，则股价下降的概率就是p -1，在时间T 的期望股票价格为0)1()(dS p puS S E -+=如果我们假设市场是风险中性的（risk neutral ），则所有证券的价格都以无风险利率增加，故有rte S S E 0)(=于是，我们有rte S dS p puS 000)1(=-+由此可得d u de p rt --=与(6)比较，我们发现：股票的价格按无风险利率平均增长，一次，股票的上涨概率为等价于股票的收益率为无风险利率。

00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.9我们假定无风险利率为r ，二叉树的步长为t 。

因为步长为t ，式（5）及式（6）变为:])1([d u rt f p pf e f -+=- （7）重复应用式（5），我们得出])1([ud uu rt u f p pf e f -+=- （9） ])1([dd ud rt d f p pf e f -+=- （10）将式（8）和式（9）代入（10），最后得出])1()1(2[222dd ud uu rt f p f p p f p e f -+-+=- （11）以上结论与前面提到的风险中性定价理论是一致的。

变量2p 、)1(2p p -、2)1(p -分别对应与股票价格取上、中、下三个节点上值的概率。

期权价格等于其在风险中性世界里的收益期望值以无风险利率进行贴现所得的数量。

4、多步二叉树模型实际使用的二叉树要求具有多个离散的时间步长来计算期权的价值。

通常从初始时间到期权到期日需要分成30或更多个时间步长。

两步二叉树模型的欧式股票期权定价公式容易推广到多步二叉树模型的情形。

如果我们将初始时间距期权到期日的时间T 分成n )3(≥n 个相等的时间步，则每个时间步长n T t /= 。

令股票的初始价格为0S ，且每经过一个时间步，股价或向上增加到当前价格的u )1(>u 倍，或向下下降到当前价格的d )1(<d 倍，无风险利率为的r ，则在期权到期日，股票价格有n 种可能结果：0002201100,,,,S d u S d u S d u S d u n n n n Λ-- （12）它们在风险中性状态下出现的概率分别是：n n n n n n n n n p p C p p C p p C p p C )1(,,)1(,)1(,)1(022211100------Λ （13）令 n n n f f f ,01,10,,,,Λ-为与n 种股票价格对应的期权价值，X 为期权的敲定价，则在无套利假设下，股票看涨权在到期日的价值为：n i X S d u f i i n j i n ,,1,0),0,max(0,Λ=-=-- （14）股票看跌权在到期日的价值为：n i S d u X f i i n j i n ,,1,0),0,max(0,Λ=-=-- （15）将该期权在到期日的期望价值贴现，我们即可得到期权的（初始）价值为： i i n ni i i n in nrtf p p Cef ,0)1(-=--∑-=（16） 关于参数u ，d 的取值，Cox ，Ross 和Rubinstein 给出了由股票价格波动率δ确定的公式（δ为股票的波动大小，t 为时间步长）：t e u δ= ，t e d δ-=以及du da p --=，rt e a = （17）五、美式二叉树模型在欧式二叉树的基础上，接下来考虑美式二叉树。

与欧式二叉数不同的是，美式期权中的二叉树的最后一个节点的价格为欧式期权的价格，而之前任一节点期权的价格等于以下数量的极大值：● 由式（5）所计算的值； ● 提前行使期权的收益。

由此可见，美式期权中使用二叉树进行期权定价的原理与欧式中的大致一样，故计算多步二叉树时，仍然可以使用前面的思想，将多步二叉树分解成多个单步二叉树。

为此，在下面的过程中先考虑没事中的单步二叉树的计算，在考虑多步二叉树的计算。

1、单步二叉树由于单步二叉树中的期权定价还与期权的类型有关，下面将分看涨与看跌期权分类讨论。

（1）看涨期权股票价格期权价格f股票价格dSo 期权价格0票价格uSo 权价格fu股价上涨时，期权的价格为u f ，若股票下跌时，则期权的价格为0=d f ，由式（5）可知，])1([1d u rt f p pf e f -+=-,此时（初始时刻），将股票抛出，则收益为12H H -，（2,1H H 为股票在初始时刻价格以及期权的执行价格）：情形1、若112f H H >-，则这份期权的最佳收益f 为12H H -； 情形2、若112f H H <-，则这份期权的最佳收益f 仍为1f ； 所以，)12],)1([max (H H f p pf e f d u rt --+=- （18）（2）看跌期权股票价格期权价格f股票价格dSo 期权价格fd票价格uSo 权价格0股价上涨时，期权的价格为0=u f ，若股票下跌时，则期权的价格为0f ，由式（5）可知，])1([1d u rt f p pf e f -+=-,此时（初始时刻），将股票抛出，则收益为21H H -，（2,1H H 为股票在初始时刻价格以及期权的执行价格）：情形1、若121f H H >-，则这份期权的最佳收益f 为21H H -； 情形2、若121f H H <-，则这份期权的最佳收益f 仍为1f ；)21],)1([max (H H f p pf e f d u rt --+=- （18）2、多步二叉树上面我们讨论了单步二叉树模型给美式股票期权定价。

接下来讨论多步二叉树模型对美式股票期权定价。

假设股票价格经历了n 个时间步的演化到达期权到期日，且每一个时间步长为t ，这可用一个n 步二叉树描述（图形省略）。

若股票的初始价格为0S ，且每经过一个时间步，股价或向上增加到当前价格的u )1(>u 倍，或向下下降到当前价格的 u d /1=倍，无风险利率为的r ，则在第k )1(n k ≤≤ 个时间步后，二叉树上产生1+k 个节点，自上而下分别用k k k kk A A A A ,,,210Λ 表示，则节点i k A 对应的股票价格为0S d u i i k -k i ,,2,1,0Λ=期权价值用k i i k f ,-表示。

如果在节点i k A 处期权没有被提早执行，则期权价值 tk i i k f ,-可通过式(8.2)和(8.3)来计算，即])1([11),1(11,1,+++-++-+---+=k i i k k i i k rt tk i i k f p pf e f如果在节点i k A 处期权被提早执行是最优的，则期权价值k i i k f ,-就是提早执行的收益（payoff ），令X 为期权的敲定价， a) 对股票看涨权，有X S d uf ii k ttk i i k -=--0, b) 对股票看跌权，有0,S d u X f ii k ttk ii k ---=显然，美式股票期权在节点i k A 处的价值应该取tk i i k f ,-和ttki i k f ,-中的较大者，即),max(,,,ttki i k tk i i k k i i k f f f ---=由于美式股票期权在期权到期日的价值是已知的，因此美式股票期权的定价应该由前向后逐步计算，这也称作向后推演（backwards induction ）。