概率论的起源

概率论的起源及公理化

概率论起源于博奕问题。15至16世纪意大利数学家帕乔利、塔塔利亚和卡尔丹的著作中曾讨论过“如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金”等概率问题。1654年左右，费马与帕斯卡在一系列通信中讨论类似的合理分配赌金的问题，并用组合的方法给出了正确的解答。他们的通信引起了荷兰数学家惠更斯（，1629―1695）的兴趣。惠更斯在1657年发表了《论赌博中的计算》，这本书成为了最早的概率论著作。这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理），标志着概率论的诞生。一般认为，概率论作为一门独立的数学分支，其真正的奠基人是雅各布?伯努利.他在遗著《猜测术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理：若在一系列独立试验中，事件A 发生的概率为常数且等于p ，那么对任意ε>0以及充分大的试验次数n,有

P {|n

m - p |<ε}>1-η(η为任意小的正数)， 其中m 为n 次试验中事件A 出现的次数。伯努利定理刻画了大量经验观测中频率呈现的稳定性，作为大数定律的最早形式而在概率论发展史上占有重要地位。 伯努利之后，棣莫弗（，1667―1754）、蒲丰（，1707―1788）、拉普拉斯、高斯和泊松等对概率论做出了进一步的奠基性的贡献。其中棣莫弗和高斯各自独立地引进了正态分布，蒲丰提出了投针问题和几何概率，泊松陈述了泊松大数定律。特别是拉普拉斯1812年出版的《概率的分析理论》，以强有力的分析工具处理概率论的基本内容，使以往零散的结果系统化，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概率论发展的新时期。正是在这部书里，拉普拉斯给出了概率的古典定义：事件A 的概率P(A)等于一次试验中有利于事件A 的可能的结果数与该试验中所有可能的结果数之比。

19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫在这方面做出了重要贡献，他在1866年建立了关于随机变量序列的大数定律，使伯努利定理和泊松大数定律成为其特例。切比雪夫还将棣莫弗―拉普拉斯极限定理推广为更一般的中心极限定理，他的成果后来被他的学生马尔可夫等发扬光大。

19世纪末，概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需要。同时，科学家们发现的一些概率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛盾与含糊之处。1899年法国学者贝特朗提出了著名的“贝特朗悖论”：在半径为r 的圆内随机选择弦，计算弦长超过圆内接正三角形边长的概率。根据“随机选择”的不同意义，可以得到不同答案。

（1） 如图5（Ⅰ）,考虑与某确定方向平行的弦，则弦心距小于2r 的弦长大于圆内接正三角形边长，大于圆内接正三角形边长的弦的中点的轨迹的长度为r ，是直径的一半，所求概率为2

1； （2） 如图5（Ⅱ）,考虑从圆上某固定点P 引出的弦，则所求概率为

31； （3） 如图5（Ⅲ）,随机的意义理解为：弦的中点落在圆的某个部分的概率与

该部分的面积成正比，因为长度大于圆内接正三角形边长的弦的中点落在半径为2

r 的同心圆内，因此所求概率为4

1。

图5

这类悖论说明概率的概念是以某种确定的实验为前提的，这种试验有时由问题本身所明确规定，有时则不然.这些悖论的矛头直指概率概念本身，特别地，拉普拉斯的古典概率定义开始受到猛烈批评。此时，无论是概率论的实际应用还是其自身发展，都要求对概率论的逻辑基础作出更严格的考察。

俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯?米西斯最早尝试对概率论进行严格化，

他们都提出一些公理来作为概率论的前提，但他们的公理理论都是不完善的。作为测度论的奠基人，法国数学家博雷尔首先将测度论方法引入概率论重要问题的研究，他的工作激起了数学家们沿这一崭新的方向的一系列探索，其中尤以前苏联数学家科尔莫戈罗夫的研究最为卓著。从20世纪20年代中期起，科尔莫戈罗夫就开始从测度论途径探讨整个概率论理论的严格表述，其结果是1933年以德文出版的经典著作《概率论基础》.他在这部著作中建立起集合测度与事件概率的类比、积分与数学期望的类比、函数正交性与随机变量独立性的类比等等，这种广泛的类比终于赋予了概率论以演绎数学的特征。

科尔莫戈罗夫公理化概率论中的第一个基本概念，是所谓的“基本事件集合”?奔偕杞?行某种试验，这种试验在理论上应该允许任意次重复进行，每次试验都有一定的、依赖于机会的结果，所有可能结果的总体形成一个集合（空间）E，就称之为基本事件集合。E的任意子集，即由可能的结果事件组成的任意集合，被称为随机事件。在科尔莫戈罗夫的公理化理论中，对于所考虑的每一个随机事件，都有一个确定的非负实数与之对应，这个数就叫作该事件的概率。

科尔莫戈罗夫提出了6条公理，整个概率论大厦可以从这6条公理出发建筑起来.科尔莫戈罗夫的公理体系逐渐获得了数学家们的普遍承认。由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其他数学分支同等的地位，并通过集合论与其他数学分支密切地联系着。