倾斜角与斜率PPT课件
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3.1.1倾斜角与斜率ppt
o
x
思考4
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量呢？
升高量 坡度（比） 前进量
升 高 量
45°
前进量
3 m
坡度越大，楼梯越陡．
3 m
“坡度（比）”是 “倾斜角”的正切值.
y
45°
升 高 量
前进量
o
α
x
二、直线斜率的定义
一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率 (slope).
y
通常用小写字母k表示，即
解析：倾斜角为90° 的直线斜率不存在，故A，C错误；直 线的斜率可以用π＋kα求出，但是直线倾斜角的范围是 0° ≤α<180° ，故D错误．
答案：B
例1
如图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求
直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是 锐角还是钝角. 分析：直接利用公式求解. 解：直线AB的斜率k AB 直线BC的斜率 1 1 2 1 k BC ; 0 (4) 4 2 直线CA的斜率 kCA
k tan ( 90 ).
注意：α= 90 时，k不存在.
o
α
o
x
倾斜角α 不是90°的直线都有斜率.
斜率与倾斜角的对应关系
图示 倾斜角(范 围) 斜率(范围) 0°<α <9 90°<α <180 90 ° α =0° α =___ 0° °
k=0 ____ k>0 ____
不存在
k<0 ____
Q( x2 , y1 )
P 1 ( x1 , y1 )
o
x2
x1
y2 - y1 y2 - y1 所以k = tanα= = 0. x1 - x2 x2 - x1
《直线倾斜角和斜率》课件
斜率决定了直线与x轴之间的夹角，即倾斜角。
斜率与直线图像的平移
01 斜率不变，平移直线图像
当直线沿x轴或y轴平移时，其斜率保持不变。
02 平移影响直线与坐标轴的交点
平移会导致直线与x轴或y轴的交点发生变化。
03 平移影响直线与坐标轴的距离
平移距离决定了直线与坐标轴之间的距离。
斜率与直线图像的旋转
斜率的计算公式
总结词
斜率的计算公式是$frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，其中 $(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是直线上任意两点的坐标。
详细描述
根据定义，斜率是直线在坐标系中倾斜程度的数值表示 。通过两点坐标可以计算出直线的斜率。当两点横坐标 相等时，斜率不存在。
在电磁学中，斜率可以用来描述电流与电 压之间的关系。
在重力场中，斜率可以用来描述物体下落 的加速度。
在光学中，斜率可以用来描述光的折射率 。
斜率在经济学中的应用
斜率在经济学中常被用于描述供求关 系，即需求曲线和供给曲线的斜率。
斜率在经济学中还可以用于描述边际 效用、边际成本等概念。
需求曲线的斜率表示价格与需求量之 间的关系，供给曲线的斜率表示价格 与供给量之间的关系。
1 2
斜率随旋转角度而变化
当直线围绕原点旋转时，其斜率会发生变化。
旋转影响直线与坐标轴的夹角
旋转角度决定了直线与x轴之间的夹角。
3
旋转影响直线图像的对称性
在某些旋转角度下，直线图像可能会呈现对称性 。
直线的斜率在实际生活中的05 Nhomakorabea应用
斜率在物理中的应用
斜率在物理中常被用于描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
关系图通常以角度为横轴，以 斜率为纵轴，使用不同的线型 或标记表示不同倾斜角下的斜 率值。
斜率与直线图像的平移
01 斜率不变，平移直线图像
当直线沿x轴或y轴平移时，其斜率保持不变。
02 平移影响直线与坐标轴的交点
平移会导致直线与x轴或y轴的交点发生变化。
03 平移影响直线与坐标轴的距离
平移距离决定了直线与坐标轴之间的距离。
斜率与直线图像的旋转
斜率的计算公式
总结词
斜率的计算公式是$frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，其中 $(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是直线上任意两点的坐标。
详细描述
根据定义，斜率是直线在坐标系中倾斜程度的数值表示 。通过两点坐标可以计算出直线的斜率。当两点横坐标 相等时，斜率不存在。
在电磁学中，斜率可以用来描述电流与电 压之间的关系。
在重力场中，斜率可以用来描述物体下落 的加速度。
在光学中，斜率可以用来描述光的折射率 。
斜率在经济学中的应用
斜率在经济学中常被用于描述供求关 系，即需求曲线和供给曲线的斜率。
斜率在经济学中还可以用于描述边际 效用、边际成本等概念。
需求曲线的斜率表示价格与需求量之 间的关系，供给曲线的斜率表示价格 与供给量之间的关系。
1 2
斜率随旋转角度而变化
当直线围绕原点旋转时，其斜率会发生变化。
旋转影响直线与坐标轴的夹角
旋转角度决定了直线与x轴之间的夹角。
3
旋转影响直线图像的对称性
在某些旋转角度下，直线图像可能会呈现对称性 。
直线的斜率在实际生活中的05 Nhomakorabea应用
斜率在物理中的应用
斜率在物理中常被用于描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
关系图通常以角度为横轴，以 斜率为纵轴，使用不同的线型 或标记表示不同倾斜角下的斜 率值。
倾斜角与斜率课件
应用于建筑设计、道路坡度计算 和管道输水压力分析等领域。
数学
倾斜角和斜率是解析几何和微积 分中重要的概念。
倾斜角和斜率的常见误区及解决方法
1 常见误解
倾斜角和斜率是同一概念；倾斜角始终为正 角。
2 避免误解和解决问题
明确区分倾斜角和斜率的定义；了解不同情 况下倾斜角的取值范围。
总结
重要性
倾斜角和斜率在数学和实际应用中具有重要作用。
计算倾斜角和斜率的方法
1
倾斜角
Байду номын сангаас
通过三角函数计算，公式为tan(倾斜角)
斜率
2
= 斜率。
通过两点间纵坐标差值除以横坐标差值
计算。
3
计算公式
倾斜角 = arctan(斜率)；斜率 = (纵坐标 差值) / (横坐标差值)。
应用倾斜角和斜率于实际问题中
地理学
工程学
倾斜角和斜率可用于地形图分析、 地震摆动和河道流速计算。
本节课的学习内容
介绍了倾斜角和斜率的概念、计算方法和应用，以及解决常见误区的方法。
参考文献
推荐资料
《高等数学》教材；《地质学基础》教材。
参考文献列表
1. Smith, J. et al. (2018). Introduction to Slope and Y-Intercept. Journal of Mathematics, 25(3), 45-67.
倾斜角与斜率ppt课件
本ppt课件介绍倾斜角和斜率的概念，并探讨它们之间的关系。还将介绍计算 倾斜角和斜率的方法，并应用于实际问题。最后，解决常见误区并总结重点。
倾斜角和斜率的概念
定义
倾斜角是一条线段与x轴正向 的夹角。
2.1.1倾斜角与斜率 课件(共21张PPT)
有内在联系.
2
0
. P (x ,y )x
思考1 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为.已知直线 经过(0,0)，( ，1)，
那么与点, 的坐标有什么关系？
tan =
1
3
=
3
=
3
y
−
−
0
l
.
. P(
，1)
x
2
1
1
1
2
思考2 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为α. 如果直线 经过1 −1,1 ，2 ( 2,0) ，
无关，tan =
1
2
1
2
新知讲解
斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率常用小写字母 表示，即
k=tan（ ≠ 900 ）
说明：1.斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°＜α＜90°
90°பைடு நூலகம்
α＝_____
90°＜α＜180°
斜率(范围)
0
_____
.P
α2
x
l
以及它的 倾斜角 .
说明 ：在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度
相同，倾斜角相等，方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，我们可以用倾斜角表示
一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.
即时巩固
1.下列各图中表示直线倾斜角的为( C )
那么α与1 ， 2 的坐标又有什么关系？
P2P1 (1 2 ,1 0) (1 2 ,1)
OP P2P1 (1 2 ,1)
2
0
. P (x ,y )x
思考1 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为.已知直线 经过(0,0)，( ，1)，
那么与点, 的坐标有什么关系？
tan =
1
3
=
3
=
3
y
−
−
0
l
.
. P(
，1)
x
2
1
1
1
2
思考2 在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为α. 如果直线 经过1 −1,1 ，2 ( 2,0) ，
无关，tan =
1
2
1
2
新知讲解
斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率常用小写字母 表示，即
k=tan（ ≠ 900 ）
说明：1.斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°＜α＜90°
90°பைடு நூலகம்
α＝_____
90°＜α＜180°
斜率(范围)
0
_____
.P
α2
x
l
以及它的 倾斜角 .
说明 ：在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度
相同，倾斜角相等，方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，我们可以用倾斜角表示
一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.
即时巩固
1.下列各图中表示直线倾斜角的为( C )
那么α与1 ， 2 的坐标又有什么关系？
P2P1 (1 2 ,1 0) (1 2 ,1)
OP P2P1 (1 2 ,1)
3.1.1 倾斜角与斜率(共25张PPT)
栏目 导引
第三章
直线与方程
【方法感悟】
1．求直线倾斜角的方法： 定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角． 分类法：根据题意把倾斜角α分为以下四类讨论： α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°.
2．当已知两定点坐标求过这两点的直线斜率时可直接利用
斜率公式求解，应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是 否相等，若相等，直线垂直x轴，斜率不 α＝ 60° ，则其斜率 k＝ ________.
答案： 3
栏目 导引
第三章
直线与方程
典题例证技法归纳
【题型探究】
题型一
例1
对直线的倾斜角、斜率的理解
已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交
点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°， 如图所示，求直线l2的倾斜角．
栏目 导引
第三章
直线与方程
当直线 l 由与 y 轴平行的位置变化到 PA 位置时，它的倾斜角 3 由 90° 增大到 PA 的倾斜角， 故斜率的变化范围是(－∞， － ]． 2 综上可知，直线 l 的斜率的取值范围是 3 4 (－∞，－ ]∪[ ，＋∞ )． 2 3
栏目 导引
第三章
直线与方程
知能演练轻松闯关
栏目 导引
第三章
直线与方程
想一想 任何一条直线都有唯一的倾斜角和它对应，是 否也有唯一的斜率和它对应？ 提示：不一定．任何一条直线都有唯一的倾斜角和它对
应，但当倾斜角等于90°时，其斜率不存在．
栏目 导引
第三章
直线与方程
做一做
2. 已知 P1 (3,5)，P2 (－ 1，－ 3)，则直线 P1 P2 的斜率 k 等于 ( ) A． 2 B． 1 1 C. D．不存在 2 － 3－ 5 解析：选 A.k＝ ＝ 2. － 1－ 3
课件_人教版数学必修二《倾斜角与斜率》PPT课件_优秀版
解: P1, P2, P3在一条直线上
k k P1P2
P2P3
即32 13 x1 3x
x 7. 3
20
小结 ① 经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成 过程，能自然过渡到倾斜角的概念。 ② 通过对坡角、坡度概念回顾，经过知识迁移到 直线 的斜率中，并得到了斜率的定义。 ③ 经历用代数方法刻画直线斜率的过程，推导出 过已知两点的 直线的斜率坐标公式。
任一条直线都有倾斜角，也2 都有斜率；1
x
所成的角 叫做直线的
结论：坡度越大，楼梯越陡．
设直线的倾斜程度为k
在RtP2Q1中 P
tan
P2Q P1Q
y2 y1 x1 x2
0 ktany2y1y2y1
x1x2 x2x1
17
三、直线的斜率公式:
经过两点 P1(x1, y1),P2(x2, y2)(x1 x2)
我们把一条直线的倾斜角 的正切值
叫做这条直线的斜率.
用小写字母 k 表示，即： ktan
12
例题:已知直线的倾斜角,求直线的斜率：
1a30 ktan30 3 3
2a45 kta4n51
3a60 kta6n0 3
4a120 ktan1203
5a150ktan150 3
3
13
是否每条直线都有斜率? 0 a180
8
练习:下列图中标出的直线的倾斜角对不对？
y
o x
（1）
y
o
x
（2）
y
o
x （3）
y
ox
（4）
9
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
坡度（比 前 升 ）进 高量 量
10
2-1-1倾斜角与斜率 课件(共43张PPT)
④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；
⑤若α是直线l的倾斜角，且sinα＝ 22，则α＝45°.
其中正确命题的个数是( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 (1)都不满足倾斜角的定义，图(3)中α与倾斜角的 大小一样，但不是倾斜角．
(2)任意一条直线有唯一的倾斜角；倾斜角不可能为负；倾 斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此①正确，② ③错误．④中当α＝0°时，sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为 135°，故⑤错误．
答：不对．
当x1≠x2时，k＝yx22－ －yx11＝xy11－－xy22； 当x1＝x 2时，斜率不存在．
课时学案
题型一 倾斜角的求法
例1 (1)下列图中标出的直线的倾斜角中正确的有___0_____ 个．
(2)给出下列命题：
①任意一条直线有唯一的倾斜角；
②一条直线的倾斜角可以为－30π；
③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；
2．斜率与倾斜角的关系
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
α的大小 0°
0°<α<90°
90° 90°<α<180°
k的范围 k＝0
k>0
不存在
k<0
k的增减性 相同 随α的增大而增大 无 随α的增大而增大
3.任意过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率均为k＝
y2－y1 x2－x1
对吗？
在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜 角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方 向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等．因此，我们 可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也 就表示了直线的方向．
相关主题
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的倾斜角 α2 为________．
第三章 3.1 3.1.1
[分析] (1)直线倾斜角α的范围是什么？ (2)关于x轴对称的两条直线的倾斜角能互补吗？ [解析] (1)因为直线l的倾斜率为β－15°，所以0°≤β－ 15°<180°，即15°≤β<195°. (2)当α1＝0°时，α2＝0°，当0°<α1<180°时，α2＝180° －α1. [答案] (1)D (2)0°或180°－α1
用实数反映了平面直角坐标系内的直线的_倾__斜__程__度__
第三章 3.1 3.1.1
[破疑点] ①当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，并 不是直线不存在，此时，直线垂直于x轴；
②所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率； ③直线的斜率也反映直线相对于x轴的正方向的倾斜程 度．当0°≤α<90°时，斜率越大，直线的倾斜程度就越大；当 90°<α<180°时，斜率越大，倾斜角也越大； ④ k>0⇔0°<α<90° ； k ＝ 0⇔α ＝ 0° ； k<0⇔90°<α<180°；k不存在⇔α＝90°.
记法
α
第三章 3.1 3.1.1
图示
范围 作用
0°≤α<180° 用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的 (1) _倾__斜__程__度___ 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何 (2) 要素是：直线上的一个定点以及它的 __倾__斜__角____，二者缺一不可
第三章 3.1 3.1.1
[破疑点] 理解倾斜角的概念时，要注意三个条件：①x轴 正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．
第三章 3.1 3.1.1
2．斜率(倾斜角为α)
定义
记法 范围 公式 作用
α≠90°
一条直线的倾斜角α的___正__切__值__叫做这 条直线的斜率
α＝90° 斜率不存在
k，即k＝_t_a_n_α____
___R_____
经过两点P1(x1，y2－y1)y，1 P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜 率公式为k＝__x_2_－__x1____
[答案] A
第三章 3.1 3.1.1
[解析]
序号 正误
理由
① √ 任何直线都有唯一的倾斜角，故①正确
② × 倾斜角的范围是[0°，180°)，故②错误
③ × 所有与x轴平行或重合的直线的倾斜角都是 0°，故③错误
④ × 倾斜角相同的直线有无数条，不是一一映射 关系，故④错误
第三章 3.1 3.1.1
第三章 3.1 3.1.1
2．求直线倾斜角的方法及关注点： (1)方法 定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜 角． 分类法：根据题意把倾斜角α分为以下四类讨论： α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°. (2)关注点 结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形 内角和定理及其有关推论．
第三章 3.1 3.1.1
规律总结：1.理解直线的倾斜角首先要弄清以下几个 问题：
(1)倾斜角定义中含有三个条件： ①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角． (2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时 针方向旋转到与直线重合时所成的角． (3)直线的倾斜角α的取值范围是：0°≤α＜180°.
第三章 3.1 3.1.1
●温故知新
旧知再现
y 1 ． 在 直 角 三 角 形 中 ， 当 内 角 α 为 锐 角 时 ， sinα ＝ __r __ ，
y
y
cosα＝___r___，tanα＝____r_，其中x、y分别为角α的邻边、对
边，r为斜边．
第三章 3.1 3.1.1
2．日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示 倾斜面的“坡度”(倾斜程度)，如右图，即
2.已知直线 l 的倾斜角 α＝30°，则其斜率 k 的值为( )
A．0 C．1
B．
3 3
D． 3
[答案] B
第三章 3.1 3.1.1
3 ． 已 知 直 线 过 点 A(0,4) 和 点 B(1,2) ， 则 直 线 AB 的 斜 率 为
()
A．3 C．－2
B．2 D．不存在
[答案] C
[解析] 直线 AB 的斜率 k＝21－ －40＝－2.
升高量 坡度＝前进量＝tanα. 3．α 为锐角时 tan(180°－α)＝__－__t_a_n_α___.
第三章 3.1 3.1.1
4．几个特殊角的三角函数值： 3
tan30°＝____3__；tan45°＝__1___；tan60°＝___3____； tan120°＝____－___3___；tan135°＝___－__1___；
倾斜角与斜率课件
第三章 3.1 3.1.1
第三章 3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
第三章 3.1 3.1.1
1
预习导学
2ห้องสมุดไป่ตู้
互动课堂
3 随堂测评 4 课后强化作业
第三章 3.1 3.1.1
预习导学
第三章 3.1 3.1.1
●课标展示 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握它们之间的关 系． 2．掌握过两点的直线的斜率计算公式，并会简单的应 用．
第三章 3.1 3.1.1
互动课堂
第三章 3.1 3.1.1
●典例探究
直线的倾斜角的理解
(1)已知直线 l 的倾斜角为 β－15°，则下列结论
中正确的是( )
A．0°≤β<180°
B．15°<β<180°
C．15°≤β<180°
D．15°≤β<195°
(2)已知直线 l1 的倾斜角为 α1，则 l1 关于 x 轴对称的直线 l2
第三章 3.1 3.1.1
●自我检测
1．给出下列命题：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；
②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只
有一条，即x轴；④按照倾斜角的概念，直线倾斜角的集合
{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一映射关系．其中正确命
题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
tan150°＝__－___3_3____. 5．__两____点确定一条直线．
第三章 3.1 3.1.1
新知导学 1．倾斜角
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，__x__轴正向与
直线l向__上___方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．
定 义
规定 当直线l与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜
角为___0_°______.